Kada slušaju nastavnika matematike, većina učenika gradivo doživljava kao aksiom. Istovremeno, malo ljudi pokušava doći do dna i shvatiti zašto "minus" na "plus" daje znak "minus", a kada se množe dva negativna broja, izlazi pozitivan.

Zakoni matematike

Većina odraslih nije u stanju da objasni sebi ili svojoj djeci zašto se to događa. Oni su temeljno učili ovo gradivo u školi, ali nisu ni pokušali da otkriju odakle takva pravila. Ali uzalud. Često moderna djeca nisu toliko lakovjerna, treba da dođu do dna stvari i razumiju, recimo, zašto “plus” na “minus” daje “minus”. A ponekad dječaci namjerno postavljaju škakljiva pitanja kako bi uživali u trenutku kada odrasli ne mogu dati razumljiv odgovor. I zaista je katastrofa ako mladi učitelj upadne u nevolju...

Usput, treba napomenuti da gore navedeno pravilo vrijedi i za množenje i za dijeljenje. Proizvod negativnog i pozitivnog broja dat će samo minus. Ako govorimo o dvije znamenke sa znakom "-", tada će rezultat biti pozitivan broj. Isto važi i za podjelu. Ako je jedan od brojeva negativan, tada će i količnik biti sa znakom "-".

Da bi se objasnila ispravnost ovog zakona matematike, potrebno je formulisati aksiome prstena. Ali prvo morate razumjeti šta je to. U matematici je uobičajeno da se prstenom naziva skup u kojem su uključene dvije operacije sa dva elementa. Ali bolje je ovo razumjeti na primjeru.

Aksiom prstena

Postoji nekoliko matematičkih zakona.

• Prvi od njih je pomjenjiv, po njemu, C + V = V + C.
• Drugi se naziva asocijativnim (V + C) + D = V + (C + D).

Množenje (V x C) x D \u003d V x (C x D) također ih poštuje.

Niko nije poništio pravila po kojima se otvaraju zagrade (V + C) x D = V x D + C x D, istina je i da je C x (V + D) = C x V + C x D.

Osim toga, ustanovljeno je da se u prsten može uvesti poseban, adicijski neutralan element, pomoću kojeg će vrijediti: C + 0 = C. Osim toga, za svaki C postoji suprotan element, koji može biti označen kao (-C). U ovom slučaju, C + (-C) \u003d 0.

Derivacija aksioma za negativne brojeve

Prihvatanjem gornjih tvrdnji možemo odgovoriti na pitanje: "Plus" na "minus" daje koji znak? Poznavajući aksiom o množenju negativnih brojeva, potrebno je potvrditi da je zaista (-C) x V = -(C x V). I takođe da je tačna sljedeća jednakost: (-(-C)) = C.

Da bismo to učinili, prvo moramo dokazati da svaki od elemenata ima samo jednog suprotnog "brata". Razmotrite sljedeći primjer dokaza. Pokušajmo zamisliti da su dva broja suprotna za C - V i D. Iz ovoga slijedi da je C + V = 0 i C + D = 0, odnosno C + V = 0 = C + D. Prisjećajući se zakona pomaka a o svojstvima broja 0, možemo razmotriti zbir sva tri broja: C, V i D. Pokušajmo odgonetnuti vrijednost V. Logično je da je V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, jer je vrijednost C + D, kako je prethodno prihvaćeno, jednaka 0. Dakle, V = V + C + D.

Vrijednost za D se izvodi na isti način: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Na osnovu ovoga postaje jasno da je V = D.

Da biste razumjeli zašto, ipak, "plus" na "minus" daje "minus", morate razumjeti sljedeće. Dakle, za element (-C), suprotnosti su C i (-(-C)), odnosno jednaki su jedan drugom.

Tada je očito da je 0 x V = (C + (-C)) x V = C x V + (-C) x V. Iz ovoga slijedi da je C x V suprotno od (-) C x V , što znači (- C) x V = -(C x V).

Za potpunu matematičku strogost, također je potrebno potvrditi da je 0 x V = 0 za bilo koji element. Ako slijedite logiku, tada je 0 x V = (0 + 0) x V = 0 x V + 0 x V. To znači da dodavanje proizvoda 0 x V ni na koji način ne mijenja postavljeni iznos. Na kraju krajeva, ovaj proizvod je jednak nuli.

Poznavajući sve ove aksiome, moguće je zaključiti ne samo koliko daje "plus" sa "minusom", već i šta se dešava kada se negativni brojevi pomnože.

Množenje i dijeljenje dva broja sa znakom "-".

Ako ne ulazite u matematičke nijanse, onda možete pokušati objasniti pravila djelovanja s negativnim brojevima na jednostavniji način.

Pretpostavimo da je C - (-V) = D, na osnovu ovoga, C = D + (-V), odnosno C = D - V. Prenosimo V i dobijamo da je C + V = D. To jest, C + V = C - (-V). Ovaj primjer objašnjava zašto u izrazu u kojem postoje dva "minusa" u nizu, pomenute znakove treba promijeniti u "plus". Sada se pozabavimo množenjem.

(-C) x (-V) \u003d D, dva identična proizvoda se mogu dodati i oduzeti izrazu, koji neće promijeniti njegovu vrijednost: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) \u003d D.

Sjećajući se pravila za rad sa zagradama, dobijamo:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

Iz ovoga slijedi da je C x V \u003d (-C) x (-V).

Slično, možemo dokazati da će rezultat dijeljenja dva negativna broja biti pozitivan.

Opća matematička pravila

Naravno, takvo objašnjenje nije prikladno za osnovce koji tek počinju da uče apstraktne negativne brojeve. Bolje im je da objašnjavaju na vidljivim objektima, manipulišući poznatim pojmom kroz ogledalo. Na primjer, tamo se nalaze izmišljene, ali ne postojeće igračke. Mogu se prikazati sa znakom "-". Umnožavanje dva zrcalna objekta prenosi ih u drugi svijet, koji je izjednačen sa sadašnjošću, odnosno kao rezultat imamo pozitivne brojeve. Ali množenje apstraktnog negativnog broja pozitivnim daje samo svima poznat rezultat. Uostalom, "plus" pomnožen sa "minus" daje "minus". Istina, djeca se ne trude previše da uđu u sve matematičke nijanse.

Iako, ako se suočite sa istinom, za mnoge ljude, čak i sa visokim obrazovanjem, mnoga pravila ostaju misterija. Svi uzimaju zdravo za gotovo ono što ih uče njihovi nastavnici, ne libeći se da se udube u svu složenost kojom je matematika bremenita. "Minus" na "minus" daje "plus" - svi znaju za ovo bez izuzetka. Ovo vrijedi i za cijele i za razlomke.

Linija UMK G.K. Muravina, O.V. Muravina. matematika (5-6)

Matematika

Zašto minus puta minus uvijek daje plus?

Prednosti prirodnih brojeva

Prvo, zaronimo u istoriju aritmetike. Sasvim je prirodno da su ljudi na samom početku koristili samo prirodne brojeve - jedan, dva, tri itd. Korišteni su za izračunavanje stvarnog broja artikala. Upravo tako, odvojeno od svega, brojevi su bili beskorisni, pa su se počele pojavljivati ​​akcije uz pomoć kojih je postalo moguće operirati brojevima. Sasvim je logično da je dodavanje postalo najpotrebnije za osobu. Ova operacija je jednostavna i prirodna - postalo je lakše brojati broj stavki, sada nije bilo potrebno svaki put ponovo brojati - "jedan, dva, tri". Zamjena rezultata je sada moguća pomoću akcije "jedan plus dva jednako tri". Dodani su prirodni brojevi, a odgovor je bio i prirodan broj.

Množenje je u suštini bilo isto sabiranje. U praksi se i sada, na primjer, pri kupovini koristimo i sabiranje i množenje, kao što su to radili naši preci davno. Međutim, ponekad je bilo potrebno izvršiti operacije oduzimanja i dijeljenja. I brojevi nisu uvijek bili ekvivalentni – ponekad je broj od kojeg su oduzimali bio manji od broja koji je oduzet. Isto je i sa podjelom. Tako su se pojavili razlomci.

Pojava negativnih brojeva

Zapisi negativnih brojeva pojavili su se u indijskim dokumentima u 7. veku nove ere. Postoje stariji zapisi o ovoj matematičkoj "činjenici" u kineskim dokumentima.

U životu najčešće oduzimamo manji broj od većeg broja. Na primjer: imam 100 rubalja, kruh i mlijeko koštaju 65 rubalja; 100 - 65 = 35 rubalja promjena. Ako želim da kupim neki drugi proizvod čija je cena veća od mojih preostalih 35 rubalja, na primer, još jedno mleko, onda bez obzira koliko želim da ga kupim, nemam više novca, dakle, nemam ne trebaju negativni brojevi.

Međutim, nastavljajući da pričamo o savremenom životu, spomenimo kreditne kartice ili sposobnost mobilnog operatera da „uđe u minus“ prilikom pozivanja. Postaje moguće potrošiti više novca nego što imate, ali novac koji dugujete ne nestaje, već se upisuje u dug. I ovdje negativni brojevi već dolaze u pomoć: na kartici je 100 rubalja, kruh i dva mlijeka koštat će me 110 rubalja; nakon kupovine, moje stanje na kartici je -10 rubalja.

Praktično u iste svrhe, prvi put su počeli koristiti negativne brojeve. Kinezi su ih prvi koristili za zapisivanje dugova ili u međurješenjima jednačina. Ali upotreba je i dalje bila samo da dođemo do pozitivnog broja (međutim, kao što je naša otplata kreditnom karticom). Dugo odbacivanje negativnih brojeva bilo je olakšano činjenicom da oni nisu izražavali određene objekte. Deset novčića je deset novčića, evo ih, možete ih dodirnuti, možete kupiti robu s njima. Šta znači "minus deset novčića"? Oni se očekuju čak i ako je u pitanju dug. Nije poznato da li će ovaj dug biti vraćen, kao i da li će se „zabeleženi“ novčići pretvoriti u prave. Ako se pri rješavanju zadatka dobije negativan broj, smatralo se da je izašao pogrešan odgovor ili da ga uopće nema. Ovaj nepoverljivi stav se dugo zadržao među ljudima, čak je i Descartes (XVII vek), koji je napravio iskorak u matematici, smatrao negativne brojeve „lažnim“.

Zadaci priručnika omogućavaju vam da spriječite moguće poteškoće u savladavanju glavnih tema četvrte godine nastave matematike, pomažu u razvoju prostornih predstava, geometrijskog zapažanja učenika i formiranju vještina samokontrole.

Formiranje pravila za radnje sa negativnim brojevima

Razmotrimo jednačinu 9x-12=4x-2. Da biste riješili jednačinu, potrebno je članove s nepoznatim pomjeriti na jednu stranu, a poznate brojeve na drugu. Ovo se može uraditi na dva načina.

Prvi način.

Deo jednačine sa nepoznatom pomeramo ulevo, a ostale brojeve udesno. Ispada:

Odgovor pronađen. Za sve radnje koje smo trebali izvršiti, nikada nismo pribjegli korištenju negativnih brojeva.

Drugi način.

Sada prenosimo dio jednačine sa nepoznatom na desno, a preostale članove lijevo. Dobijamo:

Da bismo pronašli rješenje, moramo podijeliti jedan negativan broj drugim. Međutim, već smo dobili tačan odgovor u prethodnom rješenju - ovo je x jednako dva. Dakle, ostaje da se zaključi da je (-10)/(-5)=2.

Šta nam dokazuju ova dva načina rješavanja iste jednačine? Prvo što postaje jasno je kako je izvedena adekvatnost rada s negativnim brojevima - dobijeni odgovor bi trebao biti isti kao i kod rješavanja koristeći samo prirodne brojeve. Druga stvar je činjenica da više ne morate razmišljati o vrijednostima kako biste bez greške dobili nenegativan broj. Možete odabrati najpogodniji način rješavanja, posebno za složene jednadžbe. Radnje koje su omogućile da se ne razmišlja o nekim operacijama (šta treba učiniti da postoje samo prirodni brojevi; koji je broj veći da bi se od njega oduzeo itd.) postali su prvi koraci ka „apstrakciji“ matematike .

Naravno, nisu sva pravila djelovanja s negativnim brojevima formirana u isto vrijeme. Akumulirana su rješenja, generalizirani primjeri, na osnovu kojih su počeli postupno "izvlačiti" glavne aksiome. Sa razvojem matematike, sa izdavanjem novih pravila, pojavili su se novi nivoi apstrakcije. Na primjer, u devetnaestom vijeku je dokazano da cijeli brojevi i polinomi imaju mnogo toga zajedničkog, iako izgledaju drugačije. Svi se oni mogu sabirati, oduzimati i množiti. Pravila kojih se pridržavaju utiču na njih na jedan način. Što se tiče dijeljenja nekih cijelih brojeva drugim, ovdje "čeka" zanimljiva činjenica - odgovor neće uvijek biti cijeli broj. Isti zakon vrijedi i za polinome.

Tada su otkrivene mnoge druge zbirke matematičkih objekata na kojima je bilo moguće izvoditi takve operacije: formalni nizovi stepena, kontinuirane funkcije... Vremenom su matematičari otkrili da će nakon proučavanja svojstava operacija biti moguće primijeniti rezultate na sve ove kolekcije objekata. Isto važi i za modernu matematiku.

Još zanimljivih stvari:

• Karakteristike rada nastavnika matematike u školskoj 2018/2019.
• Tipične greške koje nastavnici prave kada predaju matematiku u osnovnoj školi
• Vannastavne aktivnosti iz matematike u osnovnoj školi

Čisto matematički pristup

Vremenom su matematičari identifikovali novi termin - prsten. Prsten je skup elemenata i operacija koje se na njima mogu izvesti. Pravila (sami aksiomi) kojima su akcije podložne, a ne priroda elemenata skupa, postaju fundamentalni. Kako bi se naglasila primat strukture koja nastaje nakon uvođenja aksioma, obično se koristi izraz „prsten“: prsten cijelih brojeva, prsten polinoma itd. Koristeći aksiome i polazeći od njih, može se otkriti nova svojstva prstenova.

Formuliramo pravila prstena, slično aksiomima operacija s cijelim brojevima, i dokazujemo da u bilo kojem prstenu množenje minusa sa minusom rezultira plusom.

Prsten je skup s dvije binarne operacije (svaka operacija uključuje dva elementa prstena), koji se tradicionalno nazivaju sabiranje i množenje, i sljedećim aksiomima:

Dodavanje prstenastih elemenata poštuje komutativne (A + B = B + A za bilo koje elemente A i B) i kombinacione (A + (B + C) = (A + B) + C) zakone; prsten ima poseban element 0 (adicijski neutralan) takav da je A + 0 = A, a za bilo koji element od A postoji suprotan element (označen (-A)) takav da je A + (-A) = 0;

Množenje se pridržava zakona kombinacije: A (B C) = (A B) C;

Zbrajanje i množenje povezani su sljedećim pravilima proširenja zagrada:

(A + B) C = A C + B C

A (B + C) = A B + A C.

Pojasnimo da prstenovi, u najopštijoj konstrukciji, ne zahtijevaju da množenje bude promjenjivo, niti njegova reverzibilnost (operacija dijeljenja nije uvijek moguća), niti postojanje jedinice – neutralnog elementa u odnosu na množenje. Ako uvedemo ove aksiome, dobićemo druge algebarske strukture, ali sa svim validnim teoremama dokazanim za prstenove.

Matematika. 6. razred. Radna sveska broj 1.

Radna sveska sadrži različite vrste zadataka za savladavanje i učvršćivanje novog gradiva, zadatke razvojne prirode, dodatne zadatke koji omogućavaju diferencirano učenje. Sveska se koristi u kombinaciji sa udžbenikom „Matematika. Razred 6 "(ur. A.G. Merzlyak, V.B. Polonsky, M.S. Yakir), koji je uključen u sistem obrazovnih i metodičkih kompleta" Algoritam uspjeha ".

Sljedeći korak je dokazati da je za bilo koje elemente A i B proizvoljnog prstena tačno sljedeće: (-A) B = -(A B) i (-(-A)) = A.

Iz ovoga dobijamo izjave o jedinicama:

(-1) 1 = -(1 1) = -1

(-1) (-1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1.

Zatim, moramo dokazati neke tačke. Prvo, potrebno je utvrditi postojanje samo jedne suprotnosti za svaki element. Pretpostavimo da element A ima dva suprotna elementa: B i C. To jest, A + B = 0 \u003d A + C. Analizirajmo zbir A + B + C. Koristeći komutativne i asocijativne zakone, kao i svojstva nula, dobijamo da je zbir jednak :

B:B=B+0=B+(A+C)=A+B+C

C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C.

Dakle, B = C.

Imajte na umu da su i A i (-(-A)) suprotni elementu (-A). Stoga zaključujemo da elementi A i (-(-A)) moraju biti jednaki.

one. (-A) B je suprotno od A B, pa je jednako -(A B).

Imajte na umu da je 0 · B = 0 za bilo koji element iz B.

0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B,

tako da dodavanje 0 B ne mijenja zbir. Ispada da je ovaj proizvod jednak nuli.

Zaista, zašto? Najlakši odgovor je: "Zato što su ovo pravila za rad s negativnim brojevima." Pravila koja učimo u školi i primjenjujemo ih kroz cijeli život. Međutim, udžbenici ne objašnjavaju zašto su pravila takva kakva jesu. Setili smo se - to je to, i više ne postavljamo pitanje.

A da pitamo...

Nekada su ljudima bili poznati samo prirodni brojevi: 1, 2, 3, ... Korišćeni su za brojanje pribora, plijena, neprijatelja itd. Ali sami brojevi su prilično beskorisni - morate znati rukovati njima. Sabiranje je jasno i razumljivo, a osim toga, zbir dva prirodna broja je i prirodan broj (matematičar bi rekao da je skup prirodnih brojeva zatvoren operacijom sabiranja). Množenje je, u stvari, isti sabirak ako govorimo o prirodnim brojevima. U životu često izvodimo radnje vezane za ove dvije operacije (na primjer, kada kupujemo, sabiramo i množimo), a čudno je pomisliti da su se naši preci rjeđe susreli s njima - sabiranje i množenje je čovječanstvo ovladalo jako dugo prije. Često je potrebno podijeliti jednu količinu drugom, ali ovdje rezultat nije uvijek izražen prirodnim brojem - tako su se pojavili razlomci.

Oduzimanje je, naravno, takođe neophodno. Ali u praksi, mi težimo da manji broj oduzmemo od većeg broja i nema potrebe za korištenjem negativnih brojeva. (Ako imam 5 bombona i dam 3 svojoj sestri, onda ću imati 5 - 3 = 2 bombona, ali ne mogu joj dati 7 bombona uz svu svoju želju.) Ovo može objasniti zašto ljudi nisu koristili negativne brojeve dugo vremena.


Negativni brojevi pojavljuju se u indijskim dokumentima iz 7. stoljeća nove ere; Kinezi su ih, očigledno, počeli koristiti nešto ranije. Korišćeni su za obračun dugova ili u srednjim proračunima da bi se pojednostavilo rešavanje jednačina - to je bio samo alat za dobijanje pozitivnog odgovora. Činjenica da negativni brojevi, za razliku od pozitivnih, ne izražavaju prisustvo nijednog entiteta, izazvala je snažno nepovjerenje. Ljudi u doslovnom smislu riječi izbjegavali su negativne brojeve: ako je problem dobio negativan odgovor, vjerovali su da odgovora uopće nema. Ovo nepoverenje je trajalo veoma dugo, pa ih je čak i Descartes, jedan od "osnivača" moderne matematike, nazvao "lažnim" (u 17. veku!).

Razmotrimo na primjer jednačinu 7x - 17 = 2x - 2. Može se riješiti na sljedeći način: pomaknite članove s nepoznatim na lijevu stranu, a ostatak udesno, dobićete 7x - 2x = 17 - 2, 5x = 15, x = 3. S ovim nismo ni naišli na negativne brojeve u rješenju.

Ali to se moglo uraditi na drugačiji način: pomeriti članove sa nepoznatim na desnu stranu i dobiti 2 - 17 = 2x - 7x, (-15) = (-5)x. Da biste pronašli nepoznati, trebate podijeliti jedan negativan broj drugim: x = (-15)/(-5). Ali tačan odgovor je poznat i ostaje da se zaključi da je (-15)/(-5) = 3.

Šta ovaj jednostavan primjer pokazuje? Prvo, postaje jasna logika koja je odredila pravila za radnje na negativne brojeve: rezultati ovih radnji moraju odgovarati odgovorima koji su dobijeni na drugačiji način, bez negativnih brojeva. Drugo, dozvoljavanjem upotrebe negativnih brojeva, oslobađamo se zamorne (ako se jednačina pokaže složenijom, s velikim brojem pojmova) traženja putanje rješenja u kojoj se sve radnje izvode samo na prirodnim brojevima. Štaviše, ne možemo više svaki put razmišljati o smislenosti veličina koje se pretvaraju - a ovo je već korak ka pretvaranju matematike u apstraktnu nauku.

Pravila za radnje na negativne brojeve nisu formirana odmah, već su postala generalizacija brojnih primjera koji su se javljali prilikom rješavanja primijenjenih problema. Općenito, razvoj matematike se može uvjetno podijeliti na faze: svaka sljedeća faza razlikuje se od prethodne po novom nivou apstrakcije u proučavanju objekata. Dakle, u 19. veku, matematičari su shvatili da celi brojevi i polinomi, uprkos svojoj spoljašnjoj različitosti, imaju mnogo zajedničkog: oba se mogu sabirati, oduzimati i množiti. Ove operacije poštuju iste zakone - i u slučaju brojeva i u slučaju polinoma. Ali dijeljenje cijelih brojeva međusobno, tako da rezultat opet budu cijeli brojevi, nije uvijek moguće. Isto vrijedi i za polinome.

Zatim su otkrivene druge kolekcije matematičkih objekata na kojima se takve operacije mogu izvoditi: formalni nizovi stepena, kontinuirane funkcije... Konačno, došlo se do razumijevanja da ako proučavate svojstva samih operacija, onda se rezultati mogu primijeniti na sve ove zbirke objekata (ovaj pristup je tipičan za svu modernu matematiku).

Kao rezultat toga, pojavio se novi koncept: prsten. To je samo gomila elemenata plus radnje koje se mogu izvršiti na njima. Osnovna pravila ovdje su samo pravila (nazivaju se aksiomi), koja su podložna radnjama, a ne prirodi elemenata skupa (evo ga, novi nivo apstrakcije!). Želeći da naglase da je važna struktura koja nastaje nakon uvođenja aksioma, matematičari kažu: prsten cijelih brojeva, prsten polinoma itd. Polazeći od aksioma mogu se izvesti i druga svojstva prstenova.

Formulisaćemo aksiome prstena (koji su, naravno, slični pravilima za operacije sa celim brojevima), a zatim ćemo dokazati da u bilo kom prstenu množenje minusa sa minusom rezultira plusom.

Prsten je skup s dvije binarne operacije (to jest, dva elementa prstena su uključena u svaku operaciju), koje se tradicionalno nazivaju zbrajanjem i množenjem, i sljedećim aksiomima:

Dodavanje prstenastih elemenata poštuje komutativne (A + B = B + A za bilo koje elemente A i B) i kombinacione (A + (B + C) = (A + B) + C) zakone; prsten ima poseban element 0 (adicijski neutralan) takav da je A + 0 = A, a za bilo koji element od A postoji suprotan element (označen (-A)) takav da je A + (-A) = 0;
- množenje se pridržava zakona kombinacije: A (B C) = (A B) C;
sabiranje i množenje su povezani sljedećim pravilima proširenja zagrade: (A + B) C = A C + B C i A (B + C) = A B + A C.

Napominjemo da prstenovi, u najopštijoj konstrukciji, ne zahtijevaju množenje da bi bilo promjenjivo, niti je invertibilno (tj. nije uvijek moguće podijeliti), niti zahtijeva postojanje jedinice - neutralnog elementa sa poštovanje množenja. Ako se uvedu ovi aksiomi, onda se dobijaju druge algebarske strukture, ali će u njima sve dokazane teoreme za prstenove biti tačne.

Dokažimo sada da je za bilo koje elemente A i B proizvoljnog prstena, prvo, (-A) B = -(A B), a drugo (-(-A)) = A. Ovo lako implicira izjave o jedinicama: (- 1) 1 = -(1 1) = -1 i (-1) (-1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1.

Da bismo to učinili, moramo utvrditi neke činjenice. Prvo ćemo dokazati da svaki element može imati samo jednu suprotnost. Zaista, neka element A ima dva suprotna elementa: B i C. To jest, A + B = 0 = A + C. Razmotrimo zbir A + B + C. Koristeći asocijativne i komutativne zakone i svojstvo nule, mi dobiti da je, s jedne strane, suma jednaka B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, a s druge strane, jednaka je C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Dakle, B = C.

Imajte na umu da su i A i (-(-A)) suprotnosti istog elementa (-A), tako da moraju biti jednaki.

Prva činjenica se dobija na sledeći način: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, odnosno (-A) B je suprotno od A B, pa je jednako - (A B).

Da budemo matematički rigorozni, objasnimo i zašto je 0·B = 0 za bilo koji element od B. Zaista, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. To jest, dodavanjem 0 B ne mijenja se zbir. Dakle, ovaj proizvod je jednak nuli.

A činjenicu da u prstenu postoji tačno jedna nula (uostalom, aksiomi kažu da takav element postoji, ali se ništa ne govori o njegovoj jedinstvenosti!), ostavićemo čitaocu kao jednostavnu vježbu.

Evgeny Epifanov

Minus i plus su znaci negativnih i pozitivnih brojeva u matematici. Oni djeluju sami sa sobom na različite načine, stoga je potrebno uzeti u obzir prilikom izvođenja bilo kakvih radnji s brojevima, na primjer, dijeljenje, množenje, oduzimanje, sabiranje itd. potpisati pravila. Bez ovih pravila nikada nećete moći riješiti čak ni najjednostavniji algebarski ili geometrijski problem. Bez poznavanja ovih pravila nećete moći učiti ne samo matematiku, već ni fiziku, hemiju, biologiju, pa čak i geografiju.

Razmotrimo detaljnije osnovna pravila znakova.

divizija.

Ako "plus" podelimo sa "minus", uvek dobijamo "minus". Ako "minus" podelimo sa "plus", uvek dobijamo i "minus". Ako "plus" podelimo sa "plus", dobijamo "plus". Ako podijelimo "minus" sa "minus", tada, začudo, dobijamo i "plus".

Množenje.

Ako pomnožimo "minus" sa "plus", uvijek dobijemo "minus". Ako pomnožimo "plus" sa "minus", uvek dobijamo i "minus". Ako pomnožimo "plus" sa "plus", onda ćemo dobiti pozitivan broj, odnosno "plus". Isto vrijedi i za dva negativna broja. Ako pomnožimo "minus" sa "minus", dobićemo "plus".

Oduzimanje i sabiranje.

Oni su zasnovani na drugim principima. Ako je negativni broj veći po apsolutnoj vrijednosti od našeg pozitivnog, onda će rezultat, naravno, biti negativan. Sigurno se pitate šta je modul i zašto je uopšte tu. Sve je vrlo jednostavno. Modul je vrijednost broja, ali bez predznaka. Na primjer -7 i 3. Modulo -7 će biti samo 7, a 3 će ostati 3. Kao rezultat, vidimo da je 7 veći, odnosno ispada da je naš negativni broj veći. Tako će izaći -7 + 3 \u003d -4. To se može učiniti još lakšim. Samo stavite pozitivan broj na prvo mjesto, i izaći će 3-7 = -4, možda je nekome razumljivije. Oduzimanje radi na potpuno isti način.

Učvrstiti sposobnost množenja prirodnih brojeva, običnih i decimalnih razlomaka;

Naučite množiti pozitivne i negativne brojeve;

Razvijati sposobnost rada u grupama

Razvijati radoznalost, interesovanje za matematiku; sposobnost razmišljanja i govora o nekoj temi.

Oprema: makete termometara i kućica, kartice za mentalno brojanje i probni rad, plakat sa pravilima znakova za množenje.

Motivacija

Učitelju . Danas počinjemo da istražujemo novu temu. Gradićemo novu kuću. Reci mi, šta određuje snagu kuće?

Sada da provjerimo šta je naša osnova, odnosno snaga našeg znanja. Nisam ti rekao temu lekcije. Kodirano je, odnosno skriveno u zadatku za usmeno brojanje. Budite pažljivi i pažljivi. Evo kartica sa primjerima. Rješavajući ih i uparujući slovo s odgovorom, saznat ćete naziv teme lekcije.

Učitelju. Dakle, ta riječ je množenje. Ali već smo upoznati sa množenjem. Zašto ga trebamo proučavati? Koje ste brojke nedavno upoznali?

[Sa pozitivnim i negativnim.]

Možemo li ih umnožiti? Stoga će tema lekcije biti "Množenje pozitivnih i negativnih brojeva".

Brzo i tačno si riješio primjere. Postavljeni su dobri temelji. ( Učitelj na modelu kuće « lays» temelj.) Mislim da će kuća biti izdržljiva.

Istraživanje nove teme

Učitelju . Sada gradimo zidove. Povezuju pod i krov, odnosno staru temu sa novom. Sada ćete raditi u grupama. Svaka grupa će dobiti zadatak koji treba zajedno riješiti, a zatim razredu objasniti rješenje.

1. grupa

Temperatura vazduha pada za 2° svakog sata. Sada termometar pokazuje nula stepeni. Koju temperaturu će pokazati nakon 3 sata?

Grupna odluka. Pošto je temperatura sada 0 i za svaki sat temperatura pada za 2°, očigledno je da će nakon 3 sata temperatura biti -6°. Označimo pad temperature sa –2°, a vrijeme sa +3 sata. Tada možemo pretpostaviti da je (–2) 3 = –6.

Učitelju . A šta se dešava ako preuredim faktore, odnosno 3 (–2)?

Studenti. Odgovor je isti: -6, pošto se koristi komutativno svojstvo množenja.

Temperatura vazduha pada za 2° svakog sata. Sada termometar pokazuje nula stepeni. Koju je temperaturu vazduha pokazao termometar pre 3 sata?

Grupna odluka. Pošto je temperatura padala za 2° svakog sata, a sada je 0, očigledno je da je prije 3 sata bilo +6°. Označimo pad temperature sa -2°, a proteklo vrijeme sa -3 sata. Tada možemo pretpostaviti da je (–2) (–3) = 6.

Učitelju . Još ne znate kako množiti pozitivne i negativne brojeve. Ali oni su rješavali probleme gdje je bilo potrebno pomnožiti takve brojeve. Pokušajte sami da izvedete pravila za množenje pozitivnih i negativnih brojeva, dva negativna broja. ( Učenici pokušavaju shvatiti pravilo.) Dobro. Sada otvorimo udžbenike i pročitajmo pravila za množenje pozitivnih i negativnih brojeva. Uporedite svoje pravilo sa onim što piše u udžbeniku.

Pravilo 1 Da biste pomnožili dva broja s različitim predznacima, morate pomnožiti module ovih brojeva i staviti znak "-" ispred rezultirajućeg proizvoda.

Pravilo 2. Da biste pomnožili dva broja sa istim predznacima, morate pomnožiti module ovih brojeva i staviti znak "+" ispred rezultirajućeg proizvoda.

Učitelju. Kao što ste vidjeli prilikom izgradnje temelja, nemate problema s množenjem prirodnih i razlomaka. Problemi mogu nastati prilikom množenja pozitivnih i negativnih brojeva. Zašto?

Zapamtite! Prilikom množenja pozitivnih i negativnih brojeva:

1) odredi znak;
2) pronaći proizvod modula.

Učitelju . Za znakove množenja postoje mnemonička pravila koja se vrlo lako pamte. Ukratko su formulisani na sledeći način:

"+" "+" \u003d "+" - plus na plusu daje plus;
"-" "+" = "-" - minus plus daje minus;
"+" "-" \u003d "-" - plus minus daje minus;
“–” · “–” = “+” - minus puta minus daje plus.

(U sveske učenici zapisuju pravilo znakova.)

Učitelju . Ako sebe i svoje prijatelje smatramo pozitivnima, a neprijatelje negativnima, onda možemo reći ovo:

Prijatelj mog prijatelja je moj prijatelj.
Neprijatelj mog prijatelja je moj neprijatelj.
Prijatelj mog neprijatelja je moj neprijatelj.
Neprijatelj mog neprijatelja je moj prijatelj.

Primarno razumijevanje i primjena proučenog

Primjeri za oralno rješenje na tabli. Učenici kažu pravilo:

Učitelju . Sve jasno? Nemate pitanja? Dakle, zidovi su izgrađeni. ( Učitelj postavlja zidove.) Šta sad gradimo?

(Četiri učenika se pozivaju na tablu.)

Učitelju. Da li je krov spreman?

(Učitelj postavlja krov na model kuće.)

Učenici završavaju rad u jednoj verziji.

Nakon obavljenog posla, razmjenjuju sveske sa komšijom. Nastavnik saopštava tačne odgovore, a učenici jedni drugima daju ocene.

Sažetak lekcije. Refleksija

Učitelju. Šta nam je bio cilj na početku lekcije? Jeste li naučili kako množiti pozitivne i negativne brojeve? ( Ponavljaju pravila.) Kao što ste vidjeli u ovoj lekciji, svaka nova tema je kuća koju treba kapitalno graditi, godinama. U suprotnom, sve vaše zgrade će se srušiti nakon kratkog vremena. Dakle, sve zavisi od vas. Želim vam, momci, da vam se sreća uvijek smiješi, uspjeh u savladavanju znanja.

Potpišite pravila

potpisati pravila

Razmotrimo detaljnije osnovna pravila znakova.

Ako "plus" podelimo sa "minus", uvek dobijamo "minus". Ako "minus" podelimo sa "plus", uvek dobijamo i "minus". Ako "plus" podelimo sa "plus", dobijamo "plus". Ako podijelimo "minus" sa "minus", tada, začudo, dobijamo i "plus".

Ako pomnožimo "minus" sa "plus", uvijek dobijemo "minus". Ako pomnožimo "plus" sa "minus", uvek dobijamo i "minus". Ako pomnožimo "plus" sa "plus", onda ćemo dobiti pozitivan broj, odnosno "plus". Isto vrijedi i za dva negativna broja. Ako pomnožimo "minus" sa "minus", dobićemo "plus".

Oni su zasnovani na drugim principima. Ako je negativni broj veći po apsolutnoj vrijednosti od našeg pozitivnog, onda će rezultat, naravno, biti negativan. Sigurno se pitate šta je modul i zašto je uopšte tu. Sve je vrlo jednostavno. Modul je vrijednost broja, ali bez predznaka. Na primjer -7 i 3. Modulo -7 će biti samo 7, a 3 će ostati 3. Kao rezultat, vidimo da je 7 veći, odnosno ispada da je naš negativni broj veći. Tako će izaći -7 + 3 \u003d -4. To se može učiniti još lakšim. Samo stavite pozitivan broj na prvo mjesto, i izaći će 3-7 = -4, možda je nekome razumljivije. Oduzimanje radi na potpuno isti način.

Zašto je minus puta minus jednak plusu?

"Neprijatelj mog neprijatelja je moj prijatelj."

Nekada su ljudima bili poznati samo prirodni brojevi: 1, 2, 3, . Korišćeni su za brojanje pribora, plijena, neprijatelja, itd. Ali sami brojevi su prilično beskorisni - morate biti u stanju da rukujete njima. Sabiranje je jasno i razumljivo, osim toga, zbir dva prirodna broja je i prirodan broj (matematičar bi rekao da je skup prirodnih brojeva zatvoren operacijom sabiranja). Množenje je, u stvari, isti sabirak ako govorimo o prirodnim brojevima. U životu često izvodimo radnje vezane za ove dvije operacije (na primjer, kada kupujemo, sabiramo i množimo), a čudno je pomisliti da su se naši preci rjeđe susreli s njima - sabiranje i množenje je čovječanstvo ovladalo jako dugo prije. Često je potrebno podijeliti jednu količinu drugom, ali ovdje rezultat nije uvijek izražen kao prirodan broj - tako su se pojavili razlomci.

Negativni brojevi pojavljuju se u indijskim dokumentima iz 7. stoljeća nove ere; Kinezi su ih, očigledno, počeli koristiti nešto ranije. Korišćeni su za obračun dugova ili u srednjim proračunima da bi se pojednostavilo rešavanje jednačina - to je bio samo alat za dobijanje pozitivnog odgovora. Činjenica da negativni brojevi, za razliku od pozitivnih, ne izražavaju prisustvo nijednog entiteta, izazvala je snažno nepovjerenje. Ljudi u doslovnom smislu riječi izbjegavali su negativne brojeve: ako je problem dobio negativan odgovor, vjerovali su da odgovora uopće nema. Ovo nepoverenje je opstalo veoma dugo, pa ih je čak i Descartes - jedan od "osnivača" moderne matematike - nazvao "lažnim" (u 17. veku!).

7x - 17 = 2x - 2. To se može riješiti ovako: pomjerite pojmove s nepoznatim na lijevu stranu, a ostatak na desnu, ispostaviće se 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x=3

Ali slučajno bi se moglo drugačije: pomeriti pojmove sa nepoznatim na desnu stranu i dobiti 2 - 17 = 2x - 7x , (–15) ​​= (–5)x. Da biste pronašli nepoznati, trebate podijeliti jedan negativan broj drugim: x = (–15)/(–5). Ali tačan odgovor je poznat, a to ostaje da se zaključi (–15)/(–5) = 3 .

. Drugo, dozvoljavanjem upotrebe negativnih brojeva, oslobađamo se zamorne (ako se jednačina pokaže složenijom, s velikim brojem pojmova) traženja putanje rješenja u kojoj se sve radnje izvode samo na prirodnim brojevima. Štaviše, ne možemo više svaki put razmišljati o smislenosti veličina koje se pretvaraju - a ovo je već korak ka pretvaranju matematike u apstraktnu nauku.

Pravila za radnje na negativne brojeve nisu formirana odmah, već su postala generalizacija brojnih primjera koji su se javljali prilikom rješavanja primijenjenih problema. Općenito, razvoj matematike se može uvjetno podijeliti na faze: svaka sljedeća faza razlikuje se od prethodne po novom nivou apstrakcije u proučavanju objekata. Dakle, u 19. veku, matematičari su shvatili da celi brojevi i polinomi, uprkos svojoj spoljašnjoj različitosti, imaju mnogo zajedničkog: oba se mogu sabirati, oduzimati i množiti. Ove operacije poštuju iste zakone - i u slučaju brojeva i u slučaju polinoma. Ali dijeljenje cijelih brojeva međusobno, tako da rezultat opet budu cijeli brojevi, nije uvijek moguće. Isto vrijedi i za polinome.

prsten aksiome

prsten

• A + B = B + A za bilo koje elemente A i B) i asocijativni ( A + (B + C) = (A + B) + C A + 0 = A, i za bilo koji element A (–A)), šta A + (–A) = 0 ;
• množenje se pridržava zakona kombinacije: A (B C) = (A B) C ;

Imajte na umu da prstenovi, u najopštijoj konstrukciji, ne zahtijevaju da množenje bude permutabilno, niti je inverzibilno (to jest, nije uvijek moguće podijeliti), niti postojanje jedinice - neutralnog elementa u odnosu na množenje. Ako se uvedu ovi aksiomi, onda se dobijaju druge algebarske strukture, ali će u njima sve dokazane teoreme za prstenove biti tačne.

A postoje dvije suprotnosti: B i With. tj A + B = 0 = A + C. Uzmite u obzir sumu A+B+C B: C: . znači, B=C .

Zabilježimo sada to A, i (–(–A)) (–A)

Prva činjenica se dobija na sledeći način: tj. (–A) B suprotno A B, pa je jednako –(A B) .

0 B = 0 za bilo koji element B. Zaista, 0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B. Odnosno dodatak 0 B

Pravila za množenje minusa sa minusom





Uz malo natezanja, isto objašnjenje je prikladno za proizvod 1-5, ako pretpostavimo da je "zbir" jednog

pojam je jednak ovom pojmu. Ali proizvod 0 5 ili (-3) 5 ne može se objasniti na ovaj način: šta znači zbir nula ili minus tri člana?

Moguće je, međutim, preurediti faktore

Ako želimo da se proizvod ne mijenja kada se faktori preurede - kao što je to bilo za pozitivne brojeve - onda moramo pretpostaviti da

Pređimo sada na proizvod (-3) (-5). Koliko je to jednako: -15 ili +15? Obje opcije imaju smisla. S jedne strane, minus u jednom faktoru već čini proizvod negativnim – tim više bi trebao biti negativan ako su oba faktora negativna. S druge strane, u tabeli. 7 već ima dva minusa, ali samo jedan plus, a "prilično" (-3)-(-5) treba da bude jednako +15. Dakle, šta više voliš?



Naravno, takvi razgovori vas neće zbuniti: iz školskog kursa matematike čvrsto ste naučili da minus po minus daje plus. Ali zamislite da vas mlađi brat ili sestra pita: zašto? Šta je to - hir nastavnika, naznaka viših autoriteta ili teorema koja se može dokazati?

Obično se pravilo množenja negativnih brojeva objašnjava na primjerima poput onog prikazanog u tabeli. osam.



To se može objasniti i na drugi način. Hajde da napišemo brojeve u nizu

Zapišimo sada iste brojeve pomnožene sa 3:

Lako je vidjeti da je svaki broj za 3 veći od prethodnog. Zapišimo sada iste brojeve obrnutim redoslijedom (počevši npr. od 5 i 15):



Istovremeno se pokazalo da je broj -15 ispod broja -5, tako da 3 (-5) \u003d -15: plus po minus daje minus.

Sada ponovimo isti postupak, množeći brojeve 1,2,3,4,5. za -3 (već znamo da je plus puta minus jednako minus):

Svaki sljedeći broj donjeg reda manji je od prethodnog za 3. Zapišimo brojeve obrnutim redoslijedom



Ispostavilo se da je broj -5 15, pa je (-3) (-5) = 15.

Možda bi ova objašnjenja zadovoljila vašeg mlađeg brata ili sestru. Ali imate pravo pitati kako stvari zaista stoje i da li je moguće dokazati da je (-3) (-5) = 15?

Ovdje je odgovor da se može dokazati da (-3) (-5) mora biti jednako 15, samo ako želimo da uobičajena svojstva sabiranja, oduzimanja i množenja ostanu istinita za sve brojeve, uključujući i negativne. Nacrt ovog dokaza je sljedeći.

Hajde da prvo dokažemo da je 3 (-5) = -15. Šta je -15? Ovo je suprotno od 15, tj. broja koji sabira 15 do 0. Dakle, moramo dokazati da

(Stavljajući u zagrade 3, koristili smo distributivni zakon ab + ac = a(b + c) za - na kraju krajeva, pretpostavljamo da on ostaje istinit za sve brojeve, uključujući i negativne.) Dakle, (Pitaće nas pedantni čitalac). zašto. Iskreno priznajemo: dokaz ove činjenice - poput rasprave o tome šta je nula općenito - preskačemo.)

Dokažimo sada da je (-3) (-5) = 15. Da bismo to učinili, pišemo



i pomnožite obje strane jednačine sa -5:

Otvorimo zagrade na lijevoj strani:

tj. (-3) (-5) + (-15) = 0. Dakle, broj je suprotan broju -15, tj. jednak 15. (U ovom rezonovanju postoje i praznine: bilo bi potrebno dokazati da je i da postoji samo jedan broj nasuprot -15.)

Negativno pravilo. Zašto je minus puta minus jednako plus

Kada slušaju nastavnika matematike, većina učenika gradivo doživljava kao aksiom. Istovremeno, malo ljudi pokušava doći do dna i shvatiti zašto "minus" na "plus" daje znak "minus", a kada se množe dva negativna broja, izlazi pozitivan.

Zakoni matematike

Većina odraslih nije u stanju da objasni sebi ili svojoj djeci zašto se to događa. Oni su temeljno učili ovo gradivo u školi, ali nisu ni pokušali da otkriju odakle takva pravila. Ali uzalud. Često moderna djeca nisu toliko lakovjerna, treba da dođu do dna stvari i razumiju, recimo, zašto “plus” na “minus” daje “minus”. A ponekad dječaci namjerno postavljaju škakljiva pitanja kako bi uživali u trenutku kada odrasli ne mogu dati razumljiv odgovor. I zaista je katastrofa ako mladi nastavnik upadne u haos.

Usput, treba napomenuti da gore navedeno pravilo vrijedi i za množenje i za dijeljenje. Proizvod negativnog i pozitivnog broja dat će samo minus. Ako govorimo o dvije znamenke sa znakom "-", tada će rezultat biti pozitivan broj. Isto važi i za podjelu. Ako je jedan od brojeva negativan, tada će i količnik biti sa znakom "-".

Da bi se objasnila ispravnost ovog zakona matematike, potrebno je formulisati aksiome prstena. Ali prvo morate razumjeti šta je to. U matematici je uobičajeno da se prstenom naziva skup u kojem su uključene dvije operacije sa dva elementa. Ali bolje je ovo razumjeti na primjeru.

Aksiom prstena

Postoji nekoliko matematičkih zakona.

• Prvi od njih je pomjenjiv, po njemu, C + V = V + C.
• Drugi se naziva asocijativnim (V + C) + D = V + (C + D).

Množenje (V x C) x D \u003d V x (C x D) također ih poštuje.

Niko nije poništio pravila po kojima se otvaraju zagrade (V + C) x D = V x D + C x D, istina je i da je C x (V + D) = C x V + C x D.

Osim toga, ustanovljeno je da se u prsten može uvesti poseban, adicijski neutralan element, pomoću kojeg će vrijediti: C + 0 = C. Osim toga, za svaki C postoji suprotan element, koji može biti označen kao (-C). U ovom slučaju, C + (-C) \u003d 0.

Derivacija aksioma za negativne brojeve

Prihvatanjem gornjih tvrdnji možemo odgovoriti na pitanje: "" Plus "na" minus "daje koji znak?" Poznavajući aksiom o množenju negativnih brojeva, potrebno je potvrditi da je zaista (-C) x V = -(C x V). I takođe da je tačna sljedeća jednakost: (-(-C)) = C.

Da bismo to učinili, prvo moramo dokazati da svaki od elemenata ima samo jednog suprotnog "brata". Razmotrite sljedeći primjer dokaza. Pokušajmo zamisliti da su dva broja suprotna za C - V i D. Iz ovoga slijedi da je C + V = 0 i C + D = 0, odnosno C + V = 0 = C + D. Prisjećajući se zakona pomaka a o svojstvima broja 0, možemo razmotriti zbir sva tri broja: C, V i D. Pokušajmo odgonetnuti vrijednost V. Logično je da je V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, jer je vrijednost C + D, kako je prethodno prihvaćeno, jednaka 0. Dakle, V = V + C + D.

Vrijednost za D se izvodi na isti način: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Na osnovu ovoga postaje jasno da je V = D.

Da biste razumjeli zašto, ipak, "plus" na "minus" daje "minus", morate razumjeti sljedeće. Dakle, za element (-C), suprotnosti su C i (-(-C)), odnosno jednaki su jedan drugom.

Tada je očito da je 0 x V = (C + (-C)) x V = C x V + (-C) x V. Iz ovoga slijedi da je C x V suprotno od (-) C x V , što znači (- C) x V = -(C x V).

Za potpunu matematičku strogost, također je potrebno potvrditi da je 0 x V = 0 za bilo koji element. Ako slijedite logiku, tada je 0 x V = (0 + 0) x V = 0 x V + 0 x V. To znači da dodavanje proizvoda 0 x V ni na koji način ne mijenja postavljeni iznos. Na kraju krajeva, ovaj proizvod je jednak nuli.

Poznavajući sve ove aksiome, moguće je zaključiti ne samo koliko daje "plus" sa "minusom", već i šta se dešava kada se negativni brojevi pomnože.

Množenje i dijeljenje dva broja sa znakom "-".

Ako ne ulazite u matematičke nijanse, onda možete pokušati objasniti pravila djelovanja s negativnim brojevima na jednostavniji način.

Pretpostavimo da je C - (-V) = D, na osnovu ovoga, C = D + (-V), odnosno C = D - V. Prenosimo V i dobijamo da je C + V = D. To jest, C + V = C - (-V). Ovaj primjer objašnjava zašto u izrazu u kojem postoje dva "minusa" u nizu, pomenute znakove treba promijeniti u "plus". Sada se pozabavimo množenjem.

(-C) x (-V) \u003d D, dva identična proizvoda se mogu dodati i oduzeti izrazu, koji neće promijeniti njegovu vrijednost: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) \u003d D.

Sjećajući se pravila za rad sa zagradama, dobijamo:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

Iz ovoga slijedi da je C x V \u003d (-C) x (-V).

Slično, možemo dokazati da će rezultat dijeljenja dva negativna broja biti pozitivan.

Opća matematička pravila

Naravno, takvo objašnjenje nije prikladno za osnovce koji tek počinju da uče apstraktne negativne brojeve. Bolje im je da objašnjavaju na vidljivim objektima, manipulišući poznatim pojmom kroz ogledalo. Na primjer, tamo se nalaze izmišljene, ali ne postojeće igračke. Mogu se prikazati sa znakom "-". Umnožavanje dva zrcalna objekta prenosi ih u drugi svijet, koji je izjednačen sa sadašnjošću, odnosno kao rezultat imamo pozitivne brojeve. Ali množenje apstraktnog negativnog broja pozitivnim daje samo svima poznat rezultat. Uostalom, "plus" pomnožen sa "minus" daje "minus". Istina, djeca se ne trude previše da uđu u sve matematičke nijanse.

Iako, ako se suočite sa istinom, za mnoge ljude, čak i sa visokim obrazovanjem, mnoga pravila ostaju misterija. Svi uzimaju zdravo za gotovo ono što ih uče njihovi nastavnici, ne libeći se da se udube u svu složenost kojom je matematika bremenita. "Minus" na "minus" daje "plus" - to svi znaju bez izuzetka. Ovo vrijedi i za cijele i za razlomke.

Minus i plus su znaci negativnih i pozitivnih brojeva u matematici. Oni djeluju sami sa sobom na različite načine, stoga je potrebno uzeti u obzir prilikom izvođenja bilo kakvih radnji s brojevima, na primjer, dijeljenje, množenje, oduzimanje, sabiranje itd. potpisati pravila. Bez ovih pravila nikada nećete moći riješiti čak ni najjednostavniji algebarski ili geometrijski problem. Bez poznavanja ovih pravila nećete moći učiti ne samo matematiku, već ni fiziku, hemiju, biologiju, pa čak i geografiju.

Oduzimanje i sabiranje.

Dva negativa čine afirmativnu- ovo je pravilo koje smo naučili u školi i primjenjujemo cijeli život. Ko se od nas pitao zašto? Naravno, lakše je zapamtiti ovu izjavu bez dodatnih pitanja i ne ulaziti duboko u suštinu problema. Sada već ima dovoljno informacija koje treba “svariti”. Ali za one koje još uvijek zanima ovo pitanje, pokušat ćemo objasniti ovaj matematički fenomen.

Ljudi su od davnina koristili pozitivne prirodne brojeve: 1, 2, 3, 4, 5,... Uz pomoć brojeva brojala su se stoka, usevi, neprijatelji itd. Prilikom sabiranja i množenja dva pozitivna broja uvijek su dobili pozitivan broj, pri dijeljenju nekih veličina s drugima nisu uvijek dobili prirodne brojeve - tako su se pojavili razlomci. Šta je sa oduzimanjem? Od djetinjstva znamo da je bolje većem dodavati manje, a većem oduzimati manje, dok opet ne koristimo negativne brojeve. Ispada da ako imam 10 jabuka, nekome mogu dati samo manje od 10 ili 10. Nema šanse da dam 13 jabuka, jer nemam. Dugo nije bilo potrebe za negativnim brojevima.

Tek od 7. veka nove ere. negativni brojevi su korišteni u nekim sistemima brojanja kao pomoćne vrijednosti, što je omogućilo da se dobije pozitivan broj u odgovoru.

Razmotrimo primjer, 6x - 30 \u003d 3x - 9. Da biste pronašli odgovor, potrebno je ostaviti pojmove s nepoznanicama na lijevoj strani, a ostatak na desnoj: 6x - 3x = 30 - 9, 3x \u003d 21, x \u003d 7. Prilikom rješavanja ove jednadžbe čak i nema negativnih brojeva. Mogli bismo prenijeti pojmove s nepoznatim na desnu stranu, a bez nepoznatih - na lijevu: 9 - 30 = 3x - 6x, (-21) = (-3x). Prilikom dijeljenja negativnog broja negativnim, dobivamo pozitivan odgovor: x = 7.

Radnje s negativnim brojevima trebale bi nas dovesti do istog odgovora kao i radnje samo s pozitivnim brojevima. Ne možemo više razmišljati o praktičnoj neprikladnosti i smislenosti radnji – one nam pomažu da problem riješimo mnogo brže, bez svođenja jednadžbe na oblik samo s pozitivnim brojevima. U našem primjeru nismo koristili složene proračune, ali uz veliki broj pojmova, proračuni sa negativnim brojevima nam mogu olakšati rad.

Vremenom, nakon dugih eksperimenata i proračuna, bilo je moguće utvrditi pravila kojima se svi brojevi i radnje na njima povinuju (u matematici se zovu aksiomi). Odatle je došlo aksiom koji kaže da kada pomnožite dva negativna broja, dobijete pozitivan broj.

www.site, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.

1) Zašto je minus jedan puta minus jedan jednako plus jedan?
2) Zašto je minus jedan puta plus jedan jednako minus jedan?

"Neprijatelj mog neprijatelja je moj prijatelj."

Najlakši odgovor je: "Zato što su ovo pravila za rad s negativnim brojevima." Pravila koja učimo u školi i primjenjujemo ih kroz cijeli život. Međutim, udžbenici ne objašnjavaju zašto su pravila takva kakva jesu. Ovo ćemo prvo pokušati da shvatimo iz istorije razvoja aritmetike, a zatim ćemo odgovoriti na ovo pitanje sa stanovišta savremene matematike.

Nekada su ljudima bili poznati samo prirodni brojevi: 1, 2, 3, . Korišćeni su za brojanje pribora, plijena, neprijatelja, itd. Ali sami brojevi su prilično beskorisni - morate znati kako postupati s njima. Sabiranje je jasno i razumljivo, a osim toga, zbir dva prirodna broja je i prirodan broj (matematičar bi rekao da je skup prirodnih brojeva zatvoren operacijom sabiranja). Množenje je, u stvari, isti sabirak ako govorimo o prirodnim brojevima. U životu često izvodimo radnje vezane za ove dvije operacije (na primjer, kada kupujemo, sabiramo i množimo), a čudno je pomisliti da su se naši preci rjeđe susreli s njima - sabiranje i množenje je čovječanstvo ovladalo jako dugo prije. Često je potrebno podijeliti jednu količinu drugom, ali ovdje rezultat nije uvijek izražen prirodnim brojem - tako su se pojavili razlomci.

Oduzimanje je, naravno, takođe neophodno. Ali u praksi, mi težimo da manji broj oduzmemo od većeg broja i nema potrebe za korištenjem negativnih brojeva. (Ako imam 5 bombona i dam 3 svojoj sestri, onda ću imati 5 - 3 = 2 bombona, ali ne mogu joj dati 7 bombona uz svu svoju želju.) Ovo može objasniti zašto ljudi nisu koristili negativne brojeve dugo vremena.

Negativni brojevi pojavljuju se u indijskim dokumentima iz 7. stoljeća nove ere; Kinezi su ih, očigledno, počeli koristiti nešto ranije. Korišćeni su za obračun dugova ili u srednjim proračunima da bi se pojednostavilo rešavanje jednačina - to je bio samo alat za dobijanje pozitivnog odgovora. Činjenica da negativni brojevi, za razliku od pozitivnih, ne izražavaju prisustvo nijednog entiteta, izazvala je snažno nepovjerenje. Ljudi u doslovnom smislu riječi izbjegavali su negativne brojeve: ako je problem dobio negativan odgovor, vjerovali su da odgovora uopće nema. Ovo nepoverenje je trajalo veoma dugo, pa ih je čak i Descartes, jedan od "osnivača" moderne matematike, nazvao "lažnim" (u 17. veku!).

Razmotrite, na primjer, jednačinu 7x - 17 = 2x - 2. To se može riješiti ovako: pomjerite pojmove s nepoznatim na lijevu stranu, a ostatak na desnu, ispostaviće se 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x=3. Sa ovim rješenjem nismo naišli ni na negativne brojeve.

Šta ovaj jednostavan primjer pokazuje? Prvo, postaje jasna logika koja je odredila pravila za radnje na negativne brojeve: rezultati ovih radnji moraju odgovarati odgovorima koji su dobijeni na drugačiji način, bez negativnih brojeva. Drugo, dozvoljavanjem upotrebe negativnih brojeva, oslobađamo se zamorne (ako se jednačina pokaže složenijom, s velikim brojem pojmova) traženja putanje rješenja u kojoj se sve radnje izvode samo na prirodnim brojevima. Štaviše, ne možemo više svaki put razmišljati o smislenosti veličina koje se pretvaraju - a ovo je već korak ka pretvaranju matematike u apstraktnu nauku.

Pravila za radnje na negativne brojeve nisu formirana odmah, već su postala generalizacija brojnih primjera koji su se javljali prilikom rješavanja primijenjenih problema. Općenito, razvoj matematike se može uvjetno podijeliti na faze: svaka sljedeća faza razlikuje se od prethodne po novom nivou apstrakcije u proučavanju objekata. Dakle, u 19. veku, matematičari su shvatili da celi brojevi i polinomi, uprkos svojoj spoljašnjoj različitosti, imaju mnogo zajedničkog: oba se mogu sabirati, oduzimati i množiti. Ove operacije poštuju iste zakone - i u slučaju brojeva i u slučaju polinoma. Ali dijeljenje cijelih brojeva međusobno, tako da rezultat opet budu cijeli brojevi, nije uvijek moguće. Isto vrijedi i za polinome.

Zatim su otkrivene druge kolekcije matematičkih objekata na kojima se takve operacije mogu izvoditi: formalni nizovi stepena, kontinuirane funkcije. Konačno, došlo je do razumijevanja da ako proučavate svojstva samih operacija, onda se rezultati mogu primijeniti na sve ove skupove objekata (ovaj pristup je tipičan za svu modernu matematiku).

Kao rezultat toga, pojavio se novi koncept: prsten. To je samo gomila elemenata plus radnje koje se mogu izvršiti na njima. Osnovna pravila ovdje su samo pravila (nazvana su aksiome) kojima podliježu akcije, a ne priroda elemenata skupa (evo ga, novi nivo apstrakcije!). Želeći da naglase da je važna struktura koja nastaje nakon uvođenja aksioma, matematičari kažu: prsten cijelih brojeva, prsten polinoma itd. Polazeći od aksioma mogu se izvesti i druga svojstva prstenova.

Formulisaćemo aksiome prstena (koji su, naravno, slični pravilima za operacije sa celim brojevima), a zatim ćemo dokazati da u bilo kom prstenu množenje minusa sa minusom rezultira plusom.

prsten naziva se skup s dvije binarne operacije (odnosno, dva elementa prstena su uključena u svaku operaciju), koji se tradicionalno nazivaju zbrajanjem i množenjem, i sljedećim aksiomima:

• sabiranje prstenastih elemenata je komutativno ( A + B = B + A za bilo koje elemente A i B) i asocijativni ( A + (B + C) = (A + B) + C) zakoni; prsten sadrži poseban element 0 (neutralni element dodavanjem) tako da A + 0 = A, i za bilo koji element A postoji suprotan element (označen (–A)), šta A + (–A) = 0 ;
• sabiranje i množenje su povezani sljedećim pravilima proširenja zagrada: (A + B) C = A C + B C i A (B + C) = A B + A C .

Napominjemo da prstenovi, u najopštijoj konstrukciji, ne zahtijevaju množenje da bi bilo promjenjivo, niti je invertibilno (tj. nije uvijek moguće podijeliti), niti zahtijeva postojanje jedinice - neutralnog elementa sa poštovanje množenja. Ako se uvedu ovi aksiomi, onda se dobijaju druge algebarske strukture, ali će u njima sve dokazane teoreme za prstenove biti tačne.

Sada to dokazujemo za sve elemente A i B proizvoljni prsten je istinit, prvo, (–A) B = –(A B), i drugo (–(–A)) = A. Iz ovoga lako slijede izjave o jedinicama: (–1) 1 = –(1 1) = –1 i (–1) (–1) = –((–1) 1) = –(–1) = 1 .

Da bismo to učinili, moramo utvrditi neke činjenice. Prvo ćemo dokazati da svaki element može imati samo jednu suprotnost. Zaista, neka element A postoje dvije suprotnosti: B i With. tj A + B = 0 = A + C. Uzmite u obzir sumu A+B+C. Koristeći asocijativni i komutativni zakon i svojstvo nule, dobijamo da je, s jedne strane, zbir jednak B : B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, a s druge strane, jednako je C : A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. znači, B=C .

Zabilježimo sada to A, i (–(–A)) suprotne su istom elementu (–A), tako da moraju biti jednaki.

Prva činjenica glasi ovako: 0 = 0 B = (A + (–A)) B = A B + (–A) B, tj (–A) B suprotno A B, pa je jednako –(A B) .

Da budemo matematički rigorozni, hajde da objasnimo zašto 0 B = 0 za bilo koji element B. Zaista, 0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B. Odnosno dodatak 0 B ne mijenja iznos. Dakle, ovaj proizvod je jednak nuli.

A činjenicu da u prstenu postoji tačno jedna nula (uostalom, aksiomi kažu da takav element postoji, ali se ništa ne govori o njegovoj jedinstvenosti!), ostavićemo čitaocu kao jednostavnu vježbu.