Xayoliy chiziqlar. Tenglamaning kanonik shakli nima? Ellips va uning kanonik tenglamasi

Endi ikkinchi tartibli egri chiziqlarning affin klassifikatsiyasi egri chiziqlarning nomlari bilan berilishini, ya’ni ikkinchi tartibli egri chiziqlarning afin sinflari sinflar ekanligini ko‘rsatamiz:

haqiqiy ellipslar;

xayoliy ellipslar;

giperbola;

haqiqiy kesishuvchi chiziqlar juftlari;

xayoliy (konjugat) juftlari kesishadi;

parallel real chiziqlar juftlari;

parallel xayoliy konjugat chiziqlar juftlari;

bir-biriga mos keladigan haqiqiy chiziqlar juftlari.

Biz ikkita bayonotni isbotlashimiz kerak:

A. Xuddi shu nomdagi barcha egri chiziqlar (ya’ni barcha ellipslar, barcha giperbolalar va boshqalar) bir-biriga afinal ekvivalentdir.

B. Turli nomdagi ikkita egri chiziq hech qachon affin ekvivalenti bo‘lmaydi.

Biz A fikrni isbotlaymiz. XV bobning 3-bandida hamma ellipslar ulardan biriga afinal ekvivalent, ya’ni doiralar va barcha giperbolalar giperbola ekanligi isbotlangan edi.Demak, barcha ellipslar, mos ravishda, barcha giperbolalar, afinal ekvivalentdir. bir-biri. Barcha xayoliy ellipslar radiusi - - 1 bo'lgan aylanaga afinal ekvivalent bo'lib, bir-biriga ham afinal ekvivalentdir.

Keling, barcha parabolalarning affin ekvivalentligini isbotlaylik. Biz ko'proq isbotlaymiz, ya'ni barcha parabolalar bir-biriga o'xshash. Parabola qandaydir koordinatalar sistemasida berilganligini uning kanonik tenglamasi bilan isbotlash kifoya

parabola kabi

Buning uchun biz tekislikni koeffitsient bilan o'xshashlik o'zgarishiga duchor qilamiz - :

Keyin bizning transformatsiyamiz ostida egri chiziq

egri chiziqqa kiradi

ya'ni parabolaga

Q.E.D.

Keling, chirigan egri chiziqlarga o'taylik. (9) va (11) § formulalarda, 401 va 402-betlarda ba'zi (hatto to'rtburchaklar) koordinatalar tizimida kesishuvchi chiziqlar juftligiga bo'linadigan egri chiziq tenglamaga ega ekanligi isbotlangan.

Qo'shimcha koordinatani o'zgartirish

Biz bir juft kesishuvchi haqiqiy, mos ravishda xayoliy konjugat, to'g'ri chiziqlarga ajraladigan har qanday egri chiziq qandaydir affin koordinatalar tizimida tenglamaga ega ekanligini ko'ramiz.

Bir juft parallel chiziqlarga bo'linadigan egri chiziqlarga kelsak, ularning har biri (hatto ba'zi to'rtburchaklar koordinatalar tizimida ham) tenglama bilan berilishi mumkin.

mos ravishda haqiqiy uchun

xayoliy, to'g'ridan-to'g'ri uchun. Koordinatalarni o'zgartirish bizga ushbu tenglamalarni (yoki mos keladigan chiziqlar uchun) qo'yish imkonini beradi.Bu bir xil nomga ega bo'lgan barcha yemirilayotgan ikkinchi tartibli egri chiziqlarning affin ekvivalentligini bildiradi.

Biz B tasdiqining isbotiga murojaat qilamiz.

Avvalo shuni ta'kidlaymizki, tekislikning affin o'zgarishida algebraik egri chiziqning tartibi o'zgarishsiz qoladi. Keyinchalik: ikkinchi tartibdagi har qanday yemiruvchi egri chiziq juft to'g'ri chiziqlar bo'lib, affin o'zgarishida to'g'ri chiziq to'g'ri chiziqqa aylanadi, kesishgan bir juft chiziq kesishuvchi juftga aylanadi va bir juft parallel chiziq chiziqqa aylanadi. parallel juftlik; bundan tashqari, haqiqiy chiziqlar real, xayoliy chiziqlar esa xayoliy bo'ladi. Bundan kelib chiqadiki, (3) formulalardagi (XI bob, 3-§) affin transformatsiyani aniqlaydigan barcha koeffitsientlar haqiqiy sonlardir.

Aytilganlardan kelib chiqadiki, berilgan emiruvchi ikkinchi tartibli egri chiziqqa affin ravishda ekvivalent bo'lgan chiziq xuddi shu nomdagi yemiruvchi egri chiziqdir.

Biz parchalanmaydigan egri chiziqlarga o'tamiz. Shunga qaramay, affin transformatsiya bilan haqiqiy egri xayoliyga kira olmaydi va aksincha. Demak, xayoliy ellipslar sinfi affin invariantdir.

Haqiqiy parchalanmaydigan egri chiziqlar sinflarini ko'rib chiqing: ellips, giperbola, parabolalar.

Ikkinchi tartibdagi barcha egri chiziqlar orasida har bir ellips va faqat ellips qandaydir to'rtburchakda yotadi, parabola va giperbolalar (shuningdek, barcha parchalanuvchi egri chiziqlar) cheksizgacha cho'ziladi.

Affin transformatsiyada berilgan ellipsni o'z ichiga olgan ABCD to'rtburchaklar o'zgartirilgan egri chiziqni o'z ichiga olgan parallelogrammaga o'tadi, shuning uchun u abadiylikka chiqa olmaydi va shuning uchun ellipsdir.

Demak, ellipsga affin ekvivalent egri chiziq albatta ellipsdir. Isbotlanganlardan kelib chiqadiki, giperbola yoki parabolaga affin ekvivalent bo‘lgan egri chiziq ellips bo‘la olmaydi (biz bilganimizdek, u yemiruvchi egri chiziq ham bo‘la olmaydi. Shuning uchun faqat affin ostida ekanligini isbotlashgina qoladi. tekislikning o'zgarishi bilan giperbola parabolaga o'tolmaydi va aksincha, bu, ehtimol, oddiygina shundan kelib chiqadiki, parabolaning simmetriya markazi yo'q, giperbolada esa simmetriya markazi yo'qligi sababli. parabola faqat keyingi bobda isbotlanadi, endi giperbola va parabolaning afin ekvivalent emasligining ikkinchi, shuningdek, juda oddiy isbotini keltiramiz.

Lemma. Agar parabolaning berilgan d to'g'ri tekisligida aniqlangan ikki yarim tekislikning har biri bilan umumiy nuqtalari bo'lsa, u holda u chiziq bilan kamida bitta umumiy nuqtaga ega bo'ladi.

Haqiqatan ham, berilgan parabola tenglamaga ega bo'lgan koordinatalar tizimi mavjudligini ko'rdik

Bu koordinatalar sistemasiga nisbatan d to'g'ri chiziq tenglamaga ega bo'lsin

Farazga ko'ra, parabolada ikkita nuqta bor, ulardan biri, aytaylik, musbat, ikkinchisi (1) tenglamaga nisbatan salbiy yarim tekislikda yotadi. Shuning uchun, biz yozishimiz mumkinligini yodda tuting

Ikkinchi tartibli qatorlar

Dekart to'rtburchaklar koordinatalari 2-darajali algebraik tenglamani qanoatlantiradigan tekis chiziqlar

a 11 x 2 + a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 11 = 0. (*)

(*) tenglama haqiqiy geometrik tasvirni aniqlamasligi mumkin, lekin umumiylik uchun bunday hollarda xayoliy chiziqli tasvirni aniqlaydi, deb aytiladi. n. Umumiy tenglama (*) koeffitsientlarining qiymatlariga qarab, uni koordinata tizimining kelib chiqishi va aylanishini har biri quyidagi 9 ta kanonik shakldan biriga biron bir burchak bilan parallel ravishda aylantirish orqali o'zgartirish mumkin. chiziqlarning ma'lum bir sinfiga mos keladi. Aynan,

Buzilmaydigan chiziqlar:

y 2 = 2px - parabolalar,

kesish chiziqlari:

x 2 - a 2 \u003d 0 - juft parallel chiziqlar,

x 2 + a 2 \u003d 0 - xayoliy parallel chiziqlar juftligi,

x 2 = 0 - bir-biriga mos keladigan parallel chiziqlar juftlari.

L.ga qarashni tadqiq qilish. umumiy tenglamani kanonik shaklga keltirmasdan amalga oshirish mumkin. Bunga atalgan qiymatlarni birgalikda ko'rib chiqish orqali erishiladi. L.v.ning asosiy invariantlari. n. - (*) tenglama koeffitsientlaridan tashkil topgan ifodalar, ularning qiymatlari koordinata tizimining parallel ko'chirilishi va aylanishi bilan o'zgarmaydi:

S \u003d a 11 + a 22,(a ij = a ji).

Demak, masalan, ellipslar, yemirmaydigan chiziqlar sifatida, ular uchun D ≠ 0; o'zgarmas d ning musbat qiymati ellipslarni boshqa turdagi yemirmaydigan chiziqlardan ajratib turadi (giperbolalar d uchun)

D, d va S uchta asosiy invariant LV ni aniqlaydi. (parallel chiziqlardan tashqari) Evklid tekisligining harakatiga qadar (Qarang: Harakat): agar ikkita chiziqning mos keladigan D, d va S invariantlari teng boʻlsa, bunday chiziqlarni harakat bilan birlashtirish mumkin. Boshqacha qilib aytganda, bu chiziqlar tekislikning harakatlar guruhiga nisbatan ekvivalentdir (metrik jihatdan ekvivalent).

L.ning tasniflari mavjud. boshqa o'zgarishlar guruhlari nuqtai nazaridan. Shunday qilib, harakatlar guruhiga qaraganda nisbatan umumiyroq, afin o'zgarishlar guruhi (Qarang: Affin o'zgarishlari), bir xil kanonik shakldagi tenglamalar bilan aniqlangan har qanday ikkita chiziq ekvivalentdir. Masalan, ikkita oʻxshash L. in. n (qarang: oʻxshashlik) ekvivalent hisoblanadi. Chiziqli c.v ning turli afin sinflari orasidagi bogʻlanishlar. cheksizlikdagi elementlar alohida rol o'ynamaydigan proyektiv geometriya nuqtai nazaridan tasnifni o'rnatishga imkon beradi (qarang proyektiv geometriya). Haqiqiy parchalanmaydigan L. in. va boshqalar: ellipslar, giperbolalar va parabolalar bitta proyektiv sinfni - haqiqiy oval chiziqlar sinfini tashkil qiladi. Haqiqiy oval chiziq cheksizlikdagi chiziqqa nisbatan qanday joylashishiga qarab ellips, giperbola yoki parabola bo'ladi: ellips noto'g'ri chiziqni ikkita xayoliy nuqtada, giperbola ikki xil haqiqiy nuqtada, parabola noto'g'ri chiziqqa tegadi. ; bu chiziqlarni bir-biriga olib keladigan proyektiv transformatsiyalar mavjud. L.v ning atigi 5 ta proektiv ekvivalentlik sinflari mavjud. n. Aniqrogʻi,

degenerativ bo'lmagan chiziqlar

(x 1 , x 2 , x 3- bir hil koordinatalar):

x 1 2 + x 2 2 - x 3 2= 0 - haqiqiy oval,

x 1 2 + x 2 2 + x 3 2= 0 - xayoliy oval,

degenerativ chiziqlar:

x 1 2 - x 2 2= 0 - haqiqiy chiziqlar juftligi,

x 1 2 + x 2 2= 0 - bir juft xayoliy chiziqlar,

x 1 2= 0 - bir-biriga mos keladigan haqiqiy chiziqlar juftligi.

A. B. Ivanov.

Buyuk Sovet Entsiklopediyasi. - M.: Sovet Entsiklopediyasi. 1969-1978 .

Boshqa lug'atlarda "Ikkinchi tartibli satrlar" nima ekanligini ko'ring:

Toʻgʻri burchakli nuqta koordinatalari 2-darajali algebraik tenglamani qanoatlantiradigan tekis chiziqlar. Ikkinchi tartibli chiziqlar orasida ellipslar (xususan, doiralar), giperbolalar, parabolalar ... Katta ensiklopedik lug'at

Toʻgʻri burchakli nuqta koordinatalari 2-darajali algebraik tenglamani qanoatlantiradigan tekis chiziqlar. Ikkinchi tartibli chiziqlar orasida ellipslar (xususan, doiralar), giperbolalar, parabolalar mavjud. * * * IKKINCHI TARTIBLI QATLAR IKKINCHI TARTIBI SATIRLAR,… … ensiklopedik lug'at

Yassi chiziqlar, to'rtburchaklar nuqtalarning koordinatalari k px algebralarni qanoatlantiradi. 2-darajali urniy. L. orasida. n. ellipslar (ayniqsa doiralar), giperbolalar, parabolalar… Tabiiy fan. ensiklopedik lug'at

Yassi chiziq, kartezian to'rtburchaklar koordinatalari algebraikni qondirish uchun. 2-darajali tenglama (*) tenglama haqiqiy geometrikni aniqlamasligi mumkin. tasvir, lekin bunday hollarda umumiylikni saqlab qolish uchun ular buni aniqlaydi, deyishadi ... ... Matematik entsiklopediya

Dekart tizimidagi koordinatalari algebraikni qanoatlantiradigan 3 o'lchovli haqiqiy (yoki murakkab) fazoning nuqtalari to'plami. 2-darajali tenglama (*) Tenglama (*) haqiqiy geometrikni aniqlamasligi mumkin. tasvirlar, shunday ...... Matematik entsiklopediya

Egri chiziqlar geometriyasida juda tez-tez qo'llaniladigan bu so'z aniq ma'noga ega emas. Agar bu so'z yopiq bo'lmagan va tarmoqlanmagan egri chiziqlarga nisbatan qo'llanilsa, egri chiziqning novdasi har bir uzluksiz shaxsni anglatadi ... ... Entsiklopedik lug'at F.A. Brockhaus va I.A. Efron

Ikkinchi tartibli chiziqlar, ikkita diametrli, ularning har biri bu egri chiziqning akkordlarini ikkiga bo'lib, boshqasiga parallel. SDlar ikkinchi tartibli chiziqlarning umumiy nazariyasida muhim rol o'ynaydi. Ellipsning S. aylanaga parallel proyeksiyasi bilan ... ...

To'g'ri dumaloq Konusni uning cho'qqisidan o'tmaydigan tekisliklarga bo'lish yo'li bilan olingan chiziqlar. K. s. uch xil bo'lishi mumkin: 1) kesish tekisligi konusning barcha generatorlarini uning bo'shlig'idan birining nuqtalarida kesib o'tadi; qator …… Buyuk Sovet Entsiklopediyasi

To'g'ri dumaloq konusni uning cho'qqisidan o'tmaydigan tekisliklarga bo'lish natijasida olingan chiziqlar. K. s. uch xil bo'lishi mumkin: 1) kesish tekisligi konusning barcha generatorlarini uning bo'shlig'idan birining nuqtalarida kesishadi (rasm, a): kesishish chizig'i ... ... Matematik entsiklopediya

Geometriya bo'limi. Algebraik geometriyaning asosiy tushunchalari eng oddiy geometrik tasvirlar (nuqtalar, chiziqlar, tekisliklar, egri chiziqlar va ikkinchi tartibli sirtlar). A.g.da tadqiqotning asosiy vositalari koordinatalar usuli (pastga qarang) va usullardir ... ... Buyuk Sovet Entsiklopediyasi

Kitoblar

• Analitik geometriya bo'yicha qisqa kurs, Efimov Nikolay Vladimirovich. Analitik geometriyani o'rganish predmeti dekart koordinatalarida birinchi yoki ikkinchi darajali tenglamalar bilan berilgan raqamlardir. Samolyotda bu to'g'ri chiziqlar va ikkinchi tartibli chiziqlar. ...

Bu tenglamaning umumiy qabul qilingan standart shakli bo'lib, bir necha soniya ichida u qanday geometrik ob'ektni aniqlagani aniq bo'ladi. Bundan tashqari, kanonik shakl ko'plab amaliy vazifalarni hal qilish uchun juda qulaydir. Shunday qilib, masalan, kanonik tenglamaga ko'ra "tekis" tekis, birinchidan, bu to'g'ri chiziq ekanligi darhol aniq bo'ladi, ikkinchidan, unga tegishli nuqta va yo'nalish vektori oddiygina ko'rinadi.

Shubhasiz, har qanday 1-tartib qatori to‘g‘ri chiziqni ifodalaydi. Ikkinchi qavatda bizni endi farrosh emas, balki to'qqizta haykaldan iborat ancha xilma-xil kompaniya kutmoqda:

Ikkinchi tartibli chiziqlarning tasnifi

Maxsus harakatlar to'plami yordamida har qanday ikkinchi tartibli chiziqli tenglama quyidagi turlardan biriga qisqartiriladi:

(va musbat haqiqiy sonlar)

1) ellipsning kanonik tenglamasi;

2) giperbolaning kanonik tenglamasi;

3) parabolaning kanonik tenglamasi;

4) – xayoliy ellips;

5) - kesishuvchi chiziqlar juftligi;

6) - juftlik xayoliy kesishuvchi chiziqlar (boshidagi yagona haqiqiy kesishish nuqtasi bilan);

7) - bir juft parallel chiziqlar;

8) - juftlik xayoliy parallel chiziqlar;

9) bir-biriga mos keladigan juft chiziq.

Ba'zi o'quvchilar ro'yxat to'liq emas degan taassurot qoldirishi mumkin. Masalan, 7-bandda tenglama juftlikni o'rnatadi bevosita, o'qiga parallel va savol tug'iladi: y o'qiga parallel bo'lgan chiziqlarni aniqlaydigan tenglama qayerda? Javob: bu kanon hisoblanmaydi. To'g'ri chiziqlar 90 gradusga aylantirilgan bir xil standart holatni ifodalaydi va tasniflashda qo'shimcha yozuv ortiqcha bo'ladi, chunki u tubdan yangi narsaga ega emas.

Shunday qilib, to'qqiz va faqat to'qqiz xil turdagi 2-tartibli chiziqlar mavjud, ammo amalda eng keng tarqalganlari ellips, giperbola va parabola.

Keling, avval ellipsni ko'rib chiqaylik. Odatdagidek, men muammolarni hal qilish uchun katta ahamiyatga ega bo'lgan fikrlarga e'tibor qarataman va agar sizga formulalarni batafsil chiqarish, teoremalarni isbotlash kerak bo'lsa, masalan, Bazylev / Atanasyan yoki Aleksandrovning darsligiga murojaat qiling ..

Ellips va uning kanonik tenglamasi

Imlo ... iltimos, "ellipsni qanday qurish kerak", "ellips va oval o'rtasidagi farq" va "elebs ekssentrikligi" bilan qiziqqan ba'zi Yandex foydalanuvchilarining xatolarini takrorlamang.

Ellipsning kanonik tenglamasi ko'rinishga ega, bu erda musbat haqiqiy sonlar va . Ellipsning ta'rifini keyinroq shakllantiraman, ammo hozircha suhbatdan tanaffus qilish va umumiy muammoni hal qilish vaqti keldi:

Ellipsni qanday qurish mumkin?

Ha, uni oling va shunchaki chizib oling. Topshiriq keng tarqalgan bo'lib, o'quvchilarning katta qismi rasm chizishni to'liq bajara olmaydi:

1-misol

Tenglama bilan berilgan ellipsni tuzing

Qaror: avval tenglamani kanonik shaklga keltiramiz:

Nega olib keling? Kanonik tenglamaning afzalliklaridan biri shundaki, u bir zumda aniqlash imkonini beradi ellips uchlari nuqtalarda joylashgan. Bu nuqtalarning har birining koordinatalari tenglamani qanoatlantirishini ko'rish oson.

Ushbu holatda :


Chiziq segmenti chaqirdi asosiy o'q ellips;
chiziq segmenti – kichik o'q;
raqam chaqirdi yarim katta o'q ellips;
raqam – yarim kichik o'q.
bizning misolimizda: .

U yoki bu ellips qanday ko'rinishini tezda tasavvur qilish uchun uning kanonik tenglamasining "a" va "bo'lish" qiymatlariga qarang.

Hammasi yaxshi, toza va chiroyli, lekin bitta ogohlantirish bor: men dastur yordamida chizmani chizganman. Va har qanday dastur bilan chizishingiz mumkin. Biroq, qattiq haqiqatda stolda katakli qog'oz yotadi va sichqonlar bizning qo'llarimiz atrofida raqsga tushishadi. Badiiy iste'dodli odamlar, albatta, bahslasha oladilar, lekin sizda ham sichqonlar bor (kichikroq bo'lsa ham). Insoniyat chizmachilik uchun chizgich, sirkul, transportr va boshqa oddiy asboblarni ixtiro qilgani bejiz emas.

Shu sababli, biz faqat uchlarini bilgan holda ellipsni aniq chizishimiz dargumon. Hali ham yaxshi, agar ellips kichik bo'lsa, masalan, yarim o'qlar bilan. Shu bilan bir qatorda, siz o'lchovni va shunga mos ravishda chizilgan o'lchamlarini kamaytirishingiz mumkin. Ammo umumiy holatda qo'shimcha nuqtalarni topish juda ma'qul.

Ellipsni qurishda ikkita yondashuv mavjud - geometrik va algebraik. Menga kompas va o'lchagich yordamida qurish yoqmaydi, chunki qisqa algoritm va chizmaning sezilarli tartibsizligi. Favqulodda vaziyatlarda darslikka murojaat qiling, lekin aslida algebra vositalaridan foydalanish ancha oqilona. Loyihadagi ellips tenglamasidan biz tezda ifodalaymiz:

Keyin tenglama ikki funktsiyaga bo'linadi:
– ellipsning yuqori yoyini aniqlaydi;
– ellipsning pastki yoyini belgilaydi.

Har qanday ellips koordinata o'qlariga nisbatan, shuningdek, koordinata bo'yicha simmetrikdir. Va bu juda zo'r - simmetriya deyarli har doim bepul narsaning xabarchisi. Shubhasiz, 1-koordinatali chorak bilan shug'ullanish kifoya, shuning uchun bizga funktsiya kerak . Bu abscissalar bilan qo'shimcha nuqtalarni topishni taklif qiladi . Biz kalkulyatorda uchta SMS ni urdik:

Albatta, agar hisob-kitoblarda jiddiy xatoga yo'l qo'yilgan bo'lsa, bu qurilish paytida darhol ayon bo'lishi ham yoqimli.

Chizmadagi nuqtalarni (qizil), boshqa yoylardagi nosimmetrik nuqtalarni (ko'k) belgilang va butun kompaniyani chiziq bilan ehtiyotkorlik bilan ulang:


Dastlabki eskizni ingichka va ingichka qilib chizish yaxshidir va shundan keyingina qalamga bosim o'tkazing. Natijada juda yaxshi ellips bo'lishi kerak. Aytgancha, bu egri chiziq nima ekanligini bilmoqchimisiz?

Buni aniq misol bilan ko'rsatish uchun men ushbu talqinda quyidagi gapga nima mos kelishini ko'rsataman: (haqiqiy yoki xayoliy) P nuqtasi g (haqiqiy yoki xayoliy) chiziqda yotadi. Bunday holda, albatta, quyidagi holatlarni ajratib ko'rsatish kerak:

1) haqiqiy nuqta va haqiqiy chiziq;

2) haqiqiy nuqta va xayoliy chiziq;

1-holat) bizdan hech qanday maxsus tushuntirishni talab qilmaydi; bu yerda biz oddiy geometriyaning asosiy munosabatlaridan biriga egamiz.

2-holatda, berilgan xayoliy chiziq bilan bir qatorda unga to'g'ri keladigan chiziq majmuasi ham berilgan haqiqiy nuqtadan o'tishi shart; demak, bu nuqta biz xayoliy chiziqni ifodalash uchun foydalanadigan nurlar to'plamining cho'qqisiga to'g'ri kelishi kerak.

Xuddi shunday, 3) holatda haqiqiy chiziq berilgan xayoliy nuqtaning vakili bo'lib xizmat qiladigan nuqtalarning to'g'ri chiziqli involyutsiyasi bilan bir xil bo'lishi kerak.

Eng qiziqarli holat 4) (96-rasm): bu yerda, aniqki, kompleks konjugat nuqta ham murakkab konjugat chiziqda yotishi kerak va bundan kelib chiqadiki, P nuqtani ifodalovchi nuqtalar involyutsiyasining har bir juft juftligi yotishi kerak. g to'g'ri chiziqni ifodalovchi chiziqlar involyutsiyasining ba'zi bir juft chiziqlarida, ya'ni bu ikkala involyutsiya bir-biriga nisbatan perspektiv joylashgan bo'lishi kerak; bundan tashqari, ikkala involyutsiyaning o'qlari ham istiqbolda joylashganligi ma'lum bo'ladi.

Umuman olganda, murakkab sohaga ham e'tibor qaratiladigan tekislikning analitik geometriyasida, agar biz uning barcha real nuqtalari va chiziqlari to'plamiga yangi elementlar sifatida involyutsiya to'plamini qo'shsak, biz bu tekislikning to'liq haqiqiy rasmini olamiz. yuqorida ko'rib chiqilgan raqamlar, ularning yo'nalishlari strelkalari bilan birga. Bu erda murakkab geometriyaning bunday haqiqiy rasmini qurish qanday shaklda bo'lishini umumiy tavsiflab bersam etarli bo'ladi. Bunda men elementar geometriyaning birinchi takliflari odatda taqdim etiladigan tartibda amal qilaman.

1) Ular mavjudlik aksiomalaridan boshlanadi, ularning maqsadi oddiy geometriya bilan solishtirganda kengaytirilgan sohada yuqorida aytib o'tilgan elementlarning mavjudligining aniq formulasini berishdir.

2) Keyin 1) bandda belgilangan kengaytirilgan maydonda ham shuni bildiradigan ulanish aksiomalari! bitta va faqat bitta chiziq (har bir) ikkita nuqtadan o'tadi va bu (har qanday) ikkita chiziq bitta va faqat bitta umumiy nuqtaga ega.

Shu bilan birga, xuddi yuqorida aytib o'tganimizdek, berilgan elementlarning haqiqiy ekanligiga qarab har safar to'rtta holatni ajratib ko'rsatishimiz kerak va nuqta va chiziqlar involyutsiyasi bo'lgan qaysi haqiqiy konstruktsiyalar tasvir bo'lib xizmat qilishi haqida o'ylash juda qiziqarli ko'rinadi. bu murakkab munosabatlar.

3) tartibga solish (tartib) aksiomalariga kelsak, bu yerda real munosabatlarga nisbatan mutlaqo yangi holatlar yuzaga keladi; xususan, bitta qo'zg'almas chiziqda yotgan barcha haqiqiy va murakkab nuqtalar, shuningdek, bitta qo'zg'almas nuqtadan o'tadigan barcha nurlar ikki o'lchovli kontinuumni hosil qiladi. Axir, har birimiz funktsiyalar nazariyasini o'rganishdan murakkab o'zgaruvchining qiymatlari yig'indisini tekislikning barcha nuqtalari bilan ifodalash odatini o'rgandik.

4) Nihoyat, uzluksizlik aksiomalariga kelsak, men bu yerda faqat qandaydir haqiqiy nuqtaga xohlagancha yaqin joylashgan murakkab nuqtalar qanday tasvirlanganligini ko'rsataman. Buni amalga oshirish uchun olingan haqiqiy P nuqta orqali (yoki unga yaqin bo'lgan boshqa haqiqiy nuqta orqali) siz qandaydir to'g'ri chiziq chizishingiz va unda bir-birini ajratib turadigan ikkita juft nuqtani ko'rib chiqishingiz kerak (ya'ni, "kesishgan tarzda yotgan" ") juft nuqtalar (97-rasm), shuning uchun turli juftliklardan olingan ikkita nuqta bir-biriga va P nuqtaga yaqin yotadi; agar endi nuqtalarni cheksiz birlashtirsak, u holda nomlangan juft nuqtalar bilan aniqlangan involyutsiya buziladi, ya’ni uning shu paytgacha murakkab bo‘lgan ikkala qo‘sh nuqtasi nuqtaga to‘g‘ri keladi.Ushbu involyutsiya bilan ifodalangan ikkita xayoliy nuqtaning har biri (bitta yoki bilan birga) boshqa o'q) o'tadi, shuning uchun P ga yaqin bo'lgan bir nuqtaga yoki hatto to'g'ridan-to'g'ri P ga davom etadi. Albatta, bu davomiylik tushunchalaridan yaxshi foydalanish uchun foydalana olish uchun ular bilan batafsil ishlash kerak.

Garchi bu qurilishning barchasi oddiy haqiqiy geometriya bilan solishtirganda ancha og'ir va zerikarli bo'lsa-da, u beqiyos ko'proq narsani berishi mumkin. Xususan, u haqiqiy va murakkab elementlar to'plami sifatida tushuniladigan algebraik tasvirlarni to'liq geometrik ravshanlik darajasiga ko'tarishga qodir va uning yordami bilan raqamlarning o'zida algebraning asosiy teoremasi kabi teoremalarni aniq tushunish mumkin. yoki Bezout teoremasi, ikkita egri chiziq tartibi, umuman olganda, aynan umumiy nuqtalarga ega. Buning uchun, albatta, asosiy qoidalarni hozirgacha qilinganidan ko'ra ancha aniqroq va tasviriy shaklda tushunish kerak bo'ladi; ammo adabiyotda bunday tekshiruvlar uchun zarur bo'lgan barcha materiallar allaqachon mavjud.

Ammo ko'p hollarda ushbu geometrik talqinni qo'llash, barcha nazariy afzalliklariga qaramay, shu qadar murakkabliklarga olib keladiki, uning asosiy imkoniyati bilan qanoatlanish va aslida soddaroq nuqtai nazarga qaytish kerak, ya'ni: murakkab nuqta uchta murakkab koordinatalar to'plami bo'lib, u bilan haqiqiy nuqtalar bilan bir xil tarzda ishlashi mumkin. Haqiqatan ham, har qanday fundamental fikrlashdan voz kechgan holda, xayoliy elementlarning bunday kiritilishi biz xayoliy tsiklik nuqtalar yoki doiralar doirasi bilan shug'ullanishimiz kerak bo'lgan holatlarda har doim samarali bo'lgan. Yuqorida aytib o'tilganidek, Ponsele bu ma'noda birinchi marta xayoliy elementlardan foydalana boshladi; Bu borada uning izdoshlari boshqa frantsuz geometriyalari, asosan Chall va Darboux edi; Germaniyada bir qancha geometriyachilar, xususan, Li ham xayoliy elementlar haqidagi bu tushunchani katta muvaffaqiyat bilan qo‘llaganlar.

Xayoliy sohaga bunday chekinish bilan men kursimning ikkinchi qismini yakunlayman va yangi bobga murojaat qilaman,

8.3.15. A nuqta chiziq ustida joylashgan. A nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa

8.3.16. To‘g‘ri chiziqqa simmetrik bo‘lgan to‘g‘ri chiziq tenglamasini yozing

samolyotga nisbatan .

8.3.17. Tekislikdagi proyeksiyalar tenglamalarini tuzing quyidagi qatorlar:

a) ;

b)

ichida) .

8.3.18. Tekislik va chiziq orasidagi burchakni toping:

a) ;

b) .

8.3.19. Bir nuqtaga simmetrik nuqtani toping chiziqlardan o'tadigan tekislikka nisbatan:

va

8.3.20. A nuqta chiziq ustida joylashgan

A nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa teng. A nuqtaning koordinatalarini toping.

§ 8.4. IKKINCHI TARTIBLI Egri chiziqlar

Keling, tekislikda to'rtburchaklar koordinatalar tizimini o'rnatamiz va ikkinchi darajali umumiy tenglamani ko'rib chiqamiz

unda .

Koordinatalari (8.4.1) tenglamani qanoatlantiradigan tekislikdagi barcha nuqtalar to'plami deyiladi. qiyshiq (chiziq) ikkinchi tartib.

Ikkinchi tartibli har qanday egri chiziq uchun kanonik deb ataladigan to'rtburchaklar koordinatalar tizimi mavjud bo'lib, bu egri chiziq tenglamasi quyidagi ko'rinishlardan biriga ega:

1) (ellips);

2) (xayoliy ellips);

3) (bir juft xayoliy kesishuvchi chiziqlar);

4) (giperbola);

5) (kesishgan bir juft chiziq);

6) (parabola);

7) (parallel chiziqlar juftligi);

8) (bir juft xayoliy parallel chiziqlar);

9) (bir-biriga mos keladigan bir juft chiziq).

1) - 9) tenglamalar chaqiriladi ikkinchi tartibli egri chiziqlarning kanonik tenglamalari.

Ikkinchi tartibli egri chiziq tenglamasini kanonik shaklga keltirish masalasini yechish egri chiziqning kanonik tenglamasini va kanonik koordinatalar tizimini topishni o'z ichiga oladi. Kanonik shaklga qisqartirish egri chiziqning parametrlarini hisoblash va uning asl koordinata tizimiga nisbatan joylashishini aniqlash imkonini beradi. Dastlabki to'rtburchaklar koordinata tizimidan o'tish kanonikga dastlabki koordinatalar sistemasining o'qlarini O nuqta atrofida qandaydir j burchak bilan aylantirish va keyinchalik koordinata tizimini parallel ravishda o'tkazish yo'li bilan amalga oshiriladi.

Ikkinchi tartibli egri chiziq invariantlari(8.4.1) uning tenglamasi koeffitsientlarining shunday funktsiyalari deb ataladi, ularning qiymatlari bir xil tizimning bir to'rtburchaklar koordinata tizimidan boshqasiga o'tishda o'zgarmaydi.

Ikkinchi tartibli egri chiziq uchun (8.4.1) kvadrat koordinatadagi koeffitsientlar yig'indisi.

,

yetakchi hadlar koeffitsientlaridan tuzilgan determinant

va uchinchi tartibli determinant

invariantlardir.

s, d, D invariantlarining qiymati ikkinchi tartibli egri chiziqning turini aniqlash va kanonik tenglamasini tuzish uchun ishlatilishi mumkin.

8.1-jadval.

Invariantlarga asoslangan ikkinchi tartibli egri chiziqlar tasnifi

Keling, ellips, giperbola va parabolani batafsil ko'rib chiqaylik.

Ellips(8.1-rasm) - tekislikdagi nuqtalarning joylashuvi, buning uchun ikkita qo'zg'almas nuqtagacha bo'lgan masofalar yig'indisi. deb nomlangan bu samolyot ellips fokuslari, doimiy qiymat (fokuslar orasidagi masofadan kattaroq). Bu ellips o'choqlarining mos kelishini istisno qilmaydi. Agar fokuslar bir xil bo'lsa, u holda ellips aylana bo'ladi.

Ellips nuqtasidan uning o'choqlarigacha bo'lgan masofalarning yarim yig'indisi a, fokuslar orasidagi masofaning yarmi - c bilan belgilanadi. Agar tekislikdagi to'g'ri burchakli koordinatalar tizimi shunday tanlansa, ellips fokuslari Ox o'qida koordinata boshiga nisbatan simmetrik joylashgan bo'lsa, u holda bu koordinatalar tizimida ellips tenglama bilan beriladi.

, (8.4.2)

chaqirdi ellipsning kanonik tenglamasi, qayerda .

Guruch. 8.1

To'g'ri to'rtburchaklar koordinata tizimini tanlash bilan ellips koordinata o'qlari va boshiga nisbatan nosimmetrikdir. Ellipsning simmetriya o'qlari uni chaqiradi boltalar, simmetriya markazi esa ellipsning markazi. Shu bilan birga, 2a va 2b raqamlari ko'pincha ellipsning o'qlari deb ataladi va a va b raqamlari deyiladi. katta va yarim kichik o'q mos ravishda.

Ellipsning o'qlari bilan kesishish nuqtalari deyiladi ellipsning uchlari. Ellipsning uchlari (a,0), (–a,0), (0,b), (0,–b) koordinatalariga ega.

Ellipsning ekssentrikligi raqam chaqirdi

0£c dan beri

.

Bu shuni ko'rsatadiki, ekssentriklik ellips shaklini tavsiflaydi: e nolga qanchalik yaqin bo'lsa, ellips doiraga o'xshaydi; e oshgani sayin ellips cho'zilib ketadi.