Izdvajanje kvadratnog korijena broja. Šta je kvadratni korijen

11.10.2019

Prije pojave kalkulatora, učenici i nastavnici su ručno izračunavali kvadratni korijen. Postoji nekoliko načina izračunavanja kvadratni korijen brojeve ručno. Neki od njih nude samo okvirno rješenje, drugi daju tačan odgovor.

Koraci

Primena faktorizacije

Faktori korijenski broj u faktore koji su kvadratni brojevi. Ovisno o korijenskom broju, dobit ćete približan ili tačan odgovor. Kvadratni brojevi su brojevi iz kojih se može uzeti cijeli kvadratni korijen. Faktori su brojevi koji, kada se pomnože, daju originalni broj. Na primjer, faktori broja 8 su 2 i 4, budući da su 2 x 4 = 8, brojevi 25, 36, 49 su kvadratni brojevi, jer je √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. su faktori , koji su kvadratni brojevi. Prvo, pokušajte faktorizirati korijenski broj u kvadratne faktore.

Na primjer, izračunajte kvadratni korijen od 400 (ručno). Prvo pokušajte rastaviti 400 na kvadratne faktore. 400 je višekratnik 100, odnosno djeljiv sa 25 - ovo je kvadratni broj. Ako podijelite 400 sa 25, dobijete 16. Broj 16 je također kvadratni broj. Dakle, 400 se može razložiti na kvadratne faktore 25 i 16, odnosno 25 x 16 = 400.
Ovo se može napisati na sljedeći način: √400 = √(25 x 16).

Kvadratni korijen proizvoda nekih članova jednak je proizvodu od kvadratni korijeni iz svakog člana, tj. √(a x b) = √a x √b. Koristite ovo pravilo i uzmite kvadratni korijen svakog kvadratnog faktora i pomnožite rezultate da biste pronašli odgovor.
- U našem primjeru uzmite kvadratni korijen od 25 i 16.
  - √(25 x 16)
  - √25 x √16
  - 5 x 4 = 20
Ako se korijenski broj ne rastavlja na dva kvadratna faktora (a to čini u većini slučajeva), nećete moći pronaći tačan odgovor u obliku cijelog broja. Ali možete pojednostaviti problem tako što ćete korijenski broj razložiti na kvadratni faktor i običan faktor (broj iz kojeg se ne može uzeti cijeli kvadratni korijen). Tada ćete uzeti kvadratni korijen kvadratnog faktora i uzeti korijen običnog faktora.
- Na primjer, izračunajte kvadratni korijen broja 147. Broj 147 se ne može rastaviti na dva kvadratna faktora, ali se može rastaviti na sljedeće faktore: 49 i 3. Riješite zadatak na sljedeći način:
  - = √(49 x 3)
  - = √49 x √3
  - = 7√3
Ako je potrebno, procijenite vrijednost korijena. Sada možete procijeniti vrijednost korijena (pronaći približnu vrijednost) upoređujući je s vrijednostima korijena kvadratnih brojeva koji su najbliži (s obje strane brojevne prave) korijenskom broju. Dobit ćete vrijednost korijena kao decimalni razlomak, koji se mora pomnožiti sa brojem iza znaka korijena.
- Vratimo se našem primjeru. Korijen broj je 3. Njemu najbliži kvadratni brojevi su brojevi 1 (√1 = 1) i 4 (√4 = 2). Dakle, vrijednost √3 leži između 1 i 2. Pošto je vrijednost √3 vjerovatno bliža 2 nego 1, naša procjena je: √3 = 1,7. Ovu vrijednost množimo brojem u korijenskom znaku: 7 x 1,7 = 11,9. Ako računate na kalkulatoru, dobićete 12.13, što je prilično blizu našem odgovoru.
  - Ova metoda također radi s velikim brojevima. Na primjer, uzmite u obzir √35. Korijen broj je 35. Njemu najbliži kvadratni brojevi su brojevi 25 (√25 = 5) i 36 (√36 = 6). Dakle, vrijednost √35 leži između 5 i 6. Pošto je vrijednost √35 mnogo bliža 6 nego 5 (jer je 35 samo 1 manje od 36), možemo reći da je √35 nešto manje od 6. Provjera kalkulatorom daje nam odgovor 5,92 - bili smo u pravu.
Drugi način je razlaganje korijenskog broja na proste faktore. Osnovni faktori su brojevi koji su djeljivi samo sa 1 i sami sobom. zapiši primarni faktori u nizu i pronađite parove identičnih faktora. Takvi faktori se mogu izvući iz predznaka korijena.
- Na primjer, izračunajte kvadratni korijen od 45. Razlažemo korijenski broj na proste faktore: 45 = 9 x 5 i 9 = 3 x 3. Dakle, √45 = √ (3 x 3 x 5). 3 se može izvaditi iz predznaka korijena: √45 = 3√5. Sada možemo procijeniti √5.
- Razmotrimo još jedan primjer: √88.
  - = √(2 x 44)
  - = √ (2 x 4 x 11)
  - = √ (2 x 2 x 2 x 11). Imate tri množitelja 2; uzmi ih par i izvadi ih iz znaka korijena.
  - = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Sada možemo procijeniti √2 i √11 i pronaći približan odgovor.
Ručno izračunavanje kvadratnog korijena

Korištenje podjele stupaca
1. Ova metoda uključuje proces sličan dugoj podjeli i daje tačan odgovor. Prvo nacrtajte okomitu liniju koja dijeli list na dvije polovine, a zatim nacrtajte vodoravnu liniju desno i malo ispod gornje ivice lista do okomite linije. Sada podijelite korijenski broj na parove brojeva, počevši od razlomka nakon decimalnog zareza. Dakle, broj 79520789182.47897 je napisan kao "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".
  - Na primjer, izračunajmo kvadratni korijen broja 780,14. Nacrtajte dvije linije (kao što je prikazano na slici) i upišite broj u gornjem lijevom kutu kao "7 80, 14". Normalno je da je prva cifra slijeva neparna cifra. Odgovor (koren datog broja) će biti napisan u gornjem desnom uglu.
2. S obzirom na prvi par brojeva (ili jedan broj) s lijeve strane, pronađite najveći cijeli broj n čiji je kvadrat manji ili jednak paru brojeva (ili jednom broju) o kojem je riječ. Drugim riječima, pronađite kvadratni broj koji je najbliži, ali manji od prvog para brojeva (ili jednog broja) s lijeve strane, i uzmite kvadratni korijen tog kvadratnog broja; dobićete broj n. U gornjem desnom uglu upišite pronađeno n, a dolje desno zapišite kvadrat n.
  - U našem slučaju, prvi broj lijevo će biti broj 7. Sljedeći, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.
3. Oduzmite kvadrat broja n koji ste upravo pronašli od prvog para brojeva (ili jednog broja) s lijeve strane. Rezultat izračunavanja upišite ispod oduzetog (kvadrata broja n).
  - U našem primjeru oduzmite 4 od 7 da biste dobili 3.
4. Zabilježite drugi par brojeva i zapišite ga pored vrijednosti dobivene u prethodnom koraku. Zatim udvostručite broj u gornjem desnom uglu i upišite rezultat u donjem desnom uglu sa dodatkom "_×_=".
  - U našem primjeru, drugi par brojeva je "80". Napišite "80" nakon 3. Zatim, udvostručenje broja u gornjem desnom uglu daje 4. Napišite "4_×_=" dolje desno.
5. Popunite prazna polja na desnoj strani.
  - U našem slučaju, ako umjesto crtica stavimo broj 8, onda je 48 x 8 = 384, što je više od 380. Dakle, 8 je prevelik broj, ali 7 je u redu. Napišite 7 umjesto crtica i dobijete: 47 x 7 \u003d 329. Napišite 7 u gornjem desnom kutu - ovo je druga znamenka u željenom kvadratnom korijenu broja 780,14.
6. Oduzmite rezultirajući broj od trenutnog broja na lijevoj strani. Rezultat iz prethodnog koraka upišite ispod trenutnog broja s lijeve strane, pronađite razliku i upišite je ispod oduzetog.
  - U našem primjeru oduzmite 329 od 380, što je jednako 51.
7. Ponovite korak 4. Ako je demolirani par brojeva razlomak originalnog broja, onda stavite razdjelnik (zarez) cijelog broja i razlomaka u željeni kvadratni korijen u gornjem desnom uglu. S lijeve strane prenesite sljedeći par brojeva. Udvostručite broj u gornjem desnom uglu i upišite rezultat u donjem desnom uglu sa dodatkom "_×_=".
  - U našem primjeru, sljedeći par brojeva koji će se rušiti bit će razlomački dio broja 780,14, pa stavite razdjelnik cijelog broja i razlomaka u traženi kvadratni korijen u gornjem desnom uglu. Srušite 14 i zapišite dolje lijevo. Dvostruko gore desno (27) je 54, pa napišite "54_×_=" dolje desno.
8. Ponovite korake 5 i 6. Pronađite najveći broj umjesto crtica na desnoj strani (umjesto crtica morate zamijeniti isti broj) tako da rezultat množenja bude manji ili jednak trenutnom broju na lijevoj strani.
  - U našem primjeru, 549 x 9 = 4941, što je manje od trenutnog broja na lijevoj strani (5114). Napišite 9 u gornjem desnom kutu i oduzmite rezultat množenja od trenutnog broja na lijevoj strani: 5114 - 4941 = 173.
9. Ako trebate pronaći više decimalnih mjesta za kvadratni korijen, upišite par nula pored trenutnog broja s lijeve strane i ponovite korake 4, 5 i 6. Ponavljajte korake dok ne dobijete tačnost odgovora koji vam je potreban (broj decimalna mjesta).
Razumijevanje procesa
1. Razmotrimo prvi par znamenki Sa broja S (Sa = 7 u našem primjeru) i pronađimo njegov kvadratni korijen. U ovom slučaju, prva znamenka A tražene vrijednosti kvadratnog korijena bit će takva cifra, čiji je kvadrat manji ili jednak S a (odnosno, tražimo takvo A koje zadovoljava nejednakost A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.
  - Recimo da trebamo podijeliti 88962 sa 7; ovdje će prvi korak biti sličan: razmatramo prvu cifru djeljivog broja 88962 (8) i biramo najveći broj koji, kada se pomnoži sa 7, daje vrijednost manju ili jednaku 8. To jest, tražimo broj d za koji je tačna nejednakost: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.
2. Mentalno zamislite kvadrat čiju površinu trebate izračunati. Tražite L, odnosno dužinu stranice kvadrata čija je površina S. A, B, C su brojevi u broju L. Možete to napisati drugačije: 10A + B \u003d L (za dva -cifreni broj) ili 100A + 10B + C \u003d L (za trocifreni broj) i tako dalje.
  - Neka (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Zapamtite da je 10A+B broj čiji B označava jedinice, a A desetice. Na primjer, ako je A=1 i B=2, tada je 10A+B jednako broju 12. (10A+B)² je površina cijelog kvadrata, 100A² je površina velikog unutrašnjeg kvadrata, B² je površina malog unutrašnjeg kvadrata, 10A×B je površina svakog od dva pravougaonika. Dodavanjem površina opisanih figura, naći ćete površinu originalnog kvadrata.

Činjenica 1.
\(\bullet\) Ne uzimajte neke negativan broj\(a\) (tj. \(a\geqslant 0\) ). Zatim (aritmetika) kvadratni korijen iz broja \(a\) se zove takav nenegativan broj \(b\), pri kvadriranju dobijamo broj \(a\): \[\sqrt a=b\quad \text(isto kao )\quad a=b^2\] Iz definicije proizilazi da \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Ova ograničenja su važan uslov za postojanje kvadratnog korijena i treba ih zapamtiti!
Podsjetimo da bilo koji broj kada se kvadrira daje nenegativan rezultat. To jest, \(100^2=10000\geqslant 0\) i \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Šta je \(\sqrt(25)\) ? Znamo da je \(5^2=25\) i \((-5)^2=25\) . Pošto po definiciji moramo pronaći nenegativan broj, \(-5\) nije prikladan, stoga \(\sqrt(25)=5\) (pošto \(25=5^2\) ).
Pronalaženje vrijednosti \(\sqrt a\) naziva se uzimanje kvadratnog korijena broja \(a\) , a broj \(a\) naziva se korijen izraz.
\(\bullet\) Na osnovu definicije, izrazi \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) itd. nema smisla.

Činjenica 2.
Za brza izračunavanja bit će korisno naučiti tablicu kvadrata prirodnih brojeva od \(1\) do \(20\): \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Činjenica 3.
Šta se može učiniti s kvadratnim korijenima?
\(\metak\) Zbir ili razlika kvadratnih korijena NIJE JEDNAKA kvadratnom korijenu zbira ili razlike, tj. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Dakle, ako trebate izračunati, na primjer, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , tada u početku morate pronaći vrijednosti \(\sqrt(25)\) i \(\sqrt (49)\ ), a zatim ih zbrojite. shodno tome, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Ako se vrijednosti \(\sqrt a\) ili \(\sqrt b\) ne mogu pronaći pri sabiranju \(\sqrt a+\sqrt b\), onda se takav izraz dalje ne pretvara i ostaje takav kakav jeste. Na primjer, u zbiru \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) možemo pronaći \(\sqrt(49)\) - ovo je \(7\) , ali \(\sqrt 2\) ne može biti pretvorena na bilo koji način, eto zašto \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Nadalje, ovaj izraz se, nažalost, ne može ni na koji način pojednostaviti.\(\bullet\) Proizvod/količnik kvadratnog korijena jednak je kvadratnom korijenu proizvoda/količnika, tj. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (pod uslovom da oba dijela jednakosti imaju smisla)
primjer: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Koristeći ova svojstva, zgodno je pronaći kvadratne korijene veliki brojevi faktoringom.
Razmotrimo primjer. Pronađite \(\sqrt(44100)\) . Budući da \(44100:100=441\) , onda \(44100=100\cdot 441\) . Prema kriteriju djeljivosti, broj \(441\) je djeljiv sa \(9\) (pošto je zbir njegovih cifara 9 i djeljiv je sa 9), dakle, \(441:9=49\) , odnosno \(441=9\ cdot 49\) .
Tako smo dobili: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Pogledajmo još jedan primjer: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Pokažimo kako unositi brojeve ispod predznaka kvadratnog korijena na primjeru izraza \(5\sqrt2\) (skraćenica za izraz \(5\cdot \sqrt2\) ). Budući da je \(5=\sqrt(25)\) , onda \ Imajte na umu da npr.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Žašto je to? Objasnimo primjerom 1). Kao što ste već shvatili, ne možemo nekako pretvoriti broj \(\sqrt2\) . Zamislite da je \(\sqrt2\) neki broj \(a\) . Prema tome, izraz \(\sqrt2+3\sqrt2\) nije ništa drugo do \(a+3a\) (jedan broj \(a\) plus još tri ista broja \(a\) ). A znamo da je ovo jednako četiri takva broja \(a\) , odnosno \(4\sqrt2\) .

Činjenica 4.
\(\bullet\) Često se kaže “ne može izvući korijen” kada nije moguće riješiti se znaka \(\sqrt () \ \) korijena (radikala) prilikom pronalaženja vrijednosti nekog broja. Na primjer, možete ukorijeniti broj \(16\) jer \(16=4^2\) , dakle \(\sqrt(16)=4\) . Ali izdvojiti korijen iz broja \(3\) , odnosno pronaći \(\sqrt3\) , nemoguće je, jer ne postoji takav broj koji bi na kvadrat dao \(3\) .
Takvi brojevi (ili izrazi sa takvim brojevima) su iracionalni. Na primjer, brojevi \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) itd. su iracionalni.
Iracionalni su i brojevi \(\pi\) (broj "pi", približno jednak \(3,14\)), \(e\) (ovaj broj se zove Eulerov broj, približno jednak \(2) ,7\) ) itd.
\(\bullet\) Imajte na umu da će bilo koji broj biti racionalan ili iracionalan. I zajedno sve racionalno i sve iracionalni brojevi formiraju skup tzv skup realnih (realnih) brojeva. Ovaj skup je označen slovom \(\mathbb(R)\) .
To znači da su svi brojevi koji su ovog trenutka znamo da se zovu realni brojevi.

Činjenica 5.
\(\bullet\) Modul realnog broja \(a\) je nenegativan broj \(|a|\) jednak udaljenosti od tačke \(a\) do \(0\) na realnom linija. Na primjer, \(|3|\) i \(|-3|\) su jednaki 3, jer su udaljenosti od tačaka \(3\) i \(-3\) do \(0\) jednake isto i jednako \(3 \) .
\(\bullet\) Ako je \(a\) nenegativan broj, onda \(|a|=a\) .
Primjer: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Ako je \(a\) negativan broj, onda \(|a|=-a\) .
Primjer: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Kažu da za negativne brojeve modul "jede" minus, a pozitivne brojeve, kao i broj \(0\), modul ostavlja nepromijenjen.
ALI ovo pravilo se odnosi samo na brojeve. Ako imate nepoznatu \(x\) (ili neku drugu nepoznatu) pod znakom modula, na primjer, \(|x|\) , za koju ne znamo da li je pozitivna, jednaka nuli ili negativna, onda osloboditi se modula ne možemo. U ovom slučaju, ovaj izraz ostaje takav: \(|x|\) . \(\bullet\) Važe sljedeće formule: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( osiguran) a\geqslant 0\]Često se pravi sljedeća greška: kažu da su \(\sqrt(a^2)\) i \((\sqrt a)^2\) ista stvar. Ovo je tačno samo kada je \(a\) pozitivan broj ili nula. Ali ako je \(a\) negativan broj, onda to nije istina. Dovoljno je razmotriti takav primjer. Uzmimo broj \(-1\) umjesto \(a\). Tada \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , ali izraz \((\sqrt (-1))^2\) uopće ne postoji (jer je nemoguće pod znakom korijena staviti negativne brojeve!).
Stoga vam skrećemo pažnju na činjenicu da \(\sqrt(a^2)\) nije jednako \((\sqrt a)^2\) ! Primjer: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), jer \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Pošto je \(\sqrt(a^2)=|a|\) , onda je \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (izraz \(2n\) označava paran broj)
To jest, kada se izvuče korijen iz broja koji je u nekom stepenu, ovaj stepen se prepolovi.
primjer:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (imajte na umu da ako modul nije postavljen, ispada da je korijen broja jednak \(-25) \) ; ali se sjećamo , što, po definiciji korijena, to ne može biti: kada izvlačimo korijen, uvijek bismo trebali dobiti pozitivan broj ili nulu)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (pošto bilo koji broj na paran stepen nije negativan)

Činjenica 6.
Kako uporediti dva kvadratna korijena?
\(\bullet\) Tačno za kvadratne korijene: if \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aprimjer:
1) uporedi \(\sqrt(50)\) i \(6\sqrt2\) . Prvo transformiramo drugi izraz u \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Dakle, pošto \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Između kojih cijelih brojeva je \(\sqrt(50)\) ?
Budući da \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) i \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Uporedite \(\sqrt 2-1\) i \(0,5\) . Pretpostavimo \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\početi(poravnano) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((dodaj jedan na obje strane))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((kvadrat oba dijela))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(poravnano)\] Vidimo da smo dobili netačnu nejednakost. Stoga je naša pretpostavka bila pogrešna i \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Imajte na umu da dodavanje određenog broja na obje strane nejednakosti ne utječe na njen predznak. Množenjem/dijeljenjem obje strane nejednakosti pozitivnim brojem također se ne mijenja njen predznak, ali množenjem/dijeljenjem negativnim brojem obrće se predznak nejednakosti!
Obje strane jednačine/nejednačine mogu se kvadrirati SAMO AKO su obje strane nenegativne. Na primjer, u nejednakosti iz prethodnog primjera možete kvadrirati obje strane, u nejednakosti \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Obratite pažnju na to \[\početak(poravnano) &\sqrt 2\približno 1,4\\ &\sqrt 3\približno 1,7 \end(poravnano)\] Poznavanje približnog značenja ovih brojeva pomoći će vam kada upoređujete brojeve! \(\bullet\) Da biste iz nekog velikog broja koji nije u tabeli kvadrata izvukli korijen (ako je izvučen) prvo morate odrediti između kojih se "stotina" nalazi, pa između kojih "desetica", a zatim odredi posljednju cifru ovog broja. Pokažimo kako to funkcionira na primjeru.
Uzmite \(\sqrt(28224)\) . Znamo da je \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) i tako dalje. Imajte na umu da je \(28224\) između \(10\,000\) i \(40\,000\) . Prema tome, \(\sqrt(28224)\) je između \(100\) i \(200\) .
Sada odredimo između kojih se „desetica“ nalazi naš broj (to je, na primjer, između \(120\) i \(130\) ). Također iz tabele kvadrata znamo da \(11^2=121\) , \(12^2=144\) itd., zatim \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Dakle, vidimo da je \(28224\) između \(160^2\) i \(170^2\) . Stoga je broj \(\sqrt(28224)\) između \(160\) i \(170\) .
Pokušajmo odrediti posljednju cifru. Prisjetimo se koji jednocifreni brojevi pri kvadriranju daju na kraju \ (4 \) ? To su \(2^2\) i \(8^2\) . Prema tome, \(\sqrt(28224)\) će se završiti sa 2 ili 8. Provjerimo ovo. Pronađite \(162^2\) i \(168^2\):
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Stoga \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Da bi se ispit iz matematike na adekvatan način riješio, prije svega, potrebno je proučiti teorijski materijal koji uvodi brojne teoreme, formule, algoritme itd. Na prvi pogled može izgledati da je to prilično jednostavno. Međutim, pronalaženje izvora u kojem je teorija za Jedinstveni državni ispit iz matematike predstavljena lako i razumljivo za učenike bilo kojeg nivoa obuke, zapravo je prilično težak zadatak. Školski udžbenici ne mogu uvijek biti pri ruci. A pronalaženje osnovnih formula za ispit iz matematike može biti teško čak i na internetu.

Zašto je toliko važno učiti teoriju u matematici, ne samo za one koji polažu ispit?

Zato što vam proširuje vidike. Proučavanje teorijskog materijala iz matematike korisno je za svakoga ko želi dobiti odgovore na širok spektar pitanja vezanih za poznavanje svijeta. Sve je u prirodi uređeno i ima jasnu logiku. To je upravo ono što se ogleda u nauci, kroz koju je moguće razumjeti svijet.
Zato što razvija intelekt. Proučavajući priručne materijale za ispit iz matematike, kao i rješavajući razne probleme, čovjek uči da razmišlja i razmišlja logično, da pravilno i jasno formuliše misli. Razvija sposobnost analize, generalizacije, izvođenja zaključaka.

Pozivamo Vas da lično ocijenite sve prednosti našeg pristupa sistematizaciji i prezentaciji edukativnog materijala.

Kako izvaditi korijen od broja. U ovom članku ćemo naučiti kako uzeti kvadratni korijen četverocifrenih i petocifrenih brojeva.

Uzmimo kvadratni korijen iz 1936. kao primjer.

shodno tome, .

Posljednja znamenka u 1936. je 6. Kvadrat od 4 i 6 završava na 6. Dakle, 1936. može biti kvadrat od 44 ili 46. Ostaje da se provjeri množenjem.

znači,

Izvadimo kvadratni korijen broja 15129.

shodno tome, .

Posljednja znamenka u 15129 je 9. 9 se završava kvadratom od 3 i 7. Dakle, 15129 može biti kvadrat od 123 ili 127. Provjerimo množenjem.

znači,

Kako root - video

A sada predlažem da pogledate video Ane Denisove - „Kako izvaditi korijen ", autor stranice " jednostavna fizika“, u kojem objašnjava kako izvući kvadratne i kubne korijene bez kalkulatora.

Video govori o nekoliko načina za vađenje korijena:

1. Najlakši način za izvlačenje kvadratnog korijena.

2. Uparivanje pomoću kvadrata zbira.

3. Babilonski način.

4. Metoda vađenja kvadratnog korijena u koloni.

5. Brz način da izdvojite kockasti korijen.

6. Metoda vađenja kubnog korijena u stupcu.

Izdvajanje korijena je inverzna operacija eksponencijacije. To jest, izdvajanjem korijena broja X, dobijamo broj koji će, na kvadrat, dati isti broj X.

Ekstrahiranje korijena je prilično jednostavna operacija. Tabela kvadrata može olakšati rad vađenja. Zato što je nemoguće zapamtiti sve kvadrate i korijene napamet, a brojevi mogu biti veliki.

Izdvajanje korijena iz broja

Izdvajanje kvadratnog korijena iz broja je jednostavno. Štaviše, to se može učiniti ne odmah, već postepeno. Na primjer, uzmite izraz √256. U početku je nepoznatoj osobi teško odmah dati odgovor. Onda ćemo preduzeti korake. Prvo, dijelimo samo sa brojem 4, iz kojeg uzimamo odabrani kvadrat kao korijen.

Neriješeno: √(64 4), tada će biti ekvivalentno 2√64. I kao što znate, prema tablici množenja 64 = 8 8. Odgovor će biti 2*8=16.

Prijavite se na kurs "Ubrzajte mentalno brojanje, A NE mentalnu aritmetiku" da naučite kako brzo i ispravno sabirati, oduzimati, množiti, dijeliti, kvadratirati brojeve, pa čak i puštati korijene. Za 30 dana naučit ćete kako koristiti jednostavne trikove za pojednostavljenje aritmetičkih operacija. Svaka lekcija sadrži nove tehnike, jasne primjere i korisne zadatke.

Složena ekstrakcija korijena

Kvadratni korijen se ne može izračunati iz negativnih brojeva, jer je svaki broj na kvadrat pozitivan broj!

Kompleksni broj je broj i koji je na kvadrat -1. To je i2=-1.

U matematici postoji broj koji se dobija uzimanjem korena broja -1.

Odnosno, moguće je izračunati korijen negativnog broja, ali to se već odnosi na višu matematiku, a ne na školu.

Razmotrimo primjer takve ekstrakcije korijena: √(-49)=7*√(-1)=7i.

Root kalkulator online

Uz pomoć našeg kalkulatora možete izračunati izvlačenje broja iz kvadratnog korijena:

Pretvaranje izraza koji sadrže operaciju vađenja korijena

Suština transformacije radikalnih izraza je razlaganje radikalnog broja na jednostavnije, iz kojih se može izvući korijen. Kao što su 4, 9, 25 i tako dalje.

Uzmimo primjer, √625. Radikalni izraz podijelimo brojem 5. Dobijamo √(125 5), ponavljamo operaciju √(25 25), ali znamo da je 25 52. Dakle, odgovor je 5*5=25.

Ali postoje brojevi za koje se korijen ne može izračunati ovom metodom i samo trebate znati odgovor ili imati pri ruci tablicu kvadrata.

√289=√(17*17)=17

Ishod

Uzeli smo u obzir samo vrh ledenog brega, kako bismo bolje razumjeli matematiku - prijavite se na naš kurs: Ubrzajte mentalnu aritmetiku - NE mentalnu aritmetiku.

Sa kursa ćete naučiti ne samo desetke trikova za pojednostavljeno i brzo množenje, sabiranje, množenje, dijeljenje, računanje postotaka, već ćete ih i razraditi u posebnim zadacima i edukativnim igrama! Mentalno brojanje također zahtijeva puno pažnje i koncentracije, koji se aktivno treniraju u rješavanju zanimljivih problema.

Matematika je nastala kada je osoba postala svjesna sebe i počela se pozicionirati kao autonomna jedinica svijeta. Želja da izmjerite, uporedite, izračunate ono što vas okružuje je ono što leži u osnovi jedne od fundamentalnih nauka naših dana. U početku su to bile čestice elementarne matematike, koje su omogućavale povezivanje brojeva sa njihovim fizičkim izrazima, kasnije su zaključci počeli da se iznose samo teoretski (zbog njihove apstraktnosti), ali nakon nekog vremena, kako je rekao jedan naučnik, " matematika je dostigla plafon složenosti kada su svi brojevi." Koncept "kvadratnog korijena" pojavio se u vrijeme kada se mogao lako potkrijepiti empirijskim podacima, nadilazeći ravan proračuna.

Kako je sve počelo

Prvo spominjanje korijena, koji se trenutno označava kao √, zabilježeno je u spisima babilonskih matematičara, koji su postavili temelje moderne aritmetike. Naravno, malo su ličile na sadašnji oblik - naučnici tih godina prvi su koristili glomazne tablete. Ali u drugom milenijumu pr. e. došli su do približne formule izračuna koja je pokazala kako uzeti kvadratni korijen. Na slici ispod prikazan je kamen na kojem su babilonski naučnici uklesali izlazni proces √2, a ispostavilo se da je toliko tačan da je neslaganje u odgovoru pronađeno tek na desetoj decimali.

Osim toga, korijen se koristio ako je bilo potrebno pronaći stranicu trougla, pod uvjetom da su ostale dvije poznate. Pa, kada se rješavaju kvadratne jednadžbe, nema spasa od vađenja korijena.

Uz vavilonska djela, predmet članka proučavan je i u kineskom djelu "Matematika u devet knjiga", a stari Grci su došli do zaključka da svaki broj iz kojeg se korijen ne izvlači bez ostatka daje iracionalan rezultat. .

Porijeklo ovog pojma povezano je s arapskim predstavljanjem broja: drevni naučnici su vjerovali da kvadrat proizvoljnog broja raste iz korijena, poput biljke. Na latinskom ova riječ zvuči kao radix (može se pratiti obrazac - sve što ima "korijensko" semantičko opterećenje je suglasno, bilo da je rotkvica ili išijas).

Naučnici narednih generacija preuzeli su ovu ideju, označivši je kao Rx. Na primjer, u 15. stoljeću, da bi naznačili da je kvadratni korijen uzet iz proizvoljnog broja a, napisali su R 2 a. „Krpelj” √, poznat modernom izgledu, pojavio se tek u 17. veku zahvaljujući Rene Descartesu.

Naši dani

Matematički, kvadratni korijen od y je broj z čiji je kvadrat y. Drugim riječima, z 2 =y je ekvivalentno √y=z. Međutim, ova definicija je relevantna samo za aritmetički korijen, jer podrazumijeva nenegativnu vrijednost izraza. Drugim riječima, √y=z, gdje je z veće ili jednako 0.

Općenito, što vrijedi za određivanje algebarskog korijena, vrijednost izraza može biti pozitivna ili negativna. Dakle, zbog činjenice da je z 2 =y i (-z) 2 =y, imamo: √y=±z ili √y=|z|.

Zbog činjenice da je ljubav prema matematici samo rasla s razvojem nauke, postoje različite manifestacije vezanosti za nju, koje nisu izražene u suhim proračunima. Na primjer, uz takve zanimljive događaje kao što je dan Pi, slave se i praznici kvadratnog korijena. Slave se devet puta u sto godina, a određuju se po sljedećem principu: brojevi koji redom označavaju dan i mjesec moraju biti kvadratni korijen godine. Dakle, sljedeći put ovaj praznik će se obilježavati 4. aprila 2016. godine.

Svojstva kvadratnog korijena na polju R

Gotovo svi matematički izrazi imaju geometrijsku osnovu, ova sudbina nije prošla i √y, što je definisano kao stranica kvadrata površine y.

Kako pronaći korijen broja?

Postoji nekoliko algoritama proračuna. Najjednostavniji, ali u isto vrijeme prilično glomazan, je uobičajeni aritmetički izračun, koji je sljedeći:

1) od broja čiji nam je korijen potreban, redom se oduzimaju neparni brojevi - sve dok ostatak na izlazu ne bude manji od oduzetog ili parni jednak nuli. Broj poteza će na kraju postati željeni broj. Na primjer, izračunavanje kvadratnog korijena od 25:

Sljedeći neparni broj je 11, a ostatak je: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Za takve slučajeve postoji proširenje Taylor serije:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , gdje n uzima vrijednosti od 0 do

+∞, i |y|≤1.

Grafički prikaz funkcije z=√y

Razmotrimo elementarnu funkciju z=√y na polju realnih brojeva R, gdje je y veće ili jednako nuli. Njen grafikon izgleda ovako:

Kriva raste od početka i nužno prelazi tačku (1; 1).

Svojstva funkcije z=√y na polju realnih brojeva R

1. Područje definicije razmatrane funkcije je interval od nule do plus beskonačnosti (nula je uključena).

2. Raspon vrijednosti razmatrane funkcije je interval od nule do plus beskonačnosti (nula je opet uključena).

3. Funkcija uzima minimalnu vrijednost (0) samo u tački (0; 0). Ne postoji maksimalna vrijednost.

4. Funkcija z=√y nije ni parna ni neparna.

5. Funkcija z=√y nije periodična.

6. Postoji samo jedna tačka preseka grafika funkcije z=√y sa koordinatnim osa: (0; 0).

7. Tačka presjeka grafika funkcije z=√y je također nula ove funkcije.

8. Funkcija z=√y kontinuirano raste.

9. Funkcija z=√y uzima samo pozitivne vrijednosti, stoga njen graf zauzima prvi koordinatni ugao.

Opcije za prikaz funkcije z=√y

U matematici, da bi se olakšalo računanje složenih izraza, ponekad se koristi oblik stepena pisanja kvadratnog korijena: √y=y 1/2. Ova opcija je zgodna, na primjer, za podizanje funkcije na stepen: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Ova metoda je također dobra reprezentacija za diferencijaciju sa integracijom, jer je zahvaljujući njoj kvadratni korijen predstavljen običnom funkcijom stepena.

A u programiranju, zamjena za simbol √ je kombinacija slova sqrt.

Vrijedi napomenuti da je u ovoj oblasti kvadratni korijen u velikoj potražnji, jer je dio većine geometrijskih formula potrebnih za proračune. Sam algoritam brojanja je prilično kompliciran i baziran je na rekurziji (funkcija koja sama sebe poziva).

Kvadratni korijen u kompleksnom polju C

Uglavnom, predmet ovog članka je podstakao otkriće polja kompleksnih brojeva C, budući da je matematičare proganjalo pitanje dobijanja korijena parnog stepena iz negativnog broja. Tako se pojavila imaginarna jedinica i koju karakteriše vrlo zanimljivo svojstvo: njen kvadrat je -1. Zahvaljujući tome, kvadratne jednadžbe i sa negativnim diskriminantom su dobile rješenje. U C-u su za kvadratni korijen relevantna ista svojstva kao i u R-u, jedino što su ograničenja na korijenski izraz uklonjena.