Demak, asl tasvir uchun asl shaklga ega

Bu natija (23) bilan mos keladi.

3. Differensial tenglamaning yechimini toping
, y(0) = y"(0) = 0 boshlang'ich shartlarini qondirish.

Bu muammoni hal qilish uchun Dyuhamel integralidan foydalanamiz. Avval yechim topamiz
differensial tenglama
. Rasm uchun mos operator tenglamasi
shaklga ega

yoki
. Bu erdan topamiz

. Olingan kasrni oddiy kasrlar yig'indisi sifatida ifodalaymiz
. Keling, koeffitsientlarni topamiz
. Buning uchun biz o'ng tomondagi kasrlarni umumiy maxrajga keltiramiz va sonlarning tengligini olamiz.

Koeffitsientlarni topish uchun birinchi navbatda qisman qiymatlar usulidan foydalanamiz. Keling, qo'ying
. Keyin olamiz
. Keling, qo'ying
. Keyin olamiz
. Qiymatni aniqlash uchun koeffitsientlarni daraja bo'yicha tenglashtiring chap va o'ngda (24):
. Demak,
. Shunday qilib, rasm o'xshaydi
. Jadvalga ko'ra biz mos keladigan asl nusxani topamiz
.. bu yerdan

. (25)

(13) formulaga muvofiq, asl differensial tenglamaning yechimi
integral hisoblanadi

, (26)

- (27)

asl tenglamaning o'ng tomoni. E'tibor bering, (26) da ikkita funktsiya konvolyutsiyasining simmetriya xususiyati qo'llaniladi.

(26) ga (25) va (27) ni almashtirib, biz hosil bo'lamiz

Demak,

. (28)

Keling, bu masalani Mathcad yordamida hal qilaylik

Belgilamoq
orqali
(Mathcad-da kompleks o'zgaruvchini eslaylik bilan belgilanadi )

Keling, asl nusxasini topamiz
, keyin qo'ying
va ga nisbatan hosilani toping funktsiyasidan

Hisoblash
, qayerda
asl tenglamaning o'ng tomonidir.

O'ng tomonni soddalashtirish mumkin

Bu natija ilgari olingan ifoda (28) bilan mos keladi.

Ikki funktsiyaning konvolyutsiyasi ularning tartibiga bog'liq emasligini hisobga olsak, biz ham hisoblashimiz mumkin
shakldagi formula (26) bo'yicha

Natijada ancha noqulay ifoda paydo bo'ladi. Biz ushbu iborada o'xshash shartlarni taqdim etamiz va natijani soddalashtiramiz

Bu natija ham shaklga qisqartiriladi (28)

4. Operatsion usul yordamida Koshi masalasini yeching:

(29)

(30)

Qaror. Sharti bilan; inobatga olgan holda,

,

shaklida operator tenglamasini olamiz

Bu yerdan rasm

(31)

Polinom
ildizlari bor
,
, va shuning uchun ifodasi
birinchi va oxirgi kasrlar yig'indisini soddalashtirgandan so'ng, u shaklga o'tkaziladi

(32)

Asl nusxasini olish uchun
tasvir uchun
, (32) ga kiritilgan kasrlarni oddiy kasrlarga ajratishingiz kerak. Keling, bu kengaytmani Mathcad yordamida topamiz

Matematik tahlilning ko'pgina muammolarida bir fazoning har bir nuqtasi boshqa (yoki bir xil) fazoning biron bir nuqtasiga biriktirilgan holatlar ko'rib chiqiladi. Bo'shliqlar mavhum bo'lishi mumkin, ulardagi "nuqtalar" aslida funktsiyalardir. Ikki nuqta o'rtasidagi yozishmalar transformatsiya yoki operator yordamida o'rnatiladi. Operator nazariyasining vazifasi har xil turdagi transformatsiyalar va ularning xususiyatlarini batafsil tavsiflash va tasniflashni, shuningdek, hisob-kitoblarni minimallashtirish va soddalashtirishga imkon beruvchi ramziy usullarni ishlab chiqishni o'z ichiga oladi. Odatda, operator nazariyasi nuqtalarni qo'shish yoki ko'paytirishga ruxsat berilgan bo'shliqlarga qo'llaniladi, ya'ni. chiziqli bo'shliqlar, guruhlar, halqalar, maydonlar va boshqalar.

Muammolar va ilovalar.

Bo'lsin D va R haqiqiy chiziqli yoki vektor bo'shliqlari bo'lib, ular bir-biridan farq qilishi shart emas. Ularning elementlari vektorlardir, shuning uchun ikkita elementning yig'indisi va elementning skalyar ko'paytmasi aniqlanadi va vektorlar uchun odatiy shartlarni qondiradi. Cheklangan asoslarning mavjudligi D va R shart emas. Bo'lsin r, vektori R, vektorga mos keladi d dan D. Biz bu yozishmalarni belgilaymiz T(d) = r yoki Td = r. Keyin T domen operatori deb ataladi D va diapazon R. Operator T taqsimlovchi hisoblanadi, agar

qayerda λ va λ" har qanday haqiqiy sonlar va d va d"- har qanday elementlardan D. Agar a D va R topologik vektor fazolardir ld va d+d" uzluksiz amallar bo'lsa, taqsimlovchi uzluksiz operator chiziqli operator deb ataladi. Agar a Q o'z ichiga oladi D va R, keyin T 2 (d) sifatida belgilanadi T(T(d)) va shunga o'xshash tarzda aniqlanadi T n(d) agar bu operatsiyalarning barchasi mantiqiy bo'lsa.

Operatsion hisob masalalarni mavhum shakllantirishni amalga oshirish va differensial va integral tenglamalar nazariyasi kabi matematik tahlil tarmoqlarini umumlashtirish imkonini beradi. Kvant nazariyasining zamonaviy muammolari operator nazariyasining rivojlanishi uchun kuchli turtki bo'ldi. Eng to'liq natijalar distributiv operatorlar uchun olingan. Hilbert maydoni. Ushbu sohaga qiziqish ko'p jihatdan bunday operatorlarning integral transformatsiyalar bilan ifodalanishi bilan bog'liq.

Ikki muhim distributiv operatorlar farqlash operatorlaridir p va integratsiya p-bir. Chiziqli fazolar elementlari D va R bu holda o'zgaruvchining funktsiyalari bo'ladi x. Bizda ... bor

qayerda m va n manfiy bo'lmagan butun sonlardir. Integratsiya ixtiyoriy doimiyning paydo bo'lishiga olib kelganligi sababli, p –1 p bir xil operatsiya bo'lishi shart emas p 0 . Bunday operatorlarni birlashtirishning rasmiy qoidalari J. Bulga (1815–1864) borib taqaladi; Misol uchun,

O. Xevisayd (1850–1925) tomonidan ishlab chiqilgan Xevisayd hisobida fazo D funktsiyalar doirasi bilan chegaralangan f(x), manfiy uchun xuddi shunday nolga teng x. Asosiy rolni 1() funksiyasi bajaradi. x), manfiy uchun 0 ga teng x va salbiy bo'lmaganlar uchun 1 x. Mana Heaviside hisobining ba'zi "qoidalari":

Agar a n! gamma funksiyasini almashtiring G( n+ 1), keyin qoidalarning birinchisi to'liq bo'lmagan uchun amal qiladi n(gamma funktsiyasining ta'rifi sm. FUNCTION).

Operatsion hisobning asosiy natijasi kompozitsiya yoki konvolyutsiya haqidagi teorema hisoblanadi, unga ko'ra, agar F 1 (p)1(x) = f 1 (x) va F 2 (p)1(x) = f 2 (x), keyin

Konvolyutsiya teoremasini qo'llash p a da a≠ 0, –1, –2,..., kasr tartibli integrasiya yoki differentsiallanishni aniqlash mumkin. Misol uchun, ifodani ko'rib chiqing

funksiya qayerda y(x) va birinchi n– 1 hosila qachon yo‘qoladi x= 0. Mayli y(x) = Y(p)1(x), g(x) = G(p)1(x). Qabul qiling

Keling, shunday da'vo qilaylik f(x) = F(p) –1 1(x). Keyin

Standart qoidalar asimptotik qatorlarning ratsional funktsiyalarining elementar kasr kengayishi bilan bog'liq turli xil algoritmlarni o'z ichiga oladi. Amalda y(x) = Y(p)1(x) kabi yoziladi y(x) ~ Y(p) yoki .

V.Volterraning (1860–1940) yopiq sikl funksiyalari nazariyasi ham xuddi shunday umumiy natijalarga olib keladi. Shunga o'xshash nazariyalar boshqa operatorlar uchun, masalan, uchun tuzilgan x(d/dx) va bir nechta amallar bilan umumiyroq vaziyatlar uchun Volterra, Pinkerle va boshqalar Amaliy matematiklar uchun Heaviside operatsion hisobining asosiy afzalligi mustaqil o'zgaruvchiga ega transsendental masalalarni qisqartirishdir. x ga qarab funksiyalar uchun algebraik masalalarga p. Ko'pincha Heaviside usuli doimiy koeffitsientli differentsial tenglamalarni, ayirma tenglamalarni va yadroli integral tenglamalarni echish uchun ishlatiladi. K(x, t) = K(x – t). Umumiy holda, operativ hisoblash usullari murakkabroq tenglamalarga kengaytirilganda, "sof algebralash" xarakteri yo'qoladi.

Nisbatning qat'iy asoslanishi F(p)1(x) = f (x) Laplas yoki Furye integral konvertatsiyalari yoki mavhum ravishda, Gilbert fazosi kabi ma'lum chiziqli topologik fazolardagi operatorlar nuqtai nazaridan berilgan. Ushbu yondashuv evristik qoidalarni qo'llash shartlarini belgilashga imkon berdi.

Differensial tenglamani qanday yechish mumkin
operatsion hisob?

Ushbu darsda kompleks tahlilning tipik va keng tarqalgan vazifasi batafsil tahlil qilinadi - Operatsion hisoblash usuli bilan doimiy koeffitsientli 2-tartibli DE ning ma'lum bir yechimini topish. Qayta-qayta, men sizni material aql bovar qilmaydigan darajada murakkab va kirish mumkin emas degan noto'g'ri fikrdan xalos qilaman. Bu kulgili, lekin misollarni o'zlashtirish uchun siz farqlay olmaysiz, birlashtira olmasligingiz va hatto nima ekanligini bilmasligingiz mumkin. murakkab sonlar. Qo'llash qobiliyatini talab qiladi noaniq koeffitsientlar usuli, bu maqolada batafsil muhokama qilinadi Kasrli ratsional funksiyalarning integrasiyasi. Darhaqiqat, topshiriqning asosiy toshi odatiy algebraik operatsiyalardir va ishonchim komilki, material hatto maktab o'quvchisi uchun ham mavjud.

Birinchidan, ko'rib chiqilayotgan matematik tahlil bo'limi haqida qisqacha nazariy ma'lumotlar. Asosiy nuqta operatsion hisob quyidagilardan iborat: funksiya yaroqli deb atalmish yordamida o'zgaruvchi Laplas o'zgaradi da ko'rsatilgan funktsiyasi keng qamrovli o'zgaruvchan :

Terminologiya va belgilar:
funksiya chaqiriladi original;
funksiya chaqiriladi tasvir;
bosh harfni bildiradi Laplas konvertatsiyasi.

Oddiy qilib aytganda, ma'lum qoidalarga ko'ra, haqiqiy funktsiyani (asl) murakkab funktsiyaga (tasvir) aylantirish kerak. O'q bu o'zgarishni ko'rsatadi. Va "ma'lum qoidalar" o'zlari Laplas konvertatsiyasi, biz buni faqat rasmiy ravishda ko'rib chiqamiz, bu muammolarni hal qilish uchun etarli bo'ladi.

Laplasning teskari o'zgarishi tasvirni asl nusxaga o'zgartirganda ham amalga oshirilishi mumkin:

Bularning barchasi nima uchun kerak? Oliy matematikaning bir qator muammolarida asl nusxadan tasvirga o'tish juda foydali bo'lishi mumkin, chunki bu holda muammoni hal qilish juda soddalashtirilgan (shunchaki hazil). Va biz ushbu muammolardan faqat bittasini ko'rib chiqamiz. Agar siz operatsion hisobni ko'rish uchun yashagan bo'lsangiz, unda formula sizga tanish bo'lishi kerak:

Berilgan boshlang‘ich shartlar uchun o‘zgarmas koeffitsientli bir jinsli bo‘lmagan ikkinchi tartibli tenglamaning ma’lum yechimini toping.

Eslatma: Ba'zida differentsial tenglama bir hil bo'lishi mumkin: , buning uchun yuqoridagi formulada operatsion hisoblash usuli ham qo'llaniladi. Biroq, amaliy misollarda 2-tartibdagi bir hil DE juda kam uchraydi va bundan keyin bir hil bo'lmagan tenglamalar haqida gapiramiz.

Va endi uchinchi usul tahlil qilinadi - operatsion hisob yordamida DE ning yechimi. Yana bir bor shuni ta'kidlayman bu muayyan yechim topish haqida, Bundan tashqari, boshlang'ich shartlar qat'iy shaklga ega("X" lar nolga teng).

Aytgancha, "X" haqida. Tenglamani quyidagi shaklda qayta yozish mumkin:
, bu yerda “x” mustaqil o‘zgaruvchi, “y” esa funksiya. Men bu haqda tasodifan gapirmayapman, chunki ko'rib chiqilayotgan muammoda boshqa harflar ko'pincha ishlatiladi:

Ya'ni, mustaqil o'zgaruvchi rolini "te" o'zgaruvchisi ("x" o'rniga), funktsiya rolini esa "x" ("y" o'rniga) o'zgaruvchisi bajaradi.

Men tushunaman, albatta, bu noqulay, lekin ko'pgina muammoli kitoblar va qo'llanmalarda mavjud bo'lgan belgilarga rioya qilish yaxshiroqdir.

Shunday qilib, boshqa harflar bilan bizning vazifamiz quyidagicha yozilgan:

Berilgan boshlang‘ich shartlar uchun o‘zgarmas koeffitsientli bir jinsli bo‘lmagan ikkinchi tartibli tenglamaning muayyan yechimini toping .

Vazifaning ma'nosi umuman o'zgarmagan, faqat harflar o'zgargan.

Ushbu muammoni operatsion hisob usuli bilan qanday hal qilish mumkin?

Avvalo, sizga kerak bo'ladi asl nusxalar va rasmlar jadvali. Bu qaror qabul qilishning asosiy vositasi va siz usiz qilolmaysiz. Shuning uchun, iloji bo'lsa, ko'rsatilgan ma'lumotnomani chop etishga harakat qiling. Men darhol "pe" harfi nimani anglatishini tushuntiraman: murakkab o'zgaruvchi (odatdagi "ze" o'rniga). Garchi bu fakt muammolarni hal qilish uchun alohida ahamiyatga ega bo'lmasa-da, "pe" juda "pe".

Jadvaldan foydalanib, asl nusxalarni ba'zi tasvirlarga aylantirish kerak. Buning ortidan bir qator tipik harakatlar amalga oshiriladi va teskari Laplas konvertatsiyasi qo'llaniladi (jadvalda ham). Shunday qilib, kerakli maxsus yechim topiladi.

Yaxshi bo'lgan barcha vazifalar juda qattiq algoritmga muvofiq hal qilinadi.

1-misol

, ,

Qaror: Birinchi bosqichda biz asl nusxalardan mos keladigan tasvirlarga o'tamiz. Keling, chap tomondan foydalanamiz.

Avval asl tenglamaning chap tomoni bilan shug'ullanamiz. Laplas konvertatsiyasi uchun, chiziqlilik qoidalari, shuning uchun biz barcha konstantalarni e'tiborsiz qoldiramiz va funksiya va uning hosilalari bilan alohida ishlaymiz.

1-sonli jadval formulasiga binoan funktsiyani o'zgartiramiz:

2-sonli formulaga muvofiq , boshlang'ich shartni hisobga olgan holda, hosilani aylantiramiz:

3-formulaga ko'ra, dastlabki shartlarni hisobga olgan holda, biz ikkinchi hosilani aylantiramiz:

Belgilar bilan adashmang!

Tan olamanki, "formulalar" emas, balki "o'zgartirishlar" deyish to'g'riroq, lekin soddalik uchun vaqti-vaqti bilan jadval formulalarini to'ldirishni chaqiraman.

Keling, ko'phadni o'z ichiga olgan o'ng tomonni ko'rib chiqaylik. Xuddi shu tufayli chiziqlilik qoidalari Laplas o'zgartiradi, biz har bir atama bilan alohida ishlaymiz.

Biz birinchi atamaga qaraymiz: - bu "te" mustaqil o'zgaruvchisi, doimiyga ko'paytiriladi. Konstantaga e'tibor bermang va jadvalning 4-bandidan foydalanib, o'zgartirishni bajaring:

Ikkinchi muddatga qaraymiz: -5. Konstanta yolg'iz topilsa, uni o'tkazib yuborish endi mumkin emas. Bitta konstanta bilan ular buni amalga oshiradilar: aniqlik uchun uni mahsulot sifatida ko'rsatish mumkin: , va transformatsiya birlikka qo'llaniladi:

Shunday qilib, jadvaldan foydalangan holda differentsial tenglamaning barcha elementlari (asl nusxalari) uchun mos keladigan tasvirlar topiladi:

Topilgan tasvirlarni asl tenglamaga almashtiring:

Keyingi vazifa - ifoda etish operator qarori hamma narsa orqali, ya'ni bir kasr orqali. Bunday holda, quyidagi tartibni bajarish tavsiya etiladi:

Birinchidan, chap tomondagi qavslarni oching:

Biz chap tomonda (agar mavjud bo'lsa) shunga o'xshash shartlarni beramiz. Bunday holda -2 va -3 raqamlarini qo'shing. Dummies ushbu bosqichni o'tkazib yubormaslikni qat'iy tavsiya qiladi:

Chapda biz mavjud shartlarni qoldiramiz, qolgan shartlarni belgini o'zgartirish bilan o'ngga o'tkazamiz:

Chap tomonda biz operator yechimini chiqaramiz, o'ng tomonda biz ifodani umumiy maxrajga keltiramiz:

Chapdagi polinom faktorlarga ajratilishi kerak (agar iloji bo'lsa). Kvadrat tenglamani yechamiz:

Shunday qilib:

Biz o'ng tomonning maxrajiga qaytamiz:

Maqsadga erishildi - operator yechimi bir kasr bilan ifodalanadi.

Ikkinchi harakat. Foydalanish noaniq koeffitsientlar usuli, tenglamaning operator yechimi elementar kasrlar yig'indisiga kengaytirilishi kerak:

Koeffitsientlarni mos darajalarda tenglashtiring va tizimni yeching:

Agar biron bir qiyinchilik bo'lsa maqolalar bilan tanishing Kasr-ratsional funktsiyani integrallash va Tenglamalar tizimini qanday yechish mumkin? Bu juda muhim, chunki fraksiyalash muammoning eng muhim qismidir.

Shunday qilib, koeffitsientlar topiladi: , va operator yechimi demontaj qilingan holda oldimizda paydo bo'ladi:

E'tibor bering, konstantalar kasrlarning numeratorlarida yozilmaydi. Yozishning bu shakli ko'ra yaxshiroq . Va bu foydaliroq, chunki yakuniy harakat chalkashlik va xatolarsiz amalga oshiriladi:

Vazifaning yakuniy bosqichi tasvirlardan mos keladigan asl nusxalarga teskari Laplas konvertatsiyasidan foydalanishdir. O'ng ustundan foydalaning asl nusxalar va tasvirlar jadvallari.

Ehtimol, hamma ham o'zgarishlarni tushunmaydi. Bu erda jadvalning 5-bandi formulasidan foydalaniladi:. Agar batafsilroq: . Aslida, shunga o'xshash holatlar uchun formulani o'zgartirish mumkin: . Ha, va 5-bandning barcha jadvalli formulalarini shunga o'xshash tarzda qayta yozish juda oson.

Teskari o'tishdan so'ng, DE ning kerakli maxsus eritmasi ko'k hoshiyali kumush laganda olinadi:

Bo'lgandi:

Bu shunday bo'ldi:

Javob: shaxsiy yechim:

Vaqt bo'lganda, har doim tekshirishni amalga oshirish tavsiya etiladi. Tekshirish darsda ko'rib chiqilgan standart sxema bo'yicha amalga oshiriladi. 2-tartibli bir jinsli differensial tenglamalar. Keling, takrorlaymiz:

Dastlabki shartning bajarilishini tekshiramiz:
- bajarildi.

Birinchi hosilani topamiz:

Ikkinchi dastlabki shartning bajarilishini tekshiramiz:
- bajarildi.

Ikkinchi hosilani topamiz:

O'rinbosar , va asl tenglamaning chap tomonida:

Dastlabki tenglamaning o'ng tomoni olinadi.

Xulosa: topshiriq to'g'ri bajarildi.

O'zingiz hal qilish uchun kichik bir misol:

2-misol

Operatsion hisobdan foydalanib, berilgan boshlang'ich shartlar uchun differensial tenglamaning muayyan yechimini toping.

Dars oxiridagi yakuniy topshiriqning namunasi.

Differensial tenglamalarda eng tez-tez uchraydigan mehmon, ko'pchilik allaqachon payqagandek, ko'rsatkichlardir, shuning uchun ular bilan bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik, qarindoshlar:

3-misol

, ,

Qaror: Laplas o'zgartirish jadvali (jadvalning chap tomoni) yordamida biz asl nusxadan mos keladigan tasvirlarga o'tamiz.

Avval tenglamaning chap tomonini ko'rib chiqamiz. Birinchi hosila yo'q. Xo'sh, nima? Yaxshi. Kamroq ish. Dastlabki shartlarni hisobga olgan holda, 1,3-sonli jadval formulalari bo'yicha biz tasvirlarni topamiz:

Endi biz o'ng tomonga qaraymiz: - ikkita funktsiyaning mahsuloti. Foyda olish uchun chiziqlilik xususiyatlari Laplas konvertatsiyasi, siz qavslarni ochishingiz kerak: . Konstantalar mahsulotlarda bo'lgani uchun biz ularga ball beramiz va jadval formulalarining 5-guruhidan foydalanib, biz tasvirlarni topamiz:

Topilgan tasvirlarni asl tenglamaga almashtiring:

Sizga shuni eslatib o'tamanki, keyingi vazifa operator yechimini bitta kasrda ifodalashdir.

Chap tomonda biz mavjud bo'lgan shartlarni qoldiramiz, qolgan shartlarni o'ng tomonga o'tkazamiz. Shu bilan birga, o'ng tomonda biz asta-sekin kasrlarni umumiy maxrajga keltira boshlaymiz:

Biz uni chap tomonda qavslar ichidan chiqaramiz, o'ngda esa ifodani umumiy maxrajga keltiramiz:

Chap tomonda ajralmaydigan polinom olinadi. Agar ko'phad faktorlarga ajratilmasa, u, kambag'al, oyoqlarini havzada betonlab, darhol o'ng tomonning pastki qismiga tashlanishi kerak. Va hisoblagichda qavslarni oching va shunga o'xshash shartlarni bering:

Eng mashaqqatli bosqich keldi: noaniq koeffitsientlar usuli Tenglamaning operator yechimini elementar kasrlar yig‘indisiga kengaytiramiz:


Shunday qilib:

Fraksiyaning qanday parchalanishiga e'tibor bering: Nega bunday bo'lganini tez orada tushuntiraman.

Tugatish: rasmlardan mos keladigan asl nusxalarga o'ting, jadvalning o'ng ustunidan foydalaning:

Ikki pastki o'zgartirishda jadvalning № 6 va 7 formulalari ishlatilgan va kasr faqat jadval o'zgarishlariga "sozlash" uchun oldindan kengaytirilgan.

Natijada, ma'lum bir yechim:

Javob: Kerakli maxsus yechim:

O'z-o'zidan hal qilish uchun shunga o'xshash misol:

4-misol

Operatsion hisoblash usulida differensial tenglamaning muayyan yechimini toping.

Dars oxirida qisqacha yechim va javob.

4-misolda dastlabki shartlardan biri nolga teng. Bu, albatta, yechimni soddalashtiradi va har ikkala boshlang'ich shart ham nolga teng bo'lsa, eng ideal variant: . Bunday holda, lotinlar quyruqsiz tasvirlarga aylantiriladi:

Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, muammoning eng qiyin texnik jihati - bu fraksiyaning kengayishi noaniq koeffitsientlar usuli, va menda juda ko'p vaqt talab qiladigan misollar bor. Shunga qaramay, men hech kimni yirtqich hayvonlar bilan qo'rqitmayman, keling, tenglamaning yana bir nechta tipik turlarini ko'rib chiqaylik:

5-misol

Operatsion hisoblash usulidan foydalanib, berilgan dastlabki shartlarni qanoatlantiradigan differensial tenglamaning muayyan yechimini toping.
, ,

Qaror: Laplas o'zgartirish jadvalidan foydalanib, asl nusxalardan mos keladigan tasvirlarga o'tamiz. Dastlabki shartlarni hisobga olgan holda :

O'ng tomonda ham muammolar yo'q:

(Men sizga ko'paytiruvchi konstantalar e'tiborga olinmasligini eslataman)

Olingan tasvirlarni asl tenglamaga almashtiramiz va standart harakatlarni bajaramiz, umid qilamanki, siz allaqachon yaxshi ishlagansiz:

Biz doimiyni kasrdan tashqarida maxrajdan chiqaramiz, eng muhimi, bu haqda unutmang:

Men hisoblagichdan qo'shimcha deuce olish kerakmi, deb o'yladim, ammo taxmin qilib, bu qadam keyingi qarorni deyarli soddalashtirmaydi degan xulosaga keldim.

Vazifaning o'ziga xos xususiyati - natijada olingan kasr. Ko'rinishidan, uning parchalanishi uzoq va qiyin bo'ladi, ammo taassurot aldamchi. Tabiiyki, qiyin narsalar bor, lekin har qanday holatda, qo'rquv va shubhasiz davom eting:

Ba'zi koeffitsientlar fraksiyonel bo'lib chiqqanligi sharmandali bo'lmasligi kerak, bu holat kamdan-kam uchraydi. Faqat hisoblash texnikasi muvaffaqiyatsiz bo'lmasa. Bundan tashqari, har doim javobni tekshirish mumkin.

Natijada, operator yechimi:

Keling, rasmlardan mos keladigan asl nusxalarga o'tamiz:

Shunday qilib, shaxsiy yechim:

AMALOT HISOBLARI- chiziqli differensial tenglamalar, shuningdek, ayirma va ba'zi turdagi integral tenglamalar yechimlarini olish maqsadiga tejamkor va bevosita olib boradigan amaliy matematik tahlil usullari to'plami. Shu munosabat bilan operatsion hisoblash usullari mexanika, elektrotexnika, avtomatlashtirish va fan va texnikaning boshqa juda xilma-xil sohalarida keng qo'llaniladi. Operatsion hisob funktsional transformatsiya g'oyasiga asoslanadi: argumentning musbat qiymatlari uchun aniqlangan, boshlang'ich funktsiya yoki asl deb ataladigan haqiqiy o'zgaruvchining t funktsiyasi boshqa p o'zgaruvchining funktsiyasi bilan bog'liq, deb ataladi. chiziqli integral transformatsiyadan foydalangan holda tasvir. Xuddi shunday o'zgartirish "original - tasvir" boshlang'ich funktsiyalarni differentsiallash va integratsiya qilish operatsiyalari tasvir sohasidagi algebraik operatsiyalarga mos kelishi uchun amalga oshirilishi mumkin. Bu eng oddiy algebraik amallar yordamida asl differensial tenglamalarning yechimlari tasvirlarini topishga, so'ngra mos keladigan boshlang'ich funktsiyani qidirishga imkon beradi, ya'ni yechim ba'zi oddiy qoidalar va eng ko'p "katalog" yordamida amalga oshiriladi. tez-tez uchraydigan tasvirlar. Keyinchalik murakkab vazifalarda teskari funktsional o'zgarishlarga murojaat qilish kerak: tasvir asldir. Operatsion hisob-kitoblarga bag'ishlangan birinchi ishlar o'tgan asrning o'rtalarida paydo bo'lgan. Rus matematigi M. E. Vashchenko-Zaxarchenko 1862 yilda Kiyevda nashr etilgan "Simvolik hisob va uni chiziqli differentsial tenglamalarni integrallashda qo'llash" monografiyasida usulning asosiy muammolarini qo'ydi va qisman hal qildi, keyinchalik u operatsion deb nomlandi. . Operatsion hisobni fizik-texnikaviy masalalarni yechishda tizimli qoʻllash 1892-yilda ingliz olimi O.Xevisayd asari paydo boʻlishi bilan boshlandi. Operatsion hisobning mohiyatini tt da aniqlangan amaliy masalalarda eng ko'p uchraydigan real o'zgaruvchining f(t) boshlang'ich bo'lak-uzluksiz funksiyalari sinfi misolida ko'rsatish mumkin.<0. Из класса кусочно-непрерывных начальных функций выделяется и в дальнейшем рассматривается подкласс функций, характеризуемых определенным порядком роста при весьма больших значениях аргумента t, а именно: |f(t)|< Ме s o t , где М и s o t ga bog'liq bo'lmagan raqamlardir. Agar p=s+is qandaydir kompleks son bo‘lsa, f(t) funksiyaga qo‘yilgan ko‘rsatilgan cheklovlar ostida integral

mavjud va f(t) funksiyaning Laplas integrali deb ataladigan Re p>s o yarim tekislikda p ning muntazam funksiyasini ifodalaydi.
Qonun bilan kiritilgan F (p) funktsiyasi:

boshlang'ich funktsiyaning tasviri yoki asl f(t) deyiladi. Bir qator tasvir xususiyatlari (**), masalan, f’ (t) hosilasining tasviri:

va integralning tasvirlari

Transformatsiya (*) differensiallash va integrasiya operatsiyalarini p kompleks o‘zgaruvchiga ko‘paytirish va bo‘lish operatsiyalariga o‘tkazishini aniq ko‘rsating. Tasvirning asosiy xususiyatlaridan foydalanib, ba'zi oddiy funktsiyalarning tasvirlari - tasvirlarning "katalogi" tuziladi. F (p) tasvir polinom yoki ikkita ko‘phadning nisbati bo‘lganda boshlang‘ich funktsiyani topish imkonini beruvchi eng oddiy funksiyalar tasvirlari va Xevisaydning parchalanish teoremalari “katalogi” muammoning yechimini topishning eng oddiy usuliga imkon beradi. doimiy koeffitsientli oddiy chiziqli differensial va ayirma tenglamalarining katta guruhi. Ammo ko'plab vazifalar "katalog" dagilarga qisqartirilmaydigan tasvirlarga olib keladi. Uning tasviridan boshlang'ich funktsiyani qurishning umumiy vositasi mavjud - Riemann-Mellin inversiya formulasi.