Matematiksel problemler uygulamalarını birçok bilimde bulur. Bunlar sadece fizik, kimya, mühendislik ve ekonomiyi değil, aynı zamanda tıp, ekoloji ve diğer disiplinleri de içerir. Önemli ikilemlere çözüm bulmak için uzmanlaşılması gereken önemli bir kavram, bir fonksiyonun türevidir. Bunun fiziksel anlamını, konunun özünde deneyimsizlere göründüğü kadar açıklamak hiç de zor değil. Buna uygun örnekler bulmak yeterlidir. gerçek hayat ve normal günlük durumlar. Aslında, herhangi bir sürücü her gün hız göstergesine baktığında benzer bir görevle başa çıkar ve arabasının hızını sabit bir zamanın belirli bir anında belirler. Sonuçta, türevin fiziksel anlamının özü bu parametrede yatmaktadır.

hız nasıl bulunur

Herhangi bir beşinci sınıf öğrencisi, kat edilen mesafeyi ve seyahat süresini bilerek, bir kişinin yoldaki hızını kolayca belirleyebilir. Bunu yapmak için verilen değerlerden ilki ikinciye bölünür. Ama her genç matematikçi bunu bilmiyor. şu an bir fonksiyonun ve bir argümanın artış oranını bulur. Gerçekten de, hareketi y ekseni boyunca yolu ve apsis boyunca zamanı döşeyen bir grafik şeklinde hayal edersek, tam olarak bu olacaktır.

Ancak, yolun büyük bir bölümünde belirlediğimiz bir yayanın veya başka herhangi bir cismin hızı, hareketin tekdüze olduğunu göz önünde bulundurarak değişebilir. Fizikte birçok hareket şekli vardır. Sadece sabit bir hızlanma ile değil, keyfi bir şekilde yavaşlama ve arttırma ile gerçekleştirilebilir. Bu durumda hareketi tanımlayan çizginin artık düz bir çizgi olmayacağına dikkat edilmelidir. Grafiksel olarak, en karmaşık konfigürasyonları üstlenebilir. Ancak grafikteki herhangi bir nokta için her zaman doğrusal bir fonksiyonla temsil edilen bir teğet çizebiliriz.

Zamana bağlı olarak yer değiştirme değişimi parametresini iyileştirmek için ölçülen segmentleri azaltmak gerekir. Sonsuz derecede küçüldüklerinde hesaplanan hız anlık olacaktır. Bu deneyim, türevi tanımlamamıza yardımcı olur. Fiziksel anlamı da mantıksal olarak böyle bir akıl yürütmeden kaynaklanmaktadır.

geometri açısından

Ne olduğu biliniyor Daha fazla hız cisim, yer değiştirmenin zamana bağımlılığının grafiği ne kadar dik olursa ve dolayısıyla belirli bir noktada teğetin grafiğe eğim açısı o kadar dik olur. Bu tür değişikliklerin bir göstergesi, x ekseni ile teğet çizgisi arasındaki açının tanjantı olabilir. Türevin değerini belirleyen ve zıt uzunlukların bitişik bacağa oranıyla hesaplanan kişidir. sağ üçgen, bir noktadan x eksenine düşen bir dikey tarafından oluşturulur.

Bu geometrik anlamda birinci türev. Fiziksel olan, bizim durumumuzda karşı bacağın değerinin kat edilen mesafe ve bitişik olanın zaman olduğu gerçeğinde ortaya çıkar. Oranları hızdır. Ve yine, her iki boşluk da sonsuz derecede küçük olma eğilimindeyken belirlenen anlık hızın, fiziksel anlamına işaret eden öz olduğu sonucuna varıyoruz. Bu örnekteki ikinci türev, sırayla hızdaki değişimin derecesini gösteren cismin ivmesi olacaktır.

Fizikte türev bulma örnekleri

Türev, kelimenin tam anlamıyla hareketten bahsetmiyor olsak bile, herhangi bir fonksiyonun değişim oranının bir göstergesidir. Bunu açıkça göstermek için birkaç somut örnek alalım. Mevcut gücün zamana bağlı olarak aşağıdaki yasaya göre değiştiğini varsayalım: İ= 0.4t2.İşlemin 8. saniyesi sonunda bu parametrenin değişme hızının değerinin bulunması gerekmektedir. Denklemden de anlaşılacağı gibi, istenen değerin kendisinin sürekli arttığına dikkat edin.

Çözüm için, daha önce fiziksel anlamı düşünülen birinci türevi bulmak gerekir. Burada dI/ dt = 0,8 t. Sonra, onu buluyoruz t=8 , akım gücündeki değişimin meydana gelme hızının eşit olduğunu elde ederiz. 6,4 A/ c. Burada mevcut gücün amper cinsinden ve zamanın sırasıyla saniye cinsinden ölçüldüğü kabul edilir.

her şey değişebilir

Görünür Dünya maddeden oluşan, sürekli değişime uğrayan, içinde akan hareket halinde olan çeşitli süreçler. Bunları tanımlamak için en çok farklı parametreler. Bağımlılıkla birleştirilirlerse, değişimlerini açıkça gösteren bir fonksiyon olarak matematiksel olarak yazılırlar. Ve hareketin olduğu yerde (hangi biçimde ifade edilirse edilsin), şu anda fiziksel anlamını düşündüğümüz bir türev de vardır.

Bu bağlamda, aşağıdaki örnek. Vücut ısısının yasalara göre değiştiğini varsayalım. T=0,2 t 2 . 10. saniyenin sonunda ısınma hızını bulmalısınız. Sorun, önceki durumda açıklanana benzer bir şekilde çözülür. Yani, türevi buluyoruz ve yerine değerini yerine koyuyoruz. t= 10 , alırız T= 0,4 t= 4. Bu demektir ki nihai cevap saniyede 4 derecedir, yani ısıtma işlemi ve derece cinsinden ölçülen sıcaklık değişimi tam olarak bu oranda gerçekleşir.

Pratik problemlerin çözümü

Tabii ki, gerçek hayatta her şey teorik problemlerden çok daha karmaşıktır. Uygulamada, miktarların değeri genellikle deney sırasında belirlenir. Bu durumda, ölçümler sırasında belirli bir hata ile okuma veren cihazlar kullanılır. Bu nedenle, hesaplamalarda, parametrelerin yaklaşık değerleri ile ilgilenmek ve diğer basitleştirmelerin yanı sıra uygunsuz sayıları yuvarlamaya başvurmak gerekir. Bunu dikkate alarak, doğada meydana gelen en karmaşık süreçlerin yalnızca bir tür matematiksel modeli oldukları göz önüne alındığında, türevin fiziksel anlamı ile ilgili problemlere tekrar geçeceğiz.

patlama

Bir volkanın patladığını hayal edin. Ne kadar tehlikeli olabilir? Bu soruyu cevaplamak için birçok faktörü göz önünde bulundurmak gerekir. Bunlardan birini dikkate almaya çalışacağız.

"Ateşli canavar"ın ağzından taşlar, dışarı çıktıkları andan itibaren bir başlangıç ​​hızına sahip olacak şekilde dikey olarak yukarı doğru fırlatılır.Ne kadar yükseğe ulaşabileceklerini hesaplamak gerekir.

İstenen değeri bulmak için, metre cinsinden ölçülen H yüksekliğinin diğer niceliklere bağımlılığı için bir denklem oluşturuyoruz. Bunlar ilk hız ve zamanı içerir. İvme değeri bilinen kabul edilir ve yaklaşık olarak 10 m/s 2'ye eşittir.

Kısmi türev

Şimdi bir fonksiyonun türevinin fiziksel anlamını biraz farklı bir açıdan ele alalım, çünkü denklemin kendisi bir değil birkaç değişken içerebilir. Örneğin, bir önceki problemde, bir yanardağın ağzından atılan taşların yükselme yüksekliğinin bağımlılığı sadece zaman özelliklerindeki bir değişiklikle değil, aynı zamanda değer ile de belirlendi. Başlangıç ​​hızı. İkincisi sabit, sabit bir değer olarak kabul edildi. Ancak tamamen farklı koşullara sahip diğer görevlerde her şey farklı olabilir. Karmaşık bir fonksiyonun bağlı olduğu birkaç miktar varsa, hesaplamalar aşağıdaki formüllere göre yapılır.

Sık türevin fiziksel anlamı, olağan durumda olduğu gibi belirlenmelidir. Bu, değişkenin parametresi arttıkça fonksiyonun belirli bir noktada değişme hızıdır. Diğer tüm bileşenler sabit olarak alınacak şekilde hesaplanır, yalnızca biri değişken olarak kabul edilir. Sonra her şey olağan kurallara göre olur.

Türevin fiziksel anlamını anlamak, cevabı bu tür bilgilerle bulunabilecek karmaşık ve karmaşık problemlerin çözümüne ilişkin örnekler vermek zor değildir. Aracın hızına bağlı olarak yakıt tüketimini tanımlayan bir fonksiyonumuz varsa, ikincisinin hangi parametrelerinde benzin tüketiminin en az olacağını hesaplayabiliriz.

Tıpta nasıl tepki vereceğini tahmin edebilirsiniz. insan vücudu doktor tarafından reçete edilen ilaca. İlacın alınması çeşitli fizyolojik parametreleri etkiler. Bunlar, değişiklikleri içerir tansiyon, nabız, vücut ısısı ve çok daha fazlası. Hepsi alınan doza bağlıdır. tıbbi ürün. Bu hesaplamalar, hem olumlu belirtilerde hem de hastanın vücudundaki değişiklikleri ölümcül şekilde etkileyebilecek istenmeyen kazalarda tedavinin seyrini tahmin etmeye yardımcı olur.

Kuşkusuz, teknik konularda, özellikle elektrik mühendisliği, elektronik, tasarım ve inşaat alanlarında türevin fiziksel anlamını anlamak önemlidir.

fren mesafeleri

Bir sonraki sorunu düşünelim. Sabit hızla hareket eden otomobil, köprüye yaklaşan sürücünün fark ettiği gibi girişten 10 saniye önce yavaşlamak zorunda kaldı. yol işareti 36 km / s'den daha yüksek bir hızda hareketi yasaklamak. Fren mesafesi S = 26t - t 2 formülü ile tanımlanabiliyorsa, sürücü kuralları çiğnedi mi?

İlk türevi hesapladıktan sonra hız formülünü buluyoruz, v = 28 - 2t elde ediyoruz. Ardından, t=10 değerini belirtilen ifadenin yerine koyarız.

Bu değer saniye cinsinden ifade edildiğinden hız 8 m/s yani 28,8 km/s çıkıyor. Bu, sürücünün zamanında yavaşlamaya başladığını ve trafik kurallarını ve dolayısıyla hız işaretinde belirtilen sınırı ihlal etmediğini anlamayı mümkün kılar.

Bu, türevin fiziksel anlamının önemini kanıtlar. Bu sorunu çözmenin bir örneği, bu kavramın yaşamın çeşitli alanlarında kullanımının genişliğini göstermektedir. Günlük durumlar dahil.

Ekonomide türev

19. yüzyıldan önce, ekonomistler, ister emek verimliliği ister çıktı fiyatı olsun, çoğunlukla ortalamalarla ilgilendiler. Ancak bir noktadan sonra, bu alanda etkili tahminler yapmak için sınırlayıcı değerler daha gerekli hale geldi. Bunlara marjinal fayda, gelir veya maliyet dahildir. Bunu anlamak, tamamen yeni bir aracın yaratılmasına ivme kazandırdı. ekonomik araştırma yüz yıldan fazla bir süredir var olan ve gelişen.

Minimum ve maksimum gibi kavramların baskın olduğu bu tür hesaplamaları yapmak için, türevin geometrik ve fiziksel anlamını anlamak yeterlidir. yaratıcılar arasında teorik temel Bu disiplinler, W. S. Jevons, K. Menger ve diğerleri gibi önde gelen İngiliz ve Avusturyalı iktisatçılar olarak adlandırılabilir. Elbette ekonomik hesaplamalarda sınır değerlerin kullanımı her zaman uygun değildir. Ve örneğin, üç aylık raporlar mutlaka aşağıdakilere uymaz: mevcut şema, ancak yine de böyle bir teorinin uygulanması birçok durumda faydalı ve etkilidir.

Dersin Hedefleri:

eğitici:

• Öğrenciler tarafından türevin fiziksel anlamının anlamlı bir şekilde özümsenmesi için koşullar yaratmak.
• Çeşitli fiziksel problemleri çözmek için türevin pratik kullanımının beceri ve yeteneklerinin oluşumunu teşvik etmek.

geliştirme:

• Matematiksel ufukların gelişimini teşvik etmek, konunun pratik gerekliliğinin ve teorik öneminin açıklanması yoluyla öğrenciler arasında bilişsel ilgi.
• Öğrencilerin zihinsel becerilerini geliştirmek için koşullar sağlayın: karşılaştırın, analiz edin, genelleştirin.

eğitici:

• Matematiğe ilgiyi teşvik edin.

Ders türü: Yeni bilgiye hakim olma dersi.

Çalışma biçimleri:ön, bireysel, grup.

Teçhizat: Bilgisayar, interaktif beyaz tahta, sunum, ders kitabı.

Ders yapısı:

1. zaman düzenleme dersin hedefini belirlemek
2. Yeni materyal öğrenmek
3. Yeni malzemenin birincil fiksasyonu
4. Bağımsız iş
5. Dersin özeti. Refleks.

Dersler sırasında

İ. Organizasyonel an, dersin hedefini belirleme (2 dk.)

II. Yeni materyal öğrenme (10 dk.)

Öğretmen:Önceki derslerde, türevleri hesaplama kurallarını öğrendik, lineer türevleri nasıl bulacağımızı öğrendik, güç, trigonometrik fonksiyonlar. Türevin geometrik anlamının ne olduğunu öğrendik. Bugün derste bu kavramın fizikte nerede uygulandığını öğreneceğiz.

Bunun için türevin tanımını hatırlıyoruz. (Slayt 2)

Şimdi fizik dersine dönelim (Slayt 3)

Öğrenciler tartışır ve hatırlar fiziksel kavramlar ve formüller.

Cismin S(t)=f(t) yasasına göre hareket etmesine izin verin. Cismin t 0'dan t 0 + Δ t'ye kadar geçen süre boyunca kat ettiği yolu düşünün; burada Δt, argümanın artışıdır. t 0 anında vücut S(t 0) yolunu, t 0 +Δt anında - S(t 0 +Δt) yolunu geçti. Bu nedenle, Δt süresi boyunca, vücut S(t 0 +Δt) –S(t 0) yolunu kat etti, yani. bir fonksiyon artışı elde ettik. Bu süre için vücudun ortalama hızı υ==

Zaman aralığı t ne kadar kısa olursa, t anında vücudun hangi hızda hareket ettiğini daha doğru bir şekilde öğrenebiliriz. t → 0 bırakarak, anlık hızı elde ederiz - Sayısal değer bu hareketin t anındaki hız.

u= , Δt→0'da hız, mesafenin zamana göre türevidir.

slayt 4

Hızlanmanın tanımını hatırlayın.

Yukarıdaki materyali uygulayarak, şu sonuca varabiliriz: t a(t)= υ’(t) ivme, hızın türevidir.

Ayrıca, interaktif beyaz tahtada akım gücü, açısal hız, EMF, vb. için formüller görünür. Öğrenciler bu fiziksel niceliklerin anlık değerlerini türev kavramıyla tamamlarlar. (yokluk ile interaktif beyaz tahta sunumu kullanın)

Slaytlar 5-8

Sonuç öğrenciler tarafından yapılır.

Çözüm:(Slayt 9) Türev, fonksiyonun değişim oranıdır. (Yolun fonksiyonları, koordinatlar, hız, manyetik akı vb.)

υ (x) \u003d f '(x)

Öğretmen: arasındaki ilişkinin olduğunu görüyoruz. nicel özellikler fizik tarafından incelenen çok çeşitli süreçler, teknik bilimler, kimya, yol ve hız arasındaki ilişkiye benzer. Çözümü için belirli bir fonksiyonun değişim oranını bulmanın da gerekli olduğu birçok problem verebilirsiniz, örneğin: belirli bir anda bir çözeltinin konsantrasyonunu bulmak, bir sıvının akış hızını bulmak, bir cismin açısal dönme hızı, bir noktadaki doğrusal yoğunluk, vb. Şimdi bu sorunlardan bazılarını çözeceğiz.

III. Edinilen bilgilerin pekiştirilmesi (grup halinde çalışma) (15 dk.)

Tahtada sonraki analizlerle

Problemleri çözmeden önce, fiziksel büyüklüklerin ölçü birimlerini netleştirin.

Hız - [m/sn]
Hızlanma - [m / s 2]
Güç - [N]
Enerji - [J]

Görev 1 grubu

Nokta s(t)=2t³-3t kuralına göre hareket eder (s metre cinsinden mesafe, t saniye cinsinden zamandır). Noktanın hızını, 2s zamanındaki ivmesini hesaplayın

Görev 2 grubu

Volan, φ(t)= t 4 -5t yasasına göre eksen etrafında döner. 2s zamanında ω açısal hızını bulun (φ radyan cinsinden dönme açısıdır, ω rad/s açısal hızdır)

Görev 3 grubu

2 kg kütleli bir vücut, x (t) \u003d 2-3t + 2t² yasasına göre düz bir çizgide hareket eder

Vücudun hızını ve hızını bulun kinetik enerji Hareketin başlamasından 3 s sonra. Şu anda vücuda hangi kuvvet etki ediyor? (t saniye cinsinden ölçülür, x metre cinsindendir)

Görev 4

Nokta İşlemleri salınım hareketleri x(t)=2sin3t yasasına göre. İvmenin x koordinatıyla orantılı olduğunu kanıtlayın.

IV. 272, 274, 275, 277 numaralı problemlerin bağımsız çözümü

[A.N.Kolmogorov, A.M.Abramov ve diğerleri. "Cebir ve analiz notlarının başlangıcı 10-11"] 12 dk

Verilen:	Karar:
x(t)=- ______________ t=? υ(t)=?	υ(t)=x'(t); υ(t)= (-)’= 3t²+6t= +6t; a(t)=υ'(t) a(t)=( +6t)’= 2t+6=-t+6; a(t)=0; -t+6=0; t=6; υ(6)=+6 6=-18+36=18m/s Cevap: t=6c; υ(6)= 18m/s

f (x) fonksiyonunun x0 noktasındaki türevi, fonksiyonun x0 noktasındaki artışının Δx argümanının artışına oranının (varsa) limitidir. sıfırdır ve f '(x0) ile gösterilir. Bir fonksiyonun türevini bulma işlemine türev denir.
Bir fonksiyonun türevi aşağıdaki fiziksel anlama sahiptir: verilen nokta- belirli bir noktada fonksiyonun değişim oranı.

Türevin geometrik anlamı. x0 noktasındaki türev, y=f(x) fonksiyonunun bu noktadaki grafiğine teğetin eğimine eşittir.

Türevin fiziksel anlamı. Bir nokta x ekseni boyunca hareket ediyorsa ve koordinatı x(t) yasasına göre değişiyorsa, noktanın anlık hızı:

Diferansiyel kavramı, özellikleri. Farklılaşma kuralları. Örnekler

Tanım. Bir fonksiyonun x noktasındaki diferansiyeli, fonksiyonun artışının ana, doğrusal kısmıdır.y = f(x) fonksiyonunun diferansiyeli, türevinin ürününe ve x bağımsız değişkeninin artışına eşittir ( argüman).

Şu şekilde yazılmıştır:

veya

Veya


Diferansiyel Özellikler
Diferansiyel, türevin özelliklerine benzer özelliklere sahiptir:





İle temel farklılaşma kuralları Dahil etmek:
1) türevin işaretinden sabit çarpanın çıkarılması
2) toplamın türevi, farkın türevi
3) fonksiyonların çarpımının türevi
4) iki fonksiyonun bir bölümünün türevi (bir kesrin türevi)

Örnekler
Formülü ispatlayalım: Türevin tanımına göre, elimizde:

Sınıra geçiş işaretinden keyfi bir faktör alınabilir (bu, sınırın özelliklerinden bilinir), bu nedenle

Örneğin: Bir fonksiyonun türevini bulun
Karar: Türevin işaretinden çarpanı çıkarma kuralını kullanırız. :

Oldukça sık, türev tablosunu ve türev bulma kurallarını kullanmak için önce türevlenebilir bir fonksiyonun formunu basitleştirmek gerekir. Aşağıdaki örnekler bunu açıkça doğrulamaktadır.

Farklılaşma formülleri. Diferansiyelin yaklaşık hesaplamalarda uygulanması. Örnekler

Yaklaşık hesaplamalarda diferansiyelin kullanılması, fonksiyon değerlerinin yaklaşık hesaplamaları için diferansiyelin kullanılmasına izin verir.
Örnekler.
Diferansiyel kullanarak, yaklaşık olarak hesaplayın
Hesaplamak verilen değer formülü teoriden uygula
Bir fonksiyon tanıtalım ve verilen değeri formda gösterelim.
sonra Hesapla

Her şeyi formülde yerine koyarsak, sonunda
Cevap:

16. L'Hopital'in 0/0 veya ∞/∞ şeklindeki belirsizliklerin açıklanması kuralı. Örnekler
İki sonsuz küçük veya iki sonsuz büyük niceliğin oranının sınırı, türevlerinin oranının sınırına eşittir.

1)

17. Artan ve azalan fonksiyon. fonksiyonun ekstremumu. Monotonluk ve ekstremum için bir fonksiyonu incelemek için algoritma. Örnekler

İşlev artışlar bir aralıkta, eğer bu aralığın herhangi iki noktası için, ilgili ilişki, eşitsizlik doğrudur. yani, daha büyük değer argüman, fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık gelir ve grafiği "aşağıdan yukarıya" gider. Demo işlevi aralık boyunca büyür

Aynı şekilde, fonksiyon azalan bir aralıkta, verilen aralığın herhangi iki noktası için eşitsizlik doğru olacak şekilde. Yani, argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha küçük bir değerine karşılık gelir ve grafiği "yukarıdan aşağıya" gider. Bizimkiler aralıklarla azalır Aralıklarla azalır .

aşırılıklar Komşuluğundaki tüm x için eşitsizlik doğruysa, bu noktaya y=f(x) fonksiyonunun maksimum noktası denir. Fonksiyonun maksimum noktadaki değerine denir. maksimum fonksiyon ve belirtmek.
Komşuluğundaki tüm x için eşitsizlik doğruysa, bu noktaya y=f(x) fonksiyonunun minimum noktası denir. Fonksiyonun minimum noktadaki değerine denir. minimum fonksiyon ve belirtmek.
Bir noktanın komşuluğu aralık olarak anlaşılır , yeterince küçük bir pozitif sayı nerede.
Minimum ve maksimum noktalara uç noktalar, uç noktalara karşılık gelen fonksiyon değerlerine ise uç noktalar denir. fonksiyon ekstremi.

Bir işlevi keşfetmek için monotonluk için aşağıdaki diyagramı kullanın:
- Fonksiyonun kapsamını bulun;
- Fonksiyonun türevini ve türevin alanını bulun;
- Türevin sıfırlarını bulun, yani. türevinin sıfıra eşit olduğu argümanın değeri;
- Sayı satırında işaretleyin genel kısım fonksiyonun alanı ve türevinin alanı ve üzerinde - türevin sıfırları;
- Elde edilen aralıkların her birinde türevin işaretlerini belirleyin;
- Türevin işaretleri ile fonksiyonun hangi aralıklarda arttığını ve hangilerinde azaldığını belirleyin;
- Noktalı virgülle ayrılmış uygun boşlukları kaydedin.

Monotonluk ve aşırılık için sürekli bir y = f(x) fonksiyonunu incelemek için algoritma:
1) f ′(x) türevini bulun.
2) y = f(x) fonksiyonunun durağan (f ′(x) = 0) ve kritik (f ′(x) yok) noktalarını bulun.
3) Reel doğru üzerinde durağan ve kritik noktaları işaretleyiniz ve elde edilen aralıklarda türevin işaretlerini belirleyiniz.
4) Fonksiyonun monotonluğu ve uç noktaları hakkında sonuçlar çıkarır.

18. Bir fonksiyonun dışbükeyliği. Eğilme noktaları. Dışbükeylik (İçbükeylik) için bir işlevi incelemek için algoritma Örnekler.

aşağı dışbükey X aralığında, grafiği X aralığının herhangi bir noktasında kendisine teğetten daha düşük değilse.

türevlenebilir fonksiyon denir dışbükey yukarı X aralığında, grafiği X aralığının herhangi bir noktasında kendisine teğetten daha yüksek değilse.

Nokta formülü denir grafik bükülme noktası y \u003d f (x) işlevi, belirli bir noktada işlevin grafiğine bir teğet varsa (Oy eksenine paralel olabilir) ve içinde grafiğin bulunduğu nokta formülünün böyle bir mahallesi varsa fonksiyon, M noktasının solunda ve sağında farklı dışbükeylik yönlerine sahiptir.

Dışbükeylik için aralıkları bulma:

y=f(x) fonksiyonunun X aralığında sonlu bir ikinci türevi varsa ve eşitsizlik (), o zaman fonksiyonun grafiği X üzerinde aşağı (yukarı) yönlendirilmiş bir dışbükeyliğe sahiptir.
Bu teorem, bir fonksiyonun içbükeylik ve dışbükeylik aralıklarını bulmanızı sağlar, yalnızca eşitsizlikleri ve sırasıyla orijinal işlevin tanım alanında çözmeniz gerekir.

Misal: Fonksiyonun grafiğinin hangi aralıklarda olduğunu bulun Fonksiyonun grafiğinin hangi aralıklarda olduğunu bulun yukarı doğru bir dışbükeyliğe ve aşağı doğru bir dışbükeyliğe sahiptir. yukarı doğru bir dışbükeyliğe ve aşağı doğru bir dışbükeyliğe sahiptir.
Karar: Bu fonksiyonun etki alanı, gerçek sayılar kümesinin tamamıdır.
İkinci türevi bulalım.

İkinci türevin tanım alanı, orijinal fonksiyonun tanım alanı ile çakışır, bu nedenle, içbükeylik ve dışbükeylik aralıklarını bulmak için sırasıyla çözmek yeterlidir. Bu nedenle, fonksiyon, aralık formülünde aşağı dışbükey ve aralık formülünde yukarı doğru dışbükeydir.

19) Bir fonksiyonun asimptotları. Örnekler

Doğrudan aradı dikey asimptot Sınır değerlerden en az birinin veya eşit olması durumunda fonksiyonun grafiği veya .

Yorum. Fonksiyon 'de sürekli ise, doğru dikey bir asimptot olamaz. Bu nedenle düşey asimptotlar fonksiyonun süreksizlik noktalarında aranmalıdır.

Doğrudan aradı Yatay asimptot fonksiyonun grafiği sınır değerlerden en az biri veya eşitse .

Yorum. Bir fonksiyon grafiğinin yalnızca bir sağ yatay asimptotu veya yalnızca bir sol asimptotu olabilir.

Doğrudan aradı eğik asimptot fonksiyonun grafiği ise

MİSAL:

Egzersiz yapmak. Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Karar.İşlev kapsamı:

a) dikey asimptotlar: düz bir çizgi dikey bir asimptottur, çünkü

b) yatay asimptotlar: fonksiyonun sonsuzdaki limitini buluruz:

yani yatay asimptot yoktur.

c) eğik asimptotlar:

Böylece, eğik asimptot: .

Cevap. Dikey asimptot düz bir çizgidir.

Eğik asimptot düz bir çizgidir.

20) Genel şema fonksiyon çalışmaları ve çizim. Misal.

a.
Fonksiyonun ODZ'sini ve kesme noktalarını bulun.

b. Fonksiyon grafiğinin koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını bulun.

2. Birinci türevi kullanarak bir fonksiyon etüdü yapın, yani fonksiyonun uç noktalarını ve artış ve azalış aralıklarını bulun.

3. İkinci dereceden türevi kullanarak fonksiyonu araştırın, yani fonksiyon grafiğinin bükülme noktalarını ve dışbükeylik ve içbükeylik aralıklarını bulun.

4. Fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun: a) dikey, b) eğik.

5. Etüt temelinde, fonksiyonun bir grafiğini oluşturun.

Çizmeden önce verilen bir fonksiyonun çift mi yoksa tek mi olduğunu belirlemenin faydalı olduğunu unutmayın.

Argümanın işareti değiştiğinde işlevin değeri değişmese bile bir işlevin çağrıldığını hatırlayın: f(-x) = f(x) ve eğer bir fonksiyona tek denir f(-x) = -f(x).

Bu durumda, fonksiyonu incelemek ve grafiğini çizmek yeterlidir. pozitif değerler ODZ'ye ait argüman. saat negatif değerler argüman, grafik, bir çift fonksiyon için eksen etrafında simetrik olduğu temelinde tamamlanır. Oy, ve orijine göre garip.

Örneklerİşlevleri keşfedin ve grafiklerini oluşturun.

fonksiyon kapsamı D(y)= (–∞; +∞). Herhangi bir kırılma noktası yok.

Eksen kesişimi Öküz: x = 0,y= 0.

İşlev tektir, bu nedenle, yalnızca aralık üzerinde incelenebilir ve argümanı [x] birimlerindedir, daha sonra türev (hız) birimlerinde ölçülür.

Görev 6

x(t) = 6t 2 − 48t+ 17, nerede x t t= 9s.

türevi bulma
x"(t) = (6t 2 − 48t + 17)" = 12t − 48.
Böylece hızın zamana bağımlılığını elde etmiş olduk. Belirli bir zaman noktasındaki hızı bulmak için, değerini elde edilen formülde yerine koymanız gerekir:
x"(t) = 12t − 48.
x"(9) = 12 9 - 48 = 60.

Cevap: 60

Yorum: Miktarların boyutlarında bir hata yapmadığımızdan emin olalım. Burada uzaklık birimi (fonksiyon) [x] = metre, zaman birimi (fonksiyon argümanı) [t] = saniye, dolayısıyla türev birimi = [m/s], yani. türev, hızı sadece problemin sorusunda belirtilen birimlerde verir.

Görev 7

Maddi nokta, yasaya göre düz bir çizgide hareket eder. x(t) = −t 4 + 6t 3 + 5t+ 23, nerede x- metre cinsinden referans noktasından uzaklık, t- hareketin başlangıcından itibaren ölçülen saniye cinsinden süre. O andaki hızını (saniyede metre cinsinden) bulun t= 3s.

türevi bulma
x"(t) = (−t 4 + 6t 3 + 5t + 23)" = −4t 3 + 18t 2 + 5.
Elde edilen formülde verilen zaman anını değiştiririz
x"(3) = -4 3 3 + 18 3 2 + 5 = −108 + 162 + 5 = 59.

Cevap: 59

Görev 8

Maddi nokta, yasaya göre düz bir çizgide hareket eder. x(t) = t 2 − 13t+ 23, nerede x- metre cinsinden referans noktasından uzaklık, t- hareketin başlangıcından itibaren ölçülen saniye cinsinden süre. Zamanın hangi noktasında (saniye olarak) hızı 3 m/s'ye eşitti?

türevi bulma
x"(t) = (t 2 − 13t + 23)" = 2t − 13.
Elde edilen formülün verdiği hızı 3 m/s değerine eşitliyoruz.
2t − 13 = 3.
Bu denklemi çözerek, eşitliğin ne zaman doğru olduğunu belirleriz.
2t − 13 = 3.
2t = 3 + 13.
t = 16/2 = 8.

Cevap: 8

Görev 9

Maddi nokta, yasaya göre düz bir çizgide hareket eder. x(t) = (1/3)t 3 − 3t 2 − 5t+ 3, nerede x- metre cinsinden referans noktasından uzaklık, t- hareketin başlangıcından itibaren ölçülen saniye cinsinden süre. Zamanın hangi noktasında (saniye olarak) hızı 2 m/s'ye eşitti?

türevi bulma
x"(t) = ((1/3)t 3 − 3t 2 − 5t + 3)" = t 2 − 6t − 5.
Ayrıca bir denklem kurarız:
t 2 − 6t − 5 = 2;
t 2 − 6t − 7 = 0.
Bu, diskriminant veya Vieta teoremi kullanılarak çözülebilen ikinci dereceden bir denklemdir. Burada, bence, ikinci yol daha kolay:
t 1 + t 2 = 6; t 1 · t 2 = −7.
bunu tahmin etmek kolay t 1 = −1; t 2 = 7.
Cevaba sadece pozitif kökü koyduk, çünkü zaman negatif olamaz.

Fonksiyonun grafiğinin noktasından geçen rastgele bir düz çizgi düşünün - A noktası (x 0, f (x 0)) ve grafiğin bir noktada kesişmesi B(x; f(x) )). Böyle bir düz çizgiye (AB) sekant denir. ∆ABC'den: ​​AC = ∆ x; BC \u003d yy; tgβ =∆y /∆x.

AC'den beri || Öküz , ardından Р ALO = Р BAC = β (paralel ile ilgili olarak). AncakÐ ALO, AB sekantının Ox ekseninin pozitif yönüne olan eğim açısıdır. Anlamına geliyor, tgβ = k - eğim doğrudan AB.

Şimdi ∆x'i azaltacağız, yani. ∆x→ 0. Bu durumda, B noktası grafiğe göre A noktasına yaklaşacak ve AB sekantı dönecektir. AB sekantının ∆х→ 0'daki sınır konumu düz bir çizgi olacaktır ( a ), y = fonksiyonunun grafiğine teğet denir f(x) A noktasında.

Eşitlikte ∆х → 0 olarak limite geçersek tg β =∆ y /∆ x , o zaman şunu elde ederiz

veya tg a \u003d f "(x 0), çünkü
a - teğetin Ox ekseninin pozitif yönüne eğim açısı

, bir türev tanımı gereği. Ama tg a = k, teğetin eğimidir, yani k = tg a \u003d f "(x 0).

Dolayısıyla türevin geometrik anlamı aşağıdaki gibidir:

Fonksiyonun x 0 noktasındaki türevi eğime eşittir apsisi x 0 olan noktada çizilen fonksiyonun grafiğine teğet.

Türevin fiziksel anlamı.

Düz bir çizgi boyunca bir noktanın hareketini düşünün. Herhangi bir anda noktanın koordinatı verilsin x(t ). (Fizik dersinden) bilinmektedir ki ortalama sürat bir süre için [ t0; t0 + ∆t ], bu zaman diliminde kat edilen mesafenin zamana oranına eşittir, yani.

Vav = ∆x /∆t . Son eşitlikteki limite ∆ olarak geçelim. t → 0.

lim V cf (t) = n (t 0 ) - anlık hız t 0 , ∆t → 0.

ve lim \u003d ∆ x / ∆ t \u003d x "(t 0 ) (türev tanımı gereği).

Yani, n(t) = x "(t).

Türevin fiziksel anlamı şu şekildedir: fonksiyonun türevi y = f( x) noktadax 0 fonksiyonun değişim oranıdır f(x) noktasındax 0

Türev, fizikte zamandan bilinen bir koordinat fonksiyonundan hızı, zamandan bilinen bir hız fonksiyonundan ivmeyi bulmak için kullanılır.

u (t) \u003d x "(t) - hız,

a(f) = n "(t ) - hızlanma veya

a (t) \u003d x "(t).

Bir daire boyunca maddesel bir noktanın hareket yasası biliniyorsa, dönme hareketi sırasında açısal hız ve açısal ivmeyi bulmak mümkündür:

φ = φ (t ) - zamana göre açı değişimi,

ω = φ "(t ) - açısal hız,

ε = φ "(t ) - açısal ivme veyaε \u003d φ "(t).

Homojen olmayan bir çubuğun kütlesi için dağılım yasası biliniyorsa, homojen olmayan çubuğun doğrusal yoğunluğu bulunabilir:

m \u003d m (x) - kütle,

x н , l - çubuk uzunluğu,

p = m "(x) - doğrusal yoğunluk.

Türev yardımıyla, esneklik teorisinden ve harmonik titreşimlerden kaynaklanan problemler çözülür. Evet, Hooke yasasına göre

F = - kx , x - değişken koordinat, k - yayın esneklik katsayısı. koyarakω 2 = k / m , alırız diferansiyel denklem yay sarkaç x "( t ) + ω 2 x(t ) = 0,

nerede ω = √k /√m salınım frekansı ( l/c ), k - yay sertliği ( h/m).

y" biçiminde bir denklem +ω 2 yıl = 0, harmonik salınımların denklemi (mekanik, elektrik, elektromanyetik) olarak adlandırılır. Bu tür denklemlerin çözümü fonksiyondur.

y \u003d Asin (ωt + φ 0 ) veya y \u003d Acos (ωt + φ 0 ), burada

A, salınımların genliğidir,ω - döngüsel frekans,

φ 0 - ilk aşama.