To'g'ri chiziqlarning qiyaligi va qiyaligini toping. Nishabli to'g'ri chiziq tenglamasi: nazariya, misollar, masalalar yechish

y \u003d f (x) chizig'i, agar u (x0; f (x0)) koordinatali nuqtadan o'tsa va f "(x0) qiyaligiga ega bo'lsa, x0 nuqtasida rasmda ko'rsatilgan grafikga tegib turadi. Toping. bunday koeffitsient, tangensning xususiyatlarini bilish qiyin emas.

Sizga kerak bo'ladi

• - matematik ma'lumotnoma;
• - oddiy qalam;
• - daftar;
• - transportyor;
• - kompas;
• - qalam.

Ko'rsatma

Agar f‘(x0) qiymati mavjud bo‘lmasa, u holda yo tangens yo‘q, yoki u vertikal ravishda o‘tadi. Shularni hisobga olsak, funksiya hosilasining x0 nuqtada mavjudligi (x0, f(x0)) nuqtada funksiya grafigi bilan aloqada bo‘lgan vertikal bo‘lmagan tangensning mavjudligi bilan bog‘liq. Ushbu holatda qiyalik tangens f "(x0) bo'ladi. Shunday qilib, aniq bo'ladi geometrik ma'no hosila - tangensning qiyaligini hisoblash.

X1, x2 va x3 nuqtalarda funktsiya grafigi bilan aloqa qiladigan qo'shimcha tangenslarni chizing, shuningdek, bu teglar tomonidan abscissa o'qi bilan hosil bo'lgan burchaklarni belgilang (bunday burchak o'qdan tangensga musbat yo'nalishda hisoblanadi) chiziq). Masalan, burchak, ya'ni a1 o'tkir, ikkinchisi (a2) o'tkir, uchinchisi (a3) ​​bo'ladi. nol, chunki tangens chiziq x o'qiga parallel. Bunda o'tmas burchakning tangensi manfiy, o'tkir burchakning tangensi musbat, tg0 uchun esa natija nolga teng bo'ladi.

Eslatma

Tangens hosil qilgan burchakni to'g'ri aniqlang. Buning uchun transport vositasidan foydalaning.

Foydali maslahat

Ikki qiya chiziq, agar ularning qiyaliklari bir-biriga teng bo'lsa, parallel bo'ladi; perpendikulyar, agar bu tangenslarning qiyaliklarining mahsuloti -1 bo'lsa.

Manbalar:

• Funksiya grafigiga teginish

Kosinus, xuddi sinus kabi, "to'g'ridan-to'g'ri" trigonometrik funktsiyalar deb ataladi. Tangens (kotangens bilan birga) "hosilalar" deb ataladigan boshqa juftlikka qo'shiladi. Ushbu funktsiyalarning bir nechta ta'riflari mavjud bo'lib, ular tomonidan berilgan tangensni topish mumkin ma'lum qiymat bir xil qiymatdagi kosinus.

Ko'rsatma

Qiymatga ko'tarilgan berilgan burchakning kosinusu bo'yicha birlikdan qismni ayiring va natijadan kvadrat ildizni chiqaring - bu burchakdan tangensning kosinasi bilan ifodalangan qiymati bo'ladi: tg (a) \u003d √ (1-1 / (cos (a)) ²) . Shu bilan birga, formulada kosinus kasrning maxrajida ekanligiga e'tibor bering. Nolga bo'linishning mumkin emasligi 90 ° ga teng burchaklar uchun ushbu ifodadan foydalanishni istisno qiladi, shuningdek, bu qiymatdan 180 ° (270 °, 450 °, -90 ° va boshqalar) ko'paytmalari bilan farqlanadi.

Shuningdek bor muqobil yo'l kosinusning ma'lum qiymatidan tangensni hisoblash. Boshqa foydalanishda hech qanday cheklov bo'lmasa, foydalanish mumkin. Ushbu usulni amalga oshirish uchun birinchi navbatda kosinusning ma'lum qiymatidan burchakning qiymatini aniqlang - bu arkkosin funktsiyasi yordamida amalga oshirilishi mumkin. Keyin olingan qiymatning burchagi uchun tangensni hisoblang. Umuman olganda, bu algoritmni quyidagicha yozish mumkin: tg(a)=tg(arccos(cos(a))).

Kosinus va tangensning ta'rifidan foydalangan holda ekzotik variant ham mavjud o'tkir burchaklar to'g'ri uchburchak. Ushbu ta'rifdagi kosinus ko'rib chiqilayotgan burchakka ulashgan oyoq uzunligining gipotenuzaning uzunligiga nisbatiga mos keladi. Kosinusning qiymatini bilib, unga mos keladigan ushbu ikki tomonning uzunligini tanlashingiz mumkin. Misol uchun, agar cos(a)=0,5 bo'lsa, u holda qo'shni 10 sm, gipotenuzani esa 20 sm ga teng bo'lishi mumkin. Bu erda aniq raqamlar muhim emas - siz bir xil qiymatga ega bo'lgan har qanday qiymatlar bilan bir xil va to'g'ri olasiz. Keyin, Pifagor teoremasidan foydalanib, etishmayotgan tomonning uzunligini aniqlang - qarama-qarshi oyoq. U teng bo'ladi kvadrat ildiz kvadrat gipotenuzaning uzunliklari va ma'lum bo'lgan oyog'i orasidagi farqdan: √(20²-10²)=√300. Ta'rifga ko'ra, tangens qarama-qarshi va qo'shni oyoqlarning uzunliklari nisbatiga mos keladi (√300/10) - uni hisoblang va kosinusning klassik ta'rifi yordamida topilgan tangens qiymatini oling.

Manbalar:

• tangens formula orqali kosinus

Bittasi trigonometrik funktsiyalar, ko'pincha tg harflari bilan belgilanadi, garchi tan belgilari ham mavjud. Eng oson yo'li - tangensni sinusning nisbati sifatida ifodalash burchak uning kosinusiga. Bu g'alati davriy va uzluksiz funktsiya bo'lib, uning har bir tsikli soniga teng Pi va tanaffus nuqtasi bu raqamning yarmiga to'g'ri keladi.

Sertifikatlash imtihonida "Tangensning burchak koeffitsienti qiyalik burchagi tangensi sifatida" mavzusiga bir vaqtning o'zida bir nechta topshiriqlar beriladi. Ularning holatiga qarab, bitiruvchidan ham to'liq javob, ham qisqa javob berish talab qilinishi mumkin. Tayyorgarlikda imtihondan o'tish matematikada talaba tangensning qiyaligini hisoblash talab qilinadigan vazifalarni aniq takrorlashi kerak.

Buni qilish sizga yordam beradi ta'lim portali"Shkolkovo". Mutaxassislarimiz nazariy va amaliy materiallarni iloji boricha tayyorlab, taqdim etishdi. U bilan tanishib, har qanday darajadagi tayyorgarlikka ega bitiruvchilar tangens qiyalik tangensini topish talab qilinadigan hosilalar bilan bog'liq masalalarni muvaffaqiyatli hal qilishlari mumkin.

Asosiy daqiqalar

Imtihonda bunday vazifalarning to'g'ri va oqilona echimini topish uchun siz eslab qolishingiz kerak asosiy ta'rif: hosila - funksiyaning o'zgarish tezligi; u funksiya grafigiga ma'lum nuqtada chizilgan tangensning qiyaligi tangensiga teng. Chizishni to'ldirish ham bir xil darajada muhimdir. Bu sizga topishga imkon beradi to'g'ri yechim Tangens qiyaligining tangensini hisoblash talab qilinadigan hosila bo'yicha masalalarni QILING. Aniqlik uchun grafikni OXY tekisligida chizish yaxshidir.

Agar siz lotin mavzusi bo'yicha asosiy material bilan allaqachon tanishgan bo'lsangiz va shunga o'xshash tangensning moyillik burchagi tangensini hisoblash uchun muammolarni hal qilishni boshlashga tayyor bo'lsangiz. Topshiriqlardan FOYDALANISH buni onlayn qilishingiz mumkin. Har bir topshiriq uchun, masalan, “Hosilning jismning tezligi va tezlanishi bilan aloqasi” mavzusidagi topshiriqlar uchun biz toʻgʻri javob va yechish algoritmini yozib oldik. Bunday holda, talabalar topshiriqlarni bajarishda mashq qilishlari mumkin. turli darajalar qiyinchiliklar. Agar kerak bo'lsa, mashqni "Sevimlilar" bo'limida saqlash mumkin, shunda keyin siz o'qituvchi bilan qarorni muhokama qilishingiz mumkin.

Funksiyalarning hosilalarini olishni o‘rganing. Hosila ushbu funktsiya grafigida yotgan ma'lum bir nuqtada funktsiyaning o'zgarish tezligini tavsiflaydi. Bunday holda, grafik to'g'ri chiziq yoki egri chiziq bo'lishi mumkin. Ya'ni, hosila vaqtning ma'lum bir nuqtasida funktsiyaning o'zgarish tezligini tavsiflaydi. Eslab qoling umumiy qoidalar ular uchun hosilalar olinadi va shundan keyingina keyingi bosqichga o'ting.

• Maqolani o'qing.
• Eng oddiy hosilalarni qanday olish mumkin, masalan, hosila eksponensial tenglama, tasvirlangan. Keyingi bosqichlarda keltirilgan hisob-kitoblar u erda tasvirlangan usullarga asoslanadi.

Nishabni funktsiyaning hosilasi bo'yicha hisoblash kerak bo'lgan masalalarni farqlashni o'rganing. Vazifalarda har doim ham funktsiyaning qiyaligini yoki hosilasini topish tavsiya etilmaydi. Masalan, sizdan funksiyaning A(x, y) nuqtadagi o‘zgarish tezligini topish so‘ralishi mumkin. Shuningdek, sizdan A(x, y) nuqtadagi tangensning qiyaligini topish talab qilinishi mumkin. Ikkala holatda ham funktsiyaning hosilasini olish kerak.

Tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasi mavzusining davomi algebra darslaridan to'g'ri chiziqni o'rganishga asoslangan. Ushbu maqolada qiyalik bilan to'g'ri chiziq tenglamasi mavzusi bo'yicha umumlashtirilgan ma'lumotlar berilgan. Ta'riflarni ko'rib chiqing, tenglamaning o'zini oling, boshqa turdagi tenglamalar bilan aloqani oching. Hamma narsa muammoni hal qilish misollarida muhokama qilinadi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Bunday tenglamani yozishdan oldin to'g'ri chiziqning O x o'qiga qiyalik burchagini ularning qiyaligi bilan aniqlash kerak. Dekart koordinata sistemasi O x tekislikda berilgan deb faraz qilaylik.

Ta'rif 1

To'g'ri chiziqning o'qiga og'ish burchagi O x, tekislikda dekart koordinatalar tizimida joylashgan O x y, bu musbat yo'nalish O x to'g'ri chiziqqa soat miliga teskari yo'nalishda o'lchanadigan burchakdir.

Chiziq Ox ga parallel bo'lganda yoki unda tasodif sodir bo'lganda, moyillik burchagi 0 ga teng. Keyin berilgan to'g'ri chiziqning qiyalik burchagi a [ 0 , p) oraliqda aniqlanadi.

Ta'rif 2

To'g'ri chiziqning qiyaligi berilgan chiziq qiyaligining tangensi.

Standart belgi - k. Ta'rifdan biz k = t g a ni olamiz. Chiziq Oxga parallel bo'lsa, qiyalik mavjud emas deb aytiladi, chunki u cheksizlikka boradi.

Funksiya grafigi ortib borayotganida nishab musbat va aksincha. Rasmda joylashuvning turli xil o'zgarishlari ko'rsatilgan to'g'ri burchak koeffitsient qiymati bilan koordinatalar tizimiga nisbatan.

Bu burchakni topish uchun qiyalik koeffitsienti ta'rifini qo'llash va tekislikdagi qiyalik burchagi tangensini hisoblash kerak.

Qaror

Shartdan biz a = 120 ° ga egamiz. Ta'rifga ko'ra, siz nishabni hisoblashingiz kerak. Uni k = t g a = 120 = - 3 formuladan topamiz.

Javob: k = - 3 .

Agar burchak koeffitsienti ma'lum bo'lsa, lekin x o'qiga moyillik burchagini topish kerak bo'lsa, u holda burchak koeffitsientining qiymatini hisobga olish kerak. Agar k > 0 bo'lsa, to'g'ri burchak o'tkirdir va a = a r c t g k formulasi bilan topiladi. Agar k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

2-misol

Nishab 3 ga teng bo'lgan O x ga berilgan to'g'ri chiziqning og'ish burchagini aniqlang.

Qaror

Bizda mavjud bo'lgan shartdan nishab musbat, ya'ni O x ga moyillik burchagi 90 darajadan kam. Hisob-kitoblar a = a r c t g k = a r c t g 3 formulasi bo'yicha amalga oshiriladi.

Javob: a = a r c t g 3 .

3-misol

Nishab = - 1 3 bo'lsa, to'g'ri chiziqning O x o'qiga og'ish burchagini toping.

Qaror

Nishab belgisi sifatida k harfini oladigan bo'lsak, u holda a - berilgan to'g'ri chiziqqa O x musbat yo'nalishdagi moyillik burchagi. Demak, k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

a = p - a r c t g - 1 3 = p - a r c t g 1 3 = p - p 6 = 5 p 6 .

Javob: 5 pi 6.

y \u003d k x + b ko'rinishdagi tenglama, bu erda k - qiyalik va b - qandaydir haqiqiy son, qiyalikli to'g'ri chiziq tenglamasi deyiladi. Tenglama O y o'qiga parallel bo'lmagan har qanday to'g'ri chiziq uchun xosdir.

Agar y \u003d k x + b ga o'xshash qiyalik bilan tenglama bilan berilgan, qattiq koordinatalar tizimidagi tekislikdagi to'g'ri chiziqni batafsil ko'rib chiqsak. Bu holda, bu chiziqning istalgan nuqtasining koordinatalari tenglamaga mos kelishini anglatadi. Agar M, M 1 (x 1, y 1) nuqtaning koordinatalarini y \u003d k x + b tenglamasiga almashtirsak, bu holda chiziq shu nuqtadan o'tadi, aks holda nuqta nuqtaga tegishli emas. chiziq.

4-misol

Nishab y = 1 3 x - 1 bo'lgan to'g'ri chiziq berilgan. M 1 (3 , 0) va M 2 (2 , - 2) nuqtalar berilgan chiziqqa tegishli ekanligini hisoblang.

Qaror

Berilgan tenglamaga M 1 (3, 0) nuqtaning koordinatalarini qo'yish kerak, keyin 0 = 1 3 3 - 1 ⇔ 0 = 0 ni olamiz. Tenglik to'g'ri, shuning uchun nuqta chiziqqa tegishli.

Agar M 2 (2, - 2) nuqtaning koordinatalarini almashtirsak, u holda - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3 ko'rinishdagi noto'g'ri tenglikni olamiz. M 2 nuqta chiziqqa tegishli emas degan xulosaga kelishimiz mumkin.

Javob: M 1 chiziqqa tegishli, lekin M 2 yo'q.

Ma'lumki, to'g'ri chiziq M 1 (0 , b) dan o'tuvchi y = k · x + b tenglama bilan aniqlanadi, almashtirish b = k · 0 + b ⇔ b = b ko'rinishdagi tenglikni berdi. Bundan xulosa qilishimiz mumkinki, tekislikdagi qiyaligi y = k · x + b bo'lgan to'g'ri chiziq tenglamasi 0, b nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziqni aniqlaydi. U O x o'qining musbat yo'nalishi bilan a burchak hosil qiladi, bu erda k = t g a .

Misol uchun, y = 3 · x - 1 ko'rinishida berilgan qiyalik yordamida aniqlangan to'g'ri chiziqni ko'rib chiqaylik. Ox o'qining musbat yo'nalishi bo'ylab qiyaligi a = a r c t g 3 = p 3 radian bo'lgan to'g'ri chiziq koordinatasi 0, - 1 bo'lgan nuqtadan o'tishini olamiz. Bundan ko'rinib turibdiki, koeffitsient 3 ga teng.

Berilgan nuqtadan o'tuvchi qiyalikli to'g'ri chiziq tenglamasi

M 1 (x 1, y 1) nuqtadan o'tuvchi berilgan qiyalik bilan to'g'ri chiziq tenglamasini olish kerak bo'lgan masalani hal qilish kerak.

y 1 = k · x + b tengligini haqiqiy deb hisoblash mumkin, chunki chiziq M 1 (x 1 , y 1) nuqtadan o'tadi. B raqamini olib tashlash uchun chap va o'ng tomondan nishab koeffitsienti bilan tenglamani olib tashlash kerak. Bundan kelib chiqadiki, y - y 1 = k · (x - x 1) . Bu tenglik M 1 (x 1, y 1) nuqtaning koordinatalaridan o'tuvchi, qiyalik berilgan k bo'lgan to'g'ri chiziq tenglamasi deb ataladi.

5-misol

Koordinatalari (4, - 1), qiyaligi - 2 ga teng bo'lgan M 1 nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini tuzing.

Qaror

Shartga ko'ra, bizda x 1 \u003d 4, y 1 \u003d - 1, k \u003d - 2 bor. Bu yerdan to‘g‘ri chiziq tenglamasi shu tarzda yoziladi y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x. + 7.

Javob: y = - 2 x + 7.

6-misol

y \u003d 2 x - 2 to'g'ri chiziqqa parallel koordinatalari (3, 5) bilan M 1 nuqtadan o'tadigan qiyalikli to'g'ri chiziq tenglamasini yozing.

Qaror

Shartga ko'ra, biz parallel chiziqlar bir-biriga mos keladigan moyillik burchaklariga ega, shuning uchun qiyalik koeffitsientlari tengdir. Nishabni topish uchun berilgan tenglama, uning asosiy formulasini esga olish kerak y = 2 x - 2, bundan k = 2 kelib chiqadi. Nishab koeffitsienti bilan tenglama tuzamiz va olamiz:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

Javob: y = 2 x - 1 .

Nishabli to'g'ri chiziq tenglamasidan to'g'ri chiziq tenglamalarining boshqa turlariga o'tish va aksincha.

Bunday tenglama har doim ham muammolarni hal qilishda qo'llanilmaydi, chunki u juda qulay belgiga ega emas. Buning uchun u boshqa shaklda taqdim etilishi kerak. Masalan, y = k · x + b ko'rinishdagi tenglama to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorining koordinatalarini yoki normal vektorning koordinatalarini yozishga imkon bermaydi. Buning uchun siz boshqa turdagi tenglamalarni ifodalashni o'rganishingiz kerak.

Biz olishimiz mumkin kanonik tenglama qiyalik bilan to'g'ri chiziq tenglamasidan foydalanib, tekislikdagi to'g'ri chiziq. Biz x - x 1 a x = y - y 1 a y ni olamiz. b atamasini chap tomonga siljitish va hosil bo'lgan tengsizlik ifodasiga bo'lish kerak. Keyin y = k x + b ⇔ y - b = k x ⇔ k x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k ko'rinishdagi tenglamani olamiz.

Nishabli to'g'ri chiziq tenglamasi berilgan to'g'ri chiziqning kanonik tenglamasiga aylandi.

7-misol

Nishab y = - 3 x + 12 bo'lgan to'g'ri chiziq tenglamasini kanonik ko'rinishga keltiring.

Qaror

To'g'ri chiziqning kanonik tenglamasi ko'rinishida hisoblab chiqamiz va ifodalaymiz. Formaning tenglamasini olamiz:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

Javob: x 1 = y - 12 - 3.

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini y = k x + b dan olish eng oson, ammo bu o'zgartirishlarni talab qiladi: y = k x + b ⇔ k x - y + b = 0. O'tish dan amalga oshiriladi umumiy tenglama to'g'ridan-to'g'ri boshqa turdagi tenglamalarga.

8-misol

y = 1 7 x - 2 ko`rinishdagi to`g`ri chiziq tenglamasi berilgan. Koordinatalari a → = (- 1 , 7) bo‘lgan vektor normal to‘g‘ri chiziqli vektor ekanligini aniqlang?

Qaror

Uni hal qilish uchun ushbu tenglamaning boshqa shakliga o'tish kerak, buning uchun biz yozamiz:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

O'zgaruvchilar oldidagi koeffitsientlar to'g'ri chiziqning normal vektorining koordinatalari. Buni shunday yozamiz n → = 1 7 , - 1 , demak 1 7 x - y - 2 = 0 . A → = (- 1, 7) vektori n → = 1 7, - 1 vektoriga kollinear ekanligi aniq, chunki bizda a → = - 7 · n → adolatli munosabat mavjud. Bundan kelib chiqadiki, asl a → = - 1, 7 vektori 1 7 x - y - 2 = 0 chiziqning normal vektori bo'lib, u y = 1 7 x - 2 chiziq uchun normal vektor hisoblanadi.

Javob: Bu an

Keling, muammoni bu masalaga teskari hal qilaylik.

dan ko'chirish kerak umumiy ko'rinish tenglama A x + B y + C = 0, bu erda B ≠ 0, qiyalik tenglamasiga. Buning uchun y uchun tenglamani yechamiz. Biz A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B ni olamiz.

Natijada - A B ga teng qiyalikli tenglama olinadi.

9-misol

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ko'rinishdagi to'g'ri chiziq tenglamasi berilgan. Nishab bilan berilgan chiziq tenglamasini oling.

Qaror

Shartga asoslanib, y uchun yechish kerak, keyin biz quyidagi shakldagi tenglamani olamiz:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4.

Javob: y = 1 6 x + 1 4 .

Xuddi shunday, x a + y b \u003d 1 ko'rinishdagi tenglama echiladi, bu segmentlardagi to'g'ri chiziq tenglamasi yoki x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y kanonik shakl deb ataladi. Uni y ga nisbatan yechish kerak, shundan keyingina nishabli tenglamani olamiz:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a x + b.

Kanonik tenglamani qiyalikli shaklga keltirish mumkin. Buning uchun:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a x y = a y x - a y x 1 + a x y 1 ⇔ y = a y a x x - a y a x 1 +y

10-misol

x 2 + y - 3 = 1 tenglama bilan berilgan to'g'ri chiziq mavjud. Nishab bilan tenglama shakliga keltiring.

Qaror.

Shartga asoslanib, uni o'zgartirish kerak, keyin _formula_ ko'rinishdagi tenglamani olamiz. Kerakli nishab tenglamasini olish uchun tenglamaning ikkala tomonini -3 ga ko'paytirish kerak. O'zgartirish orqali biz quyidagilarni olamiz:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 y - 3 = - 3 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3.

Javob: y = 3 2 x - 3.

11-misol

X - 2 2 \u003d y + 1 5 ko'rinishdagi to'g'ri chiziq tenglamasi qiyalik bilan shaklga keltiriladi.

Qaror

X - 2 2 = y + 1 5 ifodasini proporsiya sifatida hisoblash kerak. Biz 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) ni olamiz. Endi siz uni to'liq yoqishingiz kerak, buning uchun:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

Javob: y = 5 2 x - 6 .

Bunday vazifalarni hal qilish uchun x \u003d x 1 + a x l y \u003d y 1 + a y l ko'rinishidagi to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari to'g'ri chiziqning kanonik tenglamasiga keltirilishi kerak, shundan keyingina siz quyidagiga o'tishingiz mumkin. qiyalik bilan tenglama.

12-misol

To'g'ri chiziqning qiyaligini toping, agar u x = l y = - 1 + 2 · l parametrik tenglamalar bilan berilgan bo'lsa.

Qaror

Parametrik ko'rinishdan nishabga o'tishingiz kerak. Buning uchun berilgan parametrikdan kanonik tenglamani topamiz:

x = l y = - 1 + 2 l ⇔ l = x l = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2.

Endi qiyalikli to'g'ri chiziq tenglamasini olish uchun bu tenglikni y ga nisbatan yechish kerak. Buning uchun biz shunday yozamiz:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

Bundan kelib chiqadiki, to'g'ri chiziqning qiyaligi 2 ga teng. Bu k = 2 shaklida yoziladi.

Javob: k = 2.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Nishab koeffitsienti to'g'ri. Ushbu maqolada biz matematikadan imtihonga kiritilgan koordinata tekisligi bilan bog'liq vazifalarni ko'rib chiqamiz. Bular uchun topshiriqlar:

- to'g'ri chiziqdan o'tadigan ikkita nuqta ma'lum bo'lganda uning qiyaligini aniqlash;
- tekislikdagi ikkita chiziqning kesishish nuqtasining abscissa yoki ordinatasini aniqlash.

Nuqtaning abtsissasi va ordinatasi nima ekanligi ushbu bobda tasvirlangan. Unda biz koordinata tekisligi bilan bog'liq bir nechta muammolarni ko'rib chiqdik. Ko'rib chiqilayotgan vazifalar turi uchun nimani tushunish kerak? Bir oz nazariya.

Koordinata tekisligidagi to'g'ri chiziq tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:

qayerda k – bu to'g'ri chiziqning qiyaligi.

Keyingi daqiqa! To'g'ri chiziqning qiyaligi tangensga teng to'g'ri chiziqning qiyalik burchagi. Bu berilgan chiziq va eksa orasidagi burchakoh.

U 0 dan 180 daraja oralig'ida joylashgan.

Ya'ni, to'g'ri chiziq tenglamasini shaklga keltirsak y = kx + b, keyin biz har doim k koeffitsientini (qiyalik koeffitsientini) aniqlashimiz mumkin.

Shuningdek, agar shart asosida to'g'ri chiziq qiyaligining tangensini aniqlay olsak, u holda uning qiyaligini topamiz.

Keyingi nazariy lahza!Berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi.Formula quyidagicha ko'rinadi:

Muammolarni ko'rib chiqing (o'xshash ochiq bank topshiriqlar):

(–6; 0) va (0; 6) koordinatali nuqtalardan oʻtuvchi toʻgʻri chiziqning qiyaligini toping.

Bu masalada buni yechishning eng oqilona usuli x o'qi va berilgan to'g'ri chiziq orasidagi burchakning tangensini topishdir. Ma'lumki, u burchak koeffitsientiga teng. To'g'ri chiziq va x va y o'qlaridan tashkil topgan to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqing:

Burchakning tangensi to'g'ri uchburchak qarama-qarshi oyoqning qo'shniga nisbati:

* Ikkala oyoq ham oltitaga teng (bu ularning uzunligi).

Albatta, bu vazifa berilgan ikkita nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini topish formulasi yordamida yechish mumkin. Ammo bu uzoqroq yechim yo'li bo'ladi.

Javob: 1

(5;0) va (0;5) koordinatali nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqning qiyaligini toping.

Bizning nuqtalarimiz (5;0) va (0;5) koordinatalariga ega. Ma'nosi,

Formulani shaklga keltiramiz y = kx + b

Biz burchak koeffitsientini oldik k = – 1.

Javob: -1

To'g'riga a(0;6) va (8;0) koordinatali nuqtalardan o'tadi. To'g'riga b(0;10) koordinatali nuqtadan o'tadi va chiziqqa parallel bo'ladi a b aks bilan ho'kiz.

Ushbu masalada siz to'g'ri chiziq tenglamasini topishingiz mumkin a, buning uchun nishabni aniqlang. To'g'ri chiziq b ular parallel bo'lgani uchun qiyaligi bir xil bo'ladi. Keyinchalik, to'g'ri chiziq tenglamasini topishingiz mumkin b. Keyin unga y = 0 qiymatini qo'yib, abscissani toping. LEKIN!

Bunday holda, uchburchakning o'xshashlik xususiyatidan foydalanish osonroq.

Berilgan (parallel) koordinata chiziqlari bilan hosil qilingan to'g'ri burchakli uchburchaklar o'xshashdir, ya'ni ularning tegishli tomonlari nisbatlari tengdir.

Kerakli abscissa 40/3.

Javob: 40/3

To'g'riga a(0;8) va (–12;0) koordinatali nuqtalardan o'tadi. To'g'riga b(0; -12) koordinatali nuqtadan o'tadi va chiziqqa parallel bo'ladi a. Chiziqning kesishgan nuqtasining abtsissasini toping b aks bilan ho'kiz.

Ushbu muammoni hal qilishning eng oqilona usuli uchburchaklarning o'xshashlik xususiyatidan foydalanishdir. Ammo biz buni boshqa yo'l bilan hal qilamiz.

Biz chiziq o'tadigan nuqtalarni bilamiz a. To'g'ri chiziq tenglamasini yozishimiz mumkin. Berilgan ikkita nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasi formulasi:

Shartga ko'ra, nuqtalar (0;8) va (-12;0) koordinatalariga ega. Ma'nosi,

Keling, eslaylik y = kx + b:

Bu burchakni oldim k = 2/3.

*Burchak koeffitsientini oyoqlari 8 va 12 bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakdagi burchak tangensi orqali topish mumkin edi.

Biz bilamizki, parallel chiziqlar teng qiyaliklarga ega. Demak (0;-12) nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:

Qiymat toping b Biz tenglamaga abscissa va ordinatani qo'yishimiz mumkin:

Shunday qilib, chiziq quyidagicha ko'rinadi:

Endi chiziqning x o'qi bilan kesishish nuqtasining kerakli abtsissasini topish uchun siz y \u003d 0 ni almashtirishingiz kerak:

Javob: 18

O'qning kesishish nuqtasining ordinatasini toping oy va B(10;12) nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq va koordinata boshi va A(10;24) nuqtadan o’tuvchi parallel chiziq.

(0;0) va (10;24) koordinatali nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi topilsin.

Berilgan ikkita nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasi formulasi:

Bizning nuqtalarimiz (0;0) va (10;24) koordinatalariga ega. Ma'nosi,

Keling, eslaylik y = kx + b

Parallel chiziqlarning qiyaliklari teng. Demak, B (10; 12) nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

Ma'nosi b B (10; 12) nuqtaning koordinatalarini ushbu tenglamaga almashtirib topamiz:

Biz to'g'ri chiziq tenglamasini oldik:

Ushbu chiziqning o'q bilan kesishgan nuqtasining ordinatasini topish uchun OU topilgan tenglamaga almashtirilishi kerak X= 0:

* Eng oson yechim. Parallel tarjima yordamida biz bu chiziqni eksa bo'ylab pastga siljitamiz OU nuqtaga (10;12). Shishish 12 birlik bilan sodir bo'ladi, ya'ni A(10;24) nuqta B(10;12) nuqtaga "o'tdi" va O(0;0) nuqta (0;–12) nuqtaga "o'tdi". Shunday qilib, hosil bo'lgan chiziq o'qni kesib o'tadi OU nuqtada (0;–12).

Istalgan ordinata -12.

Javob: -12

Tenglama bilan berilgan chiziqning kesishish nuqtasining ordinatasini toping

3x + 2y = 6, eksa bilan Oy.

Berilgan chiziqning o'q bilan kesishish nuqtasining koordinatasi OU shaklga ega (0; da). Tenglamadagi abtsissani almashtiring X= 0 va ordinatani toping:

Chiziqning o'q bilan kesishish nuqtasining ordinati OU 3 ga teng.

* Tizim hal qilinmoqda:

Javob: 3

Tenglamalar orqali berilgan chiziqlarning kesishish nuqtasining ordinatasini toping

3x + 2y = 6 va y = - x.

Ikkita chiziq berilganda va savol ushbu chiziqlarning kesishish nuqtasining koordinatalarini topish haqida ketsa, ushbu tenglamalar tizimi echiladi:

Birinchi tenglamada biz almashtiramiz - X ning o'rniga da:

Ordinata minus olti.

Javob: – 6

Koordinatalari (–2; 0) va (0; 2) boʻlgan nuqtalardan oʻtuvchi toʻgʻri chiziqning qiyaligini toping.

(2;0) va (0;2) koordinatali nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqning qiyaligini toping.

a chiziq koordinatalari (0;4) va (6;0) bo'lgan nuqtalardan o'tadi. b chiziq koordinatalari (0;8) bo'lgan nuqtadan o'tadi va a chiziqqa parallel. b to‘g‘rining x o‘qi bilan kesishgan nuqtasining absissasini toping.

Y o‘qining kesishish nuqtasi va B nuqtadan o‘tuvchi chiziq (6;4) va koordinata boshi va A nuqtadan o‘tuvchi parallel chiziqning ordinatasini toping.

1. To'g'ri chiziqning qiyaligi to'g'ri chiziq qiyaligining tangensiga teng ekanligini aniq tushunish kerak. Bu sizga ushbu turdagi ko'plab muammolarni hal qilishda yordam beradi.

2. Berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziqni topish formulasini tushunish kerak. Uning yordami bilan siz har doim to'g'ri chiziq tenglamasini topishingiz mumkin, agar uning ikkita nuqtasining koordinatalari berilgan bo'lsa.

3. Parallel chiziqlarning qiyaliklari teng ekanligini unutmang.

4. Siz tushunganingizdek, ba'zi masalalarda uchburchaklarning o'xshashlik belgisini qo'llash qulay. Muammolar amaliy jihatdan og'zaki hal qilinadi.

5. Ikki chiziq berilgan va ularning kesishish nuqtasining abtsissa yoki ordinatasini topish talab qilinadigan topshiriqlarni grafik usulda yechish mumkin. Ya'ni, ularni koordinata tekisligida (hujayradagi varaqda) qurish va kesishish nuqtasini ingl. * Ammo bu usul har doim ham qo'llanilmaydi.

6. Va oxirgisi. Agar to'g'ri chiziq va uning koordinata o'qlari bilan kesishgan nuqtalarining koordinatalari berilgan bo'lsa, bunday masalalarda hosil bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakdagi burchakning tangensini topib, burchak koeffitsientini topish qulay. Samolyotdagi turli xil chiziqlar uchun ushbu uchburchakni qanday "ko'rish" sxematik tarzda quyida ko'rsatilgan:

>> Chiziqning egilish burchagi 0 dan 90 darajagacha<<

>> To'g'ri chiziq burchagi 90 dan 180 darajagacha<<

Hammasi shu. Sizga omad!

Hurmat bilan, Aleksandr.

P.S: Ijtimoiy tarmoqlarda sayt haqida ma'lumot bersangiz, minnatdor bo'lardim.