Tangenslar sinuslari kosinuslarining choraklari. trigonometrik doira. Trigonometrik funktsiyalarning asosiy qiymatlari

Agar siz allaqachon tanish bo'lsangiz trigonometrik doira , va siz shunchaki xotirangizdagi alohida elementlarni yangilashni xohlaysiz, yoki siz butunlay sabrsiz bo'lsangiz, mana bu:

Bu erda biz hamma narsani bosqichma-bosqich batafsil tahlil qilamiz.

Trigonometrik doira hashamat emas, balki zaruratdir

Trigonometriya ko'plari o'tib bo'lmaydigan chakalakzor bilan bog'liq. Shunchalik ko'p ma'nolar to'satdan to'planib qoladi trigonometrik funktsiyalar, juda ko'p formulalar ... Lekin bu xuddi shunday, - bu dastlab ishlamadi va ... to'g'ridan-to'g'ri ... aniq tushunmovchilik ...

Qo'lingizni silkitmaslik juda muhimdir trigonometrik funksiyalarning qiymatlari, - deyishadi, siz har doim qiymatlar jadvali bilan shpurga qarashingiz mumkin.

Agar siz doimo trigonometrik formulalar qiymatlari bilan jadvalga qarasangiz, keling, bu odatdan xalos bo'laylik!

Bizni qutqaradi! Siz u bilan bir necha marta ishlaysiz, keyin u sizning boshingizda o'z-o'zidan paydo bo'ladi. Nima uchun stoldan yaxshiroq? Ha, jadvalda siz cheklangan miqdordagi qiymatlarni topasiz, lekin aylanada - HAMMA!

Misol uchun, aytaylik, qarab trigonometrik formulalar qiymatlarining standart jadvali , bu, aytaylik, 300 daraja yoki -45 ning sinusidir.

Hechqisi yo'q? .. siz, albatta, ulanishingiz mumkin kamaytirish formulalari... Va trigonometrik doiraga qarab, bunday savollarga osongina javob berishingiz mumkin. Va tez orada qanday qilib bilib olasiz!

Va trigonometrik tenglamalar va tengsizliklarni trigonometrik doirasiz yechishda - hech qaerda.

Trigonometrik doira bilan tanishtirish

Keling, tartibda boraylik.

Birinchidan, quyidagi raqamlar qatorini yozing:

Va endi bu:

Va nihoyat, bu:

Albatta, bu aniq, aslida, birinchi o'rinda, ikkinchi o'rinda, va oxirgi -. Ya'ni, biz ko'proq qiziqamiz zanjir .

Ammo bu qanchalik chiroyli bo'lib chiqdi! Bunday holda, biz bu "ajoyib narvon" ni tiklaymiz.

Va nima uchun bizga kerak?

Bu zanjir birinchi chorakda sinus va kosinusning asosiy qiymatlari hisoblanadi.

To‘g‘ri to‘rtburchak koordinatalar sistemasida birlik radiusi bo‘lgan aylana chizamiz (ya’ni uzunlik bo‘yicha istalgan radiusni olamiz va uning uzunligini birlik deb e’lon qilamiz).

"0-Start" nuridan biz o'q yo'nalishi bo'yicha (rasmga qarang) burchaklarni chetga surib qo'yamiz.

Biz doira bo'ylab tegishli nuqtalarni olamiz. Shunday qilib, agar biz nuqtalarni har bir o'qga loyihalashtirsak, biz yuqoridagi zanjirdan aniq qiymatlarni olamiz.

Nega shunday, deb so'rayapsizmi?

Keling, hamma narsani ajratmaylik. O'ylab ko'ring tamoyil, bu sizga boshqa, shunga o'xshash vaziyatlarni engishga imkon beradi.

AOB uchburchagi to'g'ri burchakli uchburchakdir. Biz bilamizki, burchakka qarama-qarshi tomonda gipotenuzadan ikki baravar kichikroq oyoq yotadi (bizning gipotenuzamiz = aylananing radiusi, ya'ni 1).

Demak, AB= (va demak, OM=). Va Pifagor teoremasi bo'yicha

Umid qilamanki, hozir nimadir aniq.

Shunday qilib, B nuqtasi qiymatga, M nuqtasi esa qiymatga mos keladi

Xuddi shunday, birinchi chorakning qolgan qiymatlari bilan.

Siz tushunganingizdek, bizga tanish bo'lgan o'q (ho'kiz) bo'ladi kosinus o'qi, va o'q (oy) - sinus o'qi . keyinroq.

Kosinus o'qida nolning chap tomonida (sinus o'qida noldan pastda), albatta, bo'ladi. salbiy qiymatlar.

Demak, mana, u BARCHA QUDRATli, usiz trigonometriyada hech qanday joy yo'q.

Ammo trigonometrik doiradan qanday foydalanish kerak, biz gaplashamiz.

Tangens (tg x) va kotangent (ctg x) uchun mos yozuvlar ma'lumotlari. Geometrik ta'rif, xossalar, grafiklar, formulalar. Tangens va kotangentlar jadvali, hosilalar, integrallar, qator kengaytmalari. Murakkab o'zgaruvchilar orqali ifodalar. Giperbolik funktsiyalar bilan bog'lanish.

Geometrik ta'rif

|BD| - markazi A nuqtada joylashgan aylana yoyi uzunligi.
a - radianlarda ifodalangan burchak.

tangent ( tga) gipotenuza va oyoq orasidagi a burchakka bog'liq trigonometrik funktsiyadir to'g'ri uchburchak, qarama-qarshi oyoq uzunligining nisbatiga teng |BC| qo'shni oyoqning uzunligiga |AB| .

kotangent ( ctga) gipotenuza va to‘g‘ri burchakli uchburchakning oyog‘i orasidagi a burchakka bog‘liq bo‘lgan trigonometrik funksiya bo‘lib, qo‘shni oyoq uzunligining nisbatiga teng |AB| qarama-qarshi oyoq uzunligiga |BC| .

Tangent

Qayerda n- butun.

DA G'arb adabiyoti tangens quyidagicha aniqlanadi:
.
;
;
.

Tangens funksiyaning grafigi, y = tg x

Kotangent

Qayerda n- butun.

G'arb adabiyotida kotangens quyidagicha belgilanadi:
.
Quyidagi belgi ham qabul qilindi:
;
;
.

Kotangens funksiyaning grafigi, y = ctg x

Tangens va kotangensning xossalari

Davriylik

Funktsiyalar y= tg x va y= ctg x davri p davri bilan davriydir.

Paritet

Tangens va kotangens funksiyalari toq.

Ta'rif va qiymat sohalari, o'sish, pasayish

Tangens va kotangens funksiyalar aniqlanish sohasi bo‘yicha uzluksizdir (uzluksizlik isbotiga qarang). Tangens va kotangensning asosiy xususiyatlari jadvalda keltirilgan ( n- butun).

	y= tg x	y= ctg x
Qamrov va davomiylik
Qiymatlar diapazoni	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Ko'tarilish		-
Pastga	-
Ekstremallar	-	-
Nollar, y= 0
Y o'qi bilan kesishish nuqtalari, x = 0	y= 0	-

Formulalar

Sinus va kosinus bilan ifodalangan ifodalar

; ;
; ;
;

Yig'indi va ayirmaning tangensi va kotangensi uchun formulalar

Masalan, qolgan formulalarni olish oson

Tangenslar mahsuloti

Tangenslar yig‘indisi va ayirmasi formulasi

Ushbu jadval argumentning ba'zi qiymatlari uchun tangens va kotangentlarning qiymatlarini ko'rsatadi.

Kompleks sonlar bilan ifodalangan ifodalar

Giperbolik funktsiyalar nuqtai nazaridan ifodalar

;
;

Hosila hosilalari

; .

.
Funktsiyaning x o'zgaruvchisiga nisbatan n-darajali hosila:
.
Tangens uchun formulalarni chiqarish > > > ; kotangent uchun > > >

Integrallar

Seriyalarga kengaytmalar

Tangensning x darajasida kengayishini olish uchun siz kengayishning bir necha shartlarini olishingiz kerak. quvvat seriyasi funktsiyalar uchun gunoh x va chunki x va bu ko'phadlarni bir-biriga bo'ling, . Buning natijasida quyidagi formulalar olinadi.

Da .

da .
qayerda B n- Bernoulli raqamlari. Ular yoki takrorlanish munosabatidan aniqlanadi:
;
;
qayerda.
Yoki Laplas formulasiga ko'ra:

Teskari funksiyalar

Tangens va kotangensga teskari funksiyalar mos ravishda arktangens va arkkotangensdir.

Arktangens, arctg

, qayerda n- butun.

Yoy tangensi, arkktg

, qayerda n- butun.

Adabiyotlar:
I.N. Bronshteyn, K.A. Semendyaev, Oliy o'quv yurtlari muhandislari va talabalari uchun matematika bo'yicha qo'llanma, Lan, 2009 yil.
G. Korn, Tadqiqotchilar va muhandislar uchun matematika bo'yicha qo'llanma, 2012 yil.

Sizning maxfiyligingiz biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik siyosatimizni o'qing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar identifikatsiyalash uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi muayyan shaxs yoki u bilan aloqasi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:

• Saytda ariza topshirganingizda, biz to'plashimiz mumkin turli ma'lumotlar shu jumladan ismingiz, telefon raqamingiz, manzilingiz Elektron pochta va hokazo.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

• Biz tomonidan yig'ilgan Shaxsiy ma'lumot siz bilan bog'lanish va sizni xabardor qilish imkonini beradi noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va kelgusi tadbirlar.
• Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
• Shaxsiy ma'lumotlardan audit, ma'lumotlarni tahlil qilish va boshqalar kabi ichki maqsadlarda ham foydalanishimiz mumkin turli tadqiqotlar biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish.
• Agar siz sovrinlar o'yiniga, tanlovga yoki shunga o'xshash rag'batga kirsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Biz sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

• Zarur bo'lganda - qonun hujjatlariga muvofiq, sud tartibida, in sud jarayoni va/yoki ommaviy so'rovlar yoki so'rovlar asosida davlat organlari rossiya Federatsiyasi hududida - shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qiling. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat manfaatlari uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
• Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli uchinchi shaxs vorisiga o'tkazishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Maxfiyligingizni kompaniya darajasida saqlash

Sizning shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik amaliyotlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy qo'llaymiz.

Trigonometrik doiradagi burchaklarni sanash.

Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Qattiq "juda emas..." deganlar uchun.
Va "juda ..." bo'lganlar uchun)

Bu avvalgi darsdagi kabi deyarli bir xil. Bolta, doira, burchak bor, hamma narsa chin-china. Qo'shilgan chorak raqamlari (katta kvadratning burchaklarida) - birinchidan to'rtinchigacha. Va keyin birdan kim bilmaydi? Ko'rib turganingizdek, chorak (ular ham deyiladi go'zal so'z"kvadratlar") harakatga qarshi raqamlangan soat yo'nalishi bo'yicha. O'qlarga burchak qiymatlari qo'shildi. Hammasi aniq, hech qanday burilishlar yo'q.

Va yashil o'q qo'shildi. Plyus bilan. U nimani nazarda tutyapti? Eslatib o'taman, burchakning sobit tomoni har doim OH musbat o'qiga mixlangan. Shunday qilib, agar burchakning harakatlanuvchi tomonini burab qo'ysak ortiqcha strelka, ya'ni. o'sib borayotgan chorak raqamlarda, burchak musbat deb hisoblanadi. Misol uchun, rasmda +60 ° musbat burchak ko'rsatilgan.

Agar burchaklarni kechiktirsak ichida teskari tomon, soat yo'nalishi bo'yicha, burchak salbiy hisoblanadi. Surat ustiga kursorni olib boring (yoki planshetdagi rasmga teging), siz minusli ko'k o'qni ko'rasiz. Bu burchaklarni salbiy o'qishning yo'nalishi. Misol sifatida salbiy burchak (-60 °) ko'rsatilgan. Va siz o'qlardagi raqamlar qanday o'zgarganini ham ko'rasiz ... Men ularni salbiy burchaklarga ham tarjima qildim. Kvadrantlarning raqamlanishi o'zgarmaydi.

Bu erda, odatda, birinchi tushunmovchiliklar boshlanadi. Qanaqasiga!? Va agar aylanadagi manfiy burchak musbatga to'g'ri kelsa!? Va umuman olganda, ma'lum bo'lishicha, harakatlanuvchi tomonning (yoki son doirasidagi nuqtaning) bir xil holatini ham salbiy, ham ijobiy burchak deb atash mumkin!?

Ha. Aynan shunday. Aytaylik, 90 graduslik musbat burchak aylana oladi aynan bir xil minus 270 daraja salbiy burchak sifatida joylashtiring. Ijobiy burchak, masalan, +110 ° daraja, oladi aynan bir xil manfiy burchak -250 ° bo'lgan joy.

Hammasi joyida. Hammasi to'g'ri.) Burchakning ijobiy yoki salbiy hisobini tanlash topshiriqning shartiga bog'liq. Agar shart hech narsa demasa Oddiy matn burchak belgisi haqida, ("eng kichigini aniqlang" kabi ijobiy burchak" va boshqalar), keyin biz uchun qulay bo'lgan qadriyatlar bilan ishlaymiz.

Istisno (va ularsiz qanday qilib ?!) trigonometrik tengsizliklar, ammo u erda biz bu hiylani o'zlashtiramiz.

Va endi sizga savol. 110 ° burchakning pozitsiyasi -250 ° burchakning pozitsiyasi bilan bir xil ekanligini qanday bilsam bo'ladi?
Men ishora qilaman, bu to'liq aylanma bilan bog'liq. 360° da... Aniq emasmi? Keyin aylana chizamiz. Biz qog'ozga chizamiz. Burchakni belgilash haqida 110°. Va ishon to'liq burilishgacha qancha qoladi. Faqat 250° qoldi...

Tushundim? Va endi - diqqat! Agar 110° va -250° burchaklar aylanani egallasa bir xil pozitsiya, keyin nima? Ha, burchaklar 110 ° va -250 ° ekanligi haqiqatdir aynan bir xil sinus, kosinus, tangens va kotangens!
Bular. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) va hokazo. Endi bu juda muhim! Va o'z-o'zidan - ifodalarni soddalashtirish zarur bo'lgan va qisqartirish formulalarini va trigonometriyaning boshqa nozikliklarini keyinchalik ishlab chiqish uchun asos bo'lgan juda ko'p vazifalar mavjud.

Albatta, men tasodifan 110 ° va -250 ° ni oldim, masalan. Bu tengliklarning barchasi aylanada bir xil pozitsiyani egallagan har qanday burchaklar uchun ishlaydi. 60° va -300°, -75° va 285° va hokazo. Men darhol ta'kidlaymanki, bu juftlikdagi burchaklar - har xil. Ammo ular trigonometrik funktsiyalarga ega - xuddi shu.

O'ylaymanki, siz salbiy burchaklar nima ekanligini tushunasiz. Bu juda oddiy. Soat miliga teskari yo'nalish - ijobiy hisob. Yo'l davomida bu salbiy. Burchakni ijobiy yoki salbiy deb hisoblang bizga bog'liq. Bizning xohishimizdan. Xo'sh, va vazifadan ko'proq narsa, albatta ... Umid qilamanki, siz trigonometrik funktsiyalarda salbiydan ijobiy burchakka va aksincha, qanday o'tishni tushunasiz. Bir doira, taxminiy burchakni chizish va to'liq burilishdan oldin qancha etishmayotganini ko'ring, ya'ni. 360 ° gacha.

360° dan katta burchaklar.

Keling, 360 ° dan katta burchaklar bilan shug'ullanamiz. Va bunday narsalar sodir bo'ladimi? Albatta bor. Ularni aylanaga qanday chizish mumkin? Muammo emas! Aytaylik, qaysi chorakda 1000 ° burchakka tushishini tushunishimiz kerak? Osonlik bilan! Biz soat sohasi farqli ravishda bir marta to'liq burilish qilamiz (burchak bizga ijobiy berilgan!). 360° orqaga burish. Xo'sh, davom etaylik! Yana bir burilish - u allaqachon 720 ° ga aylandi. Qancha qoldi? 280°. To'liq burilish uchun bu etarli emas ... Lekin burchak 270 ° dan ortiq - va bu uchinchi va to'rtinchi chorak o'rtasidagi chegara. Shunday qilib, bizning 1000 ° burchagi to'rtinchi chorakka to'g'ri keladi. Hamma narsa.

Ko'rib turganingizdek, bu juda oddiy. Yana bir bor eslatib o'tamanki, biz "qo'shimcha" to'liq burilishlardan voz kechish orqali olingan 1000 ° burchak va 280 ° burchaklar, qat'iy aytganda, har xil burchaklar. Ammo bu burchaklarning trigonometrik funktsiyalari aynan bir xil! Bular. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° va hokazo. Agar men sinus bo'lganimda, bu ikki burchak orasidagi farqni sezmagan bo'lardim ...

Bularning barchasi nima uchun kerak? Nima uchun burchaklarni biridan ikkinchisiga tarjima qilishimiz kerak? Ha, hammasi bir xil.) Ifodalarni soddalashtirish uchun. Ifodalarni soddalashtirish, aslida, maktab matematikasining asosiy vazifasidir. Xo'sh, yo'lda bosh mashq qilmoqda.)

Xo'sh, mashq qilaylikmi?)

Savollarga javob beramiz. Avvaliga oddiy.

1. -325° burchak qaysi chorakda tushadi?

2. 3000° burchak qaysi chorakda tushadi?

3. -3000° burchak qaysi chorakda tushadi?

Muammo bormi? Yoki ishonchsizlikmi? Biz 555-bo'limga o'tamiz, Trigonometrik doira bilan amaliy ish. U erda, birinchi darsda " amaliy ish..." hamma narsa batafsil ... In shunday noaniqlik savollari kerak emas!

4. Sin555° ning belgisi nima?

5. Tg555° ning belgisi nima?

Qat'iymi? Yaxshi! Shubha? 555-bo'limga kerak ... Aytgancha, u erda siz trigonometrik doirada tangens va kotangensni qanday chizishni o'rganasiz. Juda foydali narsa.

Va endi aqlli savollar.

6. sin777° ifodasini eng kichik musbat burchak sinusiga keltiring.

7. cos777° ifodasini eng katta manfiy burchakning kosinusiga keltiring.

8. cos(-777°) ifodani eng kichik musbat burchak kosinusiga aylantiring.

9. sin777° ifodasini eng katta manfiy burchak sinusiga keltiring.

Nima, 6-9-savollar jumboqmi? Ko'niking, imtihonda bunday formulalar yo'q... Shunday bo'lsin, men uni tarjima qilaman. Faqat siz uchun!

"Ifodani ... ga qisqartirish" so'zlari ifodani uning qiymatiga aylantirishni anglatadi o'zgarmagan a tashqi ko'rinish vazifaga muvofiq o'zgartirildi. Shunday qilib, 6 va 9-topshiriqlarda biz sinusni olishimiz kerak, uning ichida eng kichik musbat burchak. Boshqa hamma narsa muhim emas.

Javoblarni tartibda beraman (qoidalarimizni buzgan holda). Lekin nima qilish kerak, faqat ikkita belgi bor va faqat to'rtdan to'rtta ... Siz variantlarda tarqalmaysiz.

6. sin57°.

7.cos(-57°).

8.cos57°.

9.-sin(-57°)

O'ylaymanki, 6-9-savollarga berilgan javoblar ba'zilarni chalkashtirib yubordi. Ayniqsa -sin(-57°), to'g'rimi?) Darhaqiqat, burchaklarni hisoblashning elementar qoidalarida xatolar uchun joy bor ... Shuning uchun men dars qilishim kerak edi: "Trigonometrik doirada funktsiyalarning belgilarini qanday aniqlash va burchaklarni berish kerak?" 555-bo'limda. 4-9-topshiriqlar saralangan. Yaxshi tartiblangan, barcha tuzoqlari bilan. Va ular shu erda.)

Keyingi darsda biz sirli radianlar va "Pi" raqami bilan shug'ullanamiz. Qanday qilib oson va to'g'ri darajalarni radianga va aksincha aylantirishni o'rganing. Va biz bu elementar ma'lumotni saytda topishga hayron qolamiz allaqachon yetarli ba'zi nostandart trigonometriya jumboqlarini hal qilish uchun!

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan test. O'rganish - qiziqish bilan!)

funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

Trigonometrik funktsiyaning belgisi faqat raqamli argument joylashgan koordinata choragiga bog'liq. Oxirgi marta biz argumentlarni radian o'lchovidan daraja o'lchoviga qanday o'tkazishni o'rgandik ("Burchakning radian va daraja o'lchovi" darsiga qarang) va keyin xuddi shu koordinata choragini aniqlang. Endi sinus, kosinus va tangens belgisining ta'rifi bilan shug'ullanamiz.

A burchak sinusi trigonometrik doiradagi nuqtaning ordinatasi (koordinatasi y) bo‘lib, radius a burchak orqali aylantirilganda yuzaga keladi.

A burchakning kosinusu trigonometrik doiradagi nuqtaning abssissasi (x koordinatasi) bo‘lib, radius a burchak bo‘ylab aylanganda yuzaga keladi.

a burchakning tangensi sinusning kosinusga nisbati. Yoki ekvivalent ravishda y-koordinataning x-koordinatasiga nisbati.

Belgilash: sin a = y ; cosa = x; tga = y : x .

Bu ta'riflarning barchasi sizga o'rta maktab algebra kursidan tanish. Biroq, bizni ta'riflarning o'zi emas, balki trigonometrik doirada yuzaga keladigan oqibatlar qiziqtiradi. Qarab qo'ymoq:

Moviy rang OY o'qining musbat yo'nalishini (y o'qi), qizil rang OX o'qining (abscissa) ijobiy yo'nalishini bildiradi. Ushbu "radar" da trigonometrik funktsiyalarning belgilari aniq bo'ladi. Ayniqsa:

1. sin a > 0, agar a burchak I yoki II koordinata choragida yotsa. Buning sababi, ta'rifga ko'ra, sinus ordinata (y koordinata) hisoblanadi. Va y koordinatasi I va II koordinata choraklarida aniq ijobiy bo'ladi;
2. cos a > 0, agar a burchak I yoki IV koordinata choragida yotsa. Chunki faqat u yerda x koordinatasi (u ham abscissa) noldan katta bo'ladi;
3. tg a > 0, agar a burchak I yoki III koordinata kvadrantida yotsa. Bu ta'rifdan kelib chiqadi: axir, tg a = y : x , shuning uchun faqat x va y belgilari mos keladigan joyda ijobiy bo'ladi. Bu 1-koordinata choragida (bu erda x > 0, y > 0) va 3-koordinata choragida (x) sodir bo'ladi.< 0, y < 0).

Aniqlik uchun biz har bir trigonometrik funktsiyaning belgilarini - sinus, kosinus va tangensni alohida "radar" da qayd etamiz. Biz quyidagi rasmni olamiz:

Eslatma: o'z fikrlashimda men hech qachon to'rtinchi trigonometrik funktsiya - kotangent haqida gapirmaganman. Gap shundaki, kotangens belgilari tangens belgilari bilan mos keladi - u erda maxsus qoidalar yo'q.

Endi men B11 muammolariga o'xshash misollarni ko'rib chiqishni taklif qilaman sinov imtihoni 2011 yil 27 sentyabrda bo'lib o'tgan matematika bo'yicha Eng yaxshi yo'l nazariyani tushunish amaliyotdir. Ko'p mashq qilish yaxshiroqdir. Albatta, topshiriqlarning shartlari biroz o'zgartirildi.

Vazifa. Trigonometrik funktsiyalar va ifodalarning belgilarini aniqlang (funksiyalarning o'z qiymatlarini hisobga olish shart emas):

1. sin(3p/4);
2. cos(7p/6);
3. sarg'ish (5p/3);
4. sin(3p/4) cos(5p/6);
5. cos (2p/3) tg (p/4);
6. sin(5p/6) cos(7p/4);
7. tan (3p/4) cos (5p/3);
8. ctg (4p/3) tg (p/6).

Harakat rejasi quyidagicha: birinchi navbatda, biz barcha burchaklarni radian o'lchovidan daraja o'lchamiga (p → 180 °) aylantiramiz, so'ngra olingan raqam qaysi koordinatali chorakda joylashganligini ko'rib chiqamiz. Kvartallarni bilib, biz belgilarni osongina topishimiz mumkin - yuqorida tavsiflangan qoidalarga muvofiq. Bizda ... bor:

1. gunoh (3p/4) = gunoh (3 180°/4) = gunoh 135°. 135 ° ∈ dan boshlab, bu II koordinatali kvadrantdan burchak. Lekin ikkinchi chorakdagi sinus musbat, shuning uchun sin (3p/4) > 0;
2. cos (7p/6) = cos (7 180°/6) = cos 210°. Chunki 210° ∈, bu III koordinatali kvadrantdan burchak bo'lib, unda barcha kosinuslar manfiy bo'ladi. Shuning uchun cos (7p/6)< 0;
3. tg (5p/3) = tg (5 180°/3) = tg 300°. 300 ° ∈ dan beri biz IV kvadrantdamiz, bu erda tangens manfiy qiymatlarni oladi. Shuning uchun tg (5p/3)< 0;
4. sin (3p/4) cos (5p/6) = sin (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sin 135° cos 150°. Keling, sinus bilan shug'ullanamiz: chunki 135 ° ∈, bu ikkinchi chorak bo'lib, unda sinuslar ijobiy, ya'ni. sin (3p/4) > 0. Endi biz kosinus bilan ishlaymiz: 150° ∈ - yana ikkinchi chorak, u erda kosinuslar manfiy. Shuning uchun cos (5p/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
5. cos (2p/3) tg (p/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Biz kosinusga qaraymiz: 120° ∈ II koordinata choragi, shuning uchun cos (2p/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Yana biz turli belgilarning omillari bo'lgan mahsulotga ega bo'ldik. “A minus marta plyus minus beradi” ekan, bizda: cos (2p/3) tg (p/4)< 0;
6. sin (5p/6) cos (7p/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. Biz sinus bilan ishlaymiz: 150 ° ∈ dan beri, gaplashamiz sinuslar musbat bo'lgan II koordinata choragi haqida. Demak, sin (5p/6) > 0. Xuddi shunday, 315° ∈ IV koordinata choragi, u yerdagi kosinuslar musbat. Shuning uchun, cos (7p/4) > 0. Biz ikkita musbat sonning ko'paytmasini oldik - bunday ifoda har doim ijobiy bo'ladi. Xulosa qilamiz: sin (5p/6) cos (7p/4) > 0;
7. tg (3p/4) cos (5p/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Lekin burchak 135 ° ∈ ikkinchi chorak, ya'ni. sarg'ish (3p/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. “Minus plyus minus belgisini beradi” ekan, bizda: tg (3p/4) cos (5p/3)< 0;
8. ctg (4p/3) tg (p/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Biz kotangens argumentini ko'rib chiqamiz: 240 ° ∈ - III koordinata choragi, shuning uchun ctg (4p/3) > 0. Xuddi shunday, tangens uchun bizda: 30 ° ∈ - I koordinata choragi, ya'ni. eng oson burchak. Shuning uchun, tg (p/6) > 0. Yana ikkita ijobiy ifoda oldik - ularning mahsuloti ham ijobiy bo'ladi. Shuning uchun ctg (4p/3) tg (p/6) > 0.

Nihoyat, yana bir nechtasini ko'rib chiqaylik qiyin vazifalar. Trigonometrik funktsiyaning belgisini topishdan tashqari, bu erda siz B11 haqiqiy muammolarida bo'lgani kabi, biroz hisoblashingiz kerak. Aslida, bu matematikadan imtihonda topilgan deyarli haqiqiy vazifalar.

Vazifa. sin 2 a = 0,64 va a ∈ [p/2; p].

Sin 2 a = 0,64 bo'lgani uchun bizda: sin a = ±0,8. Qaror qabul qilish qoladi: ortiqcha yoki minus? Taxminlarga ko'ra, burchak a ∈ [p/2; p] - II koordinata choragi, bu erda barcha sinuslar musbat. Shuning uchun, sin a = 0,8 - belgilar bilan noaniqlik yo'q qilinadi.

Vazifa. cos a ni toping, agar cos 2 a = 0,04 va a ∈ [p; 3p/2].

Biz ham xuddi shunday harakat qilamiz, ya'ni. ekstrakti Kvadrat ildiz: cos 2 a = 0,04 ⇒ cos a = ±0,2. Taxminlarga ko'ra, burchak a ∈ [p; 3p/2], ya'ni. Biz III koordinatali chorak haqida gapiramiz. U erda barcha kosinuslar manfiy, shuning uchun cos a = -0,2.

Vazifa. Agar sin 2 a = 0,25 va a ∈ bo'lsa, sin a ni toping.

Bizda: sin 2 a = 0,25 ⇒ sin a = ±0,5. Yana burchakka qaraymiz: a ∈ - IV koordinata choragi bo'lib, unda siz bilganingizdek, sinus manfiy bo'ladi. Shunday qilib, biz xulosa qilamiz: sin a = -0,5.

Vazifa. tg 2 a = 9 va a ∈ bo'lsa, tg a ni toping.

Hamma narsa bir xil, faqat tangens uchun. Biz kvadrat ildizni olamiz: tg 2 a = 9 ⇒ tg a = ±3. Lekin shartga ko'ra, a ∈ burchak I koordinatali kvadrantdir. Barcha trigonometrik funktsiyalar, shu jumladan. tangens, ijobiy bor, shuning uchun tg a = 3. Hammasi!