Kružna jednačina. Jednadžba kružnice i prave linije. Pokažite da ova jednačina definira krug na mreži

klasa: 8

Svrha lekcije: uvesti jednačinu kruga, naučiti učenike da nacrtaju jednačinu kruga prema gotovom crtežu, grade krug prema datoj jednačini.

Oprema: interaktivna tabla.

Plan lekcije:

1. Organizacioni trenutak - 3 min.
2. Ponavljanje. Organizacija mentalne aktivnosti - 7 min.
3. Objašnjenje novog materijala. Izvođenje kružnice - 10 min.
4. Konsolidacija proučenog gradiva - 20 min.
5. Sažetak lekcije - 5 min.

Tokom nastave

2. Ponavljanje:

− (Dodatak 1 slajd 2) zapisati formulu za pronalaženje koordinata sredine segmenta;

− (Slajd 3) Z napišite formulu za rastojanje između tačaka (dužinu segmenta).

3. Objašnjenje novog materijala.

(Slajdovi 4 - 6) Definirajte jednadžbu kružnice. Izvedite jednadžbe kružnice sa centrom u tački ( a;b) i centrirano na ishodištu.

(X – a ) 2 + (at – b ) 2 = R 2 − kružna jednačina sa centrom With (a;b) , radijus R , X i at – koordinate proizvoljne tačke na kružnici .

X 2 + y 2 = R 2 je jednadžba kružnice sa središtem na početku.

(Slajd 7)

Da biste napisali jednačinu kruga, potrebno vam je:

• znati koordinate centra;
• znati dužinu radijusa;
• zamijenite koordinate centra i dužinu polumjera u jednadžbu kružnice.

4. Rješavanje problema.

U zadacima br. 1 - br. 6 nacrtajte jednadžbe kruga prema gotovim crtežima.

(Slajd 14)

№ 7. Popunite tabelu.

(Slajd 15)

№ 8. Konstruišite krugove u svesci date jednadžbama:

a) ( X – 5) 2 + (at + 3) 2 = 36;
b) (X + 1) 2 + (at– 7) 2 = 7 2 .

(Slajd 16)

№ 9. Pronađite koordinate centra i dužinu poluprečnika if AB je prečnik kruga.

Dato:		Odluka:
		R	Koordinate centra
1	ALI(0 ; -6) AT(0 ; 2)	AB 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; AB 2 = 64; AB = 8 .	ALI(0; -6) AT(0 ; 2) With(0 ; – 2) – Centar
2	ALI(-2 ; 0) AT(4 ; 0)	AB 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; AB 2 = 36; AB = 6.	ALI (-2;0) AT (4 ;0) With(1 ; 0) – Centar

(Slajd 17)

№ 10. Napišite jednačinu kružnice sa središtem u ishodištu koja prolazi kroz tačku To(-12;5).

Odluka.

R2 = OK 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R= 13;

Jednačina kružnice: x 2 + y 2 = 169 .

(Slajd 18)

№ 11. Napišite jednačinu za kružnicu koja prolazi kroz ishodište i sa središtem u tački With(3; - 1).

Odluka.

R2= OS 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;

Jednačina kruga: ( X - 3) 2 + (y + 1) 2 = 10.

(Slajd 19)

№ 12. Napišite jednačinu kružnice sa centrom ALI(3;2) prolazeći AT(7;5).

Odluka.

1. Centar kruga - ALI(3;2);
2.R = AB;
AB 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; AB = 5;
3. Jednačina kružnice ( X – 3) 2 + (at − 2) 2 = 25.

(Slajd 20)

№ 13. Proverite da li tačke leže ALI(1; -1), AT(0;8), With(-3; -1) na krugu datom jednadžbom ( X + 3) 2 + (at − 4) 2 = 25.

Odluka.

I. Zamijenite koordinate tačke ALI(1; -1) u jednadžbu kruga:

(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 \u003d 25 - jednakost je netočna, što znači ALI(1; -1) ne laže na krugu datom jednadžbom ( X + 3) 2 + (at − 4) 2 = 25.

II. Zamijenite koordinate tačke AT(0;8) u jednadžbu kružnice:

(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
AT(0;8)laži X + 3) 2 + (at − 4) 2 = 25.

III. Zamijenite koordinate tačke With(-3; -1) u jednadžbu kruga:

(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 - jednakost je tačna, dakle With(-3; -1) laži na krugu datom jednadžbom ( X + 3) 2 + (at − 4) 2 = 25.

Sažetak lekcije.

1. Ponavljanje: jednačina kružnice, jednačina kružnice sa središtem u početku.
2. (Slajd 21) Zadaća.

obim je skup tačaka u ravni jednako udaljenih od date tačke, koja se naziva središte.

Ako je tačka C centar kružnice, R njen poluprečnik, a M proizvoljna tačka na kružnici, onda po definiciji kružnice

Jednakost (1) je kružna jednačina poluprečnik R sa centrom u tački C.

Neka su pravougaoni Dekartov koordinatni sistem (slika 104) i tačka C ( a; b) je centar kružnice poluprečnika R. Neka M( X; at) je proizvoljna tačka ovog kruga.

Od |CM| = \(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \), tada se jednačina (1) može napisati na sljedeći način:

\(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \) = R

(x-a) 2 + (y - b) 2 = R 2 (2)

Jednačina (2) se zove opšta jednačina kružnice ili jednačina kružnice poluprečnika R sa središtem u tački ( a; b). Na primjer, jednadžba

(x - l) 2 + ( y + 3) 2 = 25

je jednadžba kružnice polumjera R = 5 sa centrom u tački (1; -3).

Ako se centar kruga poklapa sa ishodištem, onda jednačina (2) poprima oblik

x 2 + at 2 = R 2 . (3)

Jednačina (3) se zove kanonska jednadžba kruga .

Zadatak 1. Napišite jednačinu za kružnicu poluprečnika R = 7 sa centrom u početku.

Direktnom zamjenom vrijednosti radijusa u jednačinu (3), dobijamo

x 2 + at 2 = 49.

Zadatak 2. Napišite jednačinu za kružnicu polumjera R = 9 sa centrom u tački C(3; -6).

Zamjenom vrijednosti koordinata tačke C i vrijednosti radijusa u formulu (2), dobijamo

(X - 3) 2 + (at- (-6)) 2 = 81 ili ( X - 3) 2 + (at + 6) 2 = 81.

Zadatak 3. Pronađite centar i polumjer kružnice

(X + 3) 2 + (at-5) 2 =100.

Upoređujući ovu jednačinu sa opštom kružnom jednačinom (2), vidimo da a = -3, b= 5, R = 10. Dakle, S(-3; 5), R = 10.

Zadatak 4. Dokažite da je jednačina

x 2 + at 2 + 4X - 2y - 4 = 0

je jednačina kružnice. Pronađite njegov centar i polumjer.

Transformirajmo lijevu stranu ove jednadžbe:

x 2 + 4X + 4- 4 + at 2 - 2at +1-1-4 = 0

(X + 2) 2 + (at - 1) 2 = 9.

Ova jednačina je jednačina kružnice sa centrom na (-2; 1); poluprečnik kruga je 3.

Zadatak 5. Napišite jednačinu kružnice sa centrom u tački C(-1; -1) koja dodiruje pravu liniju AB ako je A (2; -1), B(-1; 3).

Napišimo jednačinu prave AB:

ili 4 X + 3y-5 = 0.

Pošto je kružnica tangenta na datu pravu, poluprečnik povučen do tačke dodira je okomit na ovu pravu. Da biste pronašli radijus, morate pronaći udaljenost od tačke C (-1; -1) - središta kruga do prave linije 4 X + 3y-5 = 0:

Napišimo jednačinu željenog kruga

(x +1) 2 + (y +1) 2 = 144 / 25

Neka je kružnica data u pravougaonom koordinatnom sistemu x 2 + at 2 = R 2 . Razmotrimo njegovu proizvoljnu tačku M( X; at) (Sl. 105).

Neka je radijus vektor OM> tačka M formira ugao veličine t sa pozitivnim smjerom O ose X, tada se apscisa i ordinata tačke M mijenjaju ovisno o t

(0 t x i y kroz t, mi nalazimo

x= Rcos t ; y= R sin t , 0 t

Jednačine (4) se nazivaju parametarske jednadžbe kružnice sa središtem u početku.

Zadatak 6. Krug je dat jednadžbama

x= \(\sqrt(3)\)cos t, y= \(\sqrt(3)\)sin t, 0 t

Napišite kanonsku jednačinu za ovaj krug.

To proizilazi iz uslova x 2 = 3 cos 2 t, at 2 = 3 sin 2 t. Sabirajući ove jednakosti pojam po član, dobijamo

x 2 + at 2 = 3 (cos 2 t+ grijeh 2 t)

ili x 2 + at 2 = 3

Tema lekcije: Kružna jednačina

Ciljevi lekcije:

edukativni: Izvesti jednadžbu kružnice, razmatrajući rješenje ovog problema kao jednu od mogućnosti primjene koordinatnog metoda.

biti u mogućnosti da:

– Prepoznati jednačinu kruga prema predloženoj jednačini, naučiti učenike da sastave jednačinu kruga prema gotovom crtežu, grade krug prema zadatoj jednačini.

obrazovne : Formiranje kritičkog mišljenja.

obrazovne : Razvijanje sposobnosti davanja algoritamskih propisa i sposobnosti postupanja u skladu sa predloženim algoritmom.

biti u mogućnosti da:

– Pogledajte problem i planirajte načine da ga riješite.

– Rezimirajte svoja razmišljanja usmeno i pismeno.

Vrsta lekcije: asimilaciju novih znanja.

Oprema Enterijer: računar, multimedijalni projektor, platno.

Plan lekcije:

1. Uvodni govor - 3 min.

2. Ažuriranje znanja - 2 min.

3. Prikaz problema i njegovo rješenje -10 min.

4. Frontalno pričvršćivanje novog materijala - 7 min.

5. Samostalni rad u grupama - 15 min.

6. Prezentacija rada: diskusija - 5 min.

7. Rezultat lekcije. Domaća zadaća - 3 min.

Tokom nastave

Svrha ove faze: Psihološko raspoloženje učenika; Uključivanje svih učenika u proces učenja, stvaranje situacije uspjeha.

1. Organiziranje vremena.

3 minute

Momci! Upoznali ste krug još u 5. i 8. razredu. Šta znaš o njoj?

Znate mnogo, a ovi podaci se mogu koristiti u rješavanju geometrijskih zadataka. Ali za rješavanje problema u kojima se koristi koordinatna metoda, to nije dovoljno.Zašto?

Apsolutno u pravu.

Stoga je glavni cilj današnje lekcije izvući jednadžbu kružnice iz geometrijskih svojstava date prave i primijeniti je na rješavanje geometrijskih zadataka.

Pusti tomoto lekcije riječi srednjoazijskog naučnika-enciklopediste Al-Birunija postaće: „Znanje je najizvrsnije od posjeda. Svi teže tome, ali ne dolazi samo od sebe.”

Zapišite temu lekcije u svesku.

Definicija kruga.

Radijus.

Prečnik.

Akord. itd.

Još ne znamo opšti oblik jednačine kružnice.

Učenici navode sve što znaju o krugu.

slajd 2

slajd 3

Svrha etape je steći predodžbu o kvalitetu učenja gradiva od strane učenika, utvrditi osnovna znanja.

2. Ažuriranje znanja.

2 minute

Prilikom izvođenja jednačine kružnice trebat će vam već poznata definicija kružnice i formula koja vam omogućava da pronađete udaljenost između dvije točke po njihovim koordinatama.Prisjetimo se ovih činjenica /Pponavljanje gradiva prethodno studirao/:

– Zapišite formulu za pronalaženje koordinata sredine segmenta.

– Zapišite formulu za izračunavanje dužine vektora.

– Zapišite formulu za pronalaženje udaljenosti između tačaka (dužina segmenta).

Uređivanje zapisa...

Geometrijski trening.

Dati bodoviA (-1; 7) iU (7; 1).

Izračunajte koordinate sredine segmenta AB i njegovu dužinu.

Provjerava ispravnost izvođenja, ispravlja proračune...

Jedan učenik za tablom, a ostali zapisuju formule u sveske

Krug je geometrijska figura koja se sastoji od svih tačaka koje se nalaze na određenoj udaljenosti od date tačke.

| AB | \u003d √ (x - x) ² + (y - y) ²

M(x;y), A(x;y)

Izračunaj: C (3; 4)

| AB | = 10

With ležati 4

slajd 5

3. Formiranje novih znanja.

12 minuta

Svrha: formiranje pojma - jednadžba kruga.

Riješite problem:

Krug sa centrom A(x; y) je konstruisan u pravougaonom koordinatnom sistemu. M(x; y) - proizvoljna tačka kružnice. Pronađite polumjer kružnice.

Hoće li koordinate bilo koje druge tačke zadovoljiti ovu jednakost? Zašto?

Kvadirajmo obje strane jednadžbe.Kao rezultat, imamo:

r² \u003d (x - x) ² + (y - y) ² je jednadžba kruga, gdje su (x; y) koordinate centra kruga, (x; y) su koordinate proizvoljnog tačka koja leži na kružnici, r je poluprečnik kružnice.

Riješite problem:

Koja će biti jednačina kružnice sa centrom u ishodištu?

Dakle, šta trebate znati da napišete jednačinu kruga?

Predložite algoritam za sastavljanje kružne jednačine.

Zaključak: ... zapišite u svesku.

Radijus je segment koji povezuje centar kružnice sa proizvoljnom tačkom koja leži na kružnici. Dakle, r \u003d | AM | \u003d √ (x - x)² + (y - y)²

Bilo koja tačka na kružnici leži na toj kružnici.

Učenici pišu u sveske.

(0;0)-koordinate centra kruga.

x² + y² = r², gdje je r polumjer kružnice.

Koordinate centra kružnice, poluprečnika, bilo koje tačke na kružnici...

Predlažu algoritam...

Zapišite algoritam u svesku.

slajd 6

Slajd 7

Slajd 8

Nastavnik zapisuje jednačinu na tabli.

Slajd 9

4. Primarno pričvršćivanje.

23 minuta

Cilj:reprodukcija od strane učenika gradiva za koje je upravo uočeno da sprečava gubitak formiranih ideja i koncepata. Konsolidacija novih znanja, ideja, koncepata na osnovu njihaplikacije.

ZUN kontrola

Primijenimo stečena znanja u rješavanju sljedećih zadataka.

Zadatak: Iz predloženih jednačina navedite brojeve onih koji su jednačine kruga. A ako je jednadžba jednadžba kruga, navedite koordinate centra i naznačite polumjer.

Ne definira svaka jednačina drugog stepena sa dvije varijable kružnicu.

4x² + y² \u003d 4-jednadžba elipse.

x²+y²=0-dot.

x² + y² \u003d -4-ova jednadžba ne definira nijednu cifru.

Momci! Šta trebate znati da biste napisali jednačinu za krug?

Riješite problem broj 966, str 245 (udžbenik).

Nastavnik poziva učenika do table.

Da li su podaci navedeni u uvjetu zadatka dovoljni da se napravi jednadžba za krug?

Zadatak:

Napišite jednačinu za kružnicu sa centrom u nultu i prečnika 8.

Zadatak : crta krug.

Centar ima koordinate?

Odredite radijus... i izgradite

Zadatak na strani 243 (udžbenik) razumije se usmeno.

Koristeći plan rješavanja problema sa str.243 riješite problem:

Napišite jednačinu kružnice sa centrom u tački A(3;2) ako kružnica prolazi kroz tačku B(7;5).

1) (x-5) ² + (y-3) ² \u003d 36 - jednadžba kruga; (5; 3), r \u003d 6.

2) (x-1)² + y² \u003d 49 - jednadžba kruga; (1; 0), r = 7.

3) x² + y² \u003d 7 - jednadžba kruga; (0; 0), r = √7.

4) (x + 3)² + (y-8)² \u003d 2- kružna jednačina; (-3;8),r=√2.

5) 4x² + y² \u003d 4 nije jednadžba kruga.

6) x² + y² = 0- nije jednačina kružnice.

7) x² + y² = -4- nije jednačina kružnice.

Znati koordinate centra kruga.

Dužina radijusa.

Zamijenite koordinate centra i dužinu polumjera u opću jednadžbu kružnice.

Riješi zadatak broj 966 str.245 (udžbenik).

Dosta podataka.

Oni rješavaju problem.

Pošto je prečnik kružnice dvostruko veći od njegovog poluprečnika, onda je r=8÷2=4. Dakle, x² + y² = 16.

Izvršite konstrukciju krugova

Rad u udžbeniku. Zadatak na strani 243.

Dato je: A (3; 2) - centar kruga; V(7;5)ê(A;r)

Nađi: kružna jednačina

Rješenje: r² \u003d (x - x)² + (y - y)²

r² \u003d (x -3)² + (y -2)²

r = AB, r² = AB²

r² =(7-3)²+(5-2)²

r²=25

(x -3)² + (y -2)² \u003d 25

Odgovor: (x -3)² + (y -2)² \u003d 25

slajd 10-13

Rješavanje tipičnih problema izgovaranjem rješenja glasnim govorom.

Nastavnik poziva jednog učenika da zapiše rezultirajuću jednačinu.

Povratak na slajd 9

Diskusija o planu za rješavanje ovog problema.

Slajd. petnaest. Nastavnik poziva jednog učenika na ploču da riješi ovaj problem.

slajd 16.

slajd 17.

5. Sažetak lekcije.

5 minuta

Refleksija aktivnosti u učionici.

Domaći zadatak: §3, tačka 91, kontrolna pitanja br. 16,17.

Zadaci br. 959 (b, d, e), 967.

Zadatak za dodatnu procjenu (problemski zadatak): Konstruirati kružnicu zadanu jednačinom

x² + 2x + y² -4y = 4.

O čemu smo pričali na času?

Šta ste željeli dobiti?

Šta je bila svrha lekcije?

Koje zadatke može riješiti naše "otkriće"?

Ko od vas veruje da ste ostvarili cilj koji je nastavnik postavio na času za 100%, za 50%; nije postigao cilj...?

Ocjenjivanje.

Zapišite domaći.

Učenici odgovaraju na pitanja nastavnika. Provesti samoprocjenu vlastitog učinka.

Učenici treba da izraze u jednoj riječi rezultat i načine kako da ga postignu.

Jednačina prave na ravni

Hajde da prvo uvedemo koncept jednačine prave u dvodimenzionalnom koordinatnom sistemu. Neka se u Kartezijanskom koordinatnom sistemu konstruiše proizvoljna prava $L$ (slika 1).

Slika 1. Proizvoljna linija u koordinatnom sistemu

Definicija 1

Jednačina s dvije varijable $x$ i $y$ naziva se jednadžbom prave $L$ ako je ova jednačina zadovoljena koordinatama bilo koje tačke koja pripada pravoj $L$ i nije zadovoljena nijednom tačkom koja ne pripada pravoj linija $L.$

Kružna jednačina

Izvedemo jednadžbu kružnice u Kartezijanskom koordinatnom sistemu $xOy$. Neka centar kružnice $C$ ima koordinate $(x_0,y_0)$ i poluprečnik kružnice jednak $r$. Neka je tačka $M$ sa koordinatama $(x,y)$ proizvoljna tačka ovog kruga (slika 2).

Slika 2. Krug u kartezijanskim koordinatama

Udaljenost od centra kružnice do tačke $M$ izračunava se na sljedeći način

Ali, pošto $M$ leži na kružnici, dobijamo $CM=r$. Onda dobijamo sledeće

Jednačina (1) je jednačina kružnice sa centrom u tački $(x_0,y_0)$ i polumjeru $r$.

Konkretno, ako se centar kruga poklapa sa ishodištem. Tada jednačina kružnice ima oblik

Jednačina prave linije.

Izvedemo jednačinu prave $l$ u Dekartovom koordinatnom sistemu $xOy$. Neka tačke $A$ i $B$ imaju koordinate $\left\(x_1,\ y_1\right\)$ i $\(x_2,\ y_2\)$, respektivno, i tačke $A$ i $B $ se biraju tako da prava $l$ bude okomita simetrala na segment $AB$. Biramo proizvoljnu tačku $M=\(x,y\)$ koja pripada pravoj $l$ (slika 3).

Pošto je prava $l$ okomita simetrala na segment $AB$, tačka $M$ je jednako udaljena od krajeva ovog segmenta, odnosno $AM=BM$.

Nađite dužine ovih stranica koristeći formulu za udaljenost između tačaka:

Dakle

Označiti sa $a=2\left(x_1-x_2\desno),\ b=2\left(y_1-y_2\right),\ c=(x_2)^2+(y_2)^2-(x_1)^2 -(y_1)^2$, Dobijamo da jednačina prave linije u Kartezijanskom koordinatnom sistemu ima sljedeći oblik:

Primjer problema za pronalaženje jednačina pravih u kartezijanskom koordinatnom sistemu

Primjer 1

Naći jednačinu kružnice sa centrom u tački $(2,\ 4)$. Prolazi kroz ishodište i prava linija paralelna sa $Ox,$ osom koja prolazi kroz njen centar.

Odluka.

Nađimo prvo jednačinu date kružnice. Da bismo to učinili, koristit ćemo opću jednadžbu kruga (izvedenu gore). Pošto centar kružnice leži u tački $(2,\ 4)$, dobijamo

\[((x-2))^2+((y-4))^2=r^2\]

Pronađite poluprečnik kružnice kao rastojanje od tačke $(2,\ 4)$ do tačke $(0,0)$

Dobijamo da jednačina kružnice ima oblik:

\[((x-2))^2+((y-4))^2=20\]

Nađimo sada jednadžbu kružnice koristeći specijalni slučaj 1. Dobijamo