Matematik masalalar ko'pgina fanlarda o'z qo'llanilishini topadi. Bularga nafaqat fizika, kimyo, muhandislik va iqtisod, balki tibbiyot, ekologiya va boshqa fanlar ham kiradi. Muhim dilemmalarga yechim topish uchun o'zlashtirish kerak bo'lgan muhim tushunchalardan biri bu funktsiyaning hosilasidir. Uning jismoniy ma'nosini tushuntirish unchalik qiyin emas, chunki masalaning mohiyatini bilmaganlar uchun. Buning uchun mos misollarni topish kifoya haqiqiy hayot va oddiy kundalik vaziyatlar. Darhaqiqat, har qanday avtoulovchi har kuni tezlik o'lchagichga qaraganida, belgilangan vaqtning ma'lum bir lahzasida mashinasining tezligini aniqlab, shunga o'xshash vazifani bajaradi. Axir, hosilaning jismoniy ma'nosining mohiyati shu parametrda yotadi.

Tezlikni qanday topish mumkin

Har qanday beshinchi sinf o'quvchisi bosib o'tgan masofani va sayohat vaqtini bilib, yo'lda odamning tezligini osongina aniqlay oladi. Buning uchun berilgan qiymatlarning birinchisi ikkinchisiga bo'linadi. Lekin har bir yosh matematik buni bilmaydi bu daqiqa funktsiya va argumentning o'sish nisbatini topadi. Haqiqatan ham, agar biz harakatni y o'qi bo'ylab yo'lni va abscissa bo'ylab vaqtni yotqizadigan grafik shaklida tasavvur qilsak, xuddi shunday bo'ladi.

Biroq, harakatni bir xil deb hisoblagan holda, biz yo'lning katta qismida aniqlaydigan piyoda yoki boshqa ob'ektning tezligi yaxshi o'zgarishi mumkin. Fizikada harakatning ko'plab shakllari mavjud. U nafaqat doimiy tezlashuv bilan, balki sekinlashishi va o'zboshimchalik bilan oshishi mumkin. Shuni ta'kidlash kerakki, bu holda harakatni tavsiflovchi chiziq endi to'g'ri chiziq bo'lmaydi. Grafik jihatdan u eng murakkab konfiguratsiyalarni qabul qilishi mumkin. Ammo grafikdagi har qanday nuqta uchun biz har doim chiziqli funktsiya bilan ifodalangan tangensni chizishimiz mumkin.

Vaqtga qarab siljish o'zgarishi parametrini aniqlashtirish uchun o'lchangan segmentlarni kamaytirish kerak. Ular cheksiz darajada kichik bo'lganda, hisoblangan tezlik bir zumda bo'ladi. Ushbu tajriba lotinni aniqlashga yordam beradi. Uning jismoniy ma'nosi ham mantiqan shunday fikrlashdan kelib chiqadi.

Geometriya nuqtai nazaridan

Ma'lumki, nima ko'proq tezlik jism, siljishning vaqtga bog'liqligi grafigi qanchalik tik bo'lsa va demak, biron bir nuqtada tangensning grafaga moyillik burchagi. Bunday o'zgarishlarning ko'rsatkichi x o'qi va tangens chizig'i orasidagi burchakning tangensi bo'lishi mumkin. Aynan u hosilaning qiymatini aniqlaydi va qo'shni oyoqqa qarama-qarshi uzunliklarning nisbati bilan hisoblanadi. to'g'ri uchburchak, qaysidir nuqtadan x o'qiga tushgan perpendikulyar tomonidan hosil qilingan.

Bu geometrik ma'no birinchi hosila. Jismoniy tomoni shundaki, bizning holatlarimizda qarama-qarshi oyoqning qiymati bosib o'tgan masofa, qo'shnisi esa vaqtdir. Ularning nisbati tezlikdir. Va yana shunday xulosaga kelamizki, ikkala bo'shliq ham cheksiz kichik bo'lganda aniqlanadigan lahzali tezlik uning jismoniy ma'nosiga ishora qiluvchi mohiyatdir. Ushbu misoldagi ikkinchi hosila tananing tezlashishi bo'ladi, bu esa o'z navbatida tezlikning o'zgarishi darajasini ko'rsatadi.

Fizikadan hosilalarni topishga misollar

Tuzama har qanday funktsiyaning o'zgarish tezligining ko'rsatkichidir, hatto biz so'zning to'g'ridan-to'g'ri ma'nosida harakat haqida gapirmasak ham. Buni aniq ko'rsatish uchun keling, bir nechta aniq misollarni keltiraylik. Aytaylik, joriy quvvat vaqtga qarab quyidagi qonunga muvofiq o'zgaradi: I= 0,4t2. Jarayonning 8-sekundining oxirida ushbu parametrning o'zgarishi tezligining qiymatini topish talab qilinadi. E'tibor bering, kerakli qiymatning o'zi, tenglamadan ko'rinib turibdiki, doimiy ravishda oshib boradi.

Yechish uchun jismoniy ma'nosi ilgari ko'rib chiqilgan birinchi hosilani topish kerak. Bu yerda dI/ dt = 0,8 t. Keyingi, biz uni topamiz t=8 , biz oqim kuchining o'zgarishi sodir bo'lgan tezligi teng ekanligini olamiz 6,4 A/ c. Bu erda oqim kuchi amperda, vaqt esa mos ravishda soniyalarda o'lchanadi deb hisoblanadi.

Hamma narsa o'zgaruvchan

Ko'rinadigan dunyo, materiyadan iborat bo'lib, doimo o'zgarishlarga duchor bo'ladi, unda harakatda bo'ladi turli jarayonlar. Ularni tavsiflash uchun siz eng ko'p foydalanishingiz mumkin turli parametrlar. Agar ular bog'liqlik bilan birlashtirilgan bo'lsa, u holda ular matematik tarzda ularning o'zgarishlarini aniq ko'rsatadigan funktsiya sifatida yoziladi. Harakat mavjud bo'lgan joyda (u qanday shaklda ifodalanishi mumkin), ayni paytda biz jismoniy ma'nosini ko'rib chiqayotgan hosila ham mavjud.

Shu munosabat bilan quyidagi misol. Aytaylik, tana harorati qonunga muvofiq o'zgaradi T=0,2 t 2 . Siz 10-soniya oxirida uning qizish tezligini topishingiz kerak. Muammo oldingi holatda tasvirlanganga o'xshash tarzda hal qilinadi. Ya'ni, biz hosilani topamiz va unga qiymatni almashtiramiz t= 10 , olamiz T= 0,4 t= 4. Bu shuni anglatadiki, yakuniy javob sekundiga 4 daraja, ya'ni isitish jarayoni va gradus bilan o'lchanadigan haroratning o'zgarishi aynan shu tezlikda sodir bo'ladi.

Amaliy masalalarni yechish

Albatta, real hayotda hamma narsa nazariy muammolarga qaraganda ancha murakkabroq. Amalda kattaliklarning qiymati odatda tajriba davomida aniqlanadi. Bunday holda, ma'lum bir xato bilan o'lchovlar paytida o'qishni beradigan asboblar qo'llaniladi. Shuning uchun, hisob-kitoblarda parametrlarning taxminiy qiymatlari bilan shug'ullanish va noqulay raqamlarni yaxlitlash, shuningdek, boshqa soddalashtirishga murojaat qilish kerak. Buni hisobga olib, biz tabiatda sodir bo'ladigan eng murakkab jarayonlarning matematik modelining bir turi ekanligini hisobga olsak, biz yana hosilaning fizik ma'nosiga oid masalalarga o'tamiz.

Vulqon otilishi

Tasavvur qiling-a, vulqon otilmoqda. U qanchalik xavfli bo'lishi mumkin? Bu savolga javob berish uchun ko'plab omillarni hisobga olish kerak. Biz ulardan birini hisobga olishga harakat qilamiz.

"Olovli yirtqich hayvon"ning og'zidan toshlar vertikal ravishda yuqoriga tashlanadi, ular tashqariga chiqqan paytdan boshlab boshlang'ich tezlikka ega bo'ladi.Ular maksimal balandlikka qanchalik baland bo'lishini hisoblash kerak.

Kerakli qiymatni topish uchun metrlarda o'lchangan H balandligining boshqa miqdorlarga bog'liqligi uchun tenglama tuzamiz. Bularga dastlabki tezlik va vaqt kiradi. Tezlashtirish qiymati ma'lum deb hisoblanadi va taxminan 10 m / s 2 ga teng.

Qisman hosila

Endi funksiya hosilasining fizik ma'nosini biroz boshqacha burchakdan ko'rib chiqamiz, chunki tenglamaning o'zi bir emas, balki bir nechta o'zgaruvchini o'z ichiga olishi mumkin. Masalan, oldingi masalada vulqonning shamollatgichidan chiqarilgan toshlar balandligiga bog'liqligi nafaqat vaqt xususiyatlarining o'zgarishi, balki qiymati bilan ham aniqlangan. boshlang'ich tezligi. Ikkinchisi doimiy, sobit qiymat deb hisoblangan. Ammo butunlay boshqacha sharoitlarga ega bo'lgan boshqa vazifalarda hamma narsa boshqacha bo'lishi mumkin. Agar murakkab funktsiya bog'liq bo'lgan bir nechta kattaliklar mavjud bo'lsa, hisob-kitoblar quyidagi formulalar bo'yicha amalga oshiriladi.

Tez-tez hosil bo'lgan jismoniy ma'no odatdagi holatda bo'lgani kabi aniqlanishi kerak. Bu o'zgaruvchining parametri ortishi bilan muayyan nuqtada funktsiyaning o'zgarishi tezligi. U shunday hisoblab chiqilganki, qolgan barcha komponentlar konstanta sifatida olinadi, faqat bittasi o‘zgaruvchi sifatida qabul qilinadi. Keyin hamma narsa odatiy qoidalarga muvofiq sodir bo'ladi.

Hosilning fizik ma'nosini tushunib, murakkab va murakkab masalalarni yechishga misollar keltirish qiyin emas, bunday bilimlar bilan javob topish mumkin. Agar bizda avtomobilning tezligiga qarab yonilg'i sarfini tavsiflovchi funksiya mavjud bo'lsa, ikkinchisining qaysi parametrlarida benzin iste'moli eng kam bo'lishini hisoblashimiz mumkin.

Tibbiyotda siz uning qanday ta'sir qilishini taxmin qilishingiz mumkin inson tanasi shifokor tomonidan tayinlangan dori-darmonlarga. Preparatni qabul qilish turli xil fiziologik parametrlarga ta'sir qiladi. Bularga o'zgarishlar kiradi qon bosimi, puls, tana harorati va boshqalar. Ularning barchasi qabul qilingan dozaga bog'liq. dorivor mahsulot. Ushbu hisob-kitoblar bemorning tanasidagi o'zgarishlarga halokatli ta'sir ko'rsatishi mumkin bo'lgan qulay ko'rinishlarda ham, istalmagan baxtsiz hodisalarda ham davolanish kursini bashorat qilishga yordam beradi.

Shubhasiz, texnik masalalarda, xususan, elektrotexnika, elektronika, dizayn va qurilishda lotinning jismoniy ma'nosini tushunish muhimdir.

Tormoz masofalari

Keling, keyingi vazifani ko'rib chiqaylik. Doimiy tezlikda harakatlanayotgan mashina, ko'prikka yaqinlashib, haydovchi payqaganidek, kirishdan 10 soniya oldin sekinlashishi kerak edi. yo'l belgisi, 36 km / soat dan ortiq tezlikda harakatlanishni taqiqlash. Tormoz masofasini S = 26t - t 2 formulasi bilan tavsiflash mumkin bo'lsa, haydovchi qoidalarni buzdimi?

Birinchi hosilani hisoblab, tezlik formulasini topamiz, v = 28 - 2t ni olamiz. Keyin belgilangan ifodaga t=10 qiymatini almashtiramiz.

Ushbu qiymat soniyalarda ifodalanganligi sababli, tezlik 8 m / s ni tashkil qiladi, bu 28,8 km / soat degan ma'noni anglatadi. Bu haydovchi o'z vaqtida sekinlasha boshlaganini va yo'l harakati qoidalarini buzmaganligini va shuning uchun tezlik belgisida ko'rsatilgan chegarani tushunish imkonini beradi.

Bu esa hosilaning fizik ma'nosining muhimligini isbotlaydi. Ushbu muammoni hal qilish misoli ushbu kontseptsiyaning hayotning turli sohalarida qo'llanilishining kengligini ko'rsatadi. Shu jumladan kundalik vaziyatlarda.

Iqtisodiyotda hosila

19-asrgacha iqtisodchilar asosan mehnat unumdorligi yoki mahsulot narxi bo'ladimi, o'rtacha ko'rsatkichlar bilan shug'ullangan. Ammo qaysidir vaqtdan boshlab ushbu sohada samarali prognozlar qilish uchun qiymatlarni cheklash zarur bo'ldi. Bularga marjinal foydalilik, daromad yoki xarajatlar kiradi. Buni tushunish butunlay yangi vositani yaratishga turtki berdi iqtisodiy tadqiqotlar yuz yildan ortiq vaqtdan beri mavjud bo'lgan va rivojlangan.

Minimal va maksimal kabi tushunchalar ustunlik qiladigan bunday hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun hosilaning geometrik va jismoniy ma'nosini tushunish kifoya. Ijodkorlar orasida nazariy asos Bu fanlarni V. S. Jevons, K. Menger va boshqalar kabi taniqli ingliz va avstriyalik iqtisodchilar deb atash mumkin. Albatta, iqtisodiy hisob-kitoblardagi chegaraviy qiymatlardan foydalanish har doim ham qulay emas. Va, masalan, choraklik hisobotlar, albatta, mos kelmaydi mavjud sxema, lekin shunga qaramay, bunday nazariyani ko'p hollarda qo'llash foydali va samarali.

Dars maqsadlari:

Tarbiyaviy:

• Talabalar tomonidan hosilaning fizik ma'nosini mazmunli o'zlashtirishi uchun sharoit yaratish.
• Turli xil jismoniy muammolarni hal qilish uchun hosiladan amaliy foydalanish ko'nikmalari va ko'nikmalarini shakllantirishga yordam berish.

Rivojlanayotgan:

• Mavzuning amaliy zarurati va nazariy ahamiyatini ochib berish orqali o'quvchilarda matematik ufqlarni, bilimga qiziqishni rivojlantirishga ko'maklashish.
• Talabalarning aqliy qobiliyatlarini oshirish uchun shart-sharoitlarni ta'minlash: taqqoslash, tahlil qilish, umumlashtirish.

Tarbiyaviy:

• Matematikaga qiziqishni rivojlantirish.

Dars turi: Yangi bilimlarni o'zlashtirish darsi.

Ish shakllari: frontal, individual, guruh.

Uskunalar: Kompyuter, interfaol doska, taqdimot, darslik.

Dars tuzilishi:

1. Tashkiliy vaqt dars maqsadini belgilash
2. Yangi materialni o'rganish
3. Yangi materialni birlamchi mahkamlash
4. Mustaqil ish
5. Darsning xulosasi. Reflektsiya.

Darslar davomida

I. Tashkiliy vaqt, dars maqsadini belgilash (2 min.)

II. Yangi materialni o'rganish (10 min.)

O'qituvchi: Oldingi darslarda biz hosilalarni hisoblash qoidalari bilan tanishdik, chiziqli, kuch, trigonometrik funktsiyalar. Biz hosilaning geometrik ma'nosi nima ekanligini bilib oldik. Bugun darsda biz ushbu tushuncha fizikada qayerda qo'llanilishini bilib olamiz.

Buning uchun biz hosila ta'rifini eslaymiz (2-slayd)

Endi fizika kursiga murojaat qilaylik (3-slayd)

Talabalar muhokama qiladi va eslaydi jismoniy tushunchalar va formulalar.

Jism S(t)=f(t) qonuni bo‘yicha harakatlansin t 0 dan t 0 + D t gacha bo‘lgan vaqt davomida jism bosib o‘tgan yo‘lni ko‘rib chiqaylik, bunda Dt argumentning o‘sishi. t 0 vaqt momentida jism S(t 0) yo`lidan, hozirda t 0 +Dt - S(t 0 +Dt) yo`ldan o`tgan. Shuning uchun Dt vaqt ichida tana S(t 0 +Dt) –S(t 0) yo‘lini bosib o‘tdi, ya’ni. biz funktsiyaning o'sishini oldik. Bu vaqt oralig'idagi tananing o'rtacha tezligi y==

Vaqt oralig'i t qanchalik qisqa bo'lsa, t momentida tananing qanday tezlik bilan harakatlanishini aniqroq bilib olamiz. Agar t → 0 bo'lsa, biz oniy tezlikni olamiz - raqamli qiymat bu harakatning t momentidagi tezlik.

y= , Dt→0 da tezlik masofaning vaqtga nisbatan hosilasidir.

slayd 4

Tezlashtirishning ta'rifini eslang.

Yuqoridagi materialdan foydalanib, t a(t)= y’(t) da degan xulosaga kelishimiz mumkin. tezlanish tezlikning hosilasidir.

Bundan tashqari, interaktiv doskada oqim kuchi, burchak tezligi, EMF va boshqalar uchun formulalar paydo bo'ladi. Talabalar hosila tushunchasi orqali ushbu fizik miqdorlarning oniy qiymatlarini to'ldiradilar. (Yo'qligi bilan interaktiv doska taqdimotdan foydalanish)

Slaydlar 5-8

Xulosa talabalar tomonidan chiqariladi.

Xulosa:(9-slayd) Hosil - funksiyaning o‘zgarish tezligi. (Yo'l funktsiyalari, koordinatalar, tezlik, magnit oqim va boshqalar)

y (x) \u003d f '(x)

O'qituvchi: o'rtasidagi munosabatni ko'ramiz miqdoriy xarakteristikalar fizika tomonidan o'rganiladigan turli xil jarayonlar, texnika fanlari, kimyo, yo'l va tezlik o'rtasidagi munosabatlarga o'xshashdir. Siz juda ko'p muammolarni berishingiz mumkin, ularni hal qilish uchun ma'lum bir funktsiyaning o'zgarish tezligini topish ham kerak, masalan: ma'lum bir momentda eritma konsentratsiyasini topish, suyuqlikning oqim tezligini topish, jismning aylanish burchak tezligi, nuqtadagi chiziqli zichlik va boshqalar. Endi biz ushbu muammolarning bir qismini hal qilamiz.

III. Olingan bilimlarni mustahkamlash (guruhlarda ishlash) (15 min.)

Doskada keyingi tahlil bilan

Masalalarni yechishdan oldin fizik kattaliklarning o‘lchov birliklarini aniqlab bering.

Tezlik - [m/s]
Tezlashuv - [m / s 2]
Kuch - [N]
Energiya - [J]

1-guruh vazifasi

Nuqta s(t)=2t³-3t (s - metrdagi masofa, t - soniyada vaqt) qonuniga muvofiq harakat qiladi. Nuqta tezligini, 2s vaqtdagi tezlanishini hisoblang

2-guruh vazifasi

Maxovik o'q atrofida ph(t)= t 4 -5t qonuniga muvofiq aylanadi. Uning 2s vaqtdagi ō burchak tezligini toping (ph - radiandagi burilish burchagi, ō - burchak tezligi rad/s)

3-guruh vazifasi

Massasi 2 kg bo'lgan jism x (t) \u003d 2-3t + 2t² qonuniga muvofiq to'g'ri chiziqda harakat qiladi.

Tananing tezligini va uning tezligini toping kinetik energiya Harakat boshlanganidan 3 soniya o'tgach. Hozirgi vaqtda tanaga qanday kuch ta'sir qiladi? (t soniyalarda, x metrda o'lchanadi)

Vazifa 4

Dot Commits tebranish harakatlari x(t)=2sin3t qonuniga ko'ra. Tezlanish x koordinatasiga proporsional ekanligini isbotlang.

IV. 272, 274, 275, 277-sonli masalalarni mustaqil yechish

[A.N.Kolmogorov, A.M.Abramov va boshqalar “Algebra va 10-11-sinflar tahlilining boshlanishi”] 12 min.

Berilgan:	Qaror:
x(t)=- ______________ t=? y(t)=?	y(t)=x’(t); y(t)= (-)’= 3t²+6t= +6t; a(t)=y'(t) a(t)=( +6t)’= 2t+6=-t+6; a(t)=0; -t+6=0; t=6; y(6)=+6 6=-18+36=18m/s Javob: t=6c; y(6)= 18m/s

f (x) funksiyaning x0 nuqtadagi hosilasi, agar argumentning o'sishiga moyil bo'lsa, x0 nuqtadagi funktsiya o'sishining Dx argumentining o'sishiga nisbatining chegarasi (agar mavjud bo'lsa). nolga teng va f '(x0) bilan belgilanadi. Funktsiyaning hosilasini topish harakati differentsiallash deyiladi.
Funktsiyaning hosilasi quyidagi fizik ma'noga ega: funktsiyaning hosilasi berilgan nuqta- funksiyaning berilgan nuqtadagi o‘zgarish tezligi.

Hosilning geometrik ma'nosi. X0 nuqtadagi hosila shu nuqtadagi y=f(x) funksiya grafigiga teginish qiyaligiga teng.

Hosilning fizik ma'nosi. Agar nuqta x o'qi bo'ylab harakatlansa va uning koordinatasi x(t) qonuniga muvofiq o'zgarsa, nuqtaning oniy tezligi:

Differensial tushunchasi, uning xossalari. Farqlash qoidalari. Misollar.

Ta'rif. Funksiyaning qaysidir x nuqtadagi differensialligi funktsiya o‘sishning asosiy, chiziqli qismidir y = f(x) funksiyaning differentsiali uning hosilasi va mustaqil o‘zgaruvchi x (x) ko‘paytmasiga teng. dalil).

Bu shunday yozilgan:

yoki

Yoki


Differensial xususiyatlar
Differensial hosilalarnikiga o'xshash xususiyatlarga ega:





Kimga farqlashning asosiy qoidalari o'z ichiga oladi:
1) hosila belgisidan doimiy ko‘rsatkichni chiqarish
2) yig‘indining hosilasi, ayirmaning hosilasi
3) funksiyalar hosilasining hosilasi
4) ikki funktsiyali qismning hosilasi (kasrning hosilasi)

Misollar.
Formulani isbotlaymiz: hosila ta'rifi bo'yicha bizda:

Ixtiyoriy omil chegaraga o'tish belgisidan chiqarilishi mumkin (bu chegaraning xususiyatlaridan ma'lum), shuning uchun

Misol uchun: Funktsiyaning hosilasini toping
Qaror: Ko‘paytiruvchini hosila belgisidan chiqarish qoidasidan foydalanamiz :

Ko'pincha hosilalar jadvali va hosilalarni topish qoidalarini qo'llash uchun birinchi navbatda differentsiallanuvchi funktsiya shaklini soddalashtirish kerak. Quyidagi misollar buni yaqqol tasdiqlaydi.

Farqlash formulalari. Differensialni taxminiy hisoblarda qo'llash. Misollar.

Differensialni taxminiy hisob-kitoblarda qo'llash funksiya qiymatlarini taxminiy hisoblash uchun differentsialdan foydalanish imkonini beradi.
Misollar.
Differensialdan foydalanib, taxminan hisoblang
Hisoblash uchun berilgan qiymat nazariyadagi formulani qo'llang
Funksiyani kiritamiz va berilgan qiymatni shaklda ifodalaymiz
keyin hisoblang

Hamma narsani formulaga almashtirib, biz nihoyat olamiz
Javob:

16. 0/0 Yoki ∞/∞ shaklidagi noaniqliklarni oshkor qilish uchun L'Hopital qoidasi. Misollar.
Ikki cheksiz kichik yoki ikkita cheksiz katta miqdorlar nisbati chegarasi ularning hosilalari nisbati chegarasiga teng.

1)

17. O'suvchi va kamayuvchi funksiyalar. funktsiyaning ekstremumi. Monotonlik va ekstremum uchun funktsiyani o'rganish algoritmi. Misollar.

Funktsiya ortadi intervalda, agar bu oraliqning istalgan ikkita nuqtasi uchun, bog'liq munosabat, tengsizlik haqiqatdir. Ya'ni, kattaroq qiymat argument funktsiyaning kattaroq qiymatiga to'g'ri keladi va uning grafigi "pastdan yuqoriga" ketadi. Namoyish funksiyasi intervalgacha o'sib boradi

Xuddi shunday, funktsiya kamaymoqda oraliqda, agar berilgan oraliqning istalgan ikkita nuqtasi uchun tengsizlik rost bo'lsin. Ya'ni, argumentning kattaroq qiymati funksiyaning kichikroq qiymatiga to'g'ri keladi va uning grafigi "yuqoridan pastga" ketadi. Bizniki oraliqda kamayadi intervalda .

Ekstremallar Nuqta y=f(x) funksiyaning maksimal nuqtasi deyiladi, agar tengsizlik uning qo‘shnisidan barcha x uchun to‘g‘ri bo‘lsa. Funksiyaning maksimal nuqtadagi qiymati deyiladi maksimal funktsiya va belgilang.
Nuqta y=f(x) funksiyaning minimal nuqtasi deyiladi, agar tengsizlik uning qo‘shnisidan barcha x uchun to‘g‘ri bo‘lsa. Funksiyaning minimal nuqtadagi qiymati deyiladi funktsiya minimal va belgilang.
Nuqtaning qo‘shnisi deganda interval tushuniladi , bu yerda yetarlicha kichik musbat son.
Minimal va maksimal nuqtalar ekstremum nuqtalar deb ataladi va ekstremal nuqtalarga mos keladigan funktsiya qiymatlari deyiladi. ekstremal funktsiya.

Funktsiyani o'rganish uchun monotonlik uchun quyidagi diagrammadan foydalaning:
- funksiyaning amal qilish sohasini toping;
- funksiyaning hosilasini va hosila sohasini toping;
- hosilaning nollarini toping, ya'ni. hosila nolga teng bo'lgan argumentning qiymati;
- Raqamlar qatorida belgilang umumiy qismi funksiya sohasi va uning hosilasi sohasi va unda - hosilaning nollari;
- olingan intervallarning har birida hosila belgilarini aniqlash;
- hosila belgilari bo‘yicha funksiya qaysi intervallarda ortib, qaysi vaqtda kamayishini aniqlang;
- Tegishli bo'shliqlarni nuqta-vergul bilan ajrating.

Monotonlik va ekstrema uchun uzluksiz y = f(x) funksiyani o'rganish algoritmi:
1) f ′(x) hosilasini toping.
2) y = f(x) funksiyaning statsionar (f ′(x) = 0) va kritik (f ′(x) mavjud emas) nuqtalarini toping.
3) Haqiqiy chiziqdagi statsionar va kritik nuqtalarni belgilang va hosil bo‘lgan intervallardagi hosila belgilarini aniqlang.
4) Funksiyaning monotonligi va uning ekstremum nuqtalari haqida xulosa chiqaring.

18. Funksiyaning qavariqligi. Burilish nuqtalari. Qavariqlik funksiyasini tekshirish algoritmi (qavariqlik) Misollar.

qavariq pastga X oralig'ida, agar uning grafigi X oralig'ining istalgan nuqtasida unga teginishdan past bo'lmaganda joylashgan bo'lsa.

Differensiallanuvchi funksiya deyiladi yuqoriga qavariq X oralig'ida, agar uning grafigi X oralig'ining istalgan nuqtasida unga teginishdan yuqori bo'lmagan holda joylashgan bo'lsa.

Nuqta formulasi deyiladi grafik burilish nuqtasi y \u003d f (x) funktsiyasi, agar ma'lum bir nuqtada funktsiya grafigiga teginish bo'lsa (u Oy o'qiga parallel bo'lishi mumkin) va nuqta formulasining shunday qo'shnisi bo'lsa, uning ichida grafigi funktsiya M nuqtadan chapga va o'ngga turli xil qavariq yo'nalishlariga ega.

Qavariqlik uchun intervallarni topish:

Agar y=f(x) funksiya X oraliqda chekli ikkinchi hosilaga ega bo‘lsa va tengsizlik bo‘lsa. (), u holda funksiya grafigi X da pastga (yuqoriga) yo‘naltirilgan qavariqlikka ega bo‘ladi.
Bu teorema funktsiyaning botiqlik va qavariqlik oraliqlarini topishga imkon beradi, siz faqat tengsizliklarni va mos ravishda asl funktsiyani aniqlash sohasi bo'yicha echishingiz kerak.

Misol: Funksiya grafigi qaysi intervallarni toping Funksiya grafigi qaysi intervallarni toping yuqoriga va pastga yo'naltirilgan qavariqlikka ega. yuqoriga va pastga yo'naltirilgan qavariqlikka ega.
Qaror: Ushbu funktsiyaning sohasi haqiqiy sonlarning butun to'plamidir.
Ikkinchi hosilani topamiz.

Ikkinchi hosilaning ta'rif sohasi asl funktsiyani aniqlash sohasiga to'g'ri keladi, shuning uchun konkavlik va qavariqlik oraliqlarini aniqlash uchun mos ravishda hal qilish kifoya. Demak, funktsiya intervalli formulada pastga qaragan qavariq, intervalli formulada esa yuqoriga qaragan qavariq.

19) Funksiyaning asimptotalari. Misollar.

To'g'ridan-to'g'ri qo'ng'iroq vertikal asimptota funktsiyaning grafigi, agar chegara qiymatlaridan kamida bittasi yoki ga teng bo'lsa.

Izoh. Funktsiya da uzluksiz bo'lsa, chiziq vertikal asimptota bo'la olmaydi. Shuning uchun vertikal asimptotalarni funksiyaning uzilish nuqtalarida izlash kerak.

To'g'ridan-to'g'ri qo'ng'iroq gorizontal asimptota funktsiyaning grafigi, agar chegara qiymatlaridan kamida bittasi yoki ga teng bo'lsa.

Izoh. Funktsiya grafigi faqat o'ng gorizontal asimptotaga yoki faqat chapga ega bo'lishi mumkin.

To'g'ridan-to'g'ri qo'ng'iroq qiya asimptota funksiyaning grafigi, agar

Misol:

Mashq qilish. Funksiya grafigining asimptotalarini toping

Qaror. Funktsiya doirasi:

a) vertikal asimptotlar: to'g'ri chiziq vertikal asimptotadir, chunki

b) gorizontal asimptotlar: funksiyaning cheksizlikdagi chegarasini topamiz:

ya'ni gorizontal asimptotlar yo'q.

c) qiya asimptotlar:

Shunday qilib, qiya asimptota: .

Javob. Vertikal asimptota to'g'ri chiziqdir.

Qiya asimptota to'g'ri chiziqdir.

20) Umumiy sxema funktsiyani o'rganish va chizmalarni tuzish. Misol.

a.
Funksiyaning ODZ va uzilish nuqtalarini toping.

b. Funksiya grafigining koordinata o‘qlari bilan kesishish nuqtalarini toping.

2. Birinchi hosila yordamida funksiyani o‘rganish, ya’ni funksiyaning ekstremum nuqtalari hamda o‘sish va kamayish oraliqlarini toping.

3. Ikkinchi tartibli hosila yordamida funksiyani tekshiring, ya’ni funksiya grafigining burilish nuqtalarini va uning qavariq va botiqlik oraliqlarini toping.

4. Funksiya grafigining asimptotalarini toping: a) vertikal, b) qiya.

5. Tadqiqot asosida funksiya grafigini tuzing.

E'tibor bering, chizma tuzishdan oldin, berilgan funktsiyaning juft yoki toq ekanligini aniqlash foydali bo'ladi.

Eslatib o'tamiz, argument belgisi o'zgarganda funktsiyaning qiymati o'zgarmasa ham funktsiya chaqiriladi: f(-x) = f(x) va funksiya agar toq deb ataladi f(-x) = -f(x).

Bunday holda, funktsiyani o'rganish va uning grafigini tuzish kifoya ijobiy qadriyatlar ODZga tegishli argument. Da salbiy qiymatlar argument, grafik teng funktsiya uchun u o'qqa nisbatan simmetrik bo'lishi asosida to'ldiriladi. Oy, va kelib chiqishi bo'yicha g'alati uchun.

Misollar. Funktsiyalarni o'rganing va ularning grafiklarini tuzing.

Funktsiya doirasi D(y)= (–∞; +∞). Tanaffus nuqtalari yo'q.

Eksa kesishmasi ho'kiz: x = 0,y= 0.

Funktsiya g'alati, shuning uchun uni faqat intervalda o'rganish mumkin va uning argumenti [x] birliklarida, keyin hosila (tezlik) ning birliklarida o'lchanadi.

Vazifa 6

x(t) = 6t 2 − 48t+ 17, qaerda x t t= 9s.

Hosilini topish
x"(t) = (6t 2 − 48t + 17)" = 12t − 48.
Shunday qilib, biz tezlikning vaqtga bog'liqligiga erishdik. Vaqtning ma'lum bir nuqtasida tezlikni topish uchun siz uning qiymatini hosil bo'lgan formulaga almashtirishingiz kerak:
x"(t) = 12t − 48.
x"(9) = 12 9 - 48 = 60.

Javob: 60

Izoh: Keling, miqdorlarning o'lchamlari bilan xato qilmasligimizga ishonch hosil qilaylik. Bu erda masofa birligi (funksiya) [x] = metr, vaqt birligi (funksiya argumenti) [t] = soniya, shuning uchun hosila birligi = [m/s], ya'ni. hosila tezlikni faqat masala savolida keltirilgan birliklarda beradi.

Vazifa 7

Moddiy nuqta qonunga muvofiq to'g'ri chiziq bo'ylab harakatlanadi x(t) = −t 4 + 6t 3 + 5t+ 23, qaerda x- mos yozuvlar nuqtasidan metrdagi masofa, t- harakat boshlanishidan boshlab o'lchanadigan soniyalarda vaqt. Uning vaqtdagi tezligini (sekundiga metrda) toping t= 3s.

Hosilini topish
x"(t) = (−t 4 + 6t 3 + 5t + 23)" = −4t 3 + 18t 2 + 5.
Olingan formulada berilgan vaqt momentini almashtiramiz
x"(3) = −4 3 3 + 18 3 2 + 5 = −108 + 162 + 5 = 59.

Javob: 59

Vazifa 8

Moddiy nuqta qonunga muvofiq to'g'ri chiziq bo'ylab harakatlanadi x(t) = t 2 − 13t+ 23, qaerda x- mos yozuvlar nuqtasidan metrdagi masofa, t- harakat boshlanishidan boshlab o'lchanadigan soniyalarda vaqt. Vaqtning qaysi nuqtasida (sekundlarda) uning tezligi 3 m/s ga teng edi?

Hosilini topish
x"(t) = (t 2 − 13t + 23)" = 2t − 13.
Olingan formula bo'yicha berilgan tezlikni 3 m / s qiymatiga tenglashtiramiz.
2t − 13 = 3.
Bu tenglamani yechib, qaysi vaqtda tenglik to'g'ri ekanligini aniqlaymiz.
2t − 13 = 3.
2t = 3 + 13.
t = 16/2 = 8.

Javob: 8

9-topshiriq

Moddiy nuqta qonunga muvofiq to'g'ri chiziq bo'ylab harakatlanadi x(t) = (1/3)t 3 − 3t 2 − 5t+ 3, qaerda x- mos yozuvlar nuqtasidan metrdagi masofa, t- harakat boshlanishidan boshlab o'lchanadigan soniyalarda vaqt. Vaqtning qaysi nuqtasida (sekundlarda) uning tezligi 2 m/s ga teng edi?

Hosilini topish
x"(t) = ((1/3)t 3 − 3t 2 − 5t + 3)" = t 2 − 6t − 5.
Shuningdek, biz tenglama tuzamiz:
t 2 − 6t − 5 = 2;
t 2 − 6t − 7 = 0.
Bu diskriminant yoki Viet teoremasi yordamida yechish mumkin bo'lgan kvadrat tenglama. Bu erda, mening fikrimcha, ikkinchi yo'l osonroq:
t 1 + t 2 = 6; t bir · t 2 = −7.
Buni taxmin qilish oson t 1 = −1; t 2 = 7.
Javobda faqat ijobiy ildizni qo'yamiz, chunki vaqt salbiy bo'lishi mumkin emas.

Funktsiya grafigining nuqtasi - A (x 0,) nuqtasidan o'tadigan ixtiyoriy to'g'ri chiziqni ko'rib chiqaylik. f (x 0)) va qaysidir nuqtada grafikni kesishadi B(x; f(x )). Bunday to'g'ri chiziq (AB) sekant deb ataladi. ∆ABC dan: AC = ∆ x; BC \u003d ∆y; tgb =∆y /∆x .

AC ||dan beri Ox , keyin R ALO = R BAC = b (parallel bilan mos ravishda). LekinÐ ALO - AB sekantining Ox o'qining musbat yo'nalishiga moyillik burchagi. Ma'nosi, tgb = k - qiyalik to'g'ridan-to'g'ri AB.

Endi biz ∆x ni kamaytiramiz, ya'ni. ∆x→ 0. Bunda B nuqta grafik bo‘yicha A nuqtaga yaqinlashadi va AB sekant aylana oladi. AB sekantining ∆x→ 0 da chegaralovchi holati to‘g‘ri chiziq bo‘ladi ( a ), y = funksiya grafigiga teginish deyiladi f(x) A nuqtada.

Tenglikda ∆x → 0 sifatida chegaraga o'tsak tg b =∆ y /∆ x , keyin olamiz

yoki tg a \u003d f "(x 0), chunki
a - tangensning Ox o'qining musbat yo'nalishiga moyillik burchagi

, hosila ta'rifi bilan. Lekin tg a = k - tangensning qiyaligi, shuning uchun k = tg a \u003d f "(x 0).

Shunday qilib, hosilaning geometrik ma'nosi quyidagicha:

Funktsiyaning x 0 nuqtadagi hosilasi qiyalikka teng abscissa x 0 nuqtada chizilgan funksiya grafigiga teginish.

Hosilning fizik ma'nosi.

Nuqtaning to‘g‘ri chiziq bo‘ylab harakatini ko‘rib chiqaylik. Vaqtning istalgan momentidagi nuqtaning koordinatasi berilsin x(t ). Ma'lumki (fizika kursidan). o'rtacha tezlik bir muddat [ t0; t0 + ∆t ] bu vaqt oralig'ida bosib o'tgan masofaning vaqtga nisbatiga teng, ya'ni.

Vav = ∆x /∆t . Oxirgi tenglikdagi chegaraga ∆ sifatida o'tamiz t → 0.

lim V cf (t) = n (t 0 ) - vaqtdagi oniy tezlik t 0 , ∆t → 0.

va lim \u003d ∆ x / ∆ t \u003d x "(t 0) ) (hosilning ta'rifi bo'yicha).

Shunday qilib, n (t) = x "(t).

Hosilning fizik ma'nosi quyidagicha: funktsiyaning hosilasi y = f( x) nuqtadax 0 funktsiyaning o'zgarish tezligi f(x) nuqtadax 0

Hosil fizikada vaqt bo‘yicha koordinatalarning ma’lum funksiyasidan tezlikni, vaqt bo‘yicha tezlikning ma’lum funksiyasidan tezlanishni topish uchun ishlatiladi.

u (t) \u003d x "(t) - tezlik,

a(f) = n "(t ) - tezlashtirish, yoki

a (t) \u003d x "(t).

Agar moddiy nuqtaning aylana bo‘ylab harakatlanish qonuni ma’lum bo‘lsa, u holda aylanma harakat paytidagi burchak tezligi va burchak tezlanishini topish mumkin:

ph = ph (t ) - burchakning vaqt bo'yicha o'zgarishi,

ō = ph "(t ) - burchak tezligi,

e = ph "(t ) - burchak tezlanishi, yoki e \u003d ph "(t).

Agar bir jinsli bo'lmagan novda massasining taqsimlanish qonuni ma'lum bo'lsa, unda bir jinsli bo'lmagan tayoqning chiziqli zichligini topish mumkin:

m \u003d m (x) - massa,

x n , l - novda uzunligi,

p = m "(x) - chiziqli zichlik.

Hosila yordamida elastiklik va garmonik tebranishlar nazariyasiga oid masalalar yechiladi. Ha, Guk qonuniga ko'ra

F = - kx , x - o'zgaruvchan koordinata, k - prujinaning elastiklik koeffitsienti. Qo'yishō 2 = k / m , olamiz differensial tenglama bahor mayatnik x "( t ) + ō 2 x(t ) = 0,

bu yerda ō = √k /√m tebranish chastotasi ( l/c ), k - bahorning qattiqligi ( H/m).

y" + ko'rinishdagi tenglamaō 2 y = 0 garmonik tebranishlar tenglamasi deyiladi (mexanik, elektr, elektromagnit). Bunday tenglamalarning yechimi funksiya hisoblanadi

y \u003d Asin (ōt + ph 0 ) yoki y \u003d Acos (ōt + ph 0 ), bu erda

A - tebranishlar amplitudasi,ω - siklik chastota,

φ 0 - boshlang'ich bosqich.