Oppitunti sarjasta "Geometric Algorithms"

Hei rakas lukija!

Tänään aloitamme geometriaan liittyvien algoritmien oppimisen. Tosiasia on, että tietojenkäsittelytieteessä on paljon laskennalliseen geometriaan liittyviä olympiaongelmia, ja tällaisten ongelmien ratkaiseminen aiheuttaa usein vaikeuksia.

Muutamalla oppitunnilla tarkastelemme useita alkeellisia osaongelmia, joihin useimpien laskennallisen geometrian ongelmien ratkaisu perustuu.

Tällä oppitunnilla kirjoitamme ohjelman suoran yhtälön löytäminen kulkee annetun läpi kaksi pistettä. Geometristen ongelmien ratkaisemiseksi tarvitsemme jonkin verran tietoa laskennallisesta geometriasta. Omistamme osan oppitunnista heidän tuntemiseensa.

Tietoa laskennallisesta geometriasta

Laskennallinen geometria on tietojenkäsittelytieteen ala, joka tutkii algoritmeja geometristen ongelmien ratkaisemiseksi.

Tällaisten ongelmien alkutiedot voivat olla tason pistejoukko, segmenttijoukko, monikulmio (joka on annettu esimerkiksi luettelolla sen kärkipisteistä myötäpäivään) jne.

Tuloksena voi olla joko vastaus johonkin kysymykseen (kuten kuuluuko piste janaan, leikkaavatko kaksi segmenttiä, ...) tai jokin geometrinen kohde (esim. pienin kupera monikulmio, joka yhdistää tiettyjä pisteitä, pinta-ala monikulmio jne.).

Käsittelemme laskennallisen geometrian ongelmia vain tasossa ja vain karteesisessa koordinaatistossa.

Vektorit ja koordinaatit

Laskennallisen geometrian menetelmien soveltamiseksi on välttämätöntä kääntää geometriset kuvat lukujen kielelle. Oletetaan, että tasossa on annettu karteesinen koordinaattijärjestelmä, jossa pyörimissuuntaa vastapäivään kutsutaan positiiviseksi.

Nyt geometriset objektit saavat analyyttisen lausekkeen. Joten pisteen asettamiseksi riittää, että määrität sen koordinaatit: numeropari (x; y). Jana voidaan määrittää määrittämällä sen päiden koordinaatit, suora voidaan määrittää määrittämällä sen pisteparin koordinaatit.

Mutta tärkein työkalu ongelmien ratkaisemiseen ovat vektorit. Muistutan siksi joitain tietoja heistä.

Jana AB, jolla on järkeä MUTTA pidettiin alkua (sovelluskohtaa) ja kohtaa AT- loppua kutsutaan vektoriksi AB ja merkitse joko , tai lihavointia pienet kirjaimet, Esimerkiksi a .

Vektorin pituuden (eli vastaavan segmentin pituuden) ilmaisemiseksi käytämme moduulisymbolia (esimerkiksi ).

Satunnaisella vektorilla on koordinaatit, yhtäläiset erot vastaavat sen lopun ja alun koordinaatit:

,

pisteitä täällä A ja B on koordinaatit vastaavasti.

Laskennassa käytämme käsitettä suunnattu kulma, eli kulma, joka ottaa huomioon vektorien suhteellisen sijainnin.

Suunnattu kulma vektorien välillä a ja b positiivinen, jos rotaatio on poispäin vektorista a vektoriin b tehdään positiiviseen suuntaan (vastapäivään) ja negatiiviseen toisessa tapauksessa. Katso kuva 1a, kuva 1b. Sanotaan myös, että vektoripari a ja b positiivisesti (negatiivisesti) suuntautunut.

Siten suunnatun kulman arvo riippuu vektorien luettelointijärjestyksestä ja voi ottaa arvoja välillä .

Monet laskennallisen geometrian ongelmat käyttävät vektorien vektoritulojen (vino tai pseudoskalaari) käsitettä.

Vektorien a ja b vektoritulo on näiden vektorien pituuksien ja niiden välisen kulman sinin tulo:

.

Koordinaattien vektorien vektoritulo:

Oikealla oleva lauseke on toisen asteen determinantti:

Toisin kuin analyyttisen geometrian määritelmä, tämä on skalaari.

Ristitulon merkki määrittää vektorien sijainnin suhteessa toisiinsa:

a ja b positiivisesti suuntautunut.

Jos arvo on , niin vektoripari a ja b negatiivisesti suuntautunut.

Nollasta poikkeavien vektorien ristitulo on nolla silloin ja vain jos ne ovat kollineaarisia ( ). Tämä tarkoittaa, että ne sijaitsevat samalla linjalla tai yhdensuuntaisilla viivoilla.

Tarkastellaan joitain yksinkertaisia ​​tehtäviä, jotka ovat välttämättömiä monimutkaisempien ratkaisemiseksi.

Määritetään suoran yhtälö kahden pisteen koordinaatteilla.

Kahden eri pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö niiden koordinaattien perusteella.

Olkoon suoralla kaksi eri pistettä: koordinaatit (x1;y1) ja koordinaatit (x2; y2). Vastaavasti vektorilla, jonka alku on pisteessä ja loppu pisteessä, on koordinaatit (x2-x1, y2-y1). Jos P(x, y) on mielivaltainen piste suorallamme, niin vektorin koordinaatit ovat (x-x1, y - y1).

Ristitulon avulla vektorien kollineaarisuuden ehto ja voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Nuo. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Kirjoitamme viimeisen yhtälön uudelleen seuraavasti:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Joten suora voidaan antaa muodon (1) yhtälöllä.

Tehtävä 1. Annetaan kahden pisteen koordinaatit. Etsi sen esitys muodossa ax + by + c = 0.

Tällä oppitunnilla tutustuimme joihinkin tietoihin laskennallisesta geometriasta. Ratkaisimme suoran yhtälön löytämisen kahden pisteen koordinaattien avulla.

Seuraavalla oppitunnilla kirjoitamme ohjelman, joka etsii kahden yhtälömme antaman suoran leikkauspisteen.

Annetaan kaksi pistettä M 1 (x 1, y 1) ja M 2 (x 2, y 2). Kirjoitamme suoran yhtälön muotoon (5), missä k vielä tuntematon kerroin:

Kohdasta lähtien M 2 kuuluu tiettyyn riviin, niin sen koordinaatit täyttävät yhtälön (5): . Ilmaisemalla tästä ja korvaamalla sen yhtälöön (5) saamme halutun yhtälön:

Jos Tämä yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon, joka on helpompi muistaa:

(6)

Esimerkki. Kirjoita pisteiden M 1 (1.2) ja M 2 (-2.3) kautta kulkevan suoran yhtälö.

Päätös. . Käyttämällä suhteellisuusominaisuutta ja suorittamalla tarvittavat muunnokset, saamme suoran yleisen yhtälön:

Kahden viivan välinen kulma

Harkitse kahta riviä l 1 ja l 2:

l 1: , , ja

l 2: , ,

φ on niiden välinen kulma (). Kuva 4 näyttää: .

Täältä , tai

Kaavan (7) avulla voidaan määrittää yksi viivojen välisistä kulmista. Toinen kulma on .

Esimerkki. Kaksi suoraa saadaan yhtälöistä y=2x+3 ja y=-3x+2. etsi näiden viivojen välinen kulma.

Päätös. Yhtälöistä voidaan nähdä, että k 1 \u003d 2 ja k 2 \u003d-3. korvaamalla nämä arvot kaavaan (7), löydämme

. Joten näiden viivojen välinen kulma on .

Kahden suoran yhdensuuntaisuuden ja kohtisuoran ehdot

Jos suoraan l 1 ja l 2 ovat siis yhdensuuntaiset φ=0 ja tgφ = 0. kaavasta (7) seuraa, että , mistä k 2 \u003d k 1. Siten kahden suoran yhdensuuntaisuuden ehto on niiden kaltevuuden yhtäläisyys.

Jos suoraan l 1 ja l 2 kohtisuorassa siis φ = π/2, α2 = π/2+ α1. . Siten kahden suoran kohtisuoran ehtona on, että niiden kaltevuus on suuruudeltaan käänteinen ja vastakkainen etumerkillä.

Etäisyys pisteestä linjaan

Lause. Jos annetaan piste M(x 0, y 0), niin etäisyys linjaan Ax + Vy + C \u003d 0 määritellään seuraavasti

Todiste. Olkoon piste M 1 (x 1, y 1) pisteestä M annettuun suoraan pudotetun kohtisuoran kanta. Sitten pisteiden M ja M 1 välinen etäisyys:

Koordinaatit x 1 ja y 1 löytyvät ratkaisuna yhtälöjärjestelmään:

Järjestelmän toinen yhtälö on suoran yhtälö, joka kulkee tietyn pisteen M 0 kautta kohtisuorassa tiettyä suoraa vastaan.

Jos muunnamme järjestelmän ensimmäisen yhtälön muotoon:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sitten ratkaisemalla saamme:

Korvaamalla nämä lausekkeet yhtälöön (1), löydämme:

Lause on todistettu.

Esimerkki. Määritä viivojen välinen kulma: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2tgj=; j = p/4.

Esimerkki. Osoita, että suorat 3x - 5y + 7 = 0 ja 10x + 6y - 3 = 0 ovat kohtisuorassa.

Löydämme: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, joten viivat ovat kohtisuorassa.

Esimerkki. Kolmion A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) kärjet on annettu. Etsi kärjestä C piirretty korkeuden yhtälö.

Löydämme sivun AB yhtälön: ; 4x = 6y - 6;

2x - 3v + 3 = 0;

Haluttu korkeusyhtälö on: Ax + By + C = 0 tai y = kx + b.

k= . Sitten y = . Koska korkeus kulkee pisteen C kautta, jolloin sen koordinaatit täyttyvät tämä yhtälö: josta b = 17. Yhteensä: .

Vastaus: 3x + 2v - 34 = 0.

Etäisyys pisteestä suoraan määräytyy pisteestä suoralle pudonneen kohtisuoran pituuden mukaan.

Jos suora on yhdensuuntainen projektiotason kanssa (t | | P 1), sitten määrittääksesi etäisyyden pisteestä MUTTA suoraan h pisteestä on pudotettava kohtisuora MUTTA vaakasuoraan h.

Harkitse lisää monimutkainen esimerkki kun linja on täynnä yleinen asema. Olkoon tarpeen määrittää etäisyys pisteestä M suoraan a yleinen asema.

Määritelmätehtävä yhdensuuntaisten viivojen väliset etäisyydet ratkaistu samalla tavalla kuin edellinen. Yhdeltä suoralta otetaan piste ja siitä piirretään kohtisuora toiselle suoralle. Pystysuoran pituus on yhtä suuri kuin yhdensuuntaisten viivojen välinen etäisyys.

Toisen järjestyksen käyrä on suora, jonka määrittää toisen asteen yhtälö nykyisten suorakulmaisten koordinaattien suhteen. Yleisessä tapauksessa Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F \u003d 0,

jossa A, B, C, D, E, F ovat reaalilukuja ja ainakin yksi luvuista A 2 + B 2 + C 2 ≠0.

Ympyrä

Ympyrän keskipiste- tämä on tason pisteiden paikka, jotka ovat yhtä kaukana tason C pisteestä (a, b).

Ympyrä saadaan seuraavalla yhtälöllä:

Missä x, y ovat mielivaltaisen ympyrän pisteen koordinaatit, R on ympyrän säde.

Ympyräyhtälön merkki

1. Ei ole termiä x, y

2. Kertoimet kohdissa x 2 ja y 2 ovat yhtä suuret

Ellipsi

Ellipsi kutsutaan tason pisteiden paikkaa, joiden kunkin etäisyyden summaa tämän tason kahdesta annetusta pisteestä kutsutaan polttopisteeksi (vakioarvo).

Ellipsin kanoninen yhtälö:

X ja y kuuluvat ellipsiin.

a on ellipsin pääpuoliakseli

b on ellipsin pieni puoliakseli

Ellipsissä on 2 symmetria-akselia OX ja OY. Ellipsin symmetria-akselit ovat sen akseleita, niiden leikkauspiste on ellipsin keskipiste. Akselia, jolla polttopisteet sijaitsevat, kutsutaan polttoakseli. Ellipsin ja akselien leikkauspiste on ellipsin kärki.

Puristus (venytys) suhde: ε = c/a- epäkeskisyys (luonnollistaa ellipsin muotoa), mitä pienempi se on, sitä vähemmän ellipsi ulottuu polttoakselia pitkin.

Jos ellipsin keskipisteet eivät ole keskustassa С(α, β)

Hyperbeli

Hyperbolia jota kutsutaan tason pisteiden paikaksi, itseisarvo etäisyyksissä, joista kukin on tämän tason kahdesta annetusta pisteestä, jota kutsutaan polttopisteiksi, on vakioarvo, joka eroaa nollasta.

Hyperbolin kanoninen yhtälö

Hyperbolalla on kaksi symmetria-akselia:

a - todellinen symmetrian puoliakseli

b - kuvitteellinen symmetrian puoliakseli

Hyperbolan asymptootit:

Paraabeli

paraabeli on pisteiden paikka tasossa, joka on yhtä kaukana tietystä pisteestä F, jota kutsutaan fokuseksi, ja tietystä suorasta, jota kutsutaan suuntaviivaksi.

Kanoninen paraabeliyhtälö:

Y 2 \u003d 2px, missä p on etäisyys kohdistuksesta suuntaviivaan (paraabeliparametri)

Jos paraabelin kärki on C (α, β), niin paraabelin yhtälö (y-β) 2 \u003d 2p (x-α)

Jos polttoakseli otetaan y-akseliksi, paraabeliyhtälö on muodossa: x 2 \u003d 2qy

Tason suoran yhtälö.
Suuntavektori on suora. Normaali vektori

Tasossa oleva suora on yksi yksinkertaisimmista geometrisista muodoista, joka on tuttu sinulle perusluokista lähtien, ja tänään opimme käsittelemään sitä analyyttisen geometrian menetelmillä. Materiaalin hallitsemiseksi on pystyttävä rakentamaan suora viiva; tietää mikä yhtälö määrittelee suoran, erityisesti origon kautta kulkevan suoran ja koordinaattiakselien suuntaiset suorat. Nämä tiedot löytyvät käsikirjasta. Alkeisfunktioiden kuvaajat ja ominaisuudet, loin sen matanille, mutta lineaarifunktiota käsittelevä osio osoittautui erittäin onnistuneeksi ja yksityiskohtaiseksi. Siksi, rakkaat teekannut, lämmitkää ensin siellä. Lisäksi sinulla on oltava perustietämys noin vektorit muuten materiaalin ymmärtäminen jää puutteelliseksi.

Tällä oppitunnilla tarkastellaan tapoja, joilla voit kirjoittaa suoran yhtälön tasoon. Suosittelen, että et unohda käytännön esimerkkejä (vaikka se näyttää hyvin yksinkertaiselta), sillä annan heille alkeet ja tärkeät faktat, teknisiä menetelmiä, joita tarvitaan tulevaisuudessa, myös muissa korkeamman matematiikan osissa.

• Kuinka kirjoittaa yhtälö suorasta viivasta, jossa on kaltevuus?
• Miten ?
• Kuinka löytää suuntavektori suoran yleisen yhtälön avulla?
• Kuinka kirjoittaa yhtälö suorasta pisteestä ja normaalivektorista?

ja aloitamme:

Viivayhtälö kaltevuuden kanssa

Tunnettua suoran yhtälön "koulumuotoa" kutsutaan yhtälö suoran kanssa kaltevuustekijä . Jos esimerkiksi yhtälö antaa suoran, niin sen kaltevuus: . Harkitse geometrinen tunne annettu kerroin ja kuinka sen arvo vaikuttaa linjan sijaintiin:

Geometrian aikana se on todistettu suoran kaltevuus on kulman tangentti positiivisen akselin suunnan välilläja annettu rivi: , ja kulma "kierretään auki" vastapäivään.

Jotta piirustus ei sotkeutuisi, piirsin kulmia vain kahdelle suoralle viivalla. Harkitse "punaista" suoraa ja sen kaltevuutta. Yllä olevan mukaan: (kulma "alfa" on merkitty vihreällä kaarella). "Siniselle" suoralle viivalle kaltevuuden kanssa tasa-arvo on totta (kulma "beta" osoitetaan ruskealla kaarella). Ja jos kulman tangentti tunnetaan, niin se on tarvittaessa helppo löytää ja nurkkaan käyttämällä käänteisfunktiota - arctangentti. Kuten sanotaan, trigonometrinen taulukko tai laskin kädessä. Täten, kaltevuus kuvaa suoran kaltevuuden astetta x-akseliin nähden.

Tässä tapauksessa seuraavat tapaukset ovat mahdollisia:

1) Jos kaltevuus on negatiivinen: , viiva kulkee karkeasti sanottuna ylhäältä alas. Esimerkkejä ovat "siniset" ja "punaiset" suorat viivat piirustuksessa.

2) Jos kaltevuus on positiivinen: , viiva kulkee alhaalta ylös. Esimerkkejä ovat "musta" ja "punainen" suorat viivat piirustuksessa.

3) Jos kaltevuus on yhtä suuri kuin nolla: , yhtälö saa muotoa , ja vastaava suora on yhdensuuntainen akselin kanssa. Esimerkki on "keltainen" viiva.

4) Akselin suuntaisten suorien perheelle (piirustuksessa ei ole esimerkkiä, paitsi itse akseli), kaltevuus ei ole olemassa (90 asteen tangenttia ei ole määritelty).

Mitä suurempi kaltevuusmoduuli, sitä jyrkemmäksi viivakaavio menee.

Tarkastellaan esimerkiksi kahta suoraa. Tässä suoralla viivalla on jyrkempi kaltevuus. Muistutan, että moduuli antaa sinun jättää huomiotta merkin, olemme vain kiinnostuneita absoluuttiset arvot kulmakertoimet.

Suora viiva puolestaan ​​on jyrkempi kuin suora. .

Päinvastoin: mitä pienempi kaltevuus modulo, sitä tasaisempi suora viiva on.

Suorille linjoille epäyhtälö on totta, joten suora viiva on enemmän kuin katos. Lasten liukumäki, jotta ei istuta mustelmia ja kuoppia.

Miksi tätä tarvitaan?

Pidennä kärsimystäsi Yllä olevien tosiseikkojen tietäminen antaa sinun nähdä välittömästi virheesi, erityisesti virheet kaavioiden piirtämisessä - jos piirustus osoittautui "selvästi jotain vialla". On toivottavaa, että sinä heti oli selvää, että esimerkiksi suora on erittäin jyrkkä ja kulkee alhaalta ylös, ja suora on erittäin tasainen, lähellä akselia ja kulkee ylhäältä alas.

Geometrisissa tehtävissä esiintyy usein useita suoria viivoja, joten ne on kätevä merkitä jollain tavalla.

Merkintä: suorat viivat on merkitty pienillä latinalaisilla kirjaimilla: . Suosittu vaihtoehto on saman kirjaimen merkitseminen luonnollisilla alaindeksillä. Esimerkiksi viisi riviä, joita juuri tarkastelimme, voidaan merkitä .

Koska minkä tahansa suoran määrittää yksiselitteisesti kaksi pistettä, se voidaan merkitä seuraavilla pisteillä: jne. Merkintä viittaa aivan selvästi siihen, että pisteet kuuluvat suoralle.

Aika rentoutua hieman:

Kuinka kirjoittaa yhtälö suorasta viivasta, jossa on kaltevuus?

Jos tiedetään piste, joka kuuluu tiettyyn suoraan, ja tämän suoran kaltevuus, tämän suoran yhtälö ilmaistaan ​​kaavalla:

Esimerkki 1

Muodosta yhtälö suorasta kulmasta, jos tiedetään, että piste kuuluu tähän suoraan.

Päätös: Muodostamme suoran yhtälön kaavan mukaan . Tässä tapauksessa:

Vastaus:

Tutkimus suoritettu alkeellisesti. Ensin tarkastelemme tuloksena olevaa yhtälöä ja varmistamme, että kaltevuus on paikallaan. Toiseksi pisteen koordinaattien on täytettävä annettu yhtälö. Yhdistämme ne yhtälöön:

Saadaan oikea yhtälö, mikä tarkoittaa, että piste täyttää tuloksena olevan yhtälön.

Johtopäätös: Yhtälö löydetty oikein.

Hankalempi esimerkki tee-se-itse-ratkaisusta:

Esimerkki 2

Kirjoita suoran yhtälö, jos tiedetään, että sen kaltevuuskulma akselin positiiviseen suuntaan on , ja piste kuuluu tähän suoraan.

Jos sinulla on ongelmia, lue uudelleen teoreettista materiaalia. Tarkemmin, käytännöllisemmin, kaipaan monia todisteita.

soitti viimeinen puhelu, tanssiaiset ovat hiljentyneet ja porttien ulkopuolella kotikoulu odotamme itse asiassa analyyttistä geometriaa. Vitsit loppui... Ehkä se on vasta alussa =)

Nostalgisesti heilutamme kahvaa tutulle ja tutustumme suoran yleiseen yhtälöön. Koska analyyttisessä geometriassa juuri tämä on käytössä:

Suoran suoran yleisellä yhtälöllä on muoto: , missä on joitain numeroita. Samaan aikaan kertoimet samanaikaisesti eivät ole yhtä suuret kuin nolla, koska yhtälö menettää merkityksensä.

Pukeudutaan pukuun ja sidotaan yhtälö rinteeseen. Ensin siirrämme kaikki ehdot vasemmalle puolelle:

Termi "x" on asetettava ensimmäiselle sijalle:

Periaatteessa yhtälöllä on jo muoto , mutta matemaattisen etiketin sääntöjen mukaan ensimmäisen termin kertoimen (tässä tapauksessa ) on oltava positiivinen. Muuttuvat merkit:

Muista tämä tekninen ominaisuus! Teemme ensimmäisestä kertoimesta (useimmiten) positiivisen!

Analyyttisessä geometriassa suoran yhtälö annetaan melkein aina sisään yleinen muoto. No, tarvittaessa se on helppo tuoda "koulu"-muotoon, jossa on kaltevuus (lukuun ottamatta y-akselin suuntaisia ​​suoria viivoja).

Kysytään itseltämme mitä tarpeeksi osaatko rakentaa suoran? Kaksi pistettä. Mutta tästä lapsuuden tapauksesta myöhemmin, nyt pysyy nuolien säännössä. Jokaisella suoralla on hyvin määritelty kaltevuus, johon se on helppo "sopeutua" vektori.

Vektoria, joka on yhdensuuntainen suoran kanssa, kutsutaan tämän suoran suuntavektoriksi.. On selvää, että millä tahansa suoralla on äärettömän monta suuntavektoria, ja ne kaikki ovat kollineaarisia (yhteisohjattuja vai ei - sillä ei ole väliä).

Merkitsen suuntavektorin seuraavasti: .

Mutta yksi vektori ei riitä rakentamaan suoraa, vektori on vapaa eikä ole kiinnittynyt mihinkään tason pisteeseen. Siksi on lisäksi tarpeen tietää jokin linjaan kuuluva piste.

Kuinka kirjoittaa yhtälö suorasta pisteestä ja suuntavektorista?

Jos tietty viivaan kuuluva piste ja tämän suoran suuntavektori tunnetaan, tämän suoran yhtälö voidaan koota kaavalla:

Joskus sitä kutsutaan suoran kanoninen yhtälö .

Mitä tehdä milloin yksi koordinaateista on nolla, tarkastelemme alla käytännön esimerkkejä. Muuten, huomio - molemmat kerralla koordinaatit eivät voi olla nolla, koska nollavektori ei määritä tiettyä suuntaa.

Esimerkki 3

Kirjoita yhtälö suorasta pisteestä ja suuntavektorista

Päätös: Muodostamme suoran yhtälön kaavan mukaan. Tässä tapauksessa:

Suhteen ominaisuuksien avulla pääsemme eroon murtoluvuista:

Ja tuomme yhtälön yleisnäkymä:

Vastaus:

Tällaisten esimerkkien piirtäminen ei yleensä ole välttämätöntä, mutta ymmärtämisen vuoksi:

Piirustuksessa nähdään aloituspiste, alkuperäinen suuntavektori (se voidaan lykätä mistä tahansa tason pisteestä) ja muodostettu viiva. Muuten, monissa tapauksissa suoran linjan rakentaminen suoritetaan kätevimmin käyttämällä kaltevuusyhtälöä. Yhtälömme on helppo muuntaa muotoon ja ilman ongelmia poimia vielä yksi piste suoran rakentamiseksi.

Kuten osan alussa todettiin, suoralla on äärettömän monta suuntavektoria, ja ne ovat kaikki kollineaarisia. Esimerkiksi piirsin kolme tällaista vektoria: . Minkä suuntavektorin valitsemmekin, tuloksena on aina sama suora yhtälö.

Muodostetaan suoran yhtälö pisteestä ja suuntavektorista:

Osuuden jaottelu:

Jaa molemmat puolet -2:lla ja hanki tuttu yhtälö:

Halukkaat voivat testata vektoreita samalla tavalla tai mikä tahansa muu kollineaarinen vektori.

Ratkaistaan ​​nyt käänteinen ongelma:

Kuinka löytää suuntavektori suoran yleisen yhtälön avulla?

Erittäin yksinkertainen:

Jos suora on annettu yleisellä yhtälöllä suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa, niin vektori on tämän suoran suuntavektori.

Esimerkkejä suorien suuntavektorien löytämisestä:

Lausekkeen avulla voimme löytää vain yhden suuntavektorin äärettömästä joukosta, mutta emme tarvitse enempää. Vaikka joissakin tapauksissa on suositeltavaa pienentää suuntavektorien koordinaatteja:

Yhtälö määrittää siis suoran, joka on yhdensuuntainen akselin kanssa, ja tuloksena olevan ohjausvektorin koordinaatit jaetaan kätevästi -2:lla, jolloin ohjausvektoriksi saadaan täsmälleen kantavektori. Loogisesti.

Vastaavasti yhtälö määrittelee akselin suuntaisen suoran, ja jakamalla vektorin koordinaatit viidellä, saadaan suuntavektoriksi ort.

Nyt toteutetaan tarkista esimerkki 3. Esimerkki nousi, joten muistutan, että siinä teimme suoran yhtälön käyttämällä pistettä ja suuntavektoria

Ensinnäkin, suoran yhtälön mukaisesti palautamme sen suuntavektorin: - kaikki on kunnossa, saimme alkuperäisen vektorin (joissain tapauksissa se voi osoittautua kollineaariseksi alkuperäisen vektorin kanssa, ja tämä on yleensä helppo nähdä vastaavien koordinaattien suhteellisuudesta).

toiseksi, pisteen koordinaattien on täytettävä yhtälö . Korvaamme ne yhtälöön:

Oikea tasa-arvo on saavutettu, mihin olemme erittäin tyytyväisiä.

Johtopäätös: Työ suoritettu oikein.

Esimerkki 4

Kirjoita yhtälö suorasta pisteestä ja suuntavektorista

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa. On erittäin toivottavaa suorittaa tarkistus juuri tarkasteltavan algoritmin mukaan. Yritä aina (jos mahdollista) tarkistaa luonnos. On typerää tehdä virheitä siellä, missä ne voidaan 100 % välttää.

Jos jokin suuntavektorin koordinaateista on nolla, se on hyvin yksinkertaista:

Esimerkki 5

Päätös: Kaava on virheellinen, koska oikeanpuoleinen nimittäjä on nolla. Siellä on uloskäynti! Suhteen ominaisuuksien avulla kirjoitamme kaavan uudelleen muotoon ja loput rullaamme syvää uraa pitkin:

Vastaus:

Tutkimus:

1) Palauta suoran suuntavektori:
– tuloksena oleva vektori on kollineaarinen alkuperäisen suuntavektorin kanssa.

2) Korvaa yhtälön pisteen koordinaatit:

Oikea tasa-arvo saavutetaan

Johtopäätös: työ suoritettu oikein

Herää kysymys, miksi vaivautua kaavan kanssa, jos on olemassa universaali versio, joka toimii joka tapauksessa? Siihen on kaksi syytä. Ensinnäkin murtokaava paljon parempi muistaa. Ja toiseksi, universaalin kaavan haittapuoli on se huomattavasti lisääntynyt sekaannusriski koordinaatteja vaihdettaessa.

Esimerkki 6

Laadi pisteen ja suuntavektorin antaman suoran yhtälö.

Tämä on tee-se-itse-esimerkki.

Palataan arjen kahteen asiaan:

Kuinka kirjoittaa kahdella pisteellä olevan suoran yhtälö?

Jos tunnetaan kaksi pistettä, näiden pisteiden läpi kulkevan suoran yhtälö voidaan laatia kaavalla:

Itse asiassa tämä on eräänlainen kaava, ja tästä syystä: jos kaksi pistettä tunnetaan, niin vektori on tämän suoran suuntavektori. Oppitunnilla Vektorit tutille mietimme yksinkertaisin tehtävä– kuinka löytää vektorin koordinaatit kahdesta pisteestä. Tämän tehtävän mukaan suuntavektorin koordinaatit:

Huomautus : pisteitä voidaan "vaihtaa" ja käyttää kaavaa . Tällainen päätös olisi tasa-arvoinen.

Esimerkki 7

Kirjoita suoran yhtälö kahdesta pisteestä .

Päätös: Käytä kaavaa:

Kampaamme nimittäjät:

Ja sekoita pakkaa:

Nyt on aika päästä eroon murtolukuja. Tässä tapauksessa sinun on kerrottava molemmat osat 6:lla:

Avaa sulut ja tuo yhtälö mieleen:

Vastaus:

Tutkimus on ilmeinen - alkupisteiden koordinaattien on täytettävä tuloksena oleva yhtälö:

1) Korvaa pisteen koordinaatit:

Todellinen tasa-arvo.

2) Korvaa pisteen koordinaatit:

Todellinen tasa-arvo.

Johtopäätös: suoran yhtälö on oikea.

Jos ainakin yksi pisteistä ei täytä yhtälöä, etsi virhe.

On syytä huomata, että graafinen varmennus tässä tapauksessa on vaikeaa, koska rakentaa viiva ja katsoa, ​​kuuluvatko pisteet siihen , ei niin helppo.

Huomautan pari ratkaisun teknistä seikkaa. Ehkä tässä ongelmassa on edullisempaa käyttää peilikaavaa ja samoista kohdista tee yhtälö:

Murtolukuja on vähemmän. Jos haluat, voit suorittaa ratkaisun loppuun asti, tuloksena tulee olla sama yhtälö.

Toinen kohta on tarkastella lopullista vastausta ja katsoa, ​​voidaanko sitä yksinkertaistaa entisestään? Jos esimerkiksi saadaan yhtälö, on suositeltavaa pienentää se kahdella: - yhtälö asettaa saman suoran. Tämä on kuitenkin jo keskustelunaihe suorien viivojen keskinäinen järjestely.

Vastauksen saatuaan Esimerkissä 7 tarkistin varmuuden vuoksi, ovatko yhtälön KAIKKI kertoimet jaollisia 2:lla, 3:lla tai 7:llä. Useimmiten tällaisia ​​vähennyksiä tehdään kuitenkin ratkaisun aikana.

Esimerkki 8

Kirjoita pisteiden läpi kulkevan suoran yhtälö .

Tämä on esimerkki itsenäisestä ratkaisusta, jonka avulla voit vain ymmärtää ja kehittää laskentatekniikkaa paremmin.

Samanlainen kuin edellisessä kappaleessa: jos kaavassa yksi nimittäjistä (suuntavektorikoordinaatti) katoaa, niin kirjoitamme sen uudelleen muotoon . Ja taas, huomaa kuinka kömpelöltä ja hämmentyneeltä hän alkoi näyttää. Käytännön esimerkkien antamisessa ei ole paljon järkeä, koska olemme jo itse asiassa ratkaisseet tällaisen ongelman (ks. nro 5, 6).

Suoraviivainen normaalivektori (normaalivektori)

Mikä on normaalia? Yksinkertaisin sanoin, normaali on kohtisuora. Eli suoran normaalivektori on kohtisuorassa annettua suoraa vastaan. On selvää, että millä tahansa suoralla on ääretön määrä niitä (sekä suuntaavia vektoreita), ja kaikki suoran normaalivektorit ovat kollineaarisia (yhteissuuntaisia ​​vai ei - sillä ei ole väliä).

Niiden käsitteleminen on vielä helpompaa kuin suuntavektoreiden kanssa:

Jos suora on annettu yleisellä yhtälöllä suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa, niin vektori on tämän suoran normaalivektori.

Jos suuntavektorin koordinaatit on "vedettävä" varovasti pois yhtälöstä, niin normaalivektorin koordinaatit voidaan yksinkertaisesti "poistaa".

Normaalivektori on aina ortogonaalinen suoran suuntavektoriin nähden. Tarkistamme näiden vektorien ortogonaalisuuden käyttämällä pistetuote:

Annan esimerkkejä samoilla yhtälöillä kuin suuntavektorille:

Onko mahdollista kirjoittaa suoran yhtälö, kun tiedetään yksi piste ja normaalivektori? Tuntuu, että se on mahdollista. Jos normaalivektori tunnetaan, myös suorimman viivan suunta määritetään yksiselitteisesti - tämä on "jäykkä rakenne", jonka kulma on 90 astetta.

Kuinka kirjoittaa yhtälö suorasta pisteestä ja normaalivektorista?

Jos jokin suoraan kuuluva piste ja tämän suoran normaalivektori tunnetaan, niin tämän suoran yhtälö ilmaistaan ​​kaavalla:

Täällä kaikki sujui ilman murtolukuja ja muita yllätyksiä. Tällainen on normaalivektorimme. Rakastan sitä. Ja kunnioitus =)

Esimerkki 9

Laadi pisteen ja normaalivektorin antaman suoran yhtälö. Etsi suoran suuntavektori.

Päätös: Käytä kaavaa:

Suoran suoran yleinen yhtälö saadaan, tarkistetaan:

1) "Poista" normaalivektorin koordinaatit yhtälöstä: - kyllä, todellakin, alkuperäinen vektori saadaan ehdosta (tai vektorin tulee olla kollineaarinen alkuperäisen vektorin kanssa).

2) Tarkista, täyttääkö piste yhtälön:

Todellinen tasa-arvo.

Kun olemme vakuuttuneita, että yhtälö on oikea, suoritamme tehtävän toisen, helpomman osan. Vedämme ulos suoran suuntavektorin:

Vastaus:

Piirustuksessa tilanne on seuraava:

Koulutusta varten samanlainen tehtävä itsenäiseen ratkaisuun:

Esimerkki 10

Laadi pisteen ja normaalivektorin antaman suoran yhtälö. Etsi suoran suuntavektori.

Oppitunnin viimeinen osa on omistettu vähemmän yleisille, mutta myös tärkeille tasoviivan yhtälötyypeille

Segmenttien suoran yhtälö.
Suoran yhtälö parametrimuodossa

Segmenttien suoran yhtälöllä on muoto , jossa ovat nollasta poikkeavat vakiot. Joitakin yhtälötyyppejä ei voida esittää tässä muodossa, esimerkiksi suoraa suhteellisuutta (koska vapaa termi on nolla ja yhtä ei voi saada oikealle puolelle).

Tämä on kuvaannollisesti sanottuna "tekninen" yhtälö. Tavallinen tehtävä on esittää suoran yleinen yhtälö suoran yhtälönä segmenteissä. Miksi se on kätevää? Segmenttien suoran yhtälön avulla voit nopeasti löytää suoran leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa, mikä on erittäin tärkeää joissakin korkeamman matematiikan ongelmissa.

Etsi suoran ja akselin leikkauspiste. Nollaamme "y":n ja yhtälö saa muotoa . Haluttu piste saatu automaattisesti: .

Sama akselin kanssa on piste, jossa suora leikkaa y-akselin.

Avaruudessa olevan suoran kanoniset yhtälöt ovat yhtälöitä, jotka määrittelevät suoran, joka kulkee tietyn pisteen kautta kollineaarisesti suuntavektoriin nähden.

Olkoon piste ja suuntavektori annettu. Satunnainen piste on suoralla l vain jos vektorit ja ovat kollineaarisia, eli ne täyttävät ehdon:

.

Yllä olevat yhtälöt ovat kanoniset yhtälöt suoraan.

Numerot m , n ja p ovat suuntavektorin projektioita koordinaattiakseleille. Koska vektori ei ole nolla, niin kaikki luvut m , n ja p ei voi olla nolla samanaikaisesti. Mutta yksi tai kaksi niistä voi olla nolla. Esimerkiksi analyyttisessä geometriassa seuraavat merkinnät ovat sallittuja:

,

mikä tarkoittaa, että vektorin projektiot akseleille Oy ja Oz ovat yhtä suuret kuin nolla. Siksi sekä vektori että kanonisten yhtälöiden antama suora ovat kohtisuorassa akseleita vastaan Oy ja Oz eli lentokoneita yOz .

Esimerkki 1 Laadi yhtälöt suorasta avaruudessa, joka on kohtisuorassa tasoon nähden ja kulkee tämän tason ja akselin leikkauspisteen kautta Oz .

Päätös. Etsi annetun tason ja akselin leikkauspiste Oz. Koska mikä tahansa piste akselilla Oz, on koordinaatit , sitten, olettaen annetussa tason yhtälössä x=y= 0, saamme 4 z- 8 = 0 tai z= 2. Siksi annetun tason leikkauspiste akselin kanssa Oz on koordinaatit (0; 0; 2) . Koska haluttu suora on kohtisuorassa tasoon nähden, se on yhdensuuntainen normaalivektorinsa kanssa. Siksi normaalivektori voi toimia suoran suuntausvektorina annettu lentokone.

Nyt kirjoitetaan halutut yhtälöt pisteen läpi kulkevalle suoralle A= (0; 0; 2) vektorin suunnassa:

Kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran yhtälöt

Suora voidaan määrittää kahdella sillä olevalla pisteellä ja Tässä tapauksessa suoran suuntausvektori voi olla vektori . Sitten suoran kanoniset yhtälöt saavat muodon

.

Yllä olevat yhtälöt määrittelevät suoran, joka kulkee kahden tietyn pisteen kautta.

Esimerkki 2 Kirjoita yhtälö suoran avaruudessa kulkevan pisteiden ja .

Päätös. Kirjoitamme halutut suoran yhtälöt yllä esitetyssä muodossa teoreettisessa viitteessä:

.

Koska , Haluttu viiva on kohtisuorassa akseliin nähden Oy .

Suora kuin tasojen leikkausviiva

Suora avaruudessa voidaan määritellä kahden ei-rinnakkaisen tason leikkausviivaksi ja ts. joukkona pisteitä, jotka täyttävät kahden lineaarisen yhtälön järjestelmän

Järjestelmän yhtälöitä kutsutaan myös yleiset yhtälöt suora viiva avaruudessa.

Esimerkki 3 Laadi suoran suoran kanoniset yhtälöt yleisten yhtälöiden antamaan avaruuteen

Päätös. Jotta voit kirjoittaa suoran kanonisen yhtälön tai, mikä on sama, kahden tietyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälön, sinun on löydettävä minkä tahansa kahden pisteen koordinaatit suoralta. Ne voivat olla esimerkiksi suoran leikkauspisteitä minkä tahansa kahden koordinaattitason kanssa yOz ja xOz .

Suoran ja tason leikkauspiste yOz on abskissa x= 0. Siksi oletetaan tässä yhtälöjärjestelmässä x= 0, saamme järjestelmän, jossa on kaksi muuttujaa:

Hänen päätöksensä y = 2 , z= 6 yhdessä x= 0 määrittää pisteen A(0; 2; 6) halutusta rivistä. Olettaen sitten annetussa yhtälöjärjestelmässä y= 0, saamme järjestelmän

Hänen päätöksensä x = -2 , z= 0 yhdessä y= 0 määrittää pisteen B(-2; 0; 0) suoran leikkaus tason kanssa xOz .

Nyt kirjoitetaan pisteiden läpi kulkevan suoran yhtälöt A(0; 2; 6) ja B (-2; 0; 0) :

,

tai jakamalla nimittäjät -2:lla:

,

Kulkekoon suora pisteiden M 1 (x 1; y 1) ja M 2 (x 2; y 2) läpi. Pisteen M 1 kautta kulkevan suoran yhtälön muoto on y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)

missä k - kerroin vielä tuntematon.

Koska suora kulkee pisteen M 2 (x 2 y 2) läpi, tämän pisteen koordinaattien on täytettävä yhtälö (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 - x 1).

Täältä löydämme Korvaus löydetyn arvon k yhtälöön (10.6), saamme pisteiden M 1 ja M 2 kautta kulkevan suoran yhtälön:

Oletetaan, että tässä yhtälössä x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Jos x 1 \u003d x 2, niin pisteiden M 1 (x 1, y I) ja M 2 (x 2, y 2) kautta kulkeva suora on yhdensuuntainen y-akselin kanssa. Sen yhtälö on x = x 1 .

Jos y 2 \u003d y I, niin suoran yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa y \u003d y 1, suora M 1 M 2 on yhdensuuntainen x-akselin kanssa.

Segmenttien suoran yhtälö

Olkoon suora leikkaava Ox-akselin pisteessä M 1 (a; 0) ja Oy-akselin - pisteessä M 2 (0; b). Yhtälö saa muodon:
nuo.
. Tätä yhtälöä kutsutaan suoran yhtälö segmenteissä, koska numerot a ja b osoittavat mitkä segmentit suora katkaisee koordinaattiakseleilta.

Tietyn vektorin kanssa kohtisuorassa olevan pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö

Etsitään yhtälö suoralle, joka kulkee tietyn pisteen Mo (x O; y o) kautta kohtisuorassa annettuun nollasta poikkeavaan vektoriin n = (A; B).

Otetaan mielivaltainen piste M(x; y) suoralta ja katsotaan vektoria M 0 M (x - x 0; y - y o) (ks. kuva 1). Koska vektorit n ja M o M ovat kohtisuorassa, niiden skalaaritulo on yhtä suuri kuin nolla: eli

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Yhtälöä (10.8) kutsutaan tietyn vektorin kanssa kohtisuorassa olevan pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö .

Suoraa vastaan ​​kohtisuorassa olevaa vektoria n = (A; B) kutsutaan normaaliksi tämän suoran normaalivektori .

Yhtälö (10.8) voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

missä A ja B ovat normaalivektorin koordinaatit, C \u003d -Ax o - Vu o - vapaa jäsen. Yhtälö (10.9) on suoran suoran yleinen yhtälö(katso kuva 2).

Kuva 1 Kuva 2

Suoran kanoniset yhtälöt

,

Missä
ovat sen pisteen koordinaatit, jonka kautta suora kulkee, ja
- suuntavektori.

Toisen asteen ympyrän käyrät

Ympyrä on joukko tason kaikkia pisteitä, jotka ovat yhtä kaukana tietystä pisteestä, jota kutsutaan keskipisteeksi.

Kanoninen yhtälö sädeympyrästä R keskitetty johonkin pisteeseen
:

Erityisesti, jos panoksen keskipiste on sama kuin origo, yhtälö näyttää tältä:

Ellipsi

Ellipsi on joukko tasossa olevia pisteitä, etäisyyksien summa jokaisesta niistä kahteen annettuun pisteeseen ja , joita kutsutaan polttopisteiksi, on vakioarvo
, suurempi kuin polttopisteiden välinen etäisyys
.

Kanoninen yhtälö ellipsistä, jonka polttopisteet ovat Ox-akselilla ja jonka origo on polttopisteiden keskellä, on muotoa
G de a suuren puoliakselin pituus; b on pienemmän puoliakselin pituus (kuva 2).