U praksi, često nije toliko važno pronaći zbir niza koliko odgovoriti na pitanje konvergencije niza. U tu svrhu koriste se kriterijumi konvergencije zasnovani na svojstvima zajedničkog pojma serije.

Neophodan kriterijum za konvergenciju niza

TEOREMA 1

Ako je redkonvergira, tada je njegov zajednički izraz teži nuli na
, one.
.

Ukratko: ako se niz konvergira, tada njegov zajednički član teži nuli.

Dokaz. Neka se niz konvergira i njegov zbir je jednak . Za bilo koga delimična suma

.

Onda . 

Iz dokazano neophodnog kriterija za konvergenciju slijedi dovoljan kriterijum za divergenciju serije: ako na
zajednički član serije ne teži nuli, tada se niz divergira.

Primjer 4

Za ovu seriju uobičajen termin
i
.

Stoga se ova serija razlikuje.

Primjer 5 Istražite nizove konvergencije

Očigledno je da zajednički član ove serije, čiji oblik nije naznačen zbog glomaznog izraza, teži nuli na
, tj. neophodan kriterijum za konvergenciju niza je zadovoljen, ali ovaj niz divergira, jer njegov zbir teži beskonačnosti.

Serija pozitivnih znakova

Zove se niz brojeva čiji su svi članovi pozitivni znak-pozitivan.

TEOREMA 2 (Kriterijum za konvergenciju pozitivnog niza)

Da bi pozitivan niz konvergirao, potrebno je i dovoljno da svi njegovi parcijalni zbroji budu odozgo ograničeni istim brojem.

Dokaz. Pošto za bilo koji
, zatim, tj. podsekvenca
- monotono rastući, dakle, za postojanje granice potrebno je i dovoljno niz odozgo ograničiti nekim brojem.

Ova teorema je više teoretska nego praktična. Slijede drugi kriteriji konvergencije koji su od veće koristi.

Dovoljni uslovi za konvergenciju predznak pozitivnih redova

TEOREMA 3 (Prvi test poređenja)

Neka su date dvije pozitivne serije:

(1)

(2)

i, počevši od nekog broja
, za bilo koga
nejednakost
onda:

Šematski zapis prvog znaka poređenja:

 spuštanje.

flowflow

Dokaz. 1) Pošto eliminacija konačnog broja članova niza ne utiče na njegovu konvergenciju, dokazaćemo teoremu za slučaj
. Neka za bilo koga
imamo

, (3)

gdje
i
su parcijalni zbroji redova (1) i (2), respektivno.

Ako se niz (2) konvergira, onda postoji broj
. Pošto sekvenca
- povećava se, njegova granica je veća od bilo kojeg njenog člana, tj.
za bilo koga . Otuda iz nejednakosti (3) slijedi
. Dakle, sve parcijalne sume serije (1) su ograničene odozgo brojem . Prema teoremi 2, ovaj niz konvergira.

2) Zaista, ako se niz (2) konvergira, tada bi i niz (1) konvergirao u poređenju. 

Za primjenu ove značajke često se koriste takve standardne serije čija je konvergencija ili divergencija unaprijed poznata, na primjer:

3) - Dirichletov red (konvergira na
i divergira na
).

Osim toga, često se koriste serije koje se mogu dobiti korištenjem sljedećih očiglednih nejednakosti:

,

,
,
.

Razmotrimo, koristeći konkretne primjere, shemu za proučavanje niza pozitivnih predznaka za konvergenciju koristeći prvi kriterij poređenja.

Primjer 6 Istražite broj
za konvergenciju.

Korak 1. Provjerimo pozitivan predznak serije:
za

Korak 2. Provjerimo ispunjenost potrebnog kriterija za konvergenciju niza:
. As
, onda

(ako je izračunavanje ograničenja teško, onda se ovaj korak može preskočiti).

Korak 3. Koristimo prvi znak poređenja. Da bismo to učinili, odabiremo standardnu ​​seriju za ovu seriju. As
, onda kao standard možemo uzeti seriju
, tj. Dirichletov red. Ovaj niz konvergira jer je eksponent
. Dakle, prema prvom kriteriju poređenja, niz koji se proučava također konvergira.

Primjer 7 Istražite broj
za konvergenciju.

1) Ova serija je znak pozitivno, jer
za

2) Neophodan kriterijum za konvergenciju niza je zadovoljen, jer

3) Odaberimo serijski standard. As
, tada kao standard možemo uzeti geometrijski niz

. Ovaj niz konvergira, dakle, konvergira se i niz koji se proučava.

TEOREMA 4 (Drugi uporedni test)

Ako je za znak pozitivne serije i postoji konačna granica različita od nule
, onda redovi se konvergiraju ili razilaze u isto vrijeme.

Dokaz. Neka serija (2) konvergira; Dokažimo da tada i niz (1) konvergira. Hajde da izaberemo neki broj , više nego . Od uslova
postojanje takvog broja to za sve
nejednakost
, ili, što je isto,

(4)

Odbacivanje u redovima (1) i (2) prvog (što ne utiče na konvergenciju), možemo pretpostaviti da nejednakost (4) važi za sve
Ali serija sa zajedničkim pojmom
konvergira zbog konvergencije niza (2). Prema prvom kriterijumu poređenja, nejednakost (4) implicira konvergenciju niza (1).

Neka sada niz (1) konvergira; Dokažimo konvergenciju niza (2). Da biste to učinili, jednostavno obrnite uloge datih redova. As

onda, prema onome što je gore dokazano, konvergencija serije (1) treba da implicira konvergenciju niza (2). 

Ako a
at
(neophodan kriterijum za konvergenciju), zatim iz uslova
, slijedi to i su infinitezimali istog reda malenosti (ekvivalentno u
). Stoga, ako je data serija , gdje
at
, onda za ovu seriju možemo uzeti standardnu ​​seriju , gdje je uobičajen pojam ima isti red malenosti kao i zajednički pojam date serije.

Prilikom odabira referentne serije, možete koristiti sljedeću tablicu ekvivalentnog infinitezimalnog za
:

1)
; 4)
;

2)
; 5)
;

3)
; 6)
.

Primjer 8 Istražite nizove konvergencije

.

za bilo koga
.

As
, tada uzimamo kao referentni niz harmonijski divergentni niz
. Pošto je granica omjera uobičajenih pojmova i je konačan i različit od nule (jednak je 1), onda na osnovu drugog kriterijuma poređenja ovaj niz divergira.

Primjer 9
na dva osnova poređenja.

Ova serija je pozitivna, jer
, i
. Ukoliko
, onda se harmonijski niz može uzeti kao referentni niz . Ovaj niz se divergira, pa se, prema prvom znaku poređenja, razilazi i serija koja se proučava.

Budući da je za datu seriju i referentnu seriju uvjet
(ovdje se koristi 1. izuzetna granica), zatim na osnovu drugog kriterija poređenja, serije
- divergira.

TEOREMA 5 (D'Alembertov test)

postoji konačna granica
, tada se niz konvergira na
i divergira na
.

Dokaz. Neka bude
. Uzmimo bilo koji broj , zaključeno između i 1:
. Od uslova
slijedi da počevši od nekog broja nejednakost

;
;
(5)

Razmotrite seriju

Prema (5), svi članovi serije (6) ne prelaze odgovarajuće članove beskonačne geometrijske progresije
Ukoliko
, ova progresija je konvergentna. Odavde, na osnovu prvog znaka poređenja, slijedi konvergencija niza

Događa se
razmislite sami.

Napomene :

slijedi da je ostatak serije

.

D'Alembertov test je prikladan u praksi kada zajednički član serije sadrži eksponencijalnu funkciju ili faktorijel.

Primjer 10 Istražite nizove konvergencije prema d'Alambertu.

Ova serija je pozitivna i

.

(Ovdje se u proračunu L'Hopitalovo pravilo primjenjuje dva puta).

onda ovaj niz konvergira po d'Alembertovom kriteriju.

Primjer 11..

Ova serija je pozitivna i
. Ukoliko

tada se niz konvergira.

TEOREMA 6 (Cauchyjev test)

Ako je za znakovno-pozitivnu seriju postoji konačna granica
, zatim u
serija konvergira, i
red se razilazi.

Dokaz je sličan teoremi 5.

Napomene :

Primjer 12. Istražite nizove konvergencije
.

Ova serija je pozitivna, jer
za bilo koga
. Od obračuna limita
uzrokuje određene poteškoće, izostavljamo provjeru izvodljivosti potrebnog kriterija za konvergenciju niza.

tada se data serija divergira prema Cauchyjevom kriteriju.

TEOREMA 7 (Integralni test za Maclaurin-Cauchyjevu konvergenciju)

Neka se da red

čiji su uslovi pozitivni i ne rastu:

Neka dalje
je funkcija koja je definirana za sve realne
, je kontinuiran, ne raste, i

Prije nego počnete raditi s ovom temom, savjetujem vam da pogledate odjeljak s terminologijom za numeričke serije. Posebno je vrijedno obratiti pažnju na koncept zajedničkog pojma serije. Ako sumnjate u ispravan izbor predznaka konvergencije, savjetujem vam da pogledate temu "Odabir predznaka konvergencije brojčanih nizova".

Neophodan kriterijum za konvergenciju brojevni red ima jednostavnu formulaciju: zajednički član konvergentnog niza teži nuli. Ovu karakteristiku možete napisati i formalnije:

Ako niz $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ konvergira, tada je $\lim_(n\to\infty)u_n=0$.

Često u literaturi umjesto izraza "neophodan kriterij za konvergenciju" pišu "neophodan uvjet za konvergenciju". Ali da pređemo na stvar: šta ovaj znak znači? A to znači sljedeće: ako je $\lim_(n\to\infty)u_n=0$, onda je serija možda konvergirati. Ako je $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$ (ili granica jednostavno ne postoji), tada se niz $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ divergira.

Vrijedi napomenuti da jednakost $\lim_(n\to\infty)u_n=0$ ne znači da red uopće konvergira. Niz se može ili konvergirati ili divergirati. Ali ako je $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, tada je zagarantovano da će serija divergirati. Ako ove nijanse zahtijevaju detaljna objašnjenja, otvorite bilješku.

Šta znači izraz "neophodan uslov"? prikaži/sakrij

Pojasnimo na primjeru pojam nužnog stanja. Da kupim olovku za studenta neophodno imaju 10 rubalja. Ovo se može napisati na sljedeći način: ako učenik kupi olovku, onda ima 10 rubalja. Prisustvo deset rubalja je neophodan uslov za kupovinu olovke.

Neka je ovaj uslov zadovoljen, tj. Učenik ima deset. Da li to znači da će kupiti olovku? Ne sve. Može kupiti olovku, ili može sačuvati novac za kasnije. Ili kupite nešto drugo. Ili ih poklonite nekome - postoji mnogo opcija :) Drugim riječima, ispunjenje neophodnog uslova za kupovinu olovke (tj. posjedovanje novca) ne garantuje kupovinu ove olovke.

Slično, neophodan uslov za konvergenciju numeričkog niza $\lim_(n\to\infty)u_n=0$ uopšte ne garantuje konvergenciju samog ovog niza. Jednostavna analogija: ako ima novca, student može, ali i ne mora kupiti olovku. Ako je $\lim_(n\to\infty)u_n=0$, niz može ili konvergirati ili divergirati.

Međutim, šta se dešava ako se ne ispuni neophodan uslov za kupovinu olovke, tj. bez novca? Tada učenik sigurno neće kupiti olovku. Isto važi i za redove: ako nije zadovoljen nužni uslov konvergencije, tj. $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, tada će se serija definitivno razilaziti.

Ukratko, ako je nužni uslov ispunjen, onda se posljedica može, ali i ne mora dogoditi. Međutim, ako se ne ispuni nužni uvjet, onda definitivno neće nastupiti posljedica.

Radi jasnoće, dat ću primjer dvije serije: $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ i $\sum\limits_(n=1)^(\ infty)\frac( 1)(n^2)$. Zajednički član prve serije $u_n=\frac(1)(n)$ i zajednički član druge serije $v_n=\frac(1)(n^2)$ teže nuli, tj.

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(1)(n)=0;\; \lim_(n\to\infty)v_n=\lim_(n\to\infty)\frac(1)(n^2)=0. $$

Međutim, harmonijski niz $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ divergira, dok niz $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\ frac(1 )(n^2)$ konvergira. Ispunjenje potrebnog uvjeta konvergencije uopće ne garantuje konvergenciju niza.

Na osnovu neophodnog uslova za konvergenciju niza možemo formulisati dovoljan znak divergencije brojevna linija:

Ako je $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, tada se niz $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ divergira.

Najčešće se u standardnim primjerima provjerava potreban kriterij konvergencije ako je zajednički član niza predstavljen razlomkom, čiji su brojnik i nazivnik neki polinomi. Na primjer, $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ (vidi primjer #1). Ili mogu postojati korijeni iz polinoma (vidi primjer br. 2). Postoje primjeri koji su donekle izvan ove šeme, ali to je rijetko za standardne testove (vidi primjere u drugom dijelu ove teme). Naglašavam glavnu stvar: uz pomoć potrebnog kriterija nemoguće je dokazati konvergenciju serije. Ovaj kriterij se koristi kada je potrebno dokazati da se niz divergira.

Primjer #1

Istražite konvergenciju niza $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$.

Pošto je donja granica sumiranja 1, zajednički član niza se piše pod znakom zbira: $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$. Pronađite granicu zajedničkog člana serije:

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)=\left|\frac(\infty) (\infty)\right|= \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(3n^2)(n^2)+\frac(2n)(n^2)-\frac(1)( n^2))(\frac(5n^2)(n^2)+\frac(7)(n^2))= \lim_(n\to\infty)\frac(3+\frac(2) (n)-\frac(1)(n^2))(5+\frac(7)(n^2))=\frac(3+0-0)(5+0)=\frac(3) (5). $$

"Granica omjera dva polinoma". Kako granica zajedničkog člana serije nije jednaka nuli, tj. $\lim_(n\to\infty)u_n=\frac(3)(5)\neq 0$, tada neophodni kriterijum za konvergenciju nije zadovoljen. Stoga se serija razilazi.

Rješenje je gotovo, međutim, vjerujem, čitalac će imati sasvim razumno pitanje: kako smo uopće vidjeli da je potrebno provjeriti ispunjenost neophodnog uslova konvergencije? Postoji mnogo znakova konvergencije numeričkih nizova, pa zašto su uzeli ovaj? Ovo pitanje uopšte nije prazno. Ali pošto odgovor na njega možda neće zanimati sve čitaoce, sakrio sam ga pod napomenom.

Zašto smo počeli da koristimo neophodni kriterijum konvergencije? prikaži/sakrij

Slobodno govoreći, pitanje konvergencije ove serije rešava se čak i pre formalne studije. Neću se doticati takve teme kao što je redosled rasta, samo ću dati neka opšta obrazloženja. Pogledajmo bliže uobičajeni izraz za $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$. Pogledajmo prvo brojilac. Broj (-1), koji se nalazi u brojiocu, može se odmah odbaciti: ako je $n\to\infty$, onda će ovaj broj biti zanemariv u odnosu na ostale pojmove.

Pogledajmo stepene $n^2$ i $n$ u brojiocu. Pitanje: koji element ($n^2$ ili $n$) će rasti brže od ostalih?

Odgovor je jednostavan: to je $n^2$ koje će najbrže povećati svoje vrijednosti. Na primjer, kada je $n=100$, tada je $n^2=10\;000$. I ovaj jaz između $n$ i $n^2$ će biti sve veći i veći. Stoga ćemo mentalno odbaciti sve pojmove, osim onih koji sadrže $n^2$. Nakon takvog "ispuštanja" brojilac će imati $3n^2$. I nakon izvođenja slične procedure za nazivnik, $5n^2$ će ostati tamo. A razlomak $\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ će sada postati: $\frac(3n^2)(5n^2)=\frac(3)(5)$ . One. u beskonačnosti, zajednički pojam očigledno neće težiti nuli. Ostaje samo da se to formalno pokaže, što je i učinjeno gore.

Često se u zapisu zajedničkog člana niza koriste elementi kao što su, na primjer, $\sin\alpha$ ili $\arctg\alpha$ i slično. Samo trebate zapamtiti da vrijednosti takvih veličina ne mogu ići izvan određenih brojčanih granica. Na primjer, bez obzira na vrijednost $\alpha$, vrijednost $\sin\alpha$ će ostati unutar $-1≤\sin\alpha≤ 1$. To jest, na primjer, možemo napisati da je $-1≤\sin(n!e^n)≤ 1$. Sada zamislite da notacija za zajednički termin serije sadrži izraz poput $5n+\sin(n!e^n)$. Hoće li sinus, koji može "oscilirati" samo od -1 do 1, imati neku značajnu ulogu? Na kraju krajeva, vrijednosti $n$ žure u beskonačnost, a sinus ne može čak ni prijeći jedan! Stoga, u preliminarnom razmatranju izraza $5n+\sin(n!e^n)$, sinus se može jednostavno odbaciti.

Ili, na primjer, uzmite tangentu luka. Bez obzira na vrijednost argumenta $\alpha$, vrijednosti $\arctg\alpha$ će zadovoljiti nejednakost $-\frac(\pi)(2)<\arctg\alpha<\frac{\pi}{2}$. Т.е., например, в выражении вроде $7n^3+\sqrt{9n+100}-6\arctg(5^n+587n^{258})$ можно сразу отбросить арктангенс. Да и $\sqrt{9n+100}$ тоже, оставив при этом лишь $7n^3$.

Da biste odredili koji elementi se mogu "odbaciti", a koji ne, potrebna vam je malo vještine. Najčešće se pitanje konvergencije niza može riješiti i prije formalne studije. A formalna studija u standardnim primjerima služi samo kao potvrda intuitivno dobivenog rezultata.

Odgovori: serija se razilazi.

Primjer #2

Ispitajte niz $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+12)$ za konvergenciju.

Pošto je donja granica zbrajanja jednaka 1, zajednički član niza se piše pod znakom zbira: $u_n=\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+ 12)$. Pronađite granicu zajedničkog člana serije:

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+12)=\ lijevo|\frac(\infty)(\infty)\right|= \lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(\frac(4n^7)(n^7)+\frac(5n^3) )(n^7)-\frac(4)(n^7)))(\frac(9n^2)(n^(\frac(7)(3)))-\frac(n)(n^ (\frac(7)(3)))+\frac(12)(n^(\frac(7)(3))))= \lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(4+ \frac(5)(n^4)-\frac(4)(n^7)))(\frac(9)(n^\frac(1)(3))-\frac(1)(n^ \frac(4)(3))+\frac(12)(n^\frac(7)(3)))=+\infty. $$

Ako način rješavanja ove granice postavlja pitanja, onda vam savjetujem da pogledate temu "Granice s iracionalnošću. Treći dio" (primjer br. 7). Kako granica zajedničkog člana serije nije jednaka nuli, tj. $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, tada neophodni kriterijum za konvergenciju nije zadovoljen. Stoga se serija razilazi.

Hajde da pričamo malo sa pozicije intuitivnog zaključivanja. U principu, ovdje je tačno sve što je rečeno u napomeni uz rješenje primjera br. 1. Ako mentalno "odbacimo" sve "nebitne" članove u brojiocu i nazivniku zajedničkog člana niza, tada će razlomak $\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2- n+12)$ će poprimiti oblik: $\frac(\sqrt(4n^7))(9n^2)=\frac(n^2\sqrt(4n))(9n^2)=\frac(\ sqrt(4n))(9)$ . One. čak i prije formalne studije, postaje jasno da za $n\to\infty$ zajednički član serije neće težiti nuli. Do beskonačnosti - postaće, do nule - ne. Stoga, ostaje samo da se to striktno pokaže, što je i učinjeno gore.

Odgovori: serija se razilazi.

Primjer #3

Istražite konvergenciju niza $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(5^n\sin\frac(8)(3^n)\right)$.

Pošto je donja granica sumiranja jednaka 1, zajednički član niza se piše pod znakom zbira: $u_n=5^n\sin\frac(8)(3^n)$. Pronađite granicu zajedničkog člana serije:

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\left(5^n\sin\frac(8)(3^n)\right)=\lim_(n\to \infty)\frac(\sin\frac(8)(3^n))(\frac(1)(5^n))=\left|\frac(0)(0)\right|=\left| \begin(poravnano)&\frac(8)(3^n)\do 0;\\&\sin\frac(8)(3^n)\sim\frac(8)(3^n). \end(aligned)\right|=\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(8)(3^n))(\frac(1)(5^n))=8\cdot\lim_ (n\do\infty)\lijevo(\frac(5)(3)\desno)^n=+\infty. $$

Kako granica zajedničkog člana serije nije jednaka nuli, tj. $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, tada neophodni kriterijum za konvergenciju nije zadovoljen. Stoga se serija razilazi.

Nekoliko riječi o transformacijama koje su izvršene prilikom izračunavanja granice. Izraz $5^n$ stavljen je u brojilac tako da izrazi i u brojniku i u nazivniku postanu beskonačno mali. One. za $n\to\infty$ imamo: $\sin\frac(8)(3^n)\to 0$ i $\frac(1)(5^n)\to 0$. A ako imamo infinitezimalni omjer, onda možemo sigurno primijeniti formule navedene u dokumentu "Ekvivalentne beskonačno male funkcije" (pogledajte tabelu na kraju dokumenta). Prema jednoj od ovih formula, ako je $x\to 0$, onda je $\sin x\sim x$. A imamo upravo takav slučaj: pošto je $\frac(8)(3^n)\do 0$, onda je $\sin\frac(8)(3^n)\sim\frac(8)( 3^n )$. Drugim riječima, izraz $\sin\frac(8)(3^n)$ jednostavno zamjenjujemo izrazom $\frac(8)(3^n)$.

Mislim da se može postaviti pitanje zašto smo transformirali izraz $5^n\sin\frac(8)(3^n)$ u oblik razlomka, jer je zamjena mogla biti obavljena i bez takve transformacije. Odgovor je sljedeći: zamjena se može izvršiti, ali da li će to biti legalno? Teorema o ekvivalentnim infinitezimalnim funkcijama daje nedvosmislenu naznaku da su takve zamjene moguće samo u izrazima oblika $\frac(\alpha(x))(\beta(x))$ (dok su $\alpha(x)$ i $ \beta (x)$ - beskonačno mali) koji se nalazi ispod predznaka granice. Dakle, transformirali smo naš izraz u oblik razlomka, prilagođavajući ga zahtjevima teoreme.

Odgovori: serija se razilazi.

Primjer #4

Istražite konvergenciju niza $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(3^n)(n^2)$.

Pošto je donja granica sumiranja jednaka 1, zajednički član niza se piše pod znakom zbira: $u_n=\frac(3^n)(n^2)$. Zapravo, pitanje konvergencije ovog niza se lako rješava korištenjem D "Alembertovog znaka. Međutim, neophodan znak konvergencije se također može primijeniti.

Pogledajmo bliže uobičajeni termin serije. Brojač sadrži izraz $3^n$, koji raste mnogo brže sa povećanjem $n$ od izraza u nazivniku $n^2$. Uporedite sami: na primjer, ako je $n=10$, onda $3^n=59049$, i $n^2=100$. I ovaj jaz brzo raste sa rastom od $n$.

Sasvim je logično pretpostaviti da ako $n\to\infty$, onda $u_n$ neće težiti nuli, tj. nužni uslov konvergencije nije zadovoljen. Ostaje samo provjeriti ovu vjerodostojnu hipotezu i izračunati $\lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(3^n)(n^2)$. Međutim, prije izračunavanja ove granice, pronađimo pomoćnu granicu funkcije $y=\frac(3^x)(x^2)$ za $x\to +\infty$, tj. izračunaj $\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)$. Zašto ovo radimo: činjenica je da u izrazu $u_n=\frac(3^n)(n^2)$ parametar $n$ uzima samo prirodne vrijednosti ($n=1,2,3, \ldots$) , a argument $x$ funkcije $y=\frac(3^x)(x^2)$ uzima realne vrijednosti. Kada pronađemo $\lim_(x\to+\infty)\frac(3^x)(x^2)$ možemo primijeniti L'Hopitalovo pravilo:

$$ \lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)=\left|\frac(\infty)(\infty)\right|=|\text (primijenite L'Hopital's pravilo) |=\lim_(x\to +\infty)\frac(\left(3^x\right)")(\left(x^2\right)")=\lim_(x\to +\infty )\ frac(3^x\ln 3)(2x)=\\ =\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x) =\ lijevo|\frac(\infty)(\infty)\right|=|\text(primijeni L'Hopitalovo pravilo)|=\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\ infty)\frac (\left(3^x\right)")(\left(x\right)")=\\ =\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\ infty)\frac (3^x\ln 3)(1)=\frac(\ln^2 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\infty)3^x=+\infty. $$

Pošto je $\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)=+\infty$, onda je $\lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to \ infty)\frac(3^n)(n^2)=+\infty$. Pošto je $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, neophodan uslov za konvergenciju niza nije zadovoljen, tj. dati niz se razilazi.

Odgovori: serija se razilazi.

Drugi primjeri nizova, čija se konvergencija provjerava pomoću potrebnog testa konvergencije, nalaze se u drugom dijelu ove teme.

Redovi za čajnike. Primjeri rješenja

Svi preživjeli dobrodošli u drugu godinu! U ovoj lekciji, odnosno u nizu lekcija, naučit ćemo kako upravljati redovima. Tema nije jako teška, ali da biste je savladali trebat će vam znanje iz prvog kursa, posebno morate razumjeti koja je granica, i moći pronaći najjednostavnije granice. Međutim, u redu je, u toku objašnjenja daću odgovarajuće linkove do potrebnih lekcija. Za neke čitatelje, tema matematičkih serija, metoda rješavanja, znakova, teorema može izgledati neobično, pa čak i pretenciozno, apsurdno. U ovom slučaju ne morate mnogo da se „opterećujete“, prihvatamo činjenice kakve jesu i jednostavno učimo da rešavamo tipične, uobičajene zadatke.

1) Redovi za čajnike, a za samovare odmah zadovoljan :)

Za ultrabrzu pripremu na temu postoji ekspresni kurs u pdf formatu, uz pomoć kojeg je zaista moguće "podići" praksu za samo jedan dan.

Koncept brojevnog niza

Uglavnom numeričke serije može se napisati ovako:
ovdje:
- matematička ikona zbira;
– zajednički termin serije(zapamtite ovaj jednostavan izraz);
- varijabla - "brojac". Zapis znači da se zbrajanje vrši od 1 do “plus beskonačnost”, odnosno, prvo imamo , zatim , zatim , i tako dalje - do beskonačnosti. Varijabla ili se ponekad koristi umjesto varijable. Zbrajanje ne počinje nužno od jedan, u nekim slučajevima može početi od nule, od dva ili od bilo kojeg prirodni broj.

U skladu sa varijablom "counter", bilo koja serija se može detaljno oslikati:
– i tako dalje do beskonačnosti.

Uslovi - Ovo BROJEVI, koji se zovu članovi red. Ako su svi nenegativni (veće ili jednako nuli), tada se takav niz zove pozitivna brojevna prava.

Primjer 1

Inače, ovo je već "borbeni" zadatak - u praksi je često potrebno snimiti nekoliko članova serije.

Prvo, zatim:
Onda, onda:
Onda, onda:

Proces se može nastaviti beskonačno, ali prema uslovu je bilo potrebno napisati prva tri člana serije, pa zapisujemo odgovor:

Obratite pažnju na fundamentalnu razliku od numerički niz,
u kojima se pojmovi ne sumiraju, već se tretiraju kao takvi.

Primjer 2

Zapišite prva tri člana serije

Ovo je primjer za samostalno rješavanje, odgovor je na kraju lekcije.

Čak i za naizgled složenu seriju, nije je teško opisati u proširenom obliku:

Primjer 3

Zapišite prva tri člana serije

Zapravo, zadatak se obavlja usmeno: mentalna zamjena u uobičajenom terminu serije prvo , zatim i . na kraju:

Ostavite odgovor ovako bolje je ne pojednostavljivati ​​dobijene termine serije, tj ne pridržavajte se akcije: , , . Zašto? Odgovorite u obrascu učitelju je mnogo lakše i praktičnije provjeriti.

Ponekad postoji i obrnuto

Primjer 4

Ovdje ne postoji jasan algoritam rješenja. samo treba da vidite šablon.
U ovom slučaju:

Za provjeru, rezultirajuća serija se može "obojiti natrag" u proširenom obliku.

Ali primjer je malo teži za nezavisno rješenje:

Primjer 5

Napišite zbroj u sažetom obliku sa zajedničkim članom niza

Provjerite ponovo pisanjem serije u proširenom obliku

Konvergencija brojevnih nizova

Jedan od ključnih ciljeva teme je ispitivanje niza na konvergenciju. U ovom slučaju moguća su dva slučaja:

1) Reddivergira. To znači da je beskonačan zbir jednak beskonačnosti: bilo koji zbir uopšte ne postoji, kao, na primjer, u seriji
(usput, evo primjera serije sa negativnim pojmovima). Dobar primjer divergentnog niza brojeva na koji ste naišli na početku lekcije: . Ovdje je sasvim očito da je svaki sljedeći član niza veći od prethodnog, pa se stoga niz divergira. Još trivijalniji primjer: .

2) Redkonvergira. To znači da je beskonačan zbir jednak nekom konačan broj: . Nema na čemu: Ovaj niz konvergira i njegov zbir je nula. Smisaoniji primjer je beskonačno opadajuća geometrijska progresija, poznata nam još od škole: . Zbir članova beskonačno opadajuće geometrijske progresije izračunava se po formuli: , gdje je prvi član progresije, a njegova baza, koja se po pravilu piše kao ispravan razlomci. U ovom slučaju: , . Dakle: Dobija se konačan broj, što znači da red konvergira, što je i trebalo dokazati.

Međutim, u velikoj većini slučajeva pronađite zbir niza nije tako jednostavno, pa se stoga u praksi za proučavanje konvergencije serije koriste posebni znakovi, koji su teorijski dokazani.

Postoji nekoliko znakova konvergencije niza: neophodan kriterijum za konvergenciju niza, kriterijum poređenja, d'Alembertov kriterijum, Cauchyjev kriterijum, znak Lajbnica i neki drugi znakovi. Kada primijeniti koji znak? Zavisi od uobičajenog termina serije, slikovito rečeno - od "punjenja" serije. I vrlo brzo ćemo sve staviti na police.

! Za dalje učenje potrebno je dobro razumeti, koja je granica i dobro je moći otkriti nesigurnost forme. Za ponavljanje ili proučavanje materijala pogledajte članak Ograničenja. Primjeri rješenja.

Neophodan kriterijum za konvergenciju niza

Ako se niz konvergira, tada njegov zajednički član teži nuli: .

Obrnuto nije tačno u opštem slučaju, tj. ako je , tada se nizovi mogu i konvergirati i divergirati. I tako se ovaj znak koristi za opravdanje divergenciju red:

Ako je zajednički pojam serije ne ide na nulu, tada se serija razilazi

Ili ukratko: ako , onda se niz razilazi. Konkretno, moguća je situacija kada granica uopće ne postoji, kao npr. limit. Ovdje su odmah potkrijepili divergenciju jedne serije :)

Ali mnogo češće je granica divergentnog niza jednaka beskonačnosti, dok umjesto "x" djeluje kao "dinamička" varijabla. Osvježimo naše znanje: granice sa "x" nazivaju se granicama funkcija, a granice sa promjenljivom "en" - granicama numeričkih nizova. Očigledna razlika je u tome što varijabla "en" uzima diskretne (diskontinuirane) prirodne vrijednosti: 1, 2, 3, itd. Ali ova činjenica ima malo utjecaja na metode rješavanja granica i metode otkrivanja neizvjesnosti.

Dokažimo da se niz iz prvog primjera divergira.
Uobičajeni član serije:

Zaključak: red divergira

Potrebna karakteristika se često koristi u stvarnim praktičnim zadacima:

Primjer 6

Imamo polinome u brojniku i nazivniku. Onaj koji je pažljivo pročitao i shvatio način otkrivanja neizvjesnosti u članku Ograničenja. Primjeri rješenja, sigurno je to shvatio kada su najveći potenci brojnika i nazivnika jednaka, onda je granica konačan broj .

Podijelite brojilac i imenilac sa

Study Series divergira, budući da nužni kriterijum za konvergenciju niza nije zadovoljen.

Primjer 7

Ispitajte konvergenciju niza

Ovo je "uradi sam" primjer. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije

Dakle, kada nam se da BILO KOJI broj brojeva, primarno provjeravamo (mentalno ili na nacrt): da li njegov zajednički izraz teži nuli? Ako ne teži, sastavljamo rješenje po uzoru na primjere br. 6, 7 i dajemo odgovor da se niz divergira.

Koje vrste naizgled divergentnih serija smo razmatrali? Odmah je jasno da se redovi slažu ili razilaze. Serija iz primjera br. 6, 7 također se razilazi: kada brojilac i nazivnik sadrže polinome, a najveći stepen brojila je veći ili jednak najvećem stepenu nazivnika. U svim ovim slučajevima, prilikom rješavanja i dizajniranja primjera koristimo neophodan kriterij za konvergenciju niza.

Zašto se znak zove neophodno? Shvatite na najprirodniji način: da bi se niz konvergirao, neophodno tako da njegov zajednički član teži nuli. I sve bi bilo u redu, ali ovo nije dovoljno. Drugim riječima, ako zajednički član niza teži nuli, TO NE ZNAČI da se niz konvergira- može i konvergirati i divergirati!

Upoznajte:

Ovaj red se zove harmonične serije. Molimo zapamtite! Među brojčanim serijama on je primabalerina. Tačnije balerina =)

Lako je to vidjeti , ALI. U teoriji matematičke analize to se dokazuje harmonijski niz se razilazi.

Također biste trebali zapamtiti koncept generaliziranog harmonijskog niza:

1) Ovaj red divergira u . Na primjer, nizovi se razilaze, , .
2) Ovaj red konvergira u . Na primjer, serija , , . Još jednom naglašavam da nam u gotovo svim praktičnim zadacima uopće nije važno koliki je zbir npr. niza, važna je sama činjenica njegove konvergencije.

Ovo su elementarne činjenice iz teorije redova koje su već dokazane, a pri rješavanju nekog praktičnog primjera može se sa sigurnošću pozvati, na primjer, na divergenciju reda ili konvergenciju niza.

Općenito, materijal koji se razmatra je vrlo sličan proučavanje nepravih integrala, a onima koji su proučavali ovu temu bit će lakše. Pa za one koji nisu studirali duplo je lakše :)

Dakle, šta učiniti ako zajednički pojam serije IDE na nulu? U takvim slučajevima, da biste riješili primjere, trebate koristiti druge, dovoljno znakovi konvergencije/divergencije:

Kriterijumi poređenja pozitivnih brojeva

Skrećem vam pažnju da je ovdje riječ samo o pozitivnim brojčanim nizovima (sa nenegativnim članovima).

Postoje dva znaka poređenja, jedan od njih ću jednostavno nazvati znak poređenja, drugi - granični znak poređenja.

Prvo razmislite znak poređenja, tačnije prvi dio:

Razmotrimo dvije pozitivne numeričke serije i . Ako je poznato, da je red konvergira, i, počevši od nekog broja , vrijedi nejednakost, zatim serija konvergira takođe.

Drugim riječima: Konvergencija niza sa većim članovima implicira konvergenciju niza sa manjim članovima. U praksi, nejednakost je često općenito zadovoljena za sve vrijednosti:

Primjer 8

Ispitajte konvergenciju niza

Prvo, provjeravamo(mentalno ili na nacrt) izvršenje:
, što znači da nije bilo moguće „izići sa malo krvi“.

Gledamo u "paket" generalizovanog harmonijskog niza i, fokusirajući se na najviši stepen, nalazimo sličan niz: Iz teorije je poznato da konvergira.

Za sve prirodne brojeve vrijedi očigledna nejednakost:

a veći imenioci odgovaraju manjim razlomcima:
, što znači da je, prema kriterijumu poređenja, serija koja se proučava konvergira zajedno sa pored .

Ako sumnjate, onda se nejednakost uvijek može detaljno oslikati! Zapišimo konstruiranu nejednačinu za nekoliko brojeva "en":
Ako onda
Ako onda
Ako onda
Ako onda
….
a sada je sasvim jasno da je nejednakost vrijedi za sve prirodne brojeve "en".

Analizirajmo kriterij poređenja i riješeni primjer sa neformalne tačke gledišta. Ipak, zašto se serija konvergira? Evo zašto. Ako se niz konvergira, onda ima nešto final iznos : . I pošto svi članovi serije manji odgovarajući članovi niza, onda je panj jasno da zbir niza ne može biti veći od broja , a čak i više od toga, ne može biti jednak beskonačnosti!

Slično, možemo dokazati konvergenciju "sličnih" serija: , , itd.

! Bilješka da u svim slučajevima imamo „plus“ u nazivnicima. Prisustvo najmanje jednog minusa može ozbiljno zakomplicirati upotrebu razmatranog karakteristika poređenja. Na primjer, ako se niz na isti način uporedi sa konvergentnim nizom (zapišite nekoliko nejednakosti za prve članove), onda uvjet uopće neće biti ispunjen! Ovdje možete izbjeći i odabrati za usporedbu drugu konvergentnu seriju, na primjer, , ali to će za sobom povlačiti nepotrebne rezerve i druge nepotrebne poteškoće. Stoga je za dokazivanje konvergencije niza mnogo lakše koristiti marginalni kriterijum poređenja(vidi sljedeći paragraf).

Primjer 9

Ispitajte konvergenciju niza

I u ovom primjeru predlažem da sami razmislite drugi dio funkcije poređenja:

Ako je poznato, da je red divergira, i počevši od nekog broja (često od prve) vrijedi nejednakost, tada serija takođe razilazi.

Drugim riječima: Divergencija niza sa manjim članovima implicira divergenciju niza sa većim članovima.

Šta treba učiniti?
Neophodno je uporediti ispitivani niz sa divergentnim harmonijskim nizom. Za bolje razumijevanje, konstruirajte neke specifične nejednakosti i uvjerite se da je nejednakost istinita.

Dizajn rješenja i uzorka na kraju lekcije.

Kao što je već napomenuto, u praksi se upravo razmatrana karakteristika poređenja rijetko koristi. Pravi "radni konj" serije brojeva je marginalni kriterijum poređenja, a u pogledu učestalosti korištenja, samo znak d'Alamberta.

Granični znak poređenja brojčanih pozitivnih serija

Razmotrimo dvije pozitivne numeričke serije i . Ako je granica omjera zajedničkih članova ovih serija jednaka konačan broj različit od nule: , tada se oba niza konvergiraju ili divergiraju u isto vrijeme.

Kada se koristi kriterijum poređenja granice? Granični znak poređenja se koristi kada je „punjenje“ niza polinom. Ili jedan polinom u nazivniku, ili polinomi i u brojniku i u nazivniku. Opciono, polinomi mogu biti ispod korijena.

Pozabavimo se serijama za koje je prethodni znak poređenja zastao.

Primjer 10

Ispitajte konvergenciju niza

Uporedite ovaj niz sa konvergentnim redom. Koristimo granični test poređenja. Poznato je da se niz konvergira. Ako možemo pokazati da jeste konačni različit od nule broj, biće dokazano da i niz konvergira.

Dobija se konačan broj različit od nule, što znači da je niz koji se proučava konvergira zajedno sa pored .

Zašto je serija odabrana za poređenje? Da smo odabrali bilo koju drugu seriju iz "isječka" generaliziranog harmonijskog niza, onda ne bismo uspjeli u limitu konačni različit od nule brojevi (možete eksperimentirati).

Bilješka: kada koristimo funkciju marginalnog poređenja, nebitno, kojim redosledom sastaviti odnos zajedničkih članova, u razmatranom primeru, odnos bi se mogao nacrtati i obrnuto: - to ne bi promenilo suštinu stvari.

Dodatak

Internetska stranica usluge pomoći će vam da pronađete zbir niza na mreži i numeričkog niza i funkcionalnog niza. Zbir serije za matematičare je nešto posebno u razumijevanju analize numeričkih veličina i prelaska do granice. O generalnom rešenju serijala u proteklih nekoliko vekova rečeno je i napisano mnogo korisnih radova. Za svakog nastavnika lično, važna je dužnost da svoje stečeno znanje iz matematike prenese do krajnjeg slušaoca, odnosno učenika. Lakše je tražiti takav zbir serije 1/n. Zbir serije 1/n^2 će vam biti predstavljen u kratkom zapisu.Uporedo sa određivanjem zbira niza online numeričkog niza, sajt može pronaći takozvani parcijalni zbir niza online. Ovo će svakako pomoći u analitičkim reprezentacijama, kada treba izraziti zbir online serije i pronaći ga kao rješenje granice numeričkog niza parcijalnih suma niza. U svojoj srži, zbir niza nije ništa drugo nego inverzna operacija proširenja funkcije u niz. Operacije su gotovo recipročne prirode. Desilo se da se konvergencija niza proučava nakon položenog kursa predavanja iz matematičke analize nakon granica. Pronađeno rješenje serije znači rezultat njegovog proučavanja za konvergenciju ili divergenciju. Ovaj rezultat je jedinstveno određen. U odnosu na analogne, stranica ima svoje neosporne prednosti, jer je u mogućnosti pronaći zbroj niza na mreži i numeričke i funkcionalne serije, što vam omogućava da nedvosmisleno odredite područje konvergencije početne početne serije , koristeći gotovo svu poznatu metodologiju nauci. Na osnovu teorije redova, neophodan uslov za konvergenciju numeričkog niza u svakom trenutku biće jednakost nule granice zajedničkog člana numeričkog niza u beskonačnosti. Ali ovaj uslov nije dovoljan pri uspostavljanju konvergencije numeričkog niza na mreži. Hajdemo malo odmaknuti od gorućeg problema i raspravljati s drugačije filozofske pozicije o nizovima u matematici. Za vas će ovo rješenje serije online postati najbolji kalkulator i pomoćnik za svaki dan. Uopšte nije želja da prelepe zimske dane odsedate za nastavu, kada vam je zbir reda u dva broja pred očima. Ako neko treba da odredi samu kilometražu reda, onda će to potrajati nekoliko sekundi nakon preliminarnog unosa tačnih podataka. Dok slični sajtovi zahtevaju naknadu za svoje usluge, mi se trudimo da budemo korisni svima koji žele da pokušaju da nauče kako da sami rešavaju primere koristeći naš jednostavan servis. Po Vašem nahođenju, rješenje serije možemo prikazati online na bilo kojem modernom uređaju, odnosno u bilo kojem pretraživaču, tako da će pronaći i dokazati da se zbir serije 1/n divergira u beskonačnost biti jednostavan zadatak. Uvijek zapamtite kako se zbir niza 1/n^2 konvergira i ima ogromno semantičko značenje u matematici. Ali zbroj konačne serije obično se određuje nakon upotrebe, na primjer, integralnog znaka ili znaka Raabea, za koji malo ljudi zna na običnim sveučilištima. Određivanjem konvergencije serija na mreži, naučnici su izveli različite dovoljne znakove konvergencije ili divergencije serije. Poznatiji i često korišteni od ovih metoda su predznaci D"Alemberta, znak konvergencije Cauchy, znak konvergencije Raabe, znak poređenja numeričkih nizova i integralni znak konvergencije brojevnog niza. Takav broj Posebnu pažnju zaslužuju nizovi u kojima se predznaci pojmova moraju striktno smjenjivati ​​jedan za drugim od minusa do plusa i obrnuto, a apsolutne vrijednosti ovih brojčanih nizova se monotono, odnosno ravnomjerno smanjuju. U praksi se proučavanje pokazalo se da je za takve numeričke nizove dovoljan neophodan kriterij za konvergenciju niza koji se naizmjenično mijenjaju u znaku, odnosno da je granica zajedničkog pojma jednaka nultom nizu brojeva u beskonačnosti. Zbroj niza pronađen na ovaj način je ekvivalentan drugim korišćenim metodama. Konvergencija serije zahteva ogroman gubitak vremena, pošto sam proces uključuje kompletno proučavanje funkcije. Postoji mnogo različitih sajtova koji pružaju usluge za izračunavanje zbira niza na mreži, kao npr. kao i proširenje funkcija u nizu u dir imati na mreži u bilo kom trenutku iz domena definicije funkcije koja se proučava. Lako je proširiti funkciju u niz online u ovim servisima, budući da se koristi funkcional za izračunavanje derivacije, ali inverzna operacija - da se pronađe zbir funkcionalnog online niza, čiji članovi nisu brojevi, već funkcije , često nemoguće u praksi zbog poteškoća koje nastaju zbog nedostatka potrebnih računarskih resursa.. Koristite naš resurs za izračunavanje sume serija online, provjerite i učvrstite svoje znanje. Ako se zbir serije razilazi, onda nećemo dobiti očekivani rezultat za daljnje radnje u nekom zajedničkom zadatku. Ovo se može unaprijed izbjeći primjenom svog znanja kao stručnjaka. Konačno, nemoguće je ne spomenuti kako je zbir niza 1/n najjednostavniji u izrazu i često se navodi kao primjer. Čak i kada žele pokazati neki znak konvergencije u slučaju, oni to dokazuju za zbir niza 1/n^2, jer je takav prikaz transparentan za učenike i učenici se ne zbunjuju. Pošto imamo izraz za složeni opšti član niza, onda bi zbir konačnog niza bio koristan ako se za majorizirajući niz (u odnosu na originalni) dokaže da konvergira. S druge strane, do konvergencije niza dolazi bez obzira na početne uslove problema. Samo naša servisna stranica može ponuditi najbolje rješenje redova, jer samo mi garantiramo uštedu vašeg vremena upoređujući trošak obračuna s korisnošću i preciznošću rezultata. Budući da se željeni zbir niza u većini slučajeva može predstaviti velikim nizom, samo ga je svrsishodnije proučiti. Dakle, konvergencija niza iz majorizirajućeg opšteg pojma nedvosmisleno će ukazivati ​​na konvergenciju glavnog izraza, a problem će se odmah sam od sebe rešiti.Nastavnici visokoškolskih ustanova takođe mogu koristiti naše rešenje serije onlajn i proveriti rada svojih kadeta. U nekim slučajevima se zbir niza može izračunati u zadatku za fiziku, hemiju ili primijenjenu disciplinu, a da se ne zaglavi u rutinskim proračunima, kako se ne bi skrenulo s glavnog smjera prilikom proučavanja nekog prirodnog procesa. Za početak, obično najviše zapišu da ne mogu pojesti pojednostavljeni izraz u obliku sume niza 1/n, i ovaj pristup je opravdan. Broj Pi je prisutan u mnogim računskim operacijama, ali se za zbir niza 1/n^2 može reći da je klasičan primjer konvergencije harmonijskog niza u beskonačnosti. Šta uopće znači izraz "zbir konačnog niza"? A to znači samo da konvergira i da granica njegovih parcijalnih suma ima određenu numeričku vrijednost. Ako se konvergencija serije potvrdi i to će uticati na konačnu stabilnost sistema, tada je moguće promijeniti ulazne parametre problema i pokušati to ponoviti. Na kraju, želimo vam dati savjet koji je na prvi pogled implicitan, ali vrlo koristan u praksi. Čak i ako imate dovoljno iskustva u rješavanju nizova i ne trebate takve usluge za rješavanje nizova na mreži, predlažemo da počnete s pronalaženjem sume niza određivanjem konvergencije niza. Odvojite samo minut na ovu akciju, koristeći sajt, tako da tokom izračunavanja zbira serije samo ovu činjenicu imate na umu. Neće biti suvišno! O zbiru niza se dosta pisalo na sajtovima za matematiku, priloženo je mnogo ilustracija, jer su u prošlom veku naučnici simbolima označavali izraze za zbir niza. Uglavnom, malo se toga promijenilo, ali ima zanimljivih trenutaka. Ako se konvergencija serije na mreži čini nemogućom, onda samo provjerite unesene podatke i mirno ponovite zahtjev. Ipak, bolje je prvo još jednom provjeriti zajednički termin serije. I svako online rješenje serije će se odmah pojaviti na web stranici, ne morate kliknuti na dodatne linkove da biste dobili odgovor na zadatak. Najbolje, prema mišljenju stručnjaka, čini studente zahtjevnijim u odabiru kalkulatora rješenja serije. Koncept konvergencije niza, odnosno postojanje konačnog zbira, ulaže se u zbir niza kao online servis. Uz ovaj odjeljak uvode se osnovne teme kao što su integrali i derivati, budući da su sve usko povezane. Razgovarajmo zajedno s nama kako se zbir niza 1/n divergira kako varijabla teži beskonačnosti. Međutim, drugi zbir takvog niza kao što je 1/n^2 će, naprotiv, konvergirati i uzeti konačni numerički izraz. Zanimljivo je proučavati slučajeve u kojima se zbir konačnog niza predstavlja postupno kao međuparcijalni zbir niza sa postupnim povećanjem varijable za jednu, ili možda nekoliko jedinica odjednom. Preporučujemo da provjerite konvergenciju serije na mreži nakon vlastitih rješenja zadataka. To će vam omogućiti da detaljno shvatite temu i povećate svoj nivo znanja. Ne zaboravite to nikada, trudimo se samo za vas. Jednom u lekciji, nastavnik je pokazao rešenje serije onlajn koristeći kompjutersku tehnologiju. Moram reći da se svima jako svidjelo. Nakon ovog incidenta, kalkulator je bio tražen tokom studija matematike. Neće biti suvišno provjeriti kako zbir serije izračunava kalkulator na mreži u nekoliko sekundi nakon što zatražite da se prikaže rezultat. Odmah će postati jasno u kojem smjeru vrijedi zadržati tok rješavanja problema. Budući da se u nekim skupim udžbenicima malo piše o konvergenciji serijala, bolje je skinuti nekoliko dobrih izvještaja eminentnih naučnika sa interneta i proći kurs njihove metodologije. Rezultat će biti dobar. Prilikom rješavanja niza ne može se isključiti prvi znak konvergencije, odnosno tendencija ka nuli granice njenog zajedničkog člana. Iako to nije dovoljan uslov, uvijek je neophodan. Integritet riješenog primjera stvara prijatan osjećaj kod učenika kada shvati da je zbir niza izračunat bez pribjegavanja nagoveštajima. Udžbenici su namijenjeni kao vodič za primjenu vaših vještina u praksi. Kako zaboravljate obrađeno gradivo, svakog četvrtka trebate izdvojiti najmanje pet minuta za letimičan pregled predavanja, inače ćete sve zaboraviti do početka sesije, a još više ćete zaboraviti kako se računa konvergencija serije . Počnite od jednom, a zatim savladajte svoju lijenost. Nije ni čudo što su nastavnici primorani da dokazuju kako će zbir serije 1/n divergirati. Ali ako se, ipak, zbir serije 1/n ^ 2 predstavi kao naizmjenični niz, tada se neće dogoditi ništa strašno - na kraju krajeva, apsolutni niz tada konvergira! I naravno, zbir konačnog niza može biti od posebnog interesa za vas kada sami proučavate ovu disciplinu. Lavovski dio primjera rješava se d'Alembertovom metodom, a rješenje niza u ovom slučaju se svodi na izračunavanje granica, kao omjera susjednih članova, odnosno sljedećeg prema prethodnom. Stoga vam želimo puno sreće u rješavanju matematike i da nikada ne pogriješite! Uzmimo kao osnovnu takozvano rješenje serijala online u pravcu istraživačkog neslaganja, uključivanja temeljnih principa i naučnih interdisciplinarnih pravaca. Dozvolite nam da vam pronađemo odgovor i da vam potvrdno kažemo da se zbir niza rješava na nekoliko fundamentalno različitih metoda, ali je na kraju rezultat isti. Nagoveštaj o konvergenciji niza nije uvijek očigledan učenicima, čak i ako im se unaprijed kaže odgovor, iako ih to svakako gura na ispravno rješenje. Apstrakcija u matematici, iako izbija na vrh lokalnog, ipak je potkrijepljena teorijom i dokazuje neke neosporne činjenice u trenu. Nemoguće je propustiti takav aspekt pri online rješavanju nizova kao što je primjenjivost ili neprimjenjivost osnovnih teorijskih principa konvergencije numeričkog niza i predstavljanja složenog zbira niza u nekoj pojednostavljenoj verziji za što ugodniji izgled. Ali postoje slučajevi kada će se zbroj serije 1/n konvergirati i nećemo vas zamarati ovim incidentom, jer sve što trebate učiniti je zamijeniti neki cijeli broj umjesto simbola beskonačnosti i tada će se cijeli zbir svesti na uobičajene aritmetičke serije. Harmonični niz je zbir serije 1/n^2, tada je mreža na bilo koju povišenu snagu.