To'g'ri burchak konjugasiyasini qanday qurish kerak. O'rtoqlar bilan qismning rasmini chizish. Doiralarni (yoylarni) to'g'ri chiziq bilan konjugatsiya qilish

02.11.2019

Ulanish.

Pairing - bu bir chiziqdan ikkinchisiga silliq o'tish.

Kesishuvchi chiziqlarni berilgan radiusli aylana yoyi bilan konjugatsiya qilish.

Masala berilgan ikkala to‘g‘ri chiziqqa teginish aylana chizish bilan bog‘liq.

Variant 1.

Masofada berilganlarga parallel yordamchi chiziqlar chizamiz R berilganlardan.

Bu chiziqlarning kesishish nuqtasi markaz bo'ladi O konjugatsiya yoylari. Perpendikulyarlar markazdan O ga tushdi

berilgan to'g'ri chiziqlar K va K 1 teginish nuqtalarini aniqlaydi.

Variant 2.

Qurilish bir xil.

Juftliklar. Chiziqlarning konjugatsiyasini qurish.

Variant 3.

Agar siz aylana chizmoqchi bo'lsangiz, u tegishi uchun uch kesishgan to'g'ri chiziqlar, keyin bu holda

Radiusni muammoning shartlari bilan aniqlab bo'lmaydi. Markaz O aylana kesishgan joyda joylashgan bissektrisa burchaklar

DA va FROM. Doira radiusi O markazdan berilgan 3 ta chiziqning istalganiga tushirilgan perpendikulyardir.

Chiziqlar.

Juftliklar. Chiziqli konjugatsiyalarni yasash.

Berilgan radiusli R 1 berilgan to'g'ri yoyi bilan berilgan aylananing tashqi kon'yugatsiyasini qurish.

Markazdan O bu aylanadan radiusli yordamchi aylana yoyini chizamiz R+R 1.

Berilgan chiziqqa uzoqdan parallel to'g'ri chiziq chizamiz R1.

To'g'ri chiziq va qurilish yoyining kesishishi fileto yoyining markaziy nuqtasini beradi Taxminan 1.

Yoylarning aloqa nuqtasi Kimga chiziqda yotadi OO 1.

Ark va chiziq orasidagi aloqa nuqtasi K 1 O 1 nuqtadan yoy bilan chiziqqa perpendikulyar kesishmasida yotadi.

Juftliklar. To'g'ri chiziqli aylananing tashqi kon'yugatsiyasini qurish.

Berilgan radiusli R 1 berilgan to'g'ri yoyi bilan berilgan doiraning ichki konjugatsiyasini qurish.

Markazdan O bu aylanadan radiusli yordamchi aylana chizamiz R- R 1.

Juftliklar. To'g'ri chiziqli aylananing ichki konjugatsiyasini qurish.

Berilgan R 3 radiusli yoy bilan berilgan ikkita aylana konjugatsiyasini qurish.

Tashqi teginish.

Doira markazidan Taxminan 1 R1+R3.

Doira markazidan Taxminan 2 radiusli yordamchi aylana yoyini tasvirlang R2+R3.

chorraha yordamchi aylana yoylari nuqta beradi Taxminan 3, bu konjugatsiya yoyining markazidir

teginish nuqtalari K 1 va K 2 qatorlarda O 1 O 3 va O 2 O 3.

Ichki teginish

Doira markazidan Taxminan 1 radiusli yordamchi aylana yoyini tasvirlang R 3 -R 1.

Doira markazidan Taxminan 2 radiusli yordamchi aylana yoyini tasvirlang R 3 - R 2.

chorraha

(radiusi R 3 bo'lgan doiralar) .

Juftliklar. Ikki doiraning yoy bilan konjugatsiyasi.

Tashqi va ichki teginish.

Radiuslari r 1 va r 2 boʻlgan markazlari O 1 va O 2 boʻlgan ikkita aylana berilgan. Berilgan doirani chizish kerak

Radius Bir doira bilan ichki aloqani, ikkinchisi bilan tashqi aloqani ta'minlash uchun R.

Doira markazidan Taxminan 1 radiusli yordamchi aylana yoyini tasvirlang R-r 1.

Doira markazidan Taxminan 2 radiusli yordamchi aylana yoyini tasvirlang R+r 2.

chorrahayordamchi aylanalarning yoylari konjugatsiya yoyining markazi bo'lgan nuqtani beradi

(radiusi R bo'lgan doiralar) .

Juftliklar. Ikki doiraning yoy bilan konjugatsiyasi.

Berilgan A nuqtadan o‘tuvchi va berilgan aylanaga teguvchi aylana qurish

berilgan B nuqtasida.

To'g'ri chiziqning o'rta nuqtasini topish AB. AB chizig'ining o'rtasidan perpendikulyar o'tkazing. Davomli chorraha

OB va perpendikulyar chiziqlar nuqta beradi Taxminan 1. Taxminan 1 - radiusli kerakli doira markazi R = O 1 B = O 1 A.

Juftliklar. Doira va yoyning ichki teginishi.

To'g'ri chiziqning berilgan A nuqtasida to'g'ri chiziq bilan aylana konjugatsiyasini qurish.

LM chizig'ining berilgan A nuqtasidan LM to'g'ri chiziqqa perpendikulyarni tiklaymiz. Davomida

Perpendikulyar segmentni chetga surib qo'ying AB. AB = R. B nuqtasini aylana markazi O 1 to'g'ri chiziq bilan bog'laymiz.

A nuqtadan BO 1 ga parallel to'g'ri chiziqni aylana bilan kesishguncha o'tkazamiz. Keling, bir fikrni olaylik Kimga- nuqta

teging. K nuqtani aylana markazi O 1 bilan ulang. O 1 K va AB chiziqlarni kesishishgacha uzaytiramiz. Keling, bir fikrni olaylik

Taxminan 2, bu radiusli konjugatsiya yoyi markazidir O 2 A \u003d O 2 K.

Juftliklar. Berilgan nuqtada to'g'ri chiziq bilan aylana konjugatsiyasi.

Aylanada berilgan A nuqtada to'g'ri chiziq bilan aylana konjugatsiyasini qurish.

Tashqi teginish.

Biz sarflaymiz tangens nuqta orqali aylanaga LEKIN. Tangensning LM to'g'ri chiziq bilan kesishishi nuqta beradi DA.

Burchakni ajratish yarmida

Taxminan 1. Taxminan 1 O 1 A \u003d O 1 K.

Ichki teginish.

Biz sarflaymiz tangens nuqta orqali aylanaga LEKIN. Tangens chiziqning LM chizig'i bilan kesishishi nuqta beradi DA.

Burchakni ajratish, tangens va to'g'ri chiziq LM tomonidan hosil qilingan, yarmida. Burchak bissektrisasining kesishishi va

OA radiusini kengaytirish nuqta beradi Taxminan 1. Taxminan 1 - O 1 A \u003d O 1 K.

Juftliklar. Aylananing berilgan nuqtasida to'g'ri chiziq bilan aylana konjugasiyasi.

Berilgan radiusli yoy bilan ikkita konsentrik bo'lmagan aylana yoylarining konjugatsiyasini qurish.

Yoyning markazidan chizish Taxminan 1 radiusli yordamchi yoy R 1 -R 3. Yoyning markazidan chizish O 2 yordamchi

Yoy radiusi R2+R3. Yoylarning kesishishi nuqta beradi Oh- radius bilan konjugatsiya yoyi markazi R3. teginish nuqtalari

K 1 va K 2 chiziqlar ustida yotish OO 1 va OO 2.

Juftliklar. 2 ta konsentrik bo'lmagan aylana yoylarini yoy bilan bog'lash.

Yoylarni tanlash orqali egri chiziqni qurish.

Egri chiziq bo'limlariga to'g'ri keladigan yoylarning markazlarini tanlab, siz kompas yordamida istalgan egri chiziqni chizishingiz mumkin.

Yoylarning biridan ikkinchisiga silliq o'tishi uchun ularning konjugatsiya nuqtalari (tangens) bo'lishi kerak.

Ular bu yoylarning markazlarini bog'laydigan to'g'ri chiziqlarda edi.

Qurilishlar ketma-ketligi.

Biz markazni tanlaymiz 1 ixtiyoriy kesimning yoylari ab.

Davomida birinchi radius markazini tanlang 2 chizilgan yoy radiusi miloddan avvalgi

Davomida ikkinchi radius markazini tanlang 3 chizilgan yoy radiusi cd va hokazo.

Shunday qilib, biz butun egri chiziqni quramiz.

Juftliklar. Arklarni tanlash.

Ikkita parallel chiziqning ikkita yoy bilan konjugatsiyasini qurish.

To'g'ri parallel chiziqlarda aniqlangan nuqtalar LEKIN va DA chiziq bilan bog'lang AB.

To'g'ri chiziqda tanlang AB ixtiyoriy nuqta M.

Biz segmentlarni ajratamiz AM va VM yarmida.

Biz segmentlarning o'rtasida perpendikulyarlarni tiklaymiz.

A va B nuqtalarida, berilgan chiziqlar, biz chiziqlarga perpendikulyarlarni tiklaymiz.

chorraha muvofiq perpendikulyarlar ball beradi Taxminan 1 va Taxminan 2.

Taxminan 1 radiusli konjugatsiya yoyi markazi O 1 A \u003d O 1 M.

Taxminan 2 radiusli konjugatsiya yoyi markazi O 2 V \u003d O 2 M.

Agar nuqta M tanlang o'rtada chiziqlar AB, keyin radiuslar konjugatsiya yoylari bo'ladi teng.

Bir nuqtada yoylarga tegish M chiziqda joylashgan Taxminan 1 Taxminan 2.

Juftliklar. Parallel chiziqlarning ikkita yoy bilan konjugatsiyasi.

Ulanish markazi- juftlashuvchi chiziqlardan teng masofada joylashgan nuqta. Va bu chiziqlar uchun umumiy nuqta deyiladi konjugatsiya nuqtasi .

Konjugatsiyalarni qurish kompas yordamida amalga oshiriladi.

Quyidagi juftlik turlari mumkin:

1) berilgan R radiusli yoy yordamida kesishuvchi chiziqlarni konjugatsiya qilish (burchaklarni yaxlitlash);

2) berilgan R radiusli yoy yordamida aylana yoy va to‘g‘ri chiziqni konjugatsiya qilish;

3) R 1 va R 2 radiusli aylana yoylarini to'g'ri chiziq bilan konjugatsiya qilish;

4) R 1 va R 2 radiusli ikkita aylana yoylarini berilgan R radiusli yoy bilan konjugatsiya (tashqi, ichki va aralash konjugatsiya).

Tashqi juftlashda R 1 va R 2 radiusli juftlashuvchi yoylarning markazlari R radiusli yoydan tashqarida yotadi. Ichki juftlashda juftlash yoylarining markazlari R radiusli yoyning ichida yotadi. Aralash juftlashganda, juftlashuvchi yoylardan birining markazi R radiusi bo'lgan juftlash yoyi ichida, boshqa juftlash yoyining markazi esa uning tashqarisida joylashgan.

Jadvalda. 1 qurilishni ko'rsatadi va oddiy konjugatsiyalarni qurish uchun qisqacha tushuntirishlar beradi.

Juftliklar1-jadval

Oddiy turmush o'rtoqlarga misol	O'rtoqlarning grafik qurilishi	Qurilish uchun qisqacha tushuntirish

1. Berilgan radiusli yoy yordamida kesishuvchi chiziqlarni konjugatsiya qilish R.		Masofadagi burchakning yon tomonlariga parallel to'g'ri chiziqlar torting R. Bir nuqtadan O bu chiziqlarning o'zaro kesishishi, burchakning yon tomonlariga perpendikulyarlarni tushirib, biz 1 va 2 konjugatsiya nuqtalarini olamiz. . Radius R yoy chizish.
2. Berilgan radiusli yoy yordamida aylana yoy va to‘g‘ri chiziqni konjugatsiya qilish R.		Masofada R berilgan chiziqqa parallel chiziq chizamiz va markazdan O 1 radiusli R+R 1- aylana yoyi. Nuqta O- konjugatsiya yoyining markazi. nuqta 2 Biz O nuqtadan berilgan to'g'ri chiziqqa chizilgan perpendikulyar bo'lamiz va 1 nuqta - to'g'ri chiziqda. OO 1.
3. Ikki radiusli aylana yoylarining konjugatsiyasi R1 va R2 to'g'ri chiziq.		O 1 nuqtadan radiusi R 1 bo'lgan doira chizing - R2. O 1 O 2 segmenti yarmiga bo'linadi va O 3 nuqtadan radiusi 0,5 bo'lgan yoy chiziladi. O 1 O 2 . O 1 va O 2 nuqtalarini nuqta bilan ulang LEKIN. O 2 nuqtadan chiziqqa perpendikulyar tushiring AO 2, ball 1.2 - juftlash nuqtalari.

1-jadval davom etdi


4. Ikki radiusli aylana yoylarining konjugatsiyasi R1 va R2 berilgan radiusning yoyi R(tashqi juftlik).		Markazlardan O 1 va O 2 radiusli yoylarni chizamiz R+R 1 va R + R 2. O 1 va O 2 nuqta bilan O. Ballar 1 va 2 tutashuv nuqtalaridir.
5. Ikki radiusli aylana yoylarining konjugatsiyasi R1 va R2 berilgan radiusning yoyi R(ichki juftlik).		Markazlardan O 1 va O 2 radiusli yoylarni chizamiz R-R1 va R-R2. Biz bir ball olamiz O- konjugatsiya yoyining markazi. nuqtalarni ulang O 1 va O nuqta bilan O 2 berilgan aylanalar bilan kesishguncha. ball 1 va 2- ulanish nuqtalari.
6. Ikki radiusli aylana yoylarining konjugatsiyasi R1 va R2 berilgan radiusning yoyi R(aralash konjugatsiya).		O 1 va O 2 markazlaridan radiusli yoylarni chizamiz R- R 1 va R + R 2. Biz O nuqtasini olamiz - konjugatsiya yoyi markazi. nuqtalarni ulang O 1 va O nuqta bilan O 2 berilgan aylanalar bilan kesishguncha. ball 1 va 2- ulanish nuqtalari.

egri chiziqlar

Bu egri chiziqlar bo'lib, ularning har bir elementida egrilik doimiy ravishda o'zgaradi. Egri chiziqlarni kompas bilan chizish mumkin emas, ular bir qator nuqtalardan tuzilgan. Egri chiziq chizishda hosil bo'lgan nuqtalar qatori naqsh bo'ylab bog'lanadi, shuning uchun u egri chiziq deb ataladi. Egri chiziqni qurishning aniqligi egri chiziq kesimidagi oraliq nuqtalar sonining ko'payishi bilan ortadi.

Egri egri chiziqlar konusning tekis qismlari deb ataladigan narsalarni o'z ichiga oladi - ellips, parabola, giperbola, ular dumaloq konusning tekislik bilan kesilishi natijasida olinadi. Bunday egri chiziqlar «Chizma geometriya» kursini o‘rganishda ko‘rib chiqilgan. Egri chiziqlar ham o'z ichiga oladi involyut, sinusoid, Arximed spirali, sikloid egri chiziqlar.

Ellips- ikkita qo'zg'almas nuqta (fokuslar)gacha bo'lgan masofalar yig'indisi doimiy qiymat bo'lgan nuqtalarning joylashuvi.

Berilgan AB va CD yarim o'qlari bo'ylab ellips qurishning eng ko'p qo'llaniladigan usuli. Qurilishda diametrlari ellipsning berilgan o'qlariga teng bo'lgan ikkita konsentrik doira chiziladi. Ellipsning 12 nuqtasini qurish uchun aylanalar 12 ta teng qismga bo'linadi va hosil bo'lgan nuqtalar markazga ulanadi.

Shaklda. 15 ellipsning yuqori yarmining olti nuqtasini qurishni ko'rsatadi; pastki yarmi xuddi shu tarzda chiziladi.

Involut- aylana nuqtasining harakatlanishi va tekislanishi (doira rivojlanishi) natijasida hosil bo'lgan traektoriyadir.

Aylananing berilgan diametri bo'yicha evolventning qurilishi rasmda ko'rsatilgan. 16. Doira sakkiz teng qismga bo'lingan. 1,2,3 nuqtalardan aylanaga bir yo'nalishda yo'naltirilgan tangenslarni torting. Oxirgi tangensda involyut qadam aylanaga teng bo'ladi

(2 pR) va hosil bo'lgan segment ham 8 ta teng qismga bo'linadi. Bir qismni birinchi tangensga, ikki qismni ikkinchisiga, uch qismini uchinchisiga va hokazolarga qo'yib, biz involyut nuqtalarini olamiz.

Tsikloid egri chiziqlar- to'g'ri chiziq yoki aylana bo'ylab sirg'alib ketmasdan aylanaga tegishli nuqta bilan tasvirlangan tekis egri chiziqlar. Agar bir vaqtning o'zida aylana to'g'ri chiziqda aylansa, u holda nuqta sikloid deb ataladigan egri chiziqni tasvirlaydi.

Berilgan aylana diametri d bo'yicha sikloidning qurilishi 17-rasmda ko'rsatilgan.

Guruch. 17

2pR uzunlikdagi doira va segment 12 ta teng qismga bo'linadi. Chiziq segmentiga parallel bo'lgan doira markazidan to'g'ri chiziq torting. Segmentning bo'linish nuqtalaridan to'g'ri chiziqqa perpendikulyarlar o'tkaziladi. Ularning to'g'ri chiziq bilan kesishgan nuqtalarida biz O 1, O 2, O 3 va hokazolarni olamiz. aylanma doiraning markazlaridir.

Bu markazlardan R radiusli yoylarni tasvirlaymiz. Doiraning bo'linish nuqtalari orqali aylanalarning markazlarini tutashtiruvchi to'g'ri chiziqqa parallel to'g'ri chiziqlar o'tkazamiz. 1-nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziqning O1 markazdan tasvirlangan yoy bilan kesishgan joyida sikloid nuqtalaridan biri joylashgan; 2-nuqta orqali boshqa markazdan O2 - boshqa nuqta va h.k.

Agar aylana boshqa aylana bo'ylab aylansa, uning ichida (konkav qismi bo'ylab), u holda nuqta egri chiziqni tasvirlaydi. giposikloid. Agar aylana boshqa doira bo'ylab, uning tashqarisida (qavariq qismi bo'ylab) aylansa, nuqta egri chiziqni tasvirlaydi. episikloid.

Gipotsikloid va epitsikloidning konstruktsiyasi o'xshash, lekin uzunligi 2pR bo'lgan segment o'rniga yo'naltiruvchi doiraning yoyi olinadi.

Harakatlanuvchi va qo'zg'almas doiralarning berilgan radiusiga ko'ra episikloidning qurilishi 18-rasmda ko'rsatilgan. Formula bilan hisoblangan a burchak

a = 180°(2r/R) va R radiusi doirasi sakkizta teng qismga bo'linadi. Radiusi R + r bo'lgan aylana yoyi chizilgan va O 1 , O 2 , O 3 nuqtalardan .. - r radiusli aylana chizilgan.

Gipotsikloidning harakatlanuvchi va qo'zg'almas doiralarning berilgan radiuslari bo'yicha qurilishi 19-rasmda ko'rsatilgan. Hisoblangan a burchak va R radiusli doira sakkizta teng qismga bo'linadi. Radiusi R - r bo'lgan aylana yoyi chizilgan va O 1, O 2, O 3 ... nuqtalardan - radiusi r bo'lgan aylana chizilgan.

Parabola- bu qo'zg'almas nuqtadan bir xil masofada joylashgan nuqtalarning joylashuvi - fokus F va qo'zg'almas chiziq - parabolaning simmetriya o'qiga perpendikulyar bo'lgan direktrisa. Berilgan OO \u003d AB segmenti va CD akkord bo'yicha parabolaning qurilishi 20-rasmda ko'rsatilgan.

To'g'ridan-to'g'ri OE va OS bir xil miqdordagi teng qismlarga bo'linadi. Chizmadan keyingi qurilish aniq ko'rinadi.

Giperbola- ikkita qo'zg'almas nuqtadan (fokuslardan) masofalar farqi - doimiy qiymat bo'lgan nuqtalarning joylashuvi. Ikkita ochiq, nosimmetrik joylashgan shoxlarni ifodalaydi.

F 1 va F 2 giperbolaning doimiy nuqtalari fokuslar, ular orasidagi masofa esa fokus deyiladi. Egri chiziq nuqtalarini fokuslar bilan tutashtiruvchi chiziq segmentlari radius vektorlari deyiladi. Giperbolaning ikkita o'zaro perpendikulyar o'qi bor - haqiqiy va xayoliy. O'qlarning kesishish markazidan o'tadigan chiziqlar asimptotalar deyiladi.

Berilgan fokus uzunligi F 1 F 2 va asimptotlar orasidagi a burchakka ko'ra giperbolaning qurilishi 21-rasmda ko'rsatilgan. Fokus masofasi chizilgan o'q chizilgan bo'lib, u O nuqta bilan ikkiga bo'linadi. Radiusi 0,5F 1 F 2 bo'lgan aylana O nuqta orqali C, D, E, K nuqtalarda kesishguncha o'tkaziladi. C nuqtalarini bilan bog'lash. D va E K bilan A nuqtalari olinadi va B giperbolaning uchlari. F 1 nuqtadan chapga o'zboshimchalik bilan 1, 2, 3 nuqtalari belgilanadi ... ular orasidagi masofalar diqqat markazidan uzoqlashganda ortishi kerak. Radiuslari R=B4 va r=A4 bo'lgan F 1 va F 2 markazlashtirilgan nuqtalardan o'zaro kesishuvga yoylar o'tkaziladi. Kesishish nuqtalari 4 giperbolaning nuqtalari. Qolgan nuqtalar xuddi shunday tarzda qurilgan.

sinusoid- burchak kattaligining o'zgarishiga qarab burchak sinusining o'zgarishi qonunini ifodalovchi tekis egri chiziq.

Berilgan aylana diametri d uchun sinusoidning qurilishi ko'rsatilgan

rasmda. 22.

Uni qurish uchun berilgan doirani 12 ta teng qismga bo'ling; berilgan doira uzunligiga teng bo'lgan segment (2pR) bir xil miqdordagi teng qismlarga bo'linadi. Bo'linish nuqtalari orqali gorizontal va vertikal to'g'ri chiziqlar o'tkazib, ular kesishgan joyda sinusoid nuqtalarni topadilar.

Arximed spirali - e keyin nuqta bilan tasvirlangan, berilgan markaz atrofida bir tekis aylanadigan va bir vaqtning o'zida undan bir tekis uzoqlashadigan tekislik egri chizig'i.

Berilgan aylana diametri D uchun Arximed spiralining konstruktsiyasi 23-rasmda ko'rsatilgan.

Aylana va aylana radiusi 12 ta teng qismga bo'lingan. Chizmadan keyingi qurilish ko'rinadi.

Konjugatsiya va egri chiziqlarni qurishda eng oddiy geometrik konstruktsiyalarga murojaat qilish kerak - aylana yoki to'g'ri chiziqni bir nechta teng qismlarga bo'lish, burchak va segmentni yarmiga bo'lish, perpendikulyar, bissektrisa va boshqalarni qurish. Bu konstruksiyalarning barchasi maktab kursining “Chizmachilik” fanida o‘rganilgan, shuning uchun ular ushbu qo‘llanmada batafsil ko‘rib chiqilmagan.

1.5 Amalga oshirish bo'yicha ko'rsatmalar

Umumiy holatda radiusi R 1 bo‘lgan m aylana va l radiusi R bo‘lgan to‘g‘ri chiziq konjugatsiyasini qurish (30-rasm, a, b) quyidagicha amalga oshiriladi:

- l ga parallel R masofada l '(GM to'g'ri chiziqqa) chizamiz;

- markazni O 1 nuqtada, biz m '(aylanaga GM) chizamiz, radius R va R 1 yig'indisiga teng yoki radius R va R 1 farqiga teng;

– l’ va m’ kesishuvining O nuqtasi konjugatsiya markazi;

- O dan l chiziqqa perpendikulyar tushiramiz. A bog'lanish nuqtasini olamiz;

- O va O 1 orqali to'g'ri chiziq o'tkazing va uning m aylana bilan kesishishining B konjugatsiya nuqtasini belgilang;

- markaz A va B nuqtalar orasidagi radiusi R bo'lgan O nuqtada, biz konjugatsiya yoyi chizamiz.

Guruch. 30. To‘g‘ri chiziqning aylana bilan konjugasiyasi

Ikki doiraning konjugasiyasi

Qurilish paytida tashqi juftlik ikkita aylana m 1 va m 2 berilgan radiusli yoy bilan R (31-rasm) juftlashuvchi yoyning markazi - O nuqta - ikkita geometrik joyning kesishishi bilan aniqlanadi m 1 'va m 2' - yordamchi doiralar. radiusi R + R 1 va R + R 2, mos ravishda konjugatsiyalangan doiralarning markazlaridan chizilgan, ya'ni. O 1 va O 2 nuqtalaridan. A va B konjugatsiya nuqtalari berilgan aylanalarning OO 1 va OO 2 to'g'ri chiziqlar bilan kesishish nuqtalari sifatida aniqlanadi.

Ichki juftlik R radiusli yoy bilan R 1 va R 2 radiusli yoylar shaklda ko'rsatilgan. 32.

Guruch. 31. Ikki doiraning tashqi juftlanishi

Guruch. 32. Ikki doiraning ichki konjugasiyasi

Konjugatsiya yoyining O markazini aniqlash uchun O 1 va O 2 nuqtalardan R–R 1 va R–R 2 radiusli ikkita geometrik joydan m 1 ‘va m 2’ yordamchi yoylarni chizamiz. Bu yoylarning kesishish nuqtasi konjugatsiya markazidir. O nuqtadan O 1 va O 2 nuqtalar orqali m 1 va m 2 aylanalar bilan kesishgan joyga to‘g‘ri chiziqlar o‘tkazamiz va A va B konjugatsiya nuqtalarini olamiz. Bu nuqtalar orasida R radiusli konjugatsiya aylanasining yoyi bor. markazi O nuqtada chizilgan.

Da aralash konjugatsiya(33-rasm) konjugatsiya markazi O ikkita geometrik joy - mos ravishda O 1 va O 2 markazlaridan chizilgan R + R 1 va R–R 2 radiusli yordamchi doiralar kesishmasida aniqlanadi. A va B konjugatsiya nuqtalari OO 1 va OO 2 markazlari chiziqlarining berilgan aylana yoylari bilan kesishgan joyida yotadi.

Guruch. 33. Ikki doiraning aralash konjugatsiyasini yasash

Tangens chiziqlarni qurish

Aylanalarga teginishlarni yasash, teginish chizig‘ining teginish nuqtasiga chizilgan aylana radiusiga perpendikulyar bo‘lishiga asoslanadi.

Aylanadan tashqarida yotgan A nuqtadan aylanaga teginish yasash (34-rasm). Berilgan A nuqtani aylananing O markazi bilan bog‘lovchi OA segmenti yarmiga bo‘linadi va natijada olingan O 1 nuqtadan markazdan bo‘lganidek, radiusi O 1 A bo‘lgan yordamchi aylana tasvirlanadi. Yordamchi aylana berilgan doirani kesib o‘tadi. aloqa nuqtasi bo'lgan B nuqtasida. AB chizig'i aylanaga teginish bo'ladi, chunki burchak ABO to'g'ri, yordamchi doira ichiga yozilgan va uning diametri asosida.

Ikki aylanaga teginish yasash. Ikki aylanaga teginish, agar ikkala doira ham uning bir tomonida joylashgan bo'lsa, tashqi va aylanalar tangensning turli tomonlarida joylashgan bo'lsa, ichki bo'lishi mumkin.

Guruch. 34. Aylanaga teginish yasash

R 1 va R 2 radiusli doiralarga tashqi tangensni qurish uchun (35-rasm) biz quyidagi amallarni bajaramiz:

biri). kattaroq doiraning O 2 markazidan R 2 -R 1 radiusli yordamchi aylana chizamiz;

2). segment O 1 O 2 yarmiga bo'linadi;

3). markazi O 3 bilan biz radiusi O 3 O 2 bo'lgan yordamchi doira chizamiz;

to'rtta). ikkita yordamchi doiraning kesishish nuqtalarini belgilang - M va N;

5). O 2 nuqtasi va olingan nuqtalar orqali to'g'ri chiziqlarni R 2 radiusli doira bilan kesishguncha o'tkazing. Biz B va D nuqtalarini olamiz;

6). O 1 markazidan mos ravishda O 2 B va O 2 D ga parallel bo‘lgan O 1 A va O 1 C to‘g‘ri chiziqlarni ular A va C nuqtalarda R 1 radiusli aylana bilan kesishguncha o‘tkazamiz.

AB va CD to'g'ri chiziqlari ikkita aylanaga kerakli tashqi teglardir.

Guruch. 35. Ikki aylanaga tashqi teginish yasash

R 1 va R 2 radiusli ikkita aylanaga ichki tangensni qurish (36-rasm).

Guruch. 36. Ikki aylanaga ichki tangensni yasash

Doiralardan birining markazidan, masalan, O 1 dan, R 1 + R 2 radiusli yordamchi doira chizamiz. Biz O 1 O 2 segmentini yarmiga bo'lamiz va olingan O 3 nuqtasidan O 1 O 3 radiusli ikkinchi yordamchi doira chizamiz. Yordamchi aylanalarning to'g'ri chiziqlar bilan kesishgan M va N nuqtalarini markaz O 1 bilan tutashtiramiz va ularning R 1 radiusli doira bilan kesishgan joyida A va C kontakt nuqtalarini olamiz O 2 nuqtadan biz chizamiz. O 1 A ga parallel to'g'ri chiziq va biz R 2 doiradagi B aloqa nuqtasini olamiz. D nuqta ham xuddi shunday qurilgan.AB va CD chiziqlar ikki aylana uchun zarur bo'lgan ichki tangenslardir.

Dars raqami 23.

Juftliklar

Filetosi bo'lgan bir nechta qismlarni ko'rsating.

Tafsilotlarni o'rganib chiqsak, ularning dizaynida ko'pincha bir sirt boshqasiga o'tishini ko'ramiz. Odatda bu o'tishlar silliq bo'ladi, bu esa qismlarning kuchini oshiradi va ular bilan ishlashni yanada qulay qiladi.

Chizmada yuzalar biridan ikkinchisiga silliq o'tadigan chiziqlar bilan tasvirlangan.

Bir chiziqdan (sirtdan) boshqa chiziqqa (sirtga) bunday silliq o'tish deyiladi konjugatsiya.

Konjugatsiyani qurishda, bir chiziq tugaydigan va boshqasi boshlanadigan chegarani aniqlash kerak, ya'ni. deb ataladigan chizmadagi o'tish nuqtasini toping konjugatsiya nuqtasi yoki teginish nuqtasi .

Konjugatsiya masalalarini shartli ravishda 3 guruhga bo'lish mumkin.

Birinchi guruh vazifalari to'g'ri chiziqlar ishtirok etadigan juftlarni qurish uchun vazifalarni o'z ichiga oladi. Bu chiziq va aylananing to'g'ridan-to'g'ri tegishi, berilgan radiusli yoy bilan ikkita chiziqning konjugatsiyasi, shuningdek ikkita aylanaga teginish chizig'ini chizish bo'lishi mumkin.

To'g'ri chiziqqa teguvchi aylana quring.

To'g'ri chiziqqa teguvchi aylana qurish , aloqa nuqtasini va aylananing markazini topish bilan bog'liq.

Gorizontal chiziq berilgan AB , radiusli aylana qurish talab qilinadi R berilgan chiziqqa teginish (1-rasm).

Tegishli nuqta o'zboshimchalik bilan tanlanadi.

Tangens nuqtasi aniqlanmaganligi sababli, radius doirasi R istalgan nuqtada bu chiziqqa tegishi mumkin. Bunday doiralar juda ko'p. Bu doiralarning markazlari ( O 1 , O 2 h.k.) berilgan to'g'ri chiziqdan bir xil masofada bo'ladi, ya'ni. berilgan chiziqqa parallel chiziqda AB berilgan aylana radiusiga teng masofada (1-rasm). Keling, bu qatorni chaqiraylik markaziy chiziq .

To'g'ri chiziqqa parallel markazlar chizig'ini chizing AB masofada R . Tangens doiraning markazi o'rnatilmaganligi sababli, biz markaz chizig'idagi har qanday nuqtani, masalan, nuqtani olamiz O.

Tangens doira chizishdan oldin teginish nuqtasini aniqlash kerak. Aloqa nuqtasi nuqtadan tushirilgan perpendikulyarda yotadi O bevosita AB . Perpendikulyar chiziq bilan kesishgan joyda AB ball oling TO, qaysi aloqa nuqtasi bo'ladi. Markazdan O radius R nuqtadan Kimga aylana chizamiz. Muammo hal qilindi.

Quyidagi qoidalarni daftaringizga yozing:

Agar konjugatsiyada to'g'ri chiziq ishtirok etsa, unda:

to'g'ri chiziqqa teguvchi aylananing markazi berilgan to'g'ri chiziqqa parallel chizilgan to'g'ri chiziqda (markazlar chizig'i) berilgan aylana radiusiga teng masofada yotadi;

2) aloqa nuqtasi aylananing markazidan berilgan to'g'ri chiziqqa o'tkazilgan perpendikulyarda yotadi.

Ikki qatorning konjugasiyasi.

Tekislikda ikkita to'g'ri chiziq parallel yoki bir-biriga burchak ostida bo'lishi mumkin.

Ikki chiziqning konjugasiyasini qurish uchun ushbu ikki chiziqqa teginish doirasini chizish kerak.

Ish daftarlarini 31-betga oching.

Ikki parallel bo'lmagan chiziqning konjugatsiyasini ko'rib chiqing.

Ikki parallel bo'lmagan chiziq bir-biriga burchak ostida joylashgan bo'lib, ular to'g'ri, o'tkir yoki o'tkir bo'lishi mumkin. Qismlarning chizmalarini tuzishda bunday burchaklarni ko'pincha ma'lum radiusning yoyi bilan yaxlitlash kerak (1-rasm). Chizmadagi burchaklarni yaxlitlash ikkita parallel bo'lmagan to'g'ri chiziqni berilgan radiusli aylana yoyi bilan birlashtirishdan boshqa narsa emas. Ulanishni amalga oshirish uchun siz juftlik yoyining markazini va ulanish nuqtalarini topishingiz kerak.

Ma'lumki, agar konjugatsiyada to'g'ri chiziq ishtirok etsa, u holda konjugatsiya yoyining markazi radiusga teng masofada berilgan to'g'ri chiziqqa parallel ravishda o'tkaziladigan markaziy chiziqda joylashgan. R konjugatsiya yoylari.

Burchak ikkita to'g'ri chiziqdan tashkil topganligi sababli, har bir to'g'ri chiziqqa parallel ravishda radiusga teng masofada ikkita markaz chizig'i o'tkaziladi. R konjugatsiya yoylari. Ularning kesishish nuqtasi konjugatsiya yoyining markazi bo'ladi.

Bir nuqtadan konjugatsiya nuqtalarini topish uchun O berilgan chiziqlarga perpendikulyarlarni tushiring va konjugatsiya nuqtalarini oling Kimga va Kimga 1 . Nuqtadan nuqtalarni va konjugatsiya markazini bilish O radius R konjugatsiya yoyini o'tkazing. Chizma chizishda birinchi navbatda yoyni, keyin esa teginish chiziqlarini kuzating.

To'g'ri burchak konjugatsiyasini qurishda markazlar chizig'ini chizish soddalashtiriladi, chunki burchakning tomonlari o'zaro perpendikulyar. Burchakning yuqori qismidan radiusga teng segmentlar yotqizilgan R konjugatsiya yoylari va olingan nuqtalar orqali Kimga va Kimga 1 , aloqa nuqtalari bo'ladi, burchakning yon tomonlariga parallel ravishda markazlarning ikkita chizig'ini torting. Ular birlashma nuqtalarini aniqlaydigan markaziy chiziqlar va perpendikulyarlar bo'ladi. Kimga va Kimga 1 (31-bet, 1-rasm).

Sahifa 31, vazifa 4. Ikki parallel chiziqning konjugasiyasi.

Ikki parallel toʻgʻri chiziq konjugatsiyasini qurish uchun bu chiziqlarga tegib aylana yoyini chizish kerak (3-rasm).

3-rasm

Ushbu doiraning radiusi berilgan chiziqlar orasidagi masofaning yarmiga teng bo'ladi. Tangens nuqtasi berilmaganligi sababli, chizish mumkin bo'lgan bunday doiralar juda ko'p. Ularning markazlari ular orasidagi masofaning yarmiga teng masofada berilgan to'g'ri chiziqlarga parallel chizilgan to'g'ri chiziqda bo'ladi. Bu to'g'ri chiziq markazlar chizig'i bo'ladi.

teginish nuqtalari ( Kimga 1 va Kimga 2 ) tangens aylana markazidan berilgan chiziqlarga tushirilgan perpendikulyar ustida yotadi (3a-rasm). Tangens doiraning markazi aniqlanmaganligi sababli, perpendikulyar o'zboshimchalik bilan chiziladi. Chiziq segmenti QC 1 yarmiga bo'linadi (3b-rasm), berilgan chiziqlarga parallel bo'lgan seriflarning kesishish nuqtalari orqali to'g'ri chiziq o'tkaziladi, bunda berilgan parallel chiziqlarga teguvchi doiralarning markazlari joylashadi, ya'ni. bu chiziq markazlar chizig'i bo'ladi. Kompas oyog'ini nuqtaga qo'yish O , nuqtadan konjugatsiya yoyini (3c-rasm) chizing Kimga nuqtaga Kimga 1 .

Doiralarga tangens chiziqlarni qurish

(R.T. 33-bet).

1-mashq. Nuqta orqali aylanaga teguvchi chiziq chizing LEKIN aylanada yotish.

Bir nuqtadan O to'g'ri chiziq chizish OB nuqta orqali LEKIN . Bir nuqtadan LEKIN Har qanday radiusli doira chizing. To'g'ri chiziq bilan kesishgan nuqtalarda olingan 1 va 2. Har qanday radiusli bu nuqtalardan biz bir-birini nuqtalarda kesishguncha yoylar chizamiz C va D . Bir nuqtadan C yoki D nuqta orqali chiziq torting LEKIN .

Bu doiraga teginish bo'ladi, chunki tangens har doim teginish nuqtasiga chizilgan radiusga perpendikulyar bo'ladi.

Vazifa 2.

Bu konstruksiya berilgan nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar yasashga o‘xshaydi, uni ikkita kvadrat yordamida bajarish mumkin.

Avval kvadrat 1 uning gipotenuzasi nuqtalar bilan mos keladigan tarzda joylashtiriladi O va A . Keyin kvadrat 1 kvadrat qo'llaniladi 2 , bu qo'llanma bo'ladi, ya'ni. kvadrat qaysi bo'ylab harakatlanadi 1 . Keyin kvadrat 1 kvadratga yana bir oyog'ini ulang 2. Keyin kvadratni aylantiramiz 1 kvadrat bo'yicha 2 gipotenuza nuqta bilan mos kelguncha A . Va nuqta orqali aylanaga teginish chiziq chizamiz A .

Vazifa 3. Aylanada bo'lmagan nuqta orqali aylanaga teguvchi chiziq chizing.

Radiusli aylana berilganR va nuqta LEKIN , aylanada yotmaslik, nuqtadan chizish talab qilinadiLEKIN uning yuqori qismida berilgan aylanaga teguvchi to'g'ri chiziq. Buning uchun siz aloqa nuqtasini topishingiz kerak. Bizga ma'lumki, teginish nuqtasi aylananing markazidan tangens chizig'iga o'tkazilgan perpendikulyarda yotadi. Shuning uchun tangens va perpendikulyar to'g'ri burchak hosil qiladi.

Doira ichiga chizilgan va uning diametridan kelib chiqqan holda har bir burchak to'g'ri burchak ekanligini bilish, nuqtalarni bog'lashLEKIN va O , segmentni olingOAJ chegaralangan doira diametri uchun. Cheklangan aylana va radius doirasi kesishmasidaR to'g'ri burchakning tepasi bo'ladi (nuqtaKimga ). Chiziq segmenti OAJ kompas bilan yarmiga bo'ling, ball olingO 1 (4-rasm, b).

Markazdan O 1 radiusi segmentga tengOAJ 1 , aylana chizing, ball olingKimga va Kimga 1 radiusli doira bilan kesishgan joydaR (4-rasm, c).

Doira tepasiga faqat bitta tangensni chizish kerak bo'lganligi sababli, kerakli teginish nuqtasi tanlanadi. Bu nuqta nuqta bo'ladiKimga . nuqta Kimga nuqtalar bilan bog'langLEKIN va O , biz to'g'ri burchakka ega bo'lamiz, bu diametrga tayanadiOAJ radiusi bilan chegaralangan doiraR 1 . Nuqta Kimga - bu burchakning tepasi (4-rasm, d), segmentlarOK va AK - to'g'ri burchakning tomonlari, demak, nuqtaKimga kerakli aloqa nuqtasi va to'g'ri chiziq bo'ladiAK - kerakli tangens.

4-rasm

Ikkita aylanaga tangens chiziq chizish.

Radiusli ikkita aylana berilgan R va R 1 , ularga teginish yasash talab qilinadi. Kontaktning ikkita holati mavjud: tashqi va ichki.

Tashqi tangens bilan tangens chiziq aylanalarning bir tomonida joylashgan va bu doiralarning markazlarini bog'laydigan segmentni kesib o'tmaydi.

Ichki tangens bilan tangens chizig'i aylanalarning turli tomonlarida joylashgan va doiralarning markazlarini bog'laydigan segmentni kesib o'tadi.

Sahifa 33. 5-topshiriq. Ikkita aylanaga teguvchi chiziq chizing. Tegish tashqi.

Avvalo, siz aloqa nuqtalarini topishingiz kerak. Ma'lumki, ular aylana markazlaridan chizilgan perpendikulyarlarda yotishi kerak ( O va O 1 ) tangensga.

Bir nuqtadan O radiusli doira chizing R - R 1 , chunki teginish tashqidir.

Masofani ajrating OO 1 yarmida va radiusli doira chizish R =OO 2 =O 1 O 2

Bu doira radiusli aylana bilan kesishadi R - R 1 nuqtada TO. Biz ushbu nuqta bilan bog'laymiz O 1 .

Bir nuqtadan O nuqta orqali Kimga radiusli aylana bilan kesishguncha to‘g‘ri chiziq chizamiz R . ball oldi Kimga 1 - birinchi aloqa nuqtasi.

Bir nuqtadan O 1 parallel chiziq chizamiz QC 1 , radiusli doira bilan kesishmaguncha R 1 . Ikkinchi teginish nuqtasi bor Kimga 2 . Nuqtalarni ulash Kimga 1 va Kimga 2 . Bu ikki aylananing tangensi.

Vazifa 6. Ikkita aylanaga teguvchi chiziq chizing. Tegish ichkidir.

Qurilish shunga o'xshash, faqat ichki aloqa bilan nuqtadan chizilgan yordamchi doiraning radiusi O aylanalar radiuslarining yig'indisiga teng R + R 1 .

Juftlik muammolarining ikkinchi guruhi faqat doiralar va yoylarni o'z ichiga olgan vazifalarni o'z ichiga oladi. Bir doiradan ikkinchisiga silliq o'tish to'g'ridan-to'g'ri teginish orqali yoki uchinchi element - aylananing yoyi orqali sodir bo'lishi mumkin.

Ikki doiraning teginishi tashqi (PT: p.32, 3-rasm) yoki ichki (PT: p.32, 4-rasm) bo'lishi mumkin.

3-topshiriq (32-bet)

Ikkita aylana tashqi tomondan bir-biriga tegsa, bu doiralarning markazlari orasidagi masofa ularning radiuslari yig'indisiga teng bo'ladi.

Bir nuqtadan O radius R + R C yoy yasaymiz. Bir nuqtadan O 1 radius R 1 + R C O FROM - konjugatsiya markazi.

Nuqtalarni ulash O va O 1 konjugatsiya markazi bilan O FROM . Doiralarda aloqa nuqtalari (konjugatsiya) mavjud.

Bir nuqtadan O FROM juft radiusi R C 30 aloqa nuqtalarini ulash.

4-topshiriq (32-bet)

Ikki doira ichkariga tegsa, tangens doiralardan biri ikkinchi doira ichida bo'ladi va bu doiralarning markazlari orasidagi masofa ularning radiuslari farqiga teng bo'ladi.

Bir nuqtadan O radius ( R C – R ) yoy yasaymiz. Bir nuqtadan O 1 radius ( R C – R 1 ) birinchi yoy bilan kesishguncha yoy chizing. ball oldi O FROM - konjugatsiya markazi.

Ulanish markazi O FROM nuqtalar bilan bog'lang O va O 1 bilan va to'g'ri chiziqni yanada kengaytiring.

Doiralarda aloqa nuqtalari (konjugatsiya) mavjud.

Bir nuqtadan O FROM juft radiusi R C 60 aloqa nuqtalarini ulash.

Uchinchi guruh juftlik muammolari to'g'ri chiziq va aylana yoyi berilgan radiusli yoyni konjugatsiya qilish uchun vazifalarni o'z ichiga oladi.

Bunday vazifani bajarib, ular ikkita masalani hal qilishadi: to'g'ri chiziqqa teginish yoyini va aylanaga teginish yoyini chizish. Bu holda teginish tashqi va ichki bo'lishi mumkin.

RT: 32-bet. 1-topshiriq. Doira va to'g'ri chiziqning konjugatsiyasi. Tegish tashqi. R C 20 .

To'g'ri chiziq va radiusli aylana berilgan R , radius yoyi bilan konjugatsiya qurish talab qilinadi R C 20 .

Tutqichda to'g'ri chiziq ishtirok etganligi sababli, biriktiruvchi yoyning markazi biriktiruvchi radiusga teng masofada berilgan chiziqqa parallel ravishda chizilgan to'g'ri chiziqda joylashgan. R C 20 . Shuning uchun, 20 mm masofada berilgan to'g'ri chiziqqa parallel ravishda yana bir to'g'ri chiziq chizamiz.

Va konjugatsiya yoyining markazi, ikkita doira tashqi tomondan tegib turganda, radiuslar yig'indisiga teng bo'lgan radiusli doirada joylashgan. R va R C . Shuning uchun, nuqtadan O radius ( R + R C O FROM

Keyin biz aloqa nuqtalarini topamiz. Birinchi aloqa nuqtasi - bu juftning markazidan berilgan chiziqqa tushirilgan perpendikulyar. Birlashma markazini ulash orqali biz ikkinchi ulanish nuqtasini topamiz O FROM va aylananing markazi R . Tangens nuqtasi aylana bilan birinchi kesishgan joyda yotadi, chunki teginish tashqidir.

Keyin nuqtadan O FROM radius R C 20 kesishish nuqtalarini ulang.

RT: 32-bet. 2-topshiriq. Doira va to'g'ri chiziqning konjugatsiyasi. Tegish ichkidir. R C 60 .

Berilgan to'g'ri chiziqqa parallel bo'lgan markazlar chizig'ini 60 mm masofada o'tkazing. Bir nuqtadan O radius ( R Bilan - R ) yangi to'g'ri chiziq (markazlar chizig'i) bilan kesishgan joyga yoy o'tkazamiz. Keling, bir fikrni olaylik O FROM , bu konjugatsiya markazidir.

Kimdan O FROM doira markazidan chiziq torting O va berilgan chiziqqa perpendikulyar. Biz ikkita aloqa nuqtasini olamiz. Va keyin 60 mm radiusli juftlik markazidan biz aloqa nuqtalarini bog'laymiz.

Pairing - bu bir chiziqdan ikkinchisiga silliq o'tish. Silliq o'tish ham dumaloq chiziqlar yordamida amalga oshirilishi mumkin
(doira yoylari) va egri chiziqlar yordamida (ellips, parabola yoki giperbola yoylari). Biz aylana yoylari yordamida faqat konjugatsiya holatlarini ko'rib chiqamiz. Har xil chiziqlar konjugatsiyalarining barcha xilma-xilligidan quyidagi asosiy konjugatsiya turlarini ajratib ko'rsatish mumkin: aylana yoyi yordamida ikki xil joylashgan to'g'ri chiziqni konjugatsiya qilish, aylana yoyi bilan to'g'ri chiziqni konjugatsiya qilish, umumiy konjugatsiya qurish ikkita aylanaga teginish, uchdan birining ikkita doirasining konjugatsiyasi. Har qanday turdagi juftlashtirish quyidagi ketma-ketlikda bajarilishi kerak:

- konjugatsiya yoyi markazini toping;

- ulanish nuqtalarini toping,

- berilgan radius bilan konjugatsiya yoyi chiziladi.

Har xil turdagi juftliklar 2-jadvalda ko'rsatilgan:

jadval 2

O'rtoqlarning grafik qurilishi	Qurilish uchun qisqacha tushuntirish

Kesishuvchi chiziqlarni berilgan radiusli yoy bilan konjugatsiya qilish
	Burchakning yon tomonlariga parallel to'g'ri chiziqlarni R masofada o'tkazing. O nuqtadan, bu chiziqlarning o'zaro kesishishi, burchakning yon tomonlariga perpendikulyarlarni tashlab, biz konjugatsiya nuqtalarini olamiz 1 va 2. R radiusi bilan, 1 va 2 nuqtalar orasiga konjugatsiya yoyi chizing.
Berilgan radiusli yoy yordamida aylana va to'g'ri chiziqni konjugatsiya qilish
	R masofada berilgan to'g'ri chiziqqa parallel to'g'ri chiziq chizamiz va markazdan O 1 radiusi R + R 1 - aylana yoyi chiziladi. O nuqta konjugatsiya yoyining markazidir. O nuqtadan berilgan to‘g‘ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyarda 2-nuqtani, 1-nuqtani esa OO 1 chiziq bilan R radiusli aylana kesishmasida olamiz.

2-jadvalning davomi

Ikki aylana yoylarining to'g'ri chiziq bilan konjugatsiyasi
	O nuqtadan radiusi R-R 1 bo‘lgan yordamchi aylana chiziladi. OO 1 segmentini yarmiga bo'ling va O 2 nuqtadan radiusi 0,5 OO 1 bo'lgan aylana chizing. Bu doira yordamchini K 0 nuqtada kesib o'tadi. K 0 nuqtani O 1 nuqta bilan tutashtirib, umumiy tangensning yo’nalishini olamiz. K va K 1 teginish nuqtalari O va O 1 nuqtalardan perpendikulyarlarning berilgan doiralar bilan kesishgan joyida topiladi.
Berilgan radiusli yoy bilan ikkita aylana yoylarining konjugatsiyasi (tashqi konjugatsiya)
	O 1 va O 2 markazlaridan R + R 1 va R + R 2 radiusli yoylarni chizamiz. Bu yoylar kesishganda biz O nuqtani olamiz - konjugatsiya yoyi markazi. O 1 va O 2 nuqtalarini O nuqtasi bilan bog'lang. K va K 1 nuqtalari konjugatsiya nuqtalari. K va K 1 nuqtalar orasiga R radiusli konjugatsiya yoyi chiziladi.