Agar burchak o'tkir bo'lsa, u holda koeffitsient. Funksiya grafigiga teginish tenglamasi. Keng qamrovli qoʻllanma (2019)
Oldingi bobda tekislikda ma'lum bir koordinatalar tizimini tanlash orqali ko'rib chiqilayotgan chiziqning nuqtalarini tavsiflovchi geometrik xossalarni joriy koordinatalar orasidagi tenglama orqali analitik tarzda ifodalashimiz mumkinligi ko'rsatilgan edi. Shunday qilib, biz chiziq tenglamasini olamiz. Ushbu bobda to'g'ri chiziqlar tenglamalari ko'rib chiqiladi.
Dekart koordinatalarida to'g'ri chiziq tenglamasini shakllantirish uchun uning koordinata o'qlariga nisbatan o'rnini aniqlaydigan shartlarni qandaydir tarzda o'rnatish kerak.
Birinchidan, to'g'ri chiziqning tekislikdagi holatini tavsiflovchi kattaliklardan biri bo'lgan to'g'ri chiziqning qiyaligi tushunchasini kiritamiz.
Chiziqning Ox o'qiga og'ish burchagi deb Ox o'qi berilgan chiziqqa to'g'ri keladigan (yoki unga parallel bo'lib chiqadi) aylantirilishi kerak bo'lgan burchak deb ataymiz. Odatdagidek, biz belgini hisobga olgan holda burchakni ko'rib chiqamiz (belgi aylanish yo'nalishi bilan belgilanadi: soat sohasi farqli o'laroq yoki soat yo'nalishi bo'yicha). Ox o'qining 180 ° burchakka qo'shimcha aylanishi uni yana to'g'ri chiziq bilan birlashtirganligi sababli, to'g'ri chiziqning o'qga moyillik burchagi noaniq tarzda tanlanishi mumkin (ko'p martagacha).
Bu burchakning tangensi yagona aniqlanadi (chunki burchakni ga o'zgartirish uning tangensini o'zgartirmaydi).
To'g'ri chiziqning x o'qiga moyillik burchagi tangensi to'g'ri chiziqning qiyaligi deyiladi.
Nishab to'g'ri chiziqning yo'nalishini xarakterlaydi (bu erda biz to'g'ri chiziqning ikki o'zaro qarama-qarshi yo'nalishini farqlamaymiz). Nishab tekis bo'lsa nol, keyin chiziq x o'qiga parallel bo'ladi. Ijobiy qiyalik bilan to'g'ri chiziqning x o'qiga moyillik burchagi o'tkir bo'ladi (biz bu erda eng kichik deb hisoblaymiz. ijobiy qiymat egilish burchagi) (39-rasm); bu holda, qiyalik qanchalik katta bo'lsa, uning Ox o'qiga moyillik burchagi shunchalik katta bo'ladi. Agar qiyalik manfiy bo'lsa, u holda to'g'ri chiziqning x o'qiga og'ish burchagi to'g'ri bo'ladi (40-rasm). E'tibor bering, x o'qiga perpendikulyar to'g'ri chiziq qiyalikka ega emas (burchakning tangensi mavjud emas).
y \u003d f (x) chizig'i koordinatalari (x0; f (x0)) bo'lgan nuqtadan o'tib, f "(x0) qiyaligiga ega bo'lsa, x0 nuqtasida rasmda ko'rsatilgan grafikga teginish bo'ladi. Toping. bunday koeffitsient, tangensning xususiyatlarini bilish qiyin emas.
Sizga kerak bo'ladi
- - matematik ma'lumotnoma;
- - oddiy qalam;
- - daftar;
- - transportyor;
- - kompas;
- - qalam.
Ko'rsatma
Agar f‘(x0) qiymati mavjud bo‘lmasa, u holda yo tangens yo‘q, yoki u vertikal ravishda o‘tadi. Bundan kelib chiqqan holda, funksiya hosilasining x0 nuqtada mavjudligi (x0, f(x0)) nuqtada funktsiya grafigi bilan aloqada bo'lgan vertikal bo'lmagan tangensning mavjudligi bilan bog'liq. Bu holda tangensning qiyaligi f "(x0) ga teng bo'ladi. Shunday qilib, aniq bo'ladi. geometrik ma'no hosila - tangensning qiyaligini hisoblash.
Funksiya grafigiga x1, x2 va x3 nuqtalarda tegishi mumkin boʻlgan qoʻshimcha tangenslarni chizing, shuningdek, bu teglar hosil qilgan burchaklarni abscissa oʻqi bilan belgilang (bunday burchak oʻqdan musbat yoʻnalishda hisoblanadi). tangens chizig'i). Masalan, burchak, ya'ni a1 o'tkir bo'ladi, ikkinchisi (a2) o'tmas, uchinchisi (a3) nolga teng, chunki tangens chiziq OX o'qiga parallel. Bunda o'tmas burchakning tangensi manfiy, o'tkir burchakning tangensi musbat, tg0 uchun esa natija nolga teng bo'ladi.
Eslatma
Tangens hosil qilgan burchakni to'g'ri aniqlang. Buning uchun transport vositasidan foydalaning.
Ikki qiya chiziq, agar ularning qiyaliklari bir-biriga teng bo'lsa, parallel bo'ladi; perpendikulyar, agar bu tangenslarning qiyaliklarining mahsuloti -1 bo'lsa.
Manbalar:
- Funksiya grafigiga teginish
Kosinus, xuddi sinus kabi, "to'g'ridan-to'g'ri" trigonometrik funktsiyalar deb ataladi. Tangens (kotangens bilan birga) "hosilalar" deb ataladigan boshqa juftlikka qo'shiladi. Ushbu funktsiyalarning bir nechta ta'riflari mavjud bo'lib, ular tomonidan berilgan tangensni topish mumkin ma'lum qiymat bir xil qiymatdagi kosinus.
Ko'rsatma
Qiymatga ko'tarilgan berilgan burchakning kosinusu bo'yicha birlikdan qismni ayiring va natijadan kvadrat ildizni chiqaring - bu burchakdan tangensning kosinasi bilan ifodalangan qiymati bo'ladi: tg (a) \u003d √ (1-1 / (cos (a)) ²) . Shu bilan birga, formulada kosinus kasrning maxrajida ekanligiga e'tibor bering. Nolga bo'linishning mumkin emasligi 90 ° ga teng burchaklar uchun ushbu ifodadan foydalanishni istisno qiladi, shuningdek, bu qiymatdan 180 ° (270 °, 450 °, -90 ° va boshqalar) ko'paytmalari bilan farqlanadi.
Shuningdek bor muqobil yo'l kosinusning ma'lum qiymatidan tangensni hisoblash. Boshqa foydalanishda hech qanday cheklov bo'lmasa, foydalanish mumkin. Ushbu usulni amalga oshirish uchun birinchi navbatda ma'lum kosinus qiymatidan burchak qiymatini aniqlang - bu arkkosin funktsiyasi yordamida amalga oshirilishi mumkin. Keyin olingan qiymatning burchagi uchun tangensni hisoblang. Umuman olganda, bu algoritmni quyidagicha yozish mumkin: tg(a)=tg(arccos(cos(a))).
To'g'ri uchburchakning o'tkir burchaklari orqali kosinus va tangens ta'rifidan foydalangan holda yana bir ekzotik variant mavjud. Ushbu ta'rifdagi kosinus ko'rib chiqilayotgan burchakka ulashgan oyoq uzunligining gipotenuzaning uzunligiga nisbatiga mos keladi. Kosinusning qiymatini bilib, unga mos keladigan ushbu ikki tomonning uzunligini tanlashingiz mumkin. Misol uchun, agar cos(a)=0,5 bo'lsa, u holda qo'shni 10 sm, gipotenuzani esa 20 sm ga teng bo'lishi mumkin. Bu erda aniq raqamlar muhim emas - siz bir xil qiymatga ega bo'lgan har qanday qiymatlar bilan bir xil va to'g'ri olasiz. Keyin, Pifagor teoremasidan foydalanib, etishmayotgan tomonning uzunligini aniqlang - qarama-qarshi oyoq. U teng bo'ladi kvadrat ildiz kvadrat gipotenuzaning uzunliklari va ma'lum bo'lgan oyog'i orasidagi farqdan: √(20²-10²)=√300. Ta'rifga ko'ra, tangens qarama-qarshi va qo'shni oyoqlarning uzunliklari nisbatiga mos keladi (√300/10) - uni hisoblang va kosinusning klassik ta'rifi yordamida topilgan tangens qiymatini oling.
Manbalar:
- tangens formula orqali kosinus
Bittasi trigonometrik funktsiyalar, ko'pincha tg harflari bilan belgilanadi, garchi tan belgilari ham mavjud. Eng oson yo'li - tangensni sinusning nisbati sifatida ifodalash burchak uning kosinusiga. Bu g'alati davriy va uzluksiz funktsiya bo'lib, uning har bir tsikli soniga teng Pi va tanaffus nuqtasi bu raqamning yarmiga to'g'ri keladi.
Matematikada toʻgʻri chiziqning Dekart koordinata tekisligidagi oʻrnini tavsiflovchi parametrlardan biri bu toʻgʻri chiziqning qiyaligidir. Bu parametr to'g'ri chiziqning x o'qiga qiyaligini tavsiflaydi. Nishabni qanday topishni tushunish uchun birinchi navbatda XY koordinata tizimidagi to'g'ri chiziq tenglamasining umumiy shaklini eslang.
Umuman olganda, har qanday chiziq ax+by=c ifodasi bilan ifodalanishi mumkin, bunda a, b va c ixtiyoriy haqiqiy sonlar, lekin a 2 + b 2 ≠ 0 bo‘lishi shart.
Oddiy o'zgartirishlar yordamida bunday tenglamani y=kx+d ko'rinishga keltirish mumkin, bunda k va d haqiqiy sonlardir. K soni qiyalik bo‘lib, bunday turdagi to‘g‘ri chiziq tenglamasi qiyalikli tenglama deyiladi. Ma’lum bo‘lishicha, qiyalikni topish uchun asl tenglamani yuqoridagi ko‘rinishga keltirish kifoya. Yaxshiroq tushunish uchun aniq bir misolni ko'rib chiqing:
Topshiriq: 36x - 18y = 108 tenglama bilan berilgan chiziqning qiyaligini toping.
Yechish: Dastlabki tenglamani o‘zgartiramiz.
Javob: Bu chiziqning kerakli qiyaligi 2 ga teng.
Agar tenglamani o'zgartirish jarayonida biz x = const tipidagi ifodani olgan bo'lsak va buning natijasida y ni x ning funksiyasi sifatida ifodalay olmasak, u holda biz X o'qiga parallel bo'lgan to'g'ri chiziq bilan ishlaymiz. bunday to'g'ri chiziq cheksizlikka teng.
Y = const kabi tenglama bilan ifodalangan chiziqlar uchun qiyalik nolga teng. Bu x o'qiga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqlar uchun xosdir. Misol uchun:
Topshiriq: 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4 tenglama bilan berilgan chiziqning qiyaligini toping.
Yechish: Asl tenglamani umumiy shaklga keltiramiz
24x + 12y - 12y + 28 = 4
Olingan ifodadan y ni ifodalash mumkin emas, shuning uchun bu chiziqning qiyaligi cheksizlikka teng va chiziqning o'zi Y o'qiga parallel bo'ladi.
geometrik ma'no
Yaxshiroq tushunish uchun rasmga qaraylik:
Rasmda y = kx turdagi funksiya grafigini ko'ramiz. Soddalashtirish uchun c = 0 koeffitsientini olamiz. OAB uchburchakda BA tomonining AO ga nisbati qiyalik k ga teng bo'ladi. Shu bilan birga, VA/AO nisbati o'tkir burchakning a in tangensi hisoblanadi to'g'ri uchburchak OAV. Ma’lum bo‘lishicha, to‘g‘ri chiziqning qiyaligi bu to‘g‘ri chiziq koordinatalar panjarasining x o‘qi bilan yasagan burchak tangensiga teng.
To'g'ri chiziqning qiyaligini qanday topish masalasini yechib, u bilan koordinata to'rining x o'qi orasidagi burchakning tangensini topamiz. Ko'rib chiqilayotgan chiziq koordinata o'qlariga parallel bo'lgan chegara holatlari yuqoridagilarni tasdiqlaydi. Haqiqatan ham, y=const tenglama bilan tasvirlangan to'g'ri chiziq uchun u bilan x o'qi orasidagi burchak nolga teng. Nol burchakning tangensi ham nolga teng, qiyaligi ham nolga teng.
X o'qiga perpendikulyar bo'lgan va x=const tenglama bilan tavsiflangan to'g'ri chiziqlar uchun ular bilan x o'qi orasidagi burchak 90 gradusga teng. Tangent to'g'ri burchak cheksizlikka teng, o'xshash to'g'ri chiziqlarning qiyaligi esa cheksizlikka teng, bu esa yuqorida yozilganlarni tasdiqlaydi.
Tangens Nishab
Amalda tez-tez uchrab turadigan keng tarqalgan vazifa, shuningdek, biron bir nuqtada funktsiya grafigiga teginishning qiyaligini topishdir. Tangens to'g'ri chiziqdir, shuning uchun unga nishab tushunchasi ham tegishli.
Tangensning qiyaligini qanday topishni bilish uchun hosila tushunchasini esga olishimiz kerak. Har qanday funktsiyaning bir nuqtada hosilasi doimiy, sonli hisoblanadi tangensga teng bu funksiyaning grafigiga ko'rsatilgan nuqtadagi tangens va abscissa o'qi o'rtasida hosil bo'lgan burchak. Ma'lum bo'lishicha, x 0 nuqtadagi tangensning qiyaligini aniqlash uchun biz ushbu nuqtadagi k \u003d f "(x 0) asl funktsiyaning hosilasi qiymatini hisoblashimiz kerak. Keling, misolni ko'rib chiqaylik:
Topshiriq: x = 0,1 da y = 12x 2 + 2xe x funksiyaga teguvchi chiziqning qiyaligini toping.
Yechish: Asl funktsiyaning umumiy shakldagi hosilasini toping
y "(0,1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1
Javob: x \u003d 0,1 nuqtasida kerakli nishab 4,831 ga teng
Tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasi mavzusining davomi algebra darslaridan to'g'ri chiziqni o'rganishga asoslangan. Ushbu maqolada qiyalik bilan to'g'ri chiziq tenglamasi mavzusi bo'yicha umumlashtirilgan ma'lumotlar berilgan. Ta'riflarni ko'rib chiqing, tenglamaning o'zini oling, boshqa turdagi tenglamalar bilan aloqani oching. Hamma narsa muammoni hal qilish misollarida muhokama qilinadi.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Bunday tenglamani yozishdan oldin to'g'ri chiziqning O x o'qiga qiyalik burchagini ularning qiyaligi bilan aniqlash kerak. Dekart koordinata sistemasi O x tekislikda berilgan deb faraz qilaylik.
Ta'rif 1
To'g'ri chiziqning o'qiga og'ish burchagi O x, tekislikda dekart koordinatalar tizimida joylashgan O x y, bu musbat yo'nalish O x to'g'ri chiziqqa soat miliga teskari yo'nalishda o'lchanadigan burchakdir.
Chiziq Ox ga parallel bo'lganda yoki unda tasodif sodir bo'lganda, moyillik burchagi 0 ga teng. Keyin berilgan to'g'ri chiziqning qiyalik burchagi a [ 0 , p) oraliqda aniqlanadi.
Ta'rif 2
To'g'ri chiziqning qiyaligi berilgan chiziq qiyaligining tangensi.
Standart belgi - k. Ta'rifdan biz k = t g a ni olamiz. Chiziq Oxga parallel bo'lsa, qiyalik mavjud emas deb aytiladi, chunki u cheksizlikka boradi.
Funksiya grafigi ortib borayotganida nishab musbat va aksincha. Rasmda koeffitsient qiymati bilan koordinatalar tizimiga nisbatan to'g'ri burchakning joylashishining turli xil o'zgarishlari ko'rsatilgan.
Bu burchakni topish uchun qiyalik koeffitsienti ta'rifini qo'llash va tekislikdagi qiyalik burchagi tangensini hisoblash kerak.
Qaror
Shartdan biz a = 120 ° ga egamiz. Ta'rifga ko'ra, siz nishabni hisoblashingiz kerak. Uni k = t g a = 120 = - 3 formuladan topamiz.
Javob: k = - 3 .
Agar burchak koeffitsienti ma'lum bo'lsa, lekin x o'qiga moyillik burchagini topish kerak bo'lsa, u holda burchak koeffitsientining qiymatini hisobga olish kerak. Agar k > 0 bo'lsa, to'g'ri burchak o'tkirdir va a = a r c t g k formulasi bilan topiladi. Agar k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .
2-misol
Nishab 3 ga teng bo'lgan O x ga berilgan to'g'ri chiziqning og'ish burchagini aniqlang.
Qaror
Bizda mavjud bo'lgan shartdan nishab musbat, ya'ni O x ga moyillik burchagi 90 darajadan kam. Hisob-kitoblar a = a r c t g k = a r c t g 3 formulasi bo'yicha amalga oshiriladi.
Javob: a = a r c t g 3 .
3-misol
Nishab = - 1 3 bo'lsa, to'g'ri chiziqning O x o'qiga og'ish burchagini toping.
Qaror
Nishab belgisi sifatida k harfini oladigan bo'lsak, u holda a - berilgan to'g'ri chiziqqa O x musbat yo'nalishdagi moyillik burchagi. Demak, k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:
a = p - a r c t g - 1 3 = p - a r c t g 1 3 = p - p 6 = 5 p 6 .
Javob: 5 pi 6.
y \u003d k x + b ko'rinishdagi tenglama, bu erda k - qiyalik va b - qandaydir haqiqiy son, qiyalikli to'g'ri chiziq tenglamasi deyiladi. Tenglama O y o'qiga parallel bo'lmagan har qanday to'g'ri chiziq uchun xosdir.
Agar y \u003d k x + b ga o'xshash qiyalik bilan tenglama bilan berilgan, qattiq koordinatalar tizimidagi tekislikdagi to'g'ri chiziqni batafsil ko'rib chiqsak. Bu holda, bu chiziqning istalgan nuqtasining koordinatalari tenglamaga mos kelishini anglatadi. Agar M, M 1 (x 1, y 1) nuqtaning koordinatalarini y \u003d k x + b tenglamasiga almashtirsak, bu holda chiziq shu nuqtadan o'tadi, aks holda nuqta nuqtaga tegishli emas. chiziq.
4-misol
Nishab y = 1 3 x - 1 bo'lgan to'g'ri chiziq berilgan. M 1 (3 , 0) va M 2 (2 , - 2) nuqtalar berilgan chiziqqa tegishli ekanligini hisoblang.
Qaror
Berilgan tenglamaga M 1 (3, 0) nuqtaning koordinatalarini qo'yish kerak, keyin 0 = 1 3 3 - 1 ⇔ 0 = 0 ni olamiz. Tenglik to'g'ri, shuning uchun nuqta chiziqqa tegishli.
Agar M 2 (2, - 2) nuqtaning koordinatalarini almashtirsak, u holda - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3 ko'rinishdagi noto'g'ri tenglikni olamiz. M 2 nuqta chiziqqa tegishli emas degan xulosaga kelishimiz mumkin.
Javob: M 1 chiziqqa tegishli, lekin M 2 yo'q.
Ma'lumki, to'g'ri chiziq M 1 (0 , b) dan o'tuvchi y = k · x + b tenglama bilan aniqlanadi, almashtirish b = k · 0 + b ⇔ b = b ko'rinishdagi tenglikni berdi. Bundan xulosa qilishimiz mumkinki, tekislikdagi qiyaligi y = k · x + b bo'lgan to'g'ri chiziq tenglamasi 0, b nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziqni aniqlaydi. U O x o'qining musbat yo'nalishi bilan a burchak hosil qiladi, bu erda k = t g a .
Misol uchun, y = 3 · x - 1 ko'rinishida berilgan qiyalik yordamida aniqlangan to'g'ri chiziqni ko'rib chiqaylik. Ox o'qining musbat yo'nalishi bo'ylab qiyaligi a = a r c t g 3 = p 3 radian bo'lgan to'g'ri chiziq koordinatasi 0, - 1 bo'lgan nuqtadan o'tishini olamiz. Bundan ko'rinib turibdiki, koeffitsient 3 ga teng.
Berilgan nuqtadan o'tuvchi qiyalikli to'g'ri chiziq tenglamasi
M 1 (x 1, y 1) nuqtadan o'tuvchi berilgan qiyalik bilan to'g'ri chiziq tenglamasini olish kerak bo'lgan masalani hal qilish kerak.
y 1 = k · x + b tengligini haqiqiy deb hisoblash mumkin, chunki chiziq M 1 (x 1 , y 1) nuqtadan o'tadi. B raqamini olib tashlash uchun chap va o'ng tomondan nishab koeffitsienti bilan tenglamani olib tashlash kerak. Bundan kelib chiqadiki, y - y 1 = k · (x - x 1) . Bu tenglik M 1 (x 1, y 1) nuqtaning koordinatalaridan o'tuvchi, qiyalik berilgan k bo'lgan to'g'ri chiziq tenglamasi deb ataladi.
5-misol
Koordinatalari (4, - 1), qiyaligi - 2 ga teng bo'lgan M 1 nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini tuzing.
Qaror
Shartga ko'ra, bizda x 1 \u003d 4, y 1 \u003d - 1, k \u003d - 2 bor. Bu yerdan to‘g‘ri chiziq tenglamasi shu tarzda yoziladi y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x. + 7.
Javob: y = - 2 x + 7.
6-misol
y \u003d 2 x - 2 to'g'ri chiziqqa parallel koordinatalari (3, 5) bilan M 1 nuqtadan o'tadigan qiyalikli to'g'ri chiziq tenglamasini yozing.
Qaror
Shartga ko'ra, biz parallel chiziqlar bir-biriga mos keladigan moyillik burchaklariga ega, shuning uchun qiyalik koeffitsientlari tengdir. Nishabni topish uchun berilgan tenglama, uning asosiy formulasini esga olish kerak y = 2 x - 2, bundan k = 2 kelib chiqadi. Nishab koeffitsienti bilan tenglama tuzamiz va olamiz:
y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1
Javob: y = 2 x - 1 .
Nishabli to'g'ri chiziq tenglamasidan to'g'ri chiziq tenglamalarining boshqa turlariga o'tish va aksincha.
Bunday tenglama har doim ham muammolarni hal qilishda qo'llanilmaydi, chunki u juda qulay belgiga ega emas. Buning uchun u boshqa shaklda taqdim etilishi kerak. Masalan, y = k · x + b ko'rinishdagi tenglama to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorining koordinatalarini yoki normal vektorning koordinatalarini yozishga imkon bermaydi. Buning uchun siz boshqa turdagi tenglamalarni ifodalashni o'rganishingiz kerak.
Nishabli to'g'ri chiziq tenglamasidan foydalanib, tekislikdagi to'g'ri chiziqning kanonik tenglamasini olishimiz mumkin. Biz x - x 1 a x = y - y 1 a y ni olamiz. b atamasini chap tomonga siljitish va olingan tengsizlik ifodasiga bo'lish kerak. Keyin y = k x + b ⇔ y - b = k x ⇔ k x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k ko'rinishdagi tenglamani olamiz.
Nishabli to'g'ri chiziq tenglamasi berilgan to'g'ri chiziqning kanonik tenglamasiga aylandi.
7-misol
Nishab y = - 3 x + 12 bo'lgan to'g'ri chiziq tenglamasini kanonik ko'rinishga keltiring.
Qaror
To'g'ri chiziqning kanonik tenglamasi ko'rinishida hisoblab chiqamiz va ifodalaymiz. Formaning tenglamasini olamiz:
y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3
Javob: x 1 = y - 12 - 3.
To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini y = k x + b dan olish eng oson, ammo bu o'zgartirishlarni talab qiladi: y = k x + b ⇔ k x - y + b = 0. To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasidan boshqa turdagi tenglamalarga o'tish amalga oshiriladi.
8-misol
y = 1 7 x - 2 ko`rinishdagi to`g`ri chiziq tenglamasi berilgan. Koordinatalari a → = (- 1 , 7) bo‘lgan vektor normal to‘g‘ri chiziqli vektor ekanligini aniqlang?
Qaror
Uni hal qilish uchun ushbu tenglamaning boshqa shakliga o'tish kerak, buning uchun biz yozamiz:
y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0
O'zgaruvchilar oldidagi koeffitsientlar to'g'ri chiziqning normal vektorining koordinatalari. Buni shunday yozamiz n → = 1 7 , - 1 , demak 1 7 x - y - 2 = 0 . A → = (- 1, 7) vektori n → = 1 7, - 1 vektoriga kollinear ekanligi aniq, chunki bizda a → = - 7 · n → adolatli munosabat mavjud. Bundan kelib chiqadiki, asl a → = - 1, 7 vektori 1 7 x - y - 2 = 0 chiziqning normal vektori bo'lib, u y = 1 7 x - 2 chiziq uchun normal vektor hisoblanadi.
Javob: Bu an
Keling, muammoni bu masalaga teskari hal qilaylik.
dan ko'chirish kerak umumiy ko'rinish tenglama A x + B y + C = 0, bu erda B ≠ 0, qiyalik tenglamasiga. Buning uchun y uchun tenglamani yechamiz. Biz A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B ni olamiz.
Natijada - A B ga teng qiyalikli tenglama olinadi.
9-misol
2 3 x - 4 y + 1 = 0 ko'rinishdagi to'g'ri chiziq tenglamasi berilgan. Nishab bilan berilgan chiziq tenglamasini oling.
Qaror
Shartga asoslanib, y uchun yechish kerak, keyin biz quyidagi shakldagi tenglamani olamiz:
2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4.
Javob: y = 1 6 x + 1 4 .
Xuddi shunday, x a + y b \u003d 1 ko'rinishdagi tenglama echiladi, bu segmentlardagi to'g'ri chiziq tenglamasi yoki x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y kanonik shakl deb ataladi. Uni y ga nisbatan yechish kerak, shundan keyingina nishabli tenglamani olamiz:
x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a x + b.
Kanonik tenglamani qiyalikli shaklga keltirish mumkin. Buning uchun:
x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a x y = a y x - a y x 1 + a x y 1 ⇔ y = a y a x x - a y a x 1 +y
10-misol
x 2 + y - 3 = 1 tenglama bilan berilgan to'g'ri chiziq mavjud. Nishab bilan tenglama shakliga keltiring.
Qaror.
Shartga asoslanib, uni o'zgartirish kerak, keyin _formula_ ko'rinishdagi tenglamani olamiz. Kerakli nishab tenglamasini olish uchun tenglamaning ikkala tomonini -3 ga ko'paytirish kerak. O'zgartirish orqali biz quyidagilarni olamiz:
y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 y - 3 = - 3 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3.
Javob: y = 3 2 x - 3.
11-misol
X - 2 2 \u003d y + 1 5 ko'rinishdagi to'g'ri chiziq tenglamasi qiyalik bilan shaklga keltiriladi.
Qaror
X - 2 2 = y + 1 5 ifodasini proporsiya sifatida hisoblash kerak. Biz 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) ni olamiz. Endi siz uni to'liq yoqishingiz kerak, buning uchun:
5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x
Javob: y = 5 2 x - 6 .
Bunday vazifalarni hal qilish uchun x = x 1 + a x l y = y 1 + a y l to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalarini keltirish kerak. kanonik tenglama to'g'ri chiziq, shundan keyingina siz nishab koeffitsienti bilan tenglamaga o'tishingiz mumkin.
12-misol
To'g'ri chiziqning qiyaligini toping, agar u x = l y = - 1 + 2 · l parametrik tenglamalar bilan berilgan bo'lsa.
Qaror
Parametrik ko'rinishdan nishabga o'tishingiz kerak. Buning uchun berilgan parametrikdan kanonik tenglamani topamiz:
x = l y = - 1 + 2 l ⇔ l = x l = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2.
Endi qiyalikli to'g'ri chiziq tenglamasini olish uchun bu tenglikni y ga nisbatan yechish kerak. Buning uchun biz shunday yozamiz:
x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1
Bundan kelib chiqadiki, to'g'ri chiziqning qiyaligi 2 ga teng. Bu k = 2 shaklida yoziladi.
Javob: k = 2.
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing
Rasmda to'g'ri chiziqning qiyalik burchagi va to'g'ri chiziqning to'rtburchaklar koordinata tizimiga nisbatan joylashishining turli xil variantlari uchun qiyalik koeffitsienti qiymati ko'rsatilgan.
To'g'ri chiziqning Ox o'qiga ma'lum burchak burchagida qiyaligini topish hech qanday qiyinchilik tug'dirmaydi. Buning uchun qiyalik koeffitsientining ta'rifini esga olish va qiyalik burchagi tangensini hisoblash kifoya.
Misol.
Chiziqning x o'qiga moyillik burchagi ga teng bo'lsa, uning qiyaligini toping.
Qaror.
Shart bo'yicha. Keyin, to'g'ri chiziqning qiyaligi ta'rifi bilan biz hisoblaymiz 
.
Javob:
Nishabligi ma'lum bo'lgan to'g'ri chiziqning x o'qiga moyillik burchagini topish vazifasi biroz qiyinroq. Bu erda nishab koeffitsientining belgisini hisobga olish kerak. To'g'ri chiziqning qiyalik burchagi o'tkir bo'lganda va sifatida topiladi. To'g'ri chiziqning qiyalik burchagi o'tmas bo'lganda va formula bilan aniqlanishi mumkin 
.
Misol.
To'g'ri chiziqning x o'qiga moyillik burchagini aniqlang, agar uning qiyaligi 3 bo'lsa.
Qaror.
Shartga ko'ra, nishab musbat bo'lganligi sababli, to'g'ri chiziqning Ox o'qiga moyillik burchagi keskin. Biz uni formula bo'yicha hisoblaymiz.
Javob:
Misol.
To'g'ri chiziqning qiyaligi . To'g'ri chiziqning Ox o'qiga og'ish burchagini aniqlang.
Qaror.
Belgilamoq k - to'g'ri chiziqning qiyaligi, bu to'g'ri chiziqning Ox o'qining musbat yo'nalishiga moyillik burchagi. Sifatida 
, keyin quyidagi ko'rinishdagi to'g'ri chiziqning qiyalik burchagini topish formulasidan foydalanamiz . Shartdagi ma'lumotlarni unga almashtiramiz: .
Javob:
Nishabli to'g'ri chiziq tenglamasi.
Nishab bilan chiziqli tenglama ko'rinishga ega bo'ladi, bu erda k - to'g'ri chiziqning qiyaligi, b - qandaydir haqiqiy son. Nishabli toʻgʻri chiziq tenglamasidan Oy oʻqiga parallel boʻlmagan har qanday toʻgʻri chiziqni koʻrsatish uchun foydalanish mumkin (y oʻqiga parallel boʻlgan toʻgʻri chiziq uchun qiyalik aniqlanmagan).
Keling, iboraning ma'nosini ko'rib chiqaylik: "qo'zg'almas koordinatalar tizimidagi tekislikdagi chiziq shaklning qiyaligi bilan tenglama bilan beriladi". Demak, tenglama tekislikdagi boshqa nuqtaning koordinatalari bilan emas, balki chiziqning istalgan nuqtasining koordinatalari bilan qanoatlantiriladi. Shunday qilib, agar nuqta koordinatalarini almashtirishda to'g'ri tenglik olinadigan bo'lsa, u holda chiziq bu nuqtadan o'tadi. Aks holda nuqta chiziq ustida yotmaydi.
Misol.
To'g'ri chiziq qiyalik bilan tenglama bilan berilgan. Nuqtalar ham shu chiziqqa tegishlimi?
Qaror.
Nishabli to'g'ri chiziqning dastlabki tenglamasiga nuqta koordinatalarini qo'ying: 
. Biz to'g'ri tenglikni oldik, shuning uchun M 1 nuqta to'g'ri chiziqda yotadi.
Nuqta koordinatalarini almashtirganda, biz noto'g'ri tenglikni olamiz: 
. Shunday qilib, M 2 nuqta to'g'ri chiziqda yotmaydi.
Javob:
Nuqta M 1 chiziqqa tegishli, M 2 esa yo'q.
Shuni ta'kidlash kerakki, qiyalikli to'g'ri chiziq tenglamasi bilan aniqlangan to'g'ri chiziq nuqtadan o'tadi, chunki uning koordinatalarini tenglamaga almashtirganda, biz to'g'ri tenglikni olamiz: .
Shunday qilib, qiyalikli to'g'ri chiziq tenglamasi nuqtadan o'tuvchi va abscissa o'qining musbat yo'nalishi bilan burchak hosil qiluvchi tekislikdagi to'g'ri chiziqni aniqlaydi va .
Misol tariqasida, qiyaligi bilan to'g'ri chiziq tenglamasi bilan aniqlangan to'g'ri chiziqni chizamiz. Bu chiziq nuqtadan o'tadi va qiyalikka ega 
radian (60 daraja) Ox o'qining ijobiy yo'nalishiga. Uning qiyaligi.
Nishab berilgan nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi.
Endi biz juda muhim masalani hal qilamiz: berilgan nishab k bo'lgan va nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini olamiz.
Chiziq nuqtadan o'tganligi sababli , keyin tenglik 
. b raqami bizga noma'lum. Undan xalos bo'lish uchun qiyalikli to'g'ri chiziq tenglamasining chap va o'ng qismlarini, mos ravishda oxirgi tenglikning chap va o'ng qismlarini ayiramiz. Shunday qilib, biz olamiz 
. Bu tenglik berilgan nuqtadan o'tuvchi qiyalik berilgan to'g'ri chiziq tenglamasi.
Bir misolni ko'rib chiqing.
Misol.
Nuqtadan o`tuvchi to`g`ri chiziq tenglamasini yozing, bu to`g`ri chiziqning qiyaligi -2 ga teng.
Qaror.
Bizda mavjud sharoitdan 
. Keyin qiyalikli to'g'ri chiziq tenglamasi shaklni oladi.
Javob:
Misol.
Toʻgʻri chiziqning nuqtadan oʻtishi maʼlum boʻlsa va Ox oʻqining musbat yoʻnalishiga moyillik burchagi boʻlsa, uning tenglamasini yozing.
Qaror.
Birinchidan, biz tenglamasini izlayotgan to'g'ri chiziqning qiyaligini hisoblaymiz (biz ushbu maqolaning oldingi bandida bunday muammoni hal qildik). A-prior 
. Endi qiyalikli toʻgʻri chiziq tenglamasini yozish uchun barcha maʼlumotlarga egamiz:
Javob:
Misol.
Toʻgʻri chiziqqa parallel nuqtadan oʻtuvchi qiyalikli chiziq tenglamasini yozing.
Qaror.
Ko'rinib turibdiki, parallel chiziqlarning Ox o'qiga moyillik burchaklari mos keladi (agar kerak bo'lsa, parallel chiziqlar maqolasiga qarang), shuning uchun parallel chiziqlarning qiyalik koeffitsientlari tengdir. Keyin tenglamasini olishimiz kerak bo'lgan to'g'ri chiziqning qiyaligi 2 ga teng, chunki to'g'ri chiziqning qiyaligi 2 ga teng. Endi qiyalikli to‘g‘ri chiziqning kerakli tenglamasini tuzishimiz mumkin:
Javob:
Nishab koeffitsientli to'g'ri chiziq tenglamasidan to'g'ri chiziq tenglamasining boshqa turlariga o'tish va aksincha.
To'g'ri chiziqning qiyalik bilan tenglamasi har doim ham muammolarni hal qilishda foydalanish uchun qulay emas. Ba'zi hollarda to'g'ri chiziq tenglamasi boshqa ko'rinishda berilganda muammolarni yechish osonroq bo'ladi. Masalan, to'g'ri chiziqning qiyalik bilan tenglamasi to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining koordinatalarini yoki to'g'ri chiziqning normal vektorining koordinatalarini darhol yozishga imkon bermaydi. Shuning uchun, qiyalikli to'g'ri chiziq tenglamasidan ushbu to'g'ri chiziq tenglamasining boshqa turlariga o'tishni o'rganish kerak.
Nishabli to'g'ri chiziq tenglamasidan shakl tekisligidagi to'g'ri chiziqning kanonik tenglamasini olish oson. 
. Buning uchun tenglamaning o'ng tomonidan b atamasini qarama-qarshi belgi bilan chap tomonga o'tkazamiz, so'ngra hosil bo'lgan tenglikning ikkala qismini qiyalik k: ga ajratamiz. Bu harakatlar bizni qiya chiziqli to'g'ri chiziq tenglamasidan to'g'ri chiziqning kanonik tenglamasiga olib boradi.
Misol.
Nishabli to‘g‘ri chiziq tenglamasini keltiring 
kanonik shaklga.
Qaror.
Kerakli o'zgarishlarni amalga oshiramiz: .
Javob:
Misol.
To'g'ri chiziq qiyalik bilan to'g'ri chiziq tenglamasi bilan berilgan. Vektor bu chiziqning normal vektorimi?
Qaror.
Bu masalani yechish uchun qiyalikli to‘g‘ri chiziq tenglamasidan ushbu to‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasiga o‘tamiz: 
. Bizga ma'lumki, to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasidagi x va y o'zgaruvchilari oldidagi koeffitsientlar ushbu to'g'ri chiziqning normal vektorining mos keladigan koordinatalari, ya'ni to'g'ri chiziqning normal vektoridir. 
. Shubhasiz, vektor vektorga to'g'ri keladi, chunki munosabat to'g'ri (agar kerak bo'lsa, maqolaga qarang). Shunday qilib, asl vektor ham chiziqning normal vektoridir , va shuning uchun normal vektor va asl chiziqdir.
Javob:
Ha shunaqa.
Endi esa teskari masalani yechamiz – tekislikdagi to‘g‘ri chiziq tenglamasini qiyalikli to‘g‘ri chiziq tenglamasiga keltirish masalasi.
Umumiy to'g'ri chiziq tenglamasidan 
, bu yerda , qiyalik tenglamasiga o'tish juda oson. Buning uchun sizga kerak umumiy tenglama y ga nisbatan bevosita hal qilish. Shu bilan birga, biz olamiz. Olingan tenglik qiyaligi ga teng bo'lgan to'g'ri chiziq tenglamasidir.