U koliko tačaka je derivacija funkcije pozitivna? U kom trenutku je vrijednost derivata najveća?

Prikaz odnosa predznaka derivacije sa prirodom monotonosti funkcije.

Budite izuzetno oprezni u nastavku. Pogledajte, raspored ŠTA vam je dat! Funkcija ili njen derivat

Dat je graf derivacije, tada nas zanimaju samo predznaci funkcije i nule. Nikakvi "hrupi" i "udubine" nas u principu ne zanimaju!

Zadatak 1.

Slika prikazuje graf funkcije definirane na intervalu. Odredite broj cjelobrojnih točaka u kojima je derivacija funkcije negativna.

Odluka:

Na slici su područja opadajuće funkcije označena bojom:

4 cjelobrojne vrijednosti spadaju u ove oblasti opadajuće funkcije.

Zadatak 2.

Slika prikazuje graf funkcije definirane na intervalu. Pronađite broj tačaka u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna ili koincidentna s pravom.

Odluka:

Budući da je tangenta na graf funkcije paralelna (ili se poklapa) s pravom linijom (ili, što je isto, ) koja ima nagib , nula, tada tangenta ima nagib .

To zauzvrat znači da je tangenta paralelna s osom, budući da je nagib tangenta ugla nagiba tangente prema osi.

Dakle, nalazimo tačke ekstrema na grafu (maksimalne i minimalne tačke), - u njima će funkcije tangente na graf biti paralelne sa osom.

Postoje 4 takve tačke.

Zadatak 3.

Slika prikazuje graf derivacije funkcije definirane na intervalu . Pronađite broj tačaka u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna ili koincidentna s pravom.

Odluka:

Pošto je tangenta na graf funkcije paralelna (ili se poklapa) sa pravom linijom, koja ima nagib, onda tangenta ima nagib.

To zauzvrat znači da na dodirnim tačkama.

Stoga, gledamo koliko točaka na grafu ima ordinatu jednaku .

Kao što vidite, postoje četiri takve tačke.

Zadatak 4.

Slika prikazuje graf funkcije definirane na intervalu. Pronađite broj tačaka u kojima je derivacija funkcije 0.

Odluka:

Izvod je nula u tačkama ekstrema. Imamo ih 4:

Zadatak 5.

Slika prikazuje graf funkcije i jedanaest tačaka na x-osi:. U koliko od ovih tačaka je derivacija funkcije negativna?

Odluka:

Na intervalima opadajuće funkcije, njen izvod poprima negativne vrijednosti. I funkcija se smanjuje u tačkama. Postoje 4 takve tačke.

Zadatak 6.

Slika prikazuje graf funkcije definirane na intervalu. Pronađite zbroj točaka ekstrema funkcije .

Odluka:

ekstremne tačke su maksimalni poeni (-3, -1, 1) i minimalni poeni (-2, 0, 3).

Zbir ekstremnih poena: -3-1+1-2+0+3=-2.

Zadatak 7.

Slika prikazuje graf derivacije funkcije definirane na intervalu . Pronađite intervale rastuće funkcije . U svom odgovoru navedite zbir cijelih bodova uključenih u ove intervale.

Odluka:

Na slici su istaknuti intervali na kojima je derivacija funkcije nenegativna.

Na malom intervalu povećanja nema cijelih tačaka, na intervalu povećanja postoje četiri cjelobrojne vrijednosti: , , i .

Njihov zbir:

Zadatak 8.

Slika prikazuje graf derivacije funkcije definirane na intervalu . Pronađite intervale rastuće funkcije . U svom odgovoru napišite dužinu najvećeg od njih.

Odluka:

Na slici su istaknuti svi intervali na kojima je derivacija pozitivna, što znači da se sama funkcija povećava na tim intervalima.

Dužina najvećeg od njih je 6.

Zadatak 9.

Slika prikazuje graf derivacije funkcije definirane na intervalu . U kojoj tački na segmentu radi najveća vrijednost.

Odluka:

Gledamo kako se graf ponaša na segmentu, odnosno koji nas zanima samo znak derivata .

Predznak derivacije na je minus, jer je graf na ovom segmentu ispod ose.

Izvod funkcije je jedan od teške teme u školskom planu i programu. Neće svaki diplomac odgovoriti na pitanje šta je derivat.

Ovaj članak jednostavno i jasno objašnjava što je derivat i zašto je potreban.. Nećemo sada težiti matematičkoj strogosti prezentacije. Najvažnije je razumjeti značenje.

Prisjetimo se definicije:

Izvod je brzina promjene funkcije.

Na slici su prikazani grafikoni tri funkcije. Šta mislite koji najbrže raste?

Odgovor je očigledan - treći. Ona ima najviše velika brzina promjene, odnosno najveći derivat.

Evo još jednog primjera.

Kostya, Grisha i Matvey su dobili posao u isto vrijeme. Pogledajmo kako su se njihova primanja promijenila tokom godine:

Možete odmah vidjeti sve na grafikonu, zar ne? Kostjina primanja su se više nego udvostručila za šest meseci. I Grišini prihodi su također porasli, ali samo malo. A Matthewov prihod se smanjio na nulu. Početni uslovi su isti, ali brzina promjene funkcije, tj. derivat, - drugačije. Što se tiče Matveya, derivat njegovog prihoda je općenito negativan.

Intuitivno možemo lako procijeniti brzinu promjene funkcije. Ali kako da to uradimo?

Ono što zaista gledamo je koliko strmo graf funkcije ide gore (ili dolje). Drugim riječima, koliko se brzo y mijenja sa x. Očigledno, ista funkcija u različitim tačkama može imati drugačije značenje derivat – to jest, može se mijenjati brže ili sporije.

Derivat funkcije se označava sa .

Hajde da pokažemo kako pronaći koristeći graf.

Crta se graf neke funkcije. Uzmite tačku na njoj sa apscisom. Nacrtajte tangentu na graf funkcije u ovoj tački. Želimo procijeniti koliko strmo grafik funkcije ide gore. Zgodna vrijednost za ovo je tangenta nagiba tangente.

Derivat funkcije u tački jednak je tangenti nagiba tangente povučene na graf funkcije u toj tački.

Imajte na umu - kao ugao nagiba tangente uzimamo ugao između tangente i pozitivnog smera ose.

Ponekad učenici pitaju koja je tangenta na graf funkcije. Ovo je prava linija, koja ima jedini zajednička tačka sa grafikonom, i kao što je prikazano na našoj slici. Izgleda kao tangenta na kružnicu.

Hajde da nađemo. Sjećamo se da je tangenta oštrog ugla u pravougaonog trougla jednak omjeru suprotne noge i susjedne. Iz trougla:

Izvod smo pronašli koristeći graf, a da nismo ni znali formulu funkcije. Ovakvi zadaci se često nalaze na ispitu iz matematike pod brojem.

Postoji još jedna važna korelacija. Podsjetimo da je ravna linija data jednadžbom

Količina u ovoj jednačini se zove nagib prave linije. Jednaka je tangenti ugla nagiba prave linije prema osi.

.

Shvatili smo to

Prisjetimo se ove formule. Ona izražava geometrijsko značenje derivat.

Derivat funkcije u tački jednak je nagibu tangente povučene na graf funkcije u toj tački.

Drugim riječima, derivacija je jednaka tangenti nagiba tangente.

Već smo rekli da ista funkcija može imati različite izvode u različitim tačkama. Pogledajmo kako je derivacija povezana s ponašanjem funkcije.

Nacrtajmo graf neke funkcije. Neka se ova funkcija povećava u nekim područjima, smanjuje u drugim i sa različita brzina. I neka ova funkcija ima maksimum i minimum bodova.

U jednom trenutku, funkcija se povećava. Tangenta na graf nacrtan u tački se formira oštar ugao; sa pozitivnim smjerom ose. Dakle, izvod je pozitivan u tački.

U ovom trenutku, naša funkcija se smanjuje. Tangenta u ovoj tački formira tupi ugao; sa pozitivnim smjerom ose. Pošto je tangenta tupog ugla negativna, derivacija u tački je negativna.

Evo šta se dešava:

Ako je funkcija rastuća, njen izvod je pozitivan.

Ako se smanjuje, njegov izvod je negativan.

A šta će se dogoditi na maksimalnim i minimalnim tačkama? Vidimo da je u (maksimalna tačka) i (tačka minimuma) tangenta horizontalna. Prema tome, tangenta nagiba tangente u ovim tačkama je nula, a derivacija je takođe nula.

Tačka je maksimalna tačka. U ovom trenutku povećanje funkcije zamjenjuje se smanjenjem. Posljedično, predznak derivacije se mijenja u tački sa "plus" na "minus".

U tački - minimalnoj tački - derivacija je također jednaka nuli, ali joj se predznak mijenja sa "minus" na "plus".

Zaključak: uz pomoć izvoda možete saznati sve što nas zanima o ponašanju funkcije.

Ako je izvod pozitivan, tada se funkcija povećava.

Ako je izvod negativan, onda je funkcija opadajuća.

U tački maksimuma derivacija je nula i mijenja predznak sa plusa na minus.

U minimalnoj tački, derivacija je također nula i mijenja predznak sa minusa na plus.

Ove nalaze zapisujemo u obliku tabele:

Hajde da napravimo dva mala pojašnjenja. Jedan od njih će vam trebati prilikom rješavanja problema. Drugi - na prvoj godini, sa ozbiljnijim proučavanjem funkcija i derivata.

Moguć je slučaj kada je derivacija funkcije u nekoj tački jednaka nuli, ali funkcija nema ni maksimum ni minimum u ovoj tački. Ova tzv :

U tački, tangenta na graf je horizontalna, a derivacija je nula. Međutim, prije točke funkcija se povećala - a nakon točke nastavlja rasti. Predznak derivacije se ne mijenja – ostao je pozitivan kakav je bio.

Takođe se dešava da u tački maksimuma ili minimuma izvod ne postoji. Na grafikonu to odgovara oštrom prekidu, kada je nemoguće nacrtati tangentu u datoj tački.

Ali kako pronaći izvod ako funkcija nije data grafom, već formulom? U ovom slučaju se primjenjuje

Zdravo! Pogodimo UPOTREBU koja se približava kvalitetnom sistematskom obukom i istrajnošću u brušenju granita nauke !!! ATNa kraju posta je takmičarski zadatak, budi prvi! U jednom od članaka u ovom odeljku, ti i ja, u kojem je dat graf funkcije i postavljeni razna pitanja o ekstremima, intervalima porasta (opadanja) i dr.

U ovom članku ćemo razmotriti zadatke uključene u USE u matematici, u kojima je dat graf derivacije funkcije, a postavljaju se sljedeća pitanja:

1. U kojoj tački datog segmenta funkcija poprima najveću (ili najmanju) vrijednost.

2. Pronađite broj maksimalnih (ili minimalnih) tačaka funkcije koje pripadaju datom segmentu.

3. Odrediti broj točaka ekstrema funkcije koje pripadaju datom segmentu.

4. Odrediti tačku ekstrema funkcije koja pripada datom segmentu.

5. Pronađite intervale povećanja (ili smanjenja) funkcije i u odgovoru navedite zbir cijelih bodova uključenih u ove intervale.

6. Pronađite intervale povećanja (ili smanjenja) funkcije. U svom odgovoru navedite dužinu najvećeg od ovih intervala.

7. Odrediti broj tačaka u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna pravoj liniji y = kx + b ili se poklapa s njom.

8. Naći apscisu tačke u kojoj je tangenta na graf funkcije paralelna sa osom apscise ili se poklapa s njom.

Mogu postojati i druga pitanja, ali vam neće stvarati poteškoće ako razumete i (linkovi su dostavljeni do članaka koji pružaju informacije potrebne za rešavanje, preporučujem da ponovite).

Osnovne informacije (ukratko):

1. Izvod na rastućim intervalima ima pozitivan predznak.

Ako derivacija u određenoj tački iz nekog intervala ima pozitivna vrijednost, tada se graf funkcije na ovom intervalu povećava.

2. Na intervalima opadanja derivacija ima negativan predznak.

Ako derivacija u određenoj tački iz nekog intervala ima negativno značenje, tada graf funkcije opada na ovom intervalu.

3. Derivat u tački x jednak je nagibu tangente povučene na graf funkcije u istoj tački.

4. U tačkama ekstrema (maksimum-minimum) funkcije derivacija je jednaka nuli. Tangenta na graf funkcije u ovoj tački je paralelna sa x-osom.

Ovo treba jasno shvatiti i zapamtiti!!!

Grafikon izvedenice "zbunjuje" mnoge ljude. Neki ga nehotice uzimaju za graf same funkcije. Stoga, u takvim zgradama, gdje vidite da je dat graf, odmah usmjerite pažnju u uvjetu na ono što je dato: graf funkcije ili graf derivacije funkcije?

Ako je to graf derivacije funkcije, onda ga tretirajte kao "odraz" same funkcije, što vam jednostavno daje informacije o ovoj funkciji.

Razmotrite zadatak:

Na slici je prikazan grafikon y=f'(X)- derivirajuća funkcija f(X), definisan na intervalu (–2;21).

Odgovorit ćemo na sljedeća pitanja:

1. U kojoj se tački segmenta nalazi funkcija f(X) poprima najveću vrijednost.

Na datom segmentu derivacija funkcije je negativna, što znači da funkcija opada na ovom segmentu (opada od lijeve granice intervala na desno). Tako se maksimalna vrijednost funkcije postiže na lijevoj granici segmenta, odnosno u tački 7.

Odgovor: 7

2. U kojoj tački segmenta je funkcija f(X)

Iz ovog grafa derivacije možemo reći sljedeće. Na datom segmentu derivacija funkcije je pozitivna, što znači da funkcija raste na ovom segmentu (rast od lijeve granice intervala do desne). dakle, najmanju vrijednost Funkcija se postiže na lijevoj granici segmenta, odnosno u tački x = 3.

Odgovor: 3

3. Pronađite broj maksimalnih tačaka funkcije f(X)

Maksimalne tačke odgovaraju tačkama gde se predznak derivacije menja iz pozitivnog u negativan. Razmislite gdje se znak mijenja na ovaj način.

Na segmentu (3;6) izvod je pozitivan, na segmentu (6;16) negativan.

Na segmentu (16;18) izvod je pozitivan, na segmentu (18;20) negativan.

Dakle, na datom segmentu funkcija ima dvije maksimalne tačke x = 6 i x = 18.

Odgovor: 2

4. Odrediti broj minimalnih tačaka funkcije f(X) koji pripadaju segmentu.

Minimalne tačke odgovaraju tačkama gde se predznak derivacije menja iz negativnog u pozitivan. Imamo negativan izvod na intervalu (0; 3), a pozitivan na intervalu (3; 4).

Dakle, na segmentu funkcija ima samo jednu minimalnu tačku x = 3.

*Budite oprezni pri pisanju odgovora - bilježi se broj bodova, a ne x vrijednost, takva greška može nastati zbog nepažnje.

Odgovor: 1

5. Odrediti broj točaka ekstrema funkcije f(X) koji pripadaju segmentu.

Imajte na umu da morate pronaći iznos ekstremne tačke (ovo su i maksimalne i minimalne tačke).

Ekstremne tačke odgovaraju tačkama u kojima se menja predznak derivacije (iz pozitivnog u negativan ili obrnuto). Na grafu datom u uslovu, ovo su nule funkcije. Izvod nestaje u tačkama 3, 6, 16, 18.

Dakle, funkcija ima 4 ekstremne tačke na segmentu.

Odgovor: 4

6. Naći intervale rastuće funkcije f(X)

Intervali povećanja ove funkcije f(X) odgovaraju intervalima na kojima je njegova derivacija pozitivna, odnosno intervalima (3;6) i (16;18). Imajte na umu da granice intervala nisu uključene u njega (okrugle zagrade - granice nisu uključene u interval, uključene su uglaste zagrade). Ovi intervali sadrže cijele tačke 4, 5, 17. Njihov zbir je: 4 + 5 + 17 = 26

Odgovor: 26

7. Naći intervale opadajuće funkcije f(X) u datom intervalu. U svom odgovoru navedite zbir cijelih bodova uključenih u ove intervale.

Funkcija Smanjenje intervala f(X) odgovaraju intervalima na kojima je derivacija funkcije negativna. U ovom zadatku, to su intervali (–2;3), (6;16), (18;21).

Ovi intervali sadrže sljedeće cjelobrojne tačke: -1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Njihov zbir je:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Odgovor: 140

*Obratite pažnju na uslov: da li su granice uključene u interval ili ne. Ako su granice uključene, onda se i te granice moraju uzeti u obzir u intervalima koji se razmatraju u procesu rješavanja.

8. Naći intervale rastuće funkcije f(X)

Intervali povećanja funkcije f(X) odgovaraju intervalima na kojima je derivacija funkcije pozitivna. Već smo ih naznačili: (3;6) i (16;18). Najveći od njih je interval (3;6), njegova dužina je 3.

Odgovor: 3

9. Naći intervale opadajuće funkcije f(X). U svom odgovoru napišite dužinu najvećeg od njih.

Funkcija Smanjenje intervala f(X) odgovaraju intervalima na kojima je derivacija funkcije negativna. Već smo ih naznačili, to su intervali (–2; 3), (6; 16), (18; 21), njihove dužine su respektivno jednake 5, 10, 3.

Dužina najvećeg je 10.

Odgovor: 10

10. Pronađite broj tačaka gdje je tangenta na graf funkcije f(X) paralelno s pravom y = 2x + 3 ili se poklapa s njom.

Vrijednost derivacije u tački dodira jednaka je nagibu tangente. Budući da je tangenta paralelna pravoj liniji y = 2x + 3 ili se poklapa s njom, tada su njihovi nagibi jednaki 2. Stoga je potrebno pronaći broj tačaka u kojima je y (x 0) = 2. Geometrijski, ovo odgovara broju presečnih tačaka grafika derivacije sa pravom linijom y = 2. Na ovom intervalu postoje 4 takve tačke.

Odgovor: 4

11. Pronađite točku ekstrema funkcije f(X) koji pripadaju segmentu.

Ekstremna tačka funkcije je tačka u kojoj je njen izvod jednak nuli, a u blizini te tačke derivacija menja predznak (iz pozitivnog u negativan ili obrnuto). Na segmentu, graf derivacije prelazi x-osu, derivacija mijenja predznak iz negativnog u pozitivan. Prema tome, tačka x = 3 je tačka ekstrema.

Odgovor: 3

12. Pronađite apscise tačaka u kojima su tangente na graf y = f (x) paralelne s osom apscise ili se poklapaju s njom. U svom odgovoru navedite najveći od njih.

Tangenta na graf y = f (x) može biti paralelna s osi x ili se poklapati s njom, samo u tačkama u kojima je derivacija nula (to mogu biti tačke ekstrema ili stacionarne tačke, u čijoj blizini je derivacija ne mijenja svoj predznak). Ovaj grafikon pokazuje da je izvod nula u tačkama 3, 6, 16,18. Najveći je 18.

Argument se može strukturirati ovako:

Vrijednost derivacije u tački dodira jednaka je nagibu tangente. Pošto je tangenta paralelna ili koincidentna sa x-osom, njen nagib je 0 (zaista, tangenta ugla od nula stepeni je nula). Stoga tražimo tačku u kojoj je nagib jednak nuli, što znači da je derivacija jednaka nuli. Izvod je jednak nuli u tački u kojoj njen grafik prelazi x-osu, a to su tačke 3, 6, 16,18.

Odgovor: 18

Na slici je prikazan grafikon y=f'(X)- derivirajuća funkcija f(X) definisano na intervalu (–8;4). U kojoj tački segmenta [–7;–3] je funkcija f(X) uzima najmanju vrijednost.

Na slici je prikazan grafikon y=f'(X)- derivirajuća funkcija f(X), definisan na intervalu (–7;14). Pronađite broj maksimalnih tačaka funkcije f(X) koji pripadaju segmentu [–6;9].

Na slici je prikazan grafikon y=f'(X)- derivirajuća funkcija f(X) definisano na intervalu (–18;6). Pronađite broj minimalnih tačaka funkcije f(X) koji pripadaju intervalu [–13;1].

Na slici je prikazan grafikon y=f'(X)- derivirajuća funkcija f(X), definisan na intervalu (–11; –11). Odrediti broj točaka ekstrema funkcije f(X), koji pripada segmentu [–10; -deset].

Na slici je prikazan grafikon y=f'(X)- derivirajuća funkcija f(X) definisano na intervalu (–7;4). Naći intervale rastuće funkcije f(X). U svom odgovoru navedite zbir cijelih bodova uključenih u ove intervale.

Na slici je prikazan grafikon y=f'(X)- derivirajuća funkcija f(X), definisan na intervalu (–5; 7). Naći intervale opadajuće funkcije f(X). U svom odgovoru navedite zbir cijelih bodova uključenih u ove intervale.

Na slici je prikazan grafikon y=f'(X)- derivirajuća funkcija f(X) definisano na intervalu (–11;3). Naći intervale rastuće funkcije f(X). U svom odgovoru napišite dužinu najvećeg od njih.

F Slika prikazuje grafikon

Uslov problema je isti (koji smo razmatrali). Pronađite zbir tri broja:

1. Zbir kvadrata ekstrema funkcije f (x).

2. Razlika kvadrata zbira maksimalnih tačaka i zbira minimalnih tačaka funkcije f (x).

3. Broj tangenti na f (x) paralelno s pravom linijom y = -3x + 5.

Onaj koji prvi da tačan odgovor će dobiti stimulativnu nagradu - 150 rubalja. Napišite svoje odgovore u komentarima. Ako vam je ovo prvi komentar na blogu, onda se neće pojaviti odmah, nešto kasnije (ne brinite, vrijeme pisanja komentara se bilježi).

Sretno ti!

S poštovanjem, Alexander Krutitsikh.

P.S: Bio bih vam zahvalan ako o stranici kažete na društvenim mrežama.