Istraživački rad "peak formula". Formula vrhunca u školskom kursu planimetrije

Starkova Kristina, učenica 8B razreda

U radu se razmatra Pikova teorema i njen dokaz.

Razmatraju se problemi nalaženja površine poligona

Skinuti:

Pregled:

ODELJENJE ZA OPŠTE I STRUČNO OBRAZOVANJE

ADMINISTRACIJA OPŠTINSKOG OKRUGA ČAJKOVSKI

PERMSKA REGIJA

VI OPĆINSKA ISTRAŽIVAČKA KONFERENCIJA
STUDENTI

Opštinska autonomna opšteobrazovna ustanova

"Srednja škola br. 11"

SEKCIJA: MATEMATIKA

Primjena Pickove formule

Učenik 8 "B" razreda

MAOU srednja škola №11 Čajkovski

Voditelj: Batueva L, N.,

Nastavnik matematike MAOU srednja škola №11

Čajkovski

godina 2012

I. UVOD……………………………………………………. 2

II. Peak Formula

2.1.Rešetke.Čvorovi………………………………………………………….4

2.2. Triangulacija poligona……………………………5

2.3. Dokaz Pickove teoreme………………………6

2.4 Proučavanje površina poligona…………9

2.5. Zaključak……………………………………………………………..12

III.Geometrijski zadaci sa praktičnim sadržajem ... 13

IV. Zaključak…………………………………………………………..14

V. Spisak korištene literature…………………………………..16

1. Uvod

Strast prema matematici često počinje razmišljanjem o problemu. Dakle, prilikom proučavanja teme "Površine poligona", postavilo se pitanje da li postoje zadaci koji se razlikuju od zadataka koji se razmatraju u udžbenicima geometrije. Ovo su zadaci na kariranom papiru. Imali smo pitanja: koja je posebnost takvih zadataka, da li ih ima posebne metode i tehnike rješavanja zadataka na kariranom papiru. Sagledavanje takvih zadataka u kontroli i mjerenju KORISTITE materijale i GIA, odlučili su da definitivno istraže zadatke na kariranom papiru koji se odnose na pronalaženje površine prikazane figure.

Počeo sam proučavati literaturu, internetske resurse na ovu temu. Čini se da se ono što je fascinantno može pronaći na kariranoj ravni, odnosno na beskrajnom komadu papira iscrtanom u identične kvadrate? Ne sudite ishitreno. Ispada da su zadaci povezani s kariranim papirom prilično raznoliki. Naučio sam kako izračunati površine poligona nacrtanih na kockastom komadu papira. Za mnoge zadatke na papiru u kavezu ne postoji opće pravilo za rješavanje, specifične metode i tehnike. To je njihovo svojstvo koje određuje njihovu vrijednost za razvoj nespecifičnog vještina učenja ili vještina, već općenito sposobnost razmišljanja, refleksije, analize, traženja analogija, odnosno, ovi zadaci razvijaju vještine mišljenja u svom najširem smislu.

Definisali smo:

Predmet proučavanja: zadaci na kariranom papiru

Predmet studija: zadaci za izračunavanje površine poligona na kariranom papiru, metode i tehnike za njihovo rješavanje.

Metode istraživanja: modeliranje, poređenje, generalizacija, analogija, proučavanje književnih i internetskih izvora, analiza i klasifikacija informacija.

1. Svrha studije:Izvedite i testirajte formule za izračunavanje površina geometrijskih oblika pomoću formule Peak

Za postizanje ovog cilja predlažemo rješavanje sljedećeg zadaci:

1. Odaberite potrebnu literaturu
2. Odaberite materijal za istraživanje, odaberite glavne, zanimljive, razumljive informacije
3. Analizirajte i organizirajte primljene informacije
4. Nađi razne metode i tehnike rješavanja zadataka na kariranom papiru
5. Napravite elektronsku prezentaciju rada kako biste prikupljeni materijal predstavili kolegama iz razreda

razni zadaci na papiru u kutiji, njihova "zabava", nedostatak opšta pravila a metode rješavanja uzrokuju poteškoće kod školaraca u njihovom razmatranju

1. Hipoteza:. Površina figure izračunate po Pick formuli jednaka je površini figure izračunate po formuli planimetrije.

Kada rješavamo probleme na kariranom papiru, potrebna nam je geometrijska mašta i prilično jednostavne geometrijske informacije koje su svima poznate.

II. Peak Formula

2.1 Rešetke.Čvorovi.

Razmotrimo na ravni dvije porodice paralelnih pravih koje dijele ravan na jednake kvadrate; skup svih tačaka preseka ovih pravih naziva se tačkasta rešetka ili jednostavno rešetka, a same tačke se nazivaju čvorovi rešetke.

Unutrašnji čvorovi poligona - crvena.

Čvorovi na licu poligona - plava.

Da biste procijenili površinu poligona na kariranom papiru, dovoljno je izračunati koliko ćelija pokriva ovaj poligon (površinu ćelije uzimamo kao jedinicu). Tačnije, ako S je površina poligona, B je broj ćelija koje se nalaze u cijelosti unutar poligona, a G je broj ćelija koje imaju barem jednu zajedničku točku s unutrašnjosti poligona.

Razmotrit ćemo samo takve poligone, čiji svi vrhovi leže na čvorovima kariranog papira - u onima gdje se linije mreže sijeku.

Površina bilo kojeg trokuta nacrtanog na kockastom papiru može se lako izračunati tako što se predstavlja kao zbir ili razlika površina pravokutnih trokuta i pravokutnika čije stranice prate linije mreže koje prolaze kroz vrhove nacrtanog trokuta.

2.2 Triangulacija poligona

Bilo koji poligon sa vrhovima u čvorovima mreže može se triangulirati - podijeliti na "jednostavne" trouglove.

Neka je na ravni dat neki poligon i neki konačni skup To tačke koje leže unutar poligona i na njegovoj granici (štaviše, svi vrhovi poligona pripadaju skupu TO ).

Triangulacija sa vrhovima To naziva se particioniranje dati poligon u trouglove sa vrhovima u skupu To tako da svaka tačka u To služi kao vrh za svaki od onih triangulacionih trouglova kojima ova tačka pripada (tj. tačke iz To ne padaju unutar ili na stranice trouglova, sl. 1.37).

Rice. 1.37

Teorema 2. a) Bilo koji n -gon se može dijagonalama rezati na trouglove, a broj trouglova će biti jednak n – 2 (ova particija je triangulacija sa vrhovima u vrhovima n-gon).

Razmislite o nedegeneriranom jednostavnom cjelobrojnom poligonu (to jest, on je povezan - bilo koje dvije njegove točke mogu biti povezane kontinuiranom krivom koja je u potpunosti sadržana u njemu, a svi njegovi vrhovi imaju cjelobrojne koordinate, njegova granica je povezana polilinija bez samoraskrsnice, a ima površinu različitu od nule) .

Da biste izračunali površinu takvog poligona, možete koristiti sljedeću teoremu:

2.3. Dokaz Pickove teoreme.

Neka je B broj cjelobrojnih tačaka unutar poligona, G broj cjelobrojnih tačaka na njegovoj granici,- svoju oblast. Onda Pikova formula: S=V+G2-1

Primjer. Za poligon na slici B=23 (žute tačke), D=7, (plave tačke, ne zaboravimo vrhove!), pakvadratne jedinice.

Prvo, imajte na umu da je Pikova formula tačna za jedinični kvadrat. Zaista, u ovom slučaju imamo B=0, D=4 i.

Zamislite pravougaonik sa stranicama koje leže na linijama rešetke. Neka su dužine njegovih stranica jednake i . U ovom slučaju imamo B=(a-1)(b-1) , G=2a+2b, zatim po Pick formuli,

Razmotrimo sada pravokutni trokut s nogama koje leže na koordinatnim osa. Takav trokut se dobija iz pravougaonika sa stranicama i , razmatran u prethodnom slučaju, rezanjem dijagonalno. Neka leže na dijagonalicijelih bodova. Onda za ovo slučaj B \u003d a-1) b-1, 2 G \u003d G \u003d 2a + 2b 2 +c-1 i to dobijamo4) Sada razmotrite proizvoljan trougao. Može se dobiti tako što se od pravougaonika odseče nekoliko pravougaonih trouglova i, eventualno, pravougaonik (vidi slike). Pošto je Pikova formula tačna i za pravougaonik i za pravougao trougao, dobijamo da će važiti i za proizvoljan trougao.

Ostaje napraviti posljednji korak: prijeći od trokuta do poligona. Bilo koji poligon se može podijeliti na trouglove (na primjer, dijagonalama). Stoga, samo trebamo dokazati da kada dodamo bilo koji trokut proizvoljnom poligonu, Pickova formula ostaje istinita. Neka poligon i trougao imaju zajedničku stranu. Pretpostavimo da zaPikova formula je važeća, dokazaćemo da će biti tačna za poligon dobijen iz njega dodavanje . Od i imaju zajedničku stranu, tada sve cjelobrojne točke koje leže na ovoj strani, osim dva vrha, postaju unutrašnje točke novog poligona. Vrhovi će biti granične tačke. Označimo broj zajedničke tačke kroz i dobijete B=MT=BM+BT+c-2 - broj internih cjelobrojnih tačaka novog poligona, G=G(M)+G(T)-2(s-2)-2 - broj graničnih tačaka novog poligona. Iz ovih jednakosti dobijamo: BM+BT+c-2 , G=G(M)+G(T)-2(s-2)-2 . Pošto smo pretpostavili da je teorema tačna za i za odvojeno, onda S(MT)+S(M)+S(T)=(B(M)+ GM2 -1)+B(T)+ GT2 -1)=(B(M)+ B(T))+( GM2+HT2)-2 =G(MT)-(c-2)+ B(MT) +2(c-2)+22 -2= G(MT)+ B(MT)2-1 .Tako je Pick formula dokazana.

2.4 Proučavanje površina poligona.

2) Na kariranom papiru sa ćelijama dimenzija 1 cm x 1 cm je prikazano Nađite njegovu površinu u kvadratnim centimetrima.
Slika	Prema formuli geometrije	Prema Pickovoj formuli
	S=12ah Str.ABD=1/2 AD ∙ BD=1/2 ∙ 2 ∙ 1=1 Str.BDC=1/2 DC ∙ BD=1/2 ∙ 3 ​​∙ 1=1,5 Str.ABC=Str.BDC-Str.ABD= 1,5-1=0,5	S= V+G2-1 G=3 ;V=0. S=0+3/2-1=0,5

3) Na kariranom papiru prikazan je kvadrat sa ćelijama dimenzija 1 cm x 1 cm. Pronađite njegovu površinu u kvadratnim centimetrima.
Slika	Prema formuli geometrije	Prema Pickovoj formuli
	S=a∙b Kv.KMNE=7 ∙ 7=49 Str.AKB=1/2 ∙ KB ∙ AK=1/2 ∙ 4 ∙ 4=8 Str.AKB=Str.DCE=8 Str.AND= 1/2 ∙ ND ∙ AN=1/2 ∙ 3 ​​∙ 3=4,5 Str.AND=Str.BMC=4.5 Spr.= Kv.KMNE- Ul.AKB- Ul.DCE- Ul.AND- Ul.BMC=49-8-8-4.5-4.5=24	S= V+G2-1 D=14, Š=19. S=18+14/2-1=24

4) Na kariranom papiru sa ćelijama dimenzija 1 cm x 1 cm je prikazano
Slika	Prema formuli geometrije	Prema Pickovoj formuli
	S1= 12a∙b=1/2∙7∙1= 3,5 S2= 12a∙b=1/2∙7∙2=7 S3= 12a∙b=1/2∙4∙1=2 S4= 12a∙b=1/2∙5∙1=2,5 S5=a²=1²=1 Kv.= a²=7²=49 S=49-3,5-7-2-2,5-1=32cm²	S= V+G2-1 D=5, V=31. S=31+ 42 -1=32cm²
5) Na kariranom papiru sa ćelijama dimenzija 1 cm x 1 cm četiri kvadrata. Pronađite njegovu površinu u kvadratnim centimetrima.
	S= a b a=36+36=62 b=9+9=32 S = 62 ∙ 32 = 36 cm 2	S= V+G2-1 D=18, V=28 S=28+ 182 -1=36cm 2
6) Na kariranom papiru sa ćelijama dimenzija 1 cm x 1 cm je prikazano četiri kvadrata. Pronađite njegovu površinu u kvadratnim centimetrima
	S1= 12a∙b=1/2∙3∙3=4.5 S2= 12a∙b=1/2∙6∙6=18 S3= 12a∙b=1/2∙3∙3=4.5 S=4,5+18+4,5=27 cm²	S= V+G2-1 D=18, Š=28. S=28+ 182 -1=36cm²
7) Na kariranom papiru sa ćelijama dimenzija 1 cm x 1 cm je prikazano četiri kvadrata. Pronađite njegovu površinu u kvadratnim centimetrima
	S1= 12a∙b=1/2∙3∙3=4.5 S2= 12a∙b=1/2∙6∙6=18 S3= 12a∙b=1/2∙3∙3=4.5 S4= 12a∙b=1/2∙6∙6=18 Kv.=9²=81cm² S=81-4,5-18-4,5-18=36cm²	S= V+G2-1 D=18, Š=28. S=28+ 182 -1=36cm²

8) Na kariranom papiru sa ćelijama dimenzija 1 cm x 1 cm je prikazano četiri kvadrata. Pronađite njegovu površinu u kvadratnim centimetrima
Slika	Prema formuli geometrije	Prema Pickovoj formuli
	S1= 12a∙b=1/2∙2∙4=4 S2= 12ah =1/2 ∙ 4 ∙ 4=8 S3= 12ah =1/2 ∙ 8 ∙ 2=8 S4= 12ah =1/2 ∙ 4 ∙ 1=2 Spr.= a∙ b=6 ∙ 8=48 S5=48-4-8-8-2=24 cm²	S= G+V2-1 D=16, Š=17. S=17+ 162 -1=24 cm²

Zaključak

1. Uspoređujući rezultate u tablicama i dokazujući Pickov teorem, došao sam do zaključka da je površina figure izračunate pomoću Pickove formule jednaka površini figure izračunate pomoću izvedene formule planimetrije

Tako se moja hipoteza pokazala tačnom.

III.Geometrijski zadaci sa praktičnim sadržajem.

Pick formula će nam također pomoći da riješimo geometrijske probleme sa praktičnim sadržajem.

Zadatak 9. Pronađite područje šuma(u m²), prikazano na planu sa kvadratnom mrežom 1 × 1 (cm) u skali od 1 cm - 200 m (Sl. 10)

Rješenje.

Rice. 10 V \u003d 8, G \u003d 7. S \u003d 8 + 7/2 - 1 = 10,5 (cm²)

1 cm² - 200² m²; S = 40.000 10.5 = 420.000 (m²)

Odgovor: 420.000 m²

Zadatak 10 . Pronađite površinu polja (u m²) prikazanu na planu s kvadratnom mrežom 1 × 1 (cm) na skali od 1 cm - 200 m. (Sl. 11)

Rješenje. Nađimo S površinu četverokuta prikazanog na kariranom papiru koristeći Peak formulu: S = B + - 1

V \u003d 7, D \u003d 4. S \u003d 7 + 4/2 - 1 \u003d 8 (cm²)

Rice. 11 1 cm² - 200² m²; S = 40000 8 = 320 000 (m²)

Odgovor: 320.000 m²

Zaključak

U procesu istraživanja proučavala sam referentnu, naučnopopularnu literaturu, naučila kako raditi u programu Notebook. Saznao sam to

Problem pronalaženja površine poligona sa vrhovima u čvorovima mreže inspirisao je austrijskog matematičara Pika 1899. da dokaže divnu Pick formulu.

Kao rezultat svog rada proširio sam svoja znanja o rješavanju zadataka na kariranom papiru, odredio sam sebi klasifikaciju problema koji se proučavaju i uvjerio se u njihovu raznolikost.

Naučio sam kako izračunati površine poligona nacrtanih na kariranom listu. Razmatrani zadaci imaju različit nivo poteškoće - od jednostavnih do olimpijadskih. Među njima svako može pronaći zadatke izvodljivog nivoa složenosti, počevši od kojih će se moći preći na rješavanje težih.

Došao sam do zaključka da je tema koja me zanima dosta višestruka, zadaci na kariranom papiru su raznovrsni, metode i tehnike rješavanja istih su također raznolike. Stoga sam odlučio da nastavim raditi u ovom pravcu.

Književnost

1. Geometrija na kariranom papiru. Mali MEHMAT MSU.

2. Zharkovskaya N. M., Riss E. A. Karirana geometrija papira. Pickova formula // Matematika, 2009, broj 17, str. 24-25.

3. Zadaci otvorena banka zadaci iz matematike FIPI, 2010 - 2011

4.V.V.Vavilov, A.V.Ustinov Poligoni na rešetkama.M.MTsNMO, 2006.

5. Tematske studije.etudes.ru

6. L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomcev i dr. Geometrija. 7-9 razredi. M. Prosvjeta, 2010

Tekst rada je postavljen bez slika i formula.
Puna verzija rad je dostupan u kartici "Radni fajlovi" u PDF formatu

Uvod

Ja sam učenik 6. razreda. Geometriju sam počeo da učim od prošle godine, jer u školi učim po udžbeniku „Matematika. Aritmetika. Geometrija” priredio E.A. Bunimović, L.V. Kuznjecova, S.S. Minaeva i drugi.

Najveću pažnju su mi privukle teme "Kvadrati figura", "Kompilacija formula". Primijetio sam da se mogu naći područja istih figura Različiti putevi. U svakodnevnom životu često se suočavamo s problemom pronalaženja područja. Na primjer, pronađite površinu poda koju želite obojiti. Zanimljivo je, uostalom, da biste kupili potrebnu količinu tapeta za renoviranje, morate znati veličinu prostorije, tj. područje zida. Izračunavanje površine kvadrata, pravokutnika i pravokutnog trokuta nije mi izazvalo nikakve poteškoće.

Zaintrigiran ovom temom, počeo sam tražiti dodatni materijal na internetu. Kao rezultat pretraživanja, naišao sam na formulu Pick - ovo je formula za izračunavanje površine poligona nacrtanog na kariranom papiru. Računanje površine pomoću ove formule činilo mi se pristupačnim svakom učeniku. Zato sam odlučio istraživački rad.

Relevantnost teme:

Ova tema je dopuna i produbljivanje proučavanja kursa geometrije.

Proučavanje ove teme pomoći će vam da se bolje pripremite za olimpijade i ispite.

Cilj:

Upoznajte se sa Pick formulom.

Savladajte tehnike rješavanja geometrijskih problema koristeći Pick formulu.

Sistematizirati i generalizirati teorijske i praktične materijale.

Ciljevi istraživanja:

Provjerite djelotvornost i svrsishodnost primjene formule u rješavanju problema.

Naučite kako primijeniti Pick formulu na probleme različite složenosti.

Uporedite probleme riješene korištenjem Pick formule i tradicionalnim načinom.

Glavni dio

1.1. Istorijat

Georg Alexander Pick je austrijski matematičar rođen 10. avgusta 1859. On je bio darovito dijete, podučavao ga je otac, koji je vodio privatni institut. Sa 16 godina Georg je završio srednju školu i upisao se na Univerzitet u Beču. Sa 20 godina dobio je pravo da predaje fiziku i matematiku. Formula za određivanje površine rešetke poligona donijela mu je svjetsku slavu. Svoju formulu je objavio u članku 1899. Postao je popularan kada ga je poljski naučnik Hugo Steinhaus uključio 1969. godine u publikaciju matematičkih slika.

Georg Pieck se školovao na Univerzitetu u Beču i doktorirao 1880. Nakon što je doktorirao, postavljen je za asistenta Ernesta Macha na Univerzitetu Scherl-Ferdinand u Pragu. Tamo je postao učitelj. U Pragu je ostao do penzionisanja 1927. godine, a zatim se vratio u Beč.

Pick je predsjedavao komitetom njemačkog univerziteta u Pragu koji je imenovao Ajnštajna za profesora matematičke fizike 1911.

Izabran je za člana Češke akademije nauka i umjetnosti, ali je izbačen nakon što su nacisti zauzeli Prag.

Kada su nacisti 12. marta 1938. ušli u Austriju, vratio se u Prag. U martu 1939. nacisti su napali Čehoslovačku. Pik je 13. jula 1942. deportovan u logor Theresienstadt koji su osnovali nacisti u sjevernoj Bohemiji, gdje je umro dvije sedmice kasnije u 82. godini.

1.2. Istraživanje i dokaz

Započeo sam svoj istraživački rad postavljanjem pitanja: koje oblasti figura mogu pronaći? Mogao bih napraviti formulu za izračunavanje površine raznih trokuta i četverokuta. Ali šta je sa pet-, šest- i uopšte sa poligonima?

U toku istraživanja na raznim stranicama vidio sam rješenja problema za izračunavanje površine pet, šest i drugih poligona. Formula za rješavanje ovih problema nazvana je Pikova formula. Ona izgleda ovako :S =B+G/2-1, gdje AT- broj čvorova koji leže unutar poligona, G- broj čvorova koji leže na granici poligona. Posebnost ove formule je da se može primijeniti samo na poligone nacrtane na kariranom papiru.

Svaki takav poligon može se lako podijeliti na trokute sa vrhovima na čvorovima rešetke, koji ne sadrže čvorove ni unutar ni sa strane. Može se pokazati da su površine svih ovih trokuta jednake i jednake ½, pa je stoga površina poligona jednaka polovini njihovog broja T.

Da bismo pronašli ovaj broj, sa n označavamo broj strana poligona sa AT- broj čvorova unutar njega, kroz G je broj čvorova na stranama, uključujući vrhove. Ukupan zbir uglova svih trouglova je 180°. T.

Sada pronađimo zbir na drugačiji način.

Zbir uglova sa vrhom u bilo kom unutrašnjem čvoru je 2,180°, tj. ukupan zbir uglova je 360°. AT; ukupan zbir uglova u čvorovima na stranama, ali ne i na vrhovima je ( g. n)180°, a zbir uglova na vrhovima poligona bit će jednak ( G- 2)180°. Na ovaj način, T= 2.180°. B+(G-n)180°+(n -2)180 °. Proširivanjem zagrada i dijeljenjem za 360°, dobijamo formulu za površinu S poligona, poznatu kao Pikova formula.

2. Praktični dio

Odlučio sam provjeriti ovu formulu na zadacima iz kolekcije OGE-2017. Uzeo sam zadatke da izračunam površinu trokuta, četvorougla i petougla. Odlučio sam da uporedim odgovore, rešavajući na dva načina: 1) Dodao sam figure pravougaoniku i oduzeo površinu pravougaonih trouglova od površine dobijenog pravougaonika; 2) primijenio formulu Peak.

S = 18-1,5-4,5 = 12 i S = 7+12/2-1= 12

S = 24-9-3 = 12 i S = 7+12/2-1 = 12

S = 77-7,5-12-4,5-4 = 49 i S = 43+14/2-1 = 49

Upoređujući rezultate, zaključujem da obje formule daju isti odgovor. Pronalaženje površine figure pomoću formule Peak pokazalo se bržim i lakšim, jer je bilo manje izračunavanja. Lakoća odlučivanja i ušteda vremena na proračunima će mi biti od koristi u budućnosti prilikom polaganja OGE.

To me je navelo da testiram mogućnost primjene Pick formule na složenije figure.

S = 0 + 4/2 -1 = 1

S \u003d 5 + 11 / 2-1 \u003d 9,5

S=4+16/2-1=1

Zaključak

Pickova formula je laka za razumijevanje i korištenje. Prvo, dovoljno je znati brojati, dijeliti sa 2, sabirati i oduzimati. Drugo, možete pronaći područje i složenu figuru bez trošenja puno vremena. Treće, ova formula radi za bilo koji poligon.

Nedostatak je što je Pick Formula primjenjiva samo za figure koje su nacrtane na kariranom papiru, a vrhovi leže na čvorovima ćelija.

Siguran sam da pri polaganju završnih ispita problemi za izračunavanje površine figura neće uzrokovati poteškoće. Uostalom, već sam upoznat sa Pick formulom.

Bibliografija

Bunimovich E.A., Dorofeev G.V., Suvorova S.B. itd. Matematika. Aritmetika. Geometrija. 5. razred: udžbenik. za opšte obrazovanje organizacije sa aplikacijom. na elektron. nosilac -3. izd.-M.: Prosvjeta, 2014.- 223, str. : ill. - (Sfere).

Bunimović E.A., Kuznjecova L.V., Minaeva S.S. itd. Matematika. Aritmetika. Geometrija. 6. razred: udžbenik. za opšte obrazovanje organizacije-5. izd.-M.: Obrazovanje, 2016.-240s. : ilustr.- (Spheres).

Vasiliev N.B. Oko formule Pick. //Quantum.- 1974.-№2. -str.39-43

Rassolov V.V. Problemi u planimetriji. / 5. izd., ispravljeno. I extra. - M.: 2006.-640s.

I.V. Yaschenko OGE. Matematika: tipične ispitne opcije: O-39 36 opcija - M .: Nacionalna prosvetna izdavačka kuća, 2017. -240 str. - (OGE. FIPI-škola).

"Rešiću OGE": matematika. Sistem obuke Dmitrija Guščina. OGE-2017: zadaci, odgovori, rješenja [ Elektronski resurs]. Način pristupa: https://oge.sdamgia.ru/test?id=6846966 (pristupljeno 04.02.2017.)

Bibliografski opis: Tatjanenko A. A., Tatjanenko S. A. Izračunavanje površina figura prikazanih na kockastom papiru // Mladi naučnik. 2016. br. 3..03.2019.).



U pripremi za glavnu državni ispit Susreo sam se sa zadacima u kojima je potrebno izračunati površinu figure prikazane na kockastom listu papira. U pravilu, ovi zadaci ne uzrokuju velike poteškoće ako je figura trapez, paralelogram ili trokut. Dovoljno je znati formule za izračunavanje površina ovih figura, prebrojati broj ćelija i izračunati površinu. Ako je figura neki proizvoljni poligon, onda se ovdje moraju koristiti posebni trikovi. Zainteresovao sam se ovu temu. Naravno, pojavila su se pitanja: gde unutra Svakodnevni život može li biti problema s izračunavanjem površina na kariranom papiru? Šta je posebno u takvim zadacima? Postoje li druge metode ili univerzalna formula za izračunavanje površina geometrijskih oblika prikazanih na kariranom papiru?

Proučavanje posebne literature i internetskih izvora pokazalo je da postoji univerzalna formula koja vam omogućava da izračunate površinu figure prikazane na ćeliji. Ova formula se zove Pikova formula. Međutim, u okviru školskog nastavnog plana i programa, ova formula se ne razmatra, uprkos jednostavnosti upotrebe i dobijanja rezultata. Štaviše, sproveo sam anketu među prijateljima i kolegama iz razreda (u dva oblika: u ličnom razgovoru i u na društvenim mrežama), koji je pohađalo 43 učenika iz škola grada Tobolska. Ova anketa je pokazala da samo jedna osoba (učenik 11. razreda) poznaje formulu Peak za izračunavanje površina.

Neka je zadan pravougaoni koordinatni sistem. U ovom sistemu, razmotrite poligon koji ima cjelobrojne koordinate. AT edukativna literatura tačke sa celobrojnim koordinatama nazivaju se čvorovi. Štaviše, poligon ne mora biti konveksan. I neka se traži da odredi njegovu površinu.

Mogući su sljedeći slučajevi.

1. Figura je trokut, paralelogram, trapez:

1) brojeći ćelije, morate pronaći visinu, dijagonale ili strane koje su potrebne za izračunavanje površine;

2) zamijenite pronađene vrijednosti u formulu površine.

Na primjer, želite izračunati površinu figure prikazane na slici 1 s veličinom ćelije od 1 cm x 1 cm.

Rice. 1. Trougao

Rješenje. Brojimo ćelije i nalazimo: . Prema formuli dobijamo: .

2 Slika je poligon

Ako je figura poligon, onda je moguće koristiti sljedeće metode.

Metoda particije:

1) razbiti poligon na trouglove, pravougaonike;

2) izračunati površine dobijenih figura;

3) naći zbir svih površina dobijenih figura.

Na primjer, potrebno je izračunati površinu figure prikazane na slici 2 s veličinom ćelije od 1 cm sa 1 cm metodom particioniranja.

Rice. 2. Poligon

Rješenje. Postoji mnogo načina za podjelu. Razbićemo figuru pravokutnih trouglova i pravougaonik kao što je prikazano na slici 3.

Rice. 3. Poligon. Metoda particije

Površine trouglova su: , , , površina pravougaonika je . Zbrajanjem površina svih figura dobijamo:

Dodatni način izgradnje

1) dovršite figuru u pravougaonik

2) pronađite površine dobijenih dodatnih figura i površinu samog pravokutnika

3) oduzmite površine svih "dodatnih" figura od površine pravougaonika.

Na primjer, potrebno je izračunati površinu figure prikazane na slici 2 s veličinom ćelije od 1 cm sa 1 cm pomoću dodatne metode konstrukcije.

Rješenje. Napravimo našu figuru u pravougaonik kao što je prikazano na slici 4.

Rice. 4. Poligon. Metoda komplementa

Površina velikog pravougaonika je , pravougaonik koji se nalazi unutar - , površine "ekstra" trouglova - , , tada je površina željene figure .

Prilikom izračunavanja površina poligona na kariranom papiru moguće je koristiti drugu metodu, koja se zove Pick formula, po imenu naučnika koji ju je otkrio.

Peak Formula

Neka poligon nacrtan na kariranom papiru ima samo cjelobrojne vrhove. Tačke za koje su obje koordinate cijeli brojevi nazivaju se čvorovi rešetke. Štaviše, poligon može biti i konveksan i nekonveksan.

Površina poligona sa cjelobrojnim vrhovima je , gdje je B broj cjelobrojnih tačaka unutar poligona, a G broj cjelobrojnih tačaka na granici poligona.

Na primjer, za poligon prikazan na slici 5.

Rice. 5. Čvorovi u Pickovoj formuli

Na primjer, želite izračunati površinu figure prikazane na slici 2 s veličinom ćelije od 1 cm x 1 cm koristeći Pick formulu.

Rice. 6. Poligon. Peak Formula

Rješenje. Prema slici 6: V=9, G=10, onda prema formuli Peak imamo:

Ispod su primjeri nekih zadataka koje je autor razvio za izračunavanje površina figura prikazanih na kariranom papiru.

1. In vrtić djeca su izradila aplikacije za svoje roditelje kao poklon (slika 7). Pronađite područje primjene. Veličina svake ćelije je 1cm 1cm.

Rice. 7. Stanje problema 1

2. Na hektar sastojine smreke može da stane do 32 tone prašine godišnje, bora - do 35 tona, brijesta - do 43 tone, hrasta - do 50 tona, bukve - do 68 tona.Izračunajte koliko tona prašine koja će šuma smrče zadržati za 5 godina. Plan šume smreke prikazan je na slici 8 (razmjer 1 cm - 200 m).

Rice. 8. Stanje problema 2

3. Khanty i Mansi ornamentima dominiraju geometrijski motivi. Često postoje stilizirane slike životinja. Na slici 9 prikazan je fragment mansijskog ornamenta "Zečje uši". Izračunajte površinu zasjenjenog dijela ornamenta.

Rice. 9. Stanje problema 3

4. Potrebno je farbati zid fabričke zgrade (Sl. 10). Izračunajte potrebnu količinu boje na bazi vode (u litrima). Potrošnja boje: 1 litar na 7 kvadratnih metara. metara Skala 1cm - 5m.

Rice. 10. Stanje problema 4

5. Zvjezdani poligon - ravna geometrijska figura sastavljena od trouglastih zraka koje izlaze zajednički centar spajanje u tački konvergencije. posebnu pažnju zaslužuje petokraka zvijezda- pentagram. Pentagram je simbol savršenstva, inteligencije, mudrosti i ljepote. Ovo je najjednostavniji oblik zvijezde, koji se može prikazati jednim potezom olovke, nikada je ne otrgnuvši od papira i u isto vrijeme nikada ne idući dvaput po istoj liniji. Nacrtajte zvijezdu petokraku bez podizanja olovke sa lista kockastog papira, tako da svi uglovi rezultirajućeg poligona budu na čvorovima ćelije. Izračunajte površinu rezultirajuće figure.

Nakon analize matematičke literature i analize veliki broj primjerima na temu istraživanja došao sam do zaključka da izbor metode za izračunavanje površine figure na kariranom papiru ovisi o obliku figure. Ako je lik trokut, pravougaonik, paralelogram ili trapez, onda je zgodno koristiti poznate formule za izračunavanje površina. Ako je figura konveksni poligon, tada je moguće koristiti i metodu particije i metodu sabiranja (u većini slučajeva metoda sabiranja je prikladnija). Ako je figura nekonveksan ili zvjezdani poligon, onda je prikladnije primijeniti Pick formulu.

Pošto je Pickova formula univerzalna formula za izračunavanje površina (ako su vrhovi poligona u tačkama rešetke), onda se može koristiti za bilo koju figuru. Međutim, ako poligon zauzima dovoljno veliku površinu (ili su ćelije male), postoji velika vjerovatnoća da se napravi greška u proračunu čvorova rešetke. Općenito, u toku studije došao sam do zaključka da prilikom rješavanja ovakvih problema u OGE je bolji koristite tradicionalne metode (particije ili dodavanja) i provjerite rezultat koristeći Pick formulu.

književnost:

1. Vavilov VV, Ustinov AV Poligoni na rešetkama. - M.: MTSNMO, 2006. - 72 str.
2. Vasiliev I. N. Oko formule Pika // Popularno naučno-fizičko-matematički časopis "Kvant". - 1974. - br. 12. Način pristupa: http://kvant.mccme.ru/1974/12/vokrug_formuly_pika.htm
3. Zharkovskaya N., Riss E. Geometrija kariranog papira. Peak formula. // Prvi septembar. Matematika. - 2009. - br. 23. - str.24,25.

Vikirječnik ima unos za "pika" Pika U vojnim poslovima: Pika hladno probijajuće oružje, vrsta dugog koplja. Pikinari su vrsta pešadije u evropskim vojskama 16. i ranog 18. veka. Pickelhelm (str ... Wikipedia

Pickova teorema (kombinatorna geometrija)- V=7, G=8, V + G/2 − 1= 10 Pikova teorema je klasičan rezultat kombinatorne geometrije i geometrije brojeva. Površina poligona sa cijelim brojem ... Wikipedia

Trougao- Ovaj izraz ima druga značenja, pogledajte Trougao (značenja). Trougao (u Euklidskom prostoru) je geometrijska figura formirana od tri segmenta koji spajaju tri nelinearne tačke. Tri tačke, ... ... Wikipedia

Trapez- Ovaj izraz ima druga značenja, pogledajte Trapez (značenja). Trapez (od drugog grčkog τραπέζιον "stol"; ... Wikipedia

Četvorougao- ČETVRTOKUGLI ┌─────────────┼──────────────┐ nekonveksan konveksan samopresijecajući ... Wikipedia

Bigon- Pravilan digon na površini kugle Digon u geometriji je ... Wikipedia

Pentagon- Pravilni pentagon (pentagon) Pentagon je poligon sa pet uglova. Svaki objekat ovog oblika naziva se i pentagon. Količina internih ... Wikipedia

Hexagon- Pravilni šestougao Šestougao je poligon sa šest uglova. Svaki predmet ovog oblika naziva se i šesterokut. Zbir unutrašnjih uglova konveksnog šestougla p ... Wikipedia

Dodekagon- Tačan dvanaestougao Dodekagon (grčki ... Wikipedia

Pravougaonik Paralelogramski pravougaonik u kojem su svi uglovi pravi uglovi (jednaki 90 stepeni). Bilješka. U euklidskoj geometriji, da bi četvorougao bio pravougaonik, dovoljno je da su mu najmanje tri ugla prava. Četvrti ugao (na osnovu ... Wikipedije

Knjige

• Efekat platoa. Kako probiti stagnaciju i nastaviti dalje, Sullivan B.
• Matematički klub "Kengur". Broj 8. Matematika na kariranom papiru,. Broj je posvećen raznim zadacima i igrama vezanim za list kariranog papira. Konkretno, detaljno opisuje izračunavanje površine poligona čiji se vrhovi nalaze u ...

Poligon bez samopresecanja naziva se poligon rešetke ako su svi njegovi vrhovi u tačkama sa celobrojnim koordinatama (u Dekartovom koordinatnom sistemu).

Pikova teorema

Formula

Neka je dat neki rešetkasti poligon sa nenultom površinom.

Označimo njegovu površinu sa ; broj tačaka sa celobrojnim koordinatama koje leže striktno unutar poligona; broj točaka sa cjelobrojnim koordinatama koje leže na stranama poligona - kroz .

Tada je relacija pozvana Pikova formula:

Konkretno, ako su vrijednosti I i B poznate za neki poligon, tada se njegova površina može izračunati kao , čak i bez poznavanja koordinata njegovih vrhova.

Ovu vezu je otkrio i dokazao austrijski matematičar Georg Alexander Pick 1899. godine.

Dokaz

Dokaz se izvodi u nekoliko faza: od najjednostavnijih figura do proizvoljnih poligona:

Generalizacija na više dimenzije

Nažalost, ova jednostavna i lijepa Pickova formula ne generalizira se dobro na veće dimenzije.

To je jasno pokazao Reeve, koji je 1957. godine predložio da se razmotri tetraedar (sada nazvan Reeve tetraedar) sa sljedećim vrhovima:

gdje je bilo koji prirodan broj. Tada ovaj tetraedar, za bilo koji, ne sadrži unutar bilo koje točke s cijelim koordinatama, a na njegovoj granici postoje samo četiri točke , , , i nema drugih. Dakle, volumen i površina ovog tetraedra mogu biti različiti, dok je broj tačaka unutar i na granici nepromijenjen; stoga, Pikova formula ne dozvoljava generalizacije čak ni na trodimenzionalni slučaj.

Ipak, još uvijek postoji neka slična generalizacija na prostore viših dimenzija, jeste Earhart polinomi(Ehrhartov polinom), ali su vrlo složeni i ne zavise samo od broja tačaka unutar i od granice figure.