Chiziqli tenglamalar. Yechim, misollar.

Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Qattiq "juda emas..." deganlar uchun.
Va "juda ..." bo'lganlar uchun)

Chiziqli tenglamalar.

Chiziqli tenglamalar maktab matematikasida eng qiyin mavzu emas. Ammo u erda hatto o'qitilgan talabani ham boshdan kechiradigan ba'zi hiylalar bor. Biz buni aniqlaymizmi?)

Chiziqli tenglama odatda quyidagi shakldagi tenglama sifatida aniqlanadi:

bolta + b = 0 qayerda a va b- har qanday raqamlar.

2x + 7 = 0. Bu erda a=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Bu erda a=0,1, b=-2,3

12x + 1/2 = 0 Bu erda a=12, b=1/2

Hech qanday murakkab narsa yo'q, to'g'rimi? Ayniqsa, agar siz quyidagi so'zlarni sezmasangiz: "Bu erda a va b har qanday raqamlar"... Va agar siz e'tibor bersangiz, lekin beparvolik bilan bu haqda o'ylaysizmi?) Axir, agar a=0, b=0(har qanday raqamlar mumkinmi?), keyin biz kulgili iborani olamiz:

Lekin bu hammasi emas! Agar aytaylik, a=0, a b=5, Bu juda absurd narsa bo'lib chiqdi:

Matematikaga bo'lgan ishonchni nima buzadi va susaytiradi, ha ...) Ayniqsa imtihonlarda. Ammo bu g'alati ifodalardan siz X ni topishingiz kerak! Bu umuman mavjud emas. Va ajablanarlisi shundaki, bu X ni topish juda oson. Biz buni qanday qilishni o'rganamiz. Bu darsda.

Chiziqli tenglamani tashqi ko'rinishida qanday aniqlash mumkin? Bu nimaga bog'liq tashqi ko'rinish.) Ayyorlik shundaki, chiziqli tenglamalar nafaqat shakldagi tenglamalar deb ataladi bolta + b = 0 , balki transformatsiyalar va soddalashtirishlar orqali bu shaklga keltiriladigan har qanday tenglamalar ham. Va u kamayadimi yoki yo'qmi, kim biladi?)

Ba'zi hollarda chiziqli tenglama aniq tan olinishi mumkin. Aytaylik, agar bizda faqat birinchi darajali noma'lumlar mavjud bo'lgan tenglama bo'lsa, ha raqamlar. Va tenglama unday emas ga bo'lingan kasrlar noma'lum , bu muhim! Va bo'linish raqam, yoki sonli kasr - tamom! Misol uchun:

Bu chiziqli tenglama. Bu erda kasrlar bor, lekin kvadratda, kubda va hokazolarda x harflari yo'q va maxrajlarda x mavjud emas, ya'ni. Yo'q x ga bo'linish. Va bu erda tenglama

chiziqli deb atash mumkin emas. Bu erda x ning hammasi birinchi darajali, lekin bor x bilan ifoda bo'yicha bo'lish. Soddalashtirish va o'zgartirishlardan so'ng siz chiziqli tenglamani, kvadratik tenglamani va o'zingiz yoqtirgan narsalarni olishingiz mumkin.

Ma'lum bo'lishicha, chiziqli tenglamani deyarli yechmaguningizcha, qandaydir murakkab misolda topish mumkin emas. Xafa qiladi. Ammo topshiriqlarda, qoida tariqasida, ular tenglama shakli haqida so'ramaydilar, to'g'rimi? Topshiriqlarda tenglamalar tartiblangan qaror. Bu quvontiradi.)

Chiziqli tenglamalarni yechish. Misollar.

Chiziqli tenglamalarning butun yechimi tenglamalarni bir xil o'zgartirishlardan iborat. Aytgancha, bu o'zgarishlar (ikkitagacha!) echimlar asosida yotadi matematikaning barcha tenglamalari. Boshqacha aytganda, qaror har qanday Tenglama xuddi shu o'zgarishlar bilan boshlanadi. Chiziqli tenglamalar bo'lsa, bu o'zgarishlar bo'yicha u (yechim) to'liq javob bilan tugaydi. Havolaga amal qilish mantiqan to'g'rimi?) Bundan tashqari, chiziqli tenglamalarni yechish misollari ham mavjud.

Eng oddiy misoldan boshlaylik. Hech qanday tuzoqsiz. Aytaylik, quyidagi tenglamani yechishimiz kerak.

x - 3 = 2 - 4x

Bu chiziqli tenglama. X larning barchasi birinchi darajaga tegishli, X ga bo'linish yo'q. Lekin, aslida, tenglama nima ekanligi bizga qiziq emas. Biz buni hal qilishimiz kerak. Bu erda sxema oddiy. Tenglamaning chap tomonida x bo'lgan hamma narsani, o'ngda esa x (raqamlar)siz hamma narsani to'plang.

Buning uchun siz transfer qilishingiz kerak - 4x chap tomonga, belgi o'zgarishi bilan, albatta, lekin - 3 - O'ngga. Aytgancha, bu tenglamalarning birinchi bir xil konvertatsiyasi. Hayron qoldingizmi? Shunday qilib, ular havolaga rioya qilishmadi, lekin behuda ...) Biz olamiz:

x + 4x = 2 + 3

Biz shunga o'xshash narsalarni beramiz, biz ko'rib chiqamiz:

To'liq baxtli bo'lish uchun bizga nima kerak? Ha, chap tomonda toza X bo'lishi uchun! Beshtasi yo‘lda to‘sqinlik qiladi. Beshtadan qutuling tenglamalarning ikkinchi bir xil transformatsiyasi. Ya'ni, tenglamaning ikkala qismini 5 ga bo'lamiz. Biz tayyor javobni olamiz:

Albatta, oddiy misol. Bu isinish uchun). Ha mayli. Biz buqani shoxlaridan olamiz.) Keling, ta'sirchanroq narsani hal qilaylik.

Masalan, bu tenglama:

Qayerdan boshlaymiz? X bilan - chapga, X holda - o'ngga? Shunday bo'lishi mumkin. Uzoq yo'l bo'ylab kichik qadamlar. Va siz darhol, universal va kuchli tarzda qila olasiz. Albatta, sizning arsenalingizda tenglamalarning bir xil o'zgarishlari mavjud bo'lmasa.

Men sizga asosiy savol beraman: Bu tenglamada sizga ko'proq nima yoqmaydi?

100 kishidan 95 kishi javob beradi: kasrlar ! Javob to'g'ri. Shunday ekan, keling, ulardan qutulaylik. Shunday qilib, biz darhol boshlaymiz ikkinchi bir xil transformatsiya. Chapdagi kasrni maxraj butunlay kamayishi uchun nimaga ko'paytirish kerak? To'g'ri, 3. Va o'ngda? By 4. Lekin matematika bizga ikkala tomonni ko'paytirish imkonini beradi bir xil raqam. Qanday qilib chiqamiz? Keling, ikkala tomonni 12 ga ko'paytiramiz! Bular. umumiy maxrajga. Keyin uchtasi kamayadi va to'rttasi. Har bir qismni ko'paytirish kerakligini unutmang butunlay. Birinchi qadam qanday ko'rinishga ega:

Qavslarni kengaytirish:

Eslatma! Numerator (x+2) Qavs ichida oldim! Buning sababi shundaki, kasrlarni ko'paytirishda hisoblagich butunga ko'paytiriladi, butunlay! Va endi siz kasrlarni kamaytirishingiz va kamaytirishingiz mumkin:

Qolgan qavslarni ochish:

Misol emas, balki sof zavq!) Endi biz quyi sinflardagi afsunni eslaymiz: x bilan - chapga, x holda - o'ngga! Va bu transformatsiyani qo'llang:

Mana bir nechtasi:

Va biz ikkala qismni 25 ga ajratamiz, ya'ni. ikkinchi transformatsiyani yana qo'llang:

Hammasi shu. Javob: X=0,16

E'tibor bering: asl chalkash tenglamani yoqimli shaklga keltirish uchun biz ikkitadan (faqat ikkita!) foydalandik. bir xil o'zgarishlar- chapdan o'ngga ishorani o'zgartirish va tenglamani bir xil raqamga ko'paytirish-bo'lish bilan tarjima qilish. Bu universal yo'l! Biz shu tarzda ishlaymiz har qanday tenglamalar! Mutlaqo har qanday. Shuning uchun men bu o'xshash o'zgarishlarni doimo takrorlayman.)

Ko'rib turganingizdek, chiziqli tenglamalarni echish printsipi oddiy. Biz tenglamani olamiz va javob olguncha uni bir xil o'zgartirishlar yordamida soddalashtiramiz. Bu erda asosiy muammolar hal qilish printsipida emas, balki hisob-kitoblarda.

Ammo ... Eng elementar chiziqli tenglamalarni echish jarayonida shunday kutilmagan hodisalar mavjudki, ular kuchli stuporga olib kelishi mumkin ...) Yaxshiyamki, bunday kutilmagan hodisalar faqat ikkita bo'lishi mumkin. Keling, ularni maxsus holatlar deb ataylik.

Chiziqli tenglamalarni yechishdagi maxsus holatlar.

Avval ajablantiring.

Aytaylik, siz elementar tenglamaga duch keldingiz, masalan:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Bir oz zerikib, biz X bilan chapga, X holda - o'ngga o'tkazamiz ... Belgining o'zgarishi bilan hamma narsa chin-chinar ... Biz olamiz:

2x-5x+3x=5-2-3

Biz ishonamiz va ... oh! Biz olamiz:

O'z-o'zidan bu tenglik e'tiroz bildirmaydi. Haqiqatan ham nol nol. Ammo X ketdi! Va biz javobda yozishimiz kerak, x nimaga teng. Aks holda, yechim hisoblanmaydi, ha...) Boshi berk ko'cha?

Sokin! Bunday shubhali holatlarda eng umumiy qoidalar qutqaradi. Tenglamalarni qanday yechish mumkin? Tenglamani yechish nimani anglatadi? Bu degani, x ning barcha qiymatlarini toping, ular asl tenglamaga almashtirilganda bizga to'g'ri tenglikni beradi.

Lekin bizda to'g'ri tenglik bor allaqachon sodir bo'ldi! 0=0, qayerda?! Bu qaysi x dan olinganligini aniqlash qoladi. X ning qaysi qiymatlarini almashtirish mumkin original tenglama, agar bu x bo'lsa hali ham nolga qisqaradimi? Kel?)

Ha!!! X ni almashtirish mumkin har qanday! Nima xohlaysiz. Kamida 5, kamida 0,05, kamida -220. Ular hali ham qisqaradi. Agar menga ishonmasangiz, tekshirib ko'rishingiz mumkin.) Istalgan x qiymatini o'rniga qo'ying original tenglama va hisoblash. Hamma vaqt bo'ladi sof haqiqat: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 va hokazo.

Mana sizning javobingiz: x - har qanday raqam.

Javob turli matematik belgilarda yozilishi mumkin, mohiyat o'zgarmaydi. Bu mutlaqo to'g'ri va to'liq javob.

Ikkinchidan ajablanib.

Keling, bir xil elementar chiziqli tenglamani olaylik va undagi faqat bitta raqamni o'zgartiramiz. Buni biz hal qilamiz:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Xuddi shu o'zgarishlardan so'ng biz qiziqarli narsalarni olamiz:

Mana bunday. Chiziqli tenglamani yechish, g'alati tenglikni oldi. Matematik jihatdan aytganda, bizda bor noto'g'ri tenglik. Va gapirish oddiy til, bu haqiqat emas. Rave. Ammo shunga qaramay, bu bema'nilik juda yaxshi sababdir to'g'ri qaror tenglamalar.)

Shunga qaramay, biz o'ylaymiz umumiy qoidalar. Dastlabki tenglamaga almashtirilganda, x bizga nimani beradi to'g'ri tenglik? Ha, yo'q! Bunday xes yo'q. Nimani almashtirsangiz ham, hamma narsa kamayadi, bema'nilik qoladi.)

Mana sizning javobingiz: yechimlar yo'q.

Bu ham mukammal javobdir. Matematikada bunday javoblar tez-tez uchraydi.

Mana bunday. Endi, umid qilamanki, har qanday (nafaqat chiziqli) tenglamani yechish jarayonida X ning yo'qolishi sizni umuman bezovta qilmaydi. Masala tanish.)

Endi biz barcha kamchiliklarni hal qildik chiziqli tenglamalar, ularni hal qilish mantiqiy.

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan test. O'rganish - qiziqish bilan!)

funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

Onlayn tenglamalarni yechish xizmati har qanday tenglamani echishga yordam beradi. Bizning saytimizdan foydalanib, siz nafaqat tenglamaga javob olasiz, balki ko'rasiz batafsil yechim, ya'ni natijani olish jarayonini bosqichma-bosqich ko'rsatish. Bizning xizmatimiz o'rta maktab o'quvchilari va ularning ota-onalari uchun foydali bo'ladi. Talabalar testlarga, imtihonlarga tayyorlanishlari, bilimlarini sinab ko‘rishlari, ota-onalar esa bolalar tomonidan matematik tenglamalarni yechishlarini nazorat qilishlari mumkin bo‘ladi. Tenglamalarni yechish qobiliyati talabalar uchun majburiy talabdir. Xizmat sizga matematik tenglamalar sohasidagi bilimlaringizni mustaqil ravishda o'rganishga va yaxshilashga yordam beradi. Uning yordamida siz har qanday tenglamani echishingiz mumkin: kvadratik, kubik, irratsional, trigonometrik va boshqalar. onlayn xizmat lekin bebaho, chunki to'g'ri javobdan tashqari, siz har bir tenglamaga batafsil yechim olasiz. Tenglamalarni onlayn yechishning afzalliklari. Bizning veb-saytimizda istalgan tenglamani mutlaqo bepul onlayn tarzda yechishingiz mumkin. Xizmat to'liq avtomatik, kompyuteringizga hech narsa o'rnatishingiz shart emas, faqat ma'lumotlarni kiritishingiz kerak va dastur yechimni chiqaradi. Har qanday hisoblash xatolari yoki matn terish xatolari bundan mustasno. Biz bilan har qanday tenglamani onlayn yechish juda oson, shuning uchun har qanday tenglamalarni yechish uchun saytimizdan foydalaning. Siz faqat ma'lumotlarni kiritishingiz kerak va hisoblash bir necha soniya ichida yakunlanadi. Dastur mustaqil ravishda, inson aralashuvisiz ishlaydi va siz aniq va batafsil javob olasiz. Tenglamani umumiy shaklda yechish. Bunday tenglamada o'zgaruvchan koeffitsientlar va kerakli ildizlar bir-biriga bog'langan. O'zgaruvchining eng yuqori kuchi bunday tenglamaning tartibini belgilaydi. Shunga asoslanib, tenglamalar uchun foydalaning turli usullar va yechimlarni topish uchun teoremalar. Ushbu turdagi tenglamalarni yechish umumiy shaklda kerakli ildizlarni topishni anglatadi. Bizning xizmatimiz hatto eng murakkab algebraik tenglamani ham onlayn tarzda yechish imkonini beradi. Siz tenglamaning umumiy yechimini ham, siz ko'rsatganlar uchun shaxsiy yechimni ham olishingiz mumkin. raqamli qiymatlar koeffitsientlar. Saytda algebraik tenglamani yechish uchun faqat ikkita maydonni to'g'ri to'ldirish kifoya: berilgan tenglamaning chap va o'ng qismlari. O'zgaruvchan koeffitsientli algebraik tenglamalar cheksiz ko'p echimlarga ega va ma'lum shartlarni o'rnatish orqali yechimlar to'plamidan alohidalari tanlanadi. Kvadrat tenglama. Kvadrat tenglama a>0 uchun ax^2+bx+c=0 ko'rinishga ega. Kvadrat shakldagi tenglamalarning yechimi x ning qiymatlarini topishni nazarda tutadi, bunda ax ^ 2 + bx + c \u003d 0 tengligi qondiriladi. Buning uchun diskriminantning qiymati D=b^2-4ac formula orqali topiladi. Agar diskriminant noldan kichik bo'lsa, tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q (ildizlar kompleks sonlar maydonidan), agar u nolga teng bo'lsa, unda tenglama bitta haqiqiy ildizga ega bo'ladi va agar diskriminant noldan katta bo'lsa, u holda tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega, ular quyidagi formula bo'yicha topiladi: D \u003d -b + -sqrt / 2a. Kvadrat tenglamani onlayn tarzda yechish uchun bunday tenglamaning koeffitsientlarini (butun sonlar, kasrlar yoki o'nlik qiymatlar) kiritish kifoya. Agar tenglamada ayirish belgilari mavjud bo'lsa, tenglamaning tegishli shartlari oldiga minus qo'yish kerak. Parametrga, ya'ni tenglama koeffitsientlaridagi o'zgaruvchilarga qarab, kvadrat tenglamani onlayn rejimda ham yechish mumkin. Umumiy echimlarni topish bo'yicha onlayn xizmatimiz bu vazifani mukammal darajada bajaradi. Chiziqli tenglamalar. Chiziqli tenglamalarni (yoki tenglamalar tizimini) echish uchun amalda to'rtta asosiy usul qo'llaniladi. Keling, har bir usulni batafsil tavsiflab beraylik. O'zgartirish usuli. Tenglamalarni almashtirish usuli yordamida yechish uchun bir o‘zgaruvchini boshqalari bilan ifodalash kerak bo‘ladi. Shundan so'ng, ifoda tizimning boshqa tenglamalariga almashtiriladi. Demak, yechim usulining nomi, ya'ni o'zgaruvchi o'rniga uning qolgan o'zgaruvchilar orqali ifodalanishi almashtiriladi. Amalda, usul murakkab hisob-kitoblarni talab qiladi, garchi tushunish oson bo'lsa-da, shuning uchun bunday tenglamani onlayn hal qilish vaqtni tejaydi va hisob-kitoblarni osonlashtiradi. Siz shunchaki tenglamadagi noma'lumlar sonini ko'rsatishingiz va chiziqli tenglamalardan ma'lumotlarni to'ldirishingiz kerak, keyin xizmat hisob-kitobni amalga oshiradi. Gauss usuli. Usul ekvivalent uchburchak sistemaga erishish uchun tizimning eng oddiy o'zgarishlariga asoslanadi. Undan noma'lumlar birma-bir aniqlanadi. Amalda, bunday tenglamani onlayn tarzda yechish talab qilinadi batafsil tavsif, buning yordamida siz chiziqli tenglamalar tizimini echishning Gauss usulini yaxshi o'zlashtirasiz. Chiziqli tenglamalar tizimini to'g'ri formatda yozing va tizimni to'g'ri yechish uchun noma'lumlar sonini hisobga oling. Kramer usuli. Bu usul tizim mavjud bo'lgan hollarda tenglamalar tizimini echadi yagona qaror. Bu erda asosiy matematik operatsiya matritsa determinantlarini hisoblashdir. Cramer usuli bo'yicha tenglamalarni echish onlayn tarzda amalga oshiriladi, siz to'liq va batafsil tavsif bilan darhol natijaga erishasiz. Tizimni koeffitsientlar bilan to'ldirish va noma'lum o'zgaruvchilar sonini tanlash kifoya. matritsa usuli. Bu usul A matritsadagi noma'lumlar koeffitsientlarini, X ustundagi noma'lumlar va B ustunidagi erkin hadlarni yig'ishdan iborat. Shunday qilib, chiziqli tenglamalar tizimi quyidagicha qisqartiriladi. matritsa tenglamasi AxX=B ko'rinishida. Bu tenglama faqat A matritsaning determinanti nolga teng bo'lmasa, yagona yechimga ega bo'ladi, aks holda sistemada yechimlar yo'q yoki cheksiz sonli yechimlar mavjud. Tenglamalarni matritsa usulida yechish teskari A matritsani topishdan iborat.

7-sinf matematika kursida ular birinchi navbatda uchrashadilar ikki o'zgaruvchili tenglamalar, lekin ular faqat ikkita noma’lumli tenglamalar sistemasi kontekstida o‘rganiladi. Shuning uchun u ko'rinmaydi butun chiziq ularni cheklovchi tenglama koeffitsientlari bo'yicha ma'lum shartlar kiritilgan masalalar. Bundan tashqari, “Natural yoki butun sonlardagi tenglamani yechish” kabi masalalarni yechish usullari ham e’tiborga olinmaydi. Materiallardan foydalanish kirish imtihonlarida esa bu kabi muammolarga tez-tez duch kelinmoqda.

Qaysi tenglama ikki o‘zgaruvchili tenglama deb ataladi?

Demak, masalan, 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 yoki xy = 12 tenglamalari ikki o'zgaruvchili tenglamalardir.

2x - y = 1 tenglamasini ko'rib chiqing. U x = 2 va y = 3 da haqiqiy tenglikka aylanadi, shuning uchun bu o'zgaruvchan qiymatlar juftligi ko'rib chiqilayotgan tenglamaning yechimidir.

Shunday qilib, ikkita o'zgaruvchiga ega bo'lgan har qanday tenglamaning yechimi tartiblangan juftliklar to'plamidir (x; y), bu tenglama haqiqiy sonli tenglikka aylanadigan o'zgaruvchilarning qiymatlari.

Ikki noma'lumli tenglama quyidagicha bo'lishi mumkin:

a) bitta yechim bor. Masalan, x 2 + 5y 2 = 0 tenglama yagona yechimga ega (0; 0);

b) bir nechta echimlarga ega. Masalan, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 ning 4 ta yechimi bor: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

ichida) yechimlari yo'q. Masalan, x 2 + y 2 + 1 = 0 tenglamaning yechimlari yo'q;

G) cheksiz ko'p echimlarga ega. Masalan, x + y = 3. Bu tenglamaning yechimlari yig'indisi 3 ga teng bo'lgan sonlar bo'ladi. Bu tenglamaning yechimlari to'plamini (k; 3 - k) shaklida yozish mumkin, bu erda k - har qanday haqiqiy son.

Ikki oʻzgaruvchili tenglamalarni yechishning asosiy usullari ifodalarni omillarga ajratish, toʻliq kvadratni tanlash, kvadrat tenglama xossalaridan foydalanish, ifodalarning chegaralanganligi va baholash usullariga asoslangan usullardir. Tenglama, qoida tariqasida, noma'lumlarni topish tizimini olish mumkin bo'lgan shaklga aylantiriladi.

Faktorizatsiya

1-misol

Tenglamani yeching: xy - 2 = 2x - y.

Qaror.

Faktoring maqsadlari uchun shartlarni guruhlaymiz:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. Har bir qavsdan umumiy omilni chiqaring:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y - 2) = 0. Bizda:

y = 2, x har qanday haqiqiy son yoki x = -1, y har qanday haqiqiy son.

Shunday qilib, javob (x; 2), x € R va (-1; y), y € R shaklidagi barcha juftliklardir.

Nol emas manfiy raqamlar

2-misol

Tenglamani yeching: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Qaror.

Guruhlash:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Endi har bir qavsni kvadratlar ayirmasi formulasi yordamida yig'ish mumkin.

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0.

Ikki manfiy bo'lmagan ifodaning yig'indisi faqat 3x - 2 = 0 va 2y - 3 = 0 bo'lganda nolga teng.

Shunday qilib, x = 2/3 va y = 3/2.

Javob: (2/3; 3/2).

Baholash usuli

3-misol

Tenglamani yeching: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.

Qaror.

Har bir qavs ichida to'liq kvadratni tanlang:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Baholash qavs ichidagi iboralarning ma'nosi.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 va (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, u holda tenglamaning chap tomoni har doim kamida 2 bo'ladi. Tenglik mumkin, agar:

(x + 1) 2 + 1 = 1 va (y - 2) 2 + 2 = 2, shuning uchun x = -1, y = 2.

Javob: (-1; 2).

Ikkinchi darajali ikkita o'zgaruvchili tenglamalarni yechishning yana bir usuli bilan tanishamiz. Bu usul tenglama sifatida qaraladi ba'zi o'zgaruvchilarga nisbatan kvadrat.

4-misol

Tenglamani yeching: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.

Qaror.

Tenglamani x ga nisbatan kvadratik qilib yechamiz. Diskriminantni topamiz:

D = 36 - 4(y - 4√y + 13) = -4y + 16√y - 16 = -4(√y - 2) 2 . Tenglama faqat D = 0 bo'lganda, ya'ni y = 4 bo'lganda yechimga ega bo'ladi. Dastlabki tenglamaga y ning qiymatini almashtiramiz va x = 3 ekanligini topamiz.

Javob: (3; 4).

Ko'pincha ikkita noma'lum tenglamalarda ko'rsatiladi o'zgaruvchilarga cheklovlar.

5-misol

Tenglamani butun sonlarda yeching: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Qaror.

Tenglamani x 2 = -5y 2 + 20x + 2 ko'rinishida qayta yozamiz. Hosil bo'lgan tenglamaning o'ng tomoni 5 ga bo'linganda 2 qoldiqni beradi. Demak, x 2 5 ga bo'linmaydi. Lekin kvadrat 5 ga bo'linmaydigan son 1 yoki 4 ning qoldig'ini beradi. Shunday qilib, tenglik mumkin emas va hech qanday yechim yo'q.

Javob: ildiz yo'q.

6-misol

Tenglamani yeching: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.

Qaror.

Keling, har bir qavsdagi to'liq kvadratlarni tanlaymiz:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Tenglamaning chap tomoni har doim 3 dan katta yoki teng. Tenglik mumkin, agar |x| – 2 = 0 va y + 3 = 0. Shunday qilib, x = ± 2, y = -3.

Javob: (2; -3) va (-2; -3).

7-misol

Tenglamani qanoatlantiruvchi manfiy butun sonlar juftligi (x; y) uchun
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, yig'indini hisoblang (x + y). Eng kichik miqdorga javob bering.

Qaror.

To'liq kvadratlarni tanlang:

(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. X va y butun son bo'lgani uchun ularning kvadratlari ham butun sondir. Ikkita butun sonning kvadratlari yig'indisi 37 ga teng, agar biz 1 + 36 ni qo'shsak, olamiz. Shuning uchun:

(x - y) 2 = 36 va (y + 2) 2 = 1

(x - y) 2 = 1 va (y + 2) 2 = 36.

Bu sistemalarni yechib, x va y manfiy ekanligini hisobga olib, yechimlarni topamiz: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Javob: -17.

Ikki noma'lumli tenglamalarni echishda qiyinchiliklarga duch kelsangiz, umidsizlikka tushmang. Bir oz mashq qilsangiz, har qanday tenglamani o'zlashtira olasiz.

Savollaringiz bormi? Ikki o'zgaruvchili tenglamalarni qanday yechish kerakligini bilmayapsizmi?
Repetitor yordamini olish uchun - ro'yxatdan o'ting.
Birinchi dars bepul!

sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalash bilan, manbaga havola talab qilinadi.

Ko'rsatma

O'zgartirish usuli Bir o'zgaruvchini ifodalang va uni boshqa tenglamaga almashtiring. O'zingiz yoqtirgan har qanday o'zgaruvchini ifodalashingiz mumkin. Masalan, ikkinchi tenglamadan "y" ni ifodalang:
x-y=2 => y=x-2 Keyin hamma narsani birinchi tenglamaga ulang:
2x+(x-2)=10 Xsiz hamma narsani o‘ng tomonga o‘tkazing va hisoblang:
2x+x=10+2
3x=12 Keyin, "x" uchun tenglamaning ikkala tomonini 3 ga bo'ling:
x=4. Shunday qilib, siz "x"ni topdingiz. "da toping. Buning uchun siz "y"ni ifodalagan tenglamaga "x" ni almashtiring:
y=x-2=4-2=2
y=2.

Chek qiling. Buning uchun olingan qiymatlarni tenglamalarga almashtiring:
2*4+2=10
4-2=2
Noma'lum to'g'ri topildi!

Tenglamalarni qanday qo'shish yoki ayirish mumkin Har qanday o'zgaruvchidan bir vaqtning o'zida xalos bo'ling. Bizning holatda, buni "y" bilan qilish osonroq.
"Y" da "+" va ikkinchi "-" bo'lgani uchun siz qo'shimcha operatsiyani bajarishingiz mumkin, ya'ni. Biz chap tomonni chapga va o'ng tomonni o'ngga qo'shamiz:
2x+y+(x-y)=10+2Konvertatsiya qilish:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4 Har qanday tenglamada “x” ni almashtiring va “y”ni toping:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2 1-usul bo'yicha siz to'g'ri topganingizni topishingiz mumkin.

Agar aniq belgilangan o'zgaruvchilar bo'lmasa, tenglamalarni biroz o'zgartirish kerak.
Birinchi tenglamada bizda "2x", ikkinchisida esa "x" bor. Qo'shish yoki "x" kamayishi uchun ikkinchi tenglamani 2 ga ko'paytiring:
x-y=2
2x-2y=4 Keyin birinchi tenglamadan ikkinchi tenglamani ayiring:
2x+y-(2x-2y)=10-4
2x+y-2x+2y=6
3y=6
y \u003d 2 "x ni har qanday tenglamadan ifodalash orqali toping, ya'ni.
x=4

Tegishli videolar

Maslahat 2: Ikki oʻzgaruvchili chiziqli tenglamani qanday yechish mumkin

Tenglama, umumiy shaklda yozilgan ax + by + c \u003d 0, ikkita chiziqli tenglama deyiladi. o'zgaruvchilar. Bunday tenglamaning o'zi cheksiz ko'p echimlarni o'z ichiga oladi, shuning uchun muammolarda u har doim nimadir - boshqa tenglama yoki cheklovchi shartlar bilan to'ldiriladi. Masalaning taqdim etgan shartlariga qarab, ikkita chiziqli tenglamani yeching o'zgaruvchilar kerak turli yo'llar bilan.

Sizga kerak bo'ladi

• - ikki o'zgaruvchili chiziqli tenglama;
• - ikkinchi tenglama yoki qo'shimcha shartlar.

Ko'rsatma

Ikki chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan, uni quyidagicha yeching. Oldin koeffitsientlari bo'lgan tenglamalardan birini tanlang o'zgaruvchilar kichikroq va o'zgaruvchilardan birini ifodalang, masalan, x. Keyin y ni o'z ichiga olgan qiymatni ikkinchi tenglamaga kiriting. Olingan tenglamada faqat bitta y o'zgaruvchisi bo'ladi, y bilan barcha qismlarni chap tomonga, bo'shlarini esa o'ngga o'tkazing. y ni toping va har qanday asl tenglamada almashtiring, x ni toping.

Ikki tenglama sistemasini yechishning yana bir usuli bor. O'zgaruvchilardan birining oldidagi, masalan, x ning oldidagi koeffitsient ikkala tenglamada bir xil bo'lishi uchun tenglamalardan birini raqamga ko'paytiring. Keyin tenglamalardan birini boshqasidan ayiring (agar o'ng tomon 0 bo'lmasa, o'ng tomonni ham xuddi shu tarzda ayirishni unutmang). Siz x o'zgaruvchisi yo'qolganini va faqat bitta y qolganini ko'rasiz. Olingan tenglamani yeching va topilgan y qiymatini har qanday asl tenglikka almashtiring. x toping.

Ikki chiziqli tenglamalar tizimini echishning uchinchi usuli grafikdir. Koordinatalar tizimini chizing va tizimingizda tenglamalari ko'rsatilgan ikkita to'g'ri chiziqning grafiklarini chizing. Buning uchun tenglamaning har qanday ikkita x qiymatini almashtiring va mos keladigan y ni toping - bu chiziqqa tegishli nuqtalarning koordinatalari bo'ladi. Koordinata o'qlari bilan kesishishni topish eng qulaydir - shunchaki x=0 va y=0 qiymatlarini almashtiring. Bu ikki chiziqning kesishish nuqtasining koordinatalari vazifalar bo'ladi.

Agar muammoning shartlarida faqat bitta chiziqli tenglama mavjud bo'lsa, u holda sizga qo'shimcha shartlar beriladi, buning natijasida siz yechim topishingiz mumkin. Ushbu shartlarni topish uchun muammoni diqqat bilan o'qing. Agar a o'zgaruvchilar x va y masofa, tezlik, vazn - x≥0 va y≥0 chegarasini o'rnatishingiz mumkin. X yoki y , olma va boshqalar sonini yashirayotgan bo'lishi mumkin. - u holda qiymatlar faqat bo'lishi mumkin. Agar x o'g'ilning yoshi bo'lsa, u bo'lishi mumkin emasligi aniq otadan katta, shuning uchun uni vazifa sharoitida belgilang.

Manbalar:

• bitta o'zgaruvchili tenglamani qanday yechish mumkin

O'z-o'zidan tenglama uch bilan noma'lum ko'p echimlarga ega, shuning uchun ko'pincha u yana ikkita tenglama yoki shart bilan to'ldiriladi. Dastlabki ma'lumotlarga qarab, qarorning borishi ko'p jihatdan bog'liq bo'ladi.

Sizga kerak bo'ladi

• - uchta noma'lumli uchta tenglamalar tizimi.

Ko'rsatma

Agar uchta tizimdan ikkitasi uchta noma'lumdan ikkitasiga ega bo'lsa, ba'zi o'zgaruvchilarni boshqalar bilan ifodalab ko'ring va ularni tarmoqqa ulang. tenglama uch bilan noma'lum. Bu bilan sizning maqsadingiz uni oddiy holatga aylantirishdir tenglama noma'lum bilan. Agar shunday bo'lsa, keyingi yechim juda oddiy - topilgan qiymatni boshqa tenglamalarga almashtiring va boshqa barcha noma'lumlarni toping.

Ayrim tenglamalar sistemalarini bir tenglamadan boshqa tenglama bilan ayirish mumkin. Bir vaqtning o'zida ikkita noma'lum kamayishi uchun bir yoki o'zgaruvchini ko'paytirish mumkinmi yoki yo'qligini ko'ring. Agar bunday imkoniyat mavjud bo'lsa, undan foydalaning, ehtimol keyingi qaror qiyin bo'lmaydi. Shuni unutmangki, raqamni ko'paytirishda siz chap tomonni ham, o'ng tomonni ham ko'paytirishingiz kerak. Xuddi shunday, tenglamalarni ayirishda, o'ng tomonni ham ayirish kerakligini unutmang.

Agar oldingi usullar yordam bermasa, foydalaning umumiy tarzda uchli har qanday tenglamalarning yechimlari noma'lum. Buning uchun tenglamalarni a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3 shaklida qayta yozing. Endi x (A) da koeffitsientlar matritsasini, noma’lumlar matritsasini (X) va erkin (B) matritsasini tuzing. E'tibor bering, koeffitsientlar matritsasini noma'lumlar matritsasiga ko'paytirsangiz, siz matritsaga ega bo'lasiz, bo'sh a'zolar matritsasi, ya'ni A * X \u003d B.

ni topgandan so'ng (-1) darajali A matritsasini toping, u nolga teng bo'lmasligi kerakligiga e'tibor bering. Shundan so'ng, hosil bo'lgan matritsani B matritsasiga ko'paytiring, natijada siz barcha qiymatlarni ko'rsatadigan kerakli X matritsasini olasiz.

Kramer usuli yordamida uchta tenglamalar sistemasining yechimini ham topishingiz mumkin. Buning uchun sistemaning matritsasiga mos keladigan uchinchi tartibli determinant ∆ topilsin. Keyin ketma-ket yana uchta determinantni toping ∆1, ∆2 va ∆3, tegishli ustunlar qiymatlari o'rniga erkin shartlarning qiymatlarini qo'ying. Endi x toping: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Manbalar:

• uchta noma'lumli tenglamalar yechimlari

Tenglamalar tizimini yechish murakkab va qiziqarli. Tizim qanchalik murakkab bo'lsa, uni hal qilish shunchalik qiziqarli bo'ladi. Ko'pincha matematikada o'rta maktab ikkita noma'lumli tenglamalar tizimi mavjud, ammo oliy matematikada ko'proq o'zgaruvchilar bo'lishi mumkin. Tizimlarni bir necha usul bilan hal qilish mumkin.

Ko'rsatma

Tenglamalar tizimini yechishning eng keng tarqalgan usuli - almashtirish. Buning uchun siz bir o'zgaruvchini boshqasi orqali ifodalashingiz va uni ikkinchisiga almashtirishingiz kerak tenglama tizimlari, shunday olib keladi tenglama bitta o'zgaruvchiga. Masalan, tenglamalar berilgan: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

Ikkinchi ifodadagi o'zgaruvchilardan birini ifodalash qulay, qolgan hamma narsani ifodaning o'ng tomoniga o'tkazish, koeffitsient belgisini o'zgartirishni unutmang: x = 3-y.

Biz qavslarni ochamiz: 6-2y-3y-1 \u003d 0; -5y + 5 \u003d 0; y \u003d 1. Olingan y qiymati quyidagi ifoda bilan almashtiriladi: x \u003d 3-y; x \u003d 3-1; x \u003d 2.

Birinchi ifodada barcha a'zolar 2 dan iborat bo'lib, ko'paytirishning distributiv xususiyatiga qavsdan 2 tani olish mumkin: 2 * (2x-y-3) = 0. Endi ifodaning ikkala qismini ham shu raqamga qisqartirish mumkin va keyin y ni ifodalash mumkin, chunki u uchun modul koeffitsienti birga teng: -y \u003d 3-2x yoki y \u003d 2x-3.

Xuddi birinchi holatda bo'lgani kabi, biz bu ifodani ikkinchisiga almashtiramiz tenglama va quyidagini olamiz: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2. Olingan qiymatni ifodaga almashtiring: y=2x -3;y=4-3=1.

Ko'ramizki, y koeffitsienti qiymat jihatidan bir xil, ammo belgisi jihatidan farq qiladi, shuning uchun agar biz ushbu tenglamalarni qo'shsak, biz y dan butunlay xalos bo'lamiz: 4x + 3x-2y + 2y-6-8 \u003d 0; 7x -14 \u003d 0;x=2. Tizimning ikkita tenglamasidan istalganiga x qiymatini almashtiramiz va y=1 ni olamiz.

Tegishli videolar

Bisquare tenglama o'zida aks ettiradi tenglama to'rtinchi daraja umumiy shakl ax^4 + bx^2 + c = 0 ifodasi bilan ifodalanadi. Uning yechimi noma'lumlarni almashtirish usulidan foydalanishga asoslangan. Bu holda x ^ 2 boshqa o'zgaruvchi bilan almashtiriladi. Shunday qilib, natija oddiy kvadratdir tenglama, bu hal qilinishi kerak.

Ko'rsatma

Kvadratni yeching tenglama almashtirish natijasida yuzaga keladi. Buning uchun birinchi navbatda qiymatni formulaga muvofiq hisoblang: D = b^2 ? 4ac. Bu holda a, b, c o'zgaruvchilar tenglamamizning koeffitsientlari hisoblanadi.

Bikvadrat tenglamaning ildizlarini toping. Buning uchun olingan eritmalarning kvadrat ildizini oling. Agar bitta qaror bo'lsa, ikkitasi bo'ladi - ijobiy va salbiy ma'no kvadrat ildiz. Agar ikkita yechim mavjud bo'lsa, bikvadrat tenglama to'rtta ildizga ega bo'lar edi.

Tegishli videolar

Bittasi klassik usullar chiziqli tenglamalar tizimini yechish Gauss usulidir. Bu o'zgaruvchilarni ketma-ket chiqarib tashlashdan iborat bo'lib, tenglamalar tizimi oddiy o'zgartirishlar yordamida bosqichli tizimga aylantirilganda, ulardan barcha o'zgaruvchilar oxirgisidan boshlab ketma-ket topiladi.

Ko'rsatma

Birinchidan, tenglamalar tizimini barcha noma'lumlar qat'iy belgilangan tartibda bo'ladigan shaklga keltiring. Masalan, barcha noma’lum X lar har bir satrda birinchi bo‘lib, barcha Y lar X dan keyin, barcha Z lar Y dan keyin keladi va hokazo. Har bir tenglamaning o'ng tomonida noma'lumlar bo'lmasligi kerak. Har bir noma'lumning oldidagi koeffitsientlarni, shuningdek, har bir tenglamaning o'ng tomonidagi koeffitsientlarni aqliy ravishda aniqlang.

Ushbu videoda biz bir xil algoritm yordamida echiladigan chiziqli tenglamalarning butun to'plamini tahlil qilamiz - shuning uchun ular eng oddiy deb ataladi.

Boshlash uchun, keling, aniqlaymiz: chiziqli tenglama nima va ulardan qaysi birini eng oddiy deb atash kerak?

Chiziqli tenglama - bu faqat bitta o'zgaruvchiga ega bo'lgan va faqat birinchi darajali tenglama.

Eng oddiy tenglama qurilishni anglatadi:

Boshqa barcha chiziqli tenglamalar algoritm yordamida eng oddiy tenglamalarga qisqartiriladi:

1. Qavslarni oching, agar mavjud bo'lsa;
2. Oʻzgaruvchisi boʻlgan shartlarni teng belgisining bir tomoniga, oʻzgaruvchisi boʻlmagan shartlarni esa boshqa tomoniga koʻchiring;
3. Tenglik belgisining chap va o'ng tomoniga o'xshash atamalarni keltiring;
4. Olingan tenglamani $x$ o'zgaruvchining koeffitsientiga bo'ling.

Albatta, bu algoritm har doim ham yordam bermaydi. Gap shundaki, ba'zida bu hiyla-nayranglardan so'ng $x$ o'zgaruvchisining koeffitsienti nolga teng bo'lib chiqadi. Bunday holda, ikkita variant mavjud:

1. Tenglama umuman yechimga ega emas. Misol uchun, siz $0\cdot x=8$ kabi biror narsa olganingizda, ya'ni. chap tomonda nol, o'ngda esa nolga teng bo'lmagan raqam. Quyidagi videoda biz bu holatning mumkin bo'lgan bir nechta sabablarini ko'rib chiqamiz.
2. Yechim barcha raqamlardir. Bu mumkin bo'lgan yagona holat tenglama $0\cdot x=0$ konstruktsiyasiga tushirilganda bo'ladi. Qaysi $x$ o'rniga qo'ymasak ham, "nol nolga teng", ya'ni shunday bo'lishi mantiqan to'g'ri. to'g'ri raqamli tenglik.

Va endi keling, bularning barchasi haqiqiy muammolar misolida qanday ishlashini ko'rib chiqaylik.

Tenglamalarni yechishga misollar

Bugun biz chiziqli tenglamalar bilan shug'ullanamiz va faqat eng oddiylari. Umuman olganda, chiziqli tenglama aynan bitta o'zgaruvchini o'z ichiga olgan har qanday tenglikni anglatadi va u faqat birinchi darajaga boradi.

Bunday inshootlar taxminan bir xil tarzda hal qilinadi:

1. Avvalo, agar mavjud bo'lsa, qavslarni ochishingiz kerak (oxirgi misolimizda bo'lgani kabi);
2. Keyin shunga o'xshash narsalarni olib keling
3. Nihoyat, o'zgaruvchini ajratib oling, ya'ni. o'zgaruvchi bilan bog'liq bo'lgan hamma narsa - u mavjud bo'lgan atamalar bir tomonga, usiz qolgan hamma narsa boshqa tomonga o'tadi.

Keyin, qoida tariqasida, hosil bo'lgan tenglikning har bir tomoniga o'xshash narsalarni olib kelishingiz kerak va shundan keyin faqat "x" koeffitsientiga bo'linish qoladi va biz yakuniy javobni olamiz.

Nazariy jihatdan, bu yoqimli va sodda ko'rinadi, ammo amalda hatto tajribali o'rta maktab o'quvchilari ham juda oddiy chiziqli tenglamalarda haqoratli xatolarga yo'l qo'yishlari mumkin. Odatda, qavslarni ochishda yoki "ortiqcha" va "minuslar" ni hisoblashda xatolarga yo'l qo'yiladi.

Bundan tashqari, shunday bo'ladiki, chiziqli tenglamada umuman yechim yo'q yoki yechim butun son chizig'i bo'ladi, ya'ni. har qanday raqam. Ushbu nozikliklarni bugungi darsimizda tahlil qilamiz. Lekin siz allaqachon tushunganingizdek, biz eng ko'pdan boshlaymiz oddiy vazifalar.

Oddiy chiziqli tenglamalarni yechish sxemasi

Boshlash uchun yana bir bor eng oddiy chiziqli tenglamalarni echishning butun sxemasini yozishga ijozat bering:

1. Agar mavjud bo'lsa, qavslarni kengaytiring.
2. Yakka o'zgaruvchilar, ya'ni. "x" ni o'z ichiga olgan hamma narsa bir tomonga, "x"siz esa boshqa tomonga o'tkaziladi.
3. Biz shunga o'xshash shartlarni taqdim etamiz.
4. Biz hamma narsani "x" koeffitsientiga ajratamiz.

Albatta, bu sxema har doim ham ishlamaydi, u ma'lum nozikliklar va fokuslarga ega va endi biz ular bilan tanishamiz.

Oddiy chiziqli tenglamalarning haqiqiy misollarini yechish

№1 vazifa

Birinchi bosqichda bizdan qavslarni ochish talab qilinadi. Ammo ular bu misolda yo'q, shuning uchun biz bu bosqichni o'tkazib yuboramiz. Ikkinchi bosqichda biz o'zgaruvchilarni ajratib olishimiz kerak. Eslatma: gaplashamiz faqat individual shartlar haqida. Keling, yozamiz:

Biz chap va o'ngda shunga o'xshash shartlarni beramiz, lekin bu erda allaqachon qilingan. Shuning uchun biz to'rtinchi bosqichga o'tamiz: omilga bo'ling:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Mana biz javob oldik.

Vazifa №2

Ushbu vazifada biz qavslarni kuzatishimiz mumkin, shuning uchun ularni kengaytiramiz:

Chapda ham, o'ngda ham biz taxminan bir xil qurilishni ko'ramiz, lekin keling, algoritmga muvofiq harakat qilaylik, ya'ni. sekvestr o'zgaruvchilari:

Mana bir nechtasi:

Bu qanday ildizlarda ishlaydi? Javob: har qanday uchun. Shuning uchun biz $x$ har qanday raqam ekanligini yozishimiz mumkin.

Vazifa №3

Uchinchi chiziqli tenglama allaqachon qiziqroq:

\[\chap(6-x \o'ng)+\chap(12+x \o'ng)-\chap(3-2x \o'ng)=15\]

Bu erda bir nechta qavslar bor, lekin ular hech narsa bilan ko'paytirilmaydi, ular faqat ularning oldida turishadi turli belgilar. Keling, ularni ajratamiz:

Bizga ma'lum bo'lgan ikkinchi bosqichni bajaramiz:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Keling, hisoblab chiqamiz:

Biz oxirgi bosqichni bajaramiz - biz hamma narsani "x" koeffitsientiga ajratamiz:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Chiziqli tenglamalarni yechishda eslash kerak bo'lgan narsalar

Agar biz juda oddiy vazifalarni e'tiborsiz qoldirsak, men quyidagilarni aytmoqchiman:

• Yuqorida aytganimdek, har bir chiziqli tenglamaning yechimi yo'q - ba'zida oddiygina ildizlar yo'q;
• Ildizlar bo'lsa ham, ularning orasiga nol kirishi mumkin - buning hech qanday yomon joyi yo'q.

Nol qolganlari bilan bir xil raqam, siz uni qandaydir kamsitmasligingiz kerak yoki agar siz nolga ega bo'lsangiz, unda siz noto'g'ri ish qildingiz deb o'ylamasligingiz kerak.

Yana bir xususiyat qavslarni kengaytirish bilan bog'liq. E'tibor bering: ularning oldida "minus" bo'lsa, biz uni olib tashlaymiz, ammo qavs ichida biz belgilarni o'zgartiramiz qarama-qarshi. Va keyin biz uni standart algoritmlarga muvofiq ochishimiz mumkin: biz yuqoridagi hisob-kitoblarda ko'rgan narsamizni olamiz.

Buni tushunish oddiy fakt o'rta maktabda ahmoqona va ranjituvchi xatolarga yo'l qo'yishdan saqlaydi, agar bunday ishlarni qilish odatiy hol sifatida qabul qilinadi.

Murakkab chiziqli tenglamalarni yechish

Keling, murakkabroq tenglamalarga o'tamiz. Endi konstruktsiyalar murakkablashadi va har xil o'zgarishlarni amalga oshirishda kvadrat funktsiya paydo bo'ladi. Biroq, bundan qo'rqmaslik kerak, chunki agar muallifning niyatiga ko'ra, chiziqli tenglamani yechsak, transformatsiya jarayonida kvadrat funktsiyani o'z ichiga olgan barcha monomiallar albatta kamayadi.

№1 misol

Shubhasiz, birinchi qadam qavslarni ochishdir. Buni juda ehtiyotkorlik bilan qilaylik:

Endi maxfiylikni olaylik:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Mana bir nechtasi:

Shubhasiz, bu tenglamaning yechimlari yo'q, shuning uchun javobda biz quyidagicha yozamiz:

\[\variety\]

yoki ildizlari yo'q.

№2 misol

Biz bir xil qadamlarni bajaramiz. Birinchi qadam:

Keling, o'zgaruvchisi bo'lgan hamma narsani chapga, usiz esa o'ngga siljitamiz:

Mana bir nechtasi:

Shubhasiz, bu chiziqli tenglamaning yechimi yo'q, shuning uchun biz uni quyidagicha yozamiz:

\[\varnothing\],

yoki ildizlari yo'q.

Yechimning nuanslari

Ikkala tenglama ham to'liq yechilgan. Ushbu ikkita ifoda misolida biz yana bir bor amin bo'ldikki, hatto eng oddiy chiziqli tenglamalarda ham hamma narsa unchalik oddiy bo'lmasligi mumkin: bitta yoki hech biri yoki cheksiz ko'p bo'lishi mumkin. Bizning holatlarimizda biz ikkita tenglamani ko'rib chiqdik, ikkalasida ham ildiz yo'q.

Lekin men sizning e'tiboringizni yana bir faktga qaratmoqchiman: qavslar bilan qanday ishlash va ularning oldida minus belgisi bo'lsa, ularni qanday ochish kerak. Ushbu ifodani ko'rib chiqing:

Ochishdan oldin hamma narsani "x" ga ko'paytirish kerak. E'tibor bering: ko'paytiring har bir alohida atama. Ichkarida ikkita atama mavjud - mos ravishda ikkita atama va ko'paytiriladi.

Va bu oddiy ko'rinadigan, ammo juda muhim va xavfli o'zgarishlar tugagandan keyingina, qavsni undan keyin minus belgisi borligi nuqtai nazaridan ochish mumkin. Ha, ha: faqat hozir, o'zgartirishlar amalga oshirilgandan so'ng, biz qavslar oldida minus belgisi borligini eslaymiz, ya'ni pastdagi hamma narsa faqat belgilarni o'zgartiradi. Shu bilan birga, qavslarning o'zi yo'qoladi va eng muhimi, oldingi "minus" ham yo'qoladi.

Ikkinchi tenglama bilan ham xuddi shunday qilamiz:

Men bu mayda-chuyda, arzimasdek ko‘ringan faktlarga bejiz e’tibor qaratganim yo‘q. Chunki tenglamalarni yechish har doim elementar o‘zgarishlar ketma-ketligi bo‘lib, bunda oddiy harakatlarni aniq va malakali bajara olmaslik yuqori sinf o‘quvchilarining mening oldimga kelib, yana shunday oddiy tenglamalarni yechishni o‘rganishiga olib keladi.

Albatta, siz bu ko'nikmalarni avtomatizmga aylantiradigan kun keladi. Endi har safar juda ko'p o'zgarishlarni amalga oshirishingiz shart emas, siz hamma narsani bir qatorga yozasiz. Ammo endigina o'rganayotganingizda, har bir harakatni alohida yozishingiz kerak.

Bundan ham murakkab chiziqli tenglamalarni yechish

Biz hozir hal qilmoqchi bo'lgan narsani eng oddiy vazifa deb atash qiyin, ammo ma'no o'zgarishsiz qolmoqda.

№1 vazifa

\[\left(7x+1 \o'ng)\left(3x-1 \o'ng)-21((x)^(2))=3\]

Birinchi qismdagi barcha elementlarni ko'paytiramiz:

Keling, chekinamiz:

Mana bir nechtasi:

Keling, oxirgi qadamni bajaramiz:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Mana bizning yakuniy javobimiz. Va yechish jarayonida biz kvadrat funktsiyaga ega koeffitsientlarga ega bo'lganimizga qaramay, ular o'zaro yo'q qilindi, bu esa tenglamani kvadrat emas, balki aniq chiziqli qiladi.

Vazifa №2

\[\chap(1-4x \o'ng)\chap(1-3x \o'ng)=6x\chap(2x-1 \o'ng)\]

Keling, birinchi qadamni ehtiyotkorlik bilan bajaramiz: birinchi qavsdagi har bir elementni ikkinchisidagi har bir elementga ko'paytiring. O'zgarishlardan keyin jami to'rtta yangi atama olinishi kerak:

Va endi har bir muddatda ko'paytirishni diqqat bilan bajaring:

Keling, "x" bilan atamalarni chapga va bo'lmagan holda - o'ngga o'tkazamiz:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Mana shunga o'xshash atamalar:

Biz aniq javob oldik.

Yechimning nuanslari

Bu ikki tenglama haqida eng muhim eslatma quyidagicha: biz undan kattaroq atama bo'lgan qavslarni ko'paytirishni boshlashimiz bilanoq, bu quyidagicha amalga oshiriladi. keyingi qoida: birinchidan birinchi hadni olamiz va ikkinchidan har bir element bilan ko'paytiramiz; keyin birinchi elementdan ikkinchi elementni olamiz va xuddi shunday ikkinchi elementning har bir elementiga ko'paytiramiz. Natijada biz to'rtta shartni olamiz.

Algebraik yig'indi haqida

Oxirgi misol bilan men o'quvchilarga algebraik yig'indi nima ekanligini eslatib o'tmoqchiman. Klassik matematikada $1-7$ deganda biz oddiy qurilishni nazarda tutamiz: bittadan yettini ayirib olamiz. Algebrada bu bilan biz quyidagilarni nazarda tutamiz: “bir” soniga yana bir son, ya’ni “minus yetti” qo‘shamiz. Bu algebraik yig'indi odatdagi arifmetik yig'indidan farq qiladi.

Barcha o'zgarishlarni, har bir qo'shish va ko'paytirishni amalga oshirayotganda, yuqorida tavsiflanganlarga o'xshash konstruktsiyalarni ko'rishni boshlaysiz, polinomlar va tenglamalar bilan ishlashda algebrada hech qanday muammo bo'lmaydi.

Xulosa qilib aytganda, keling, biz ko'rib chiqqanlardan ham murakkabroq bo'lgan yana bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik va ularni hal qilish uchun biz standart algoritmimizni biroz kengaytirishimiz kerak.

Kasrli tenglamalarni yechish

Bunday vazifalarni hal qilish uchun bizning algoritmimizga yana bir qadam qo'shilishi kerak. Lekin birinchi navbatda algoritmimizni eslatib o'taman:

1. Ochiq qavslar.
2. Alohida o'zgaruvchilar.
3. Shunga o'xshash narsalarni keltiring.
4. Koeffitsientga bo'ling.

Afsuski, bu ajoyib algoritm, barcha samaradorligiga qaramay, oldimizda kasrlar mavjud bo'lganda, unchalik mos kelmaydi. Va biz quyida ko'rib chiqamiz, biz ikkala tenglamada chap va o'ng tomonda kasrga egamiz.

Bu holatda qanday ishlash kerak? Ha, bu juda oddiy! Buni amalga oshirish uchun siz algoritmga yana bir qadam qo'shishingiz kerak, bu birinchi harakatdan oldin ham, undan keyin ham bajarilishi mumkin, ya'ni kasrlardan xalos bo'lish. Shunday qilib, algoritm quyidagicha bo'ladi:

1. Kasrlardan xalos bo'ling.
2. Ochiq qavslar.
3. Alohida o'zgaruvchilar.
4. Shunga o'xshash narsalarni keltiring.
5. Koeffitsientga bo'ling.

"Kasrlardan xalos bo'lish" nimani anglatadi? Va nima uchun buni birinchi standart qadamdan keyin ham, oldin ham qilish mumkin? Aslida, bizning holatlarimizda, barcha kasrlar maxraj jihatidan sonli, ya'ni. hamma joyda maxraj shunchaki sondir. Shuning uchun, agar biz tenglamaning ikkala qismini ushbu raqamga ko'paytirsak, biz kasrlardan xalos bo'lamiz.

№1 misol

\[\frac(\left(2x+1 \o'ng)\left(2x-3 \o'ng))(4)=((x)^(2))-1\]

Keling, bu tenglamadagi kasrlardan xalos bo'laylik:

\[\frac(\left(2x+1 \o'ng)\left(2x-3 \o'ng)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \o'ng)\cdot 4\]

E'tibor bering: hamma narsa bir marta "to'rt" ga ko'paytiriladi, ya'ni. Agar sizda ikkita qavs borligi ularning har birini "to'rt" ga ko'paytirishingiz kerak degani emas. Keling, yozamiz:

\[\left(2x+1 \o'ng)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \o'ng)\cdot 4\]

Endi uni ochamiz:

Biz o'zgaruvchini ajratishni amalga oshiramiz:

Biz shunga o'xshash atamalarni qisqartiramiz:

\[-4x=-1\chap| :\left(-4 \o'ng) \o'ng.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Biz yakuniy yechimni oldik, ikkinchi tenglamaga o'tamiz.

№2 misol

\[\frac(\left(1-x \o'ng)\left(1+5x \o'ng))(5)+(x)^(2))=1\]

Bu erda biz bir xil harakatlarni bajaramiz:

\[\frac(\left(1-x \o'ng)\left(1+5x \o'ng)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Muammo hal qilindi.

Aslida, men bugun aytmoqchi bo'lgan narsam shu edi.

Asosiy fikrlar

Asosiy topilmalar quyidagilardan iborat:

• Chiziqli tenglamalarni yechish algoritmini bilish.
• Qavslarni ochish qobiliyati.
• Agar biror joyda kvadrat funktsiyalaringiz bo'lsa, tashvishlanmang, ehtimol keyingi o'zgarishlar jarayonida ular kamayadi.
• Chiziqli tenglamalardagi ildizlar, hatto eng oddiylari ham uch xil bo'ladi: bitta ildiz, butun son chizig'i ildiz, umuman ildiz yo'q.

Umid qilamanki, bu dars sizga barcha matematikani qo'shimcha tushunish uchun oddiy, ammo juda muhim mavzuni o'zlashtirishga yordam beradi. Agar biror narsa aniq bo'lmasa, saytga o'ting, u erda keltirilgan misollarni hal qiling. Bizni kuzatib boring, sizni yana ko'plab qiziqarli narsalar kutmoqda!