Razlomci

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom dijelu 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Razlomci u srednjoj školi nisu mnogo dosadni. Za sada. Sve dok ne naiđete na eksponente sa racionalnim eksponentima i logaritmima. A tu…. Pritisnete, pritisnete kalkulator, i on vam pokaže cijeli semafor nekih brojeva. Moraš misliti svojom glavom, kao u trećem razredu.

Pozabavimo se razlomcima, konačno! Pa, koliko se možeš zbuniti u njima!? Štaviše, sve je jednostavno i logično. dakle, šta su razlomci?

Vrste razlomaka. Transformacije.

Razlomci se dešavaju tri vrste.

1. Uobičajeni razlomci , na primjer:

Ponekad umjesto vodoravne linije stavljaju kosu crtu: 1/2, 3/4, 19/5, pa, i tako dalje. Ovdje ćemo često koristiti ovaj pravopis. Poziva se gornji broj brojilac, niže - imenilac. Ako stalno brkate ova imena (dešava se ...), recite sebi frazu s izrazom: " Zzzzz zapamti! Zzzzz imenilac - out zzzz u!" Vidite, sve će se pamtiti.)

Crtica, koja je horizontalna, koja je koso, znači divizije gornji broj (brojilac) do donji broj (imenik). I to je to! Umjesto crtice, sasvim je moguće staviti znak podjele - dvije tačke.

Kada je podjela moguća u potpunosti, to se mora izvršiti. Dakle, umjesto razlomka "32/8" mnogo je ugodnije napisati broj "4". One. 32 je jednostavno podijeljeno sa 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Ne govorim o razlomku "4/1". Što je takođe samo "4". A ako se ne podijeli u potpunosti, ostavljamo ga kao razlomak. Ponekad morate učiniti obrnuto. Napravite razlomak od cijelog broja. Ali više o tome kasnije.

2. Decimale , na primjer:

Upravo u ovom obliku bit će potrebno zapisati odgovore na zadatke "B".

3. mešoviti brojevi , na primjer:

Mješoviti brojevi se praktično ne koriste u srednjoj školi. Da biste radili s njima, moraju se pretvoriti u obične razlomke. Ali svakako morate znati kako to učiniti! A onda će se takav broj naići u slagalici i objesiti ... Od nule. Ali pamtimo ovu proceduru! Malo niže.

Najsvestraniji obični razlomci. Počnimo s njima. Usput, ako u razlomku ima svih vrsta logaritama, sinusa i drugih slova, to ništa ne mijenja. U smislu da sve radnje sa frakcijskim izrazima ne razlikuju se od akcija s običnim razlomcima!

Osnovno svojstvo razlomka.

Pa idemo! Prije svega, iznenadit ću vas. Čitav niz transformacija razlomaka osigurava jedno svojstvo! Tako se to zove osnovno svojstvo razlomka. Zapamtite: Ako se brojnik i imenilac razlomka pomnože (podijele) istim brojem, razlomak se neće promijeniti. oni:

Jasno je da možete pisati dalje, dok ne budete plavi u licu. Ne dozvolite da vas zbune sinusi i logaritmi, bavićemo se njima dalje. Glavna stvar koju treba razumjeti je da su svi ti različiti izrazi isti razlomak . 2/3.

I to nam treba, sve ove transformacije? I kako! Sad ćete se i sami uvjeriti. Prvo, upotrijebimo osnovno svojstvo razlomka za frakcije skraćenica. Čini se da je stvar elementarna. Podijelimo brojilac i imenilac istim brojem i to je to! Nemoguće je pogriješiti! Ali... čovek je kreativno biće. Možete pogriješiti svuda! Pogotovo ako morate smanjiti razlomak kao što je 5/10, već frakcijski izraz sa svim vrstama slova.

Kako pravilno i brzo smanjiti razlomke bez nepotrebnog rada možete pronaći u posebnom odjeljku 555.

Normalan učenik se ne trudi dijeliti brojilac i imenilac istim brojem (ili izrazom)! Samo precrtava sve isto odozgo i odozdo! Ovdje se krije tipična greška, looper ako želiš.

Na primjer, trebate pojednostaviti izraz:

Nema se o čemu razmišljati, precrtavamo slovo "a" odozgo i dvojku odozdo! Dobijamo:

Sve je tačno. Ali stvarno si podijelio cjelina brojilac i cjelina nazivnik "a". Ako ste navikli samo precrtati, onda, u žurbi, možete precrtati "a" u izrazu

i dobiti ponovo

Što bi bilo kategorički pogrešno. Jer ovdje cjelina brojilac na "a" već nije podijeljeno! Ovaj razlomak se ne može smanjiti. Inače, takva skraćenica je, hm... ozbiljan izazov za nastavnika. Ovo se ne oprašta! Sećaš se? Prilikom redukcije potrebno je podijeliti cjelina brojilac i cjelina imenilac!

Smanjenje razlomaka čini život mnogo lakšim. Negdje ćete dobiti razlomak, na primjer 375/1000. I kako sada raditi s njom? Bez kalkulatora? Pomnožite, recite, saberite, kvadratirajte!? A ako niste previše lijeni, ali pažljivo smanjite za pet, pa čak i za pet, pa čak ... dok se smanjuje, ukratko. Dobijamo 3/8! Mnogo ljepše, zar ne?

Osnovno svojstvo razlomka omogućava vam da obične razlomke pretvorite u decimale i obrnuto bez kalkulatora! Ovo je važno za ispit, zar ne?

Kako pretvoriti razlomke iz jednog oblika u drugi.

Lako je sa decimalama. Kako se čuje, tako se i piše! Recimo 0,25. To je nula poena, dvadeset pet stotinki. Dakle, pišemo: 25/100. Smanjujemo (podijelimo brojilac i imenilac sa 25), dobijamo uobičajeni razlomak: 1/4. Sve. Dešava se i ništa se ne smanjuje. Kao 0.3. Ovo je tri desetine, tj. 3/10.

Šta ako su cijeli brojevi različiti od nule? Uredu je. Zapišite cijeli razlomak bez ikakvih zareza u brojniku, a u nazivniku - ono što se čuje. Na primjer: 3.17. Ovo su tri cijele, sedamnaest stotinki. U brojiocu zapišemo 317, a u nazivnik 100. Dobijamo 317/100. Ništa nije smanjeno, znači sve. Ovo je odgovor. Elementary Watson! Iz svega navedenog, koristan zaključak: bilo koji decimalni razlomak se može pretvoriti u običan razlomak .

Ali obrnuta konverzija, obično u decimalni, neki ne mogu bez kalkulatora. Ali morate! Kako ćete napisati odgovor na ispitu!? Pažljivo čitamo i savladavamo ovaj proces.

Šta je decimalni razlomak? Ona ima u nazivniku uvijek vrijedi 10 ili 100 ili 1000 ili 10000 i tako dalje. Ako vaš uobičajeni razlomak ima takav nazivnik, nema problema. Na primjer, 4/10 = 0,4. Ili 7/100 = 0,07. Ili 12/10 = 1,2. A ako je u odgovoru na zadatak odjeljka "B" ispalo 1/2? Šta ćemo napisati kao odgovor? Decimale su obavezne...

Sećamo se osnovno svojstvo razlomka ! Matematika vam povoljno omogućava da pomnožite brojnik i nazivnik istim brojem. Usput, za bilo koga! Osim nule, naravno. Iskoristimo ovu funkciju u našu korist! Sa čim se imenilac može pomnožiti, tj. 2 tako da bude 10, ili 100, ili 1000 (manje je bolje, naravno...)? 5, očigledno. Slobodno pomnožite imenilac (ovo je nas potrebno) sa 5. Ali, tada se i brojilac mora pomnožiti sa 5. To je već matematika zahtjevi! Dobijamo 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0,5. To je sve.

Međutim, nailaze se na razne nazive. Na primjer, razlomak 3/16 će pasti. Probaj, smisli sa čime da pomnožiš 16 da dobiješ 100 ili 1000... Ne radi? Tada možete jednostavno podijeliti 3 sa 16. U nedostatku kalkulatora, morat ćete dijeliti u kutu, na komadu papira, kako su učili u osnovnim razredima. Dobijamo 0,1875.

I postoje neki veoma loši imenioci. Na primjer, razlomak 1/3 ne može se pretvoriti u dobru decimalu. I na kalkulatoru i na komadu papira dobijamo 0,3333333 ... To znači da je 1/3 u tačan decimalni razlomak ne prevodi. Baš kao 1/7, 5/6 i tako dalje. Mnogi od njih su neprevodivi. Otuda još jedan koristan zaključak. Ne pretvara se svaki obični razlomak u decimalu. !

Usput, ovo korisne informacije za samotestiranje. U odjeljku "B" kao odgovor, trebate zapisati decimalni razlomak. I dobili ste, na primjer, 4/3. Ovaj razlomak se ne pretvara u decimalni. To znači da ste negdje usput pogriješili! Vrati se, provjeri rješenje.

Dakle, razvrstani obični i decimalni razlomci. Ostaje da se pozabavimo mješovitim brojevima. Da biste radili s njima, sve ih je potrebno pretvoriti u obične razlomke. Kako uraditi? Možete uhvatiti učenika šestog razreda i pitati ga. Ali neće uvijek šesti razred biti pri ruci... Morat ćemo to sami. Ovo nije teško. Pomnožite nazivnik razlomaka sa cijelim dijelom i dodajte brojnik razlomaka. Ovo će biti brojnik običnog razlomka. Šta je sa imeniocem? Imenilac će ostati isti. Zvuči komplikovano, ali je zapravo prilično jednostavno. Pogledajmo primjer.

Ubacite u problem koji ste sa užasom vidjeli broj:

Mirno, bez panike, razumemo. Cijeli dio je 1. Jedan. Razlomak je 3/7. Dakle, imenilac razlomka je 7. Ovaj imenilac će biti imenilac običnog razlomka. Brojimo brojilac. Množimo 7 sa 1 (celobrojni deo) i dodajemo 3 (brojilac razlomaka). Dobijamo 10. Ovo će biti brojilac običnog razlomka. To je sve. U matematičkom zapisu izgleda još jednostavnije:

Jasno? Onda osigurajte svoj uspjeh! Pretvori u obične razlomke. Trebali biste dobiti 10/7, 7/2, 23/10 i 21/4.

Obrnuta operacija - pretvaranje nepravilnog razlomka u mješoviti broj - rijetko je potrebna u srednjoj školi. Pa, ako... I ako - ne u srednjoj školi - možete pogledati u poseban odjeljak 555. Na istom mjestu ćete, inače, naučiti o nepravilnim razlomcima.

Pa, skoro sve. Sjetili ste se vrsta razlomaka i razumjeli kako pretvaraju ih iz jedne vrste u drugu. ostaje pitanje: zašto učini to? Gdje i kada primijeniti ovo duboko znanje?

ja odgovaram. Svaki primjer sam po sebi sugerira potrebne radnje. Ako se u primjeru obični razlomci, decimale, pa čak i mješoviti brojevi pomiješaju u gomilu, sve prevodimo u obične razlomke. To se uvijek može uraditi. Pa, ako je napisano nešto poput 0,8 + 0,3, onda mislimo da je tako, bez ikakvog prijevoda. Zašto nam je potreban dodatni posao? Mi biramo rešenje koje je zgodno nas !

Ako je zadatak pun decimalnih razlomaka, ali hm...nekakvih zlih, idite na obične, probajte! Vidi, sve će biti u redu. Na primjer, morate kvadrirati broj 0,125. Nije tako lako ako niste izgubili naviku kalkulatora! Ne samo da trebate pomnožiti brojeve u koloni, već i razmisliti o tome gdje umetnuti zarez! To mi sigurno ne ide na pamet! A ako idete na običan razlomak?

0,125 = 125/1000. Smanjujemo za 5 (ovo je za početak). Dobijamo 25/200. Još jednom na 5. Dobijamo 5/40. Oh, smanjuje se! Nazad na 5! Dobijamo 1/8. Lako kvadrirajte (u vašem umu!) i dobijete 1/64. Sve!

Hajde da rezimiramo ovu lekciju.

1. Postoje tri vrste razlomaka. Obični, decimalni i mješoviti brojevi.

2. Decimale i mješoviti brojevi uvijek može se pretvoriti u obične razlomke. Obrnuti prevod nije uvijek dostupan.

3. Izbor vrste razlomaka za rad sa zadatkom zavisi upravo od ovog zadatka. U prisustvu različite vrste razlomaka u jednom zadatku, najpouzdanije je preći na obične razlomke.

Sada možete vježbati. Prvo, pretvorite ove decimalne razlomke u obične:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Trebali biste dobiti ovakve odgovore (u neredu!):

Na ovome ćemo završiti. U ovoj lekciji osvrnuli smo se na ključne tačke o razlomcima. Dešava se, međutim, da nema šta posebno za osvježavanje...) Ako je neko potpuno zaboravio, ili još nije savladao... Oni mogu otići u poseban odjeljak 555. Sve osnove su tamo detaljno opisane. Mnogi odjednom razumeti sve počinju. I razlomke rješavaju u hodu).

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učenje - sa interesovanjem!)

možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Dešava se da je za praktičnost izračunavanja potrebno pretvoriti obični razlomak u decimalu i obrnuto. O tome kako to učiniti, govorit ćemo u ovom članku. Analizirat ćemo pravila za pretvaranje običnih razlomaka u decimale i obrnuto, a također ćemo dati primjere.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Razmotrit ćemo pretvaranje običnih razlomaka u decimale, pridržavajući se određenog niza. Prvo, razmotrite kako se obični razlomci sa nazivnikom koji je višekratnik 10 pretvaraju u decimale: 10, 100, 1000, itd. Razlomci s takvim nazivnicima, u stvari, su glomazniji zapis decimalnih razlomaka.

Zatim ćemo pogledati kako pretvoriti obične razlomke u decimalne razlomke s bilo kojim nazivnikom, a ne samo višekratnim od 10. Imajte na umu da se pri pretvaranju običnih razlomaka u decimalne razlomke dobijaju ne samo konačni decimalni razlomci, već i beskonačni periodični decimalni razlomci.

Hajde da počnemo!

Prevođenje običnih razlomaka sa nazivnicima 10, 100, 1000 itd. na decimale

Prije svega, recimo da je nekim razlomcima potrebna određena priprema prije nego što se pretvore u decimalni oblik. Šta je? Prije broja u brojiocu potrebno je dodati toliko nula da broj cifara u brojiocu bude jednak broju nula u nazivniku. Na primjer, za razlomak 3100, broj 0 se mora dodati jednom lijevo od 3 u brojiocu. Frakciju 610, prema gore navedenom pravilu, ne treba poboljšati.

Razmotrimo još jedan primjer, nakon čega formuliramo pravilo koje je u početku posebno zgodno za korištenje, dok nema toliko iskustva u rukovanju razlomcima. Dakle, razlomak 1610000 nakon dodavanja nula u brojiocu izgledat će kao 001510000.

Kako prevesti običan razlomak sa nazivnikom 10, 100, 1000 itd. na decimalni?

Pravilo za pretvaranje običnih pravih razlomaka u decimale

1. Napišite 0 i stavite zarez iza njega.
2. Zapisujemo broj iz brojila, koji je ispao nakon dodavanja nula.

Pređimo sada na primjere.

Primjer 1. Pretvaranje običnih razlomaka u decimale

Pretvorite obični razlomak 39100 u decimalni.

Prvo, pogledamo razlomak i vidimo da nisu potrebne nikakve pripremne radnje - broj znamenki u brojniku odgovara broju nula u nazivniku.

Prateći pravilo, zapišite 0 , stavite decimalni zarez nakon njega i zapišite broj iz brojilaca. Dobijamo decimalni razlomak 0,39.

Analizirajmo rješenje još jednog primjera na ovu temu.

Primjer 2. Pretvaranje običnih razlomaka u decimale

Zapišimo razlomak 105 10000000 kao decimalni razlomak.

Broj nula u nazivniku je 7, a brojilac ima samo tri cifre. Dodajmo još 4 nule ispred broja u brojiocu:

0000105 10000000

Sada pišemo 0, stavljamo decimalni zarez nakon njega i upisujemo broj iz brojila. Dobijamo decimalni razlomak 0 , 0000105 .

Razlomci koji se razmatraju u svim primjerima su obični pravi razlomci. Ali kako pretvoriti nepravilan obični razlomak u decimalu? Recimo odmah da nema potrebe za pripremom sa dodavanjem nula za takve razlomke. Hajde da formulišemo pravilo.

Pravilo za pretvaranje običnih nepravilnih razlomaka u decimale

1. Zapisujemo broj koji se nalazi u brojiocu.
2. Decimalom odvajamo onoliko cifara na desnoj strani koliko ima nula u nazivniku originalnog običnog razlomka.

U nastavku je primjer korištenja ovog pravila.

Primjer 3. Pretvaranje običnih razlomaka u decimale

Pretvorimo razlomak 56888038009 100000 iz običnog nepravilnog u decimalu.

Prvo napišite broj iz brojilaca:

Sada, na desnoj strani, odvajamo pet cifara decimalnim zarezom (broj nula u nazivniku je pet). Dobijamo:

Sljedeće pitanje koje se prirodno nameće je kako mješoviti broj pretvoriti u decimalni razlomak ako je imenilac njegovog razlomka broj 10, 100, 1000 itd. Da biste pretvorili u decimalni razlomak takvog broja, možete koristiti sljedeće pravilo.

Pravilo za pretvaranje mješovitih brojeva u decimale

1. Po potrebi pripremamo razlomački dio broja.
2. Zapisujemo cijeli broj originalnog broja i stavljamo zarez iza njega.
3. Zapisujemo broj iz brojnika razlomka zajedno sa priloženim nulama.

Pogledajmo primjer.

Primjer 4. Pretvaranje mješovitih brojeva u decimale

Pretvorite mješoviti broj 23 17 10000 u decimalni.

U razlomku imamo izraz 17 10000. Pripremimo ga i dodajmo još dvije nule lijevo od brojila. Dobijamo: 0017 10000 .

Sada zapisujemo cijeli broj i iza njega stavljamo zarez: 23,. .

Nakon zareza upisujemo broj iz brojila zajedno sa nulama. Dobijamo rezultat:

23 17 10000 = 23 , 0017

Pretvaranje običnih razlomaka u konačne i beskonačne periodične razlomke

Naravno, možete pretvoriti u decimalne i obične razlomke sa nazivnikom koji nije jednak 10, 100, 1000 itd.

Često se razlomak može lako svesti na novi nazivnik, a zatim koristiti pravilo navedeno u prvom paragrafu ovog člana. Na primjer, dovoljno je pomnožiti brojilac i nazivnik razlomka 25 sa 2, i dobićemo razlomak 410, koji se lako svodi na decimalni oblik 0,4.

Međutim, ova metoda pretvaranja običnog razlomka u decimalu ne može se uvijek koristiti. U nastavku ćemo razmotriti šta učiniti ako nije moguće primijeniti razmatranu metodu.

U osnovi novi način pretvaranje običnog razlomka u decimalu svodi se na dijeljenje brojnika sa nazivnikom kolonom. Ova operacija je vrlo slična podjeli prirodnih brojeva kolonom, ali ima svoje karakteristike.

Prilikom dijeljenja, brojilac se predstavlja kao decimalni razlomak - zarez se stavlja desno od posljednje cifre brojila i dodaju se nule. U rezultujućem količniku decimalni zarez se stavlja kada se završi podela celobrojnog dela brojnika. Kako tačno ova metoda funkcionira, bit će jasno nakon razmatranja primjera.

Primjer 5. Pretvaranje običnih razlomaka u decimale

Prevedemo obični razlomak 621 4 u decimalni oblik.

Predstavimo broj 621 iz brojila kao decimalni razlomak, dodajući nekoliko nula iza decimalnog zareza. 621 = 621 00

Sada ćemo kolonu 621, 00 podijeliti sa 4. Prva tri koraka dijeljenja bit će ista kao kod dijeljenja prirodnih brojeva, i dobijamo.

Kada smo došli do decimalne tačke u dividendi, a ostatak je različit od nule, stavljamo decimalni zarez u količnik i nastavljamo da delimo, ne obraćajući pažnju više na zarez u dividendi.

Kao rezultat, dobijamo decimalni razlomak 155 , 25 , koji je rezultat inverzije običnog razlomka 621 4

621 4 = 155 , 25

Razmislite o rješavanju drugog primjera kako biste popravili materijal.

Primjer 6. Pretvaranje običnih razlomaka u decimale

Obrnimo obični razlomak 21 800 .

Da biste to učinili, podijelite razlomak 21 000 sa 800 u stupac. Dijeljenje cjelobrojnog dijela će se završiti na prvom koraku, pa odmah nakon njega stavljamo decimalni zarez u količnik i nastavljamo dijeljenje, zanemarujući zarez u dividendi dok ne dobijemo ostatak jednak nuli.

Kao rezultat, dobili smo: 21 800 = 0. 02625.

Ali šta ako, prilikom dijeljenja, nikada ne dobijemo ostatak od 0. U takvim slučajevima, dijeljenje se može nastaviti neograničeno. Međutim, počevši od određenog koraka, zaostaci će se periodično ponavljati. U skladu s tim, brojevi u količniku će se također ponavljati. To znači da se obični razlomak prevodi u decimalni beskonačni periodični razlomak. Ilustrujmo ono što je rečeno na primjeru.

Primjer 7. Pretvaranje običnih razlomaka u decimale

Pretvorimo obični razlomak 1944 u decimalu. Da bismo to učinili, vršimo podjelu po stupcu.

Vidimo da se pri dijeljenju ponavljaju ostaci 8 i 36. Istovremeno, brojevi 1 i 8 se ponavljaju u količniku. Ovo je period u decimali. Prilikom pisanja ovi brojevi se uzimaju u zagradama.

Dakle, originalni obični razlomak se prevodi u beskonačan periodični decimalni razlomak.

19 44 = 0 , 43 (18) .

Neka imamo nesvodljivi obični razlomak. Kakav će oblik biti? Koji se obični razlomci pretvaraju u konačne decimale, a koji u beskonačne periodične?

Prvo, recimo da ako se razlomak može svesti na jedan od nazivnika 10, 100, 1000 .., onda će izgledati kao konačni decimalni razlomak. Da bi se razlomak sveo na jedan od ovih nazivnika, njegov nazivnik mora biti djelitelj najmanje jednog od brojeva 10, 100, 1000 itd. Od pravila za razlaganje brojeva na primarni faktori slijedi da je djelitelj brojeva 10, 100, 1000 itd. treba, kada se razloži na proste faktore, sadržavati samo brojeve 2 i 5.

Hajde da sumiramo ono što je rečeno:

1. Obični razlomak se može svesti u oblik konačnog decimalnog razlomka ako se njegov nazivnik može rastaviti na proste faktore 2 i 5.
2. Ako pored brojeva 2 i 5 postoje i drugi prosti brojevi u proširenju nazivnika, razlomak se svodi na oblik beskonačnog periodičnog decimalnog razlomka.

Uzmimo primjer.

Primjer 8. Pretvaranje običnih razlomaka u decimale

Koji se od datih razlomaka 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 pretvara u konačni decimalni razlomak, a koji samo u periodični. Daćemo odgovor na ovo pitanje bez direktnog pretvaranja običnog razlomaka u decimalu.

Razlomak 47 20, kao što možete lako vidjeti, množenjem brojnika i nazivnika sa 5 svodi se na novi imenilac 100 .

4720 = 235100. Iz ovoga zaključujemo da je ovaj razlomak preveden u konačni decimalni razlomak.

Faktoriranjem nazivnika razlomka 7 12 dobije se 12 = 2 2 3 . Pošto je prosti faktor 3 različit od 2 i od 5, ovaj razlomak se ne može predstaviti kao konačni decimalni razlomak, već će imati oblik beskonačnog periodičnog razlomka.

Razlomak 21 56, prvo, trebate smanjiti. Nakon smanjenja za 7 dobijamo nesvodljivi razlomak 3 8 , čije proširenje nazivnika na faktore daje 8 = 2 · 2 · 2 . Dakle, to je završna decimala.

U slučaju razlomka 31 17, faktorizacija nazivnika je sam prost broj 17. Prema tome, ovaj razlomak se može pretvoriti u beskonačan periodični decimalni razlomak.

Običan razlomak se ne može pretvoriti u beskonačan decimalni razlomak koji se ne ponavlja

Gore smo govorili samo o konačnim i beskonačnim periodičnim razlomcima. Ali može li se bilo koji obični razlomak pretvoriti u beskonačan neperiodični razlomak?

Odgovaramo: ne!

Bitan!

Kada konvertujete beskonačan razlomak u decimalni razlomak, dobijate ili konačan decimalni razlomak ili beskonačan periodični decimalni razlomak.

Ostatak dijeljenja je uvijek manji od djelitelja. Drugim riječima, prema teoremi djeljivosti, ako neki prirodni broj podijelimo brojem q, tada ostatak dijeljenja ni u kom slučaju ne može biti veći od q-1. Nakon završetka podjele moguća je jedna od sljedećih situacija:

1. Dobijamo ostatak od 0 i tu se podjela završava.
2. Dobijamo ostatak, koji se ponavlja prilikom sljedećeg dijeljenja, kao rezultat imamo beskonačan periodični razlomak.

Ne mogu postojati druge opcije kada se obični razlomak pretvara u decimalu. Recimo i da je dužina perioda (broj cifara) u beskonačnom periodičnom razlomku uvijek manja od broja cifara u nazivniku odgovarajućeg običnog razlomka.

Pretvorite decimale u obične razlomke

Sada je vrijeme da razmotrimo obrnuti proces pretvaranja decimalnog razlomka u običan. Hajde da formulišemo pravilo prevođenja koje uključuje tri faze. Kako pretvoriti decimalni u obični razlomak?

Pravilo za pretvaranje decimalnih razlomaka u obične razlomke

1. U brojiocu upisujemo broj iz originalnog decimalnog razlomka, odbacujući zarez i sve nule s lijeve strane, ako ih ima.
2. U nazivnik upisujemo jedan i iza njega onoliko nula koliko ima cifara u originalnom decimalnom razlomku nakon decimalnog zareza.
3. Ako je potrebno, smanjite rezultirajuću običnu frakciju.

Razmotrite primjenu ovog pravila na primjerima.

Primjer 8. Pretvaranje decimala u obične

Predstavimo broj 3, 025 kao običan razlomak.

1. U brojiocu upisujemo sam decimalni razlomak, odbacujući zarez: 3025.
2. U imenilac upisujemo jedan, a iza njega tri nule - koliko je cifara sadržano u originalnom razlomku nakon decimalnog zareza: 3025 1000.
3. Rezultirajući razlomak 3025 1000 može se smanjiti za 25, kao rezultat dobivamo: 3025 1000 = 121 40.

Primjer 9. Pretvaranje decimala u obične

Pretvorimo razlomak 0, 0017 iz decimalnog u običan.

1. U brojiocu upisujemo razlomak 0, 0017, odbacujući zarez i nule na lijevoj strani. Uzmi 17 .
2. U imenilac upisujemo jedan, a iza njega upisujemo četiri nule: 17 10000. Ovaj razlomak je nesvodljiv.

Ako postoji cijeli broj u decimalnom razlomku, tada se takav razlomak može odmah pretvoriti u mješoviti broj. Kako uraditi?

Hajde da formulišemo još jedno pravilo.

Pravilo za pretvaranje decimala u mješovite brojeve.

1. Broj do decimalnog zareza zapisuje se kao cijeli broj mješovitog broja.
2. U brojiocu upisujemo broj koji se nalazi u razlomku nakon decimalnog zareza, odbacujući nule s lijeve strane, ako ih ima.
3. U nazivnik razlomaka dodajemo jednu i onoliko nula koliko ima cifara u razlomku nakon decimalnog zareza.

Pogledajmo primjer

Primjer 10: Pretvaranje decimale u mješoviti broj

Predstavimo razlomak 155, 06005 kao mješoviti broj.

1. Zapisujemo broj 155 kao cijeli broj.
2. U brojiocu upisujemo brojeve iza decimalnog zareza, odbacujući nulu.
3. U nazivnik upisujemo jedan i pet nula

Nastava mješoviti broj: 155 6005 100000

Razlomak se može smanjiti za 5 . Smanjujemo i dobijamo konačan rezultat:

155 , 06005 = 155 1201 20000

Pretvaranje beskonačnih ponavljajućih decimala u obične razlomke

Pogledajmo primjere kako prevesti periodične decimalne razlomke u obične. Prije nego počnemo, razjasnimo: bilo koji periodični decimalni razlomak može se pretvoriti u običan.

Najjednostavniji slučaj je period razlomka nula. Periodični razlomak s periodom nula zamjenjuje se konačnim decimalnim razlomkom, a proces invertiranja takvog razlomka se svodi na invertiranje konačnog decimalnog razlomka.

Primjer 11. Pretvaranje periodične decimale u običan razlomak

Invertirajmo periodični razlomak 3, 75 (0) .

Ispuštajući nule na desnoj strani, dobijamo konačni decimalni razlomak 3, 75.

Pretvarajući ovaj razlomak u običan prema algoritmu o kojem se govorilo u prethodnim paragrafima, dobijamo:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

Šta ako je period razlomka različit od nule? Periodični dio treba posmatrati kao zbir članova geometrijske progresije koja se smanjuje. Objasnimo ovo na primjeru:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Postoji formula za zbir članova beskonačno opadajuće geometrijske progresije. Ako je prvi član progresije b i imenilac od q takav da je 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Pogledajmo nekoliko primjera koristeći ovu formulu.

Primjer 12. Pretvaranje periodične decimale u običan razlomak

Pretpostavimo da imamo periodični razlomak 0, (8) i trebamo ga pretvoriti u običan.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Ovdje imamo beskonačno opadajuću geometrijsku progresiju sa prvim članom 0, 8 i nazivnikom 0, 1.

Primijenimo formulu:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

Ovo je željeni obični razlomak.

Da biste konsolidirali materijal, razmotrite još jedan primjer.

Primjer 13. Pretvaranje periodične decimale u običnu

Obrni razlomak 0 , 43 (18) .

Prvo zapisujemo razlomak kao beskonačan zbir:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

Razmotrite pojmove u zagradama. Ova geometrijska progresija se može predstaviti na sljedeći način:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

Dobiveni razlomak dodajemo konačnom razlomku 0, 43 \u003d 43 100 i dobivamo rezultat:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

Nakon sabiranja ovih razlomaka i smanjenja, dobijamo konačni odgovor:

0 , 43 (18) = 19 44

Na kraju ovog članka reći ćemo da se neperiodični beskonačni decimalni razlomci ne mogu pretvoriti u obične razlomke.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Dovoljan broj ljudi se pita kako pretvoriti obični razlomak u decimalni razlomak. Postoji nekoliko načina. Izbor određene metode ovisi o vrsti razlomka koji treba pretvoriti u drugi oblik, odnosno o broju u nazivniku. Međutim, radi pouzdanosti, potrebno je naznačiti da je običan razlomak razlomak koji je napisan brojnikom i nazivnikom, na primjer, 1/2. Češće se linija između brojnika i nazivnika povlači horizontalno, a ne koso. Decimalni razlomak se piše kao običan broj sa zarezom: na primjer, 1,25; 0,35 itd.

Dakle, da biste pretvorili obični razlomak u decimalu bez kalkulatora, trebate:

Obratite pažnju na imenilac običnog razlomka. Ako se imenilac može lako pomnožiti do 10 sa istim brojem kao i brojilac, onda treba koristiti ovaj metod, kao najjednostavniji. Na primjer, obični razlomak 1/2 lako se množi u brojniku i nazivniku sa 5, što rezultira brojem 5/10, koji se već može zapisati kao decimalni razlomak: 0,5. Ovo pravilo zasniva se na činjenici da decimalni razlomak uvijek ima okrugli broj u nazivniku: 10, 100, 1000 i slično. Stoga, ako pomnožite brojnik i nazivnik razlomka, tada je potrebno postići upravo takav broj u nazivniku kao rezultat množenja, bez obzira na to što se dobije u brojniku.

Postoje obični razlomci čije računanje nakon množenja predstavlja određene poteškoće. Na primjer, prilično je teško odrediti sa koliko treba pomnožiti razlomak 5/16 da bi se dobio jedan od gornjih brojeva u nazivniku. U ovom slučaju trebate koristiti uobičajenu podjelu, koja se izvodi po stupcu. Odgovor bi trebao biti decimalni razlomak, koji će označiti kraj operacije prijenosa. U gornjem primjeru, rezultat je broj jednak 0,3125. Ako proračuni u koloni predstavljaju poteškoće, onda ne možete bez pomoći kalkulatora.

Konačno, postoje obični razlomci koji se ne pretvaraju u decimale. Na primjer, kada se prevede obični razlomak 4/3, rezultat je 1,33333, gdje se trojka ponavlja beskonačno. Kalkulator se također neće riješiti trojke koja se ponavlja. Postoji nekoliko takvih razlomaka, samo ih trebate znati. Izlaz iz gornje situacije može biti zaokruživanje, ako uslovi primjera ili problema koji se rješava dozvoljavaju zaokruživanje. Ako uslovi to ne dozvoljavaju, a odgovor mora biti napisan tačno u obliku decimalnog razlomka, onda je primjer ili problem riješen pogrešno, te se trebate vratiti nekoliko koraka unazad da biste pronašli grešku.

Dakle, pretvaranje običnog razlomka u decimalu je prilično jednostavno, nije teško nositi se s ovim zadatkom bez pomoći kalkulatora. Izgleda još lakše prevesti decimalne razlomke u obične izvođenjem obrnutih koraka opisanih u metodi 1.

Video: 6. razred. Pretvaranje običnog razlomka u decimalni razlomak.

Decimala ima dva dijela odvojena zarezima. Prvi dio je cjelobrojna jedinica, drugi dio je desetice (ako je broj iza decimalnog zareza jedan), stotine (dva broja iza decimalnog zareza, kao dvije nule u stotini), hiljaditi, itd. Pogledajmo primjere decimala: 0, 2; 7, 54; 235.448; 5.1; 6.32; 0.5. Ovo su sve decimale. Kako konvertujete decimalni u običan razlomak?

Primjer jedan

Imamo razlomak, na primjer, 0,5. Kao što je već spomenuto, sastoji se od dva dijela. Prvi broj, 0, pokazuje koliko cijelih jedinica ima razlomak. U našem slučaju nisu. Drugi broj pokazuje desetice. Razlomak čak glasi nula i pet desetih. Decimalni broj pretvoriti u razlomak sada neće biti teško, pišemo 5/10. Ako vidite da brojevi imaju zajednički djelitelj, možete smanjiti razlomak. Imamo ovaj broj 5, dijeleći oba dijela razlomka sa 5, dobijamo - 1/2.

Primjer dva

Uzmimo složeniji razlomak - 2,25. Čita se ovako - dvije cijele i dvadeset pet stotih. Obratite pažnju - stotinke, jer iza decimalnog zareza postoje dva broja. Sada možete pretvoriti u običan razlomak. Zapisujemo - 2 25/100. Cjelobrojni dio je 2, razlomak je 25/100. Kao iu prvom primjeru, ovaj dio se može skratiti. Zajednički djelitelj za 25 i 100 je 25. Imajte na umu da uvijek biramo najveći zajednički djelitelj. Podijelimo oba dijela razlomka GCD, dobili smo 1/4. Dakle, 2, 25 je 2 1/4.

Primjer tri

A da bismo konsolidirali materijal, uzmimo decimalni razlomak 4.112 - četiri cijela i sto dvanaest hiljada. Zašto hiljaditi delovi, mislim, jasno je. Sada zapisujemo 4 112/1000. Prema algoritmu, nalazimo GCD brojeva 112 i 1000. U našem slučaju to je broj 6. Dobijamo 4 14/125.

Zaključak

1. Razlomak dijelimo na cjelobrojne i razlomke.
2. Gledamo koliko cifara ima nakon decimalnog zareza. Ako je jedan desetice, dva su stotine, tri su hiljaditi, itd.
3. Razlomak pišemo u uobičajenom obliku.
4. Smanjujemo brojilac i nazivnik razlomka.
5. Zapišite dobijeni razlomak.
6. Provjeravanje, podjela gornji dio frakcije na dnu. Ako postoji cijeli broj, dodajte rezultujući decimalni razlomak. Ispostavilo se da je originalna verzija - super, tako da ste sve uradili kako treba.

Koristeći primjere, pokazao sam kako možete pretvoriti decimalni razlomak u običan. Kao što vidite, to je vrlo lako i jednostavno učiniti.

Razlomak se može pretvoriti u cijeli broj ili decimalni broj. Nepravilan razlomak, čiji je brojilac veći od nazivnika i djeljiv s njim bez ostatka, pretvara se u cijeli broj, na primjer: 20/5. Podijelite 20 sa 5 i dobijete broj 4. Ako je razlomak tačan, odnosno brojilac je manji od nazivnika, onda ga pretvorite u broj (decimalni razlomak). Više o razlomcima možete saznati iz našeg odjeljka -.

Načini pretvaranja razlomka u broj

• Prvi način pretvaranja razlomka u broj prikladan je za razlomak koji se može pretvoriti u broj koji je decimalni razlomak. Prvo, hajde da saznamo da li je moguće konvertovati dati razlomak u decimalni razlomak. Da biste to učinili, obratite pažnju na nazivnik (broj koji je ispod linije ili desno od kose). Ako se imenilac može razložiti na faktore (u našem primjeru - 2 i 5), koji se mogu ponoviti, onda se ovaj razlomak zaista može pretvoriti u konačni decimalni razlomak. Na primjer: 11/40 =11/(2∙2∙2∙5). Ovaj obični razlomak će se pretvoriti u broj (decimalni razlomak) sa konačnim brojem decimalnih mjesta. Ali razlomak 17/60 =17/(5∙2∙2∙3) će biti preveden u broj sa beskonačnim brojem decimalnih mjesta. Odnosno, prilikom preciznog izračunavanja numeričke vrijednosti, prilično je teško odrediti konačnu decimalnu zarezu, jer takvi znakovi beskonačan skup. Stoga, da biste riješili probleme, obično trebate zaokružiti vrijednost na stotinke ili hiljaditi dio. Dalje, potrebno je i brojilac i imenilac pomnožiti sa takvim brojem da nazivnik ima brojeve 10, 100, 1000, itd. Na primjer: 11/40 = (11∙25)/(40∙25) =275/1000 = 0,275
• Drugi način pretvaranja razlomka u broj je jednostavniji: potrebno je podijeliti brojilac sa nazivnikom. Da bismo primijenili ovu metodu, jednostavno izvršimo dijeljenje, a rezultirajući broj će biti željeni decimalni razlomak. Na primjer, trebate pretvoriti razlomak 2/15 u broj. Podijelimo 2 sa 15. Dobijamo 0, 1333 ... - beskonačan razlomak. Zapisujemo to ovako: 0,13(3). Ako je razlomak netačan, odnosno brojnik je veći od nazivnika (na primjer, 345/100), onda kao rezultat pretvaranja u broj, dobivate cijeli broj numerička vrijednost ili decimalni s cijelim razlomkom. U našem primjeru, to će biti 3,45. Da biste pretvorili mješoviti razlomak kao što je 3 2 / 7 u broj, prvo ga morate pretvoriti u nepravilan razlomak: (3∙7+2)/7 =23/7. Zatim, podijelimo 23 sa 7 i dobijemo broj 3,2857143, koji smanjujemo na 3,29.

Najlakši način da razlomak pretvorite u broj je korištenje kalkulatora ili drugog računarskog uređaja. Prvo naznačimo brojilac razlomka, zatim pritisnemo dugme sa ikonom "podijeli" i upišemo nazivnik. Nakon pritiska na tipku "=", dobijamo željeni broj.