Tri ugla trougla su jednaka. Zbir uglova trougla. Teorema o zbiru uglova trougla

Teorema. Zbir unutrašnjih uglova trougla jednak je dvama pravim uglovima.

Uzmite neki trougao ABC (slika 208). Označimo njegove unutrašnje uglove sa 1, 2 i 3. Dokažimo to

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Provucimo kroz neki vrh trougla, na primjer B, pravu MN paralelnu sa AC.

U vrhu B imamo tri ugla: ∠4, ∠2 i ∠5. Njihov zbir je pravi ugao, dakle, jednak je 180 °:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

Ali ∠4 \u003d ∠1 su unutrašnji unakrsno ležeći uglovi sa paralelnim linijama MN i AC i sekantom AB.

∠5 = ∠3 su unutrašnji poprečni uglovi sa paralelnim pravima MN i AC i sekantom BC.

Dakle, ∠4 i ∠5 mogu biti zamijenjeni njihovim jednakima ∠1 i ∠3.

Dakle, ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Teorema je dokazana.

2. Svojstvo vanjskog ugla trougla.

Zaista, u trouglu ABC (slika 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, ali i ∠BCD, spoljašnji ugao ovog trougla, koji nije susedan ∠1 i ∠2, takođe je jednak 180° - ∠3 .

ovako:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

Dakle, ∠1 + ∠2= ∠BCD.

Izvedeno svojstvo spoljašnjeg ugla trougla prečišćava sadržaj prethodno dokazane teoreme o spoljašnjem uglu trougla, u kojoj je navedeno samo da je spoljašnji ugao trougla veći od svakog unutrašnjeg ugla trougla koji je nije u blizini; sada je utvrđeno da je vanjski ugao jednak zbiru oba unutrašnja ugla koja mu ne graniče.

3. Svojstvo pravouglog trougla sa uglom od 30°.

Pusti unutra pravougaonog trougla DIA ugao B je 30° (Sl. 210). Tada će njegov drugi oštri ugao biti 60°.

Dokažimo da je krak AC jednak polovini hipotenuze AB. Nastavljamo nogu AC izvan temena pravi ugao C i odvojite segment SM, jednak segmentu AC. Tačku M povezujemo sa tačkom B. Dobijeni trokut BCM jednako trouglu DIA. Vidimo da je svaki ugao trougla AVM jednak 60°, dakle, ovaj trougao je jednakostraničan.

AC krak je jednak polovini AM, a pošto je AM jednak AB, AC krak će biti jednak polovini hipotenuze AB.

Lako se može zapamtiti činjenica da je "zbir uglova bilo kojeg trougla u euklidskoj geometriji 180 stepeni". Ako pamćenje nije lako, možete provesti nekoliko eksperimenata za bolje pamćenje.

Eksperiment jedan

Nacrtajte nekoliko proizvoljnih trokuta na komad papira, na primjer:

• sa proizvoljnim stranama;
• jednakokraki trokut;
• pravougaonog trougla.

Obavezno koristite liniju. Sada morate izrezati rezultirajuće trokute, radeći to točno duž nacrtanih linija. Obojite uglove svakog trougla olovkom u boji ili flomasterom. Na primjer, u prvom trokutu svi uglovi će biti crveni, u drugom - plavi, treći - zeleni. http://bit.ly/2gY4Yfz

Od prvog trokuta odrežite sva 3 ugla i spojite ih u jednoj tački sa vrhovima, tako da su najbliže strane svakog ugla povezane. Kao što vidite, tri ugla trougla su formirala pravi ugao, koji je jednak 180 stepeni. Uradite isto sa druga dva trougla - rezultat će biti isti. http://bit.ly/2zurCrd

Eksperiment dva

Crtamo proizvoljan trougao ABC. Odaberemo bilo koji vrh (na primjer, C) i kroz njega povučemo pravu liniju DE, paralelnu sa suprotnom stranom (AB). http://bit.ly/2zbYNzq

Dobijamo sljedeće:

1. Uglovi BAC i ACD su jednaki, kao interno ukršteni u odnosu na AC;
2. Uglovi ABC i BCE su jednaki, kao interno ukršteni u odnosu na BC;
3. Vidimo da su uglovi 1, 2 i 3 - uglovi trougla, spojeni u jednoj tački, formirali razvijeni ugao DCE, koji je jednak 180 stepeni.

Teorema o zbiru trougla kaže da je zbir svih unutrašnjih uglova bilo kojeg trougla 180°.

Neka su unutrašnji uglovi trokuta a, b i c, tada:

a + b + c = 180°.

Iz ove teorije možemo zaključiti da je zbir svih vanjskih uglova bilo kojeg trougla 360°. Pošto je spoljašnji ugao susedan unutrašnjem, njihov zbir je 180°. Neka su unutrašnji uglovi trougla a, b i c, tada su spoljašnji uglovi kod ovih uglova 180° - a, 180° - b i 180° - c.

Pronađite zbir vanjskih uglova trougla:

180° - a + 180° - b + 180° - c = 540° - (a + b + c) = 540° - 180° = 360°.

Odgovor: zbir unutrašnjih uglova trougla je 180°; zbir vanjskih uglova trougla je 360°.

Ova teorema je takođe formulisana u udžbeniku L.S. Atanasyana. , a u udžbeniku Pogorelov A.V. . Dokazi ove teoreme u ovim udžbenicima se ne razlikuju bitno, te stoga predstavljamo njen dokaz, na primjer, iz udžbenika Pogorelova A.V.

Teorema: Zbir uglova trougla je 180°

Dokaz. Neka je ABC dati trougao. Povucite liniju kroz vrh B paralelno pravoj AC. Označite na njoj tačku D tako da tačke A i D leže na suprotnim stranama prave BC (slika 6).

Uglovi DBC i ACB su jednaki kao unutrašnji ukršteni, formirani sekantom BC sa paralelnim pravim linijama AC i BD. Dakle, zbir uglova trougla na vrhovima B i C jednak je uglu ABD. A zbir sva tri ugla trougla jednak je zbiru uglova ABD i BAC. Pošto su ovi uglovi unutrašnji jednostrani za paralele AC i BD i sekantu AB, njihov zbir je 180°. Teorema je dokazana.

Ideja iza ovog dokaza je da paralelna linija i označavanje jednakosti željenih uglova. Ideju takve dodatne konstrukcije rekonstruiramo dokazujući ovu teoremu korištenjem koncepta misaonog eksperimenta. Dokaz teoreme pomoću misaonog eksperimenta. Dakle, predmet našeg misaonog eksperimenta su uglovi trougla. Postavimo ga mentalno u takve uslove u kojima se njegova suština može otkriti sa posebnom sigurnošću (faza 1).

Takvi uslovi će biti takav raspored uglova trougla, u kojem će sva tri njihova vrha biti kombinovana u jednoj tački. Takva kombinacija je moguća ako se dozvoli mogućnost „pomeranja“ uglova, pomeranjem stranica trougla bez promene ugla nagiba (slika 1). Takvi pokreti su u suštini naknadne mentalne transformacije (faza 2).

Označavajući uglove i stranice trougla (slika 2), uglove dobijene tokom „kretanja“, mi na taj način misaono formiramo okruženje, sistem veza u koji stavljamo svoj predmet mišljenja (faza 3).

Prava AB koja se „kreće“ duž prave BC i ne menja ugao nagiba prema njoj, prevodi ugao 1 u ugao 5, a „krećući se“ duž prave AC, prevodi ugao 2 u ugao 4. Budući da sa takvim „kretanjem“ prava AB ne mijenja ugao nagiba na prave AC i BC, onda je zaključak očigledan: zrake a i a1 su paralelne sa AB i prelaze jedna u drugu, a zrake b i b1 su nastavci stranica BC i AC, respektivno. Pošto su ugao 3 i ugao između zraka at i at1 vertikalni, oni su jednaki. Zbir ovih uglova jednak je proširenom uglu aa1 - što znači 180°.

ZAKLJUČAK

AT teza Izvedeni su „konstruisani“ dokazi nekih školskih geometrijskih teorema, koristeći strukturu misaonog eksperimenta, što je bila potvrda formulisane hipoteze.

Prikazani dokazi zasnivali su se na takvim vizualno-čulnim idealizacijama: "stiskanje", "istezanje", "klizanje", koje su omogućile da se originalni geometrijski objekt transformiše na poseban način i istakne njegove bitne karakteristike, što je tipično za misao. eksperiment. Gde misaoni eksperiment djeluje kao određeno "kreativno oruđe" koje doprinosi nastanku geometrijskog znanja (npr. srednja linija trapezu ili oko uglova trougla). Takve idealizacije omogućavaju da se shvati ideja dokaza u cjelini, ideja izvođenja „dodatne konstrukcije“, što nam omogućava da govorimo o mogućnosti svjesnijeg razumijevanja procesa formalnog deduktivni dokaz geometrijskih teorema.

Misaoni eksperiment je jedna od osnovnih metoda za dobijanje i otkrivanje geometrijskih teorema. Potrebno je razviti metodologiju za prenošenje metode na studenta. Ostaje otvoreno pitanje o uzrastu učenika prihvatljivom za „prihvatanje” metode, o „ nuspojave dokaza izvedenih na ovaj način.

Ova pitanja zahtijevaju dalje proučavanje. Ali u svakom slučaju, jedno nema sumnje: misaoni eksperiment razvija teorijsko mišljenje kod školaraca, njegova je osnova i stoga se mora razvijati sposobnost za mentalno eksperimentiranje.

Teorema o zbiru unutrašnjih uglova trougla

Zbir uglova trougla je 180°.

dokaz:

• Dat je trougao ABC.
• Povucite pravu DK kroz vrh B paralelnu sa osnovom AC.
• \ugao CBK= \ugao C kao unutrašnji poprečno ležeći sa paralelnim DK i AC, i sekantom BC.
• \ugao DBA = \ugao Unutrašnji poprečno leži u DK \paraleli AC i sekanti AB. Ugao DBK je ravan i jednak
• \ugao DBK = \ugao DBA + \ugao B + \ugao CBK
• Pošto je pravi ugao 180 ^\circ , i \ugao CBK = \ugao C i \ugao DBA = \ugao A , dobijamo 180 ^\circ = \ugao A + \ugao B + \ugao C.

Teorem dokazan

Posljedice iz teoreme o zbiru uglova trougla:

1. Zbir oštrih uglova pravouglog trougla je 90°.
2. U jednakokračnom pravokutnom trokutu svaki oštar ugao je 45°.
3. U jednakostraničnom trouglu svaki ugao je 60°.
4. U bilo kojem trouglu, ili su svi uglovi oštri, ili su dva oštra, a treći je tup ili pravi.
5. Vanjski ugao trougla jednak je zbiru dva unutrašnja ugla koji nisu susjedni njemu.

Teorema o vanjskom kutu trougla

Vanjski ugao trougla jednak je zbiru dva preostala ugla trougla koji nisu susjedni tom vanjskom kutu.

dokaz:

• Dat je trougao ABC, gdje je BCD vanjski ugao.
• \ugao BAC + \ugao ABC +\ugao BCA = 180^0
• Od jednakosti, ugao \ugao BCD + \ugao BCA = 180^0
• Dobijamo \ugao BCD = \ugao BAC+\ugao ABC.

Ciljevi i zadaci:

edukativni:

• ponoviti i generalizirati znanje o trouglu;
• dokazati teoremu o sumi trougla;
• praktično provjeriti ispravnost formulacije teoreme;
• naučiti primjenjivati ​​stečena znanja u rješavanju problema.

u razvoju:

• razvijati geometrijsko mišljenje, interesovanje za predmet, kognitivno i kreativna aktivnost učenika, matematički govor, sposobnost samostalnog sticanja znanja.

edukativni:

• razvijati lični kvaliteti učenika, kao što su svrsishodnost, upornost, tačnost, sposobnost timskog rada.

Oprema: multimedijalni projektor, trouglovi od papira u boji, nastavni materijali "Matematika uživo", kompjuter, ekran.

Pripremna faza: Nastavnik upućuje učenika da se pripremi istorijska pozadina o teoremi o sumi uglova trougla.

Vrsta lekcije: učenje novog gradiva.

Tokom nastave

I. Organizacioni momenat

Pozdrav. Psihološki odnos učenika prema radu.

II. Zagrijavanje

Sa geometrijskom figurom „trougao“ upoznali smo se u prethodnim lekcijama. Hajde da ponovimo šta znamo o trouglu?

Učenici rade u grupama. Pruža im se mogućnost da međusobno komuniciraju, svaki da samostalno grade proces spoznaje.

Šta se desilo? Svaka grupa daje svoje prijedloge, a nastavnik ih zapisuje na tabli. Raspravlja se o rezultatima:

Slika 1

III. Formuliramo zadatak lekcije

Dakle, već znamo dosta o trouglu. Ali ne sve. Svako od vas na svom stolu ima trouglove i kutomjere. Šta mislite, koji zadatak možemo formulisati?

Učenici formuliraju zadatak lekcije - pronaći zbir uglova trougla.

IV. Objašnjenje novog materijala

Praktični dio(doprinosi aktualizaciji znanja i vještina samospoznaje) Izmjerite uglove kutomjerom i pronađite njihov zbir. Rezultate zapišite u svesku (poslušajte dobijene odgovore). Saznajemo da je zbir uglova za svakoga različit (to se može dogoditi jer je kutomjer neprecizno primijenjen, proračun je nepažljivo izveden itd.).

Presavijte duž isprekidanih linija i saznajte čemu je još jednak zbir uglova trokuta:

a)
Slika 2

b)
Slika 3

u)
Slika 4

G)
Slika 5

e)
Slika 6

Nakon završenog praktičnog rada učenici formulišu odgovor: Zbir uglova trougla je jednak stepen mera prošireni ugao, tj. 180°.

Nastavnik: Iz matematike praktičan rad omogućava samo neku vrstu tvrdnje, ali to treba dokazati. Tvrdnja čija se valjanost utvrđuje dokazom naziva se teorema. Koju teoremu možemo formulisati i dokazati?

Studenti: Zbir uglova trougla je 180 stepeni.

Referenca istorije: Svojstvo zbira uglova trougla utvrđeno je u Drevni Egipat. Dokaz dat u modernim udžbenicima nalazi se u Proklovim komentarima na Euklidove elemente. Proklo tvrdi da su ovaj dokaz (sl. 8) otkrili Pitagorejci (5. vek pne). U prvoj knjizi Elementi Euklid iznosi još jedan dokaz teoreme o zbiru uglova trougla, koji je lako razumeti uz pomoć crteža (slika 7):

Slika 7

Slika 8

Crteži se prikazuju na ekranu preko projektora.

Nastavnik nudi da dokaže teoremu uz pomoć crteža.

Zatim se dokaz izvodi pomoću CMD-a "Matematika uživo". Nastavnik na računaru projektuje dokaz teoreme.

Teorema o zbiru uglova trougla: "Zbir uglova trougla je 180°"

Slika 9

dokaz:

a)

Slika 10

b)

Slika 11

u)

Slika 12

Učenici u svesci ukratko zapisuju dokaz teoreme:

Teorema: Zbir uglova trougla je 180°.

Slika 13

Dato:Δ ABC

dokazati: A + B + C = 180°.

dokaz:

Šta je trebalo dokazati.

V. Phys. minuta.

VI. Objašnjenje novog materijala (nastavak)

Posljedicu teoreme o zbiru uglova trougla učenici sami izvode, što doprinosi razvoju sposobnosti da formulišu vlastito gledište, izraze ga i argumentiraju:

U bilo kojem trouglu, ili su svi uglovi oštri, ili dva oštri uglovi, a treći tup ili ravan.

Ako su svi uglovi u trouglu oštri, onda se naziva oštrougao.

Ako je jedan od uglova trougla tup, onda se naziva tupo.

Ako je jedan od uglova trougla pravi, onda se zove pravougaona.

Teorema o zbroju uglova trougla vam omogućava da trokute klasifikujete ne samo po stranicama, već i po uglovima. (U toku upoznavanja sa vrstama trouglova, učenici popunjavaju tabelu)

Tabela 1

Pogled na trokut	Jednakokraki	Equilateral	Svestran
Pravougaona
tupo
oštrougao

VII. Konsolidacija proučenog materijala.

1. Usmeno rješavajte probleme:

(Crteži se prikazuju na ekranu kroz projektor)

Zadatak 1. Pronađite ugao C.

Slika 14

Zadatak 2. Pronađite ugao F.

Slika 15

Zadatak 3. Pronađite uglove K i N.

Slika 16

Zadatak 4. Pronađite uglove P i T.

Slika 17

1. Rešite sami zadatak br. 223 (b, d).
2. Reši zadatak na tabli i u sveskama učenika br.224.
3. Pitanja: Može li trougao imati: a) dva prava ugla; b) dva tupa ugla; c) jedan pravi i jedan tup ugao.
4. (izvodi se usmeno) Kartice na svakom stolu prikazuju različite trouglove. Odredite okom oblik svakog trougla.

Slika 18

1. Pronađite zbir uglova 1, 2 i 3.

Slika 19

VIII. Sažetak lekcije.

Učitelj: Šta smo naučili? Da li se teorema odnosi na bilo koji trougao?

IX. Refleksija.

Dajte mi vaše raspoloženje momci! With poleđina trougao oslikava vaše izraze lica.

Slika 20

Zadaća: str.30 (1. dio), pitanje 1, pog. IV strana 89 udžbenika; br. 223 (a, c), br. 225.