Diskreetin satunnaismuuttujan matemaattisen odotuksen laskelmat. Matemaattisen odotuksen kaava. Diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki

Todennäköisyysteoria on matematiikan erityinen haara, jota opiskelevat vain korkeakoulujen opiskelijat. Rakastatko laskelmia ja kaavoja? Etkö pelkää mahdollisuuksia tutustua normaalijakaumaan, ensemblen entropiaan, matemaattiseen odotukseen ja diskreetin satunnaismuuttujan varianssiin? Sitten tämä aihe kiinnostaa sinua suuresti. Tutustutaan joihinkin tämän tieteen osan tärkeimpiin peruskäsitteisiin.

Muistetaan perusasiat

Vaikka muistaisitkin yksinkertaisimmat todennäköisyysteorian käsitteet, älä unohda artikkelin ensimmäisiä kappaleita. Tosiasia on, että ilman selkeää perusasioiden ymmärtämistä et voi työskennellä alla käsiteltyjen kaavojen kanssa.

On siis jokin satunnainen tapahtuma, jokin kokeilu. Tehtyjen toimien seurauksena voimme saada useita tuloksia - jotkut niistä ovat yleisempiä, toiset vähemmän yleisiä. Tapahtuman todennäköisyys on todellisuudessa saatujen yhden tyyppisten tulosten määrän suhde mahdollisten tulosten kokonaismäärään. Vain kun tiedät tämän käsitteen klassisen määritelmän, voit alkaa tutkia jatkuvien satunnaismuuttujien matemaattista odotusta ja hajontaa.

Keskiverto

Koulussa, matematiikan tunneilla, aloit työskennellä aritmeettisen keskiarvon kanssa. Tätä käsitettä käytetään laajalti todennäköisyysteoriassa, joten sitä ei voida jättää huomiotta. Meille tällä hetkellä pääasia on, että kohtaamme sen satunnaismuuttujan matemaattisen odotuksen ja varianssin kaavoissa.

Meillä on lukujono ja haluamme löytää aritmeettisen keskiarvon. Meiltä vaaditaan vain summaamalla kaikki saatavilla oleva ja jakaminen sekvenssin elementtien lukumäärällä. Olkoon lukuja 1 - 9. Alkioiden summa on 45 ja jaamme tämän arvon 9:llä. Vastaus: - 5.

Dispersio

Tieteellisesti varianssi on saatujen piirrearvojen aritmeettisesta keskiarvosta poikkeamien keskimääräinen neliö. Yksi on merkitty isolla latinalaiskirjaimella D. Mitä sen laskemiseen tarvitaan? Jokaiselle sekvenssin elementille lasketaan käytettävissä olevan luvun ja aritmeettisen keskiarvon välinen erotus ja se neliöitetään. Arvoja tulee olemaan tarkalleen niin monta kuin voi olla tuloksia harkitsemamme tapahtumalla. Seuraavaksi teemme yhteenvedon kaikesta vastaanotetusta ja jaamme sekvenssin elementtien lukumäärällä. Jos meillä on viisi mahdollista tulosta, jaa se viidellä.

Varianssilla on myös ominaisuuksia, jotka sinun tulee muistaa, jotta voit soveltaa sitä tehtäviä ratkaistaessa. Esimerkiksi, jos satunnaismuuttujaa suurennetaan X kertaa, varianssi kasvaa X kertaa neliö (eli X*X). Se ei ole koskaan pienempi kuin nolla, eikä se riipu arvojen siirtämisestä yhtä suurella arvolla ylös tai alas. Myös riippumattomissa kokeissa summan varianssi on yhtä suuri kuin varianssien summa.

Nyt on ehdottomasti tarkasteltava esimerkkejä diskreetin satunnaismuuttujan varianssista ja matemaattisesta odotuksesta.

Oletetaan, että suoritamme 21 koetta ja saamme 7 erilaista tulosta. Tarkastelimme kutakin niistä 1, 2, 2, 3, 4, 4 ja 5 kertaa. Mikä tulee olemaan varianssi?

Ensin lasketaan aritmeettinen keskiarvo: elementtien summa on tietysti 21. Jaamme sen 7:llä, jolloin saadaan 3. Nyt vähennetään 3 jokaisesta alkuperäisen sekvenssin luvusta, neliötetään jokainen arvo ja lasketaan tulokset yhteen. . Osoittautuu, että 12. Nyt meidän on jaettava luku elementtien lukumäärällä, ja näyttää siltä, ​​että siinä kaikki. Mutta siinä on saalis! Keskustellaan siitä.

Riippuvuus kokeiden määrästä

Osoittautuu, että varianssia laskettaessa nimittäjä voi olla toinen kahdesta numerosta: joko N tai N-1. Tässä N on suoritettujen kokeiden lukumäärä tai sekvenssin elementtien lukumäärä (joka on olennaisesti sama asia). Mistä se riippuu?

Jos testien lukumäärä mitataan sadoissa, niin nimittäjään on laitettava N. Jos yksiköissä, niin N-1. Tiedemiehet päättivät piirtää rajan melko symbolisesti: nykyään se kulkee numeroa 30 pitkin. Jos teimme alle 30 koetta, jaamme määrän N-1:llä ja jos enemmän, niin N:llä.

Tehtävä

Palataan esimerkkiimme varianssi- ja odotusongelman ratkaisemisesta. Saimme väliluvun 12, joka piti jakaa N:llä tai N-1:llä. Koska suoritimme 21 koetta, mikä on vähemmän kuin 30, valitsemme toisen vaihtoehdon. Joten vastaus on: varianssi on 12 / 2 = 2.

Odotettu arvo

Siirrytään toiseen käsitteeseen, jota meidän on tarkasteltava tässä artikkelissa. Matemaattinen odotus on tulos, kun kaikki mahdolliset tulokset kerrotaan vastaavilla todennäköisyyksillä. On tärkeää ymmärtää, että saatu arvo, samoin kuin varianssin laskennan tulos, saadaan vain kerran koko tehtävälle riippumatta siitä, kuinka monta tulosta siinä otetaan huomioon.

Matemaattinen odotuskaava on melko yksinkertainen: otamme tuloksen, kerromme sen todennäköisyydellä, lisäämme saman toiselle, kolmannelle tulokselle jne. Kaikki tähän käsitteeseen liittyvä on helppo laskea. Esimerkiksi matemaattisten odotusten summa on yhtä suuri kuin summan matemaattinen odotus. Sama pätee työhön. Kaikki todennäköisyysteorian suuret eivät salli näin yksinkertaisten operaatioiden suorittamista. Otetaan tehtävä ja lasketaan kahden tutkimamme käsitteen arvo kerralla. Lisäksi teoria häiritsi meitä - on aika harjoitella.

Vielä yksi esimerkki

Suoritimme 50 koetta ja saimme 10 erilaista tulosta - numerot 0 - 9 - joita esiintyi vaihtelevissa prosenteissa. Nämä ovat vastaavasti: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Muista, että saadaksesi todennäköisyydet, sinun on jaettava prosenttiarvot 100:lla. Siten saamme 0,02; 0.1 jne. Esitetään esimerkki satunnaismuuttujan varianssin ja matemaattisen odotuksen ongelman ratkaisemisesta.

Laskemme aritmeettisen keskiarvon peruskoulusta muistamallamme kaavalla: 50/10 = 5.

Käännetään nyt todennäköisyydet tulosten lukumääräksi "palasina", jotta laskeminen olisi helpompaa. Saamme 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 ja 9. Vähennä jokaisesta saadusta arvosta aritmeettinen keskiarvo, jonka jälkeen neliöimme jokaisen saadun tuloksen. Katso, miten tämä tehdään esimerkin ensimmäisellä elementillä: 1 - 5 = (-4). Lisäksi: (-4) * (-4) = 16. Muille arvoille, tee nämä toiminnot itse. Jos teit kaiken oikein, kaiken lisäämisen jälkeen saat 90.

Jatketaan varianssin ja keskiarvon laskemista jakamalla 90 N:llä. Miksi valitsemme N emmekä N-1? Se on totta, koska tehtyjen kokeiden määrä ylittää 30. Joten: 90/10 = 9. Saimme dispersion. Jos saat toisen numeron, älä ole epätoivoinen. Todennäköisesti teit banaalin virheen laskelmissa. Tarkista, mitä kirjoitit, niin varmasti kaikki loksahtaa paikoilleen.

Lopuksi muistetaan matemaattinen odotuskaava. Emme anna kaikkia laskelmia, kirjoitamme vain vastauksen, jonka voit tarkistaa suoritettuasi kaikki vaaditut toimenpiteet. Odotettu arvo on 5,48. Muistamme vain, kuinka toimintoja suoritetaan käyttämällä esimerkkiä ensimmäisistä elementeistä: 0 * 0,02 + 1 * 0,1 ... ja niin edelleen. Kuten näet, me yksinkertaisesti kerromme tuloksen arvon sen todennäköisyydellä.

Poikkeama

Toinen dispersioon ja matemaattiseen odotukseen läheisesti liittyvä käsite on keskihajonta. Sitä merkitään joko latinalaisilla kirjaimilla sd tai kreikkalaisilla pienillä kirjaimilla "sigma". Tämä konsepti osoittaa, kuinka arvot keskimäärin poikkeavat keskeisestä ominaisuudesta. Sen arvon löytämiseksi sinun on laskettava varianssin neliöjuuri.

Jos piirrät normaalijakauman ja haluat nähdä neliöidyn poikkeaman suoraan siinä, tämä voidaan tehdä useassa vaiheessa. Ota puolet kuvasta tilan vasemmalle tai oikealle puolelle (keskiarvo), piirrä kohtisuora vaaka-akseliin nähden niin, että tuloksena olevien lukujen alueet ovat yhtä suuret. Jakauman keskikohdan ja tuloksena olevan vaaka-akselin projektion välisen segmentin arvo on keskihajonta.

Ohjelmisto

Kuten kaavojen kuvauksista ja esitetyistä esimerkeistä ilmenee, varianssin ja matemaattisen odotuksen laskeminen ei ole aritmeettiselta kannalta helpoin toimenpide. Jotta ei tuhlata aikaa, on järkevää käyttää korkea-asteen koulutuksessa käytettyä ohjelmaa - sitä kutsutaan nimellä "R". Siinä on toimintoja, joiden avulla voit laskea arvoja monille käsitteille tilastoista ja todennäköisyysteoriasta.

Voit esimerkiksi määrittää arvojen vektorin. Tämä tehdään seuraavasti: vektori<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Lopulta

Dispersio ja matemaattinen odotus ovat niitä, joita ilman on vaikea laskea mitään tulevaisuudessa. Yliopistojen luentojen pääkurssilla ne huomioidaan jo aineen opiskelun ensimmäisinä kuukausina. Juuri näiden yksinkertaisten käsitteiden ymmärtämättömyyden ja kyvyttömyyden vuoksi laskea niitä monet opiskelijat alkavat välittömästi jäädä jälkeen ohjelmasta ja saavat myöhemmin istunnosta huonoja arvosanoja, mikä vie heiltä stipendejä.

Harjoittele vähintään yksi viikko puoli tuntia päivässä ja ratkaise tehtäviä, jotka ovat samanlaisia ​​kuin tässä artikkelissa. Sitten missä tahansa todennäköisyysteoriakokeessa selviät esimerkeistä ilman vieraita vinkkejä ja huijauslehtiä.

DSW:n ominaisuudet ja niiden ominaisuudet. Matemaattinen odotus, varianssi, keskihajonta

Jakaumalaki luonnehtii satunnaismuuttujaa täysin. Kuitenkin, kun jakautumislakia ei ole mahdollista löytää tai sitä ei vaadita, voidaan rajoittua arvojen, joita kutsutaan satunnaismuuttujan numeerisiksi ominaisuuksiksi, löytämiseen. Nämä suureet määräävät jonkin keskiarvon, jonka ympärille satunnaismuuttujan arvot ryhmitellään, ja niiden hajaantumisasteen tämän keskiarvon ympärillä.

matemaattinen odotus Diskreetti satunnaismuuttuja on satunnaismuuttujan kaikkien mahdollisten arvojen ja niiden todennäköisyyksien tulojen summa.

Matemaattinen odotus on olemassa, jos yhtälön oikealla puolella olevat sarjat konvergoivat absoluuttisesti.

Todennäköisyyden kannalta voidaan sanoa, että matemaattinen odotus on suunnilleen yhtä suuri kuin satunnaismuuttujan havaittujen arvojen aritmeettinen keskiarvo.

Esimerkki. Diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki tunnetaan. Etsi matemaattinen odotus.

X
s	0.2	0.3	0.1	0.4

Päätös:

9.2 Odotusominaisuudet

1. Vakion arvon matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin itse vakio.

2. Odotusmerkistä voidaan ottaa pois vakiotekijä.

3. Kahden riippumattoman satunnaismuuttujan tulon matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin niiden matemaattisten odotusten tulo.

Tämä ominaisuus on voimassa mielivaltaiselle määrälle satunnaismuuttujia.

4. Kahden satunnaismuuttujan summan matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin termien matemaattisten odotusten summa.

Tämä ominaisuus pätee myös mielivaltaiselle määrälle satunnaismuuttujia.

Tehdään n riippumatonta koetta, joissa tapahtuman A esiintymistodennäköisyys on yhtä suuri kuin p.

Lause. Tapahtuman A esiintymisten lukumäärän matemaattinen odotus M(X) n riippumattomassa kokeessa on yhtä suuri kuin kokeiden lukumäärän ja tapahtuman esiintymistodennäköisyyden tulo kussakin kokeessa.

Esimerkki. Etsi satunnaismuuttujan Z matemaattinen odotus, jos X:n ja Y:n matemaattiset odotukset tunnetaan: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.

Päätös:

9.3 Diskreetin satunnaismuuttujan hajonta

Matemaattinen odotus ei kuitenkaan voi täysin luonnehtia satunnaista prosessia. Matemaattisen odotuksen lisäksi on tarpeen ottaa käyttöön arvo, joka kuvaa satunnaismuuttujan arvojen poikkeamaa matemaattisesta odotuksesta.

Tämä poikkeama on yhtä suuri kuin satunnaismuuttujan ja sen matemaattisen odotuksen välinen ero. Tässä tapauksessa poikkeaman matemaattinen odotusarvo on nolla. Tämä selittyy sillä, että jotkut mahdolliset poikkeamat ovat positiivisia, toiset negatiivisia ja niiden keskinäisen kumoamisen seurauksena saadaan nolla.

Dispersio (sironta) Diskreettiä satunnaismuuttujaa kutsutaan matemaattiseksi odotukseksi satunnaismuuttujan neliöidystä poikkeamasta sen matemaattisesta odotuksesta.

Käytännössä tämä varianssin laskentatapa on hankala, koska johtaa hankalia laskelmiin suurelle määrälle satunnaismuuttujan arvoja.

Siksi käytetään toista menetelmää.

Lause. Varianssi on yhtä suuri kuin satunnaismuuttujan X neliön matemaattisen odotuksen ja sen matemaattisen odotuksen neliön välinen ero.

Todiste. Kun otetaan huomioon se tosiasia, että matemaattinen odotus M (X) ja matemaattisen odotuksen neliö M 2 (X) ovat vakioarvoja, voidaan kirjoittaa:

Esimerkki. Etsi diskreetin satunnaismuuttujan varianssi, jonka jakautumislain antaa.

X
X 2
R	0.2	0.3	0.1	0.4

Päätös:.

9.4 Dispersio-ominaisuudet

1. Vakioarvon hajonta on nolla. .

2. Dispersiomerkistä voidaan ottaa vakiokerroin neliöimällä se. .

3. Kahden riippumattoman satunnaismuuttujan summan varianssi on yhtä suuri kuin näiden muuttujien varianssien summa. .

4. Kahden riippumattoman satunnaismuuttujan eron varianssi on yhtä suuri kuin näiden muuttujien varianssien summa. .

Lause. Tapahtuman A esiintymistodennäköisyyksien varianssi n riippumattomassa kokeessa, joissa kussakin tapahtuman esiintymistodennäköisyys p on vakio, on yhtä suuri kuin kokeiden lukumäärän ja toteutumistodennäköisyyksien ja toteutumattomuuden tulo. tapahtumasta kussakin kokeessa.

9.5 Diskreetin satunnaismuuttujan keskihajonta

Vakiopoikkeama satunnaismuuttujaa X kutsutaan varianssin neliöjuureksi.

Lause. Äärillisen määrän toisistaan ​​riippumattomien satunnaismuuttujien summan keskihajonta on yhtä suuri kuin näiden muuttujien keskihajonnan neliösumman neliöjuuri.

Matemaattinen odotus on määritelmä

Mat odottaa yksi matemaattisen tilaston ja todennäköisyysteorian tärkeimmistä käsitteistä, joka kuvaa arvojen jakautumista tai todennäköisyydet Satunnaismuuttuja. Yleensä ilmaistaan ​​satunnaismuuttujan kaikkien mahdollisten parametrien painotettuna keskiarvona. Sitä käytetään laajasti teknisessä analyysissä, numerosarjojen tutkimuksessa, jatkuvien ja pitkäaikaisten prosessien tutkimuksessa. Se on tärkeä riskien arvioinnissa, hintaindikaattoreiden ennustamisessa rahoitusmarkkinoilla kaupankäynnissä, ja sitä käytetään pelitaktiikkojen strategioiden ja menetelmien kehittämisessä. uhkapeliteoria.

Matti odottaa- Tämä satunnaismuuttujan keskiarvo, jakauma todennäköisyydet satunnaismuuttuja otetaan huomioon todennäköisyysteoriassa.

Mat odottaa satunnaismuuttujan keskiarvon mitta todennäköisyysteoriassa. Satunnaismuuttujan matemaattinen odotus x merkitty M(x).

Matemaattinen odotus (populaatiokeskiarvo) on

Mat odottaa

Mat odottaa todennäköisyysteoriassa kaikkien mahdollisten arvojen painotettu keskiarvo, jotka tämä satunnaismuuttuja voi saada.

Mat odottaa satunnaismuuttujan kaikkien mahdollisten arvojen tulojen summa näiden arvojen todennäköisyyksillä.

Matemaattinen odotus (populaatiokeskiarvo) on

Mat odottaa keskimääräinen hyöty tietystä päätöksestä edellyttäen, että tällaista päätöstä voidaan tarkastella suurten lukujen ja pitkän matkan teorian puitteissa.

Mat odottaa uhkapeliteoriassa voittojen määrä, jonka keinottelija voi ansaita tai menettää keskimäärin jokaisesta vedosta. Uhkapelien kielellä keinottelijat Tätä kutsutaan joskus "etuksi". keinottelija" (jos se on positiivinen keinottelijalle) tai "talon etu" (jos se on negatiivinen keinottelijalle).

Matemaattinen odotus (populaatiokeskiarvo) on

Mat odottaa voitto per voitto kerrottuna keskiarvolla voitto, miinus tappio kerrottuna keskimääräisellä tappiolla.

Satunnaismuuttujan matemaattinen odotus matemaattisessa teoriassa

Yksi satunnaismuuttujan tärkeistä numeerisista ominaisuuksista on odotusarvo. Otetaan käyttöön satunnaismuuttujien järjestelmän käsite. Tarkastellaan satunnaismuuttujien joukkoa, jotka ovat saman satunnaiskokeen tuloksia. Jos on yksi järjestelmän mahdollisista arvoista, niin tapahtuma vastaa tiettyä todennäköisyyttä, joka täyttää Kolmogorovin aksioomit. Satunnaismuuttujien mahdollisille arvoille määriteltyä funktiota kutsutaan yhteisjakaumalakiksi. Tämän toiminnon avulla voit laskea minkä tahansa tapahtuman todennäköisyydet. Erityisesti nivel laki satunnaismuuttujien jakauma, joka ottaa arvot joukosta ja, annetaan todennäköisyyksien avulla.

Termi "matto. odotus” esitteli Pierre Simon Marquis de Laplace (1795), ja se sai alkunsa käsitteestä ”voiton odotettu arvo”, joka ilmestyi ensimmäisen kerran 1600-luvulla uhkapeliteoriassa Blaise Pascalin ja Christian Huygensin teoksissa. Ensimmäisen täydellisen teoreettisen ymmärryksen ja arvioinnin tästä käsitteestä antoi kuitenkin Pafnuty Lvovich Chebyshev (1800-luvun puoliväli).

Laki satunnaisnumeeristen muuttujien jakaumat (jakaumafunktio ja jakauman sarja tai todennäköisyystiheys) kuvaavat täysin satunnaismuuttujan käyttäytymistä. Mutta useissa ongelmissa riittää, että tiedetään joitain tutkittavan suuren numeerisia ominaisuuksia (esimerkiksi sen keskiarvo ja mahdollinen poikkeama siitä), jotta voidaan vastata esitettyyn kysymykseen. Satunnaismuuttujien tärkeimmät numeeriset ominaisuudet ovat odotusarvo, varianssi, moodi ja mediaani.

Diskreetin satunnaismuuttujan matemaattinen odotus on sen mahdollisten arvojen ja niitä vastaavien todennäköisyyksien tulojen summa. Joskus matto. Odotusta kutsutaan painotetuksi keskiarvoksi, koska se on suunnilleen yhtä suuri kuin satunnaismuuttujan havaittujen arvojen aritmeettinen keskiarvo suuressa määrässä kokeita. Odotusmaton määritelmästä seuraa, että sen arvo ei ole pienempi kuin satunnaismuuttujan pienin mahdollinen arvo eikä suurempi kuin suurin. Satunnaismuuttujan matemaattinen odotus on ei-satunnainen (vakio) muuttuja.

Matemaattisella odotuksella on yksinkertainen fysikaalinen merkitys: jos yksikkömassa asetetaan suoralle viivalle, sijoitetaan massaa joihinkin pisteisiin (diskreetti jakauman saamiseksi) tai "siivotaan" se tietyllä tiheydellä (absoluuttisen jatkuvaa jakaumaa varten), niin maton odotusta vastaava piste on koordinaatti "painopisteen" suora.

Satunnaismuuttujan keskiarvo on tietty luku, joka on ikään kuin sen "edustaja" ja korvaa sen karkeissa likimääräisissä laskelmissa. Kun sanomme: "lampun keskimääräinen toiminta-aika on 100 tuntia" tai "keskimääräinen törmäyspiste siirtyy kohteeseen nähden 2 m oikealle", osoitamme tällä satunnaismuuttujan tietyn numeerisen ominaisuuden, joka kuvaa sen sijainti numeerisella akselilla, ts. sijainnin kuvaus.

Tilanteen ominaisuuksista todennäköisyysteoriassa tärkein rooli on satunnaismuuttujan odotuksella, jota joskus kutsutaan yksinkertaisesti satunnaismuuttujan keskiarvoksi.

Harkitse satunnaismuuttujaa X, jolla on mahdollisia arvoja x1, x2, …, xn todennäköisyyksien kanssa p1, p2, …, pn. Meidän on karakterisoitava jollakin numerolla satunnaismuuttujan arvojen sijainti x-akselilla ottaen huomioon että näillä arvoilla on erilaiset todennäköisyydet. Tätä tarkoitusta varten on luonnollista käyttää arvojen ns. "painotettua keskiarvoa". xi, ja jokainen arvo xi keskiarvon laskemisen aikana tulee ottaa huomioon "painolla", joka on verrannollinen tämän arvon todennäköisyyteen. Näin ollen laskemme satunnaismuuttujan keskiarvon X, jota me merkitsemme M|X|:

Tätä painotettua keskiarvoa kutsutaan satunnaismuuttujan mat-odotukseksi. Näin ollen otimme huomioon yhden tärkeimmistä todennäköisyysteorian käsitteistä - maton käsitteen. odotuksia. Matto. Satunnaismuuttujan odotus on satunnaismuuttujan kaikkien mahdollisten arvojen tulojen ja näiden arvojen todennäköisyyksien summa.

Matto. satunnaismuuttujan odotus X johtuen omituisesta riippuvuudesta satunnaismuuttujan havaittujen arvojen aritmeettisesta keskiarvosta suurella määrällä kokeita. Tämä riippuvuus on samaa tyyppiä kuin taajuuden ja todennäköisyyden välinen riippuvuus, nimittäin: suurella määrällä kokeita satunnaismuuttujan havaittujen arvojen aritmeettinen keskiarvo lähestyy (konvergoi todennäköisyydellä) mattoansa. odottaa. Frekvenssin ja todennäköisyyden välisen suhteen olemassaolosta voidaan päätellä samanlaisen suhteen olemassaolo aritmeettisen keskiarvon ja matemaattisen odotuksen välillä. Todellakin, harkitse satunnaismuuttujaa X, jolle on ominaista sarja jakaumia:

Anna sen tuottaa N riippumattomia kokeita, joista jokaisessa arvo X saa tietyn arvon. Oletetaan arvo x1 ilmestyi m1 kertaa, arvo x2 ilmestyi m2 kertaa, yleinen merkitys xi ilmestyi mi kertaa. Lasketaan X:n havaittujen arvojen aritmeettinen keskiarvo, joka toisin kuin odotusmatot M|X| me merkitsemme M*|X|:

Kokeiden määrän lisääntyessä N taajuuksia pi lähestyy (konvergoi todennäköisyydellä) vastaavia todennäköisyyksiä. Siksi satunnaismuuttujan havaittujen arvojen aritmeettinen keskiarvo M|X| kokeiden määrän kasvaessa se lähestyy (konvergoi todennäköisyydellä) odotuksiaan. Yllä muotoiltu suhde aritmeettisen keskiarvon ja maton välillä. odotus on suurten lukujen lain yhden muodon sisältö.

Tiedämme jo, että kaikki suurten lukujen lain muodot ilmaisevat sen tosiasian, että tietyt keskiarvot ovat stabiileja useissa kokeissa. Tässä puhutaan samanarvoisten havaintojen sarjan aritmeettisen keskiarvon stabiilisuudesta. Pienellä määrällä kokeita niiden tulosten aritmeettinen keskiarvo on satunnainen; kun kokeiden lukumäärää kasvaa riittävästi, siitä tulee "lähes ei satunnaista" ja stabiloituessaan lähestyy vakioarvoa - matto. odottaa.

Useiden kokeiden keskiarvojen stabiilisuusominaisuus on helppo todentaa kokeellisesti. Esimerkiksi punnitsemalla mikä tahansa kappale laboratoriossa tarkoilla vaaoilla, punnituksen tuloksena saamme joka kerta uuden arvon; havaintovirheen vähentämiseksi punnitsemme kehon useita kertoja ja käytämme saatujen arvojen aritmeettista keskiarvoa. On helppo nähdä, että kokeiden (punnitusten) määrän lisääntyessä aritmeettinen keskiarvo reagoi tähän lisäykseen yhä harvemmin ja riittävän suurella koemäärällä se käytännössä lakkaa muuttumasta.

On huomattava, että satunnaismuuttujan sijainnin tärkein ominaisuus on matto. odotus - ei ole olemassa kaikille satunnaismuuttujille. On mahdollista tehdä esimerkkejä sellaisista satunnaismuuttujista, joille mat. ei ole odotuksia, koska vastaava summa tai integraali poikkeaa. Käytännön kannalta tällaiset tapaukset eivät kuitenkaan ole merkittävää mielenkiintoa. Yleensä käsittelemiemme satunnaismuuttujien mahdollisia arvoja on rajoitettu määrä ja niillä on tietysti myös odotukset.

Satunnaismuuttujan sijainnin tärkeimmän ominaisuuden - odotusarvon - lisäksi käytännössä käytetään joskus muitakin sijainnin ominaisuuksia, erityisesti satunnaismuuttujan moodia ja mediaania.

Satunnaismuuttujan moodi on sen todennäköisin arvo. Termi "todennäköisin arvo" koskee tarkasti ottaen vain epäjatkuvia määriä; jatkuvalle suurelle moodi on arvo, jolla todennäköisyystiheys on suurin. Kuvat esittävät epäjatkuvien ja jatkuvien satunnaismuuttujien moodia, vastaavasti.

Jos jakautumispolygonilla (jakaumakäyrällä) on enemmän kuin yksi maksimi, jakauman sanotaan olevan "polymodaalinen".

Joskus on jakaumia, joiden keskellä ei ole maksimi, vaan minimi. Tällaisia ​​jakaumia kutsutaan "antimodaaliseksi".

Yleisessä tapauksessa satunnaismuuttujan moodi ja odotus eivät täsmää. Erikoistapauksessa, kun jakauma on symmetrinen ja modaalinen (eli sillä on moodi) ja on matto. odotusarvo, silloin se osuu yhteen jakauman moodin ja symmetriakeskuksen kanssa.

Usein käytetään myös toista sijainnin ominaisuutta - niin sanottua satunnaismuuttujan mediaania. Tätä ominaisuutta käytetään yleensä vain jatkuville satunnaismuuttujille, vaikka se voidaan määritellä muodollisesti myös epäjatkuvalle muuttujalle. Geometrisesti mediaani on sen pisteen abskissa, jossa jakautumiskäyrän rajaama alue puolitetaan.

Symmetrisen modaalijakauman tapauksessa mediaani on sama kuin maton. odotukset ja muoti.

Matemaattinen odotusarvo on keskiarvo, satunnaismuuttuja - satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauman numeerinen ominaisuus. Yleisimmällä tavalla satunnaismuuttujan matto-odotus X(w) määritellään Lebesguen integraaliksi suhteessa todennäköisyysmittaukseen R alkuperäisessä todennäköisyysavaruudessa:

Matto. odotus voidaan laskea myös Lebesguen integraalina X todennäköisyysjakauman mukaan px määriä X:

Luonnollisella tavalla voidaan määritellä satunnaismuuttujan käsite, jolla on ääretön odotus. Tyypillinen esimerkki on palautusajat joissain satunnaisissa kävelyissä.

Maton avulla. odotuksia määrittelevät monet jakauman numeeriset ja funktionaaliset ominaisuudet (satunnaismuuttujan vastaavien funktioiden matemaattisena odotuksena), esimerkiksi generoiva funktio, ominaisfunktio, minkä tahansa kertaluokan momentit, erityisesti varianssi, kovarianssi.

Matemaattinen odotus (populaatiokeskiarvo) on

Matemaattinen odotus on satunnaismuuttujan arvojen sijainnin ominaisuus (sen jakauman keskiarvo). Tässä ominaisuudessa matemaattinen odotus toimii eräänä "tyypillisenä" jakaumaparametrina ja sen rooli on samanlainen kuin staattisen momentin - massajakauman painopisteen koordinaatin - rooli mekaniikassa. Muista sijainnin ominaisuuksista, joiden avulla jakaumaa kuvataan yleisellä tasolla - mediaanit, moodit, odotus eroaa suuremmalla arvolla, joka sillä ja vastaavalla sirontaominaisuudella - varianssilla - on todennäköisyysteorian rajalauseissa. Suurimmalla täydellisyydellä odotusmattojen merkitys paljastuu suurten lukujen lain (Tšebyshevin epäyhtälön) ja vahvistetun suurten lukujen lain avulla.

Matemaattinen odotus (populaatiokeskiarvo) on

Diskreetin satunnaismuuttujan matemaattinen odotus

Olkoon jokin satunnaismuuttuja, joka voi ottaa yhden useista numeerisista arvoista (esimerkiksi pistemäärä nostanheitossa voi olla 1, 2, 3, 4, 5 tai 6). Usein käytännössä tällaiselle arvolle herää kysymys: minkä arvon se ottaa "keskimäärin" suurella määrällä testejä? Mikä on keskimääräinen tuottomme (tai tappiomme) kustakin riskialtista liiketoimesta?

Oletetaan, että siellä on jonkinlainen lotto. Haluamme ymmärtää, onko siihen osallistuminen (tai jopa toistuvasti, säännöllisesti) kannattavaa vai ei. Oletetaan, että joka neljäs lippu voittaa, palkinto on 300 ruplaa ja mikä tahansa lippu - 100 ruplaa. Kun osallistujien määrä on ääretön, näin tapahtuu. Kolmessa neljäsosassa tapauksista häviämme, joka kolmas tappio maksaa 300 ruplaa. Joka neljännessä tapauksessa voitamme 200 ruplaa. (palkinto miinus kustannukset), eli neljästä osallistumisesta menetämme keskimäärin 100 ruplaa, yhdestä - keskimäärin 25 ruplaa. Kaiken kaikkiaan rauniomme keskihinta on 25 ruplaa lippua kohden.

Heitämme noppaa. Jos se ei ole huijausta (ilman painopisteen siirtämistä jne.), kuinka monta pistettä meillä on keskimäärin kerrallaan? Koska jokainen vaihtoehto on yhtä todennäköinen, otamme typerän aritmeettisen keskiarvon ja saamme 3,5. Koska tämä on KESKIARVO, ei tarvitse olla närkästynyt siitä, että mikään tietty heitto ei anna 3,5 pistettä - no, tällä kuutiolla ei ole kasvoja sellaisella numerolla!

Tehdään nyt yhteenveto esimerkeistämme:

Katsotaanpa yllä olevaa kuvaa. Vasemmalla on taulukko satunnaismuuttujan jakautumisesta. X:n arvo voi ottaa yhden n:stä mahdollisesta arvosta (ilmoitettu ylärivillä). Muita arvoja ei voi olla. Kunkin mahdollisen arvon alle on merkitty sen todennäköisyys. Oikealla on kaava, jossa M(X) on mat. odottaa. Tämän arvon merkitys on, että suurella määrällä kokeita (suurella otoksella) keskiarvo vastaa juuri tätä odotusta.

Palataan samaan pelikuutioon. Matto. pistemäärän odotus heittäessä on 3,5 (laske itsesi kaavalla, jos et usko). Oletetaan, että heitit sen pari kertaa. 4 ja 6 putosivat. Keskimäärin siitä tuli 5, eli kaukana 3,5. He heittivät sen uudelleen, 3 putosi, eli keskimäärin (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... Jotenkin kaukana matosta. odotuksia. Tee nyt hullu kokeilu - pyöritä kuutiota 1000 kertaa! Ja jos keskiarvo ei ole täsmälleen 3,5, se on lähellä sitä.

Lasketaan mat. odottaa yllä kuvattua lottoa. Taulukko näyttää tältä:

Sitten odotusmatti on, kuten yllä olemme todenneet.:

Toinen asia on, että se on myös "sormilla", ilman kaavaa, olisi vaikeaa, jos vaihtoehtoja olisi enemmän. Oletetaan, että 75 % hävisi lipuista, 20 % voittolipuista ja 5 % voittolipuista.

Nyt joitain odotusmaton ominaisuuksia.

Matto. odotus on lineaarista. Se on helppo todistaa:

Vakiokerroin saa ottaa pois mattimerkistä. odotukset, eli:

Tämä on odotusmattojen lineaarisuusominaisuuden erikoistapaus.

Toinen seuraus maton lineaarisuudesta. odotukset:

se on matto. satunnaismuuttujien summan odotus on yhtä suuri kuin satunnaismuuttujien matemaattisten odotusten summa.

Olkoon X, Y riippumattomia satunnaismuuttujia, sitten:

Tämä on myös helppo todistaa) XY itse on satunnaismuuttuja, vaikka alkuarvot voisivat kestää n ja m arvot vastaavasti XY voi ottaa nm-arvoja. jokainen arvo lasketaan sen perusteella, että riippumattomien tapahtumien todennäköisyydet kerrotaan. Tuloksena saamme tämän:

Jatkuvan satunnaismuuttujan matemaattinen odotus

Jatkuvilla satunnaismuuttujilla on sellainen ominaisuus kuin jakautumistiheys (todennäköisyystiheys). Itse asiassa se luonnehtii tilannetta, että satunnaismuuttuja ottaa joitain arvoja reaalilukujoukosta useammin, jotkut - harvemmin. Harkitse esimerkiksi tätä kaaviota:

Tässä X- itse asiassa satunnaismuuttuja, f(x)- jakautumistiheys. Tämän kaavion perusteella kokeiden aikana arvo X on usein lähellä nollaa oleva luku. mahdollisuudet ylittää 3 tai olla vähemmän -3 melko puhtaasti teoreettista.

Jos jakautumistiheys tiedetään, odotusmattoa etsitään seuraavasti:

Oletetaan esimerkiksi yhtenäinen jakautuminen:

Etsitään matto. odotus:

Tämä on täysin yhdenmukainen intuitiivisen ymmärryksen kanssa. Oletetaan, että jos saamme paljon satunnaisia ​​reaalilukuja, joilla on tasainen jakautuminen, jokainen segmentti |0; 1| , niin aritmeettisen keskiarvon tulee olla noin 0,5.

Diskreeteille satunnaismuuttujille soveltuvat odotusmattojen ominaisuudet - lineaarisuus jne. - pätevät myös tässä.

Matemaattisen odotuksen suhde muihin tilastoindikaattoreihin

AT tilastollinen analyysin ohella matto-odotus on olemassa toisistaan ​​riippuvaisten indikaattoreiden järjestelmä, joka kuvastaa ilmiöiden yhtenäisyyttä ja vakautta prosessit. Usein vaihteluindikaattoreilla ei ole itsenäistä merkitystä, ja niitä käytetään tietojen lisäanalyysiin. Poikkeuksena on variaatiokerroin, joka luonnehtii homogeenisuutta tiedot mikä on arvokasta tilastollinen ominaisuus.

Vaihtelevuuden tai stabiilisuuden aste prosessit tilastotieteessä voidaan mitata useilla indikaattoreilla.

Tärkein tunnusmerkki vaihtelua satunnaismuuttuja, on Dispersio, joka liittyy läheisimmin ja suorimmin mattoon. odottaa. Tätä parametria käytetään aktiivisesti muuntyyppisissä tilastollisissa analyyseissä (hypoteesitestauksessa, syy-seuraussuhteiden analysoinnissa jne.). Kuten keskimääräinen lineaarinen poikkeama, varianssi heijastaa myös leviämisen mittaa tiedot keskiarvon ympärillä.

On hyödyllistä kääntää viittojen kieli sanojen kieleksi. Osoittautuu, että varianssi on poikkeamien keskimääräinen neliö. Toisin sanoen keskiarvo lasketaan ensin, sitten kunkin alkuperäisen ja keskiarvon välinen ero otetaan, neliötetään, lasketaan yhteen ja jaetaan sitten tämän populaation arvojen lukumäärällä. Ero yksittäisen arvon ja keskiarvon välillä kuvastaa poikkeaman mittaa. Se on neliöity sen varmistamiseksi, että kaikista poikkeamista tulee yksinomaan positiivisia lukuja ja jotta vältetään positiivisten ja negatiivisten poikkeamien keskinäinen kumoaminen, kun ne summataan. Sitten, kun otetaan huomioon neliölliset poikkeamat, laskemme yksinkertaisesti aritmeettisen keskiarvon. Keskimääräiset - neliö - poikkeamat. Poikkeamat neliötetään ja keskiarvo otetaan huomioon. Vastaus maagiseen sanaan "dispersio" on vain kolme sanaa.

Kuitenkaan puhtaassa muodossaan, kuten esimerkiksi aritmeettisena keskiarvona tai , dispersiota ei käytetä. Se on pikemminkin apu- ja väliindikaattori, jota käytetään muuntyyppisissä tilastollisissa analyyseissä. Hänellä ei ole edes normaalia mittayksikköä. Kaavan perusteella tämä on alkuperäisen tietoyksikön neliö.

Matemaattinen odotus (populaatiokeskiarvo) on

Mittaataan satunnaismuuttuja N kertaa, esimerkiksi mittaamme tuulen nopeuden kymmenen kertaa ja haluamme löytää keskiarvon. Miten keskiarvo liittyy jakaumafunktioon?

Tai heitämme noppaa useita kertoja. Nopan jokaisen heiton aikana putoavien pisteiden määrä on satunnaismuuttuja, ja se voi olla mikä tahansa luonnollinen arvo väliltä 1-6. N se pyrkii hyvin tiettyyn numeroon - matto. odotus Mx. Tässä tapauksessa Mx = 3,5.

Miten tämä arvo syntyi? Päästää sisään N koettelemuksia n1 kun 1 piste pudotetaan, n2 kertaa - 2 pistettä ja niin edelleen. Sitten tulosten lukumäärä, joissa yksi piste putosi:

Samoin tuloksista, kun 2, 3, 4, 5 ja 6 pistettä putosivat.

Oletetaan nyt, että tiedämme satunnaismuuttujan x jakaumat, eli tiedämme, että satunnaismuuttuja x voi saada arvot x1, x2,..., xk todennäköisyyksillä p1, p2,... , pk.

Satunnaismuuttujan x maton odotusarvo Mx on:

Matemaattinen odotus ei ole aina kohtuullinen arvio jostain satunnaismuuttujasta. Keskipalkan arvioimiseksi on siis järkevämpää käyttää mediaanin käsitettä eli sellaista arvoa, että mediaania vähemmän saavien ihmisten määrä palkkaa ja iso, ottelu.

Todennäköisyys p1, että satunnaismuuttuja x on pienempi kuin x1/2 ja todennäköisyys p2, että satunnaismuuttuja x on suurempi kuin x1/2, ovat samat ja yhtä suuri kuin 1/2. Mediaania ei ole määritetty yksiselitteisesti kaikille jakaumille.

Vakio tai standardipoikkeama tilastoissa kutsutaan havaintotietojen tai joukkojen poikkeaman astetta AVERAGE-arvosta. Merkitään kirjaimilla s tai s. Pieni standardipoikkeama osoittaa, että tiedot on ryhmitelty keskiarvon ympärille, ja suuri keskihajonna osoittaa, että lähtötieto on kaukana siitä. Keskihajonta on yhtä suuri kuin varianssiksi kutsutun suuren neliöjuuri. Se on keskiarvosta poikkeavien lähtötietojen neliöityjen erojen summan keskiarvo. Satunnaismuuttujan keskihajonta on varianssin neliöjuuri:

Esimerkki. Testiolosuhteissa ammuttaessa maaliin laske satunnaismuuttujan varianssi ja keskihajonta:

Variaatio- vaihtelu, attribuutin arvon vaihtelu perusjoukon yksiköissä. Tutkittavassa populaatiossa esiintyviä piirteen erillisiä numeerisia arvoja kutsutaan arvomuunnelmiksi. Keskiarvon riittämättömyys populaation täydelliseen karakterisointiin edellyttää, että keskiarvoja on täydennettävä indikaattoreilla, joiden avulla on mahdollista arvioida näiden keskiarvojen tyypillisyyttä mittaamalla tutkittavan ominaisuuden vaihtelua (vaihtelua). Variaatiokerroin lasketaan kaavalla:

Alueen vaihtelu(R) on ominaisuuden maksimi- ja minimiarvojen ero tutkitussa populaatiossa. Tämä indikaattori antaa yleisimmän käsityksen tutkittavan ominaisuuden vaihtelusta, kuten se osoittaa ero vain muunnelmien raja-arvojen välillä. Riippuvuus attribuutin ääriarvoista antaa vaihteluvälille epävakaan, satunnaisen luonteen.

Keskimääräinen lineaarinen poikkeama on aritmeettinen keskiarvo analysoidun populaation kaikkien arvojen absoluuttisista (modulo)poikkeamista niiden keskiarvosta:

Matemaattinen odotus uhkapeliteoriassa

Mat odottaa keskimääräinen rahamäärä, jonka uhkapelikeinottelija voi voittaa tai hävitä tietyllä vedolla. Tämä on erittäin tärkeä käsite keinottelijalle, koska se on olennainen useimpien pelitilanteiden arvioinnissa. Mate-odotus on myös paras työkalu peruskorttiasettelujen ja pelitilanteiden analysointiin.

Oletetaan, että pelaat kolikkoa ystäväsi kanssa ja teet yhtä suuren $1 panoksen joka kerta riippumatta siitä, mitä tapahtuu. Tails - voitit, päät - hävisit. Todennäköisyys, että se nousisi, on yksi yhteen ja panostat $1 - $1. Näin ollen matti-odotuksesi on nolla, koska Matemaattisesti puhuen, et voi tietää johdatko vai häviätkö kahden heiton jälkeen vai 200 jälkeen.

Tuntivoitto on nolla. Tuntikohtainen voitto on rahasumma, jonka odotat voittavan tunnissa. Voit heittää kolikon 500 kertaa tunnin sisällä, mutta et voita tai häviä, koska todennäköisyytesi eivät ole positiivisia eivätkä negatiivisia. Jos katsot vakavan keinottelijan näkökulmasta, tällainen korkojärjestelmä ei ole huono. Mutta se on vain ajanhukkaa.

Mutta oletetaan, että joku haluaa lyödä vetoa 2 dollaria vastaan ​​1 dollaria samassa pelissä. Sitten sinulla on välittömästi positiivinen odotus 50 senttiä jokaisesta vedosta. Miksi 50 senttiä? Keskimäärin voitat yhden vedon ja häviät toisen. Panosta ensimmäinen ja hävitä 1 dollari, panosta toinen ja voita 2 dollaria. Olet panostanut 1 dollarin kahdesti ja olet 1 dollarilla edellä. Joten jokainen yhden dollarin veto antoi sinulle 50 senttiä.

Jos kolikko putoaa 500 kertaa yhdessä tunnissa, tuntivoittosi on jo 250 dollaria, koska. keskimäärin menetit yhden dollari 250 kertaa ja voitti kaksi dollari 250 kertaa. 500 dollaria miinus 250 dollaria vastaa 250 dollaria, mikä on kokonaisvoitto. Huomaa, että odotettu arvo, joka on summa, jonka voitat keskimäärin yhdellä vedolla, on 50 senttiä. Voitit 250 dollaria panostamalla dollarin 500 kertaa, mikä vastaa 50 senttiä panoksestasi.

Matemaattinen odotus (populaatiokeskiarvo) on

Matto. odotuksilla ei ole mitään tekemistä lyhyen aikavälin tulosten kanssa. Vastustajasi, joka päätti lyödä vetoa 2 dollaria sinua vastaan, saattoi voittaa sinut ensimmäisellä kymmenellä heitolla peräkkäin, mutta sinä 2-1-vedonlyöntiedulla ansaitset 50 senttiä jokaisesta 1 dollarin panoksesta millä tahansa alla. olosuhteissa. Sillä ei ole väliä, voitatko vai häviät yhden vedon vai useita vetoja, mutta vain sillä ehdolla, että sinulla on tarpeeksi käteistä kustannusten helposti korvaamiseen. Jos jatkat vetoa samalla tavalla, voittosi lähestyvät pitkän ajan kuluessa odotettujen arvojen summaa yksittäisissä heitoissa.

Joka kerta kun teet parhaan vedon (veto, joka voi olla kannattava pitkällä aikavälillä), kun todennäköisyys on sinun puolellasi, voitat varmasti jotain, häviätpä sen tietyssä kädessä tai et. Kääntäen, jos teit huonomman vedon (pitkällä aikavälillä kannattamaton veto), kun todennäköisyys ei ole sinun eduksesi, menetät jotain, voititpa tai häviät käden.

Matemaattinen odotus (populaatiokeskiarvo) on

Panostat parhaalla tuloksella, jos odotuksesi ovat positiiviset, ja se on positiivinen, jos kertoimet ovat sinun puolellasi. Vedonlyönti huonoimmalla tuloksella sinulla on negatiivinen odotus, mikä tapahtuu, kun kertoimet ovat sinua vastaan. Vakavat keinottelijat panostavat vain parhaalla tuloksella, pahimmalla – he luovuttavat. Mitä kertoimet eduksesi tarkoittaa? Voit lopulta voittaa enemmän kuin todelliset kertoimet tuovat. Todellinen todennäköisyys osua tailoihin on 1:1, mutta saat 2:1 vedonlyöntisuhteen ansiosta. Tässä tapauksessa todennäköisyys on sinun puolellasi. Saat ehdottomasti parhaan tuloksen positiivisella odotuksella, joka on 50 senttiä vetoa kohden.

Tässä on monimutkaisempi esimerkki. odotuksia. Ystävä kirjoittaa muistiin numerot yhdestä viiteen ja panostaa 5 dollaria 1 dollaria vastaan, että et valitse numeroa. Hyväksytkö tällaisen vedon? Mitä tässä odotetaan?

Keskimäärin olet väärässä neljä kertaa. Tämän perusteella todennäköisyys sille, että voit arvata numeron, on 4:1. Todennäköisyys on, että menetät dollarin yhdellä yrityksellä. Voitat kuitenkin 5-1 ja voit hävitä 4-1. Näin ollen kertoimet ovat sinun puolellasi, voit ottaa vedon ja toivoa parasta lopputulosta. Jos teet tämän vedon viisi kertaa, menetät keskimäärin neljä kertaa 1 dollarin ja voitat kerran 5 dollaria. Tämän perusteella ansaitset kaikista viidestä yrityksestä 1 dollarin positiivisella matemaattisella odotuksella 20 senttiä vetoa kohden.

Keinottelija, joka voittaa enemmän kuin lyö vetoa, kuten yllä olevassa esimerkissä, nappaa kertoimet. Toisaalta hän pilaa mahdollisuudet, kun hän odottaa voittavansa vähemmän kuin lyö vetoa. Vedonlyönnin keinottelijalla voi olla joko positiivisia tai negatiivisia odotuksia riippuen siitä, saako hän kiinni vai pilaako kertoimet.

Jos panostat 50 dollaria voittaaksesi 10 dollaria 4-1 voittomahdollisuudella, saat negatiivisen 2 dollarin odotuksen, koska voitat keskimäärin neljä kertaa 10 dollaria ja menetät 50 dollaria kerran, mikä osoittaa, että tappio per veto on 10 dollaria. Mutta jos panostat 30 dollarilla voittaaksesi 10 dollaria samalla todennäköisyydellä voittaa 4:1, tässä tapauksessa sinulla on positiivinen odotus 2 dollaria, koska voitat jälleen neljä kertaa 10 dollaria ja menetät kerran 30 dollaria, mikä on voitto 10 dollarilla. Nämä esimerkit osoittavat, että ensimmäinen veto on huono ja toinen hyvä.

Matto. odotus on jokaisen pelitilanteen keskipiste. Kun vedonvälittäjä rohkaisee jalkapallofaneja lyömään vetoa 11 dollarilla voittaakseen 10 dollaria, heillä on positiivinen odotus 50 senttiä jokaista 10 dollaria kohti. Jos kasino maksaa jopa rahaa Craps pass -linjalta, talon positiivinen odotus on noin 1,40 dollaria jokaista 100 dollaria kohden; Tämä peli on rakennettu siten, että jokainen, joka lyö vetoa tällä linjalla, häviää keskimäärin 50,7% ja voittaa 49,3% ajasta. Epäilemättä juuri tämä näennäisen vähäinen positiivinen odotus tuo valtavia voittoja kasinon omistajille ympäri maailmaa. Kuten Vegas Worldin kasinon omistaja Bob Stupak huomautti: "Tuhannesosa prosenttia negatiivinen todennäköisyys riittävän pitkällä matkalla ajaa konkurssiin maailman rikkaimman miehen.

Matemaattiset odotukset pokeria pelatessa

Pokeripeli on havainnollistavin ja havainnollistavin esimerkki odotusmaton teorian käytöstä ja ominaisuuksista.

Matto. Odotettu arvo pokerissa - keskimääräinen hyöty tietystä päätöksestä edellyttäen, että tällaista päätöstä voidaan harkita suurten lukujen ja pitkän matkan teorian puitteissa. Onnistunut pokeri tarkoittaa sitä, että liikkeet hyväksytään aina positiivisin matemaattisin odotuksin.

Matemaattinen odotus (populaatiokeskiarvo) on

Matemaattinen merkitys. odotus pokeria pelatessa on siinä, että kohtaamme usein satunnaismuuttujia päätöksiä tehdessämme (emme tiedä mitä kortteja vastustajalla on kädessään, mitkä kortit tulevat seuraavilla kierroksilla käydä kauppaa). Jokaista ratkaisua on tarkasteltava suurten lukujen teorian näkökulmasta, joka sanoo, että riittävän suurella otoksella satunnaismuuttujan keskiarvo pyrkii keskiarvoonsa.

Erityisistä odotusmattojen laskentakaavoista pokerissa soveltuvat parhaiten seuraavat:

Kun pelaat pokerimattoa. odotukset voidaan laskea sekä panoksille että maksuille. Ensimmäisessä tapauksessa tulee huomioida fold equity, toisessa potin omat kertoimet. Mattoa arvioitaessa. Odotatko tätä tai tuota liikettä, on muistettava, että foldilla on aina nolla odotus. Siten korttien hylkääminen on aina kannattavampi päätös kuin mikään negatiivinen liike.

Matemaattinen odotus (populaatiokeskiarvo) on

Odotus kertoo, mitä voit odottaa (tai menettää) jokaisesta ottamasi riskistä. Kasinot tienaavat raha koska mattin odotukset kaikista niissä harjoitettavista peleistä ovat kasinolle päin. Riittävän pitkällä pelisarjalla voidaan odottaa, että asiakas menettää omansa raha koska "todennäköisyys" on kasinon hyväksi. Ammattimaiset kasinokeinottelijat kuitenkin rajoittavat pelinsä lyhyisiin aikoihin, mikä lisää kertoimia heidän edukseen. Sama pätee sijoittamiseen. Jos odotuksesi ovat positiiviset, voit ansaita enemmän rahaa tekemällä useita kauppoja lyhyessä ajassa. ajanjaksoa aika. Odotus on prosenttiosuutesi voittoa kohti kerrottuna keskimääräisellä voitollasi vähennettynä tappion todennäköisyydellä kerrottuna keskimääräisellä tappiollasi.

Pokeria voidaan tarkastella myös matin kannalta. Voit olettaa, että tietty liike on kannattava, mutta joissain tapauksissa se ei välttämättä ole paras, koska toinen liike on kannattavampi. Oletetaan, että osuit täyskäsi viiden kortin vetopokerissa. Vastustajasi lyö vetoa. Tiedät, että jos olet ennakkoon, hän soittaa. Korottaminen näyttää siis parhaalta takilta. Mutta jos korotat panosta, kaksi jäljellä olevaa spekulaattoria kippaa varmasti. Mutta jos maksat vedon, olet täysin varma, että kaksi muuta keinottelijaa tekevät samoin. Kun korotat panosta, saat yhden yksikön ja yksinkertaisesti maksamalla - kaksi. Joten soittaminen antaa sinulle korkeamman positiivisen odotusarvon ja on paras taktiikka.

Matto. Odottaminen voi myös antaa käsityksen siitä, mitkä pokeritaktiikat ovat vähemmän kannattavia ja mitkä kannattavampia. Jos esimerkiksi pelaat tiettyä kättä ja luulet, että keskimääräinen tappiosi on 75 senttiä sisältäen antet, sinun tulee pelata tämä käsi, koska tämä on parempi kuin kippaus, kun ante on $1.

Toinen tärkeä syy maton olemuksen ymmärtämiseen. odotus on, että se antaa sinulle mielenrauhan tunteen, voititko vedon vai et: jos panostit hyvin tai luovutit ajoissa, tiedät, että olet tehnyt tai säästänyt tietyn määrän rahaa, jonka heikompi keinottelija voisi ei säästä. Kippaaminen on paljon vaikeampaa, jos olet turhautunut siihen, että vastustajallasi on parempi käsi vedossa. Kaiken tämän ansiosta se, mitä säästät jättämällä pelaamatta, panostamisen sijaan lisätään voittoihisi per yö tai kuukausi.

Muista vain, että jos vaihtaisit kättä, vastustajasi maksaisi sinulle, ja kuten näet Pokerin peruslause -artikkelista, tämä on vain yksi eduistasi. Kannattaa iloita kun näin tapahtuu. Voit jopa oppia nauttimaan menetetystä kädestä, koska tiedät, että muut keinottelijat sinun sijassasi menettäisivät paljon enemmän.

Kuten alussa kolikkopeliesimerkissä mainittiin, tuntivoittosuhde liittyy maton odotukseen, ja tämä konsepti on erityisen tärkeä ammattimaisille keinottelijoille. Kun aiot pelata pokeria, sinun on henkisesti arvioitava, kuinka paljon voit voittaa pelitunnissa. Useimmissa tapauksissa joudut luottamaan intuitioon ja kokemukseesi, mutta voit myös käyttää joitain matemaattisia laskelmia. Jos esimerkiksi pelaat vetoa lowball ja näet kolmen pelaajan panostavan 10 dollaria ja sitten nostavan kaksi korttia, mikä on erittäin huono taktiikka, voit laskea itse, että joka kerta kun panostavat 10 dollaria, he menettävät noin 2 dollaria. Jokainen heistä tekee tämän kahdeksan kertaa tunnissa, mikä tarkoittaa, että kaikki kolme menettävät noin 48 dollaria tunnissa. Olet yksi jäljellä olevista neljästä keinottelijasta, jotka ovat suunnilleen samanarvoisia, joten näiden neljän keinottelijan (ja sinun joukossasi) on jaettava 48 dollaria, ja jokainen tienaa 12 dollaria tunnissa. Tuntihintasi on tässä tapauksessa yksinkertaisesti sinun osuutesi kolmen huonon keinottelijan tunnin aikana menettämästä rahamäärästä.

Matemaattinen odotus (populaatiokeskiarvo) on

Pitkällä aikavälillä spekulaattorin kokonaisvoitto on hänen matemaattisten odotustensa summa yksittäisissä jakaumissa. Mitä enemmän pelaat positiivisilla odotuksilla, sitä enemmän voitat, ja päinvastoin, mitä enemmän käsiä pelaat negatiivisilla odotuksilla, sitä enemmän häviät. Tämän seurauksena sinun tulee asettaa etusijalle peli, joka voi maksimoida positiiviset odotuksesi tai kumota negatiiviset odotuksesi, jotta voit maksimoida tuntivoitosi.

Positiivinen matemaattinen odotus pelistrategiassa

Jos osaat laskea kortit, sinulla voi olla etua kasinoon nähden, jos he eivät huomaa ja potkaise sinua ulos. Kasinot rakastavat humalaisia ​​keinottelijoita ja vihaavat korttilaskijoita. Edun ansiosta voit voittaa enemmän kertoja kuin hävitä ajan mittaan. Hyvä rahanhallinta matalilaskelmien avulla voi auttaa sinua saamaan enemmän irti eduistasi ja vähentämään tappioitasi. Ilman etua sinun on parempi antaa rahat hyväntekeväisyyteen. Pörssipelissä edun antaa pelin järjestelmä, joka tuottaa enemmän voittoa kuin tappiota, ero hinnat ja palkkiot. Ei mitään pääoman hallinta ei pelasta huonoa pelijärjestelmää.

Positiivinen odotus määritellään arvolla, joka on suurempi kuin nolla. Mitä suurempi tämä luku, sitä vahvempi on tilastollinen odotus. Jos arvo on pienempi kuin nolla, niin odotus on myös negatiivinen. Mitä suurempi negatiivisen arvon moduuli on, sitä huonompi tilanne. Jos tulos on nolla, odotus on nollatulos. Voit voittaa vain, jos sinulla on positiivinen matemaattinen odotus, kohtuullinen pelijärjestelmä. Intuitiolla pelaaminen johtaa katastrofiin.

Matemaattinen odotus ja

Matemaattinen odotusarvo on melko laajalti kysytty ja suosittu tilastoindikaattori pörssikaupan toteutuksessa rahoitusmarkkinoilla. markkinoilla. Ensinnäkin tätä parametria käytetään onnistumisen analysointiin käydä kauppaa. Ei ole vaikea arvata, että mitä suurempi tämä arvo, sitä enemmän syytä pitää tutkittavaa kauppaa onnistuneena. Tietysti analyysi tehdä työtä kauppiasta ei voida tehdä vain tämän parametrin avulla. Kuitenkin laskettu arvo yhdessä muiden laadun arviointimenetelmien kanssa tehdä työtä, voi parantaa merkittävästi analyysin tarkkuutta.

Kaupankäyntitilin seurantapalveluissa lasketaan usein matto-odotus, jonka avulla voit nopeasti arvioida talletuksella tehtyä työtä. Poikkeuksina voimme mainita strategioita, jotka käyttävät menettävien kauppojen "ylijäämistä". Kauppias onni saattaa seurata häntä jonkin aikaa, ja siksi hänen työssään ei välttämättä ole lainkaan tappioita. Tässä tapauksessa ei voi navigoida pelkästään odotusten mukaan, koska työssä käytettyjä riskejä ei oteta huomioon.

Kaupankäynnissä markkinoida matto-odotusta käytetään useimmiten kaupankäyntistrategian kannattavuutta tai tuloja ennustettaessa kauppias edellisen tilastonsa perusteella tarjouskilpailu.

Matemaattinen odotus (populaatiokeskiarvo) on

Rahanhallinnan suhteen on erittäin tärkeää ymmärtää, että tehtäessä kauppoja negatiivisilla odotuksilla, järjestelmää ei ole hallinta rahaa, mikä voi varmasti tuottaa suuria voittoja. Jos jatkat pelaamista pörssi näissä olosuhteissa menetelmästä riippumatta hallinta rahaa, menetät koko tilisi riippumatta siitä, kuinka suuri se oli alussa.

Tämä aksiooma ei päde vain negatiivisten odotusten peleihin tai kauppoihin, se pätee myös parillisten kertoimien peleihin. Siksi ainoa tapaus, jossa sinulla on mahdollisuus hyötyä pitkällä aikavälillä, on tehdä kauppoja positiivisten matemaattisten odotusten perusteella.

Ero negatiivisen odotuksen ja positiivisen odotuksen välillä on ero elämän ja kuoleman välillä. Ei ole väliä kuinka positiivinen tai kuinka negatiivinen odotus on; Tärkeintä on, onko se positiivinen vai negatiivinen. Siksi ennen kuin harkitset hallintakysymyksiä iso alkukirjain sinun on löydettävä peli, jolla on positiiviset odotukset.

Jos sinulla ei ole tätä peliä, mikään rahanhallinta maailmassa ei pelasta sinua. Toisaalta, jos sinulla on positiivinen odotus, se on mahdollista oikean rahanhallinnan avulla muuttaa eksponentiaaliseksi kasvufunktioksi. Ei ole väliä kuinka pieni positiivinen odotus on! Toisin sanoen sillä ei ole väliä, kuinka kannattava yhteen sopimukseen perustuva kaupankäyntijärjestelmä on. Jos sinulla on järjestelmä, joka voittaa 10 dollaria per sopimus yhdestä kaupasta (palkkioiden ja lipsahduksen jälkeen), hallintatekniikoita voidaan käyttää iso alkukirjain tavalla, joka tekee siitä kannattavamman kuin järjestelmä, jonka keskimääräinen voitto on 1 000 dollaria kauppaa kohden (maksujen ja lipsahduksen jälkeen).

Ratkaisevaa ei ole se, kuinka kannattava järjestelmä oli, vaan se, kuinka varmasti voidaan sanoa, että järjestelmä näyttää jatkossa vähintään minimaalisen tuoton. Siksi tärkein varautuminen, joka voidaan tehdä, on varmistaa, että järjestelmä näyttää positiivista odotusarvoa tulevaisuudessa.

Jotta sinulla olisi positiivinen odotusarvo tulevaisuudessa, on erittäin tärkeää olla rajoittamatta järjestelmäsi vapausasteita. Tämä saavutetaan paitsi eliminoimalla tai vähentämällä optimoitavien parametrien määrää, myös vähentämällä mahdollisimman monia järjestelmäsääntöjä. Jokainen lisäämäsi parametri, jokainen tekemäsi sääntö, jokainen pieni muutos, jonka teet järjestelmään, vähentää vapausasteiden määrää. Ihannetapauksessa haluat rakentaa melko primitiivisen ja yksinkertaisen järjestelmän, joka tuottaa jatkuvasti pientä voittoa melkein kaikilla markkinoilla. Jälleen on tärkeää, että ymmärrät, että sillä ei ole väliä kuinka kannattava järjestelmä on, kunhan se on kannattava. kaupankäynnissä ansaitsemasi ansaitset tehokkaan rahanhallinnan avulla.

Matemaattinen odotus (populaatiokeskiarvo) on

Kaupankäyntijärjestelmä on yksinkertaisesti työkalu, joka antaa sinulle positiivisen matemaattisen odotuksen, jotta rahanhallintaa voidaan käyttää. Järjestelmät, jotka toimivat (jotka osoittavat vähintään minimaalista voittoa) vain yhdellä tai muutamalla markkina-alueella tai joilla on erilaiset säännöt tai parametrit eri markkinoilla, eivät todennäköisesti toimi reaaliajassa pitkään. Useimpien teknisten kauppiaiden ongelmana on, että he käyttävät liian paljon aikaa ja vaivaa kaupankäyntijärjestelmän eri sääntöjen ja parametrien optimointiin. Tämä antaa täysin päinvastaisia ​​tuloksia. Sen sijaan, että tuhlaa energiaa ja tietokoneaikaa kaupankäyntijärjestelmän voittojen kasvattamiseen, suuntaa energiasi vähimmäisvoiton saamisen luotettavuuden lisäämiseen.

Sen tietäen pääoman hallinta- Tämä on vain numeropeli, joka vaatii positiivisten odotusten käyttöä, elinkeinonharjoittaja voi lopettaa kaupankäynnin "pyhän maljan" etsimisen pörssissä. Sen sijaan hän voi alkaa testata kaupankäyntitapaansa, selvittää kuinka looginen tämä menetelmä on, antaako se positiivisia odotuksia. Oikeat rahanhallintamenetelmät, joita sovelletaan kaikkiin, jopa erittäin keskinkertaisiin kaupankäyntimenetelmiin, tekevät loput työstä.

Jotta jokainen elinkeinonharjoittaja menestyisi työssään, hänen on ratkaistava kolme tärkeintä tehtävää: Varmistaa, että onnistuneiden liiketoimien määrä ylittää väistämättömät virheet ja virhearviot; Aseta kaupankäyntijärjestelmäsi niin, että mahdollisuus ansaita rahaa on mahdollisimman usein; Saavuta toiminnastasi vakaa positiivinen tulos.

Ja tässä meille, työskenteleville kauppiaille, matti voi olla hyvä apu. odotus. Tämä termi todennäköisyysteoriassa on yksi avaimista. Sen avulla voit antaa keskimääräisen arvion jostain satunnaisesta arvosta. Satunnaismuuttujan matemaattinen odotus on samanlainen kuin painopiste, jos kuvittelemme kaikki mahdolliset todennäköisyydet pisteiksi, joilla on eri massat.

Kaupankäyntistrategian yhteydessä sen tehokkuuden arvioimiseksi käytetään useimmiten voiton (tai tappion) odotusmattoa. Tämä parametri määritellään tiettyjen voitto- ja tappiotasojen tulojen ja niiden toteutumisen todennäköisyyden summaksi. Esimerkiksi kehitetyssä kaupankäyntistrategiassa oletetaan, että 37% kaikista toiminnoista tuottaa voittoa ja loput - 63% - ovat tappiollisia. Samaan aikaan keskiarvo tulo onnistuneesta kaupasta on 7 dollaria, ja keskimääräinen tappio on 1,4 dollaria. Lasketaan matto. odotukset kaupankäynnistä tällaisessa järjestelmässä:

Mitä tämä numero tarkoittaa? Siinä sanotaan, että tämän järjestelmän sääntöjä noudattaen saamme keskimäärin 1,708 dollaria jokaisesta suljetusta tapahtumasta. Koska tuloksena saatava tehokkuuspiste on suurempi kuin nolla, tällaista järjestelmää voidaan käyttää todelliseen työhön. Jos maton laskennan seurauksena odotus osoittautuu negatiiviseksi, tämä osoittaa jo keskimääräistä menetystä ja tämä johtaa tuhoon.

Voiton määrä kauppaa kohden voidaan ilmaista myös suhteellisena arvona prosentin muodossa. Esimerkiksi:

Prosenttiosuus tuloista yhtä tapahtumaa kohti - 5 %;

Onnistuneiden kaupankäyntitoimintojen prosenttiosuus - 62%;

Tappion prosenttiosuus yhtä kauppaa kohti - 3 %;

Epäonnistuneiden liiketoimien prosenttiosuus - 38%;

Tässä tapauksessa matto. odotukset ovat:

Eli keskimääräinen kauppa tuo 1,96%.

On mahdollista kehittää järjestelmä, joka tappiollisista kaupoista huolimatta antaa positiivisen tuloksen, koska sen MO>0.

Pelkkä odottaminen ei kuitenkaan riitä. On vaikea ansaita rahaa, jos järjestelmä antaa hyvin vähän kaupankäyntisignaaleja. Tässä tapauksessa se on verrattavissa pankkikorkoon. Antaa kukin operaatio tuoda keskimäärin vain 0,5 dollaria, mutta entä jos järjestelmä olettaa 1000 tapahtumaa vuodessa? Tämä on erittäin vakava summa suhteellisen lyhyessä ajassa. Tästä seuraa loogisesti, että toisena hyvän kaupankäyntijärjestelmän tunnusmerkkinä voidaan pitää lyhyt pitoaika.

Lähteet ja linkit

dic.academic.ru - akateeminen online-sanakirja

mathematics.ru - matematiikan koulutussivusto

nsu.ru - Novosibirskin valtionyliopiston koulutussivusto

webmath.ru - koulutusportaali opiskelijoille, hakijoille ja koululaisille.

exponenta.ru matemaattinen koulutussivusto

ru.tradimo.com - ilmainen online-kaupankäyntikoulu

crypto.hut2.ru - monitieteinen tietolähde

poker-wiki.ru - ilmainen pokerin tietosanakirja

sernam.ru - Tieteellinen kirjasto valikoiduista luonnontieteellisistä julkaisuista

reshim.su - verkkosivusto

unfx.ru - Forex UNFX:ssä: koulutus, kaupankäyntisignaalit, luottamuksen hallinta

- - matemaattinen odotus Yksi satunnaismuuttujan numeerisista ominaisuuksista, jota usein kutsutaan sen teoreettiseksi keskiarvoksi. Diskreetille satunnaismuuttujalle X matemaattinen ... ... Teknisen kääntäjän käsikirja

ODOTETTU ARVO- (odotettu arvo) Taloudellisen muuttujan jakauman keskiarvo, jonka se voi ottaa. Jos pt on tavaran hinta hetkellä t, sen matemaattinen odotus on merkitty Ept:llä. Ilmoittaa ajankohdan, johon asti ... ... Taloussanakirja

Odotettu arvo- satunnaismuuttujan keskiarvo. Matemaattinen odotus on deterministinen arvo. Satunnaismuuttujan realisaatioiden aritmeettinen keskiarvo on arvio matemaattisesta odotuksesta. Keskiverto… … Virallinen terminologia on satunnaismuuttujan (keskiarvo) satunnaismuuttujan numeerinen ominaisuus. Jos todennäköisyysavaruudessa annettu satunnaismuuttuja (katso Todennäköisyysteoria), niin sen M. o. MX (tai EX) määritellään Lebesguen integraaliksi: missä... Fyysinen tietosanakirja

ODOTETTU ARVO- satunnaismuuttuja on sen numeerinen ominaisuus. Jos satunnaismuuttujalla X on jakaumafunktio F(x), niin sen M. o. tulee: . Jos X:n jakauma on diskreetti, niin М.о.: , missä x1, x2, ... ovat diskreetin satunnaismuuttujan X mahdollisia arvoja; p1... Geologinen tietosanakirja

ODOTETTU ARVO- Englanti. odotettu arvo; Saksan kieli Erwartung matemaattinen. Satunnaismuuttujan stokastinen keskiarvo tai dispersion keskus. Antinazi. Sosiologian tietosanakirja, 2009... Sosiologian tietosanakirja

Odotettu arvo- Katso myös: Ehdollinen odotus Matemaattinen odotus on satunnaismuuttujan keskiarvo, satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma otetaan huomioon todennäköisyysteoriassa. Englanninkielisessä kirjallisuudessa ja matemaattisessa ... ... Wikipediassa

Odotettu arvo- 1.14 Matemaattinen odotusarvo E (X), jossa diskreetin satunnaismuuttujan xi-arvot; p = P (X = xi); f(x) on jatkuvan satunnaismuuttujan tiheys * Jos tämä lauseke on olemassa absoluuttisen konvergenssin merkityksessä Lähde ... Normatiivisen ja teknisen dokumentaation termien sanakirja-viitekirja

Kirjat

Wir verwenden Cookies für die beste Präsentation unserer Web-sivusto. Wenn Sie diese Website weiterhin nutzen, stimmen Sie dem zu. OK

- poikien määrä 10 vastasyntyneen joukossa.

On aivan selvää, että tätä lukua ei tiedetä etukäteen, ja seuraavan kymmenen lapsen aikana saattaa syntyä:

Tai pojat - yksi ja ainoa luetelluista vaihtoehdoista.

Ja pysyäksesi kunnossa, vähän fyysistä koulutusta:

-pituushypyn matka (joissakin yksiköissä).

Edes urheilun mestari ei osaa ennustaa sitä :)

Mutta mitkä ovat hypoteesisi?

2) Jatkuva satunnaismuuttuja - ottaa kaikki numeeriset arvot joltain äärettömältä tai äärettömältä alueelta.

Huomautus : lyhenteet DSV ja NSV ovat suosittuja oppikirjallisuudessa

Analysoidaan ensin diskreetti satunnaismuuttuja, sitten - jatkuva.

Diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki

- Tämä vaatimustenmukaisuus tämän suuren mahdollisten arvojen ja niiden todennäköisyyksien välillä. Useimmiten laki kirjoitetaan taulukkoon:

Termi on melko yleinen rivi jakelu, mutta joissain tilanteissa se kuulostaa epäselvältä, ja siksi aion noudattaa "lakia".

Ja nyt erittäin tärkeä kohta: koska satunnaismuuttuja välttämättä hyväksyy yksi arvoista, sitten vastaavat tapahtumat muodostuvat täysi ryhmä ja niiden esiintymistodennäköisyyksien summa on yhtä suuri kuin yksi:

tai jos kirjoitetaan taitettuna:

Joten esimerkiksi lailla noppien pisteiden todennäköisyyksien jakautumisesta on seuraava muoto:

Ei kommentteja.

Saatat ajatella, että diskreetti satunnaismuuttuja voi saada vain "hyviä" kokonaislukuja. Hävitetään illuusio – ne voivat olla mitä tahansa:

Esimerkki 1

Joillakin peleillä on seuraava voittojakelulaki:

…luultavasti olet haaveillut sellaisista tehtävistä pitkään :) Kerron sinulle salaisuuden - minä myös. Varsinkin työn päätyttyä kenttäteoria.

Päätös: koska satunnaismuuttuja voi ottaa vain yhden kolmesta arvosta, vastaavat tapahtumat muodostuvat täysi ryhmä, mikä tarkoittaa, että niiden todennäköisyyksien summa on yhtä suuri kuin yksi:

Paljastamme "partisaanin":

– siis todennäköisyys voittaa tavanomaiset yksiköt on 0,4.

Hallinta: mitä sinun on varmistettava.

Vastaus:

Ei ole harvinaista, että jakelulaki on laadittava itsenäisesti. Tähän käyttöön klassinen todennäköisyyden määritelmä, tapahtumatodennäköisyyksien kerto-/lisäyslauseet ja muut sirut tervera:

Esimerkki 2

Laatikossa on 50 arpalippua, joista 12 voittaa, ja 2 niistä voittaa kukin 1000 ruplaa ja loput - 100 ruplaa kukin. Piirrä satunnaismuuttujan jakautumislaki - voiton suuruus, jos laatikosta nostetaan satunnaisesti yksi lippu.

Päätös: kuten huomasit, on tapana sijoittaa satunnaismuuttujan arvot nousevassa järjestyksessä. Siksi aloitamme pienimmistä voitoista, nimittäin ruplista.

Yhteensä tällaisia ​​lippuja on 50 - 12 = 38 kappaletta ja sen mukaan klassinen määritelmä:
on todennäköisyys, että satunnaisesti arvottu lippu ei voita.

Loput tapaukset ovat yksinkertaisia. Ruplavoiton todennäköisyys on:

Tarkistaminen: - ja tämä on erityisen miellyttävä hetki tällaisissa tehtävissä!

Vastaus: vaadittu maksunjakolaki:

Seuraava tehtävä itsenäistä päätöstä varten:

Esimerkki 3

Todennäköisyys, että ampuja osuu maaliin, on . Tee jakautumislaki satunnaismuuttujalle - osumien määrä 2 laukauksen jälkeen.

... Tiesin, että kaipasit häntä :) Muistamme kerto- ja yhteenlaskulauseet. Ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Jakaumalaki kuvaa täysin satunnaismuuttujan, mutta käytännössä on hyödyllistä (ja joskus hyödyllisempää) tietää vain osa siitä. numeeriset ominaisuudet .

Diskreetin satunnaismuuttujan matemaattinen odotus

Yksinkertaisesti sanottuna tämä keskimääräinen odotusarvo toistuvalla testauksella. Ottaa satunnaismuuttujan arvot todennäköisyyksineen vastaavasti. Sitten tämän satunnaismuuttujan matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin töiden summa kaikki sen arvot vastaavilla todennäköisyyksillä:

tai taitettuna:

Lasketaan esimerkiksi satunnaismuuttujan matemaattinen odotus - noppaan pudonneiden pisteiden määrä:

Muistetaan nyt hypoteettinen pelimme:

Herää kysymys: onko tämän pelin pelaaminen edes kannattavaa? ... kenellä on vaikutelmia? Joten et voi sanoa "suoraan"! Mutta tähän kysymykseen voidaan vastata helposti laskemalla matemaattinen odotus, pohjimmiltaan - painotettu keskiarvo voiton todennäköisyys:

Näin ollen tämän pelin matemaattiset odotukset häviämässä.

Älä luota vaikutelmiin - luota numeroihin!

Kyllä, täällä voit voittaa 10 tai jopa 20-30 kertaa peräkkäin, mutta pitkällä aikavälillä olemme väistämättä pilalla. Ja en neuvoisi sinua pelaamaan sellaisia ​​pelejä :) No, ehkä vain huvin vuoksi.

Kaikesta yllä olevasta seuraa, että matemaattinen odotus EI OLE SATUnnainen arvo.

Luova tehtävä itsenäiseen tutkimukseen:

Esimerkki 4

Mr X pelaa eurooppalaista rulettia seuraavan järjestelmän mukaisesti: hän panostaa jatkuvasti 100 ruplaa punaiselle. Laadi satunnaismuuttujan jakautumislaki - sen voitto. Laske matemaattinen voitto-odotus ja pyöristä se kopeikoihin. Kuinka paljon keskiverto häviääkö pelaaja jokaisesta sadaspanoksesta?

Viite : Eurooppalainen ruletti sisältää 18 punaista, 18 mustaa ja 1 vihreää sektoria ("nolla"). Jos "punainen" putoaa, pelaajalle maksetaan tuplaveto, muuten se menee kasinon tuloihin

On monia muita rulettijärjestelmiä, joille voit luoda omia todennäköisyystaulukoita. Mutta tämä on tilanne, kun emme tarvitse jakelulakeja ja -taulukoita, koska on varmaa, että pelaajan matemaattiset odotukset ovat täsmälleen samat. Vain muutokset järjestelmästä toiseen

Diskreetin satunnaismuuttujan matemaattinen odotus on kaikkien sen mahdollisten arvojen ja niiden todennäköisyyksien tulojen summa.

Olkoon satunnaismuuttuja, joiden todennäköisyydet ovat vastaavasti yhtä suuret, niin satunnaismuuttujan matemaattinen odotus määräytyy yhtälön perusteella

Jos diskreetti satunnaismuuttuja saa laskettavan joukon mahdollisia arvoja, niin

Lisäksi matemaattinen odotus on olemassa, jos yhtälön oikealla puolella olevat sarjat konvergoivat absoluuttisesti.

Kommentti. Määritelmästä seuraa, että diskreetin satunnaismuuttujan matemaattinen odotus on ei-satunnainen (vakio) muuttuja.

Matemaattisen odotuksen määritelmä yleisessä tapauksessa

Määritellään matemaattinen odotus satunnaismuuttujalle, jonka jakauma ei välttämättä ole diskreetti. Aloitetaan ei-negatiivisten satunnaismuuttujien tapauksesta. Ajatuksena on approksimoida diskreettien avulla sellaisia ​​satunnaismuuttujia, joille matemaattinen odotus on jo määritetty, ja asettaa matemaattinen odotus yhtä suureksi kuin sitä approksimoivien diskreettien satunnaismuuttujien matemaattisten odotusten raja. Muuten, tämä on erittäin hyödyllinen yleinen idea, joka koostuu siitä, että jokin ominaisuus määritetään ensin yksinkertaisille objekteille ja sitten monimutkaisemmille objekteille se määritetään lähentämällä niitä yksinkertaisemmilla.

Lemma 1. Olkoon mielivaltainen ei-negatiivinen satunnaismuuttuja. Sitten on diskreettien satunnaismuuttujien sarja sellainen, että

Todiste. Jaetaan puoliakseli yhtäpituisiin segmentteihin ja määritellään

Sitten ominaisuudet 1 ja 2 seuraavat helposti satunnaismuuttujan määritelmästä, ja

Lemma 2. Olkoon ei-negatiivinen satunnaismuuttuja ja kaksi diskreettien satunnaismuuttujien sarjaa, joiden ominaisuudet ovat 1-3 lemasta 1. Sitten

Todiste. Huomaa, että sallimme ei-negatiiviset satunnaismuuttujat

Ominaisuuden 3 perusteella on helppo nähdä, että positiivisten lukujen sarja on sellainen, että

Tästä seuraa siis

Käyttämällä diskreettien satunnaismuuttujien matemaattisten odotusten ominaisuuksia saadaan

Ylitämme rajan, kun saamme Lemman 2 väitteen.

Määritelmä 1. Olkoon ei-negatiivinen satunnaismuuttuja, joka on diskreettien satunnaismuuttujien sarja, joiden ominaisuudet ovat 1-3 lemasta 1. Satunnaismuuttujan matemaattinen odotus on luku

Lemma 2 takaa, että se ei riipu approksimoivan sekvenssin valinnasta.

Olkoon nyt mielivaltainen satunnaismuuttuja. Määritellään

Määritelmästä ja siitä seuraa helposti

Määritelmä 2. Mielivaltaisen satunnaismuuttujan matemaattinen odotus on luku

Jos ainakin yksi tämän yhtälön oikealla puolella olevista luvuista on äärellinen.

Odotusominaisuudet

Ominaisuus 1. Vakion arvon matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin itse vakio:

Todiste. Tarkastellaan vakiota diskreettinä satunnaismuuttujana, jolla on yksi mahdollinen arvo ja joka ottaa sen todennäköisyydellä, joten

Huomautus 1. Määrittelemme diskreetin satunnaismuuttujan vakioarvon tulon diskreetiksi satunnaismuuttujaksi, jonka mahdolliset arvot ovat yhtä suuret kuin vakion tulot mahdollisilla arvoilla; mahdollisten arvojen todennäköisyydet ovat yhtä suuret kuin vastaavien mahdollisten arvojen todennäköisyys. Esimerkiksi jos mahdollisen arvon todennäköisyys on yhtä suuri, niin todennäköisyys, että arvo saa arvon, on myös yhtä suuri kuin

Ominaisuus 2. Odotusmerkistä voidaan ottaa pois vakiotekijä:

Todiste. Olkoon satunnaismuuttuja annettu todennäköisyysjakauman lailla:

Huomautusta 1 huomioiden kirjoitamme satunnaismuuttujan jakauman lain

Huomautus 2. Ennen kuin siirrymme seuraavaan ominaisuuteen, huomautamme, että kahta satunnaismuuttujaa kutsutaan itsenäisiksi, jos toisen jakaumalaki ei riipu siitä, mitkä mahdolliset arvot toinen muuttuja on saanut. Muuten satunnaismuuttujat ovat riippuvaisia. Useita satunnaismuuttujia kutsutaan toisistaan ​​riippumattomiksi, jos minkä tahansa määrän jakautumislait eivät riipu siitä, mitä mahdollisia arvoja muut muuttujat ovat saaneet.

Huomautus 3. Määrittelemme riippumattomien satunnaismuuttujien tulon ja satunnaismuuttujana, jonka mahdolliset arvot ovat yhtä suuret kuin kunkin mahdollisen arvon tulot tuotteen mahdollisten arvojen todennäköisyyksien jokaisella mahdollisella arvolla tekijöiden mahdollisten arvojen todennäköisyyksien tuloihin. Esimerkiksi jos mahdollisen arvon todennäköisyys on, mahdollisen arvon todennäköisyys on silloin mahdollisen arvon todennäköisyys on

Ominaisuus 3. Kahden riippumattoman satunnaismuuttujan tulon matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin niiden matemaattisten odotusten tulo:

Todiste. Olkoon riippumattomat satunnaismuuttujat omilla todennäköisyysjakaumalailla:

Laadi kaikki arvot, jotka satunnaismuuttuja voi saada. Tätä varten kerromme kaikki mahdolliset arvot kullakin mahdollisella arvolla; tuloksena saamme ja huomautuksen 3 huomioon ottaen kirjoitamme jakelulain olettaen yksinkertaisuuden vuoksi, että tuotteen kaikki mahdolliset arvot ovat erilaisia ​​(jos näin ei ole, niin todistus suoritetaan samalla tavalla):

Matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin kaikkien mahdollisten arvojen tulojen summa todennäköisyyksillään:

Seuraus. Useiden toisistaan ​​riippumattomien satunnaismuuttujien tulon matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin niiden matemaattisten odotusten tulo.

Ominaisuus 4. Kahden satunnaismuuttujan summan matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin termien matemaattisten odotusten summa:

Todiste. Olkoon satunnaismuuttujat ja annettu seuraavilla jakautumislailla:

Laadi kaikki mahdolliset suuren arvot Tätä varten lisää jokainen mahdollinen arvo kuhunkin mahdolliseen arvoon; saamme Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että nämä mahdolliset arvot ovat erilaisia ​​(jos näin ei ole, niin todiste suoritetaan samalla tavalla), ja merkitsemme niiden todennäköisyydet vastaavasti

Arvon matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin mahdollisten arvojen tulojen summa niiden todennäköisyyksien mukaan:

Osoitetaan, että tapahtumaan, joka koostuu arvon ottamisesta (tämän tapahtuman todennäköisyys on yhtä suuri), sisältyy tapahtuma, joka koostuu arvon ottamisesta tai (tämän tapahtuman todennäköisyys on yhtä suuri summauslauseen mukaan) ja päinvastoin. Tästä seuraa, että Tasa-arvo

Korvaamalla näiden yhtälöiden oikeat osat suhteeseen (*), saadaan

tai lopulta

Dispersio ja keskihajonta

Käytännössä on usein tarpeen arvioida satunnaismuuttujan mahdollisten arvojen hajonta sen keskiarvon ympärillä. Esimerkiksi tykistössä on tärkeää tietää, kuinka läheltä ammukset putoavat lähelle kohdetta, johon pitäisi osua.

Ensi silmäyksellä saattaa tuntua, että helpoin tapa arvioida sironta on laskea kaikki mahdolliset satunnaismuuttujan poikkeaman arvot ja löytää sitten niiden keskiarvo. Tämä polku ei kuitenkaan anna mitään, koska poikkeaman keskiarvo, ts. mille tahansa satunnaismuuttujalle on nolla. Tämä ominaisuus selittyy sillä, että jotkut mahdolliset poikkeamat ovat positiivisia, kun taas toiset ovat negatiivisia; niiden keskinäisen kumoamisen seurauksena poikkeaman keskiarvo on nolla. Nämä näkökohdat osoittavat tarkoituksenmukaisuuden korvata mahdolliset poikkeamat niiden absoluuttisilla arvoilla tai niiden neliöillä. Näin he tekevät sen käytännössä. Totta, siinä tapauksessa, että mahdolliset poikkeamat korvataan niiden absoluuttisilla arvoilla, on toimittava absoluuttisilla arvoilla, mikä joskus johtaa vakaviin vaikeuksiin. Siksi useimmiten ne menevät toisin päin, ts. laskea poikkeaman, jota kutsutaan varianssiksi, keskiarvo.