Bir fonksiyonun türevi hangi noktada negatiftir? Fonksiyon türevi. Bir fonksiyonun türevinin anlamı

B9 probleminde, aşağıdaki niceliklerden birini belirlemenin gerekli olduğu bir fonksiyon veya türev grafiği verilmiştir:

1. x 0 noktasındaki türevin değeri,
2. Yüksek veya düşük noktalar (aşırı noktalar),
3. Artan ve azalan fonksiyonların aralıkları (monotonluk aralıkları).

Bu problemde sunulan fonksiyonlar ve türevler her zaman süreklidir, bu da çözümü büyük ölçüde basitleştirir. Görevin matematiksel analiz bölümüne ait olmasına rağmen, derin sorular olmadığı için en zayıf öğrencilerin bile gücü dahilindedir. teorik bilgi burada gerekli değil.

Türev, ekstremum noktaları ve monotonluk aralıklarının değerini bulmak için basit ve evrensel algoritmalar- hepsi aşağıda tartışılacaktır.

Aptalca hatalar yapmamak için B9 probleminin durumunu dikkatlice okuyun: bazen oldukça hacimli metinler ortaya çıkıyor, ancak çözümün seyrini etkileyen birkaç önemli koşul var.

Türevin değerinin hesaplanması. İki nokta yöntemi

Probleme f(x) fonksiyonunun bir grafiği verilirse, bu grafiğe x 0 noktasında teğet olur ve bu noktada türevin değerinin bulunması istenirse, aşağıdaki algoritma uygulanır:

1. Teğet grafiğinde iki "yeterli" nokta bulun: koordinatları tamsayı olmalıdır. Bu noktaları A (x 1 ; y 1) ve B (x 2 ; y 2) olarak gösterelim. Koordinatları doğru bir şekilde yazın - bu çözümün kilit noktasıdır ve buradaki herhangi bir hata yanlış cevaba yol açar.
2. Koordinatları bilerek, Δx = x 2 − x 1 argümanının artışını ve Δy = y 2 − y 1 fonksiyonunun artışını hesaplamak kolaydır.
3. Son olarak, D = Δy/Δx türevinin değerini buluyoruz. Başka bir deyişle, fonksiyon artışını argüman artışına bölmeniz gerekir - ve cevap bu olacaktır.

Bir kez daha not edelim: A ve B noktaları, çoğu zaman olduğu gibi, f(x) fonksiyonunun grafiğinde değil, tam olarak teğet üzerinde aranmalıdır. Teğet mutlaka böyle en az iki nokta içerecektir, aksi takdirde problem yanlış formüle edilir.

A (−3; 2) ve B (−1; 6) noktalarını göz önünde bulundurun ve artışları bulun:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Türevin değerini bulalım: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Görev. Şekil, y \u003d f (x) fonksiyonunun grafiğini ve ona apsis x 0 ile noktada teğetini göstermektedir. f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki türevinin değerini bulun.

A (0; 3) ve B (3; 0) noktalarını göz önünde bulundurun, artışları bulun:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Şimdi türevin değerini buluyoruz: D = Δy/Δx = -3/3 = -1.

Görev. Şekil, y \u003d f (x) fonksiyonunun grafiğini ve ona apsis x 0 ile noktada teğetini göstermektedir. f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki türevinin değerini bulun.

A (0; 2) ve B (5; 2) noktalarını göz önünde bulundurun ve artışları bulun:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Geriye türevin değerini bulmak kalıyor: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Son örnekten kuralı formüle edebiliriz: tanjant OX eksenine paralelse, fonksiyonun teğet noktasındaki türevi sıfıra eşittir. Bu durumda, hiçbir şey hesaplamanıza bile gerek yok - sadece grafiğe bakın.

Yüksek ve Düşük Puanların Hesaplanması

Bazen B9 probleminde bir fonksiyonun grafiği yerine bir türev grafiği verilir ve fonksiyonun maksimum veya minimum noktasının bulunması gerekir. Bu senaryoda, iki nokta yöntemi işe yaramaz, ancak daha basit bir algoritma daha var. Önce terminolojiyi tanımlayalım:

1. Aşağıdaki eşitsizlik bu noktanın bazı komşuluklarında geçerliyse, x 0 noktasına f(x) fonksiyonunun maksimum noktası denir: f(x 0) ≥ f(x).
2. Aşağıdaki eşitsizlik bu noktanın bazı komşuluklarında geçerliyse, x 0 noktasına f(x) fonksiyonunun minimum noktası denir: f(x 0) ≤ f(x).

Türevin grafiğinde maksimum ve minimum noktaları bulmak için aşağıdaki adımların gerçekleştirilmesi yeterlidir:

1. Tüm gereksiz bilgileri kaldırarak türevin grafiğini yeniden çizin. Uygulamanın gösterdiği gibi, ekstra veriler yalnızca çözüme müdahale eder. Bu nedenle, türevin sıfırlarını koordinat ekseninde işaretliyoruz - hepsi bu.
2. Sıfırlar arasındaki aralıklarda türevin işaretlerini bulun. Bir x 0 noktası için f'(x 0) ≠ 0 olduğu biliniyorsa, o zaman sadece iki seçenek mümkündür: f'(x 0) ≥ 0 veya f'(x 0) ≤ 0. Türevin işareti orijinal çizimden belirlenmesi kolaydır: türev grafiği OX ekseninin üzerindeyse, o zaman f'(x) ≥ 0. Tersine, türev grafiği OX ekseninin altındaysa, o zaman f'(x) ≤ 0.
3. Türevin sıfırlarını ve işaretlerini tekrar kontrol ediyoruz. İşaretin eksiden artıya değiştiği yerde bir minimum nokta vardır. Tersine, türevin işareti artıdan eksiye değişirse, bu maksimum noktadır. Sayma her zaman soldan sağa yapılır.

Bu şema yalnızca sürekli işlevler için çalışır - B9 sorununda başka yoktur.

Görev. Şekil, [−5; 5]. Bu doğru parçasında f(x) fonksiyonunun minimum noktasını bulun.

Gereksiz bilgilerden kurtulalım - sadece [-5; 5] ve x = −3 ve x = 2.5 türevinin sıfırları. Ayrıca işaretleri not edin:

Açıktır ki, x = -3 noktasında türevin işareti eksiden artıya değişir. Bu minimum noktadır.

Görev. Şekil, [−3; 7]. Bu doğru parçasında f(x) fonksiyonunun maksimum noktasını bulun.

Grafiği yeniden çizelim, sadece [−3; 7] ve x = −1.7 ve x = 5 türevinin sıfırları. Elde edilen grafikte türevin işaretlerini not edin. Sahibiz:

Açıkçası, x = 5 noktasında, türevin işareti artıdan eksiye değişir - bu maksimum noktadır.

Görev. Şekil, [−6; segmentinde tanımlanan f(x) fonksiyonunun türevinin grafiğini göstermektedir; 4]. f(x) fonksiyonunun [−4; 3].

Sorunun koşullarından, grafiğin yalnızca [-4; 3]. Bu nedenle, inşa ediyoruz yeni programüzerinde sadece sınırları işaretlediğimiz [-4; 3] ve içindeki türevin sıfırları. Yani, x = −3,5 ve x = 2 noktaları elde ederiz:

Bu grafikte sadece bir maksimum nokta vardır x = 2. İçinde türevin işareti artıdan eksiye değişir.

Tamsayı olmayan koordinatlara sahip noktalar hakkında küçük bir not. Örneğin, son problemde x = −3,5 noktası dikkate alındı, ancak aynı başarıyla x = −3.4 alabiliriz. Sorun doğru yazılmışsa, bu tür değişiklikler cevabı etkilememelidir, çünkü "olmayan noktalar" belli Yer ikamet” sorunun çözümünde doğrudan rol oynamaz. Tabii ki, tamsayı noktaları ile böyle bir numara çalışmayacaktır.

Bir fonksiyonun artış ve azalış aralıklarını bulma

Böyle bir problemde, maksimum ve minimum noktaları gibi, türevin grafiğinden fonksiyonun kendisinin arttığı veya azaldığı alanların bulunması önerilir. İlk olarak, artan ve azalan ne olduğunu tanımlayalım:

1. Bu segmentten herhangi iki x 1 ve x 2 noktası için ifade doğruysa, bir segmentte f(x) fonksiyonuna artan denir: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Başka bir deyişle, argümanın değeri ne kadar büyükse, fonksiyonun değeri de o kadar büyük olur.
2. Bu segmentten herhangi iki x 1 ve x 2 noktası için ifade doğruysa, bir segmentte f(x) fonksiyonuna azalan denir: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Onlar. daha büyük değer argüman, işlevin daha küçük değerine karşılık gelir.

Artan ve azalan için yeterli koşulları formüle ediyoruz:

1. Sürekli bir f(x) fonksiyonunun segmentinde artması için segment içindeki türevinin pozitif olması yeterlidir, yani. f'(x) ≥ 0.
2. Sürekli bir f(x) fonksiyonunun segmentinde azalması için segment içindeki türevinin negatif olması yeterlidir, yani. f'(x) ≤ 0.

Bu iddiaları kanıtsız kabul ediyoruz. Böylece, birçok yönden ekstremum noktalarını hesaplama algoritmasına benzeyen artış ve azalma aralıklarını bulmak için bir şema elde ederiz:

1. Tüm gereksiz bilgileri kaldırın. Türevin orijinal grafiğinde, öncelikle fonksiyonun sıfırları ile ilgileniyoruz, bu yüzden sadece onları bırakıyoruz.
2. Türevin işaretlerini sıfırlar arasındaki aralıklarda işaretleyin. f'(x) ≥ 0 olduğunda fonksiyon artar ve f'(x) ≤ 0 olduğunda azalır. Sorunun x değişkeni üzerinde kısıtlamaları varsa, bunları ek olarak yeni çizelgede işaretleriz.
3. Artık fonksiyonun davranışını ve kısıtlamayı bildiğimize göre, problemde gerekli değeri hesaplamak kalıyor.

Görev. Şekil, [−3; 7.5]. f(x) fonksiyonunun azalan aralıklarını bulun. Cevabınızda bu aralıklarda bulunan tam sayıların toplamını yazınız.

Her zamanki gibi grafiği yeniden çizeriz ve sınırları [−3; 7.5], ayrıca x = −1.5 ve x = 5.3 türevinin sıfırları. Sonra türevin işaretlerini işaretliyoruz. Sahibiz:

(− 1.5) aralığında türev negatif olduğundan, bu azalan fonksiyonun aralığıdır. Bu aralığın içindeki tüm tam sayıları toplamak için kalır:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Görev. Şekil, [−10; 4]. f(x) fonksiyonunun artan aralıklarını bulun. Cevabınıza, en büyüğünün uzunluğunu yazın.

Gereksiz bilgilerden kurtulalım. Sadece [-10; 4] ve bu sefer dört olduğu ortaya çıkan türevin sıfırları: x = -8, x = -6, x = -3 ve x = 2. Türevin işaretlerini not edin ve aşağıdaki resmi elde edin:

Artan fonksiyonun aralıklarıyla ilgileniyoruz, yani. burada f'(x) ≥ 0. Grafikte böyle iki aralık vardır: (−8; −6) ve (−3; 2). uzunluklarını hesaplayalım:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 - (−3) = 5.

Aralıkların en büyüğünün uzunluğunu bulmak gerektiğinden, yanıt olarak l 2 = 5 değerini yazıyoruz.

Fonksiyon araştırması. Bu yazımızda fonksiyonların ele alındığı ve çalışma ile ilgili sorular olması durumunda görevlerden bahsedeceğiz. Bunları çözmek için bilmeniz ve anlamanız gereken ana teorik noktaları düşünün.

Bu tüm grup matematikte sınava dahil olan görevler. Genellikle, belirli bir aralıkta bir fonksiyonun maksimum (minimum) noktalarının bulunması veya en büyük (en küçük) değerinin belirlenmesi ile ilgili soru sorulur.Dikkate alınan:

— Güç ve irrasyonel fonksiyonlar.

— Rasyonel fonksiyonlar.

- Eserlerin incelenmesi ve özel.

— Logaritmik fonksiyonlar.

- Trigonometrik fonksiyonlar.

Limitler teorisini, türev kavramını, fonksiyonların grafiklerini incelemek için türevin özelliklerini ve onun özelliklerini anlarsanız, bu tür problemler size zorluk çıkarmaz ve kolaylıkla çözersiniz.

Aşağıdaki bilgiler, anlaşılması bu tür sorunların nasıl çözüleceğinin anlaşılmasını mümkün kılacak teorik noktalardır. Bunları öyle bir şekilde ifade etmeye çalışacağım ki, bu konuyu kaçıranlar veya çok az çalışmış olanlar bile bu tür problemleri fazla zorlanmadan çözebileceklerdir.

Bu grubun problemlerinde, daha önce de belirtildiği gibi, fonksiyonun ya minimum (maksimum) noktasını ya da fonksiyonun aralıktaki en büyük (en küçük) değerini bulmak gerekir.

Minimum ve maksimum puan.Türev özellikleri.

Fonksiyonun grafiğini düşünün:

A noktası maksimum noktadır, O'dan A'ya kadar olan aralıkta fonksiyon artar, A'dan B'ye kadar olan aralıkta azalır.

B noktası bir minimum noktadır, A'dan B'ye kadar olan aralıkta fonksiyon azalır, B'den C'ye kadar olan aralıkta artar.

Bu noktalarda (A ve B), türev kaybolur (sıfıra eşittir).

Bu noktalardaki teğetler eksene paraleldir. öküz.

Fonksiyonun davranışını artandan azalana (ve tersi, azalandan artana) değiştirdiği noktalara ekstrema dendiğini ekleyeceğim.

Önemli nokta:

1. Artan aralıklarla türevi pozitif bir işarete sahiptir (nAralıktaki bir değeri türevle değiştirirken, pozitif bir sayı elde edilir).

Bu demektir ki, belirli bir aralıktan belirli bir noktada türev pozitif değer, daha sonra bu aralıktaki fonksiyonun grafiği artar.

2. Azalan aralıklarda, türev negatif bir işarete sahiptir (aralıktaki değer türev ifadesine ikame edildiğinde, negatif bir sayı elde edilir).

Dolayısıyla, belirli bir aralıktan belirli bir noktada türev negatif bir değere sahipse, fonksiyonun bu aralıktaki grafiği azalır.

Bunun açıklığa kavuşturulması gerekiyor!

Böylece türevi hesaplayıp sıfıra eşitleyerek gerçek ekseni aralıklara bölen noktaları bulabilirsiniz.Bu aralıkların her birinde, türevin işaretini belirleyebilir ve ardından artması veya azalması hakkında bir sonuç çıkarabilirsiniz.

* Ayrı ayrı, türevin bulunmadığı noktalar hakkında da söylenmelidir. Örneğin, paydası belirli bir x'de kaybolan bir türev alabiliriz. Böyle bir x için türevin olmadığı açıktır. Dolayısıyla artış (azalış) aralıkları belirlenirken bu nokta da dikkate alınmalıdır.

Türevin sıfıra eşit olduğu noktalarda fonksiyon her zaman işaretini değiştirmez. Bu olacak ayrı makale. USE'nin kendisinde böyle bir görev olmayacaktır.

Yukarıdaki özellikler, bir fonksiyonun artan ve azalan davranışını incelemek için gereklidir.

Belirtilen sorunları çözmek için bilmeniz gereken başka neler var: türevler tablosu ve türev alma kuralları. Bu olmadan hiçbir şey. Bu temel bilgi, türev konusunda. Temel fonksiyonların türevlerini çok iyi bilmelisiniz.

Karmaşık bir fonksiyonun türevinin hesaplanmasıf(g(x)), işlevi hayal etg(x) bir değişkendir ve sonra türevi hesaplayınf’(g(x)) bir değişkenin sıradan bir türevi olarak tablo formülleriyle. Sonra sonucu fonksiyonun türeviyle çarpıng(x) .

Maxim Semenikhin'in karmaşık bir işlevle ilgili eğitim videosunu izleyin:

Maksimum ve minimum noktaları bulma problemleri

Fonksiyonun maksimum (minimum) noktalarını bulma algoritması:

1. Fonksiyonun türevini bulun f’(x).

2. Türevin sıfırlarını bulun (türevi sıfıra eşitleyerek f’(x)=0 ve elde edilen denklemi çözün). Ayrıca türevin bulunmadığı noktalar da buluruz.(özellikle, bu kesirli-rasyonel fonksiyonlarla ilgilidir).

3. Elde edilen değerleri sayı doğrusu üzerinde işaretliyoruz ve türev ifadesine aralıklardan gelen değerleri yerine koyarak bu aralıklar üzerinde türevin işaretlerini belirliyoruz.

Çıktı ikisinden biri olacaktır:

1. Maksimum nokta noktadırtürevin pozitiften negatife değiştiği yer.

2. Minimum nokta noktadırtürevin negatiften pozitife değiştiği yer.

En büyük veya en küçük değeri bulma problemleri

aralıkta işlev görür.

Başka bir problem türünde, en büyük veya en büyük olanı bulmak gerekir. en küçük değer Belirli bir aralıkta işlevler.

En büyük (en küçük) fonksiyon değerini bulma algoritması:

1. Maksimum (minimum) puan olup olmadığını belirleyin. Bunu yapmak için türevi buluyoruz. f’(x) , sonra çöz f’(x)=0 (önceki algoritmadan 1 ve 2 numaralı noktalar).

2. Elde edilen noktaların belirli bir aralığa ait olup olmadığını belirler ve içinde kalanları yazarız.

3. Orijinal fonksiyonda (türevde değil, koşulda verilende) verilen aralığın sınırlarını ve aralık (madde 2) içinde yer alan noktaları (maksimum-minimum) değiştiririz.

4. Fonksiyonun değerlerini hesaplıyoruz.

5. Görevde hangi sorunun sorulduğuna bağlı olarak elde edilenlerden en büyük (en küçük) değeri seçip cevabı yazıyoruz.

Soru: Bir fonksiyonun en büyük (en küçük) değerini bulma problemlerinde maksimum (minimum) noktaları aramak neden gereklidir?

Cevap en iyi şekilde gösterilmiştir, fonksiyonlar tarafından verilen grafiklerin şematik bir temsiline bakın:

1 ve 2. durumlarda, fonksiyonun maksimum veya minimum değerini belirlemek için aralığın sınırlarını değiştirmek yeterlidir. 3 ve 4 numaralı durumlarda, fonksiyonun sıfırlarını (maksimum-minimum noktaları) bulmak gerekir. Aralığın sınırlarını değiştirirsek (fonksiyonun sıfırlarını bulmadan), yanlış cevap alırız, bu grafiklerden görülebilir.

Ve mesele şu ki, verilen bir işlevi kullanarak grafiğin (aralık içinde maksimum veya minimuma sahip olup olmadığı) aralıkta nasıl göründüğünü göremiyoruz. Bu nedenle, fonksiyonun sıfırlarını hatasız olarak bulun!!!

eğer denklem f'(x)=0 bir çözümü olmayacak, bu maksimum-minimum noktalarının olmadığı (Şekil 1.2) ve ayarlanan görevi bulmak için bu fonksiyonda sadece aralığın sınırları değiştirildiği anlamına gelir.

Bir diğeri önemli nokta. Cevabın bir tamsayı veya sonlu olması gerektiğini unutmayın. ondalık. Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini hesaplarken, e ve pi numaralı ifadelerin yanı sıra kök içeren ifadeler alırsınız. Bunları sonuna kadar hesaplamanıza gerek olmadığını unutmayın ve bu tür ifadelerin sonucunun cevap olmayacağı açıktır. Böyle bir değeri hesaplamak istiyorsanız, yapın (sayılar: e ≈ 2.71 Pi ≈ 3.14).

Çok yazdım, muhtemelen kafam karıştı? Belirli örneklerle, her şeyin basit olduğunu göreceksiniz.

Ardından, size küçük bir sır vermek istiyorum. Gerçek şu ki, türevin özelliklerini bilmeden ve hatta türev alma kuralları olmadan birçok görev çözülebilir. Size kesinlikle bu nüansları anlatacağım ve nasıl yapıldığını göstereceğim? Kaçırma!

Ama o zaman neden teoriyi ortaya koydum ve bunun mutlaka bilinmesi gerektiğini söyledim. Bu doğru - bilmeniz gerekiyor. Bunu anlarsanız, bu konudaki hiçbir görev sizi şaşırtmaz.

Öğreneceğiniz bu "hileler", belirli (bazı) prototip problemlerini çözmenize yardımcı olacaktır. İleEk bir araç olarak, bu tekniklerin kullanımı elbette uygundur. Problem 2-3 kat daha hızlı çözülebilir ve C bölümünü çözmek için zaman kazandırır.

Herşey gönlünce olsun!

Saygılarımla, Alexander Krutitskikh.

P.S: Sosyal ağlarda siteden bahsederseniz minnettar olurum.

Geometrik anlam hakkında pek çok teori yazılmıştır. Fonksiyon artışının türetilmesine girmeyeceğim, size görevleri tamamlamak için ana şeyi hatırlatacağım:

x'teki türev açısal katsayı bu noktada y \u003d f (x) fonksiyonunun grafiğine teğet, yani eğim açısının X eksenine teğetidir.

Hemen sınavdan görevi alıp anlamaya başlayalım:

Görev numarası 1. Şekil gösterir fonksiyon grafiği y = f(x) ve apsisi x0 olan noktada ona teğet. f(x) fonksiyonunun x0 noktasındaki türevinin değerini bulun.
Kimin acelesi var ve açıklamaları anlamak istemiyor: böyle bir üçgen oluşturun (aşağıda gösterildiği gibi) ve duran tarafı (dikey) yalancıya (yatay) bölün ve işareti unutmazsanız mutlu olacaksınız (çizgi azalırsa (→ ↓), o zaman cevap eksi olmalı, eğer çizgi artıyorsa (→), o zaman cevap pozitif olmalı!)

Tanjant ile X ekseni arasındaki açıyı bulmanız gerekiyor, buna α diyelim: Grafiğe teğetin herhangi bir yerinde X eksenine paralel düz bir çizgi çizin, aynı açıyı elde ederiz.

x0 noktasını almamak daha iyidir çünkü tam koordinatları belirlemek için büyük bir büyüteç gerekir.

Herhangi bir dik açılı üçgeni alarak (şekilde 3 seçenek önerilmiştir), tgα'yı (açılar karşılık gelen şekilde eşittir), yani. f(x) fonksiyonunun x0 noktasında türevini elde ederiz. Neden öyle?

Diğer noktalarda x2, x1, vb. teğetler çizersek. tanjantlar farklı olacaktır.

Düz bir çizgi oluşturmak için 7. sınıfa geri dönelim!

Düz bir çizginin denklemi, y = kx + b denklemi ile verilir, burada

k - X eksenine göre eğim.

b, Y ekseni ile kesişme noktası ile orijin arasındaki mesafedir.

Düz bir çizginin türevi her zaman aynıdır: y" = k.

Doğrunun hangi noktasında türev alırsak alalım, değişmeyecektir.

Bu nedenle, sadece tgα'yı bulmak için kalır (yukarıda belirtildiği gibi: ayakta duran tarafı yatan tarafa böleriz). Karşı bacağını bitişik olana böleriz, k \u003d 0,5'i alırız. Ancak grafik azalıyorsa katsayı negatiftir: k = −0.5.

kontrol etmeni tavsiye ederim ikinci yol:
Düz bir çizgiyi tanımlamak için iki nokta kullanılabilir. Herhangi iki noktanın koordinatlarını bulun. Örneğin, (-2;-2) ve (2;-4):

Denklemde y = kx + b yerine y ve x noktalarının koordinatlarını değiştirin:

-2 = -2k + b

Bu sistemi çözerek b = -3, k = −0.5 elde ederiz.

Sonuç: İkinci yöntem daha uzundur, ancak içinde işareti unutmayacaksınız.

Cevap: - 0,5

Görev numarası 2. Şekil gösterir türev grafiği f(x) fonksiyonları. X ekseninde sekiz nokta işaretlenmiştir: x1, x2, x3, ..., x8. Bu noktalardan kaç tanesi artan f(x) fonksiyonunun aralıklarında bulunur?

Fonksiyonun grafiği azalıyorsa - türev negatiftir (ve tersi).

Fonksiyonun grafiği artarsa, türev pozitiftir (ve tersi).

Bu iki ifade karar vermenize yardımcı olacak en görevler.

Dikkatli bak size bir türev veya fonksiyon çizimi verilir ve ardından iki ifadeden birini seçin.

Fonksiyonun şematik bir grafiğini oluşturuyoruz. Çünkü bize türevin bir grafiği verildi, sonra negatif olduğu yerde fonksiyonun grafiği azalır, pozitif olduğu yerde artar!

Artış alanlarında 3 nokta olduğu ortaya çıktı: x4; x5; x6.

Cevap: 3

Görev numarası 3. f(x) fonksiyonu (-6; 4) aralığında tanımlanır. resim gösterir türevinin grafiği. Fonksiyonun en büyük değeri aldığı noktanın apsisini bulunuz.

Her zaman fonksiyon grafiğinin nasıl gittiğini, bu tür oklarla veya şematik olarak işaretlerle (No. 4 ve No. 5'te olduğu gibi) oluşturmanızı tavsiye ederim:

Açıkçası, grafik -2'ye yükselirse, maksimum nokta -2'dir.

Cevap: -2

Görev numarası 4. Şekil, f(x) fonksiyonunun bir grafiğini ve x ekseni üzerindeki on iki noktayı göstermektedir: x1, x2, ..., x12. Bu noktalardan kaç tanesinde fonksiyonun türevi negatiftir?

Görev terstir, fonksiyonun grafiği verildiğinde, fonksiyonun türevinin grafiğinin nasıl görüneceğini şematik olarak oluşturmanız ve negatif aralıkta kaç nokta olacağını hesaplamanız gerekir.

Pozitif: x1, x6, x7, x12.

Negatif: x2, x3, x4, x5, x9, x10, x11.

Cevap: 7

Bazı korkunç "aşırılıklar" sorulduğunda başka bir görev türü? Ne olduğunu bulmanız zor olmayacak ama grafikler için açıklayacağım.

Görev numarası 5. Şekil, (-16; 6) aralığında tanımlanan f(x) fonksiyonunun türevinin bir grafiğini göstermektedir. f(x) fonksiyonunun [-11; 5].

-11 ila 5 aralığına dikkat edin!

Parlak gözlerimizi plakaya çevirelim: fonksiyonun türevinin grafiği verildi => o zaman ekstremler X ekseni ile kesişme noktalarıdır.

Cevap: 3

Görev numarası 6. Şekil, (-13; 9) aralığında tanımlanan f (x) fonksiyonunun türevinin bir grafiğini göstermektedir. f(x) fonksiyonunun [-12; 5].

-12 ile 5 aralığına dikkat edin!

Plakaya tek gözle bakabilirsiniz, maksimum nokta bir ekstremumdur, öyle ki ondan önce türev pozitiftir (fonksiyon artar) ve ondan sonra türev negatiftir (fonksiyon azalır). Bu noktalar daire içine alınmıştır.

Oklar, fonksiyonun grafiğinin nasıl davrandığını gösterir.

Cevap: 3

Görev numarası 7. Şekil, (-7; 5) aralığında tanımlanan f(x) fonksiyonunun bir grafiğini göstermektedir. f(x) fonksiyonunun türevinin 0'a eşit olduğu noktaların sayısını bulun.

Yukarıdaki tabloya bakabilirsiniz (türev sıfırdır, yani bunlar ekstremum noktalarıdır). Ve bu problemde, fonksiyonun grafiği verilmiştir, bu da bulmanız gerektiği anlamına gelir. bükülme noktası sayısı!

Ve her zamanki gibi şunları yapabilirsiniz: türevin şematik bir grafiğini oluşturuyoruz.

Fonksiyonların grafiği yönünü değiştirdiğinde türev sıfırdır (artandan azalana ve tersi)

Cevap: 8

Görev numarası 8. resim gösterir türev grafiği(-2; 10) aralığında tanımlanan f(x) fonksiyonu. Artan fonksiyonun aralıklarını bulun f(x). Cevabınızda, bu aralıklara dahil edilen tamsayı noktalarının toplamını belirtin.

Fonksiyonun şematik bir grafiğini oluşturalım:

Arttığı yerde 4 tamsayı puanı elde ederiz: 4 + 5 + 6 + 7 = 22.

Cevap: 22

Görev numarası 9. resim gösterir türev grafiği(-6; 6) aralığında tanımlanan f(x) fonksiyonu. Fonksiyonun grafiğinin teğetinin y = 2x + 13 doğrusuna paralel veya çakıştığı f(x) noktalarının sayısını bulun.

Bize türevin bir grafiği verildi! Bu, tanjantımızın da bir türev haline "çevrilmesi" gerektiği anlamına gelir.

Teğet türevi: y" = 2.

Şimdi her iki türevi de oluşturalım:

Teğetler üç noktada kesişiyor, yani cevabımız 3'tür.

Cevap: 3

Görev numarası 10. Şekil f (x) fonksiyonunun grafiğini göstermektedir ve -2, 1, 2, 3 noktaları işaretlenmiştir.Bu noktalardan hangisinde türevin değeri en küçüktür? Lütfen bu noktayı cevabınızda belirtiniz.

Görev, birincisine biraz benzer: türevin değerini bulmak için, bu grafiğe bir noktada bir teğet oluşturmanız ve k katsayısını bulmanız gerekir.

Çizgi azalıyorsa, k< 0.

Doğru artıyorsa, k > 0.

Katsayının değerinin doğrunun eğimini nasıl etkileyeceğini düşünelim:

k = 1 veya k = − 1 ile grafik, x ve y eksenleri arasında ortada olacaktır.

Düz çizgi X eksenine ne kadar yakınsa, k katsayısı sıfıra o kadar yakın olur.

Doğru, Y eksenine ne kadar yakınsa, k katsayısı sonsuza o kadar yakındır.

-2 ve 1 k noktasında<0, однако в точке 1 прямая убывает "быстрее" больше похоже на ось Y =>türevin en küçük değerinin olacağı yer burasıdır.

Cevap 1

Görev numarası 11. Doğru, y = x³ + x² + 2x + 8 fonksiyonunun grafiğine y = 3x + 9 teğetidir. Temas noktasının apsisini bulun.

Grafikler olduğunda, çizgi grafiğe teğet olacaktır. ortak nokta, ve bunların türevleri. Grafiklerin denklemlerini ve türevlerini eşitleyin:

İkinci denklemi çözerek 2 puan alırız. Hangisinin uygun olduğunu kontrol etmek için, x'lerin her birini birinci denklemde yerine koyarız. Sadece biri yapacak.

Kübik bir denklemi çözmek istemiyorum, tatlı bir ruh için kare bir denklemi çözmek istiyorum.

İki "normal" yanıt alırsanız, yanıt olarak yazmanız gereken şey bu mu?

Orijinal y \u003d 3x + 9 ve y \u003d x³ + x² + 2x + 8 grafiklerine x (x) yerleştirirken, aynı Y'yi almalısınız

y= 1³+1²+2×1+8=12

Doğru! yani cevap x=1 olur

Görev numarası 12. y = − 5x − 6 doğrusu, ax² + 5x − 5 fonksiyonunun grafiğine teğettir. Bulmak bir .

Benzer şekilde, fonksiyonları ve türevlerini eşitliyoruz:

Bu sistemi a ve x değişkenlerine göre çözelim:

Cevap: 25

Türevli görev, sınavın ilk bölümünde en zor olanlardan biri olarak kabul edilir, ancak az miktarda dikkat ve konunun anlaşılmasıyla başarılı olacaksınız ve bu görevin tamamlanma yüzdesini artıracaksınız!

mezuniyet çalışması KULLANIM formu 11. sınıf öğrencileri için mutlaka limitleri hesaplama, bir fonksiyonun türevini azaltma ve artırma aralıklarını, uç noktaları bulma ve grafik çizme görevlerini içerir. Bu konuyla ilgili iyi bir bilgi, sınavın birkaç sorusunu doğru bir şekilde yanıtlamanıza ve daha ileri mesleki eğitimde zorluk yaşamamanıza olanak tanır.

temel bilgiler diferansiyel hesap matematiğin ana konularından biri modern okul. Değişkenlerin bağımlılıklarını incelemek için türevin kullanımını inceler - bir fonksiyonun artışını ve azalmasını çizime başvurmadan analiz edebileceğiniz türev aracılığıyladır.

Mezunların kapsamlı hazırlanması sınavı geçmeküzerinde eğitim portalı"Shkolkovo", farklılaşma ilkelerini derinlemesine anlamaya yardımcı olacaktır - teoriyi ayrıntılı olarak anlamak, çözüm örneklerini incelemek tipik görevler ve bağımsız işlerde şansınızı deneyin. Bilgideki boşlukları gidermenize yardımcı olacağız - konunun sözcüksel kavramlarını ve niceliklerin bağımlılıklarını anladığınızı netleştirmek için. Öğrenciler, bir fonksiyonun türevinin belirli bir aralıktaki yükselişi veya düşüşü anlamına gelen monotonluk aralıklarının nasıl bulunacağını, sınır noktaları bulunan ve bulunan aralıklara dahil olmayan tekrar edebilecektir.

Tematik problemlerin doğrudan çözümüne başlamadan önce, öncelikle "Teorik Referans" bölümüne gitmenizi ve kavram, kural ve tablo formüllerinin tanımlarını tekrarlamanızı öneririz. Burada ayrıca artan ve azalan fonksiyonların her bir aralığının nasıl bulunacağını ve türev grafiğinde nasıl kaydedileceğini de okuyabilirsiniz.

Sunulan tüm bilgiler, pratik olarak sıfırdan anlamak için en erişilebilir biçimde sunulur. Site, çeşitli şekillerde algılama ve asimilasyon için materyaller sağlar. çeşitli formlar– deneyimli öğretmenlerin rehberliğinde okuma, video izleme ve doğrudan eğitim. Profesyonel eğitimciler analitik ve grafiksel yöntemler kullanarak bir fonksiyonun türevinin artış ve azalış aralıklarını nasıl bulacağınızı ayrıntılı olarak anlatacaklar. Web seminerleri sırasında, hem teoride hem de belirli problemlerin çözümünde ilginizi çeken herhangi bir soru sormak mümkün olacaktır.

Konunun ana noktalarını hatırlayarak, sınav seçeneklerinin görevlerine benzer şekilde bir fonksiyonun türevini artırma örneklerine bakın. Öğrendiklerinizi pekiştirmek için "Katalog"a bakın - burada bulacaksınız pratik alıştırmalar için bağımsız iş. Bölümdeki görevler seçilir farklı seviyeler beceri geliştirme açısından zorluk. Her biri için örneğin çözüm algoritmaları ve doğru cevaplar ektedir.

Öğrenciler, "Yapıcı" bölümünü seçerek, bir fonksiyonun türevinin gerçek üzerindeki artış ve azalışını inceleme pratiği yapabileceklerdir. KULLANIM seçenekleri dikkate alınarak sürekli güncellenir son değişiklikler ve yenilik.

Belirli bir aralıkta, işlevin 2 maksimum ve 2 minimum olmak üzere toplam 4 uç noktası vardır. Görev Şekil, bir aralıkta tanımlanan bir fonksiyonun türevinin grafiğini göstermektedir. Çözüm Belirli bir aralıkta, fonksiyonun türevi pozitiftir, dolayısıyla fonksiyon bu aralıkta artmaktadır. Çözüm Bir noktada türev sıfıra eşitse ve komşuluğunda işaret değişiyorsa, bu bir ekstremum noktasıdır.

Türevin değerinin hesaplanması. İki nokta yöntemi

1. Türevin grafiğini kullanarak fonksiyonu keşfedin. y=f(x) fonksiyonu (x1;x2) ve (x3;x4) aralıklarında azalır. y=f ‘(x) türevinin grafiğini kullanarak y=f(x) fonksiyonunun değerlerini de karşılaştırabilirsiniz.

Bu noktaları A (x1; y1) ve B (x2; y2) olarak gösterelim. Koordinatları doğru yazın - bu çözümün kilit noktasıdır ve buradaki herhangi bir hata yanlış cevaba yol açar.

AT fiziksel duyu türev, herhangi bir sürecin değişim oranıdır. Malzeme noktası x(t) = t²-13t+23 yasasına göre doğrusal hareket eder, burada x metre cinsinden referans noktasına olan mesafedir, t hareketin başlangıcından itibaren ölçülen saniye cinsinden zamandır.

Bir daireye teğet, elips, hiperbol, parabol.

Kulağa şöyle geldiğini hatırlatmama izin verin: fonksiyonun daha büyük argümanı fonksiyonun daha büyük/daha küçük bir değerine karşılık geliyorsa, bir fonksiyona aralıkta artan/azalan denir. Ama lütfen 7089 sorununun çözümüne bakın. Orada, artış aralıklarını belirtirken sınırlar dahil edilmez. Türevin grafiğinin verildiğine dikkat edin. Her zamanki gibi: delinmiş nokta grafikte yer almıyor, içindeki değerler mevcut değil ve dikkate alınmadı. İyi hazırlanmış çocuklar "türev" ve "ikinci türev" kavramlarını birbirinden ayırır. Kafa karıştırıyorsunuz: türev 0'a dönerse, o noktada fonksiyonun minimum veya maksimumu olabilir. negatif değerler türev, f(x) fonksiyonunun azaldığı aralıklara karşılık gelir.

Bu noktaya kadar, grafiklere teğet denklemlerini bulmakla meşguldük. tek değerli fonksiyonlarçeşitli noktalarda y = f(x) şeklindedir.

Aşağıdaki şekil aslında üç farklı sekant gösterir (A ve B noktaları farklıdır), ancak bunlar çakışır ve tek bir denklemle verilir. Ama yine de, tanımdan başlarsak, o zaman çizgi ve onun kesen çizgisi çakışır. Temas noktalarının koordinatlarını bulmaya başlayalım. Lütfen buna dikkat edin, çünkü daha sonra temas noktalarının koordinatlarını hesaplarken kullanacağız. Bir noktada merkezi ve köşeleri olan ve eşitlikle (aşağıdaki soldaki şekil) ve köşeleri ve - eşitlikle (aşağıdaki sağdaki şekil) verilen bir hiperbol. Mantıksal bir soru ortaya çıkıyor, bir noktanın hangi işlevlere ait olduğunu nasıl belirleyeceğiz. Bunu cevaplamak için, her denklemin koordinatlarını yerine koyarız ve hangi eşitliklerin bir özdeşliğe dönüştüğünü görürüz.

Bazen öğrenciler bir fonksiyonun grafiğinin teğetinin ne olduğunu sorarlar. Bu, bu bölümdeki grafikle tek ortak noktaya sahip olan düz bir çizgidir, ayrıca şeklimizde gösterildiği gibi. Bir daireye teğet gibi görünüyor. Bulalım. teğet olduğunu hatırlıyoruz dar açı içinde sağ üçgen karşı bacağın bitişik olana oranına eşittir. Grafikte bu, belirli bir noktada teğet çizmenin imkansız olduğu keskin bir kırılmaya karşılık gelir. Ancak fonksiyon bir grafikle değil, bir formülle verilirse türev nasıl bulunur?