Säännöllisen kuusikulmaisen pyramidin tilavuus on 6 sivua. Säännöllisen kuusikulmaisen pyramidin tilavuus

Tilakuvioiden tilavuuksien laskenta on yksi stereometrian tärkeistä tehtävistä. Tässä artikkelissa tarkastelemme kysymystä tällaisen monitahoisen tilavuuden määrittämisestä pyramidiksi ja annamme myös säännöllisen kuusikulmaisen.

Pyramidi kuusikulmainen

Aluksi pohditaan, mikä luku on, jota käsitellään artikkelissa.

Olkaamme mielivaltainen kuusikulmio, jonka sivut eivät välttämättä ole yhtä suuret toistensa kanssa. Oletetaan myös, että olemme valinneet avaruuden pisteen, joka ei ole kuusikulmion tasossa. Yhdistämällä kaikki jälkimmäisen kulmat valittuun pisteeseen, saamme pyramidin. Alla olevassa kuvassa näkyy kaksi erilaista pyramidia, joissa on kuusikulmainen kanta.

Voidaan nähdä, että kuusikulmion lisäksi kuvio koostuu kuudesta kolmiosta, joiden liitoskohtaa kutsutaan kärjeksi. Kuvattujen pyramidien ero on siinä, että oikean pyramidin korkeus h ei leikkaa kuusikulmaista kantaa sen geometrisessa keskipisteessä, kun taas vasemman hahmon korkeus putoaa täsmälleen tähän keskustaan. Tämän kriteerin ansiosta vasenta pyramidia kutsuttiin suoraksi ja oikeaa kaltevaksi.

Koska kuvan vasemman hahmon pohja muodostuu kuusikulmiosta, jonka sivut ja kulmat ovat yhtä suuret, sitä kutsutaan oikeaksi. Artikkelissa puhumme vain tästä pyramidista.

Mielivaltaisen pyramidin tilavuuden laskemiseksi käy seuraava kaava:

Tässä h on hahmon korkeuden pituus, S o sen pohjan pinta-ala. Määritetään tämän lausekkeen avulla säännöllisen kuusikulmaisen pyramidin tilavuus.

Koska tarkasteltava kuvio perustuu tasasivuiseen kuusikulmioon, seuraavaa yleislauseketta n-kulmiolle voidaan käyttää laskemaan sen pinta-ala:

S n = n/4 * a 2 * ctg(pi/n)

Tässä n on kokonaisluku, joka on yhtä suuri kuin monikulmion sivujen (kulmien) lukumäärä, a on sen sivun pituus, kotangenttifunktio lasketaan sopivien taulukoiden avulla.

Kun käytetään lauseketta arvolle n = 6, saadaan:

S 6 \u003d 6/4 * a 2 * ctg (pi / 6) \u003d √ 3/2 * a 2

Nyt on vielä korvattava tämä ilmaus yleinen kaava V-osalle:

V 6 \u003d S 6 * h \u003d √3 / 2 * h * a 2

Siten tarkasteltavan pyramidin tilavuuden laskemiseksi on tarpeen tietää sen kaksi lineaarista parametria: pohjan sivun pituus ja kuvion korkeus.

Esimerkki ongelmanratkaisusta

Osoitetaan, kuinka tuloksena olevaa lauseketta V 6:lle voidaan käyttää seuraavan ongelman ratkaisemiseen.

Tiedetään, että oikea tilavuus on 100 cm 3. On tarpeen määrittää pohjan sivu ja kuvion korkeus, jos tiedetään, että ne liittyvät toisiinsa seuraavalla yhtäläisyydellä:

Koska tilavuuden kaavaan sisältyy vain a ja h, mikä tahansa näistä parametreista voidaan korvata siihen ilmaistuna toisella. Esimerkiksi korvaamme a, saamme:

V 6 \u003d √3 / 2 * h * (2 * h) 2 \u003d\u003e

h = ∛(V 6 /(2*√3))

Figuurin korkeuden arvon löytämiseksi on otettava tilavuudesta kolmannen asteen juuri, joka vastaa pituuden mittaa. Korvaamme pyramidin tilavuusarvon V 6 tehtävän ehdosta, saamme korkeuden:

h = ∛(100/(2*√3)) ≈ 3,0676 cm

Koska pohjan sivu on ongelman ehdon mukaisesti kaksinkertainen löydetty arvoon, saamme sille arvon:

a = 2*h = 2*3,0676 = 6,1352 cm

Äänenvoimakkuus kuusikulmainen pyramidi löytyy paitsi hahmon korkeuden ja sen pohjan sivun arvon kautta. Sen laskemiseen riittää tietää kaksi erilaista pyramidin lineaarista parametria, esimerkiksi apoteemi ja sivureunan pituus.

Ongelmia pyramidien kanssa. Tässä artikkelissa jatkamme pyramidien ongelmien tarkastelua. Niitä ei voida liittää mihinkään luokkaan tai tehtävätyyppiin, ja ne antavat yleisiä (algoritmeja) ratkaisusuosituksia. Tänne on vain koottu loput tehtävät, joita ei aiemmin käsitelty.

Listaan ​​teorian, joka pitää virkistää muistissa ennen ratkaisemista: pyramidit, kuvioiden ja kappaleiden samankaltaisuusominaisuudet, säännöllisten pyramidien ominaisuudet, Pythagoraan lause, kolmion pintakaava (se on toinen). Harkitse tehtäviä:

From kolmion muotoinen pyramidi, jonka tilavuus on 80, kolmion muotoisen pyramidin katkaisee taso, joka kulkee pyramidin huipun ja pohjan keskiviivan läpi. Etsi leikatun kolmion muotoisen pyramidin tilavuus.

Pyramidin tilavuus on kolmasosa sen pohjan pinta-alan ja sen korkeuden tulosta:

Näillä pyramideilla (alkuperäisillä ja leikatuilla) on yhteinen korkeus, joten niiden tilavuudet ovat suhteessa niiden kannan pinta-aloihin. keskiviiva leikkaa alkuperäisestä kolmiosta kolmion, jonka pinta-ala on neljä kertaa pienempi, eli:

Voit katsoa tästä lisää täältä.

Tämä tarkoittaa, että katkaistun pyramidin tilavuus on neljä kertaa pienempi.

Siitä tulee siis 20.

Vastaus: 20

* samanlainen ongelma, käytetään kolmion pinta-alan kaavaa.

Kolmion muotoisen pyramidin tilavuus on 15. Taso kulkee tämän pyramidin pohjan sivun läpi ja leikkaa vastakkaisen sivureunan pisteessä, joka jakaa sen suhteessa 1:2 pyramidin huipulta laskettuna. Etsi suurin niistä pyramidien tilavuuksista, joihin taso jakaa alkuperäisen pyramidin.

Rakennetaan pyramidi, merkitään kärjet.Merkitse reunaan AS piste E niin, että AE on kaksi kertaa niin suuri kuin ES (ehdossa sanotaan, että ES liittyy AE:hen 1 - 2), ja muodosta esitetty taso, joka kulkee reunan AC ja pisteen E kautta:

Analysoidaan kumman pyramidin tilavuus on suurempi: EABC vai SEBC?

* Pyramidin tilavuus on kolmasosa sen pohjan pinta-alan ja sen korkeuden tulosta:

Jos tarkastellaan kahta tuloksena olevaa pyramidia ja otetaan EBC-pinta molemmissa pohjana, tulee ilmeiseksi, että AEBC-pyramidin tilavuus on suurempi kuin SEBC-pyramidin tilavuus. Miksi?

Etäisyys pisteestä A EBC-tasoon on suurempi kuin etäisyys pisteestä S. Ja tämä etäisyys on meille korkeuden rooli.

Joten, etsitään EABC-pyramidin tilavuus.

Alkupyramidin tilavuus on meille annettu, SABC- ja EABC-pyramidien kanta on yleinen. Jos määritämme korkeuksien suhteen, voimme helposti määrittää tilavuuden.

Segmenttien ES ja AE suhteesta seuraa, että AE on yhtä kuin kaksi kolmasosaa ES:stä. Pyramidien SABC ja EABC korkeudet ovat samassa suhteessa -pyramidin EABC korkeus on yhtä suuri kuin 2/3 pyramidin SABC korkeudesta.

Eli jos

Että

Vastaus: 10

Säännöllisen kuusikulmaisen pyramidin tilavuus on 6. Pohjan sivu on 1. Etsi sivureuna.

Tavallisessa pyramidissa huippu heijastetaan pohjan keskelle.Suoritetaan lisärakennuksia:

Löydämme sivureunan suorakulmainen kolmio SOC. Tätä varten sinun on tiedettävä SO ja OS.

SO on pyramidin korkeus, voimme laskea sen tilavuuskaavalla:

Laske pohjan pinta-ala. tämä on säännöllinen kuusikulmio, jonka sivu on 1. Säännöllisen kuusikulmion pinta-ala on yhtä suuri kuin kuuden tasasivuisen kolmion pinta-ala, joilla on sama sivu, lisää tästä (kohta 6), joten:

Keinot

OS \u003d BC \u003d 1, koska säännöllisessä kuusikulmiossa sen keskustan kärkeen yhdistävä segmentti on yhtä suuri kuin tämän kuusikulmion sivu.

Pythagoraan lauseen mukaan siis:

Vastaus: 7

ÄänenvoimakkuusTetraedrin koko on 200. Selvitä monitahoisen tilavuus, jonka kärjet ovat tämän tetraedrin reunojen keskipisteet.

Ilmoitetun polyhedronin tilavuus on yhtä suuri kuin erotus alkuperäisen tetraedrin V 0 ja neljän yhtä suuren tetraedrin tilavuudet, joista kukin saadaan leikkaamalla pois tasosta, joka kulkee sellaisten reunojen keskipisteiden kautta, joilla on yhteinen kärki:

Määritellään mitä on yhtä suuri kuin tilavuus katkaisi tetraedrin.

Huomaa, että alkuperäinen tetraedri ja "katkaistu" tetraedri ovat samanlaisia ​​kappaleita. Tiedetään, että samankaltaisten kappaleiden tilavuuksien suhde on k 3, missä k on samankaltaisuuskerroin. Tässä tapauksessa se on yhtä suuri kuin 2 (koska kaikki alkuperäisen tetraedrin lineaariset mitat ovat kaksi kertaa leikatun vastaavat mitat):

Laske katkaistun tetraedrin tilavuus:

Siten haluttu tilavuus on yhtä suuri kuin:

Vastaus: 100

Tetraedrin pinta-ala on 120. Etsi monitahoisen pinta-ala, jonka kärjet ovat tämän tetraedrin reunojen keskipisteet.

Ensimmäinen tapa:

Haluttu pinta koostuu 8 tasasivuisesta kolmiosta, joiden sivu on puolet alkuperäisen tetraedrin reunasta. Alkuperäisen tetraedrin pinta koostuu 16 tällaisesta kolmiosta (4 kolmiota jokaisella tetraedrin neljällä sivulla), joten vaadittu pinta-ala on yhtä suuri kuin puolet tämän tetraedrin pinta-alasta ja on yhtä suuri kuin 60.

Toinen tapa:

Koska tetraedrin pinta-ala tunnetaan, voimme löytää sen reunan, määrittää sitten monitahoisen reunan pituuden ja laskea sen pinta-alan.

Pyramidit ovat: kolmio, nelikulmainen jne. riippuen siitä, mikä kanta on - kolmio, nelikulmio jne.
Pyramidia kutsutaan oikeaksi ( kuva 286,b), jos ensinnäkin sen kanta on säännöllinen monikulmio ja toiseksi korkeus kulkee tämän monikulmion keskustan läpi.
Muuten pyramidia kutsutaan epäsäännölliseksi ( Kuva 286, tuumaa). Säännöllisessä pyramidissa kaikki sivureunat ovat yhtä suuret toistensa kanssa (kuten kaltevat yhtäläisten projektioiden kanssa). Siksi kaikki sivupinnat oikea pyramidi ovat tasakylkisiä kolmioita.
Säännöllisen kuusikulmaisen pyramidin elementtien analyysi ja niiden esitys monimutkaisessa piirustuksessa ( kuva 287) .

a) Säännöllisen kuusikulmaisen pyramidin monimutkainen piirustus. Pyramidin kanta sijaitsee tasolla P 1 ; pyramidin pohjan kaksi sivua ovat yhdensuuntaisia ​​projektioiden tason П 2 kanssa.
b) Kanta ABCDEF - kuusikulmio, joka sijaitsee projektioiden tasossa П 1 .
c) Lateral face ASF - kolmio, joka sijaitsee tasossa yleisasennossa.
d) Sivupinta FSE - profiilissa oleva kolmio - ulkoneva taso.
e) Reuna SE on segmentti yleisasemassa.
f) Edge SA - etusegmentti.
g) Pyramidin huippu S on avaruuden piste.
paikassa ( kuva 288 ja kuva 289) annetaan esimerkkejä peräkkäisistä graafisista operaatioista suoritettaessa monimutkaista piirtämistä ja visuaalisia kuvia (aksonometriaa) pyramideista.

Annettu:
1. Alusta sijaitsee tasossa P 1.
2. Yksi alustan sivuista on yhdensuuntainen x 12 -akselin kanssa.
I. Integroitu piirustus.
Minä, a. Suunnittelemme pyramidin pohjan - polygonin, tämän ehdon mukaan, joka sijaitsee tasossa П 1 .
Suunnittelemme huippupisteen - avaruudessa sijaitsevan pisteen. Pisteen S korkeus on yhtä suuri kuin pyramidin korkeus. Pisteen S vaakasuora projektio S 1 on pyramidin kannan projektion keskellä (ehdon mukaan).
Minä, b. Suunnittelemme pyramidin reunat - segmentit; tätä varten yhdistämme kantapisteiden ABCDE suorat projektiot pyramidin S huipun vastaaviin projektioihin. Pyramidin reunojen etuulokkeet S 2 C 2 ja S 2 D 2 on kuvattu katkoviivoilla näkymättöminä, pyramidin pintojen sulkemina (SBA ja SAE).
Minä, c. Pisteen K vaakasuora projektio K 1 sivupinnalla SBA on annettu, sen etuprojektio on löydettävä. Tätä varten piirrämme apuviivan S 1 F 1 pisteiden S 1 ja K 1 läpi, etsimme sen etuprojektion ja määritämme siitä pystysuoralla viestintälinjalla pisteen halutun etuprojektion K 2 paikan. K.
II. Pyramidin pinnan kehitys on litteä hahmo, joka koostuu sivupinnoista - identtisistä tasakylkistä kolmioista, joiden toinen sivu on yhtä suuri kuin pohjan sivu ja kaksi muuta - sivureunoihin ja säännöllisestä monikulmiosta - basso.
Pohjan sivujen luonnolliset mitat paljastuvat sen vaakasuorassa projektiossa. Ulkonemien kylkiluiden luonnollisia mittoja ei paljastettu.
Hypotenuusa S 2 ¯A 2 ( kuva 288, 1 , b) suorakulmaisesta kolmiosta S 2 O 2 ¯A 2, jossa iso jalka on yhtä suuri kuin pyramidin korkeus S 2 O 2 ja pieni on yhtä suuri kuin reunan S 1 A 1 vaakasuora projektio on pyramidin reunan luonnollinen koko. Lakaisu tulee rakentaa seuraavassa järjestyksessä:
a) mielivaltaisesta pisteestä S (vertex) piirretään kaari, jonka säde R on yhtä suuri kuin pyramidin reuna;
b) aseta piirretylle kaarelle sivuun viisi jännettä, joiden koko on R 1, joka vastaa pohjan sivua;
c) yhdistä pisteet D, C, B, A, E, D sarjaan keskenään ja pisteeseen S suorilla viivoilla, saadaan viisi tasakylkistä yhtä suuret kolmiot, jotka muodostavat tämän pyramidin sivupinnan kehityksen, leikattu reunaa pitkin SD ;
d) kiinnitämme mihin tahansa pintaan pyramidin pohjan - viisikulmion, käyttämällä kolmiomittausmenetelmää, esimerkiksi pintaan DSE.
Piste K siirretään pyyhkäisyyn apusuoraa käyttäen vaakaprojektioon otettua kokoa B 1 F 1 ja kylkiluun luonnollisen koon mukaan otettua kokoa A 2 K 2.
III. Pyramidin visuaalinen esitys isometriassa.
III, a. Kuvaamme pyramidin pohjan käyttämällä koordinaatteja ( kuva 288, 1 , a).
Kuvaamme pyramidin huippua käyttämällä koordinaatteja ( kuva 288, 1 , a).
III, b. Kuvaamme pyramidin sivureunat yhdistämällä yläosan pohjan yläosaan. Reuna S"D" ja pohjan C"D" ja D"E" sivut on esitetty katkoviivoilla näkymättöminä, ja niitä sulkevat pyramidin C"S"B, B"S"A" pinnat. ja A"S"E".
III, e. Määritämme pyramidin K pinnan pisteen käyttämällä mittoja y F ja x K. Pyramidin dimetrisen kuvan kohdalla tulee noudattaa samaa järjestystä.
Kuva epäsäännöllisestä kolmiomaisesta pyramidista.

Annettu:
1. Alusta sijaitsee tasossa P 1.
2. Pohjan sivu BC on kohtisuorassa X-akselia vastaan.
I. Integroitu piirustus
Minä, a. Suunnittelemme pyramidin pohjan - tasakylkisen kolmion, joka sijaitsee tasossa P 1, ja yläosan S - avaruudessa sijaitsevan pisteen, jonka korkeus on yhtä suuri kuin pyramidin korkeus.
Minä, b. Suunnittelemme pyramidin - segmenttien reunat, joille yhdistämme pohjan kärkien samannimiset projektiot suorilla viivoilla pyramidin huipun samannimistisiin projektioihin. Kuvaamme lentokoneen pohjan sivun vaakasuoran projektion katkoviivalla, näkymätönnä, jonka sulkevat kaksi pyramidin ABS, ACS pintaa.
Minä, c. Sivupinnan etuprojektiossa A 2 C 2 S 2 on annettu pisteen D projektio D 2. Sen vaakaprojektio on löydettävä. Tätä varten piirrämme pisteen D 2 kautta apusuoran, joka on yhdensuuntainen x 12 -akselin kanssa - vaakasuuntaisen etuprojektion, sitten löydämme sen vaakaprojektion ja määritämme sen sijainnin pystysuoralla viestintälinjalla. haluttu pisteen D vaakaprojektio D 1.
II. Pyramidilakaisun rakentaminen.
Pohjan sivujen luonnolliset mitat paljastuvat vaakasuorassa projektiossa. Kylkiluun AS luonnollinen koko paljastuu etuprojektiossa; ulokkeissa ei ole ripojen BS ja CS luonnollista kokoa, näiden ripojen koko selviää kiertämällä niitä i-akselin ympäri, kohtisuorassa pyramidin S huipun läpi kulkevaa tasoa P 1 vastaan. Uusi frontaaliprojektio ¯C 2 S 2 on reunan CS luonnollinen arvo.
Pyramidin pinnan kehityksen rakentamisjärjestys:
a) piirrä tasakylkinen kolmio - pinta CSB, jonka kanta on yhtä suuri kuin pyramidin CB pohjan sivu, ja sivut- kylkiluun luonnollinen koko SC;
b) lisäämme kaksi kolmiota konstruoidun kolmion sivuille SC ja SB - pyramidin CSA ja BSA pinnat ja rakennetun kolmion kantaan CB - CBA-pyramidin kantaan, jolloin saadaan täydellinen tämän pyramidin pinnan avautuminen.
Piste D siirretään kehitykseen seuraavassa järjestyksessä: piirrä ensin vaakasuora viiva ASC-sivupinnan kehitykseen käyttämällä R 1 -ulottuvuutta ja määritä sitten pisteen D sijainti vaakaviivalla R:n avulla. 2-ulotteinen.
III. Visuaalinen esitys pyramidista ja frontaalista dimetrisestä projektiosta
III, a. Kuvaamme pyramidin kantaa A "B" C ja huippua S käyttämällä koordinaatteja (

Päivämäärä: 19.1.2015

Jos tarvitset vaiheittaiset ohjeet kuinka rakentaa pyramidilakaisu, niin pyydän oppituntiamme. Arvioi ensin, onko pyramidisi auki samalla tavalla kuin kuvassa 1.

Jos se on käännetty 90 astetta, niin kuvassa "tunnetuiksi todellisiksi arvoiksi" merkitty reuna sinun tapauksessasi löytyy profiiliprojektiosta, joka sinun tulee rakentaa. Minun tapauksessani tätä ei vaadita, meillä on jo kaikki rakentamiseen tarvittavat määrät. On tärkeää muistaa, että tässä piirustuksessa vain etuprojektion reunat SA ja SD näytetään täysikokoisina. Kaikki muut projisoidaan pituusvääristyksellä. Lisäksi ylhäältä katsottuna kuusikulmion kaikki sivut projisoidaan täysikokoisina. Tämän perusteella aloitetaan.

1. Suuremman kauneuden saamiseksi piirretään ensimmäinen viiva vaakasuunnassa (kuva 1). Sitten piirretään leveä kaari, jonka säde on R=a, ts. jonka säde on yhtä suuri kuin pyramidin sivureunan pituus. Saamme pisteen A. Siitä teemme kaarelle kompassilla loven, jonka säde on r \u003d b (pyramidin pohjan sivun pituus). Otetaan piste B. Meillä on jo pyramidin ensimmäiset kasvot!

2. Teemme pisteestä B toisen samalla säteellä olevan loven - saamme pisteen C ja yhdistämällä sen pisteisiin B ja S saamme pyramidin toisen sivupinnan (kuva 2).

3. Toistamalla nämä vaiheet tarvittavan määrän kertoja (kaikki riippuu siitä, kuinka monta pintaa pyramidillasi on), saamme tällaisen tuulettimen (kuva 3). Oikealla rakenteella sinun pitäisi saada kaikki pohjan pisteet, ja äärimmäiset tulee toistaa.

4. Tätä ei aina vaadita, mutta silti se on välttämätöntä: lisää pyramidin pohja sivupinnan kehitykseen. Uskon, että kaikki tähän asti lukeneet tietävät kuinka piirtää kuusi-kahdeksan viisikulmio (kuinka viisikulmio piirretään, se kuvataan yksityiskohtaisesti oppitunnissa) Vaikeus on siinä, että kuvio on piirrettävä oikea paikka ja oikeassa kulmassa. Piirrä akseli minkä tahansa pinnan keskeltä. Leikkauspisteestä kantaviivan kanssa piirrämme etäisyyden m kuvan 4 mukaisesti.


Piirretään kohtisuora tämän pisteen läpi, saadaan tulevan kuusikulmion akselit. Tuloksena olevasta keskustasta piirrämme ympyrän, kuten teit ylhäältä katsottuna. Huomaa, että ympyrän tulee kulkea sivupinnan kahden pisteen läpi (minun tapauksessani nämä ovat F ja A)

5. Kuva 5 esittää lopullisen taittamattoman kuvan kuusikulmaisesta prismasta.


Tämä viimeistelee pyramidipyyhkäisyn rakentamisen. Rakenna lakaisujasi, opi löytämään ratkaisuja, ole syövyttävä äläkä koskaan anna periksi. Kiitos käynnistä. Älä unohda suositella meitä ystävillesi :) Kaikkea hyvää!

tai kirjoita puhelinnumeromme muistiin ja kerro meistä ystävillesi - joku etsii luultavasti tapaa tehdä piirustuksia

tai luo muistiinpano oppitunneistamme sivullesi tai blogiisi - ja joku muu voi hallita piirustuksen.