Podjela logaritama sa istom formulom baza. Rješenje logaritamskih jednadžbi. Kompletan vodič (2019.)
Fokus ovog članka je logaritam. Ovdje dajemo definiciju logaritma, pokaži prihvaćena oznaka, navesti primjere logaritama i govoriti o prirodnim i decimalnim logaritmima. Nakon toga razmotrite osnovni logaritamski identitet.
Navigacija po stranici.
Definicija logaritma
Koncept logaritma nastaje kada se rješava problem u u određenom smislu inverzno kada treba da nađete eksponent poznata vrijednost stepen i poznatu osnovu.
Ali dosta preambule, vrijeme je da odgovorimo na pitanje "šta je logaritam"? Hajde da damo odgovarajuću definiciju.
Definicija.
Logaritam od b prema bazi a, gdje je a>0, a≠1 i b>0 eksponent na koji trebate podići broj a da dobijete b kao rezultat.
U ovoj fazi, napominjemo da izgovorena riječ "logaritam" treba odmah pokrenuti dva pitanja koja slijede: "koji broj" i "na osnovu čega". Drugim riječima, jednostavno ne postoji logaritam, već postoji samo logaritam broja u nekoj bazi.
Odmah ćemo se predstaviti logaritamski zapis: logaritam broja b prema bazi a obično se označava kao log a b. Logaritam broja b na osnovu e i logaritam na osnovu 10 imaju svoje posebne oznake lnb i lgb, odnosno ne pišu log e b, već lnb, i ne log 10 b, već lgb.
Sada možete donijeti: .
I zapisi 
nemaju smisla, jer je u prvom od njih pod znakom logaritma negativan broj, u drugom - negativan broj u bazi, a u trećem - i negativan broj pod znakom logaritma i jedinica u bazi.
Hajde da razgovaramo o tome pravila za čitanje logaritama. Dnevnik unosa a b čita se kao "logaritam od b prema bazi a". Na primjer, log 2 3 je logaritam od tri prema osnovici 2, a logaritam je dvije tačke dvije trećine na osnovu Kvadratni korijen od pet. Poziva se logaritam bazi e prirodni logaritam, a oznaka lnb se čita kao "prirodni logaritam od b". Na primjer, ln7 je prirodni logaritam od sedam, a mi ćemo ga čitati kao prirodni logaritam broja pi. Logaritam na osnovu 10 takođe ima poseban naziv - decimalni logaritam, a oznaka lgb se čita kao "decimalni logaritam b". Na primjer, lg1 je decimalni logaritam od jedan, a lg2.75 je decimalni logaritam od dvije tačke sedamdeset i pet stotinki.
Vrijedi se posebno zadržati na uslovima a>0, a≠1 i b>0, pod kojima je data definicija logaritma. Hajde da objasnimo odakle dolaze ova ograničenja. Da to učinimo, pomoći će nam jednakost oblika, nazvana , koja direktno slijedi iz gore navedene definicije logaritma.
Počnimo sa a≠1 . Pošto je jedan jednako jedan na bilo koji stepen, onda jednakost može biti tačna samo za b=1, ali log 1 1 može biti bilo koji realan broj. Da bi se izbjegla ova dvosmislenost, a≠1 je prihvaćen.
Potvrdimo svrsishodnost uslova a>0. Sa a=0, po definiciji logaritma, imali bismo jednakost , što je moguće samo sa b=0 . Ali onda log 0 0 može biti bilo koji realni broj različit od nule, budući da je nula prema bilo kojoj stepenu različitoj od nule nula. Ova dvosmislenost se može izbjeći uslovom a≠0. I za a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .
Konačno, uvjet b>0 slijedi iz nejednakosti a>0, budući da je , a vrijednost stepena s pozitivnom bazom a uvijek pozitivna.
U zaključku ovog paragrafa kažemo da zvučna definicija logaritma omogućava da odmah naznačite vrijednost logaritma kada je broj pod znakom logaritma određeni stupanj baze. Zaista, definicija logaritma nam omogućava da tvrdimo da ako je b=a p, onda je logaritam broja b prema bazi a jednak p. To jest, log jednakosti a a p =p je istinit. Na primjer, znamo da je 2 3 =8 , a zatim log 2 8=3 . O tome ćemo više govoriti u članku.
Date su glavne karakteristike prirodnog logaritma, graf, oblast definicije, skup vrijednosti, osnovne formule, izvod, integral, proširenje u niz stepena i reprezentacija funkcije ln x pomoću kompleksnih brojeva.
Definicija
prirodni logaritam je funkcija y = ln x, inverzno eksponentu, x \u003d e y , a koji je logaritam bazi broja e: ln x = log e x.
Prirodni logaritam se široko koristi u matematici jer njegov izvod ima najjednostavniji oblik: (ln x)′ = 1/ x.
Na osnovu definicije, baza prirodnog logaritma je broj e:
e ≅ 2.718281828459045...;
.
Grafikon funkcije y = ln x.
Grafikon prirodnog logaritma (funkcije y = ln x) se dobija iz grafa eksponenta refleksijom ogledala oko prave y = x .
Prirodni logaritam je definiran za pozitivne vrijednosti x. Ona se monotono povećava u svom domenu definicije.
Kao x → 0 granica prirodnog logaritma je minus beskonačnost ( - ∞ ).
Kako je x → + ∞, granica prirodnog logaritma je plus beskonačnost ( + ∞). Za veliki x, logaritam raste prilično sporo. Bilo koja funkcija stepena x a s pozitivnim eksponentom a raste brže od logaritma.
Svojstva prirodnog logaritma
Domen definicije, skup vrijednosti, ekstremi, povećanje, smanjenje
Prirodni logaritam je monotono rastuća funkcija, tako da nema ekstrema. Glavna svojstva prirodnog logaritma prikazana su u tabeli.
ln x vrijednosti
log 1 = 0
Osnovne formule za prirodne logaritme
Formule koje proizlaze iz definicije inverzne funkcije:
Glavno svojstvo logaritama i njegove posljedice
Formula zamjene baze
Bilo koji logaritam se može izraziti prirodnim logaritmima koristeći formulu promjene baze:
Dokazi ovih formula su predstavljeni u odjeljku "Logaritam".
Inverzna funkcija
Recipročna vrijednost prirodnog logaritma je eksponent.
Ako onda
Ako onda .
Derivat ln x
Derivat prirodnog logaritma:
.
Derivat prirodnog logaritma modula x:
.
Derivat n-tog reda:
.
Izvođenje formula > > >
Integral
Integral se izračunava integracijom po dijelovima:
.
dakle,
Izrazi u terminima kompleksnih brojeva
Razmotrimo funkciju kompleksne varijable z:
.
Izrazimo kompleksnu varijablu z preko modula r i argument φ
:
.
Koristeći svojstva logaritma, imamo:
.
Or
.
Argument φ nije jednoznačno definiran. Ako stavimo
, gdje je n cijeli broj,
tada će to biti isti broj za različite n.
Dakle, prirodni logaritam, kao funkcija kompleksne varijable, nije jednoznačna funkcija.
Proširenje serije snaga
Za , proširenje se odvija:
Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokoškolskih ustanova, Lan, 2009.
Ovim videom započinjem dugu seriju lekcija o logaritamskim jednadžbama. Sada imate tri primjera odjednom, na osnovu kojih ćemo naučiti rješavati najjednostavnije zadatke, koji se zovu tako - protozoa.
log 0,5 (3x - 1) = -3
lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5
Da vas podsjetim da je najjednostavnija logaritamska jednadžba sljedeća:
log a f(x) = b
Važno je da je varijabla x prisutna samo unutar argumenta, odnosno samo u funkciji f(x). A brojevi a i b su samo brojevi, a ni u kom slučaju nisu funkcije koje sadrže varijablu x.
Osnovne metode rješenja
Postoji mnogo načina za rješavanje takvih struktura. Na primjer, većina nastavnika u školi predlaže ovaj način: Odmah izrazite funkciju f ( x ) koristeći formulu f( x ) = a b . Odnosno, kada upoznate najjednostavniju konstrukciju, možete odmah pristupiti rješenju bez dodatnih radnji i konstrukcija.
Da, naravno, odluka će se pokazati ispravnom. Međutim, problem sa ovom formulom je što većina studenata ne razumijem, odakle dolazi i zašto tačno dižemo slovo a na slovo b.
Kao rezultat toga, često primjećujem vrlo uvredljive greške, kada se, na primjer, ova slova zamjenjuju. Ovu formulu treba ili razumjeti ili zapamtiti, a druga metoda dovodi do grešaka u najnepovoljnijim i najpresudnijim trenucima: na ispitima, testovima itd.
Zato svim svojim učenicima predlažem da napuste standardnu školsku formulu i koriste drugi pristup za rješavanje logaritamskih jednadžbi, koji se, kao što vjerojatno pogađate iz naziva, zove kanonski oblik.
Ideja kanonskog oblika je jednostavna. Pogledajmo ponovo naš zadatak: na lijevoj strani imamo log a , dok slovo a označava upravo broj, a ni u kom slučaju funkciju koja sadrži varijablu x. Dakle, ovo slovo podliježe svim ograničenjima koja su nametnuta na osnovu logaritma. naime:
1 ≠ a > 0
S druge strane, iz iste jednačine vidimo da logaritam mora biti jednak je broju b , i nikakva ograničenja nisu nametnuta ovom slovu, jer može imati bilo koju vrijednost - i pozitivnu i negativnu. Sve ovisi o tome koje vrijednosti zauzima funkcija f(x).
I ovdje se prisjećamo našeg divnog pravila da se bilo koji broj b može predstaviti kao logaritam u bazi a od a do stepena b:
b = log a a b
Kako zapamtiti ovu formulu? Da, vrlo jednostavno. Napišimo sljedeću konstrukciju:
b = b 1 = b log a a
Naravno, u ovom slučaju nastaju sva ograničenja koja smo zapisali na početku. A sada iskoristimo osnovno svojstvo logaritma i unesite faktor b kao stepen a. Dobijamo:
b = b 1 = b log a a = log a a b
Kao rezultat toga, originalna jednačina će biti prepisana u sljedećem obliku:
log a f (x) = log a a b → f (x) = a b
To je sve. Nova funkcija više ne sadrži logaritam i rješava se standardnim algebarskim tehnikama.
Naravno, neko će sada prigovoriti: zašto je uopće bilo potrebno smišljati nekakvu kanonsku formulu, zašto izvoditi dva dodatna nepotrebna koraka, ako je bilo moguće odmah ići od prvobitne konstrukcije do konačne formule? Da, makar samo zato što većina učenika ne razumije odakle dolazi ova formula i kao rezultat toga redovno griješe prilikom primjene.
Ali takav slijed radnji, koji se sastoji od tri koraka, omogućava vam da riješite originalnu logaritamsku jednadžbu, čak i ako ne razumijete odakle dolazi ta konačna formula. Usput, ovaj unos se zove kanonska formula:
log a f(x) = log a a b
Pogodnost kanonskog oblika je i u činjenici da se može koristiti za rješavanje vrlo široke klase logaritamskih jednadžbi, a ne samo onih najjednostavnijih koje danas razmatramo.
Primjeri rješenja
A sada da razmotrimo stvarni primjeri. Pa da odlučimo:
log 0,5 (3x - 1) = -3
Hajde da to prepišemo ovako:
log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3
Mnogi učenici žure i pokušavaju odmah podići broj 0,5 na stepen koji nam je došao iz prvobitnog problema. I zaista, kada ste već dobro obučeni za rješavanje takvih problema, možete odmah izvršiti ovaj korak.
Međutim, ako sada tek počinjete proučavati ovu temu, bolje je ne žuriti nigdje kako ne biste napravili uvredljive greške. Dakle, imamo kanonski oblik. Imamo:
3x - 1 = 0,5 -3
Ovo više nije logaritamska jednadžba, već linearna u odnosu na varijablu x. Da bismo ga riješili, pozabavimo se brojem 0,5 na stepen od −3. Imajte na umu da je 0,5 1/2.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
Sve decimale pretvoriti u normalu kada riješite logaritamsku jednačinu.
Prepisujemo i dobijamo:
3x − 1 = 8
3x=9
x=3
Sve smo dobili odgovor. Prvi zadatak je riješen.
Drugi zadatak
Pređimo na drugi zadatak:
Kao što vidite, ova jednačina više nije najjednostavnija. Ako samo zato što je razlika na lijevoj strani, a ni jedan logaritam u jednoj bazi.
Stoga se morate nekako riješiti ove razlike. U ovom slučaju, sve je vrlo jednostavno. Pogledajmo pobliže osnove: na lijevoj strani je broj ispod korijena:
Opća preporuka: u svim logaritamskim jednačinama pokušajte se riješiti radikala, tj. unosa s korijenima, i prijeđite na funkcije snage, jednostavno zato što se eksponenti ovih potencija lako izvlače iz predznaka logaritma, a na kraju takva notacija uvelike pojednostavljuje i ubrzava proračune. Hajde da to napišemo ovako:
Sada se prisjećamo izvanredne osobine logaritma: iz argumenta, kao i iz baze, možete izvaditi stepene. U slučaju baza dešava se sljedeće:
log a k b = 1/k loga b
Drugim riječima, broj koji je stajao u stepenu osnove povlači se naprijed i istovremeno se okreće, odnosno postaje recipročan broj. U našem slučaju postojao je stepen baze sa indikatorom od 1/2. Stoga ga možemo uzeti kao 2/1. Dobijamo:
5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18
Imajte na umu: ni u kom slučaju se ne smijete riješiti logaritama u ovom koraku. Sjetite se matematike 4-5 razreda i redoslijeda operacija: prvo se vrši množenje, a tek onda sabiranje i oduzimanje. U ovom slučaju oduzimamo jedan od istih elemenata od 10 elemenata:
9 log 5 x = 18
log 5 x = 2
Sada naša jednadžba izgleda kako bi trebala. Ovo je najjednostavniji dizajn, a mi to rješavamo kanonskim oblikom:
log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x=25
To je sve. Drugi problem je riješen.
Treći primjer
Pređimo na treći zadatak:
lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5
Prisjetite se sljedeće formule:
log b = log 10 b
Ako ste iz nekog razloga zbunjeni pisanjem lg b, onda kada radite sve proračune, možete jednostavno napisati log 10 b. Možete raditi sa decimalnim logaritmima na isti način kao i sa ostalima: izvadite potencije, zbrojite i predstavite bilo koji broj kao lg 10.
Upravo ova svojstva ćemo sada koristiti za rješavanje problema, jer nije ono najjednostavnije koje smo zapisali na samom početku naše lekcije.
Za početak, imajte na umu da faktor 2 prije lg 5 može biti umetnut i postaje stepen baze 5. Osim toga, slobodni član 3 također se može predstaviti kao logaritam - to je vrlo lako uočiti iz naše notacije.
Procijenite sami: bilo koji broj se može predstaviti kao dnevnik na osnovu 10:
3 = log 10 10 3 = log 10 3
Prepišimo originalni problem uzimajući u obzir primljene promjene:
lg (x − 3) = lg 1000 + LG 25
lg (x − 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = lg 25 000
Pred nama je opet kanonski oblik, a dobili smo ga zaobilazeći fazu transformacija, tj. najjednostavnija logaritamska jednadžba kod nas nije nigdje došla.
To je ono o čemu sam govorio na samom početku lekcije. Kanonski oblik omogućava rješavanje šire klase problema od standardne. školska formula daje većina školskih nastavnika.
To je sve, riješili smo se predznaka decimalnog logaritma i dobili smo jednostavnu linearnu konstrukciju:
x + 3 = 25.000
x = 24997
Sve! Problem riješen.
Napomena o obimu
Ovdje bih želio dati važnu napomenu o domenu definicije. Sada sigurno ima učenika i nastavnika koji će reći: „Kada rješavamo izraze logaritmima, neophodno je zapamtiti da argument f (x) mora biti veći od nule!“ S tim u vezi nameće se logično pitanje: zašto ni u jednom od razmatranih problema nismo zahtijevali da ova nejednakost bude zadovoljena?
Ne brini. U ovim slučajevima neće se pojaviti dodatni korijeni. A ovo je još jedan sjajan trik koji vam omogućava da ubrzate rješenje. Samo znajte da ako se u problemu varijabla x pojavljuje samo na jednom mjestu (tačnije, u jednom jedinom argumentu jednog jedinog logaritma), a nigdje drugdje u našem slučaju ne postoji varijabla x, onda upišite domenu nije potrebno jer će se pokrenuti automatski.
Procijenite sami: u prvoj jednačini dobili smo da je 3x - 1, tj. argument bi trebao biti jednak 8. To automatski znači da će 3x - 1 biti veće od nule.
Sa istim uspjehom možemo zapisati da u drugom slučaju x mora biti jednako 5 2, odnosno sigurno je veće od nule. I u trećem slučaju, gdje je x + 3 = 25.000, tj., opet, očigledno veće od nule. Drugim riječima, opseg je automatski, ali samo ako se x pojavljuje samo u argumentu samo jednog logaritma.
To je sve što trebate znati da biste riješili jednostavne probleme. Samo ovo pravilo, zajedno sa pravilima transformacije, omogućiće vam da rešite veoma široku klasu problema.
Ali budimo iskreni: da bismo se konačno pozabavili ovom tehnikom, kako bismo naučili kako primijeniti kanonski oblik logaritamska jednadžba Nije dovoljno samo pogledati jedan video tutorijal. Stoga, odmah preuzmite opcije za samostalno rješenje koje su priložene ovom video tutorijalu i počnite rješavati barem jedan od ova dva samostalna rada.
Trebat će vam samo nekoliko minuta. Ali učinak takvog treninga bit će mnogo veći u odnosu na da ste upravo pogledali ovaj video tutorijal.
Nadam se da će vam ova lekcija pomoći da razumijete logaritamske jednačine. Primijenite kanonski oblik, pojednostavite izraze koristeći pravila za rad s logaritmima - i nećete se bojati nikakvih zadataka. I to je sve što imam za danas.
Razmatranje obima
Hajde sada da razgovaramo o domenu logaritamske funkcije, kao io tome kako to utiče na rešenje logaritamskih jednačina. Razmotrite konstrukciju forme
log a f(x) = b
Takav izraz se naziva najjednostavnijim - ima samo jednu funkciju, a brojevi a i b su samo brojevi, a ni u kom slučaju nisu funkcija koja ovisi o varijabli x. Rešava se vrlo jednostavno. Samo trebate koristiti formulu:
b = log a a b
Ova formula je jedno od ključnih svojstava logaritma, a prilikom zamjene u naš originalni izraz dobijamo sljedeće:
log a f(x) = log a a b
f(x) = a b
Ovo je već poznata formula iz školskih udžbenika. Mnogi studenti će vjerovatno imati pitanje: budući da je funkcija f ( x ) u originalnom izrazu ispod log znaka, na nju su nametnuta sljedeća ograničenja:
f(x) > 0
Ovo ograničenje vrijedi jer logaritam negativnih brojeva ne postoji. Dakle, možda bi zbog ovog ograničenja trebalo uvesti provjeru odgovora? Možda ih treba zamijeniti u izvoru?
Ne, u najjednostavnijim logaritamskim jednačinama dodatna provjera nije potrebna. I zato. Pogledajte našu konačnu formulu:
f(x) = a b
Činjenica je da je broj a u svakom slučaju veći od 0 - ovaj zahtjev nameće i logaritam. Broj a je baza. U ovom slučaju, nema ograničenja na broj b. Ali to nije bitno, jer bez obzira na koji stepen podignemo pozitivan broj, na izlazu ćemo i dalje dobiti pozitivan broj. Dakle, zahtjev f (x) > 0 se ispunjava automatski.
Ono što zaista vrijedi provjeriti je opseg funkcije ispod znaka dnevnika. Mogu postojati prilično složeni dizajni, a u procesu njihovog rješavanja, svakako ih morate slijediti. Hajde da pogledamo.
Prvi zadatak:
Prvi korak: pretvoriti razlomak na desnoj strani. Dobijamo:
Riješimo se predznaka logaritma i dobivamo uobičajenu iracionalnu jednačinu:
Od dobijenih korijena odgovara nam samo prvi, jer je drugi korijen manji od nule. Jedini odgovor će biti broj 9. To je to, problem je riješen. Nisu potrebne nikakve dodatne provjere da li je izraz pod predznakom logaritma veći od 0, jer nije samo veći od 0, već je po uvjetu jednačine jednak 2. Stoga je zahtjev "veći od nule" automatski zadovoljan.
Pređimo na drugi zadatak:
Ovdje je sve isto. Prepisujemo konstrukciju, zamjenjujući trojku:
Riješimo se predznaka logaritma i dobivamo iracionalnu jednačinu:
Oba dijela kvadriramo, uzimajući u obzir ograničenja, i dobivamo:
4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2
4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16
x2 + 8x + 16 −4 + 6x + x2 = 0
2x2 + 14x + 12 = 0 |:2
x2 + 7x + 6 = 0
Rezultirajuću jednačinu rješavamo preko diskriminanta:
D \u003d 49 - 24 \u003d 25
x 1 = -1
x 2 = -6
Ali x = −6 nam ne odgovara, jer ako ovaj broj zamenimo u našu nejednakost, dobićemo:
−6 + 4 = −2 < 0
U našem slučaju potrebno je da bude veći od 0 ili, u ekstremnim slučajevima, jednak. Ali nam odgovara x = −1:
−1 + 4 = 3 > 0
Jedini odgovor u našem slučaju je x = −1. To je sve rešenje. Vratimo se na sam početak naših proračuna.
Glavni zaključak iz ove lekcije je da nije potrebno provjeravati granice za funkciju u najjednostavnijim logaritamskim jednačinama. Jer u procesu rješavanja sva ograničenja se izvršavaju automatski.
Međutim, to nikako ne znači da možete potpuno zaboraviti na verifikaciju. U procesu rada na logaritamskoj jednadžbi ona se može pretvoriti u iracionalnu, koja će imati svoja ograničenja i zahtjeve za desnu stranu, što smo danas vidjeli na dva različita primjera.
Slobodno rješavajte takve probleme i budite posebno oprezni ako postoji korijen u svađi.
Logaritamske jednadžbe sa različitim bazama
Nastavljamo s proučavanjem logaritamskih jednadžbi i analiziramo još dva prilično zanimljiva trika s kojima je moderno rješavati složenije strukture. Ali prvo, sjetimo se kako se rješavaju najjednostavniji zadaci:
log a f(x) = b
U ovoj notaciji, a i b su samo brojevi, a u funkciji f (x) varijabla x mora biti prisutna i samo tamo, to jest, x mora biti samo u argumentu. Takve logaritamske jednadžbe ćemo transformirati koristeći kanonski oblik. Za ovo, napominjemo da
b = log a a b
A b je samo argument. Prepišimo ovaj izraz na sljedeći način:
log a f(x) = log a a b
Upravo to pokušavamo postići, tako da i lijevo i desno bude logaritam osnovice a. U ovom slučaju možemo, slikovito rečeno, precrtati znakove log, a sa stanovišta matematike možemo reći da argumente jednostavno izjednačavamo:
f(x) = a b
Kao rezultat, dobijamo novi izraz koji će se mnogo lakše riješiti. Primijenimo ovo pravilo na naše današnje zadatke.
Dakle, prvi dizajn:
Prije svega, napominjem da je na desnoj strani razlomak čiji je nazivnik log. Kada vidite ovakav izraz, vrijedi se sjetiti divnog svojstva logaritama:
Prevedeno na ruski, to znači da se bilo koji logaritam može predstaviti kao kvocijent dva logaritma sa bilo kojom osnovom c. Naravno, 0< с ≠ 1.
Dakle: ova formula ima jedan divan poseban slučaj kada je varijabla c jednaka varijabli b. U ovom slučaju dobijamo konstrukciju forme:
Upravo ovu konstrukciju posmatramo iz znaka desno u našoj jednadžbi. Zamenimo ovu konstrukciju sa log a b, dobićemo:
Drugim riječima, u poređenju sa originalnim zadatkom, zamijenili smo argument i bazu logaritma. Umjesto toga, morali smo preokrenuti razlomak.
Podsjećamo da se bilo koji stepen može izvaditi iz baze prema sljedećem pravilu:
Drugim riječima, koeficijent k, koji je stepen baze, uzima se kao obrnuti razlomak. Izvadimo to kao obrnuti razlomak:
Faktor razlomka se ne može ostaviti ispred, jer u ovom slučaju nećemo moći da predstavimo ovaj unos kao kanonski oblik (na kraju krajeva, u kanonskom obliku nema dodatnog faktora ispred drugog logaritma). Stoga, stavimo razlomak 1/4 u argument kao stepen:
Sada izjednačavamo argumente čije su baze iste (a zaista imamo iste baze) i pišemo:
x + 5 = 1
x = −4
To je sve. Dobili smo odgovor na prvu logaritamsku jednačinu. Obratite pažnju: u originalnom problemu varijabla x se pojavljuje samo u jednom dnevniku, i nalazi se u njegovom argumentu. Dakle, nema potrebe provjeravati domen, a naš broj x = −4 je zaista odgovor.
Sada pređimo na drugi izraz:
log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)
Ovdje ćemo, pored uobičajenih logaritama, morati raditi i sa lg f (x). Kako riješiti takvu jednačinu? Nespremnom studentu može se činiti da je ovo nekakva limena, ali zapravo je sve riješeno elementarno.
Pogledajte pomno pojam lg 2 log 2 7. Šta možemo reći o tome? Osnove i argumenti log i lg su isti, a ovo bi trebalo dati neke naznake. Prisjetimo se još jednom kako se stupnjevi vade ispod znaka logaritma:
log a b n = n log a b
Drugim riječima, ono što je bila snaga broja b u argumentu postaje faktor ispred samog log. Primijenimo ovu formulu na izraz lg 2 log 2 7. Ne plašite se lg 2 - ovo je najčešći izraz. Možete ga prepisati ovako:
Za njega vrijede sva pravila koja vrijede za bilo koji drugi logaritam. Konkretno, faktor ispred se može uvesti u snagu argumenta. napišimo:
Učenici vrlo često ne vide ovu radnju, jer nije dobro ući u jedan dnevnik pod znakom drugog. U stvari, u tome nema ničeg kriminalnog. Štaviše, dobijamo formulu koju je lako izračunati ako se sjetite važnog pravila:
Ova formula se može posmatrati i kao definicija i kao jedno od njenih svojstava. U svakom slučaju, ako transformišete logaritamsku jednačinu, ovu formulu biste trebali znati na isti način kao i reprezentaciju bilo kojeg broja u obliku log.
Vraćamo se našem zadatku. Prepisujemo ga uzimajući u obzir činjenicu da će prvi član desno od znaka jednakosti jednostavno biti jednak lg 7. Imamo:
lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)
Pomjerimo LG 7 ulijevo, dobićemo:
lg 56 - lg 7 = -3lg (x + 4)
Oduzimamo izraze s lijeve strane jer imaju istu osnovu:
lg (56/7) = -3lg (x + 4)
Pogledajmo pobliže jednačinu koju imamo. To je praktično kanonski oblik, ali na desnoj strani je faktor −3. Stavimo to u pravi lg argument:
lg 8 = lg (x + 4) −3
Pred nama je kanonski oblik logaritamske jednadžbe, pa precrtavamo predznake lg i izjednačavamo argumente:
(x + 4) -3 = 8
x + 4 = 0,5
To je sve! Riješili smo drugu logaritamsku jednačinu. U ovom slučaju nisu potrebne dodatne provjere, jer je u originalnom problemu x bio prisutan samo u jednom argumentu.
Dozvolite mi da rezimiram ključne tačke ove lekcije.
Glavna formula koja se proučava u svim lekcijama na ovoj stranici posvećenim rješavanju logaritamskih jednačina je kanonski oblik. I neka vas ne obuzda činjenica da vas većina školskih udžbenika uči kako da drugačije riješite ovakve probleme. Ovaj alat radi vrlo efikasno i omogućava vam da riješite mnogo širu klasu problema od onih najjednostavnijih koje smo proučavali na samom početku naše lekcije.
Osim toga, za rješavanje logaritamskih jednadžbi bit će korisno poznavati osnovna svojstva. naime:
- Formula za prelazak na jednu bazu i poseban slučaj kada okrećemo dnevnik (ovo nam je bilo vrlo korisno u prvom zadatku);
- Formula za unošenje i uzimanje potencija ispod znaka logaritma. Ovdje se mnogi studenti zaglave i ne vide direktno da oduzeta i dovedena snaga može sama sadržavati log f (x). Ništa loše u tome. Možemo uvesti jednu logu prema predznaku druge i istovremeno značajno pojednostaviti rješenje problema, što vidimo u drugom slučaju.
U zaključku, želim da dodam da nije potrebno provjeravati opseg u svakom od ovih slučajeva, jer je svuda varijabla x prisutna samo u jednom znaku log, a istovremeno je i u svom argumentu. Kao posljedica toga, svi zahtjevi domena se automatski ispunjavaju.
Problemi sa varijabilnom bazom
Danas ćemo razmatrati logaritamske jednadžbe, koje se mnogim studentima čine nestandardnim, ako ne i potpuno nerješivim. Radi se o o izrazima zasnovanim ne na brojevima, već na varijablama, pa čak i funkcijama. Takve konstrukcije ćemo rješavati našom standardnom tehnikom, odnosno kroz kanonsku formu.
Za početak, prisjetimo se kako se rješavaju najjednostavniji problemi koji se temelje na običnim brojevima. Dakle, najjednostavnija konstrukcija se zove
log a f(x) = b
Za rješavanje takvih problema možemo koristiti sljedeću formulu:
b = log a a b
Prepisujemo naš originalni izraz i dobijamo:
log a f(x) = log a a b
Zatim izjednačavamo argumente, tj. pišemo:
f(x) = a b
Tako se oslobađamo znaka dnevnika i rješavamo uobičajeni problem. U ovom slučaju, korijeni dobiveni u rješenju bit će korijeni originalne logaritamske jednadžbe. Osim toga, zapis, kada su i lijevo i desno na istom logaritmu sa istom bazom, naziva se kanonski oblik. Na ovaj rekord ćemo pokušati svesti današnje gradnje. Pa idemo.
Prvi zadatak:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1
Zamijenite 1 sa log x − 2 (x − 2) 1 . Stepen koji opažamo u argumentu je, u stvari, broj b, koji je bio desno od znaka jednakosti. Pa hajde da prepišemo naš izraz. Dobijamo:
log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)
šta vidimo? Pred nama je kanonski oblik logaritamske jednadžbe, tako da možemo sigurno izjednačiti argumente. Dobijamo:
2x2 - 13x + 18 = x - 2
Ali rješenje se tu ne završava, jer zadata jednačina nije ekvivalentno originalu. Na kraju krajeva, rezultirajuća konstrukcija se sastoji od funkcija koje su definirane na cijeloj brojevnoj pravoj, a naši originalni logaritmi nisu definirani svugdje i ne uvijek.
Stoga moramo posebno zapisati domen definicije. Nemojmo biti mudriji i prvo zapišimo sve zahtjeve:
Prvo, argument svakog od logaritama mora biti veći od 0:
2x 2 − 13x + 18 > 0
x − 2 > 0
Drugo, baza ne samo da mora biti veća od 0, već i različita od 1:
x − 2 ≠ 1
Kao rezultat, dobijamo sistem:
Ali nemojte biti uznemireni: kada se obrađuju logaritamske jednačine, takav sistem može biti znatno pojednostavljen.
Procijenite sami: s jedne strane, od nas se traži da kvadratna funkcija bude veća od nule, a s druge strane, ova kvadratna funkcija je izjednačena sa određenim linearnim izrazom, za koji se također traži da bude veća od nule.
U ovom slučaju, ako tražimo da je x − 2 > 0, tada će automatski biti zadovoljen i zahtjev 2x 2 − 13x + 18 > 0. Stoga možemo bezbedno precrtati nejednačinu koja sadrži kvadratnu funkciju. Tako će se broj izraza sadržanih u našem sistemu smanjiti na tri.
Naravno, možemo i precrtati linearne nejednakosti, tj. precrtati x − 2 > 0 i zahtijevati da je 2x 2 − 13x + 18 > 0. Ali morate se složiti da je mnogo brže i lakše riješiti najjednostavniju linearnu nejednačinu nego u ovom sistemu dobijamo iste korijene.
Općenito, pokušajte optimizirati proračune kad god je to moguće. A u slučaju logaritamskih jednačina precrtajte najteže nejednačine.
Prepišimo naš sistem:
Evo takvog sistema od tri izraza, od kojih smo dva, zapravo, već shvatili. Zapišimo odvojeno kvadratnu jednačinu i riješimo je:
2x2 - 14x + 20 = 0
x2 − 7x + 10 = 0
Pred nama je redukovani kvadratni trinom i stoga možemo koristiti Vietine formule. Dobijamo:
(x − 5)(x − 2) = 0
x 1 = 5
x2 = 2
Sada, da se vratimo na naš sistem, nalazimo da nam x = 2 ne odgovara, jer se od nas traži da imamo x striktno veće od 2.
Ali x = 5 nam sasvim dobro odgovara: broj 5 je veći od 2, a istovremeno 5 nije jednako 3. Dakle, jedino rešenje ovog sistema će biti x = 5.
Sve, zadatak je riješen, uključujući i ODZ. Pređimo na drugu jednačinu. Ovdje nas čekaju zanimljiviji i sadržajniji proračuni:
Prvi korak: kao i prošli put, sve ovo poslovanje dovodimo u kanonski oblik. Da bismo to učinili, možemo napisati broj 9 na sljedeći način:
Baza s korijenom se ne može dirati, ali je bolje transformirati argument. Prijeđimo s korijena na stepen s racionalnim eksponentom. napišimo:
Dozvolite mi da ne prepisujem cijelu našu veliku logaritamsku jednačinu, već samo odmah izjednačim argumente:
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4x + 3 = 0
Pred nama je opet reducirani kvadratni trinom, koristit ćemo Vietine formule i napisati:
(x + 3)(x + 1) = 0
x 1 = -3
x 2 = -1
Dakle, dobili smo korijene, ali nam niko nije garantirao da će odgovarati originalnoj logaritamskoj jednadžbi. Na kraju krajeva, log znakovi nameću dodatna ograničenja (ovdje bismo morali zapisati sistem, ali zbog glomaznosti cijele konstrukcije odlučio sam da posebno izračunam domen definicije).
Prije svega, zapamtite da argumenti moraju biti veći od 0, naime:
Ovo su zahtjevi koje nameće domen definicije.
Odmah napominjemo da, pošto prva dva izraza sistema izjednačavamo jedan s drugim, možemo precrtati bilo koji od njih. Precrtajmo prvu jer izgleda prijeteće od druge.
Osim toga, imajte na umu da će rješenja druge i treće nejednačine biti isti skupovi (kocka nekog broja je veća od nule, ako je sam ovaj broj veći od nule; slično s korijenom trećeg stepena - ove nejednačine su potpuno sličan, pa jedan od njih možemo precrtati).
Ali s trećom nejednakošću to neće funkcionirati. Oslobodimo se znaka radikala na lijevoj strani, za koji oba dijela podižemo na kocku. Dobijamo:
Tako dobijamo sljedeće zahtjeve:
−2 ≠ x > −3
Koji od naših korijena: x 1 = -3 ili x 2 = -1 ispunjava ove zahtjeve? Očigledno, samo x = −1, jer x = −3 ne zadovoljava prvu nejednakost (jer je naša nejednakost stroga). Ukupno, vraćajući se na naš problem, dobijamo jedan korijen: x = −1. To je to, problem rešen.
Još jednom, ključne tačke ovog zadatka:
- Slobodno primijenite i riješite logaritamske jednadžbe koristeći kanonski oblik. Učenici koji naprave takav zapis, a ne prelaze direktno sa originalnog problema na konstrukciju kao što je log a f ( x ) = b , prave mnogo manje grešaka od onih koji žure negde, preskačući međukorake proračuna;
- Čim se u logaritmu pojavi promjenljiva baza, problem prestaje biti najjednostavniji. Stoga je pri rješavanju potrebno voditi računa o domenu definicije: argumenti moraju biti veći od nule, a baze ne samo da moraju biti veće od 0, već ne smiju biti ni jednake 1.
Posljednje zahtjeve konačnim odgovorima možete nametnuti na različite načine. Na primjer, moguće je riješiti cijeli sistem koji sadrži sve zahtjeve domena. S druge strane, možete prvo riješiti sam problem, a zatim se sjetiti domena definicije, razraditi ga zasebno u obliku sistema i primijeniti na dobijene korijene.
Na vama je koji način da odaberete prilikom rješavanja određene logaritamske jednadžbe. U svakom slučaju, odgovor će biti isti.
Razvojem društva, složenošću proizvodnje razvijala se i matematika. Kretanje od jednostavnog ka složenom. Od uobičajenog obračunskog metoda sabiranja i oduzimanja, uz njihovo višestruko ponavljanje, došli su do koncepta množenja i dijeljenja. Smanjenje višestruko ponovljene operacije postalo je koncept eksponencijalnosti. Prve tabele zavisnosti brojeva od baze i broja eksponencijalnosti sastavio je još u 8. veku indijski matematičar Varasena. Od njih možete računati vrijeme pojavljivanja logaritama.
Istorijski pregled
Preporod Evrope u 16. veku takođe je podstakao razvoj mehanike. T zahtevala veliku količinu proračuna povezana sa množenjem i dijeljenjem višecifrenih brojeva. Drevni stolovi su učinili veliku uslugu. Dozvolili su zamjenu složene operacije do jednostavnijih - sabiranje i oduzimanje. Veliki iskorak bio je rad matematičara Michaela Stiefela, objavljen 1544. godine, u kojem je realizovao ideju mnogih matematičara. To je omogućilo korištenje tablica ne samo za stupnjeve u obliku prostih brojeva, već i za proizvoljne racionalne.
Godine 1614, Škot Džon Napier, razvijajući ove ideje, prvi je uveo novi termin "logaritam broja". Novo složene tablice za izračunavanje logaritama sinusa i kosinusa, kao i tangenta. To je znatno smanjilo rad astronoma.
Počele su da se pojavljuju nove tablice koje su naučnici uspješno koristili tri stoljeća. Prošlo je dosta vremena dok nova operacija u algebri nije dobila svoj gotov oblik. Definiran je logaritam i proučavana su njegova svojstva.
Tek u 20. veku, sa pojavom kalkulatora i kompjutera, čovečanstvo je napustilo drevne tablice koje su uspešno funkcionisale tokom 13. veka.
Danas zovemo logaritam od b na bazi a na broju x, što je stepen a, da bismo dobili broj b. Ovo je zapisano kao formula: x = log a(b).
Na primjer, log 3(9) će biti jednak 2. Ovo je očigledno ako slijedite definiciju. Ako podignemo 3 na stepen 2, dobićemo 9.
Dakle, formulisana definicija postavlja samo jedno ograničenje, brojevi a i b moraju biti realni.
Vrste logaritama
Klasična definicija se zove realni logaritam i zapravo je rješenje jednadžbe a x = b. Opcija a = 1 je granična i nije od interesa. Napomena: 1 na bilo koji stepen je 1.
Realna vrijednost logaritma definirano samo ako su baza i argument veći od 0, a baza ne smije biti jednaka 1.
Posebno mjesto u oblasti matematike igrajte logaritme, koji će biti imenovani ovisno o vrijednosti njihove baze:
Pravila i ograničenja
Osnovno svojstvo logaritama je pravilo: logaritam proizvoda jednak je logaritamskom zbroju. log abp = log a(b) + log a(p).
Kao varijanta ove izjave, bit će: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), kvocijentna funkcija je jednaka razlici funkcija.
Lako je vidjeti iz prethodna dva pravila: log a(b p) = p * log a(b).
Ostala svojstva uključuju:
Komentar. Nemojte praviti uobičajenu grešku - logaritam sume nije jednak je zbiru logaritmi.
Tokom mnogih stoljeća, operacija pronalaženja logaritma bila je prilično dugotrajan zadatak. Matematičari su koristili dobro poznatu formulu logaritamske teorije širenja u polinom:
ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), gdje je n prirodni broj veći od 1, koji određuje tačnost izračunavanja.
Logaritmi s drugim bazama izračunati su korištenjem teoreme o prijelazu s jedne baze na drugu i svojstva logaritma proizvoda.
Pošto je ova metoda vrlo naporna i prilikom rješavanja praktičnih problema teški za implementaciju, koristili su unaprijed sastavljene tablice logaritama, što je uvelike ubrzalo cijeli rad.
U nekim slučajevima korišteni su posebno sastavljeni grafikoni logaritama, koji su davali manju preciznost, ali znatno ubrzavali pretragu. željenu vrijednost. Krivulja funkcije y = log a(x), izgrađena na nekoliko tačaka, omogućava korištenje uobičajenog ravnala za pronalaženje vrijednosti funkcije u bilo kojoj drugoj točki. Inženjeri dugo vrijeme u ove svrhe korišten je tzv. grafofolija.
U 17. veku pojavili su se prvi pomoćni analogni računarski uslovi, koji bi XIX vijeka dobio gotov izgled. Najuspješniji uređaj zvao se klizač. Unatoč jednostavnosti uređaja, njegov izgled značajno je ubrzao proces svih inženjerskih proračuna, a to je teško precijeniti. Trenutno je malo ljudi upoznato s ovim uređajem.
Pojava kalkulatora i kompjutera učinila je besmislenim korištenje bilo kojih drugih uređaja.
Jednačine i nejednačine
Sljedeće formule se koriste za rješavanje različitih jednadžbi i nejednačina korištenjem logaritama:
- Prijelaz s jedne baze na drugu: log a(b) = log c(b) / log c(a);
- Kao posljedica prethodne verzije: log a(b) = 1 / log b(a).
Za rješavanje nejednakosti korisno je znati:
- Vrijednost logaritma će biti pozitivna samo ako su i baza i argument veći od ili manje od jedan; ako je barem jedan uvjet prekršen, vrijednost logaritma će biti negativna.
- Ako je funkcija logaritma primijenjena na desnu i lijevu stranu nejednakosti, a baza logaritma je veća od jedan, onda je predznak nejednakosti sačuvan; inače se menja.
Primjeri zadataka
Razmotrite nekoliko opcija za korištenje logaritama i njihovih svojstava. Primjeri sa rješavanjem jednadžbi:
Razmotrite opciju postavljanja logaritma u stepen:
- Zadatak 3. Izračunajte 25^log 5(3). Rešenje: u uslovima zadatka, notacija je slična sledećoj (5^2)^log5(3) ili 5^(2 * log 5(3)). Zapišimo to drugačije: 5^log 5(3*2), ili kvadrat broja kao argument funkcije može se napisati kao kvadrat same funkcije (5^log 5(3))^2. Koristeći svojstva logaritama, ovaj izraz je 3^2. Odgovor: kao rezultat izračuna dobijamo 9.
Praktična upotreba
Budući da je čisto matematički alat, izgleda daleko od toga pravi zivot koji je logaritam iznenada stekao veliki značaj za opisivanje objekata stvarnom svijetu. Teško je naći nauku u kojoj se ne koristi. Ovo se u potpunosti odnosi ne samo na prirodne, već i na prirodne humanitarne oblasti znanje.
Logaritamske zavisnosti
Evo nekoliko primjera numeričkih ovisnosti:
Mehanika i fizika
Istorijski gledano, mehanika i fizika su se uvijek razvijale korištenjem matematičke metode istraživanja i istovremeno je poslužio kao poticaj razvoju matematike, uključujući i logaritme. Teorija većine zakona fizike napisana je jezikom matematike. Dajemo samo dva primjera opisa fizičkih zakona korištenjem logaritma.
Moguće je riješiti problem izračunavanja tako složene veličine kao što je brzina rakete pomoću formule Tsiolkovsky, koja je postavila temelje za teoriju istraživanja svemira:
V = I * ln(M1/M2), gdje je
- V je konačna brzina aviona.
- I je specifični impuls motora.
- M 1 je početna masa rakete.
- M 2 - konačna masa.
Drugi važan primjer - ovo je upotreba u formuli drugog velikog naučnika, Maxa Plancka, koja služi za procjenu stanja ravnoteže u termodinamici.
S = k * ln (Ω), gdje je
- S je termodinamičko svojstvo.
- k je Boltzmannova konstanta.
- Ω je statistička težina različitih stanja.
hemija
Manje očigledna bi bila upotreba formula u hemiji koje sadrže omjer logaritama. Evo samo dva primjera:
- Nernstova jednadžba, stanje redoks potencijala medija u odnosu na aktivnost supstanci i konstantu ravnoteže.
- Proračun takvih konstanti kao što su indeks autoprolize i kiselost otopine također nije potpun bez naše funkcije.
Psihologija i biologija
I potpuno je neshvatljivo kakve veze psihologija ima s tim. Pokazalo se da je snaga osjeta dobro opisana ovom funkcijom kao inverzni omjer intenziteta stimulusa prema niža vrijednost intenzitet.
Nakon navedenih primjera, više ne iznenađuje da se tema logaritma široko koristi i u biologiji. Pro biološki oblici, što odgovara logaritamskim spiralama, možete pisati cijele volumene.
Ostala područja
Čini se da je postojanje svijeta nemoguće bez veze s ovom funkcijom, a ona vlada svim zakonima. Pogotovo kada su zakoni prirode povezani sa geometrijskom progresijom. Vrijedno je pogledati web stranicu MatProfi, a takvih primjera ima mnogo u sljedećim područjima djelovanja:
Lista bi mogla biti beskonačna. Nakon što ste savladali osnovne zakone ove funkcije, možete uroniti u svijet beskonačne mudrosti.
(od grčkog λόγος - "reč", "odnos" i ἀριθμός - "broj") brojevi b razumom a(log α b) se zove takav broj c, i b= a c, odnosno log α b=c i b=ac su ekvivalentni. Logaritam ima smisla ako je a > 0, a ≠ 1, b > 0.
Drugim riječima logaritam brojevi b razumom a formulisan kao eksponent na koji se broj mora podići a da dobijem broj b(logaritam postoji samo za pozitivne brojeve).
Iz ove formulacije proizilazi da je proračun x= log α b, je ekvivalentno rješavanju jednačine a x =b.
Na primjer:
log 2 8 = 3 jer je 8=2 3 .
Napominjemo da navedena formulacija logaritma omogućava da se odmah odredi vrijednost logaritma kada je broj pod znakom logaritma određena snaga baze. Zaista, formulacija logaritma omogućava da se opravda da ako b=a c, zatim logaritam broja b razumom a jednaki sa. Takođe je jasno da je tema logaritma usko povezana sa temom stepen broja.
Pominje se izračunavanje logaritma logaritam. Logaritam je matematička operacija uzimajući logaritam. Kada se uzme logaritam, proizvodi faktora se pretvaraju u zbir članova.
Potenciranje je matematička operacija inverzna logaritmu. Prilikom potenciranja data baza se podiže na stepen izraza na kojem se vrši potenciranje. U ovom slučaju, sumi termina se pretvaraju u proizvod faktora.
Često se koriste realni logaritmi sa osnovama 2 (binarni), e Eulerovim brojem e ≈ 2,718 (prirodni logaritam) i 10 (decimalni).
U ovoj fazi, vredi razmisliti uzorci logaritama dnevnik 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.
A unosi lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 nemaju smisla, jer se u prvom od njih pod znakom logaritma stavlja negativan broj, u drugom - negativan broj u bazu, a u trećem - i negativan broj pod znakom logaritma i jedinice u bazi.
Uslovi za određivanje logaritma.
Vrijedi posebno razmotriti uslove a > 0, a ≠ 1, b > 0. definicija logaritma. Razmotrimo zašto se uzimaju ova ograničenja. Ovo će nam pomoći sa jednakošću oblika x = log α b, koji se naziva osnovnim logaritamskim identitetom, što direktno proizilazi iz gore date definicije logaritma.
Uzmite uslov a≠1. Pošto je jedan jednako jedan na bilo koji stepen, onda je jednakost x=log α b može postojati samo kada b=1, ali log 1 1 će biti bilo koji realan broj. Da bismo otklonili ovu dvosmislenost, uzimamo a≠1.
Hajde da dokažemo neophodnost uslova a>0. At a=0 prema formulaciji logaritma, može postojati samo kada b=0. I onda shodno tome log 0 0 može biti bilo koji realni broj različit od nule, pošto je nula na bilo koji stepen koji nije nula. Da bi se otklonila ova dvosmislenost, uslov a≠0. I kada a<0 morali bismo odbaciti analizu racionalnih i iracionalnih vrijednosti logaritma, jer je eksponent sa racionalnim i iracionalnim eksponentom definiran samo za nenegativne baze. Iz tog razloga je stanje a>0.
I poslednji uslov b>0 proizlazi iz nejednakosti a>0, budući da je x=log α b, i vrijednost stepena sa pozitivnom bazom a uvek pozitivno.
Osobine logaritama.
Logaritmi karakteriše karakteristično karakteristike, što je dovelo do njihove široke upotrebe kako bi se uvelike olakšala mukotrpna izračunavanja. U prelasku "u svijet logaritama" množenje se pretvara u mnogo lakše sabiranje, dijeljenje u oduzimanje, a podizanje na stepen i uzimanje korijena pretvaraju se u množenje, odnosno dijeljenje eksponentom.
Formulacija logaritama i tabela njihovih vrijednosti (za trigonometrijske funkcije) je prvi put objavio 1614. godine škotski matematičar John Napier. Logaritamske tabele, uvećane i detaljnije od strane drugih naučnika, bile su široko korišćene u naučnim i inženjerskim proračunima i ostale su relevantne sve dok se nisu počeli koristiti elektronski kalkulatori i računari.