Mikä on säännöllinen nelikulmainen pyramidi. Oikean pyramidin pääominaisuudet

Opiskelijat törmäävät pyramidin käsitteeseen kauan ennen geometrian opiskelua. Syytä kuuluisia suuria egyptiläisiä maailman ihmeitä. Siksi useimmat opiskelijat kuvittelevat sen jo selvästi aloittaessaan tämän upean monitahoisen tutkimuksen. Kaikki yllä olevat nähtävyydet ovat oikeassa kunnossa. Mitä oikea pyramidi, ja mitä ominaisuuksia sillä on, ja niistä keskustellaan edelleen.

Yhteydessä

Määritelmä

Pyramidille on monia määritelmiä. Muinaisista ajoista lähtien se on ollut erittäin suosittu.

Esimerkiksi Eukleides määritteli sen kiinteäksi hahmoksi, joka koostuu tasoista, jotka yhdestä alkaen konvergoivat tietyssä pisteessä.

Heron tarjosi tarkemman muotoilun. Hän väitti, että se oli hahmo on tukikohta ja lentokoneet sisään kolmiot, lähentyvät yhdessä vaiheessa.

Luottaa johonkin moderni tulkinta, pyramidi esitetään avaruudellisena monitahoisena, joka koostuu tietystä k-gonista ja k litteästä hahmosta kolmion muotoinen jolla on yksi yhteinen kohta.

Katsotaanpa tarkemmin, Mistä elementeistä se koostuu?

• k-gon katsotaan kuvion perustaksi;
• 3-kulmaiset hahmot työntyvät esiin sivuosan sivuina;
• yläosaa, josta sivuelementit ovat peräisin, kutsutaan yläosaksi;
• kaikkia kärkeä yhdistäviä segmenttejä kutsutaan reunoiksi;
• jos suora viiva lasketaan ylhäältä kuvion tasoon 90 asteen kulmassa, niin sen sisätilaan suljettu osa on pyramidin korkeus;
• missä tahansa monitahoisen sivuelementissä voit piirtää kohtisuoran, jota kutsutaan apoteemiksi.

Reunojen lukumäärä lasketaan kaavalla 2*k, jossa k on k-gonin sivujen lukumäärä. Kuinka monta pintaa pyramidin kaltaisella monitahoisella on, voidaan määrittää lausekkeella k + 1.

Tärkeä! Säännöllisen muotoinen pyramidi on stereometrinen kuvio, jonka kantataso on k-gon, jolla on yhtäläiset sivut.

Perusominaisuudet

Oikea pyramidi on monia ominaisuuksia jotka ovat hänelle ainutlaatuisia. Listataan ne:

1. Pohja on oikean muotoinen hahmo.
2. Pyramidin reunoilla, jotka rajoittavat sivuelementtejä, on samat numeroarvot.
3. Sivuelementit ovat tasakylkisiä kolmioita.
4. Figuurin korkeuden pohja putoaa monikulmion keskelle, kun se on samalla keskipiste sisään ja kuvattu.
5. Kaikki sivurivat on kallistettu perustasoon nähden samassa kulmassa.
6. Kaikilla sivupinnoilla on sama kaltevuuskulma pohjaan nähden.

Kaikkien lueteltujen ominaisuuksien ansiosta elementtilaskelmien suoritus yksinkertaistuu huomattavasti. Yllä olevien ominaisuuksien perusteella kiinnitämme huomiota kaksi merkkiä:

1. Siinä tapauksessa, että monikulmio sopii ympyrään, sivupinnoilla on pohja yhtäläiset kulmat.
2. Kun kuvataan ympyrää monikulmion ympärillä, kaikilla kärjestä lähtevillä pyramidin reunoilla on sama pituus ja samat kulmat kantaan nähden.

Neliö perustuu

Säännöllinen nelikulmainen pyramidi - monitahoinen, joka perustuu neliöön.

Siinä on neljä sivupintaa, jotka ovat ulkonäöltään tasakylkisiä.

Tasossa neliö on kuvattu, mutta ne perustuvat kaikkiin säännöllisen nelikulmion ominaisuuksiin.

Jos esimerkiksi on tarpeen yhdistää neliön sivu sen lävistäjään, käytetään seuraavaa kaavaa: diagonaali on yhtä suuri kuin neliön sivun ja kahden neliöjuuren tulo.

Perustuu säännölliseen kolmioon

oikea kolmion muotoinen pyramidi on monitahoinen, jonka kanta on säännöllinen 3 kulmio.

Jos pohja on säännöllinen kolmio ja sivureunat ovat yhtä suuret kuin pohjan reunat, niin tällainen kuva kutsutaan tetraedriksi.

Kaikki tetraedrin pinnat ovat tasasivuisia 3 kulmia. Tässä tapauksessa sinun on tiedettävä joitain kohtia eikä tuhlata aikaa niihin laskettaessa:

• kylkiluiden kaltevuuskulma mihin tahansa alustaan ​​on 60 astetta;
• kaikkien sisäpintojen arvo on myös 60 astetta;
• kaikki kasvot voivat toimia pohjana;
• kuvion sisään piirretyt elementit ovat samanarvoisia.

Monitahoisen osat

Missä tahansa polyhedronissa niitä on useita tyyppejä kone. Usein sisään koulun kurssi geometriat toimivat kahdella:

• aksiaalinen;
• rinnakkain.

Aksiaalinen leikkaus saadaan leikkaamalla monitahoinen taso, joka kulkee kärjen, sivureunojen ja akselin läpi. Tässä tapauksessa akseli on kärjestä vedetty korkeus. Leikkaustasoa rajoittavat leikkausviivat kaikkien pintojen kanssa, jolloin tuloksena on kolmio.

Huomio! Säännöllisen pyramidin aksiaalinen leikkaus on tasakylkinen kolmio.

Jos leikkaustaso kulkee yhdensuuntaisesti alustan kanssa, tuloksena on toinen vaihtoehto. Tässä tapauksessa meillä on taustaa vastaava luku.

Esimerkiksi, jos pohja on neliö, niin alustan suuntainen osa on myös neliö, vain pienempi koko.

Ratkaistaessa ongelmia tässä tilanteessa, käytetään kuvioiden samankaltaisuuden merkkejä ja ominaisuuksia, perustuu Thales-lauseeseen. Ensinnäkin on tarpeen määrittää samankaltaisuuskerroin.

Jos taso piirretään yhdensuuntaisesti pohjan kanssa ja se leikkaa monitahoisen yläosan, niin alaosaan saadaan säännöllinen katkaistu pyramidi. Tällöin katkaistun monitahoisen kantapään sanotaan olevan samanlaisia ​​polygoneja. Tässä tapauksessa sivupinnat ovat tasakylkisiä puolisuunnikkaita. Myös aksiaalinen leikkaus on tasakylkinen.

Katkaistun monitahoisen korkeuden määrittämiseksi on tarpeen piirtää korkeus aksiaalileikkaukseen, toisin sanoen puolisuunnikkaan.

Pinta-alueet

Tärkeimmät geometriset ongelmat, jotka koulun geometriakurssilla on ratkaistava, ovat pyramidin pinta-alan ja tilavuuden löytäminen.

Pinta-alaa on kahta tyyppiä:

• sivuelementtien pinta-ala;
• koko pinta-ala.

Itse otsikosta selviää mistä on kyse. Sivupinta sisältää vain sivuelementit. Tästä seuraa, että sen löytämiseksi sinun on yksinkertaisesti laskettava yhteen sivutasojen pinta-alat, toisin sanoen tasakylkisten 3 kulmien alueet. Yritetään johtaa kaava sivuelementtien pinta-alalle:

1. Tasakylkisen 3 kulman pinta-ala on Str=1/2(aL), missä a on kannan sivu, L on apoteemi.
2. Sivutasojen määrä riippuu pohjassa olevan k-gonin tyypistä. Esimerkiksi tavallisella nelikulmaisella pyramidilla on neljä sivutasoa. Siksi on tarpeen laskea yhteen neljän luvun alueet Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . Lauseke yksinkertaistuu tällä tavalla, koska arvo 4a=POS, jossa POS on kannan ympärysmitta. Ja lauseke 1/2 * Rosn on sen puolikehä.
3. Joten päätämme, että säännöllisen pyramidin sivuelementtien pinta-ala on yhtä suuri kuin pohjan puolikehän ja apoteemin tulo: Sside = Rosn * L.

Neliö koko pinta pyramidi koostuu sivutasojen ja kannan pinta-alojen summasta: Sp.p. = Sside + Sbase.

Mitä tulee pohjan pinta-alaan, kaavaa käytetään tässä monikulmion tyypin mukaan.

Säännöllisen pyramidin tilavuus on yhtä suuri kuin perustason pinta-alan ja korkeuden tulo jaettuna kolmella: V=1/3*Skanta*H, missä H on monitahoisen korkeus.

Mikä on säännöllinen pyramidi geometriassa

Säännöllisen nelikulmaisen pyramidin ominaisuudet

Geometrisissa tehtävissä usein esiintyvä kolmiulotteinen hahmo on pyramidi. Kaikista tämän luokan hahmoista yksinkertaisin on kolmiomainen. Tässä artikkelissa analysoimme yksityiskohtaisesti oikean peruskaavat ja ominaisuudet

Kuvion geometriset esitykset

Ennen kuin jatkat säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin ominaisuuksien tarkastelua, katsotaanpa tarkemmin, mikä kuvio kysymyksessä.

Oletetaan, että kolmiulotteisessa avaruudessa on mielivaltainen kolmio. Valitsemme tämän tilan minkä tahansa pisteen, joka ei ole kolmion tasossa, ja yhdistämme sen kolmion kolmeen kärkeen. Meillä on kolmion muotoinen pyramidi.

Se koostuu 4 sivusta, jotka kaikki ovat kolmioita. Pisteitä, joissa kolme kasvoa kohtaavat, kutsutaan pisteiksi. Figuurissa on niitä myös neljä. Kahden pinnan leikkausviivat ovat reunoja. Tarkasteltavana olevassa pyramidissa on 6 kylkiluuta. Alla olevassa kuvassa on esimerkki tästä kuviosta.

Koska kuvio muodostuu neljästä sivusta, sitä kutsutaan myös tetraedriksi.

Oikea pyramidi

Yllä tarkasteltiin mielivaltaista hahmoa, jolla on kolmion muotoinen pohja. Oletetaan nyt, että piirretään kohtisuora viiva pyramidin huipulta sen pohjaan. Tätä segmenttiä kutsutaan korkeudeksi. On selvää, että on mahdollista käyttää 4 eri korkeuksia figuuria varten. Jos korkeus leikkaa kolmion pohjan geometrisessa keskustassa, niin tällaista pyramidia kutsutaan suoraksi pyramidiksi.

Suoraa pyramidia, jonka kanta on tasasivuinen kolmio, kutsutaan säännölliseksi pyramidiksi. Hänelle kaikki kolme kolmiota, jotka muodostavat hahmon sivupinnan, ovat tasakylkisiä ja yhtä suuria keskenään. Säännöllisen pyramidin erikoistapaus on tilanne, jossa kaikki neljä sivua ovat tasasivuisia identtisiä kolmioita.

Harkitse säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin ominaisuuksia ja anna sopivat kaavat sen parametrien laskemiseen.

Pohjan puoli, korkeus, sivureuna ja apoteemi

Mitkä tahansa kaksi luetelluista parametreista määrittelevät yksiselitteisesti kaksi muuta ominaisuutta. Annamme kaavat, jotka yhdistävät nimetyt suureet.

Oletetaan, että säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin pohjan sivu on a. Sen sivureunan pituus on yhtä suuri kuin b. Mikä on säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin ja sen apoteemin korkeus?

Korkeudelle h saadaan lauseke:

Tämä kaava seuraa Pythagoraan lausetta, jolle ovat sivureuna, korkeus ja 2/3 kannan korkeudesta.

Pyramidin apoteemi on minkä tahansa sivuttaiskolmion korkeus. Apoteeman a b pituus on:

a b \u003d √ (b 2 - a 2/4)

Näistä kaavoista voidaan nähdä, että mikä tahansa kolmion muotoisen säännöllisen pyramidin pohjan sivu ja sivureunan pituus tahansa, apoteema on aina lisää korkeutta pyramidit.

Esitetyt kaksi kaavaa sisältävät kaikki neljä lineaariset ominaisuudet kyseessä oleva hahmo. Siksi tunnetuista kahdesta niistä löydät loput ratkaisemalla järjestelmän kirjoitetuista yhtälöistä.

hahmon tilavuus

Täysin mille tahansa pyramidille (mukaan lukien kalteva) sen rajoittaman tilan tilavuuden arvo voidaan määrittää tuntemalla kuvan korkeus ja sen pohjan pinta-ala. Vastaava kaava näyttää tältä:

Kun tätä lauseketta sovelletaan kyseessä olevaan kuvaan, saadaan seuraava kaava:

Kun säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin korkeus on h ja sen kantasivu on a.

Ei ole vaikeaa saada kaavaa tetraedrin tilavuudelle, jossa kaikki sivut ovat yhtä suuret ja edustavat tasasivuisia kolmioita. Tässä tapauksessa kuvan tilavuus määritetään kaavalla:

Toisin sanoen sen määrittää yksiselitteisesti sivun a pituus.

Pinta-ala

Jatkamme kolmion muotoisen säännöllisen pyramidin ominaisuuksien tarkastelua. kokonaisalue hahmon kaikista pinoista kutsutaan sen pinta-alaksi. Jälkimmäistä on kätevää tutkia vastaavaa kehitystä huomioiden. Alla oleva kuva näyttää, miltä tavallinen kolmiopyramidi näyttää.

Oletetaan, että tiedämme kuvion korkeuden h ja kannan a sivun. Sitten sen pohjan pinta-ala on yhtä suuri:

Jokainen opiskelija voi saada tämän lausekkeen, jos hän muistaa, kuinka löytää kolmion pinta-ala, ja ottaa myös huomioon, että tasasivuisen kolmion korkeus on myös puolittaja ja mediaani.

Kolmen identtisen tasakylkisen kolmion muodostaman sivupinnan pinta-ala on:

Sb = 3/2*√(a2/12+h2)*a

Tämä yhtäläisyys seuraa pyramidin apoteeman ilmaisusta pohjan korkeuden ja pituuden suhteen.

Kuvan kokonaispinta-ala on:

S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Huomaa, että tetraedrin, jonka kaikki neljä sivua ovat samoja tasasivuisia kolmioita, pinta-ala S on yhtä suuri:

Säännöllisen katkaistun kolmion muotoisen pyramidin ominaisuudet

Jos tarkasteltavan kolmion muotoisen pyramidin huippu katkaistaan ​​pohjan kanssa yhdensuuntaisella tasolla, niin loput Alaosa kutsutaan katkaistuksi pyramidiksi.

Kolmiopohjan tapauksessa saadaan kuvatun leikkausmenetelmän tuloksena uusi kolmio, joka on myös tasasivuinen, mutta jonka sivun pituus on pienempi kuin pohjasivu. Alla on esitetty katkaistu kolmiopyramidi.

Näemme, että tätä lukua rajoittaa jo kaksi kolmiomaista kantaa ja kolme tasakylkistä puolisuunnikasta.

Oletetaan, että tuloksena olevan kuvan korkeus on h, alemman ja ylemmän kannan sivujen pituudet ovat a 1 ja a 2, ja apoteemi (suunnikkaan korkeus) on yhtä suuri kuin a b. Sitten katkaistun pyramidin pinta-ala voidaan laskea kaavalla:

S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4*(a 1 2 + a 2 2)

Tässä ensimmäinen termi on sivupinnan pinta-ala, toinen termi on kolmiopohjan pinta-ala.

Kuvion tilavuus lasketaan seuraavasti:

V = √3/12*h*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 *a 2)

Katkaistun pyramidin ominaisuuksien yksiselitteiseksi määrittämiseksi on tarpeen tietää sen kolme parametria, mikä osoitetaan yllä olevilla kaavoilla.

Kolmion muotoinen pyramidi on pyramidi, joka perustuu kolmioon. Tämän pyramidin korkeus on kohtisuora, joka lasketaan pyramidin huipulta sen pohjalle.

Pyramidin korkeuden löytäminen

Kuinka löytää pyramidin korkeus? Erittäin yksinkertainen! Minkä tahansa kolmion muotoisen pyramidin korkeuden selvittämiseksi voit käyttää tilavuuskaavaa: V = (1/3)Sh, jossa S on kantapinta-ala, V on pyramidin tilavuus, h on sen korkeus. Tästä kaavasta johdetaan korkeuskaava: kolmion muotoisen pyramidin korkeuden löytämiseksi sinun on kerrottava pyramidin tilavuus kolmella ja jaettava sitten saatu arvo perusalalla, se on: h \u003d (3V ) / S. Koska kolmion muotoisen pyramidin kanta on kolmio, voit käyttää kaavaa kolmion pinta-alan laskemiseen. Jos tiedämme: kolmion S pinta-ala ja sen sivu z, niin pinta-alan kaavan S=(1/2)γh mukaan: h = (2S)/γ, missä h on pyramidin korkeus, γ on kolmion reuna; kolmion sivujen ja itse kahden sivun välinen kulma, käyttämällä seuraavaa kaavaa: S = (1/2)γφsinQ, missä γ, φ ovat kolmion sivut, löydämme kolmion alueen. Kulman Q sinin arvo tulee katsoa sinitaulukosta, joka on Internetissä. Seuraavaksi korvataan pinta-ala korkeuskaavassa: h = (2S)/γ. Jos tehtävä edellyttää kolmiopyramidin korkeuden laskemista, pyramidin tilavuus on jo tiedossa.

Säännöllinen kolmiopyramidi

Etsi säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin korkeus, eli pyramidin, jonka kaikki pinnat ovat tasasivuisia kolmioita, tietäen reunan γ koon. Tässä tapauksessa pyramidin reunat ovat tasasivuisten kolmioiden sivuja. Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin korkeus on: h = γ√(2/3), missä γ on tasasivuisen kolmion reuna, h on pyramidin korkeus. Jos kannan pinta-ala (S) on tuntematon ja vain monitahoisen reunan pituus (γ) ja tilavuus (V) on annettu, on edellisen vaiheen kaavan tarvittava muuttuja korvattava. sen vastineella, joka ilmaistaan ​​reunan pituudella. Kolmion pinta-ala (säännöllinen) on yhtä suuri kuin 1/4 tämän kolmion sivun pituuden tulosta 3:n neliöjuurella. Korvataan tämä kaava edellisen kaavan kanta-alan sijaan , ja saamme seuraavan kaavan: h \u003d 3V4 / (γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Tetraedrin tilavuus voidaan ilmaista sen reunan pituudella, jolloin kuvion korkeuden laskentakaavasta voidaan poistaa kaikki muuttujat ja vain kuvion kolmiomaisen pinnan sivu voidaan jättää. Tällaisen pyramidin tilavuus voidaan laskea jakamalla 12:lla tulosta sen pinnan pituus kuutioituna 2:n neliöjuurella.

Korvaamme tämän lausekkeen edelliseen kaavaan, saamme seuraavan kaavan laskentaan: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ√(2/3) = (1/3)γ√6. Myös säännöllinen kolmion muotoinen prisma voidaan piirtää palloon, ja tietäen vain pallon säteen (R), voit löytää tetraedrin korkeuden. Tetraedrin reunan pituus on: γ = 4R/√6. Korvataan muuttuja γ tällä lausekkeella edellisessä kaavassa ja saadaan kaava: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Sama kaava voidaan saada tietämällä tetraedriin piirretyn ympyrän säde (R). Tässä tapauksessa kolmion reunan pituus on yhtä suuri kuin 12 välistä suhdetta neliöjuuri 6 ja säde. Korvaamme tämän lausekkeen edelliseen kaavaan ja saamme: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Kuinka löytää säännöllisen nelikulmaisen pyramidin korkeus

Vastataksesi kysymykseen, kuinka löytää pyramidin korkeuden pituus, sinun on tiedettävä, mikä on tavallinen pyramidi. Nelikulmainen pyramidi on pyramidi, joka perustuu nelikulmioon. Jos ongelman olosuhteissa meillä on: pyramidin tilavuus (V) ja pohjan pinta-ala (S), niin monitahoisen korkeuden (h) laskentakaava on seuraava - jaa tilavuus kerrottuna 3:lla alueella S: h \u003d (3V) / S. Kun pyramidin neliökanta tunnetaan: annettu tilavuus (V) ja sivun pituus γ, korvaa pinta-ala (S) edellisessä kaavassa sivun pituuden neliöllä: S = γ 2 ; H = 3 V/y2. Säännöllisen pyramidin korkeus h = SO kulkee juuri ympyrän keskustan läpi, joka on rajattu lähellä kantaa. Koska tämän pyramidin kanta on neliö, piste O on diagonaalien AD ja BC leikkauspiste. Meillä on: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Edelleen löydämme suorassa kolmiossa SOC (Pythagoraan lauseen mukaan): SO = √(SC 2 -OC 2). Nyt tiedät kuinka löytää säännöllisen pyramidin korkeus.

Tämä opetusvideo auttaa käyttäjiä saamaan käsityksen Pyramid-teemasta. Oikea pyramidi. Tällä oppitunnilla tutustumme pyramidin käsitteeseen, annamme sille määritelmän. Mieti, mikä on tavallinen pyramidi ja mitä ominaisuuksia sillä on. Sitten todistetaan lause säännöllisen pyramidin sivupinnalla.

Tällä oppitunnilla tutustumme pyramidin käsitteeseen, annamme sille määritelmän.

Harkitse monikulmiota A 1 A 2...A n, joka sijaitsee tasossa α, ja piste P, joka ei ole tasossa α (kuva 1). Yhdistetään piste P huippujen kanssa A 1, A 2, A 3, … A n. Saada n kolmiot: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R ja niin edelleen.

Määritelmä. Polyhedron RA 1 A 2 ... A n, koostuu n-gon A 1 A 2...A n ja n kolmiot RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1, soitettu n- hiilipyramidi. Riisi. yksi.

Riisi. yksi

Tarkastellaan nelikulmaista pyramidia PABCD(Kuva 2).

R- pyramidin huippu.

ABCD- pyramidin pohja.

RA- sivuribi.

AB- pohjareuna.

kohdasta R pudota kohtisuora RN maatasolla ABCD. Piirretty kohtisuora on pyramidin korkeus.

Riisi. 2

Pyramidin kokonaispinta koostuu sivupinnasta eli kaikkien sivupintojen pinta-alasta ja pohjapinta-alasta:

S täysi \u003d S puoli + S pää

Pyramidia kutsutaan oikeaksi, jos:

• sen kanta on säännöllinen monikulmio;
• segmentti, joka yhdistää pyramidin huipun pohjan keskustaan, on sen korkeus.

Selitys säännöllisen nelikulmaisen pyramidin esimerkistä

Tarkastellaan säännöllistä nelikulmaista pyramidia PABCD(Kuva 3).

R- pyramidin huippu. pyramidin pohja ABCD- säännöllinen nelikulmio, eli neliö. Piste O, diagonaalien leikkauspiste, on neliön keskipiste. tarkoittaa, RO on pyramidin korkeus.

Riisi. 3

Selitys: oikealla n-gon, piirretyn ympyrän keskipiste ja rajatun ympyrän keskipiste ovat samat. Tätä keskustaa kutsutaan monikulmion keskipisteeksi. Joskus he sanovat, että yläosa heijastuu keskelle.

Säännöllisen pyramidin sivupinnan korkeutta, joka on vedetty sen huipulta, kutsutaan apoteema ja merkitty h a.

1. säännöllisen pyramidin kaikki sivureunat ovat yhtä suuret;

2. sivupinnat ovat tasakylkisiä kolmioita.

Todistetaan nämä ominaisuudet säännöllisen nelikulmaisen pyramidin esimerkillä.

Annettu: RABSD- säännöllinen nelikulmainen pyramidi,

ABCD- neliö,

RO on pyramidin korkeus.

Todistaa:

1. RA = PB = PC = PD

2.∆ATP = ∆BCP = ∆CDP = ∆DAP Katso kuva. neljä.

Riisi. neljä

Todiste.

RO on pyramidin korkeus. Eli suoraan RO kohtisuorassa tasoon nähden ABC ja siten suoraan AO, VO, SO ja TEHDÄ makaa siinä. Kolmiot siis ROA, ROV, ROS, ROD- suorakaiteen muotoinen.

Harkitse neliötä ABCD. Neliön ominaisuuksista seuraa, että AO = BO = CO = TEHDÄ.

Sitten oikeat kolmiot ROA, ROV, ROS, ROD jalka RO- yleiset ja jalat AO, VO, SO ja TEHDÄ yhtä suuria, joten nämä kolmiot ovat yhtä suuret kahdessa haarassa. Kolmioiden yhtäläisyydestä seuraa osien yhtäläisyys, RA = PB = PC = PD. Kohta 1 on todistettu.

Segmentit AB ja aurinko ovat yhtä suuret, koska ne ovat saman neliön sivut, RA = RV = PC. Kolmiot siis AVR ja VCR - tasakylkisiä ja yhtä suuria kolmelta sivulta.

Samalla tavalla saamme kolmiot ABP, BCP, CDP, DAP ovat tasakylkisiä ja yhtä suuria, mikä oli todistettava kohdassa 2.

Säännöllisen pyramidin sivupinnan pinta-ala on puolet pohjan kehän ja apoteemin tulosta:

Todistukseksi valitsemme säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin.

Annettu: RAVS on säännöllinen kolmion muotoinen pyramidi.

AB = BC = AC.

RO- korkeus.

Todistaa: . Katso kuva 5.

Riisi. 5

Todiste.

RAVS on säännöllinen kolmion muotoinen pyramidi. Tuo on AB= AC = BC. Päästää O- kolmion keskipiste ABC, sitten RO on pyramidin korkeus. Pyramidin kanta on tasasivuinen kolmio. ABC. huomaa, että .

kolmiot RAV, RVS, RSA- yhtäläiset tasakylkiset kolmiot (ominaisuuden mukaan). Kolmion muotoisella pyramidilla on kolme sivupintaa: RAV, RVS, RSA. Joten pyramidin sivupinnan pinta-ala on:

S-puoli = 3S RAB

Lause on todistettu.

Säännöllisen nelikulmaisen pyramidin pohjaan piirretyn ympyrän säde on 3 m, pyramidin korkeus 4 m. Selvitä pyramidin sivupinnan pinta-ala.

Annettu: säännöllinen nelikulmainen pyramidi ABCD,

ABCD- neliö,

r= 3 m,

RO- pyramidin korkeus,

RO= 4 m.

löytö: S-puoli. Katso kuva 6.

Riisi. 6

Ratkaisu.

Todistetun lauseen mukaan .

Etsi ensin alustan sivu AB. Tiedämme, että säännöllisen nelikulmaisen pyramidin kantaan piirretyn ympyrän säde on 3 m.

Sitten, m.

Etsi neliön ympärysmitta ABCD jonka sivu on 6 m:

Harkitse kolmiota BCD. Päästää M- keskipuoli DC. Koska O-keskellä BD, sitten (m).

Kolmio DPC- tasakylkisiä. M-keskellä DC. Tuo on, RM- mediaani ja siten kolmion korkeus DPC. Sitten RM- pyramidin apoteemi.

RO on pyramidin korkeus. Siis suoraan RO kohtisuorassa tasoon nähden ABC, ja siksi suora OM makaa siinä. Etsitään apoteemi RM suorakulmaisesta kolmiosta ROM.

Nyt voimme löytää pyramidin sivupinnan:

Vastaus: 60 m2.

Säännöllisen kolmiopyramidin pohjan lähelle rajatun ympyrän säde on m. Sivupinta-ala on 18 m 2. Etsi apoteemin pituus.

Annettu: ABCP- säännöllinen kolmion muotoinen pyramidi,

AB = BC = SA,

R= m,

S-puoli = 18 m 2.

löytö: . Katso kuva 7.

Riisi. 7

Ratkaisu.

Suorakulmaisessa kolmiossa ABC annetaan rajatun ympyrän säde. Etsitään puoli AB tämä kolmio käyttämällä sinilausetta.

Kun tiedämme säännöllisen kolmion sivun (m), löydämme sen kehän.

Lauseen mukaan säännöllisen pyramidin sivupinnan pinta-alasta, missä h a- pyramidin apoteemi. Sitten:

Vastaus: 4 m.

Joten tutkimme mikä on pyramidi, mikä on säännöllinen pyramidi, todistimme lauseen säännöllisen pyramidin sivupinnasta. Seuraavalla oppitunnilla tutustumme katkaistuun pyramidiin.

Bibliografia

1. Geometria. Luokka 10-11: oppikirja oppilaitosten opiskelijoille (perus- ja profiilin tasot) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. painos, Rev. ja ylimääräistä - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill.
2. Geometria. Luokka 10-11: Yleissivistävän oppikirja koulutusinstituutiot/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 s.: ill.
3. Geometria. Luokka 10: Oppikirja yleiskouluille matematiikan perusteellisella ja profiiliopinnolla / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. painos, stereotypia. - M.: Bustard, 008. - 233 s.: ill.

1. Internet-portaali "Yaklass" ()
2. Internet-portaali "Pedagogisten ideoiden festivaali "Syyskuun ensimmäinen" ()
3. Internet-portaali "Slideshare.net" ()

Kotitehtävät

1. Voiko säännöllinen monikulmio olla epäsäännöllisen pyramidin kanta?
2. Todista, että säännöllisen pyramidin ei-leikkaavat reunat ovat kohtisuorassa.
3. Laske säännöllisen nelikulmaisen pyramidin kannan sivun dihedraalisen kulman arvo, jos pyramidin apoteemi on yhtä suuri kuin sen kantan sivu.
4. RAVS on säännöllinen kolmion muotoinen pyramidi. Muodosta dihedraalisen kulman lineaarinen kulma pyramidin pohjaan.

Hypoteesi: uskomme, että pyramidin muodon täydellisyys johtuu matemaattisia lakeja upotettuna sen muotoon.

Kohde: pyramidin tutkiminen geometrinen runko, selittääkseen sen muodon täydellisyyden.

Tehtävät:

1. Anna pyramidin matemaattinen määritelmä.

2. Tutki pyramidia geometrisena kappaleena.

3. Ymmärrä, mitä matemaattista tietoa egyptiläiset asettivat pyramideihinsa.

Yksityisiä kysymyksiä:

1. Mikä on pyramidi geometrisena kappaleena?

2. Miten pyramidin ainutlaatuinen muoto voidaan selittää matemaattisesti?

3. Mikä selittää pyramidin geometriset ihmeet?

4. Mikä selittää pyramidin muodon täydellisyyden?

Pyramidin määritelmä.

PYRAMIDI (kreikan sanasta pyramis, suku n. pyramidos) - monitahoinen, jonka kanta on monikulmio, ja loput pinnat ovat kolmioita, joilla on yhteinen kärki (kuva). Pohjan kulmien lukumäärän mukaan pyramidit ovat kolmion muotoisia, nelikulmaisia ​​jne.

PYRAMIDI - monumentaalinen rakenne, jolla on pyramidin geometrinen muoto (joskus myös porrastettu tai tornin muotoinen). Muinaisten egyptiläisten faaraoiden jättimäisiä hautoja 3.–2. vuosituhannella eKr. kutsutaan pyramideiksi. kuten myös muinaiset amerikkalaiset temppelien jalustat (Meksikossa, Guatemalassa, Hondurasissa, Perussa), jotka liittyvät kosmologisiin kultteisiin.

Onko mahdollista että Kreikan sana"pyramidi" tulee egyptiläisestä ilmaisusta per-em-us, eli termistä, joka tarkoitti pyramidin korkeutta. Tunnettu venäläinen egyptiologi V. Struve uskoi, että kreikkalainen "puram…j" tulee muinaisesta egyptiläisestä "p"-mr.

Historiasta. Tutkittuaan materiaalia Atanasyanin kirjoittajien oppikirjassa "Geometria". Butuzova ja muut, opimme, että: Monitahoista, joka koostuu n-kulmiosta A1A2A3 ... An ja n kolmiosta RA1A2, RA2A3, ..., RANA1, kutsutaan pyramidiksi. Monikulmio A1A2A3 ... An on pyramidin kanta ja kolmiot RA1A2, RA2A3, ..., PAnA1 ovat pyramidin sivupinnat, P on pyramidin huippu, segmentit RA1, RA2, .. ., RAn ovat sivureunat.

Tällaista pyramidin määritelmää ei kuitenkaan aina ollut olemassa. Esimerkiksi antiikin kreikkalainen matemaatikko, meille tulleiden matematiikan teoreettisten tutkielmien kirjoittaja Euclid määrittelee pyramidin kiinteäksi hahmoksi, jota rajoittavat tasot, jotka suppenevat yhdestä tasosta yhteen pisteeseen.

Mutta tätä määritelmää on kritisoitu jo antiikissa. Joten Heron ehdotti seuraava määritelmä pyramidit: "Tämä on kuvio, jota rajoittavat kolmiot, jotka yhtyvät yhteen pisteeseen ja joiden kanta on monikulmio."

Ryhmämme, kun vertaili näitä määritelmiä, tuli siihen tulokseen, että heillä ei ole selkeää "säätiön" käsitettä.

Tutkimme näitä määritelmiä ja löysimme Adrien Marie Legendren määritelmän, joka vuonna 1794 työssään "Elements of Geometry" määrittelee pyramidin seuraavasti: "Pyramidi on kehon hahmo, jonka muodostavat kolmiot, jotka yhtyvät yhteen pisteeseen ja päättyvät pyramidin eri puolille. tasainen pohja.”

Meistä näyttää siltä viimeinen määritelmä antaa selkeän käsityksen pyramidista, koska se puhuu siitä, että pohja on tasainen. Toinen pyramidin määritelmä ilmestyi 1800-luvun oppikirjaan: "pyramidi on avaruuskulma, jonka taso leikkaa."

Pyramidi geometrisena kappaleena.

Että. Pyramidi on monitahoinen, jonka yksi pinoista (kanta) on monikulmio, muut pinnat (sivut) ovat kolmioita, joilla on yksi yhteinen kärki (pyramidin huippu).

Pyramidin huipulta pohjan tasoon vedettyä kohtisuoraa kutsutaan pitkäh pyramidit.

Mielivaltaisen pyramidin lisäksi on olemassa oikea pyramidi, jonka pohjassa on säännöllinen monikulmio ja katkaistu pyramidi.

Kuvassa - pyramidi PABCD, ABCD - sen pohja, PO - korkeus.

Koko pinta-ala Pyramidia kutsutaan kaikkien sen pintojen pinta-alojen summaksi.

Täysi = Sside + Sbase, missä Sside on sivupintojen pinta-alojen summa.

pyramidin tilavuus löytyy kaavan mukaan:

V = 1/3Sbase h, missä Sosn. - perusalue h- korkeus.

Säännöllisen pyramidin akseli on suora viiva, joka sisältää sen korkeuden.
Apothem ST - säännöllisen pyramidin sivupinnan korkeus.

Säännöllisen pyramidin sivupinnan pinta-ala ilmaistaan ​​seuraavasti: Sivu. =1/2P h, jossa P on kannan ympärysmitta, h- sivupinnan korkeus (säännöllisen pyramidin apoteemi). Jos pyramidin ylittää pohjan suuntainen taso A'B'C'D', niin:

1) sivureunat ja korkeus jaetaan tällä tasolla suhteellisiin osiin;

2) leikkauksessa saadaan kantaa vastaava monikulmio A'B'C'D';

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Katkaistun pyramidin pohjat ovat samanlaisia ​​polygoneja ABCD ja A`B`C`D`, sivupinnat ovat puolisuunnikkaita.

Korkeus katkaistu pyramidi - tukien välinen etäisyys.

Katkaistu tilavuus pyramidi löytyy kaavasta:

V = 1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Säännöllisen katkaistun pyramidin sivupinta-ala ilmaistaan ​​seuraavasti: Sivu. = ½(P+P') h, jossa P ja P' ovat kantajen ympärysmitat, h- sivupinnan korkeus (juhlien katkaiseman säännöllisen apoteemi

Pyramidin osat.

Pyramidin leikkaukset sen yläosan läpi kulkevien tasojen mukaan ovat kolmioita.

Pyramidin kahden ei-viereisen sivureunan läpi kulkevaa osaa kutsutaan diagonaalinen leikkaus.

Jos leikkaus kulkee sivureunassa ja pohjan sivulla olevan pisteen läpi, tämä sivu on sen jälki pyramidin pohjan tasossa.

Poikkileikkaus, joka kulkee pyramidin pinnalla sijaitsevan pisteen läpi ja osuuden tietty jälki pohjan tasossa, rakentaminen tulisi suorittaa seuraavasti:

etsi tietyn pinnan tason ja pyramidileikkauksen jäljen leikkauspiste ja nimeä se;

rakentaa läpi kulkeva suora annettu piste ja tuloksena oleva leikkauspiste;

· Toista nämä vaiheet seuraaville kasvoille.

, joka vastaa suorakulmaisen kolmion jalkojen suhdetta 4:3. Tämä jalkojen suhde vastaa hyvin tunnettua suorakulmaista kolmiota, jonka sivut ovat 3:4:5, jota kutsutaan "täydelliseksi", "pyhäksi" tai "egyptiläiseksi" kolmioksi. Historioitsijoiden mukaan "egyptiläiselle" kolmiolle annettiin maaginen merkitys. Plutarch kirjoitti, että egyptiläiset vertasivat maailmankaikkeuden luonnetta "pyhään" kolmioon; he vertasivat symbolisesti pystysuoraa jalkaa aviomieheen, pohjaa vaimoon ja hypotenuusa siihen, mikä on syntynyt molemmista.

Kolmiolle 3:4:5 yhtäläisyys on tosi: 32 + 42 = 52, mikä ilmaisee Pythagoraan lauseen. Eikö tämä ole se teoreema, jota he halusivat jatkaa Egyptiläiset papit, rakentaa pyramidi kolmion perusteella 3:4:5? On vaikea löytää parempaa esimerkkiä havainnollistamaan Pythagoraan lausetta, jonka egyptiläiset tunsivat kauan ennen kuin Pythagoras löysi sen.

Siis nerokkaat luojat Egyptin pyramidit yritti tehdä vaikutuksen kaukaisiin jälkeläisiin tietonsa syvyydellä, ja he saavuttivat tämän valitsemalla "geometrisen pääidean" Cheopsin pyramidin - "kultaisen" suorakulmainen kolmio, ja Khafren pyramidille - "pyhä" tai "egyptiläinen" kolmio.

Hyvin usein tutkijat käyttävät tutkimuksessaan pyramidien ominaisuuksia kultaisen leikkauksen mittasuhteilla.

Matematiikassa tietosanakirjasta Kultaiselle leikkaukselle annetaan seuraava määritelmä - tämä on harmoninen jako, jako ääri- ja keskiarvosuhteessa - segmentin AB jakaminen kahteen osaan siten, että suurin osa sen AC:stä on keskiarvo verrannollinen koko segmentin AB välillä ja sen pienempi osa CB.

Janan kultaisen osan algebrallinen löytö AB = a pelkistyy yhtälön a ratkaisemiseksi: x = x: (a - x), jolloin x on suunnilleen yhtä suuri kuin 0,62a. x-suhde voidaan ilmaista murto-osina 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0,618, jossa 2, 3, 5, 8, 13, 21 ovat Fibonacci-lukuja.

Jakson AB kultaisen leikkauksen geometrinen rakentaminen suoritetaan seuraavasti: pisteessä B palautetaan kohtisuora AB:tä vastaan, segmentti BE \u003d 1/2 AB asetetaan sille, A ja E yhdistetään, DE \ u003d BE lykätään ja lopuksi AC \u003d AD, sitten yhtälö AB täyttyy: CB = 2: 3.

kultainen leikkaus käytetään usein taideteoksissa, arkkitehtuurissa, luonnossa. Eläviä esimerkkejä ovat Apollo Belvederen veistos, Parthenon. Parthenonin rakentamisen aikana käytettiin rakennuksen korkeuden suhdetta sen pituuteen ja tämä suhde on 0,618. Ympärillämme olevat esineet tarjoavat myös esimerkkejä kultaisesta suhteesta, esimerkiksi monien kirjojen sidosten leveys-pituussuhde on lähellä 0,618. Kun tarkastellaan lehtien sijoittelua yhteiseen kasvin varteen, voidaan huomata, että jokaisen kahden lehtiparin välissä kolmas sijaitsee kultaisen suhteen (diat) paikalla. Jokainen meistä "käyttää" kultaista suhdetta "käsissämme" - tämä on sormien sormien suhde.

Useiden matemaattisten papyrusten löytämisen ansiosta egyptiläiset ovat oppineet jotain muinaisista egyptiläisistä lasku- ja mittausjärjestelmistä. Niiden sisältämät tehtävät ratkaisivat kirjanoppineet. Yksi tunnetuimmista on Rhindin matemaattinen papyrus. Näitä arvoituksia tutkimalla egyptiläiset oppivat kuinka muinaiset egyptiläiset selviytyivät erilaisia ​​määriä jotka nousivat esiin laskettaessa painon, pituuden ja tilavuuden mittoja, joissa murtolukuja käytettiin usein, sekä kuinka ne käsittelivät kulmia.

Muinaiset egyptiläiset käyttivät kulmien laskentamenetelmää, joka perustui suorakulmaisen kolmion korkeuden ja pohjan suhteeseen. Ne ilmaisivat minkä tahansa kulman gradientin kielellä. Kaltevuusgradientti ilmaistiin kokonaisluvun suhteena, jota kutsutaan "sekediksi". Richard Pillins selittää teoksessa Mathematics in the Time of the Pharaohs: "Säännöllisen pyramidin seked on minkä tahansa neljän kolmion pinnan kaltevuus pohjan tasoon nähden, mitattuna n:nnellä vaakayksiköiden lukumäärällä pystysuoraa korkeusyksikköä kohti. . Siten tämä mittayksikkö vastaa nykyistä kaltevuuskulmamme kotangenttiamme. Siksi egyptiläinen sana "seked" liittyy meidän moderni sana"kaltevuus"".

Pyramidien numeerinen avain on niiden korkeuden suhteessa pohjaan. AT käytännössä- tämä on helpoin tapa tehdä malleja, joita tarvitaan oikean kallistuskulman jatkuvaan tarkistamiseen koko pyramidin rakentamisen ajan.

Egyptologit vakuuttaisivat meidät mielellään siitä, että jokainen faarao halusi ilmaista yksilöllisyytensä, mistä johtuu kunkin pyramidin kaltevuuskulmien erot. Mutta syy voi olla toinenkin. Ehkä he kaikki halusivat ilmentää erilaisia ​​symbolisia assosiaatioita eri suhteissa. Kuitenkin Khafren pyramidin kulma (perustuu kolmioon (3:4:5) näkyy Rhindin matemaattisen papyruksen pyramidien esittämissä kolmessa tehtävässä). Joten tämä asenne oli hyvin tuttu muinaisille egyptiläisille.

Ollakseni oikeudenmukainen egyptologeja kohtaan, jotka väittävät, että muinaiset egyptiläiset eivät tienneet 3:4:5-kolmiota, oletetaan, että hypotenuusan 5 pituutta ei koskaan mainittu. Mutta pyramideja koskevat matemaattiset ongelmat ratkaistaan ​​aina kulman - korkeuden suhteen pohjaan - perusteella. Koska hypotenuusan pituutta ei koskaan mainittu, pääteltiin, että egyptiläiset eivät koskaan laskeneet kolmannen sivun pituutta.

Muinaiset egyptiläiset tiesivät epäilemättä Gizan pyramideissa käytetyt korkeuden ja pohjan suhteet. On mahdollista, että nämä suhteet kullekin pyramidille valittiin mielivaltaisesti. Tämä on kuitenkin ristiriidassa numeerisen symbolismin merkityksen kanssa kaikentyyppisissä egyptiläisissä Kuvataide. On hyvin todennäköistä, että tällaisilla suhteilla oli suuri merkitys, koska ne ilmaisivat erityisiä uskonnollisia ajatuksia. Toisin sanoen koko Gizan kompleksi oli johdonmukaisen suunnittelun kohteena, joka oli suunniteltu heijastamaan jonkinlaista jumalallista teemaa. Tämä selittäisi, miksi suunnittelijat valitsivat kolmelle pyramidille eri kulmat.

Orionin salaisuudessa Bauval ja Gilbert esittivät vakuuttavia todisteita Gizan pyramidien yhteydestä Orionin tähdistöyn, erityisesti Orionin vyön tähtiin. Sama tähdistö on läsnä myytissä Isis ja Osiris, ja on syytä pitää jokaista pyramidia kuvana yhdestä kolmesta pääjumaluudesta - Osiris, Isis ja Horus.

IHMEÄ "GEOMETRIA".

Egyptin mahtavien pyramidien joukossa on erityinen paikka Farao Cheopsin suuri pyramidi (Khufu). Ennen kuin siirrymme Cheopsin pyramidin muodon ja koon analysointiin, meidän tulisi muistaa, mitä mittajärjestelmää egyptiläiset käyttivät. Egyptiläisillä oli kolme pituusyksikköä: "kyynärää" (466 mm), joka vastaa seitsemää "kämmentä" (66,5 mm), mikä puolestaan ​​​​vastaa neljää "sormea" (16,6 mm).

Analysoidaan Cheops-pyramidin kokoa (kuva 2) ukrainalaisen tiedemiehen Nikolai Vasjutinskin upeassa kirjassa "Kultainen osuus" (1990) annettujen perustelujen mukaisesti.

Useimmat tutkijat ovat yhtä mieltä siitä, että esimerkiksi pyramidin pohjan sivun pituus GF on yhtä suuri kuin L\u003d 233,16 m. Tämä arvo vastaa lähes täsmälleen 500 "kyynärää". Täysi noudattaminen 500 "kyynärää" on, jos "kyynärän" pituudeksi katsotaan 0,4663 m.

Pyramidin korkeus ( H) on tutkijoiden arvioitu eri tavalla 146,6-148,2 m. Ja riippuen pyramidin hyväksytystä korkeudesta, kaikki sen geometristen elementtien suhteet muuttuvat. Mistä johtuu pyramidin korkeusarvion erot? Tosiasia on, että tarkasti ottaen Cheopsin pyramidi on katkaistu. Sen ylälava on nykyään kooltaan noin 10 ´ 10 m ja sata vuotta sitten 6 ´ 6 m. On ilmeistä, että pyramidin huippu on purettu, eikä se vastaa alkuperäistä.

Pyramidin korkeutta arvioitaessa on otettava huomioon sellainen fyysinen tekijä kuin rakenteen "luonnos". Per pitkä aika kolossaalisen paineen vaikutuksesta (joka saavuttaa 500 tonnia alapinnan 1 m2:tä kohti) pyramidin korkeus laski alkuperäiseen korkeuteen verrattuna.

Mikä oli pyramidin alkuperäinen korkeus? Tämä korkeus voidaan luoda uudelleen, jos löydät pyramidin "geometrisen perusidean".

Kuva 2.

Vuonna 1837 englantilainen eversti G. Wise mittasi pyramidin pintojen kaltevuuskulman: se osoittautui yhtä suureksi kuin a= 51°51". Useimmat tutkijat tunnistavat tämän arvon vielä nykyäänkin. Kulman ilmoitettu arvo vastaa tangenttia (tg a), yhtä suuri kuin 1,27306. Tämä arvo vastaa pyramidin korkeuden suhdetta AC puoleen sen pohjasta CB(Kuva 2), so. AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

Ja tässä tutkijoilla oli suuri yllätys!.png" width="25" height="24">= 1,272. Vertaamalla tätä arvoa tg-arvoon a= 1,27306, näemme, että nämä arvot ovat hyvin lähellä toisiaan. Jos otamme kulman a\u003d 51 ° 50", eli pienennä sitä vain yhdellä kaaren minuutti, sitten arvo a tulee yhtä suureksi kuin 1,272, eli se osuu yhteen arvon kanssa. On huomattava, että vuonna 1840 G. Wise toisti mittauksensa ja selvensi, että kulman arvo a=51°50".

Nämä mittaukset ovat johtaneet tutkijat seuraavaan mielenkiintoinen hypoteesi: Cheopsin pyramidin kolmio ASV perustui suhteeseen AC / CB = = 1,272!

Harkitse nyt suorakulmaista kolmiota ABC, jossa jalkojen suhde AC / CB= (Kuva 2). Jos nyt suorakulmion sivujen pituudet ABC tarkoittaa x, y, z, ja ota myös huomioon, että suhde y/x= , sitten Pythagoraan lauseen mukaisesti pituus z voidaan laskea kaavalla:

Jos hyväksyt x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Kuva 3"Kultainen" suorakulmainen kolmio.

Suorakulmainen kolmio, jonka sivut liittyvät toisiinsa kuten t:kultainen" suorakulmainen kolmio.

Sitten, jos otamme pohjaksi hypoteesin, että Cheops-pyramidin tärkein "geometrinen idea" on "kultainen" suorakulmainen kolmio, niin täältä on helppo laskea Cheops-pyramidin "suunnittelu" korkeus. Se on yhtä suuri kuin:

H \u003d (L / 2) ´ \u003d 148,28 m.

Johdetakaamme nyt joitain muita suhteita Kheopsin pyramidille, jotka seuraavat "kultaisesta" hypoteesista. Erityisesti löydämme pyramidin ulkopinta-alan suhteen sen pohjan pinta-alaan. Tätä varten otamme jalan pituuden CB yksikköä kohti, eli: CB= 1. Mutta sitten pyramidin pohjan sivun pituus GF= 2 ja pohjan pinta-ala EFGH tulee olemaan yhtä suuri kuin SEFGH = 4.

Lasketaan nyt Cheops-pyramidin sivupinnan pinta-ala SD. Koska korkeus AB kolmio AEF on yhtä suuri kuin t, niin sivupinnan pinta-ala on yhtä suuri SD = t. Sitten pyramidin kaikkien neljän sivupinnan kokonaispinta-ala on 4 t, ja pyramidin ulkoisen kokonaispinta-alan suhde pohjapinta-alaan on yhtä suuri kuin kultainen suhde! Sitä se on - Cheopsin pyramidin tärkein geometrinen salaisuus!

Cheops-pyramidin "geometristen ihmeiden" ryhmään kuuluu todellisia ja kaukaa haettuja ominaisuuksia eri mitat pyramidissa.

Yleensä ne saadaan etsimällä jotain "vakiota", erityisesti numeroa "pi" (Ludolf-luku), joka on yhtä suuri kuin 3,14159...; luonnollisten logaritmien kantaluvut "e" (Napierin luku) ovat 2,71828...; luku "F", "kultaisen leikkauksen" numero on esimerkiksi 0,618 ... jne.

Voit nimetä esimerkiksi: 1) Herodotuksen omaisuus: (Korkeus) 2 \u003d 0,5 st. pää x Apothem; 2) V:n omaisuus. Hinta: Korkeus: 0,5 st. osn \u003d "Ф":n neliöjuuri; 3) M. Eistin ominaisuus: Pohjan ympärysmitta: 2 Korkeus = "Pi"; eri tulkinnassa - 2 rkl. pää : Korkeus = "Pi"; 4) G. Reberin ominaisuus: Piirretyn ympyrän säde: 0,5 st. pää = "F"; 5) K. Kleppishin omaisuus: (St. Main.) 2: 2 (st. Main. x Apothem) \u003d (st. Main. W. Apothem) \u003d 2 (St. Main. x Apothem) : (( 2. pää X Apothem) + (st. main) 2). Jne. Voit keksiä monia tällaisia ​​ominaisuuksia, varsinkin jos yhdistät kaksi vierekkäistä pyramidia. Esimerkiksi "A. Arefjevin ominaisuuksina" voidaan mainita, että ero Kheopsin pyramidin ja Khafren pyramidin tilavuuksien välillä on kaksi kertaa Menkauren pyramidin tilavuus...

monet mielenkiintoisia paikkoja Erityisesti pyramidien rakentamisesta "kultaisen leikkauksen" mukaan on kuvattu D. Hambidgen "Dynamic Symmetry in Architecture" ja M. Geekin kirjoissa "Aesthetics of Proportion in Nature and Art". Muista, että "kultainen leikkaus" on segmentin jako sellaisessa suhteessa, kun osa A on niin monta kertaa suurempi kuin osa B, kuinka monta kertaa A on pienempi kuin koko segmentti A + B. Suhde A / B on yhtä suuri kuin luku "Ф" == 1,618. .. "Kultaleikkauksen" käyttö on osoitettu ei vain yksittäisissä pyramideissa, vaan koko Gizan pyramidikompleksissa.

Mielenkiintoisin asia on kuitenkin se, että samaan Cheopsin pyramidiin "ei mahdu" niin paljon ihmeellisiä ominaisuuksia. Kun otat tietyn ominaisuuden yksitellen, voit "säätää" sitä, mutta kerralla ne eivät sovi - ne eivät ole samat, ne ovat ristiriidassa keskenään. Siksi, jos esimerkiksi kaikkia ominaisuuksia tarkasteltaessa otetaan alun perin yksi ja sama puoli pyramidin pohjasta (233 m), myös eri ominaisuuksien omaavien pyramidien korkeudet ovat erilaisia. Toisin sanoen on olemassa tietty "perhe" pyramideja, jotka ovat ulkoisesti samanlaisia ​​kuin Cheopsilla, mutta vastaavat erilaisia ​​ominaisuuksia. Huomaa, että "geometrisissa" ominaisuuksissa ei ole mitään erityisen ihmeellistä - paljon syntyy puhtaasti automaattisesti, itse hahmon ominaisuuksista. "Ihme" tulee pitää vain jotain ilmeisen mahdotonta muinaisille egyptiläisille. Tämä sisältää erityisesti "kosmiset" ihmeet, joissa Cheopsin pyramidin tai Gizan pyramidikompleksin mittoja verrataan joihinkin tähtitieteellisiin mittauksiin ja esitetään "parilliset" numerot: miljoona kertaa, miljardi kertaa vähemmän ja pian. Tarkastellaanpa joitain "kosmisia" suhteita.

Yksi lauseista on seuraava: "Jos jaamme pyramidin pohjan sivun tarkalla vuoden pituudella, saamme täsmälleen 10 miljoonasosan maan akselista." Laske: jaa 233 luvulla 365, saamme 0,638. Maan säde on 6378 km.

Toinen väite on itse asiassa edellisen vastakohta. F. Noetling huomautti, että jos käytät hänen keksimäänsä "egyptiläistä kyynärpäätä", niin pyramidin sivu vastaa "tarkinta kestoa aurinko vuosi, ilmaistuna lähimpään päivän miljardisosaan" - 365.540.903.777.

P. Smithin lausunto: "Pyramidin korkeus on täsmälleen yksi miljardisosa etäisyydestä Maan ja Auringon välillä." Vaikka korkeudeksi yleensä otetaan 146,6 m, Smith otti sen 148,2 m. Nykyaikaisten tutkamittausten mukaan maan kiertoradan puolipääakseli on 149 597 870 + 1,6 km. Tämä on keskimääräinen etäisyys Maan ja Auringon välillä, mutta perihelionissa se on 5 000 000 kilometriä pienempi kuin aphelionissa.

Viimeinen utelias lausunto:

"Kuinka selittää, että Cheopsin, Khafren ja Menkauren pyramidien massat liittyvät toisiinsa, kuten planeettojen Maa, Venus ja Mars massat?" Lasketaan. Kolmen pyramidin massat ovat suhteessa toisiinsa: Khafre - 0,835; Cheops - 1000; Mikerin - 0,0915. Kolmen planeetan massojen suhteet: Venus - 0,815; Maa - 1 000; Mars - 0,108.

Joten, skeptisisyydestä huolimatta, huomioikaa lausuntojen rakentamisen tunnettu harmonia: 1) pyramidin korkeus "avaruuteen menevänä" viivana - vastaa etäisyyttä Maan ja Auringon välillä; 2) pyramidin pohjan "substraattia" lähimpänä oleva puoli, eli Maata, vastaa maan säteestä ja maan kierrosta; 3) pyramidin tilavuudet (lue - massat) vastaavat Maata lähimpänä olevien planeettojen massojen suhdetta. Samanlainen "salaus" voidaan jäljittää esimerkiksi mehiläiskielellä, jonka on analysoinut Karl von Frisch. Emme kuitenkaan toistaiseksi kommentoi tätä.

PYRAMIDIEN MUOTO

Pyramidien kuuluisa tetraedrinen muoto ei ilmestynyt heti. Skytialaiset hautasivat maakukkuloiden - koukkujen - muodossa. Egyptiläiset rakensivat kivestä "kukkulia" - pyramideja. Tämä tapahtui ensimmäistä kertaa Ylä- ja Ala-Egyptin yhdistämisen jälkeen, 2700-luvulla eKr., jolloin III-dynastian perustaja, faarao Djoser (Zoser), joutui maan yhtenäisyyden vahvistamiseen.

Ja täällä historioitsijoiden mukaan tsaarin "uudella jumaluuskonseptilla" oli tärkeä rooli keskusvallan vahvistamisessa. Vaikka kuninkaalliset hautaukset erottuivat suuremmasta loistosta, ne eivät periaatteessa eronneet hoviaatelisten haudoista, ne olivat samoja rakenteita - mastabas. Muumion sisältävän sarkofagin kammion yläpuolelle kaadettiin suorakaiteen muotoinen pienistä kivistä koostuva kukkula, johon sitten asetettiin pieni rakennus suurista kivipaloista - "mastaba" (arabiaksi - "penkki"). Edeltäjänsä Sanakhtin mastaban paikalle farao Djoser pystytti ensimmäisen pyramidin. Se oli porrastettu ja oli näkyvä siirtymävaihe yhdestä arkkitehtonisesta muodosta toiseen, mastabasta pyramidiin.

Tällä tavalla viisas ja arkkitehti Imhotep "korotti" faaraon, jota myöhemmin pidettiin taikurina ja kreikkalaiset tunnistivat jumalan Asklepioksen. Oli kuin kuusi mastabaa olisi pystytetty peräkkäin. Lisäksi ensimmäinen pyramidi miehitti alueen 1125 x 115 metriä, ja sen arvioitu korkeus oli 66 metriä (egyptiläisten mittojen mukaan - 1000 "kämmentä"). Aluksi arkkitehti suunnitteli rakentavansa mastaban, mutta ei pitkulaisen, vaan neliömäisen. Myöhemmin sitä laajennettiin, mutta koska laajennus tehtiin alemmas, muodostui ikään kuin kaksi porrasta.

Tämä tilanne ei tyydyttänyt arkkitehtuuria, ja valtavan litteän mastaban ylätasolle Imhotep asetti kolme lisää, laskeen vähitellen ylöspäin. Hauta oli pyramidin alla.

Useita porrastettuja pyramideja tunnetaan, mutta myöhemmin rakentajat siirtyivät rakentamaan tutumpia tetraedrisiä pyramideja. Miksei kuitenkaan kolmiomainen tai vaikkapa kahdeksankulmainen? Epäsuoran vastauksen antaa se tosiasia, että melkein kaikki pyramidit on suunnattu täydellisesti neljään pääpisteeseen ja siksi niillä on neljä sivua. Lisäksi pyramidi oli "talo", nelikulmaisen hautakammion kuori.

Mutta mikä aiheutti kasvojen kaltevuuskulman? Kirjassa "Suhteellisuusperiaate" on koko luku omistettu tälle: "Mikä voisi määrittää pyramidien kulmat." Erityisesti on osoitettu, että "kuva, johon vanhan valtakunnan suuret pyramidit vetoavat, on kolmio, jonka yläosassa on suora kulma.

Avaruudessa se on puolioktaedri: pyramidi, jossa pohjan reunat ja sivut ovat yhtä suuret, pinnat ovat tasasivuisia kolmioita. Tästä aiheesta on tiettyjä pohdintoja Hambidgen, Geekin ja muiden kirjoissa.

Mitä hyötyä puolioktaedrin kulmasta on? Arkeologien ja historioitsijoiden kuvausten mukaan jotkut pyramidit romahtivat oman painonsa alla. Tarvittiin "kestävyyskulma", kulma, joka oli energeettisesti luotettavin. Puhtaasti empiirisesti tämä kulma voidaan ottaa kärkikulmasta murenevan kuivan hiekan kasassa. Mutta saadaksesi tarkkoja tietoja, sinun on käytettävä mallia. Kun otat neljä lujasti kiinnitettyä palloa, sinun on asetettava viides niiden päälle ja mitattava kaltevuuskulmat. Tässä voit kuitenkin tehdä virheen, joten teoreettinen laskelma auttaa: sinun tulee yhdistää pallojen keskustat viivoilla (henkisesti). Pohjassa saat neliön, jonka sivu on kaksi kertaa säde. Neliö on vain pyramidin kanta, jonka reunojen pituus on myös kaksi kertaa säde.

Siten tiheä 1:4-tyyppisten pallojen pakkaus antaa meille säännöllisen puolioktaedrin.

Miksi monet pyramidit, jotka vetoavat kohti samanlaista muotoa, eivät kuitenkaan säilytä sitä? Todennäköisesti pyramidit ovat vanhenemassa. Vastoin kuuluisaa sanontaa:

"Kaikki maailmassa pelkää aikaa, ja aika pelkää pyramideja", pyramidien rakennusten täytyy ikääntyä, ne voivat ja niiden tulee tapahtua paitsi ulkoisen sään prosesseja, myös sisäisiä "kutistumisprosesseja" , josta pyramidit voivat laskea. Kutistuminen on mahdollista myös siksi, että kuten D. Davidovitsin teoksista selvisi, muinaiset egyptiläiset käyttivät tekniikkaa tehdä lohkoja kalkkilastuista, toisin sanoen "betonista". Nämä prosessit voisivat selittää syyn Kairosta 50 km etelään sijaitsevan Meidum-pyramidin tuhoutumiseen. Se on 4600 vuotta vanha, pohjan mitat ovat 146 x 146 m, korkeus 118 m. "Miksi se on niin silvottu?" kysyy V. Zamarovsky. "Tavalliset viittaukset ajan tuhoisiin vaikutuksiin ja "kiven käyttöön muissa rakennuksissa" eivät sovi tähän.

Loppujen lopuksi suurin osa sen lohkoista ja pintalaatoista on pysynyt paikoillaan tähän päivään asti raunioina sen juurella. "Kuten tulemme näkemään, monet säännökset saavat ajattelemaan jopa sitä tosiasiaa, että kuuluisa pyramidi Cheops myös "kutistunut". Joka tapauksessa kaikissa muinaisissa kuvissa pyramidit ovat teräviä ...

Pyramidien muoto voidaan luoda myös jäljitelmällä: joitain luonnollisia kuvioita, "ihmeellistä täydellisyyttä", esimerkiksi joitain kiteitä oktaedrin muodossa.

Tällaiset kiteet voivat olla timantti- ja kultakiteitä. Tyypillistä suuri määrä"leikkaavat" merkit sellaisille käsitteille kuin farao, aurinko, kulta, timantti. Kaikkialla - jalo, loistava (loistava), upea, virheetön ja niin edelleen. Yhtäläisyydet eivät ole sattumaa.

Kuten tiedätte, aurinkokultti oli tärkeä osa uskontoa. muinainen Egypti. "Riippumatta siitä, kuinka käännämme suurimman pyramidin nimen", yksi nykyaikaisista oppikirjoista sanoo "Sky Khufu" tai "Sky Khufu", se tarkoitti, että kuningas on aurinko. Jos Khufu, voimansa loistossa, kuvitteli olevansa toinen aurinko, hänen poikansa Jedef-Ra tuli ensimmäinen Egyptin kuninkaista, joka alkoi kutsua itseään "Ra:n pojaksi", toisin sanoen hänen pojakseen. Aurinko. Melkein kaikki kansat symboloivat aurinkoa "aurinkometallina", kullana. "Iso kirkkaan kullan levy" - niin egyptiläiset kutsuivat meitä päivänvalo. Egyptiläiset tunsivat kullan erittäin hyvin, he tunsivat sen alkuperäiset muodot, joissa kultakiteet voivat ilmaantua oktaedrien muodossa.

"Muotonäytteenä" "aurinkokivi" - timantti - on myös mielenkiintoinen täällä. Timantin nimi on peräisin arabimaailma, "almas" - vaikein, vaikein, tuhoutumaton. Muinaiset egyptiläiset tiesivät timantin ja sen ominaisuudet ovat melko hyvät. Joidenkin kirjoittajien mukaan he käyttivät jopa pronssiputkia timanttileikkureilla poraamiseen.

Tällä hetkellä tärkein timanttien toimittaja on Etelä-Afrikka, mutta Länsi-Afrikassa on myös runsaasti timantteja. Malin tasavallan aluetta kutsutaan siellä jopa "timanttimaaksi". Samaan aikaan Dogon asuu Malin alueella, jonka kanssa paleovisit-hypoteesin kannattajat panevat monia toiveita (katso alla). Timantit eivät voineet olla syynä muinaisten egyptiläisten yhteyksiin tälle alueelle. Kuitenkin tavalla tai toisella, mutta on mahdollista, että juuri kopioimalla timantin ja kullan kiteiden oktaedrejä muinaiset egyptiläiset jumalailivat siten "tuhoutumattomiksi" kuten timantit ja "loistaviksi" kuten kultafaaraot, Auringon pojat. , verrattavissa vain useimpiin upeita luomuksia luonto.

Johtopäätös:

Tutkittuamme pyramidia geometrisena kappaleena, tutustumalla sen elementteihin ja ominaisuuksiin, olimme vakuuttuneita pyramidin muodon kauneudesta annetun mielipiteen pätevyydestä.

Tutkimuksemme tuloksena tulimme siihen tulokseen, että egyptiläiset, kerättyään arvokkaimman matemaattisen tiedon, sisälsivät sen pyramidiin. Siksi pyramidi on todella luonnon ja ihmisen täydellisin luomus.

BIBLIOGRAFIA

"Geometria: Proc. 7-9 solulle. Yleissivistävä koulutus oppilaitokset \ jne. - 9. painos - M .: Koulutus, 1999

Matematiikan historia koulussa, M: "Enlightenment", 1982

Geometria luokka 10-11, M: "Enlightenment", 2000

Peter Tompkins "Cheopsin suuren pyramidin salaisuudet", M: "Centropoligraph", 2005

Internet-resurssit

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html