Četvrtine kosinusa sinusa tangenta. trigonometrijski krug. Osnovne vrijednosti trigonometrijskih funkcija

Ako ste već upoznati sa trigonometrijski krug , a želite samo da osvježite pojedine elemente u sjećanju ili ste potpuno nestrpljivi, evo ga, :

Ovdje ćemo sve detaljno analizirati korak po korak.

Trigonometrijski krug nije luksuz, već potreba

Trigonometrija mnogi su povezani s neprohodnim šikarama. Toliko se značenja odjednom gomila trigonometrijske funkcije, toliko formula ... Ali to je kao, - isprva nije išlo, i ... stalno i dalje ... čisti nesporazum ...

Veoma je važno da ne odmahnete rukom vrijednosti trigonometrijskih funkcija, - kažu, uvijek možete pogledati špur sa tablicom vrijednosti.

Ako stalno gledate u tablicu sa vrijednostima trigonometrijskih formula, riješimo se ove navike!

Spasiće nas! Radit ćete s njim nekoliko puta, a onda će vam se sam pojaviti u glavi. Zašto je bolje od stola? Da, u tabeli ćete naći ograničen broj vrijednosti, ali u krugu - SVE!

Na primjer, recimo, gledam standardna tablica vrijednosti trigonometrijskih formula , što je sinus od, recimo, 300 stepeni, ili -45.

Nema šanse?.. možete se, naravno, povezati formule redukcije... A gledajući trigonometrijski krug, lako možete odgovoriti na takva pitanja. I uskoro ćete znati kako!

A kod rješavanja trigonometrijskih jednadžbi i nejednačina bez trigonometrijskog kruga - nigdje.

Uvod u trigonometrijski krug

Idemo redom.

Prvo zapišite sljedeću seriju brojeva:

A sad ovo:

I na kraju ovaj:

Naravno, jasno je da je, zapravo, na prvom mjestu, na drugom mjestu je, a na posljednjem -. Odnosno, bićemo više zainteresovani za lanac.

Ali kako je lepo ispalo! U tom slučaju ćemo obnoviti ove “divne ljestve”.

A zašto nam treba?

Ovaj lanac je glavne vrijednosti sinusa i kosinusa u prvom tromjesečju.

Nacrtajmo krug jediničnog radijusa u pravougaonom koordinatnom sistemu (to jest, uzmemo bilo koji poluprečnik duž dužine i proglasimo njegovu dužinu jediničnom).

Od grede "0-Start" odvajamo uglove u smjeru strelice (vidi sliku).

Dobijamo odgovarajuće tačke na kružnici. Dakle, ako projiciramo tačke na svaku od osa, onda ćemo dobiti tačno vrednosti iz gornjeg lanca.

Zašto je to, pitate se?

Nemojmo sve rastavljati. Razmislite princip, što će vam omogućiti da se nosite s drugim, sličnim situacijama.

Trokut AOB je pravokutni trokut sa . A znamo da naspram ugla leži krak dvostruko manji od hipotenuze (naša hipotenuza = poluprečnik kružnice, odnosno 1).

Dakle, AB= (i stoga OM=). I po Pitagorinoj teoremi

Nadam se da je sada nešto jasno.

Dakle, tačka B će odgovarati vrednosti, a tačka M će odgovarati vrednosti

Slično i sa ostalim vrijednostima prvog kvartala.

Kao što razumijete, osa poznata nama (vol) bit će kosinus osa, a os (oy) - sinusna osovina . kasnije.

Lijevo od nule na kosinusnoj osi (ispod nule na osi sinusa) će, naravno, biti negativne vrijednosti.

Dakle, evo ga, SVEMOĆNOG, bez kojeg nigdje u trigonometriji.

Ali kako koristiti trigonometrijski krug, razgovarat ćemo u nastavku.

Referentni podaci za tangentu (tg x) i kotangens (ctg x). Geometrijska definicija, svojstva, grafovi, formule. Tablica tangenta i kotangensa, izvoda, integrala, proširenja nizova. Izrazi kroz kompleksne varijable. Veza sa hiperboličkim funkcijama.

Geometrijska definicija

|BD| - dužina luka kružnice sa središtem u tački A.
α je ugao izražen u radijanima.

tangenta ( tgα) je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravougaonog trougla, jednako omjeru dužine suprotne noge |BC| na dužinu susedne noge |AB| .

kotangens ( ctgα) je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru dužine susjednog kraka |AB| na dužinu suprotne noge |BC| .

Tangenta

Gdje n- cela.

AT Zapadna književnost tangenta je definirana na sljedeći način:
.
;
;
.

Grafikon tangentne funkcije, y = tg x

Kotangens

Gdje n- cela.

U zapadnoj literaturi kotangens se označava na sljedeći način:
.
Usvojena je i sljedeća notacija:
;
;
.

Grafikon kotangens funkcije, y = ctg x

Svojstva tangente i kotangensa

Periodičnost

Funkcije y= tg x i y= ctg x su periodične sa periodom π.

Paritet

Funkcije tangenta i kotangens su neparne.

Domeni definicija i vrijednosti, rastući, silazni

Funkcije tangenta i kotangens su kontinuirane u svojoj domeni definicije (vidi dokaz kontinuiteta). Glavna svojstva tangente i kotangensa prikazana su u tabeli ( n- cijeli broj).

	y= tg x	y= ctg x
Obim i kontinuitet
Raspon vrijednosti	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Uzlazno		-
Silazno	-
Ekstremi	-	-
Nule, y= 0
Tačke presjeka sa y-osom, x = 0	y= 0	-

Formule

Izrazi u terminima sinusa i kosinusa

; ;
; ;
;

Formule za tangente i kotangense zbira i razlike

Ostale formule je lako dobiti, na primjer

Proizvod tangenti

Formula za zbir i razliku tangenta

Ova tabela prikazuje vrijednosti tangenta i kotangensa za neke vrijednosti argumenta.

Izrazi u terminima kompleksnih brojeva

Izrazi u terminima hiperboličkih funkcija

;
;

Derivati

; .

.
Derivat n-tog reda u odnosu na varijablu x funkcije:
.
Izvođenje formula za tangentu > > > ; za kotangens > > >

Integrali

Proširenja u serije

Da biste dobili proširenje tangente po stepenu x, morate uzeti nekoliko članova proširenja u snaga serije za funkcije sin x i cos x i podijeliti ove polinome jedan u drugi , . Ovo rezultira sljedećim formulama.

U .

u .
gdje B n- Bernulijevi brojevi. One se određuju ili iz relacije recidiva:
;
;
gdje .
Ili prema Laplaceovoj formuli:

Inverzne funkcije

Inverzne funkcije tangenti i kotangensu su arktangens i arkkotangens, respektivno.

Arktangent, arctg

, gdje n- cela.

Arc tangenta, arcctg

, gdje n- cela.

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokoškolskih ustanova, Lan, 2009.
G. Korn, Priručnik iz matematike za istraživače i inženjere, 2012.

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci se odnose na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju određena osoba ili veze sa njim.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, mi možemo prikupiti razne informacije uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Prikupljeno od nas lična informacija nam omogućava da vas kontaktiramo i informišemo o tome jedinstvene ponude, promocije i drugi događaji i nadolazeći događaji.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke kako bismo vam poslali važna obavještenja i poruke.
• Također možemo koristiti lične podatke za interne svrhe kao što su revizija, analiza podataka i razne studije da poboljšamo usluge koje pružamo i da vam damo preporuke u vezi sa našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskom procedurom, u parnica, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva od vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno iz razloga sigurnosti, provođenja zakona ili drugih razloga javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše lične podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlašćenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i striktno provodimo praksu privatnosti.

Brojanje uglova na trigonometrijskom krugu.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom dijelu 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Gotovo je isto kao u prethodnoj lekciji. Tu su sjekire, krug, ugao, sve je chin-kina. Dodani brojevi četvrtina (u uglovima velikog kvadrata) - od prve do četvrte. I onda odjednom ko ne zna? Kao što vidite, četvrtine (takođe se zovu prelepa reč"kvadranti") su numerisani prema potezu u smjeru kazaljke na satu. Dodane vrijednosti uglova na osovinama. Sve je jasno, bez preterivanja.

I dodao zelenu strelicu. Sa plusom. šta ona znači? Da vas podsjetim da je fiksna strana ugla uvijek prikovan na pozitivnu osu OH. Dakle, ako okrenemo pokretnu stranu ugla plus strelica, tj. u rastućim četvrtinskim brojevima, ugao će se smatrati pozitivnim. Na primjer, slika pokazuje pozitivan ugao od +60°.

Ako odložimo uglove in poleđina, u smjeru kazaljke na satu, ugao će se smatrati negativnim. Zadržite pokazivač miša preko slike (ili dodirnite sliku na tabletu), videćete plavu strelicu sa minusom. Ovo je smjer negativnog očitavanja uglova. Kao primjer je prikazan negativan ugao (-60°). A vidjet ćete i kako su se promijenili brojevi na osi... Preveo sam ih i u negativne uglove. Numeracija kvadranata se ne mijenja.

Tu obično počinju prvi nesporazumi. Kako to!? A ako se negativni ugao na kružnici poklopi sa pozitivnim!? I općenito, ispada da se isti položaj pomične strane (ili točke na brojevnoj kružnici) može nazvati i negativnim i pozitivnim uglom!?

Da. Upravo. Recimo da pozitivni ugao od 90 stepeni uzima krug upravo isto položaj kao negativan ugao od minus 270 stepeni. Pozitivan ugao, na primjer +110° stepeni, uzima upravo isto pozicija kao negativni ugao je -250°.

Nema problema. Sve je ispravno.) Izbor pozitivnog ili negativnog izračuna ugla zavisi od uslova zadatka. Ako stanje ne govori ništa običan tekst o znaku ugla, (kao "odredi najmanji pozitivno ugao", itd.), tada radimo sa vrijednostima koje su nam zgodne.

Izuzetak (a kako bez njih?!) su trigonometrijske nejednakosti, ali tamo ćemo savladati ovaj trik.

A sada jedno pitanje za vas. Kako da znam da je položaj ugla od 110° isti kao i položaj ugla -250°?
Nagovijestit ću da je to zbog punog prometa. U 360°... Nije jasno? Zatim crtamo krug. Crtamo na papiru. Označavanje ugla o 110°. I vjerovati koliko ostaje do punog okreta. Ostalo je samo 250°...

Jasno? A sada - pažnja! Ako uglovi 110° i -250° zauzimaju krug isto pozicija, šta onda? Da, činjenica da su uglovi 110° i -250° upravo isto sinus, kosinus, tangent i kotangens!
One. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) i tako dalje. Sada je ovo zaista važno! I samo po sebi - postoji puno zadataka u kojima je potrebno pojednostaviti izraze i kao osnova za kasniji razvoj redukcijskih formula i drugih zamršenosti trigonometrije.

Naravno, uzeo sam 110° i -250° nasumično, čisto na primjer. Sve ove jednakosti vrijede za sve uglove koji zauzimaju istu poziciju na kružnici. 60° i -300°, -75° i 285° i tako dalje. Odmah napominjem da su uglovi u ovim parovima - razne. Ali oni imaju trigonometrijske funkcije - isto.

Mislim da razumijete šta su negativni uglovi. Prilično je jednostavno. U smjeru suprotnom od kazaljke na satu je pozitivan broj. Usput je negativan. Smatrajte ugao pozitivnim ili negativnim zavisi od nas. Iz naše želje. Pa, i više od zadatka, naravno... Nadam se da razumijete kako se kretati u trigonometrijskim funkcijama iz negativnih u pozitivne kutove i obrnuto. Nacrtajte krug, približni ugao i vidite koliko nedostaje prije punog okreta, tj. do 360°.

Uglovi veći od 360°.

Pozabavimo se uglovima koji su veći od 360°. I takve stvari se dešavaju? Ima ih, naravno. Kako ih nacrtati u krug? Nije problem! Pretpostavimo da trebamo razumjeti u kojoj će četvrtini pasti ugao od 1000 °? Lako! Napravimo jedan puni okret u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (ugao nam je dat pozitivan!). Premotavanje unazad 360°. Pa, idemo dalje! Još jedan okret - već je ispalo 720 °. Koliko je ostalo? 280°. Nije dovoljno za puni okret... Ali ugao je veći od 270° - a to je granica između treće i četvrte četvrtine. Dakle, naš ugao od 1000° pada u četvrtu četvrtinu. Sve.

Kao što vidite, prilično je jednostavno. Da vas još jednom podsjetim da su ugao od 1000° i ugao od 280°, koje smo dobili odbacivanjem "dodatnih" punih zavoja, strogo govoreći, razne uglovi. Ali trigonometrijske funkcije ovih uglova upravo isto! One. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° itd. Da sam sinus, ne bih primetio razliku između ova dva ugla...

Zašto je sve ovo potrebno? Zašto trebamo prevoditi uglove iz jednog u drugi? Da, sve za isto.) Da bismo pojednostavili izraze. Pojednostavljenje izraza je, zapravo, glavni zadatak školske matematike. Pa, usput, glava trenira.)

Pa, hoćemo li vježbati?)

Odgovaramo na pitanja. U početku jednostavno.

1. U kojoj četvrtini pada ugao -325°?

2. U kojoj četvrtini pada ugao od 3000°?

3. U kojoj četvrtini pada ugao -3000°?

Postoji problem? Ili nesigurnost? Idemo na odjeljak 555, Praktični rad s trigonometrijskim krugom. Tamo, na prvoj lekciji ovog " praktičan rad..." sve je detaljno... U takav pitanja neizvesnosti ne bi trebalo!

4. Koji je znak sin555°?

5. Koji je predznak tg555°?

Odlučan? Fino! Sumnja? Neophodno je u Odjeljku 555 ... Usput, tamo ćete naučiti kako nacrtati tangentu i kotangens na trigonometrijskom krugu. Veoma korisna stvar.

A sada pametnija pitanja.

6. Dovedite izraz sin777° na sinus najmanjeg pozitivnog ugla.

7. Dovedite izraz cos777° na kosinus najvećeg negativnog ugla.

8. Pretvorite izraz cos(-777°) u kosinus najmanjeg pozitivnog ugla.

9. Dovedite izraz sin777° na sinus najvećeg negativnog ugla.

Šta, pitanja 6-9 su zbunjena? Navikni se, nema takvih formulacija na ispitu... Neka bude, ja ću to prevesti. Samo za tebe!

Riječi "smanjiti izraz na ..." znače transformirati izraz tako da njegova vrijednost nije se promijenilo a izgled mijenja u skladu sa zadatkom. Dakle, u zadacima 6 i 9 moramo dobiti sinus, unutar kojeg je najmanji pozitivni ugao. Sve ostalo nije bitno.

Odgovore ću dati po redu (kršeći naša pravila). Ali šta da se radi, postoje samo dva znaka, a samo četiri četvrtine... Nećete se raspršiti u opcijama.

6. sin57°.

7.cos(-57°).

8.cos57°.

9.-sin(-57°)

Pretpostavljam da su odgovori na pitanja 6-9 zbunili neke ljude. Posebno -sin(-57°), zar ne?) Zaista, u elementarnim pravilima za brojanje uglova ima mjesta za greške... Zato sam morao napraviti lekciju: "Kako odrediti predznake funkcija i dati uglove na trigonometrijskom krugu?" U Odjeljku 555. Tu su razvrstani zadaci 4 - 9. Dobro sređeno, sa svim zamkama. I tu su.)

U sljedećoj lekciji bavićemo se misterioznim radijanima i brojem "Pi". Naučite kako lako i ispravno pretvoriti stupnjeve u radijane i obrnuto. I bićemo iznenađeni kada otkrijemo da su ove elementarne informacije na sajtu već dosta riješiti neke nestandardne trigonometrijske zagonetke!

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učenje - sa interesovanjem!)

možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Predznak trigonometrijske funkcije ovisi isključivo o koordinatnoj četvrti u kojoj se nalazi numerički argument. Prošli put smo naučili kako da prevedemo argumente iz radijanske mjere u stepensku mjeru (pogledajte lekciju “Radijan i stepen mjera ugla”), a zatim odredimo ovu istu koordinatnu četvrtinu. Sada se pozabavimo, zapravo, definicijom predznaka sinusa, kosinusa i tangente.

Sinus ugla α je ordinata (koordinata y) tačke na trigonometrijskom krugu, koja se javlja kada se radijus rotira kroz ugao α.

Kosinus ugla α je apscisa (koordinata x) tačke na trigonometrijskom krugu, koja se javlja kada poluprečnik rotira kroz ugao α.

Tangent ugla α je omjer sinusa i kosinusa. Ili, ekvivalentno, omjer y-koordinate i x-koordinate.

Oznaka: sin α = y ; cosα = x; tgα = y : x .

Sve ove definicije poznate su vam iz srednjoškolskog kursa algebre. Međutim, ne zanimaju nas same definicije, već posljedice koje nastaju na trigonometrijskom krugu. Pogledaj:

Plava boja označava pozitivan smjer ose OY (os ordinate), crvena boja označava pozitivan smjer ose OX (os apscisa). Na ovom "radaru" znaci trigonometrijskih funkcija postaju očigledni. posebno:

1. sin α > 0 ako ugao α leži u I ili II koordinatnoj četvrtini. To je zato što je, po definiciji, sinus ordinata (y koordinata). I koordinata y će biti pozitivna upravo u I i II koordinatnoj četvrti;
2. cos α > 0 ako ugao α leži u I ili IV koordinatnoj četvrtini. Jer samo tamo će x koordinata (to je i apscisa) biti veća od nule;
3. tg α > 0 ako ugao α leži u I ili III koordinatnom kvadrantu. Ovo proizilazi iz definicije: na kraju krajeva, tg α = y : x , dakle pozitivno je samo tamo gdje se predznaci x i y poklapaju. Ovo se dešava u 1. koordinatnoj četvrti (ovde x > 0, y > 0) i u 3. koordinatnoj četvrti (x< 0, y < 0).

Radi jasnoće, bilježimo znakove svake trigonometrijske funkcije - sinus, kosinus i tangenta - na posebnom "radaru". Dobijamo sledeću sliku:

Napomena: u svom rasuđivanju nikada nisam govorio o četvrtoj trigonometrijskoj funkciji - kotangensu. Činjenica je da se znakovi kotangensa poklapaju sa znakovima tangente - tu nema posebnih pravila.

Sada predlažem da razmotrimo primjere slične problemima B11 iz probni ispit iz matematike, koji je održan 27.09.2011 Najbolji način razumijevanje teorije je praksa. Po mogućnosti puno vježbe. Naravno, malo su izmijenjeni uslovi zadataka.

Zadatak. Odredite znakove trigonometrijskih funkcija i izraza (vrijednosti samih funkcija ne treba uzeti u obzir):

1. sin(3π/4);
2. cos(7π/6);
3. tan (5π/3);
4. sin(3π/4) cos(5π/6);
5. cos (2π/3) tg (π/4);
6. sin(5π/6) cos(7π/4);
7. tan (3π/4) cos (5π/3);
8. ctg (4π/3) tg (π/6).

Akcioni plan je sljedeći: prvo pretvaramo sve uglove iz radijanske mjere u mjeru stepena (π → 180°), a zatim gledamo u kojoj koordinatnoj četvrtini leži rezultirajući broj. Poznavajući četvrti, lako možemo pronaći znakove - prema upravo opisanim pravilima. Imamo:

1. sin (3π/4) = sin (3 180°/4) = sin 135°. Pošto je 135° ∈ , ovo je ugao iz II koordinatnog kvadranta. Ali sinus u drugoj četvrtini je pozitivan, tako da je sin (3π/4) > 0;
2. cos (7π/6) = cos (7 180°/6) = cos 210°. Jer 210° ∈ , ovo je ugao iz III koordinatnog kvadranta u kojem su svi kosinusi negativni. Dakle, cos (7π/6)< 0;
3. tg (5π/3) = tg (5 180°/3) = tg 300°. Pošto je 300° ∈ , nalazimo se u kvadrantu IV, gdje tangenta poprima negativne vrijednosti. Stoga tg (5π/3)< 0;
4. sin (3π/4) cos (5π/6) = sin (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sin 135° cos 150°. Hajde da se pozabavimo sinusom: jer 135° ∈ , ovo je druga četvrtina, u kojoj su sinusi pozitivni, tj. sin (3π/4) > 0. Sada radimo sa kosinusom: 150° ∈ - opet druga četvrtina, kosinusi su negativni. Stoga cos (5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
5. cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Gledamo kosinus: 120° ∈ je II koordinatna četvrtina, tako da cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Opet smo dobili proizvod u kojem su faktori različitih predznaka. Pošto „minus puta plus daje minus“, imamo: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
6. sin (5π/6) cos (7π/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. Radimo sa sinusom: od 150° ∈ , mi pričamo o II koordinatnoj četvrti, gdje su sinusi pozitivni. Dakle, sin (5π/6) > 0. Slično, 315° ∈ je IV koordinatna četvrtina, kosinusi su pozitivni. Dakle, cos (7π/4) > 0. Dobili smo proizvod dva pozitivna broja - takav izraz je uvijek pozitivan. Zaključujemo: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
7. tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Ali ugao 135° ∈ je druga četvrtina, tj. preplanuli (3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Pošto “minus plus daje znak minus”, imamo: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
8. ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Gledamo argument kotangensa: 240° ∈ je III koordinatna četvrtina, dakle ctg (4π/3) > 0. Slično, za tangentu imamo: 30° ∈ je I koordinatna četvrtina, tj. najlakši ugao. Dakle, tg (π/6) > 0. Opet, dobili smo dva pozitivna izraza - njihov proizvod će također biti pozitivan. Stoga je ctg (4π/3) tg (π/6) > 0.

Na kraju, pogledajmo još nekoliko izazovni zadaci. Pored pronalaženja predznaka trigonometrijske funkcije, ovdje morate napraviti i mali proračun - baš kao što se to radi u stvarnim zadacima B11. U principu, to su gotovo pravi zadaci koji se zaista nalaze na ispitu iz matematike.

Zadatak. Naći sin α ako je sin 2 α = 0,64 i α ∈ [π/2; π].

Pošto je sin 2 α = 0,64, imamo: sin α = ±0,8. Ostaje da se odluči: plus ili minus? Po pretpostavci, ugao α ∈ [π/2; π] je II koordinatna četvrtina, gdje su svi sinusi pozitivni. Dakle, sin α = 0,8 - nesigurnost sa predznacima je eliminisana.

Zadatak. Naći cos α ako je cos 2 α = 0,04 i α ∈ [π; 3π/2].

Slično postupamo, tj. ekstrakt Kvadratni korijen: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. Po pretpostavci, ugao α ∈ [π; 3π/2], tj. govorimo o III koordinatnoj četvrti. Tu su svi kosinusi negativni, pa je cos α = −0,2.

Zadatak. Naći sin α ako je sin 2 α = 0,25 i α ∈ .

Imamo: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Opet gledamo ugao: α ∈ je IV koordinatna četvrtina, u kojoj će, kao što znate, sinus biti negativan. Dakle, zaključujemo: sin α = −0,5.

Zadatak. Naći tg α ako je tg 2 α = 9 i α ∈ .

Sve je isto, samo za tangentu. Uzimamo kvadratni korijen: tg 2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Ali prema uslovu, ugao α ∈ je I koordinatni kvadrant. Sve trigonometrijske funkcije, uklj. tangenta, ima pozitivnih, dakle tg α = 3. To je to!