Nuqtalardan to‘g‘ri chiziq tenglamasini yozing. To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi: tavsif, misollar, masalani yechish

Ikki ball berilsin M(X 1 ,Da 1) va N(X 2,y 2). Shu nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini topamiz.

Chunki bu chiziq nuqtadan o'tadi M, keyin (1.13) formulaga muvofiq uning tenglamasi shaklga ega

Da – Y 1 = K(X-x 1),

Qayerda K noma'lum qiyalikdir.

Ushbu koeffitsientning qiymati kerakli to'g'ri chiziq nuqtadan o'tishi sharti bilan aniqlanadi N, ya'ni uning koordinatalari (1.13) tenglamani qanoatlantiradi.

Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),

Bu yerdan siz ushbu chiziqning qiyaligini topishingiz mumkin:

,

Yoki konvertatsiya qilinganidan keyin

(1.14)

Formula (1.14) belgilaydi Ikki nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi M(X 1, Y 1) va N(X 2, Y 2).

Ballar aniqlanganda M(A, 0), N(0, B), LEKIN ¹ 0, B¹ 0, koordinata o'qlarida yotadi, (1.14) tenglama oddiyroq shaklni oladi

Tenglama (1.15) chaqirdi To'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi, Bu yerga LEKIN va B o'qlarda to'g'ri chiziq bilan kesilgan segmentlarni bildiradi (1.6-rasm).

1.6-rasm

1.10-misol. Nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini yozing M(1, 2) va B(3, –1).

. (1.14) ga ko'ra, kerakli to'g'ri chiziq tenglamasi ko'rinishga ega

2(Y – 2) = -3(X – 1).

Barcha shartlarni chap tomonga o'tkazib, nihoyat kerakli tenglamani olamiz

3X + 2Y – 7 = 0.

1.11-misol. Nuqtadan o‘tuvchi chiziq tenglamasini yozing M(2, 1) va chiziqlarning kesishish nuqtasi X+ Y- 1 = 0, X - y+ 2 = 0.

. Bu tenglamalarni birgalikda yechish orqali chiziqlarning kesishish nuqtasining koordinatalarini topamiz

Agar bu tenglamalarni had bo'yicha qo'shsak, biz 2 ni olamiz X+ 1 = 0, qaerdan. Topilgan qiymatni istalgan tenglamaga almashtirib, ordinataning qiymatini topamiz Da:

Endi (2, 1) va nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini yozamiz:

yoki .

Demak yoki -5( Y – 1) = X – 2.

Nihoyat, biz kerakli to'g'ri chiziq tenglamasini shaklda olamiz X + 5Y – 7 = 0.

1.12-misol. Nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini toping M(2.1) va N(2,3).

(1.14) formuladan foydalanib, biz tenglamani olamiz

Bu mantiqiy emas, chunki ikkinchi maxraj nolga teng. Masala shartidan ko’rinadiki, ikkala nuqtaning abssissalari bir xil qiymatga ega. Demak, kerakli chiziq o'qga parallel OY va uning tenglamasi: x = 2.

Izoh . Agar (1.14) formula bo'yicha to'g'ri chiziq tenglamasini yozishda maxrajlardan biri nolga teng bo'lib chiqsa, unda mos keladigan payni nolga tenglashtirish orqali kerakli tenglamani olish mumkin.

Keling, tekislikka to'g'ri chiziq o'rnatishning boshqa usullarini ko'rib chiqaylik.

1. Nolga teng bo'lmagan vektor berilgan chiziqqa perpendikulyar bo'lsin L, va nuqta M 0(X 0, Y 0) shu chiziqda yotadi (1.7-rasm).

1.7-rasm

Belgilamoq M(X, Y) chiziqdagi ixtiyoriy nuqta L. Vektorlar va Ortogonal. Ushbu vektorlar uchun ortogonallik shartlaridan foydalanib, biz yoki LEKIN(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.

Biz nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini oldik M 0 vektorga perpendikulyar. Bu vektor deyiladi Oddiy vektor to'g'ri chiziqqa L. Olingan tenglamani quyidagicha qayta yozish mumkin

Oh + Wu + Bilan= 0, bu erda Bilan = –(LEKINX 0 + tomonidan 0), (1.16),

Qayerda LEKIN va DA normal vektorning koordinatalari.

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini parametrik shaklda olamiz.

2. Tekislikdagi chiziqni quyidagicha aniqlash mumkin: nolga teng bo'lmagan vektor berilgan chiziqqa parallel bo'lsin. L va nuqta M 0(X 0, Y 0) bu chiziqda yotadi. Shunga qaramay, o'zboshimchalik bilan bir nuqtani oling M(X, y) to‘g‘ri chiziqda (1.8-rasm).

1.8-rasm

Vektorlar va kollinear.

Bu vektorlarning kollinearlik shartini yozamiz: , qayerda T ixtiyoriy raqam bo'lib, parametr deb ataladi. Bu tenglikni koordinatalarda yozamiz:

Bu tenglamalar deyiladi Parametrik tenglamalar To'g'riga. Ushbu tenglamalardan parametrni chiqarib tashlaylik T:

Bu tenglamalarni shaklda yozish mumkin

. (1.18)

Olingan tenglama deyiladi To'g'ri chiziqning kanonik tenglamasi. Vektorli qo'ng'iroq To'g'ri yo'nalish vektori .

Izoh . If chiziqning normal vektori ekanligini ko'rish oson L, keyin uning yo'nalishi vektori vektor bo'lishi mumkin, chunki, ya'ni.

1.13-misol. Nuqtadan o`tuvchi to`g`ri chiziq tenglamasini yozing M 0(1, 1) 3-qatorga parallel X + 2Da– 8 = 0.

Qaror . Vektor berilgan va kerakli chiziqlarning normal vektoridir. Nuqtadan o`tuvchi to`g`ri chiziq tenglamasidan foydalanamiz M 0 berilgan normal vektor 3( X –1) + 2(Da– 1) = 0 yoki 3 X + 2y- 5 \u003d 0. Biz kerakli to'g'ri chiziq tenglamasini oldik.

To'g'ri chiziq M 1 (x 1; y 1) va M 2 (x 2; y 2) nuqtalardan o'tadi. M 1 nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi y- y 1 \u003d ko'rinishga ega. k (x - x 1), (10.6)

qayerda k - hali noma'lum koeffitsient.

To'g'ri chiziq M 2 (x 2 y 2) nuqtasidan o'tganligi sababli, bu nuqtaning koordinatalari (10.6) tenglamani qondirishi kerak: y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

Bu yerdan topilgan qiymatni almashtirishni topamiz k (10.6) tenglamaga kirib, M 1 va M 2 nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini olamiz:

Bu tenglamada x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 deb faraz qilinadi.

Agar x 1 \u003d x 2 bo'lsa, u holda M 1 (x 1, y I) va M 2 (x 2, y 2) nuqtalaridan o'tadigan to'g'ri chiziq y o'qiga parallel bo'ladi. Uning tenglamasi x = x 1 .

Agar y 2 \u003d y I bo'lsa, to'g'ri chiziq tenglamasini y \u003d y 1 shaklida yozish mumkin, M 1 M 2 to'g'ri chiziq x o'qiga parallel.

To'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi

Toʻgʻri chiziq Oʻq oʻqini M 1 (a; 0) nuqtada, Oy oʻqi esa M 2 (0; b) nuqtada kesishsin. Tenglama quyidagi shaklda bo'ladi:
bular.
. Bu tenglama deyiladi segmentlardagi to'g'ri chiziq tenglamasi, chunki a va b raqamlari to'g'ri chiziq koordinata o'qlarida qaysi segmentlarni kesib tashlashini ko'rsatadi.

Berilgan vektorga perpendikulyar berilgan nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi

O‘tgan to‘g‘ri chiziq tenglamasini toping berilgan nuqta Mo (x O; y o) berilgan nolga teng bo'lmagan vektorga perpendikulyar n = (A; B).

To'g'ri chiziqning ixtiyoriy M(x; y) nuqtasini oling va M 0 M (x - x 0; y - y o) vektorini ko'rib chiqing (1-rasmga qarang). n va M o M vektorlar perpendikulyar bo'lganligi uchun ularning skalyar ko'paytmasi nolga teng: ya'ni,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

(10.8) tenglama chaqiriladi berilgan vektorga perpendikulyar berilgan nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi .

Chiziqga perpendikulyar n = (A; B) vektor normal deyiladi bu chiziqning normal vektori .

(10.8) tenglamani quyidagicha qayta yozish mumkin Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

bu erda A va B normal vektorning koordinatalari, C \u003d -Ax o - Vu o - erkin a'zo. Tenglama (10.9) toʻgʻri chiziqning umumiy tenglamasidir(2-rasmga qarang).

1-rasm 2-rasm

To'g'ri chiziqning kanonik tenglamalari

,

Qayerda
- chiziq o'tadigan nuqtaning koordinatalari va
- yo'nalish vektori.

Ikkinchi tartibli aylana egri chiziqlari

Doira - berilgan nuqtadan teng masofada joylashgan tekislikning barcha nuqtalari to'plami bo'lib, u markaz deb ataladi.

Radiusli aylananing kanonik tenglamasi R nuqtaga markazlashtirilgan
:

Xususan, agar qoziqning markazi boshlang'ichga to'g'ri kelsa, tenglama quyidagicha ko'rinadi:

Ellips

Ellips - bu tekislikdagi nuqtalar to'plami, ularning har biridan berilgan ikkita nuqtagacha bo'lgan masofalar yig'indisi. va fokuslar deb ataladigan , doimiy qiymatdir
, fokuslar orasidagi masofadan kattaroq
.

Fokuslari Ox o'qida joylashgan va kelib chiqishi fokuslar orasidagi o'rtada joylashgan ellipsning kanonik tenglamasi shaklga ega.
G de a asosiy yarim o'qning uzunligi; b - kichik yarim o'qning uzunligi (2-rasm).

Evklid geometriyasida to'g'ri chiziqning xossalari.

Har qanday nuqta orqali o'tkaziladigan cheksiz ko'p chiziqlar mavjud.

Har qanday ikkita mos kelmaydigan nuqta orqali faqat bitta to'g'ri chiziq mavjud.

Tekislikdagi ikkita tasodifiy chiziq yo bir nuqtada kesishadi yoki bo'ladi

parallel (avvalgisidan keyin).

3D maydonida uchta variant mavjud. nisbiy pozitsiya ikkita to'g'ri chiziq:

• chiziqlar kesishadi;

• to'g'ri chiziqlar parallel;

• to'g'ri chiziqlar kesishadi.

To'g'riga chiziq- birinchi tartibli algebraik egri chiziq: Dekart koordinata tizimida to'g'ri chiziq

tekislikda birinchi darajali tenglama (chiziqli tenglama) bilan beriladi.

Umumiy tenglama To'g'riga.

Ta'rif. Tekislikdagi har qanday chiziq birinchi tartibli tenglama bilan berilishi mumkin

Ah + Wu + C = 0,

va doimiy A, B bir vaqtning o'zida nolga teng emas. Bu birinchi tartibli tenglama deyiladi umumiy

to'g'ri chiziq tenglamasi. Konstantalarning qiymatlariga qarab A, B va Bilan Quyidagi maxsus holatlar mumkin:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- chiziq koordinatadan o'tadi

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( By + C = 0)- o'qga parallel to'g'ri chiziq Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- o'qga parallel to'g'ri chiziq OU

. B = C = 0, A ≠ 0- chiziq o'qga to'g'ri keladi OU

. A = C = 0, B ≠ 0- chiziq o'qga to'g'ri keladi Oh

To'g'ri chiziq tenglamasini quyidagicha ifodalash mumkin turli shakllar har qanday berilganiga qarab

dastlabki shartlar.

To'g'ri chiziqning nuqta va normal vektor tenglamasi.

Ta'rif. Dekart to'rtburchaklar koordinatalar tizimida komponentlar (A, B) bo'lgan vektor.

tenglama bilan berilgan chiziqqa perpendikulyar

Ah + Wu + C = 0.

Misol. Nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini toping A(1, 2) vektorga perpendikulyar (3, -1).

Qaror. Keling, A \u003d 3 va B \u003d -1 da to'g'ri chiziq tenglamasini tuzamiz: 3x - y + C \u003d 0. C koeffitsientini topish uchun

berilgan A nuqtaning koordinatalarini hosil bo‘lgan ifodaga almashtiramiz: 3 - 2 + C = 0 bo‘ladi, demak.

C = -1. Jami: kerakli tenglama: 3x - y - 1 \u003d 0.

Ikki nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi.

Kosmosda ikkita nuqta berilgan bo'lsin M 1 (x 1 , y 1 , z 1) va M2 (x 2, y 2, z 2), keyin to'g'ri chiziq tenglamasi,

Ushbu nuqtalardan o'tish:

Agar maxrajlardan birortasi nolga teng bo'lsa, mos keladigan raqam nolga teng bo'lishi kerak. Ustida

tekislikda, yuqorida yozilgan to'g'ri chiziq tenglamasi soddalashtirilgan:

agar x 1 ≠ x 2 va x = x 1, agar x 1 = x 2 .

Fraksiya = k chaqirdi qiyalik omili To'g'riga.

Misol. A(1, 2) va B(3, 4) nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini toping.

Qaror. Yuqoridagi formuladan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

To'g'ri chiziqning nuqta va qiyalik bo'yicha tenglamasi.

Agar to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi Ah + Wu + C = 0 shaklga keltiring:

va belgilang , keyin hosil bo'lgan tenglama chaqiriladi

qiyaligi k bo'lgan to'g'ri chiziq tenglamasi.

Nuqtadagi to'g'ri chiziq tenglamasi va yo'naltiruvchi vektor.

Oddiy vektor orqali to'g'ri chiziq tenglamasini ko'rib chiqadigan nuqtaga o'xshatib, siz vazifani kiritishingiz mumkin

nuqtadan o'tgan to'g'ri chiziq va to'g'ri chiziqning yo'nalishi vektori.

Ta'rif. Har bir nolga teng bo'lmagan vektor (a 1 , a 2), uning tarkibiy qismlari shartni qanoatlantiradi

Aa 1 + Ba 2 = 0 chaqirdi to'g'ri chiziqning yo'nalish vektori.

Ah + Wu + C = 0.

Misol. Yoʻnalish vektori (1, -1) boʻlgan va A(1, 2) nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasini toping.

Qaror. Biz kerakli to'g'ri chiziq tenglamasini quyidagi shaklda qidiramiz: Ax + By + C = 0. Ta'rifga ko'ra,

Koeffitsientlar quyidagi shartlarga javob berishi kerak:

1 * A + (-1) * B = 0, ya'ni. A = B.

Keyin to'g'ri chiziq tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: Ax + Ay + C = 0, yoki x + y + C / A = 0.

da x=1, y=2 olamiz C/ A = -3, ya'ni. kerakli tenglama:

x + y - 3 = 0

To'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi.

Agar to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasida Ah + Wu + C = 0 C≠0 bo'lsa, -C ga bo'linib, biz quyidagilarni olamiz:

yoki , qayerda

geometrik ma'no koeffitsientlar, bunda a koeffitsienti kesishish nuqtasining koordinatasi hisoblanadi

o'q bilan to'g'ri Oh, a b- chiziqning o'q bilan kesishish nuqtasining koordinatasi OU.

Misol. To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi berilgan x - y + 1 = 0. Ushbu to'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasini toping.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

To'g'ri chiziqning normal tenglamasi.

Agar tenglamaning ikkala tomoni bo'lsa Ah + Wu + C = 0 raqamga bo'linadi , deb ataladi

normallashtiruvchi omil, keyin olamiz

xcosph + ysinph - p = 0 -to'g'ri chiziqning normal tenglamasi.

Normallashtiruvchi omilning ± belgisi shunday tanlanishi kerak m * C< 0.

R- boshdan chiziqqa tushirilgan perpendikulyar uzunligi;

a φ - o'qning musbat yo'nalishi bilan bu perpendikulyar tomonidan hosil qilingan burchak Oh.

Misol. To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi berilgan 12x - 5y - 65 = 0. Yozish talab qilinadi Har xil turlar tenglamalar

bu to'g'ri chiziq.

Ushbu to'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi:

Bu chiziqning qiyalik bilan tenglamasi: (5 ga bo'ling)

To'g'ri chiziq tenglamasi:

cos ph = 12/13; sin ph= -5/13; p=5.

Shuni ta'kidlash kerakki, har bir to'g'ri chiziqni segmentlarda tenglama bilan ifodalash mumkin emas, masalan, to'g'ri chiziqlar,

o'qlarga parallel yoki boshlang'ichdan o'tuvchi.

Tekislikdagi chiziqlar orasidagi burchak.

Ta'rif. Ikki qator berilgan bo'lsa y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, keyin bu chiziqlar orasidagi o'tkir burchak

sifatida belgilanadi

Ikki chiziq parallel, agar k 1 = k 2. Ikki to'g'ri chiziqlar perpendikulyar,

agar k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorema.

To'g'ridan-to'g'ri Ah + Wu + C = 0 va A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 koeffitsientlar proportsional bo'lganda parallel bo'ladi

A 1 \u003d lA, B 1 \u003d lB. Agar ham S 1 \u003d l, keyin chiziqlar mos keladi. Ikki chiziqning kesishish nuqtasining koordinatalari

bu chiziqlar tenglamalar sistemasi yechimi sifatida topiladi.

Berilgan nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi berilgan chiziqqa perpendikulyar.

Ta'rif. Nuqtadan o'tuvchi chiziq M 1 (x 1, y 1) va chiziqqa perpendikulyar y = kx + b

tenglama bilan ifodalanadi:

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa.

Teorema. Agar ball berilsa M(x 0, y 0), keyin chiziqgacha bo'lgan masofa Ah + Wu + C = 0 quyidagicha aniqlanadi:

Isbot. Nuqtaga ruxsat bering M 1 (x 1, y 1)- nuqtadan tushgan perpendikulyar asosi M berilgan uchun

bevosita. Keyin nuqtalar orasidagi masofa M va M 1:

(1)

Koordinatalar x 1 va 1 tenglamalar tizimining yechimi sifatida topish mumkin:

Tizimning ikkinchi tenglamasi berilgan M 0 nuqtadan perpendikulyar oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasidir.

berilgan qator. Agar tizimning birinchi tenglamasini quyidagi shaklga aylantirsak:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0 ga + C = 0,

keyin hal qilib, biz quyidagilarni olamiz:

Ushbu ifodalarni (1) tenglamaga almashtirib, biz quyidagilarni topamiz:

Teorema isbotlangan.

Ikki nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi. Maqolada" " Men sizga berilgan funktsiya grafigi va ushbu grafikga tangens bilan hosila topish uchun taqdim etilgan muammolarni hal qilishning ikkinchi usulini tahlil qilishga va'da berdim. Biz ushbu usulni maqolada ko'rib chiqamiz , o'tkazib yuborma! Nima uchun Keyingisi?

Gap shundaki, u erda to'g'ri chiziq tenglamasining formulasi qo'llaniladi. Albatta, bu formulani shunchaki ko'rsatish va uni o'rganishni maslahat berish mumkin. Lekin qaerdan kelganini (qanday qilib olinganligini) tushuntirish yaxshiroqdir. Bu zarur! Agar uni unutib qo'ysangiz, uni tezda tiklangqiyin bo'lmaydi. Hammasi quyida batafsil. Demak, bizda koordinata tekisligida ikkita A nuqta bor(x 1; y 1) va B (x 2; y 2), ko'rsatilgan nuqtalar orqali to'g'ri chiziq o'tkaziladi:

Mana to'g'ridan-to'g'ri formula:

*Ya'ni nuqtalarning xususiy koordinatalarini almashtirganda y=kx+b ko'rinishdagi tenglamani olamiz.

** Agar ushbu formula oddiygina "esda saqlangan" bo'lsa, unda indekslar bilan adashtirish ehtimoli katta. X. Bundan tashqari, indekslarni turli yo'llar bilan belgilash mumkin, masalan:

Shuning uchun ma'noni tushunish muhimdir.

Endi bu formulaning kelib chiqishi. Hammasi juda oddiy!

ABE va ACF uchburchaklari o'xshash o'tkir burchak(o'xshashlikning birinchi belgisi to'g'ri uchburchaklar). Bundan kelib chiqadiki, tegishli elementlarning nisbatlari tengdir, ya'ni:

Endi biz ushbu segmentlarni nuqtalar koordinatalarining farqi bilan ifodalaymiz:

Albatta, agar siz elementlarning munosabatlarini boshqa tartibda yozsangiz, xato bo'lmaydi (asosiysi yozishmalarni saqlash):

Natijada to'g'ri chiziqning bir xil tenglamasi. Hammasi shu!

Ya'ni, nuqtalarning o'zlari (va ularning koordinatalari) qanday belgilanishidan qat'i nazar, ushbu formulani tushunib, siz doimo to'g'ri chiziq tenglamasini topasiz.

Formulani vektorlarning xossalari yordamida chiqarish mumkin, ammo hosila qilish printsipi bir xil bo'ladi, chunki biz ularning koordinatalarining mutanosibligi haqida gapiramiz. Bunday holda, to'g'ri burchakli uchburchaklarning bir xil o'xshashligi ishlaydi. Menimcha, yuqorida bayon qilingan xulosa tushunarliroq)).

Chiqarishni vektor koordinatalari orqali ko'rish >>>

Berilgan ikkita A (x 1; y 1) va B (x 2; y 2) nuqtalardan o'tuvchi koordinata tekisligida to'g'ri chiziq qurilsin. Koordinatali chiziqda ixtiyoriy C nuqtani belgilaymiz ( x; y). Biz ikkita vektorni ham belgilaymiz:

Ma'lumki, parallel chiziqlarda (yoki bitta chiziqda) yotgan vektorlar uchun ularning mos keladigan koordinatalari proportsionaldir, ya'ni:

- mos keladigan koordinatalar nisbatlarining tengligini yozamiz:

Bir misolni ko'rib chiqing:

Koordinatalari (2;5) va (7:3) bo'lgan ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini toping.

Siz hatto chiziqni o'zi ham qura olmaysiz. Biz formulani qo'llaymiz:

Nisbatni tuzishda yozishmalarni qo'lga kiritish muhimdir. Agar siz yozsangiz, xato qilolmaysiz:

Javob: y=-2/5x+29/5 go y=-0,4x+5,8

Olingan tenglama to'g'ri topilganligiga ishonch hosil qilish uchun uni tekshirishni unutmang - unga ma'lumotlar koordinatalarini nuqtalar holatida almashtiring. To'g'ri tenglikni olishingiz kerak.

Hammasi shu. Umid qilamanki, material siz uchun foydali bo'ldi.

Hurmat bilan, Aleksandr.

P.S: Ijtimoiy tarmoqlarda sayt haqida ma'lumot bersangiz, minnatdor bo'lardim.

Ushbu maqola tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasi mavzusini davom ettiradi: to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi kabi tenglama turini ko'rib chiqing. Teoremani aniqlab, uning isbotini keltiramiz; Keling, to'g'ri chiziqning to'liq bo'lmagan umumiy tenglamasi nima ekanligini va umumiy tenglamadan to'g'ri chiziqning boshqa turdagi tenglamalariga qanday o'tishni aniqlaymiz. Biz butun nazariyani illyustratsiyalar va amaliy muammolarni hal qilish bilan birlashtiramiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Tekislikda O x y to rtburchak koordinatalar sistemasi berilgan bo lsin.

Teorema 1

A x + B y + C \u003d 0 ko'rinishidagi birinchi darajali har qanday tenglama, bu erda A, B, C ba'zi haqiqiy sonlar (A va B bir vaqtning o'zida nolga teng emas) to'g'ri chiziqni aniqlaydi. tekislikdagi to'rtburchaklar koordinatalar tizimi. O'z navbatida, tekislikdagi to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi har qanday chiziq A, B, C qiymatlarining ma'lum bir to'plami uchun A x + B y + C = 0 ko'rinishga ega bo'lgan tenglama bilan aniqlanadi.

Isbot

Bu teorema ikkita nuqtadan iborat, biz ularning har birini isbotlaymiz.

1. A x + B y + C = 0 tenglama tekislikdagi chiziqni aniqlashini isbotlaylik.

Koordinatalari A x + B y + C = 0 tenglamasiga mos keladigan qandaydir M 0 (x 0, y 0) nuqta bo'lsin. Shunday qilib: A x 0 + B y 0 + C = 0 . A x + B y + C \u003d 0 tenglamalarining chap va o'ng tomonlaridan A x 0 + B y 0 + C \u003d 0 tenglamasining chap va o'ng tomonlarini ayirsak, biz A ga o'xshash yangi tenglamani olamiz. (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Bu A x + B y + C = 0 ga teng.

Olingan A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 tenglama n → = (A, B) va M 0 M → = (x - x) vektorlarining perpendikulyarligi uchun zarur va etarli shartdir. 0, y - y 0 ). Shunday qilib, M (x, y) nuqtalar to'plami to'rtburchaklar koordinatalar tizimida vektor yo'nalishiga perpendikulyar to'g'ri chiziqni aniqlaydi n → = (A, B) . Bu shunday emas deb taxmin qilishimiz mumkin, lekin u holda n → = (A, B) va M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) vektorlari perpendikulyar bo'lmaydi va A (x -) tengligi. x 0 ) + B (y - y 0) = 0 to'g'ri bo'lmaydi.

Shuning uchun A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 tenglamasi tekislikdagi to'rtburchaklar koordinata tizimida ma'lum bir chiziqni aniqlaydi va shuning uchun A x + B y + C \u003d 0 ekvivalent tenglamasi. bir xil chiziqni belgilaydi. Shunday qilib, biz teoremaning birinchi qismini isbotladik.

1. Tekislikdagi to'rtburchaklar koordinatalar sistemasidagi har qanday to'g'ri chiziq birinchi darajali A x + B y + C = 0 tenglama bilan berilishi mumkinligini isbotlaylik.

Tekislikda to'g'ri to'rtburchak koordinatalar sistemasida a to'g'ri chiziqni o'rnatamiz; bu chiziq o'tadigan M 0 (x 0, y 0) nuqtasi, shuningdek, ushbu chiziqning normal vektori n → = (A , B) .

M (x , y) nuqta - chiziqning suzuvchi nuqtasi ham mavjud bo'lsin. Bunda n → = (A , B) va M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) vektorlari bir-biriga perpendikulyar bo'lib, ularning skalyar ko'paytmasi nolga teng:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 tenglamani qayta yozamiz, C: C = - A x 0 - B y 0 ni aniqlaymiz va nihoyat A x + B y + C = 0 tenglamani olamiz.

Shunday qilib, biz teoremaning ikkinchi qismini isbotladik va biz butun teoremani bir butun sifatida isbotladik.

Ta'rif 1

O'xshash tenglama A x + B y + C = 0 - Bu to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi to'rtburchaklar koordinata tizimidagi tekislikdaO x y.

Isbotlangan teoremaga asoslanib, biz shunday xulosaga kelishimiz mumkinki, qo'zg'almas to'rtburchaklar koordinatalar sistemasidagi tekislikda berilgan to'g'ri chiziq va uning umumiy tenglamasi uzviy bog'langan. Boshqacha qilib aytganda, asl chiziq uning umumiy tenglamasiga mos keladi; to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi berilgan to'g'ri chiziqqa mos keladi.

Teoremani isbotlashdan ham shunday chiqadiki, x va y o‘zgaruvchilar uchun A va B koeffitsientlari to‘g‘ri chiziqning normal vektorining koordinatalari bo‘lib, u A x+B y+ to‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasi bilan berilgan. C = 0.

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasining aniq misolini ko'rib chiqing.

Berilgan to'rtburchaklar koordinata sistemasidagi to'g'ri chiziqqa mos keladigan 2 x + 3 y - 2 = 0 tenglama berilsin. Bu chiziqning normal vektori vektor hisoblanadi n → = (2, 3) . Chizmada berilgan to‘g‘ri chiziqni chizing.

Quyidagilarni ham bahslash mumkin: biz chizmada ko'rib turgan to'g'ri chiziq 2 x + 3 y - 2 = 0 umumiy tenglama bilan aniqlanadi, chunki berilgan to'g'ri chiziqning barcha nuqtalarining koordinatalari ushbu tenglamaga mos keladi.

l A x + l B y + l C = 0 tenglamani umumiy to‘g‘ri chiziq tenglamasining ikkala tomonini l soniga emas, balki l soniga ko‘paytirish orqali olishimiz mumkin. nol. Olingan tenglama asl umumiy tenglamaga teng, shuning uchun u tekislikdagi bir xil chiziqni tasvirlaydi.

Ta'rif 2

To'g'ri chiziqning to'liq umumiy tenglamasi- A x + B y + C \u003d 0 chizig'ining bunday umumiy tenglamasi, unda A, B, C raqamlari nolga teng emas. Aks holda, tenglama bo'ladi to'liqsiz.

To'g'ri chiziqning to'liq bo'lmagan umumiy tenglamasining barcha o'zgarishlarini tahlil qilaylik.

1. A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 bo'lganda, umumiy tenglama B y + C \u003d 0 ga aylanadi. Bunday to'liq bo'lmagan umumiy tenglama O x o'qiga parallel bo'lgan to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi O x y to'g'ri chiziqni belgilaydi, chunki x ning har qanday haqiqiy qiymati uchun y o'zgaruvchisi qiymatni oladi. - C B. Boshqacha qilib aytganda, A x + B y + C \u003d 0 chizig'ining umumiy tenglamasi, A \u003d 0, B ≠ 0 bo'lganda, koordinatalari bir xil raqamga teng bo'lgan nuqtalarning (x, y) joylashishini aniqlaydi. - C B.
2. Agar A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0 bo'lsa, umumiy tenglama y \u003d 0 bo'ladi. Bunday to'liq bo'lmagan tenglama x o'qini O x aniqlaydi.
3. A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0 bo'lganda, biz y o'qiga parallel to'g'ri chiziqni aniqlaydigan to'liq bo'lmagan umumiy A x + C \u003d 0 tenglamasini olamiz.
4. A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0 bo'lsin, keyin to'liq bo'lmagan umumiy tenglama x \u003d 0 ko'rinishini oladi va bu O y koordinata chizig'ining tenglamasi.
5. Va nihoyat, A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0 bo'lganda, to'liq bo'lmagan umumiy tenglama A x + B y \u003d 0 ko'rinishini oladi. Va bu tenglama koordinata boshidan o'tadigan to'g'ri chiziqni tasvirlaydi. Haqiqatan ham, raqamlar juftligi (0, 0) A x + B y = 0 tengligiga mos keladi, chunki A · 0 + B · 0 = 0 .

To'g'ri chiziqning to'liq bo'lmagan umumiy tenglamasining yuqoridagi barcha turlarini grafik tarzda tasvirlaylik.

1-misol

Ma'lumki, berilgan to'g'ri chiziq y o'qiga parallel va 2 7 , - 11 nuqtadan o'tadi. Berilgan to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini yozish kerak.

Qaror

Y o'qiga parallel to'g'ri chiziq A x + C \u003d 0 ko'rinishidagi tenglama bilan berilgan, unda A ≠ 0. Shart shuningdek, chiziq o'tadigan nuqtaning koordinatalarini belgilaydi va bu nuqtaning koordinatalari to'liq bo'lmagan umumiy tenglama A x + C = 0 shartlariga mos keladi, ya'ni. tenglik to'g'ri:

A 2 7 + C = 0

Undan A ni nolga teng bo'lmagan qiymatlarni berish orqali aniqlash mumkin, masalan, A = 7 . Bunday holda, biz olamiz: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Biz A va C koeffitsientlarini bilamiz, ularni A x + C = 0 tenglamasiga almashtiramiz va chiziqning kerakli tenglamasini olamiz: 7 x - 2 = 0

Javob: 7 x - 2 = 0

2-misol

Chizma to'g'ri chiziqni ko'rsatadi, uning tenglamasini yozish kerak.

Qaror

Berilgan chizma muammoni hal qilish uchun dastlabki ma'lumotlarni osongina olish imkonini beradi. Biz chizmada ko'ramizki, berilgan chiziq O x o'qiga parallel va (0 , 3) ​​nuqtadan o'tadi.

Abtsissa ko'ziga parallel bo'lgan to'g'ri chiziq to'liq bo'lmagan umumiy tenglama B y + S = 0 bilan aniqlanadi. B va C qiymatlarini toping. (0, 3) nuqtaning koordinatalari, chunki u orqali berilgan to'g'ri chiziq B y + S = 0 to'g'ri chiziq tenglamasini qanoatlantiradi, u holda tenglik o'rinli bo'ladi: V · 3 + S = 0. Keling, B ga noldan boshqa qiymatni o'rnatamiz. Aytaylik, B \u003d 1, bu holda B · 3 + C \u003d 0 tengligidan biz C: C \u003d - 3 ni topishimiz mumkin. Biz foydalanamiz ma'lum qiymatlar B va C, biz chiziqning kerakli tenglamasini olamiz: y - 3 = 0.

Javob: y - 3 = 0.

Tekislikning berilgan nuqtasidan o'tuvchi to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi

Berilgan chiziq M 0 (x 0, y 0) nuqtadan o'tib ketsin, u holda uning koordinatalari chiziqning umumiy tenglamasiga mos keladi, ya'ni. tenglik to'g'ri: A x 0 + B y 0 + C = 0. Ushbu tenglamaning chap va o'ng tomonlarini umumiyning chap va o'ng tomonlaridan ayirib tashlang to'liq tenglama To'g'riga. Biz olamiz: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, bu tenglama asl umumiy tenglamaga teng, M 0 (x 0, y 0) nuqtasidan o'tadi va normal vektor n → \u003d (A, B) .

Olingan natija to'g'ri chiziqning normal vektorining ma'lum koordinatalari va ushbu to'g'ri chiziqning ma'lum nuqtasi koordinatalari uchun to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini yozish imkonini beradi.

3-misol

Chiziq o'tadigan M 0 (- 3, 4) nuqta va bu chiziqning normal vektori berilgan. n → = (1 , - 2) . Berilgan to'g'ri chiziq tenglamasini yozish kerak.

Qaror

Dastlabki shartlar bizga tenglamani tuzish uchun kerakli ma'lumotlarni olish imkonini beradi: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Keyin:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Muammoni boshqacha hal qilish mumkin edi. To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi A x + B y + C = 0 ko'rinishga ega. Berilgan normal vektor A va B koeffitsientlarining qiymatlarini olishga imkon beradi, keyin:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Endi C ning qiymatini foydalanib toping shart bilan berilgan chiziq o'tadigan muammo nuqtasi M 0 (- 3 , 4). Bu nuqtaning koordinatalari x - 2 · y + C = 0 tenglamasiga to'g'ri keladi, ya'ni. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Demak, C = 11. Kerakli to'g'ri chiziq tenglamasi quyidagi shaklni oladi: x - 2 · y + 11 = 0 .

Javob: x - 2 y + 11 = 0.

4-misol

2 3 x - y - 1 2 = 0 chiziq va shu chiziqda yotgan M 0 nuqta berilgan. Bu nuqtaning faqat abssissasi ma'lum va u - 3 ga teng. Berilgan nuqtaning ordinatasini aniqlash kerak.

Qaror

M 0 nuqtaning koordinatalarini belgilashni x 0 va y 0 qilib belgilaymiz. Dastlabki ma'lumotlar shuni ko'rsatadiki, x 0 \u003d - 3. Nuqta berilgan chiziqqa tegishli bo'lganligi sababli, uning koordinatalari ushbu chiziqning umumiy tenglamasiga mos keladi. Keyin quyidagi tenglik to'g'ri bo'ladi:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

y 0 ni aniqlang: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Javob: - 5 2

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasidan to'g'ri chiziqning boshqa turdagi tenglamalariga o'tish va aksincha.

Ma'lumki, tekislikda bir xil to'g'ri chiziq tenglamasining bir necha turlari mavjud. Tenglama turini tanlash masala shartlariga bog'liq; uning yechimi uchun qulayroq bo'lganini tanlash mumkin. Bu erda bir turdagi tenglamani boshqa turdagi tenglamaga aylantirish mahorati juda foydali bo'ladi.

Birinchidan, A x + B y + C = 0 ko'rinishdagi umumiy tenglamadan x - x 1 a x = y - y 1 a y kanonik tenglamaga o'tishni ko'rib chiqing.

Agar A ≠ 0 bo'lsa, u holda B y atamani umumiy tenglamaning o'ng tomoniga o'tkazamiz. Chap tomonda biz qavs ichidan A ni chiqaramiz. Natijada: A x + C A = - B y ni olamiz.

Bu tenglikni nisbat sifatida yozish mumkin: x + C A - B = y A .

Agar B ≠ 0 bo'lsa, umumiy tenglamaning chap tomonida faqat A x atamasini qoldiramiz, qolganlarini o'ng tomonga o'tkazamiz, biz olamiz: A x \u003d - B y - C. Qavslar ichidan - B chiqaramiz, keyin: A x \u003d - B y + C B.

Tenglikni proporsiya sifatida qayta yozamiz: x - B = y + C B A .

Albatta, olingan formulalarni yodlashning hojati yo'q. Umumiy tenglamadan kanonik tenglamaga o'tishda harakatlar algoritmini bilish kifoya.

5-misol

3 y - 4 = 0 chiziqning umumiy tenglamasi berilgan. Uni kanonik tenglamaga aylantirish kerak.

Qaror

Asl tenglamani 3 y - 4 = 0 deb yozamiz. Keyinchalik, biz algoritmga muvofiq harakat qilamiz: 0 x atamasi chap tomonda qoladi; va o'ng tomonda biz olib tashlaymiz - 3 ta qavsdan; olamiz: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Olingan tenglikni proporsiya sifatida yozamiz: x - 3 = y - 4 3 0 . Shunday qilib, biz kanonik shaklning tenglamasini oldik.

Javob: x - 3 = y - 4 3 0.

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini parametrik tenglamaga aylantirish uchun avval ga o'tiladi kanonik shakl, so'ngra to'g'ri chiziqning kanonik tenglamasidan parametrik tenglamalarga o'tish.

6-misol

To'g'ri chiziq 2 x - 5 y - 1 = 0 tenglama bilan berilgan. Ushbu chiziqning parametrik tenglamalarini yozing.

Qaror

Keling, umumiy tenglamadan kanonik tenglamaga o'tamiz:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Endi l ga teng kanonik tenglamaning ikkala qismini olaylik, keyin:

x 5 = l y + 1 5 2 = l ⇔ x = 5 l y = - 1 5 + 2 l , l ∈ R

Javob:x = 5 l y = - 1 5 + 2 l , l ∈ R

Umumiy tenglamani qiyaligi y = k x + b bo‘lgan to‘g‘ri chiziqli tenglamaga aylantirish mumkin, lekin faqat B ≠ 0 bo‘lganda. Chap tarafdagi o'tish uchun biz B y atamasini qoldiramiz, qolganlari o'ngga o'tkaziladi. Biz olamiz: B y = - A x - C . Olingan tenglikning ikkala qismini noldan farq qiluvchi B ga ajratamiz: y = - A B x - C B .

7-misol

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi berilgan: 2 x + 7 y = 0 . Bu tenglamani qiyalik tenglamasiga aylantirishingiz kerak.

Qaror

Keling, algoritmga muvofiq kerakli amallarni bajaramiz:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Javob: y = - 2 7 x.

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasidan shunchaki x a + y b \u003d 1 ko'rinishdagi segmentlarda tenglamani olish kifoya. Bunday o'tishni amalga oshirish uchun biz C raqamini tenglikning o'ng tomoniga o'tkazamiz, hosil bo'lgan tenglikning ikkala qismini - S ga bo'lamiz va nihoyat, x va y o'zgaruvchilari uchun koeffitsientlarni maxrajlarga o'tkazamiz:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

8-misol

X - 7 y + 1 2 = 0 to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini segmentlardagi to'g'ri chiziq tenglamasiga aylantirish kerak.

Qaror

1 2 ni o'ng tomonga o'tkazamiz: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Tenglamaning har ikki tomonini -1/2 ga bo'ling: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Javob: x - 1 2 + y 1 14 = 1.

Umuman olganda, teskari o'tish ham oson: boshqa turdagi tenglamalardan umumiy tenglamaga.

To'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasini va qiyalikli tenglamani tenglamaning chap tomonidagi barcha shartlarni yig'ish orqali osongina umumiyga aylantirish mumkin:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Kanonik tenglama quyidagi sxema bo'yicha umumiy tenglamaga aylantiriladi:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Parametrikdan o'tish uchun avval kanonikga, keyin esa umumiyga o'tish amalga oshiriladi:

x = x 1 + a x l y = y 1 + a y l ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

9-misol

x = - 1 + 2 · l y = 4 to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari berilgan. Bu chiziqning umumiy tenglamasini yozish kerak.

Qaror

Parametrik tenglamalardan kanonik tenglamalarga o'tamiz:

x = - 1 + 2 l y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 l y = 4 + 0 l ⇔ l = x + 1 2 l = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Keling, kanonikdan umumiyga o'tamiz:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Javob: y - 4 = 0

10-misol

x 3 + y 1 2 = 1 segmentlardagi to'g'ri chiziq tenglamasi berilgan. ga o'tish kerak umumiy ko'rinish tenglamalar.

Qaror:

Keling, tenglamani kerakli shaklda qayta yozamiz:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Javob: 1 3 x + 2 y - 1 = 0.

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini tuzish

Yuqorida biz umumiy tenglamani normal vektorning ma'lum koordinatalari va chiziq o'tadigan nuqtaning koordinatalari bilan yozish mumkinligini aytdik. Bunday to'g'ri chiziq A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 tenglama bilan aniqlanadi. Xuddi shu joyda biz tegishli misolni tahlil qildik.

Endi ko'proq narsani ko'rib chiqaylik murakkab misollar, bunda birinchi navbatda normal vektorning koordinatalarini aniqlash kerak.

11-misol

2 x - 3 y + 3 3 = 0 chiziqqa parallel chiziq berilgan. Berilgan chiziq o'tadigan M 0 (4 , 1) nuqtasi ham ma'lum. Berilgan to'g'ri chiziq tenglamasini yozish kerak.

Qaror

Dastlabki shartlar bizga chiziqlar parallel ekanligini aytadi, keyin tenglamasi yozilishi kerak bo'lgan chiziqning normal vektori sifatida biz chiziqning yo'naltiruvchi vektorini olamiz n → = (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Endi biz to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini tuzish uchun barcha kerakli ma'lumotlarni bilamiz:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Javob: 2 x - 3 y - 5 = 0.

12-misol

Berilgan chiziq koordinata boshi orqali x - 2 3 = y + 4 5 chiziqqa perpendikulyar o'tadi. Berilgan to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini yozish kerak.

Qaror

Berilgan chiziqning normal vektori x - 2 3 = y + 4 5 chiziqning yo'naltiruvchi vektori bo'ladi.

Keyin n → = (3 , 5) . To'g'ri chiziq boshlang'ichdan o'tadi, ya'ni. O nuqta orqali (0, 0) . Berilgan to‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasini tuzamiz:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Javob: 3 x + 5 y = 0.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing