Linearne nejednakosti sa jednom varijablom. Jednačine i nejednačine sa jednom varijablom. Teoreme ekvivalencije

Sa jednom varijablom: koje su ekvivalentne nejednakosti; koje su transformacije nejednakosti ekvivalentne, a koje nisu. O ovim pitanjima smo raspravljali na predmetu algebra, počevši od 8. razreda, a u ovom udžbeniku su već obrađena, na primjer, prilikom rješavanja eksponencijalnih i logaritamskih nejednačina. Ponovo se vraćamo na ova pitanja jer, završavamo studiju školski kurs algebre, preporučljivo je, takoreći, preispitati opšte ideje i metode.

1. Ekvivalencija nejednakosti

Podsjetimo da je rješenje nejednakosti a(x) > n(x) bilo koja vrijednost varijabla x, koji zadatu nejednakost sa promenljivom pretvara u važeću numeričku nejednakost. Ponekad se koristi izraz djelomično rješenje. Skup svih posebnih rješenja nejednakosti naziva se općim rješenjem, ali se češće koristi termin rješenje. Dakle, termin odluka se koristi u tri značenja: i kao opšta odluka, i kao posebna odluka, i kao proces, ali obično je iz značenja jasno šta je u pitanju.

Definicija 1. Dvije nejednačine s jednom promjenljivom f(x)>g(x) i p(x)>h(x) nazivaju se ekvivalentnim ako se njihova rješenja (tj. skupovi određenih rješenja) poklapaju.

Naravno, razumete da je upotreba znaka > u definiciji neprincipijelna. Moguće je koristiti bilo koji drugi znak nejednakosti, strog i nestrog, kako u ovoj definiciji, tako iu svim izjavama u ovom dijelu.

Definicija 2. Ako je rješenje nejednakosti

sadržano je u rješenju nejednačine

tada se nejednakost (2) naziva posljedicom nejednakosti (1)

Na primjer, nejednakost x 2 >9 je posljedica nejednakosti 2x>6. Zaista, pretvaranjem prve nejednakosti u oblik x 2 -9 > 0, a zatim u oblik (x-3) (x + 3) > 0 i primjenom metode intervala (Sl. 245), nalazimo da je rješenje za nejednakost je unija dva otvorena zraka: Rješenje druge nejednačine 2x>6 ima oblik x>3, tj. je otvorena zraka Rješenje druge nejednačine dio je rješenja prve nejednačine, pa je stoga prva nejednačina posljedica druge.
Zanimljivo je da se situacija radikalno mijenja ako se promijeni znak nejednakosti u obje nejednakosti. Nejednakost 2x< 6 будет следствием неравенства x 2 < 9. В самом деле, решением первого неравенства служит открытый луч . Преобразовав второе неравенство к виду х r - 9 <0 и далее к виду (х-3)(х+3) <06 применив метод интервалов (см. рис. 245), получаем, что решением неравенства служит интервал (-3, 3). Решение второго неравенства является частью решения первого неравенства, а потому первое неравенство - следствие второго.

Sadržaj lekcije sažetak lekcije podrška okvir prezentacije lekcije akcelerativne metode interaktivne tehnologije Vježbajte zadaci i vježbe samoispitivanje radionice, treninzi, slučajevi, potrage domaća zadaća diskusija pitanja retorička pitanja učenika Ilustracije audio, video i multimedija fotografije, slike grafike, tabele, šeme humor, anegdote, vicevi, strip parabole, izreke, ukrštene reči, citati Dodaci sažetakačlanci čipovi za radoznale cheat sheets udžbenici osnovni i dodatni glosar pojmova ostalo Poboljšanje udžbenika i lekcijaispravljanje grešaka u udžbeniku ažuriranje fragmenta u udžbeniku elementi inovacije u lekciji zamjena zastarjelih znanja novim Samo za nastavnike savršene lekcije kalendarski plan za godinu metodološke preporuke programa diskusije Integrisane lekcije X i domenu definicije X. Zatim nejednakost oblika f(x) > g(x) ili f(x) < g(x) se zove nejednakost sa jednom promenljivom . Gomila X pozvao njegovo područje definicije.

Varijabilna vrijednost X od mnogih X, pri čemu se nejednakost pretvara u pravu numeričku nejednakost, naziva se njezin odluka. Rješavanje nejednačine znači pronalaženje skupa njenih rješenja.

Koncept ekvivalencije je u osnovi rješenja nejednakosti s jednom promjenljivom.

Dve nejednakosti se nazivaju ekvivalentan ako su njihovi skupovi rješenja jednaki.

Teoreme o ekvivalenciji nejednačina i njihove posljedice slične su odgovarajućim teoremama o ekvivalenciji jednačina. Prilikom njihovog dokazivanja koriste se svojstva pravih numeričkih nejednačina.

Teorema 1. Neka je nejednakost f(x) > g(x) je definiran na skupu X i h(x) je izraz definiran na istom skupu. Zatim nejednakosti f(x) > g(x) i f(x) + h(x) > g(x)+ h(x) su ekvivalentni na skupu X.

Iz ove teoreme slijedi posljedice, koji se često koriste pri rješavanju nejednačina:

1) Ako su oba dijela nejednakosti f(x) > g(x) dodati isti broj d, tada dobijamo nejednakost f(x) + d > g(x)+d, što je ekvivalentno originalu.

2) Ako se bilo koji pojam (ili izraz sa promjenljivom) prenese iz jednog dijela nejednakosti u drugi, mijenjajući predznak člana u suprotan, onda se dobija nejednakost ekvivalentna datoj.

Teorema 2. Neka je nejednakost f(x) > g(x) je definiran na skupu X i h(x X od mnogih X izraz h(x) uzima pozitivne vrijednosti. Zatim nejednakosti f(x) > g(x) i f(x) × h(x) > g(x) ×h(x) su ekvivalentni na skupu X.

Korolar slijedi iz ove teoreme: ako su obje strane nejednakosti f(x) > g(x) pomnožite sa istim pozitivnim brojem d, tada dobijamo nejednakost f(x) × d > g(x) × d, što je ekvivalentno datom.

Teorema 3. Neka je nejednakost f(x) > g(x) je definiran na skupu X i h(x) je izraz definiran na istom skupu i za sve X od mnogih X izraz h(x) uzima negativne vrijednosti. Zatim nejednakosti f(x) > g(x) i f(x) × h(x) < g(x) ×h(x) su ekvivalentni na skupu X.

Iz ove teoreme slijedi posljedica: ako su obje strane nejednakosti f(x) > g(x) pomnoži sa istim negativan broj d i obrnemo znak nejednakosti, dobijamo nejednakost f(x) × d < g(x) × d, što je ekvivalentno datom.

Zadatak. Je broj X= 5 rješenje nejednačine 2 X+ 7 > 10 - x, xO R? Pronađite skup rješenja ove nejednakosti.

Odluka. Broj X= 5 je rješenje nejednakosti
2X + 7 > 10 - X, budući da je 2×5 + 7 > 10 - 5 prava brojčana nejednakost. A skup njegovih rješenja je interval (1; ¥), koji se nalazi izvođenjem transformacije nejednakosti 2 X+ 7 > 10 - XÞ 3X> 3 Þ X > 1.

Zadatak. Riješite nejednačinu 5 X- 5 < 2X+ 16 i opravdati sve transformacije koje će se izvršiti u procesu rješavanja.

Odluka.

Transformacije	Obrazloženje za transformacije
1. Pomjerimo izraz 2 X lijevo, a broj -5 desno, mijenjajući svoje predznake u suprotne: 5 X- 2X < 16 + 5.	Koristili smo korolar 2 iz teoreme 3 i dobili nejednakost ekvivalentnu originalnoj.
2. Predstavljamo slične članove na lijevoj i desnoj strani nejednakosti: 3 X < 21.	Izvršene identične transformacije izraza u lijevom i desnom dijelu nejednakosti - nisu narušile ekvivalentnost nejednakosti: date i originalne.
3. Podijelite obje strane nejednakosti sa 3: X < 7.	Koristili smo korolar iz teoreme 4 i dobili nejednakost ekvivalentnu originalnoj.

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci se odnose na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju određena osoba ili veze sa njim.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, mi možemo prikupiti razne informacije uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Prikupljeno od nas lična informacija nam omogućava da vas kontaktiramo i informišemo o tome jedinstvene ponude, promocije i drugi događaji i nadolazeći događaji.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke kako bismo vam poslali važna obavještenja i komunikacije.
• Također možemo koristiti lične podatke za interne svrhe kao što su revizija, analiza podataka i razne studije da poboljšamo usluge koje pružamo i da vam damo preporuke u vezi sa našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskom procedurom, u parnica, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva od vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno u svrhe sigurnosti, provođenja zakona ili u druge svrhe od javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše lične podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlašćenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i striktno provodimo praksu privatnosti.

LEKCIJA: "RJEŠAVANJE NEJEDINAČINA SA JEDNOM VARIJABLOM"

Stvar: Algebra
Predmet: Rješavanje nejednačina s jednom varijablom

Ciljevi lekcije:

edukativni:

organizovati aktivnosti učenika u opažanju, razumijevanju i primarnom učvršćivanju pojmova kao što su rješenje nejednakosti sa jednom varijablom, ekvivalentna nejednačina, rješavanje nejednakosti; provjeriti sposobnost učenika da primjene znanja i vještine stečene na prethodnim časovima za rješavanje zadataka na ovom času.

edukativni:

razviti interesovanje za matematiku kroz korišćenje IKT u praksi; obrazovati kognitivne potrebe učenika; formirati takve lične kvalitete kao što su odgovornost, istrajnost u postizanju ciljeva, nezavisnost.

Tokom nastave

I. Organizacioni momenat

II. Ispitivanje zadaća(Ažuriranje osnovnih znanja)

1. Koristeći koordinatnu liniju, pronađite presek praznina: a) (1;8) i (5;10); b) (-4;4) i [-6;6]; c) (5;+∞) i [-∞;4]

Odgovor: a) (1; 5); b) (-4; 4); c) nema raskrsnica

2. Zapišite praznine prikazane na slici:

2)

3)

Odgovor: 1) (2; 6); b) (-1; 7]; c) .

Primjer 3, riješi nejednačinu 3(x-1)<-4+3х.

Otvorimo zagrade na lijevoj strani nejednakosti: 3x-3<-4+3х.

Prenosimo pojam 3x sa suprotnim predznacima s desne strane na lijevu, a pojam -3 s lijeve strane na desnu i dajemo slične pojmove: 3x-3x<-4+3,

Kao što vidite, ova numerička nejednakost nije istinita ni za jednu vrijednost x. To znači da naša nejednakost sa jednom varijablom nema rješenja.

Sprava za obuku

Riješite nejednačinu i označite njeno rješenje:

f) 7x-2.4<0,4;

h) 6b-1<12-7b;

i) 16x-44>x+1;

k) 5(x-1)+7≤1-3(x+2);

l) 6y-(y+8)-3(2-y)>2.

Odgovor: a) (-8; +∞); b) [-1,5; +∞ ); c) (5; +∞); d) (-∞; 3); e) (-∞; -0,25); f) (-∞; 0,4); g) [-5; +∞); h) (-∞; 1); i) (3; +∞); j) ; l) (2; +∞).

IV. nalazi

Rješenje nejednakosti s jednom promjenljivom je vrijednost varijable koja je pretvara u pravu numeričku nejednakost. Rješavanje nejednakosti znači pronaći sva njena rješenja ili dokazati da rješenja nema. Nejednačine koje imaju ista rješenja nazivaju se ekvivalentnim. Nejednakosti koje nemaju rješenja također se smatraju ekvivalentnim. Ako se oba dijela nejednakosti pomnože ili podijele istim negativnim brojem, a predznak nejednakosti promijeni u suprotan. U ostalim slučajevima ostaje isto.

V. Završno testiranje

1) Rješenje nejednačine s jednom promjenljivom naziva se ...

a) vrijednost varijable, koja je pretvara u pravu nejednakost;

b) vrijednost varijable koja je pretvara u važeći broj

nejednakost;

c) varijabla koja je pretvara u pravu numeričku nejednakost.

2) Koji od brojeva su rješenje nejednačine 8+5y>21+6y:

a) 2 i 5 b) -1 i 8 c) -12 i 1 d) -15 i -30?

3) Navedite skup rješenja nejednakosti 4(x+1)>20:

a) (-∞; 4); b) (4; +∞); u) )