Tek değerli analitik fonksiyonların tekil noktaları örneklerdir. İzole tekil noktalar, sınıflandırılmaları. Hesaplamaları için kalıntılar ve formüller

İzin vermek zq - f(z) fonksiyonunun tekil noktası, t.s. f(z) ancak bu noktada analitiktir (özellikle burada tanımlanmayabilir). Noktanın böyle delinmiş bir komşuluğu varsa zq (yani, O z kümesi - zq f(z) aliatiktir, o zaman hayvan isminde izole tekil nokta fonksiyonlar f(z). Bu tanım davada da korunur. zn = oo, eğer iyot bir noktanın delinmiş bir komşusuysa zq = oo seti anla z >İ - orijinde ortalanmış bir dairenin görünümü. Başka bir deyişle, tekil nokta zq'nin izole olduğu söylenir, eğer bu noktanın, 'den farklı başka tekil noktaların olduğu bir komşuluk varsa. zq. Aşağıda her yerde, yalnızca tek değerli bir karakterin tekil noktalarını ele alıyoruz (fonksiyon f(z) benzersiz olduğu varsayılır).

Fonksiyonun davranışına bağlı olarak f(z) de z -> zqÜç tür tekil nokta vardır. İzole tekil nokta zq fonksiyonları f(z) isminde:

1) çıkarılabilir tekil nokta sonlu bir sınır varsa

2) kutup bir sınır varsa

3) önemli nokta, Eğer f(z) için ne sonlu ne de sonsuz bir sınırı vardır. z-> zq.

ÖRNEK 26.1. Üç tür tekil noktanın da gerçekleştiğini gösterelim. Düşünmek f(z)= nokta zq = 0 yalıtılmış

bu fonksiyonun tekil noktası. (22.12) formülünü kullanarak genişlemeyi elde ederiz.

bundan lim var olduğu sonucu çıkar fi(z)= 1. Bu nedenle, zq = 0

fonksiyonun çıkarılabilir tekil noktasıdır fi(z).

İşlev f'j(z) =--- bir noktada bir kutbu var hayvan= 1 çünkü

2 r" X

Şimdi işlevi düşünün )z(z)= e 1 ^ r ve bunu göster zo = O, bu fonksiyonun temel tekil noktasıdır. çabalarken z gerçek eksen boyunca sıfıra, f fonksiyonunun sol ve sağ limitleri (z) farklı: lim ile 1 / 1 = 0,lim 1 /* ile = işletim sistemi. Bu şu anlama gelir:

x->0-0 x->0+0

ne f:i(z) 2 için ne sonlu ne de sonsuz sınırı vardır -> Ah, yani. zq = 0, bu fonksiyonun esasen tekil bir noktasıdır. (Nokta eğilimi olarak unutmayın z-iy hayali eksen fonksiyonunda sıfıra

hiçbir sınırı yoktur.)

Tabii bir de izole olmayan tekil noktalar var. Örneğin. fonksiyonun noktalarında kutupları vardır z n = -, P= ±1, ±2,...

Buradan, Zq = 0, bu fonksiyonun izole edilmemiş tekil noktasıdır: bu noktanın herhangi bir (keyfi olarak küçük) komşuluğunda başka tekil noktalar vardır. g s.

İzin vermek zo- bir fonksiyonun son yalıtılmış tekil noktası f(z). Sonra f(z) noktanın 0 Zo'su delinmiş bazı mahallelerde benzer hayvan bu komşuluk, iç yarıçapı r = 0 olan bir halka olarak kabul edilebilir. Teorem 25.1'e göre, söz konusu komşulukta, fonksiyon f(z) Laurent serisi (25.2) ile genişletilebilir. 2 için fonksiyonun davranışını göstereceğiz. -> zq (yani tekil noktanın türü zo) ayrışmanın ana bölümünün biçimine bağlıdır (25.2); bu durum “ana kısım” teriminin kökenini açıklar.

TEOREM 2G.2. Bir f(z) fonksiyonunun yalıtılmış tekil noktası zo, ancak ve ancak bu noktanın delinmiş bir komşuluğundaki Lorap açılımının oid değerine sahip olması durumunda çıkarılabilir.

onlar. sadece doğru kısımdan oluşur, ve ana parçanın tüm katsayıları mermiye eşittir.

Kanıt. 1. İzin ver hayvançıkarılabilir tekil bir noktadır. fonksiyonunun Laurent açılımını ispatlayalım. f(z)(26.1) şeklindedir. Tekil noktadan beri hayvançıkarılabilir, o zaman sonlu bir limit limiti vardır f(z) = A. Buradan, f(z) noktanın 0 z - zq'si delinmiş bir mahallede sınırlı hayvan onlar. )(z) hepsi için z bu mahalleden Herhangi birini al R. U р /?| ve Laurent serisinin katsayıları için (25.3) formüllerini kullanın:

Genişlemenin ana bölümünün katsayıları için n =- 1,-2,... Bu değerler için P sahibiz p~n-e 0'da R-> 0. Değerden beri R keyfi olarak küçük seçilebilir, daha sonra Bay~" keyfi olarak küçük olabilir. |c t,| ^ Bay~n ve cn, p'ye bağlı değildir, bu durumda cn = 0 için ve= - 1, -2,..., kanıtlanacaktı.

2. Şimdi Laurent açılımının (26.1) şeklinde olduğunu varsayalım. Seri (26.1) bir kuvvet serisidir ve. bu nedenle, sadece delinmiş değil, aynı zamanda tüm mahallede birleşir z-zq nokta dahil zo; onun miktarı S(z) için analitik z ve S(z) = )(z) 0 z'de - hayvan R. Bu nedenle, sonlu bir limit limiti vardır. )(z)\u003d Pm 5 (r) \u003d 5 (r) - Bu nedenle, tekil nokta zq

Z->Zo Z-*Zo

tek kullanımlık. Teorem kanıtlanmıştır.

Yorum. Teoremin kanıtından, çıkarılabilir tekil bir noktanın 0 z - zo delinmiş bir komşuluğunda, fonksiyon f(z) tüm komşulukta analitik olan S(r) fonksiyonu ile çakışır z - zo. Bu nedenle, /(th) = koyarsak S(zq), daha sonra, fonksiyonun değerlerini değiştirmeden f(z) delinmiş komşuluğun herhangi bir noktasında, bu işlevi r'de analitik yaparız, yani. özelliği "kaldırın". Bu, “çıkarılabilir tekillik” terimini açıklar. Bu tür noktaları fonksiyonun tekil noktaları olarak değil, düzenli olarak kabul etmek doğaldır. f(z).

Örneğin, işlevi düşünün

Örnek 26.1'de Pm (n) = 1 olduğu gösterilmiştir. tekil nokta

zq = 0 çıkarılabilir. /i(0) = 1'i ayarlayarak, tekilliği ortadan kaldırır ve noktada analitik olan bir fonksiyon elde ederiz. zq = 0 (ve tüm C düzleminde).

Şimdi kutupları Laurent açılımları açısından karakterize edelim.

Teorem 26.3. Bir f(z) fonksiyonunun yalıtılmış tekil noktası Zo, ancak ve ancak şu durumda bir kutuptur:, Zq merkezli Laurent açılımının ana parçasının sadece sonlu sayıda farklı

n ile sıfır katsayılardan:

Kanıt. 1. İzin ver zq - kutup, yani limit /( z) = ooo.

fonksiyonunun Laurent açılımını ispatlayalım. f(z)(2G.2) şeklindedir. lim'den beri f(z)= ooo. o zaman noktanın delinmiş bir mahallesi var

ki zq. nerede f(z) analitiktir ve sıfırları yoktur. Daha sonra fonksiyon g(z) = 1 /f(z) bu delinmiş mahallede de analitik olacak ve lim g(z)= 0. Bu nedenle, Zo tek kullanımlık *-? *0

fonksiyonun tekil noktası g(z). yeniden tanımlayalım g(z) noktada hayvan, koyarak g(zo)= 0. Sonra g(z)(delinmemiş) noktanın tüm çevresinde analitik hale gelir 0 , ve z0 izole sıfırı olacaktır. ile belirtmek N bu sıfırın çokluğu (sırası). §23'te gösterildiği gibi, noktanın bir komşuluğunda zq işlevi g(z) formda gösterilebilir (bkz. (23.2))

ve (z$) f 0 ve y>(z) noktanın bazı mahallelerinde analitiktir zo- Gibi ip(z) noktada sürekli hayvan ve g>(zo) F 0" o zaman ip(z) bu noktanın bazı komşuluklarında da sıfır yoktur. Bu nedenle fonksiyon 1 /-p(z) bu komşulukta da analitik olacak ve bu nedenle bir Taylor serisinde genişler:

Parantezleri açarak ve katsayıların tanımlarını değiştirerek, son genişlemeyi forma yazıyoruz.

nerede c_jv = 1>f 0. Böylece, f(r)'nin Laurent açılımının ana kısmı yalnızca sınırlı sayıda terim içerir; gerekli eşitliğe (26.2) ulaştık.

2. Bir noktanın delinmiş bir mahallesine izin verin inci işlev )(z) Laurent açılımı (26.2) ile temsil edilir (daha geniş bir biçimde, bkz. (26.3)), ana kısmı yalnızca sınırlı sayıda terim içerir ve ile- d" f 0. Bunu kanıtlamalıyız Zq - fonksiyon kutbu f(z). Eşitliğin (26.3) ile çarpılması (G - G o) iV , fonksiyonu alıyoruz

(26.4)'teki seri, sadece delinmede değil, aynı zamanda noktanın tüm komşuluğunda analitik bir fonksiyona yakınsayan bir kuvvet serisidir. zq. Bu nedenle, fonksiyon h(z) ayarlayarak genişletirsek, bu mahallede analitik olur h(zo)= s_dg f 0. Sonra

Böylece o noktası bir kutuptur ve Teorem 26.3 ispatlanmıştır.

Sıfırıncı fonksiyonun çokluğu (sırası) g(z)= 1//(r) denir kutup sırası/(r) işlevi. Eğer bir N- direğin sırası th'dir, o zaman g(z)= (r - Zo)N ip(z), ve git) F 0 ve Teorem 26.3'ün ispatının ilk bölümünde gösterildiği gibi, f(r)'nin açılımı (26.3) biçimindedir, burada c_/v f 0. Tersine, eğer f(r) seriye genişlerse (26.3) ve e-z F 0, o zaman

t.s. N- f(r) fonksiyonunun kutbunun sırası. Böylece, fonksiyonun zq kutbunun sırası/(G) zq noktasının delinmiş komşuluğunda Laurent açılımının ana bölümünün sıfırdan farklı baştaki katsayısının sayısına eşittir(yani böyle bir sayıya eşit N, ne s_dg f 0 ve sp= 0 P > N).

Uygulamalar için uygun olan aşağıdaki iddiayı ispatlayalım.

Sonuç 26.4. zq noktası, kurgunun N dereceli bir kutbudur/(G) ancak ve ancak/(G) formda temsil etmek

burada h(z) bir noktanın komşuluğundaki analitik bir fonksiyondur inci ve h(zo)f 0.

Kanıt. İşlev cp(z) = l/sa(z) r noktasının bazı komşuluklarında analitiktir. Sonuç 26.4'ün koşulu aşağıdakine eşdeğerdir:

Böyle zq - çokluk sıfır N fonksiyonlar g(z). ve dolayısıyla çokluk kutbu N fonksiyonlar /(2).

II örnek 26.5. Bir fonksiyonun izole tekil noktalarını bulun ve türlerini belirleyin.

D e u c tio n. (z 2 + 1 )(z+ H) 2 = 0. z 2 L- 1 = 0 sonra 2 = ±g Eğer (z 4- H) 2 = 0, sonra z= -3. Bu nedenle, fonksiyonun üç tekil noktası vardır. z= r, 22 = -r, Z3 = - 3. Düşünün z:

G - birinci dereceden kutup (Corollary 26.4 kullandık). 22 = olduğu da benzer şekilde kanıtlanabilir. -ben ayrıca birinci dereceden bir kutup. 2 saat için elimizde:

Esasen tekil noktaların ele alınmasına geçelim.

Teorem 26.6. Bir f(z) fonksiyonunun izole bir tekil noktası zq, esasen tekildir, ancak ve ancak, Laurent açılımının zq merkezli ana parçasının sonsuz sayıda farklı olması durumunda. sıfır, p ile katsayılar.

Kanıt. Teorem 26.6, Teorem 26.2 ve 26.3'ü doğrudan takip eder. Gerçekten, eğer nokta zq esasen tekildir, bu durumda Laurent açılımının ana kısmı yok olamaz veya sınırlı sayıda terim içeremez (aksi halde nokta Zq çıkarılabilir veya bir direk olacaktır). Bu nedenle, ana bölümdeki terimlerin sayısı sonsuz olmalıdır.

Tersine, ana parça sonsuz sayıda üye içeriyorsa, o zaman Zq ne çıkarılabilir bir nokta ne de bir kutup olabilir. Sonuç olarak, bu nokta esasen tekildir.

Tanıma göre, esasen tekil bir nokta, f(2) fonksiyonunun için ne sonlu ne de sonsuz bir limite sahip olması gerçeğiyle karakterize edilir. z ->zq. Temelde tekil bir noktanın komşuluğunda bir fonksiyonun davranışının ne kadar düzensiz olduğuna dair daha eksiksiz bir fikir, aşağıdaki teorem ile verilmektedir.

Teorem 26.7 (Sochocki teoremi). Eğer zq esasen tekil ise, o zaman f(z) fonksiyonunun noktası), sonra herhangi bir karmaşık sayı için L, A = dahil oo, z n -> zo olacak şekilde bir z n noktaları dizisi vardır ve lim f(zn) = ANCAK.

n->os

Kanıt. Önce durumu düşün bir = oo. Teorem 2G.2'nin ispatının ilk bölümünde, eğer f(z) r0 noktasının delinmiş bir komşuluğunda sınırlandırılır, ardından tüm katsayılar c, n = - Ana parçanın 1, - 2,... sıfıra eşittir (ve sonuç olarak, th'deki tekillik çıkarılabilir). Varsayım gereği, r esasen tekil bir nokta olduğundan, /(r) fonksiyonu, r noktasının herhangi bir delinmiş komşuluğunda sınırsızdır. 0 Z gibi dar bir komşuluk alalım. f(zi) > 1 (eğer |/(r)| z - zo R/2 ise bir nokta vardır z-2 , burada |/(dd)| > 2, vs.: delinmiş mahallede O 71. rn -e go ve lim /(r«) = oo olduğu açıktır. Böylece, A = oo durumunda Teorem 26.7

kanıtlanmış.

şimdi izin ver bir f oo. İlk önce delinmiş bir komşuluk olduğunu varsayalım 0

= -yy---- bu delinmiş mahallede analitik olacak ve sonuç olarak,

/(G) - ANCAK

sonuç olarak, r, Φ(r) fonksiyonunun izole bir tekil noktasıdır. Haydi göster. r0, Φ(r)'nin esasen tekil bir noktasıdır. Yanlış olsun. O zaman, ya sonlu ya da sonsuz olan bir limit lim Φ(r) vardır. Çünkü

/(r) = A + , o zaman koşulla çelişen Hsh /(r) da var

F(g) ~ :-*z 0

teoremin görünümü. Böylece r0, Φ(r) fonksiyonunun esasen tekil bir noktasıdır. Yukarıda kanıtlanana göre, r n o ve lim Φ(r n) = oo olacak şekilde bir r n noktaları dizisi vardır. Buradan

f(r) varsayımı altında gerekli iddiayı kanıtladık. FA r noktasının delinmiş bir komşuluğunda. Şimdi bunun doğru olmadığını varsayalım, yani. noktanın herhangi bir keyfi olarak küçük delinmiş komşuluğunda böyle bir nokta var G", f(r") = A. O zaman herhangi biri için P delinmiş komşulukta 0 f(z u) = L. Bu nedenle, gerekli iddia doğrudur P-yuo

her durumda ve Teorem 26.7 kanıtlanmıştır.

(Sokhotsky'nin) Teoremi 26.7'ye göre, esasen tekil bir noktanın herhangi bir (keyfi olarak küçük) delinmiş komşuluğunda, f(r) işlevi, genişletilmiş karmaşık düzlem C'deki herhangi bir sayıya keyfi olarak yakın değerler alır.

İzole tekil noktaları incelemek için, temel temel fonksiyonların iyi bilinen Taylor açılımları genellikle yararlıdır.

ÖRNEK 2G.8. İşlev için tekil nokta zq = 0 türünü belirleyin

Çözüldü ve e. Bir Taylor serisindeki payı ve paydayı r'nin kuvvetleriyle genişletiyoruz. (22.11) 3'e değiştirerek z r ve 1 çıkarmak yerine,

(22.12) kullanarak, paydanın genişlemesini elde ederiz:

Bu açılımlardaki seriler tüm karmaşık düzlemde € yakınsar. Sahibiz

ve /2(2) noktanın bir komşuluğunda benzerdir zo = 0 (ve hatta tüm düzlemde) ve /2(20) F 0, o zaman h(z) gF 0 noktasının bazı komşuluklarında da analitiktir. Sonuç 26.4'e göre, nokta Zo = 0 siparişin kutbudur N = 4.

II örnek 26.9. Bir Fonksiyonun Tekil Noktalarını Bulma f(z)= sin j - ve türlerini belirleyin.

P e in e ve e. Fonksiyonun tek bir son tekil noktası vardır zq = 1. C'den diğer noktalarda, fonksiyon w =--- analitik; dolayısıyla günah fonksiyonu w analitik olacaktır.

Sinüs genişlemesinde ikame (22.12) - r yerine

20 = 1 noktasının delinmiş bir komşuluğunda bir Laurent serisinde sin fonksiyonunun açılımını elde ettik. zq = 1 önemli bir tekil noktadır (bu durumda Laurent açılımı yalnızca ana kısımdan oluşur ve doğru kısım yoktur).

Bu durumda, seri açılımına başvurmadan tekilliğin doğasını doğrudan tanımdan kurmanın da mümkün olduğuna dikkat edin. Gerçekten de, (r") ve (2") yakınsayan diziler vardır. hayvan= 1 ve öyle ki f(z" n)= 1, /(2") = 0 (bu tür dizileri kendiniz belirleyin). f(z) ne zaman sınırı yok z -> 1 ve bu nedenle nokta zq - 1 esasen tekildir.

Bir noktanın komşuluğunda bir fonksiyonun Laurent açılımı kavramını tanıtalım. Zq = 00 ve bu noktada genişleme ile tekilliğin doğası arasındaki bağlantıyı düşünün. İzole bir tekil noktanın tanımlarının ve tipinin (çıkarılabilir, kutuplu veya esasen tekil) durum için geçerli olduğuna dikkat edin. zq = oc değişmedi. Ama Teoremler 26.2. Laurent açılımlarının doğasıyla ilgili olarak 26.3 ve 26.6'nın değiştirilmesi gerekiyor. Mesele şu ki, üyeler cn (z - 2o) s. P= -1,-2,..., fonksiyonun bitiş noktasına yakın "düzensizliğini" tanımlayan ana kısım Zq, 2 oo eğiliminde olduğundan, “doğru” davranacaklar (0'a eğilim). Aksine, düzenli bölümün üyeleri ile P= 1,2,... oo eğiliminde olacaktır; tekilliğin doğasını belirlerler Zq = oo. Bu nedenle, oo mahallesindeki genişlemenin ana kısmı, pozitif güçlere sahip terimler olacaktır. P, ve doğru - olumsuz.

Yeni bir değişken tanıtalım w = 12. İşlev televizyon= 1/2, u(oo) = 0 olacak şekilde genişletilir, bire bir ve komşuluğu uyumlu olarak eşler z > R puan zq = 00 |w| wq = 0. Eğer fonksiyon f(z) delinmiş bir mahallede analitik R z Zq = oc, sonra fonksiyon G(w) = f(l/w) sarı komşulukta analitik olacak 0 wo = 0. 2 için -> oo olacağından w-> 0, sonra

Böyle g(w) noktada var wq = 0 ile aynı türden bir tekilliktir. f(z) noktada Zq = 00. Bir Laurent serisinde G(w) fonksiyonunu wo = 0 noktasının delinmiş bir komşuluğunda genişletelim:

(26.5)'in sağ tarafındaki toplamlar sırasıyla açılımın doğru ve ana kısımlarını temsil eder. Gelelim değişkene z, ikame w = 1/z:

belirten P\u003d -A *, 6 * \u003d 6_ " \u003d p ile ve bunu fark etmek G(l/z) = f(z), alırız

Ayrışma (2G.G) denir f(z) fonksiyonunun zq noktasının delinmiş bir komşuluğunda Laurent açılımı= ooo. (2G.6)'daki ilk toplam denir sağ kısım, ve ikinci toplam Ana bölüm bu ayrışma. Bu toplamlar, açılımın (26.5) doğru ve ana kısımlarına karşılık geldiğinden, açılım (26.6), Teorem 26.2, 26.3 ve 26.6'nın analoglarını karşılar. Bu nedenle, aşağıdaki teorem Teorem 26.2'nin bir benzeridir.

Teorem 26.10. İzole tekil noktazq - işletim sistemi (fonksiyonlar/(G) ancak ve ancak bu noktanın delinmiş bir mahallesindeki Laurent genişlemesi şu şekle sahipse çıkarılabilir

t.s. sadece doğru kısımdan oluşur.

/(oo) = koyarız ortak Yakınsayan dizi (26.7) ile tanımlanan fonksiyon z > R 2o \u003d oc noktaları, denilen z noktasında analitik o = o. (Bu tanımın, fonksiyonun analitikliğine eşdeğer olduğuna dikkat edin. G(w) noktada vay = 0.)

Örnek 26.11. Fonksiyonun tekil noktası zq = oo'yu araştırın

Limit sonlu olduğundan, zo = oo, f(r) fonksiyonunun çıkarılabilir tekil noktasıdır. /(oo) = lim koyarsak J(z)= 0, o zaman f(z) Olacak

noktada tik Zo= os. Karşılık gelen açılımı (26.7) nasıl bulacağımızı gösterelim. Gelelim değişkene w = 1 fz. değiştirme z= 1 /?e, elde ederiz

(son eşitlik ww = 0 noktasının delinmiş komşuluğunda geçerlidir, ama biz (7(0) = 0) tanımını genişleteceğiz. Ortaya çıkan fonksiyonun tekil noktaları var w =±i, w =-1/3 ve noktada Wq = 0 analitiktir. Genişleyen fonksiyon g(w) derece ile w(Örnek 25.7'de yapıldığı gibi) ve elde edilen güç serilerine ikame w = 1/z fonksiyonun açılımı (26.7) elde edilebilir f(z).

Durum için Teorem 26.3 hayvan= oo aşağıdaki biçimde yeniden yazılacaktır.

Teorem 26.12. İzole tekil nokta git = işletim sistemi f(z) fonksiyonu, ancak ve ancak Laurent açılımının ana kısmı ise bir kutuptur. (26.6) sadece sonlu sayıda sıfır olmayan katsayılara sahiptir ile":

Burada seri normal kısımdır ve parantez içindeki polinom genişlemenin ana kısmıdır. oc cinsinden kutbun çokluğu, kutbun çokluğu olarak tanımlanır. wq = 0 fonksiyonlar G(z). Kutup çokluğunun sayı ile örtüştüğünü görmek kolaydır. N(26.8) içinde.

Sp | (i 2 + 1) (z + 3) 2

Görev. fonksiyonunun olduğunu göster f(z) =-- -- var

nokta zo = oo kutup sırası 3.

Temel tekil bir noktada Teorem 26.6 durum için yeniden yazılmıştır hayvan= os neredeyse kelimesi kelimesine ve biz bunun üzerinde ayrıntılı olarak durmuyoruz.

tekil nokta

Matematikte.

1) F denklemi ile verilen eğrinin tekil noktası ( x, y) = 0, - nokta M 0 ( x 0 , y 0), burada F fonksiyonunun her iki kısmi türevi ( x, y) yok olmak:

Ek olarak, F fonksiyonunun tüm ikinci kısmi türevleri değilse ( x, y) noktasında M 0 sıfıra eşittir, daha sonra O. t. çift olarak adlandırılır. M 0 noktasında birinci türevlerin kaybolmasıyla birlikte, tüm ikinci türevler kaybolur, ancak üçüncü türevlerin tümü sıfıra eşit değilse, O. t. üçlü olarak adlandırılır, vb. Çift O. t. yakınındaki bir eğrinin yapısını incelerken, ifadenin işareti önemli bir rol oynar.

Δ > 0 ise, O. t. izole olarak adlandırılır; örneğin, eğri y 2 - x 4 + 4x 2= 0 orijin izole bir O. t'dir (bkz. pilav. 1 ). Eğer Δ x 2 + y 2 + a 2) 2 - 4a 2 x 2 - bir 4= 0 koordinatların orijini O. t düğümüdür (bkz. pilav. 2 ). Δ = 0 ise, O. t. eğrisi ya izole edilir ya da eğrinin farklı dallarının bu noktada ortak bir teğete sahip olmasıyla karakterize edilir, örneğin: teğet ve eğri gibi bir nokta oluşturur y 2 - x 3= 0 (bkz. pilav. 3 , a); b) 2. türün zirvesi - eğrinin farklı dalları, bir eğri gibi ortak teğetin aynı tarafında bulunur (y - x 2)2 - x 5= 0 (bkz. pilav. 3 , b); c) kendi kendine temas noktası (bir eğri için y 2 - x 4= 0 orijin kendi kendine temas noktasıdır; (santimetre. pilav. 3 , içinde). Belirtilen O. t. ile birlikte, özel adlara sahip birçok başka O. t. vardır; örneğin, bir asimptotik nokta, sonsuz sayıda dönüşü olan bir spiralin tepe noktasıdır (bkz. pilav. 4 ), kırılma noktası, köşe noktası vb.

2) Bir diferansiyel denklemin tekil noktası, diferansiyel denklemin sağ tarafının hem payının hem de paydasının aynı anda kaybolduğu bir noktadır (Bkz. Diferansiyel Denklemler)

burada P ve Q sürekli türevlenebilir fonksiyonlardır. O. t.'nin koordinatların orijininde bulunduğunu varsayarak ve Taylor formülünü kullanarak (Taylor formülüne bakınız), denklem (1)'i şu şekilde temsil edebiliriz:

nerede P 1 ( x, y) ve Q 1 ( x, y) göre sonsuz küçüktür

Yani, λ 1 ≠ λ 2 ve λ 1 λ 2 > 0 veya λ 1 = λ 2 ise, O. t. bir düğümdür; düğümün yeterince küçük bir mahallesinin noktalarından geçen tüm integral eğriler ona girer. λ 1 ≠ λ 2 ve λ 1 λ 2 i β, α ≠ 0 ve β ≠ 0 ise, O. t. bir odaktır; Yeterince küçük bir odak komşuluğundaki noktalardan geçen bütün integral eğriler, odağın herhangi bir keyfi olarak küçük komşuluğunda sonsuz sayıda dönüşe sahip spirallerdir. Son olarak, λ 1,2 = ± ise benβ, β ≠ 0, o zaman O. t.'nin karakteri P'nin açılımlarında doğrusal terimlerle belirlenmez ( x, y) ve Q ( x, y), yukarıdaki tüm durumlarda olduğu gibi; burada O. t. bir odak veya merkez olabilir veya daha karmaşık bir karaktere sahip olabilir. Merkezin komşuluğunda, tüm integral eğriler kapalıdır ve içlerinde merkezi içerir. Örneğin, (0, 0) noktası denklemler için bir düğüm noktasıdır. de" = 2u/x(λ 1 = 1, λ 2 = 2; bkz. pilav. 5 , a) ve y" = u/x(λ 1 = λ 2 = 1; bkz. pilav. 5 , b), denklem için bir eyer y" = -y/x(λ 1 = -1, λ 2 = 1 ; santimetre. pilav. 6 ), denklemin odak noktası y" =(x + y) / (x - y) (λ 1 = 1 - ben, λ 2 = 1 + ben; santimetre. pilav. 7 ) ve denklemin merkezi y" = -x / y(λ 1 = -ben, λ2 = ben; santimetre. pilav. sekiz ).

Eğer x, y) ve Q ( x, y) analitiktir, daha yüksek dereceden bir O. t.'nin komşuluğu bölgelere ayrılabilir: D 1 - her iki ucu O. t.'ye dahil olan integral eğrilerle dolu (eliptik bölgeler), D 2 - dolgulu bir ucu O. t.'ye dahil olan integral eğrilerle (parabolik bölgeler) ve D 3 - O. t.'ye dahil edilen iki integral eğri ile sınırlanan bölgeler, aralarında hiperbol tipinin integral eğrilerinin bulunduğu bölgeler (hiperbolik bölgeler) (bkz. pilav. dokuz ). Bir O. noktasına giren integral eğriler yoksa, O. noktasına kararlı tip noktası denir. Kararlı bir O. t.'nin komşuluğu, aralarında spirallerin bulunduğu O. t.'yi içeren kapalı integral eğrilerden oluşur (bkz. pilav. on ).

O. t. diferansiyel denklemlerin incelenmesi, yani özünde, O. t. M. Lyapunov a, A. Poincare ve diğerlerinin bir mahallesindeki integral eğri ailelerinin davranışının incelenmesi).

3) Tek değerli bir analitik fonksiyonun tekil noktası, bir fonksiyonun analitikliğinin ihlal edildiği bir noktadır (bkz. Analitik fonksiyonlar). Bir mahalle varsa O. t. a, diğer O. t.'den arınmış, sonra nokta a izole O. t olarak adlandırılır. a izole bir O. t.'dir ve sonlu bir a vardır, buna çıkarılabilir O. t denir. f(a)= b, elde etmek mümkündür a düzeltilmiş fonksiyonun sıradan bir noktası haline gelecektir. Örneğin, nokta z= 0, f 1 ( z) = f(z), Eğer z≠ 0 ve f 1(0),=1, nokta z= 0 sıradan bir noktadır [ f 1 (z) noktada analitiktir z= 0]. Eğer bir a- izole edilmiş O. t. ve a'ya fonksiyonun kutup veya zorunlu olarak tekil noktası denir f(z), eğer Laurent serisi) çalışırsa f(z) izole bir O. t. mahallesinde negatif güçler içermez z - bir, Eğer a- çıkarılabilir O. t., sınırlı sayıda negatif güç içerir z - bir, Eğer a- direk (bu durumda, direğin sırası R a'nın en yüksek gücü olarak tanımlanır - esasen tekil bir nokta. Örneğin, işlev için

p = 2, 3, …)

nokta z= 0 siparişin kutbudur R, fonksiyon için

nokta z= 0, temel bir tekil noktadır.

Bir kuvvet serisinin yakınsaklık çemberinin sınırında, verilen kuvvet serisi tarafından bu dairenin içinde temsil edilen fonksiyonun en az bir O. m. olması gerekir. Tek değerli bir analitik fonksiyonun (doğal sınır) varlık alanının tüm sınır noktaları, bu fonksiyonun sınır noktalarıdır. Böylece birim çemberin tüm noktaları | z| = 1 fonksiyona özeldir

Çok değerli bir analitik fonksiyon için "O. t." daha zor. O. t.'ye ek olarak, bir fonksiyonun Riemann yüzeyinin ayrı sayfalarında (yani, tek değerli analitik elemanların O. t.'si), herhangi bir dallanma noktası da fonksiyonun O. t.'sidir. Bir Riemann yüzeyinin izole dal noktaları (yani, bazı komşuluklarında herhangi bir yaprakta başka O.t. fonksiyonu olmayacak şekilde dal noktaları) aşağıdaki gibi sınıflandırılır. a, sonlu düzende yalıtılmış bir dal noktasıysa ve sonlu bir a varsa, buna kritik kutup denir. Eğer bir a sonsuz düzende yalıtılmış bir dal noktasıdır ve a, aşkın O. t olarak adlandırılır. Diğer tüm yalıtılmış dal noktalarına kritik esasen tekil noktalar denir. Örnekler: nokta z= 0, f fonksiyonunun sıradan bir kritik noktasıdır ( z) = günlük z ve fonksiyonun kritik bir temel tekil noktası f (z) = günah günlüğü z.

Çıkarılabilir olan hariç herhangi bir O.t., analitik devamlılığın önünde bir engeldir, yani kaldırılamaz bir O.t.'den geçen bir eğri boyunca analitik devamlılık imkansızdır.

Büyük Sovyet Ansiklopedisi. - M.: Sovyet Ansiklopedisi. 1969-1978 .

Diğer sözlüklerde "Özel Nokta" nın ne olduğunu görün:

Burada puan. Ayrıca bkz. tekil nokta (diferansiyel denklemler). Matematikte bir özellik veya tekillik, matematiksel bir nesnenin (genellikle bir işlev) tanımlanmadığı veya düzensiz davranışa sahip olduğu bir noktadır (örneğin, ... ... Wikipedia

Bir analitik fonksiyon, analitiklik koşullarının ihlal edildiği bir noktadır. Her yerde z0 noktasının bir komşuluğunda bir analitik fonksiyon f(z) tanımlanırsa… Fiziksel Ansiklopedi

Analitik fonksiyon, bir fonksiyonun analitikliğinin ihlal edildiği noktadır... Büyük Ansiklopedik Sözlük

tekil nokta- — [Ya.N. Luginsky, M.S. Fezi Zhilinskaya, Yu.S. Kabirov. İngilizce Rusça Elektrik Mühendisliği ve Enerji Endüstrisi Sözlüğü, Moskova, 1999] Elektrik mühendisliği konuları, temel kavramlar EN tekil nokta ... Teknik Çevirmenin El Kitabı

1) Bir analitik fonksiyon f(z)'nin OT'si, karmaşık bir değişken z'nin f(z) fonksiyonunun bir elemanının bu değişkenin düzlemi üzerindeki bir yol boyunca analitik olarak devam etmesinin önündeki bir engeldir. Analitik fonksiyon f(z) bazı tarafından tanımlansın ... ... Matematik Ansiklopedisi

Bir analitik fonksiyon, fonksiyonun analitikliğinin ihlal edildiği nokta. * * * TEKLİ NOKTA Bir analitik fonksiyonun TEKLİ NOKTASI, fonksiyonun analitikliğinin ihlal edildiği bir nokta ... ansiklopedik sözlük

tekil nokta- ypatingasis taškas statusas T sritis automatika atitikmenys: tür. tek nokta vok. tekil Punkt, m rus. tekil nokta, fpranc. nokta parçacık, m; nokta tekil, m … Automatikos terminų žodynas

Taylor serisi, zol dairesinde analitik olan fonksiyonları incelemek için etkili bir araç olarak hizmet eder. Dairesel bir bölgede analitik olan fonksiyonları incelemek için, denklemin pozitif ve negatif (z - zq) güçlerinde açılımlar inşa etmenin mümkün olduğu ortaya çıkıyor. Taylor açılımlarını genelleyen form. İki serinin toplamı olarak anlaşılan (1) serisine Laurent serisi denir. (1) serisinin yakınsaklık bölgesinin, (2) serisinin her birinin yakınsaklık bölgelerinin ortak parçası olduğu açıktır. Onu bulalım. İlk serinin yakınsama alanı, yarıçapı Cauchy-Hadamard formülü ile belirlenen bir dairedir Yakınsama dairesi içinde, seri (3) bir analitik fonksiyona yakınsar ve daha küçük yarıçaplı herhangi bir dairede kesinlikle yakınsar ve tekdüze. İkinci seri değişkene göre bir kuvvet serisidir.Seri (5) yakınsaklık çemberi içinde karmaşık değişken m-*oo'nun analitik fonksiyonuna yakınsar ve daha küçük yarıçaplı herhangi bir çemberde mutlak ve düzgün bir şekilde yakınsar, bu, (4) serisinin yakınsaklık bölgesinin dairenin görünümü olduğu anlamına gelir - Eğer öyleyse, (3) ve (4) serilerinin ortak bir yakınsama bölgesi varsa - serinin (1) olduğu dairesel bir halka analitik fonksiyona yakınsar. Ayrıca, herhangi bir halkada, kesinlikle ve düzgün bir şekilde yakınsar. Örnek 1. Rad Laurent serisinin yakınsaklık bölgesini belirleyin İzole tekil noktalar ve dairesel bir halkada tek değerli ve apolitik olan sınıflandırması (z), bu halkada, katsayıları yakınsak bir serinin toplamı olarak gösterilebilir. Cn, 7p'nin m yarıçaplı bir daire olduğu formüllerle benzersiz bir şekilde belirlenir ve hesaplanır. R halkasının içine rastgele bir z noktası sabitleyelim. Yarıçapları eşitsizlikleri sağlayan r noktasında merkezli çemberler oluşturuyoruz ve yeni bir halka düşünüyoruz.Çarpı bağlantılı bir bölge için Cauchy integral teoremine göre, toplam (8) içindeki integrallerin her birini ayrı ayrı dönüştürelim. 7d* çemberi boyunca tüm £ noktaları için, düzgün yakınsak bir serinin toplamı 1 1 ilişkisi sağlanır. Bu nedenle, ^ kesri vi- /" / Bir şekilde farklı bir şekilde, üzerindeki tüm noktalar için temsil edilebilir. çember ir> ilişkimiz var Bu nedenle, ^ kesri (10) ve (12) formüllerinde düzgün yakınsak bir serinin toplamı olarak temsil edilebilir, dairesel bir halkada analitik fonksiyonlardır. Bu nedenle, Cauchy teoremi ile, 7/r ve 7r/ daireleri herhangi bir daire ile değiştirilirse, karşılık gelen integrallerin değerleri değişmez. Bu, (10) ve (12) formüllerini birleştirmemizi sağlar.(8) formülünün sağ tarafındaki integralleri sırasıyla (9) ve (11) ifadeleriyle değiştirerek istenen açılımı elde ederiz.z keyfi olduğu için halkanın noktasında, (14) serisinin bu halkanın her yerinde f(z) fonksiyonuna yakınsadığı ve herhangi bir halkada serinin bu fonksiyona mutlak ve düzgün yakınsadığı sonucu çıkar. Şimdi (6) formunun ayrışımının tek olduğunu ispatlayalım. Bir parçalanmanın daha gerçekleştiğini varsayalım, sonra, R halkasının her yerinde, çember üzerinde, seri (15) düzgün bir şekilde yakınsar. Eşitliğin her iki tarafını da çarpın (burada m sabit bir tam sayıdır ve her iki seriyi terim terimle entegre edin. Sonuç olarak, sol tarafa ve sağ tarafa geçiyoruz - Csh. Böylece, (4, \u003d St. m keyfi bir sayı olduğundan, katsayıları (7) formülleriyle hesaplanan son eşitlik serisi (6), Laurent serisinin katsayıları için 7) halkasındaki f(z) fonksiyonunun Laurent serisi olarak adlandırılır. pratikte nadiren kullanılırlar, çünkü kural olarak hantal hesaplamalar gerektirirler.Genellikle, mümkünse, temel fonksiyonların hazır Taylor açılımları kullanılır.Genişlemenin benzersizliğine bağlı olarak, herhangi bir meşru yöntem aynı sonuca yol açar. Örnek 2 Fuiscius /(r)'nin iki tekil noktası olduğunu varsayarak, farklı alanlardaki fonksiyonların Laurent serisi açılımlarını düşünün: Bu nedenle, üç halka alanı vardır. ve r = 0 noktasında ortalanır. Her birinde f(r) fonksiyonu analitiktir: a) daire dairenin dışıdır (Şekil 27). Bu bölgelerin her birinde /(z) fonksiyonunun Laurent açılımlarını bulalım. /(z)'yi temel kesirlerin toplamı olarak gösteririz a) Çember Dönüşüm bağıntısı (16) aşağıdaki gibi bir geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı için formülü kullanarak, şunu elde ederiz: b) |z| için j^j fonksiyonu için Seri (19) olduğundan -z fonksiyonunun halkası bu halkada yakınsak kalır. > 1 uzaklaşır. Bu nedenle, /(z) fonksiyonunu aşağıdaki gibi dönüştürürüz: (19) formülünü tekrar uygulayarak, Bu serinin yakınsadığını elde ederiz. (18) ve (21) açılımlarını (20) bağıntısında değiştirerek, c) -z fonksiyonu için çemberin |z| ile dışsallığını elde ederiz. > 2 ıraksak ve seri (21) fonksiyonu için /(z) fonksiyonunu aşağıdaki biçimde gösterelim: /<*> (18) ve (19) formüllerini kullanarak OR 1'i elde ederiz. Bu örnek, aynı f(z) fonksiyonu için Laurent açılımının, genel olarak, farklı halkalar için farklı bir forma sahip olduğunu gösterir. Örnek 3. Laurent serisi fonksiyonunun 8 Laurent serisinin ayrıştırılmasını bulun İzole tekil noktalar ve A dairesel bölgesinde sınıflandırılması f (z) fonksiyonunun gösterimini aşağıdaki biçimde kullanırız: ve ikinci terimi dönüştürün Bir geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı için formül elde ederiz. Bulunan ifadeleri formül (22) ile değiştirirsek, Örnek 4'ü elde ederiz. Bir Laurent serisindeki fonksiyonu ince zq = 0 civarında genişletin. Herhangi bir karmaşık için , elimizde olsun Bu genişleme herhangi bir z Ф 0 noktası için geçerlidir. Bu durumda, dairesel bölge, bir z - 0 noktası dışarı atılan tüm karmaşık düzlemdir. Bu bölge aşağıdaki ilişki ile tanımlanabilir: Bu fonksiyon analitiktir. bölgesinde Laurent serisinin katsayıları için formüllerden (13), önceki paragraftakiyle aynı mantıkla Kouiw eşitsizlikleri elde edilebilir. f(z) fonksiyonu bir daire üzerinde sınırlıysa, burada M bir sabittir), o zaman izole tekil noktalar Noktanın dairesel bir komşuluğu varsa, A noktasına zo, f(z) fonksiyonunun izole tekil noktası denir ( bu kümeye bazen 2o noktasının delinmiş komşuluğu da denir, burada f(z) fonksiyonu tek değerli ve analitiktir. Zo noktasında, fonksiyon ya tanımlanmamıştır ya da tek değerli ve analitik değildir. /(z) fonksiyonunun zo noktasına yaklaşırken davranışına bağlı olarak üç tür tekil nokta ayırt edilir. Yalıtılmış bir tekil noktanın: 1) sonlu bir varsa çıkarılabilir 2) pmusach ise 3) f(z) fonksiyonunun limiti yoksa esasen tekil bir nokta Teorem 16. Bir f(z) fonksiyonunun yalıtılmış tekil noktası z0, ancak ve ancak zo noktasının bir komşuluğundaki f(z) fonksiyonunun Laurent açılımının bir asal kısım içermemesi durumunda, yani, Let zo - çıkarılabilir tekil nokta şeklindedir. O zaman sonlu bir tane vardır ve dolayısıyla f(z) fonksiyonu r noktasının prokolojik bir komşuluğunda sınırlıdır. Negatif kuvvetlerde (z - 20) katsayılar sıfıra eşittir: Tersine, Laurent /(r) fonksiyonunun zq noktasının bir komşuluğundaki açılımı sadece doğru kısmı içerir, yani (23) formuna sahiptir. ve bu nedenle, Taylor'dır. z -* z0 için /(r) fonksiyonunun bir limit değerine sahip olduğunu görmek kolaydır: Teorem 17. f(z) fonksiyonunun izole bir tekil noktası zq, sadece ve sadece J(z) fonksiyonu zq noktasının bazı delinmiş mahallelerinde sınırlı, Zgmechai değil. r0, f(r)'nin çıkarılabilir tekil noktası olsun. f(r) fonksiyonunun th noktasında ortalanmış bir çemberde analitik olduğunu varsayarsak. Bu, noktanın adını tanımlar - tek kullanımlık. Teorem 18. Bir f(z) fonksiyonunun yalıtılmış tekil noktası zq, ancak ve ancak noktanın bir komşuluğunda f(z) fonksiyonunun Laurent açılımının ana kısmı sonlu (ve pozitif) bir sayı içeriyorsa kutuptur. sıfır olmayan terimlerden oluşur, yani 4 formuna sahiptir z0 bir kutup olsun. O zamandan beri, f(z) fonksiyonunun analitik olduğu ve sıfırdan farklı olduğu z0 noktasının delinmiş bir komşuluğu vardır. Daha sonra bu komşulukta bir analitik fonksiyon tanımlanır ve Dolayısıyla, zq noktası fonksiyonun çıkarılabilir tekil bir noktasıdır (sıfır) veya burada h(z) bir analitik fonksiyondur, h(z0) ∩ 0. bir komşulukta analitiktir. zq noktası ve dolayısıyla, bunu buradan elde ederiz. Şimdi, f(z) fonksiyonunun, zo noktasının delinmiş bir komşuluğunda (24) formunun bir ayrışmasına sahip olduğunu varsayalım. Bu, bu komşulukta f(z) fonksiyonunun fonksiyonla birlikte analitik olduğu anlamına gelir. g(z) fonksiyonu için, zq'nun g(z) fonksiyonunun çıkarılabilir bir tekil noktası olduğu ve var olduğu açık olan genişleme geçerlidir. hakikat. Zq noktası, f(z) fonksiyonunun bir kutbudur, ancak ve ancak g(z) = y fonksiyonu, g(z0) = 0 ayarlanarak zq noktasının bir komşuluğunda bir analitik fonksiyona genişletilebilirse. f(z) fonksiyonunun kutbuna jfa fonksiyonunun sıfır mertebesi denir. Teorem 16 ve 18, aşağıdaki iddiayı ima eder. Teorem 19. Yalıtılmış bir tekil ince, ancak ve ancak bu noktanın delinmiş bir komşuluğundaki Laurent açılımının ana kısmı sonsuz sayıda sıfır olmayan terim içeriyorsa, esasen tekildir. Örnek 5. Fonksiyonun tekil noktası zo = 0'dır. Laurent Serisi İzole tekil noktalarımız ve bunların sınıflandırılması Bu nedenle, zo = 0 çıkarılabilir tekil bir noktadır. Bir Laurent serisindeki /(z) fonksiyonunun sıfır noktası civarındaki açılımı yalnızca doğru kısmı içerir: Örnek7. f(z) = f(z) fonksiyonunun tekil noktası zq = 0'dır. Bu fonksiyonun gerçek ve sanal eksenler üzerindeki davranışını düşünün: gerçek eksende x 0'da, sanal eksende Bu nedenle, ne sonlu ne de sanal eksende z'de sonsuz f(z) limiti -* 0 mevcut değil. Dolayısıyla r0 = 0 noktası, f(z) fonksiyonunun esasen tekil bir noktasıdır. Sıfır noktasının bir komşuluğunda f(z) fonksiyonunun Laurent açılımını bulalım. Herhangi bir karmaşık C için belirledik. O halde Laurent açılımı, z'nin negatif kuvvetlerine sahip sonsuz sayıda terim içerir.

Tanım. Fonksiyonun tekil noktasına denir. yalıtılmış, eğer bu noktanın bir komşuluğunda analitik bir fonksiyon ise (yani, halkada analitik).

Bir fonksiyonun izole tekil noktalarının sınıflandırılması, bu fonksiyonun tekil bir noktanın komşuluğundaki davranışı ile ilgilidir.

Tanım. nokta denir tek kullanımlık Bu fonksiyonun sonlu bir limiti varsa, bir fonksiyonun tekil noktası.

Örnek 5 Fonksiyonun bir noktada çıkarılabilir tekilliği olduğunu gösterin.

Karar.İlk dikkate değer sınırı hatırlayarak, hesaplıyoruz

Bu, verilen fonksiyonun noktada çıkarılabilir bir tekilliğe sahip olduğu anlamına gelir.

Görev 4. noktasının çıkarılabilir olduğunu gösterin.

Tanım. nokta denir kutup fonksiyonu için bu fonksiyon süresiz olarak artarsa, yani .

Bir analitik fonksiyonun sıfır ve kutup kavramları arasındaki bağlantıya dikkat edelim. fonksiyonu olarak gösterelim.

Bir nokta bir fonksiyonun basit sıfırı ise, fonksiyonun basit bir kutbu vardır.

Nokta, fonksiyon için sıfır mertebesi ise, o zaman fonksiyon için kutuptur. sipariş.

Örnek 6 Fonksiyonun bir noktada üçüncü dereceden bir kutbu olduğunu gösterin.

Karar. Varsayalım, anladık. Sıfıra meyilli olduğumuz için, herhangi bir yasaya göre elimizde . Sonra ve onunla birlikte fonksiyonun kendisi süresiz olarak artar. Bu nedenle, yani tekil nokta bir kutuptur. Bir fonksiyon için bu nokta açıkça üçlü sıfırdır. Dolayısıyla, bu fonksiyon için nokta üçüncü dereceden bir kutuptur.

Görev 5. Noktanın basit bir kutbu olduğunu gösterin.

Tanım. nokta denir esasen özel fonksiyonun noktasında, bu noktada fonksiyonun ne sonlu ne de sonsuz bir limiti yoksa (fonksiyonun davranışı tanımlanmamıştır).

fonksiyonun temel bir tekil noktası olsun. Daha sonra, önceden atanmış herhangi bir karmaşık sayı için, değerlerin eğiliminde olduğu, yakınsayan böyle bir nokta dizisi vardır: ( Sochocki teoremi).

Örnek 7 Bir noktada bir fonksiyonun temel bir tekilliğe sahip olduğunu gösterin.

Karar. Verilen bir fonksiyonun nokta civarındaki davranışını düşünün. Gerçek eksenin (yani ) pozitif kısmı boyunca ve ; gerçek eksenin negatif kısmı boyunca ise (yani), o zaman ve . Yani için bir sınır yok. Tanım olarak, bir fonksiyon bir noktada temel bir tekilliğe sahiptir.

Sochocki teoremi açısından fonksiyonun sıfırdaki davranışını ele alalım. Sıfır ve sonsuz dışında herhangi bir karmaşık sayı olsun.

eşitlikten buluruz. Bir dizi nokta elde ettiğimizi varsayarsak , . Açıkça, . Bu dizinin her noktasında, fonksiyon eşittir ve bu nedenle

Görev 6. Fonksiyonun bir noktada temel bir tekilliğe sahip olduğunu gösterin.

Sonsuzdaki bir nokta her zaman fonksiyon için özel kabul edilir.. Eğer bu fonksiyonun orijinde merkezlenmiş bir dairenin dışında başka tekil noktaları yoksa, bir noktaya bir fonksiyonun izole tekil noktası denir.

Yalıtılmış tekil noktaların sınıflandırılması duruma da genişletilebilir.

Örnek 8 Fonksiyonun sonsuzda çift kutuplu olduğunu gösteriniz.

Karar. Noktanın bir komşuluğunda bir analitik fonksiyonun nerede olduğu fonksiyonunu düşünün ve . Bu, fonksiyonun sonsuzda bir çift sıfıra sahip olduğu, ancak bu durumda fonksiyon için noktanın bir çift kutup olduğu anlamına gelir.

Örnek 9 Fonksiyonun sonsuzda özsel bir tekilliği olduğunu gösteriniz.

Karar. Benzer bir problem pr.7'de ele alınmaktadır. Sonsuz uzak bir noktanın komşuluğundaki bir fonksiyonun davranışını düşünün. Gerçek eksenin pozitif kısmı boyunca ve gerçek eksenin negatif kısmı boyunca. Bu, fonksiyonun bir noktada sınırı olmadığı ve tanım gereği bu noktanın esasen tekil olduğu anlamına gelir.

Bir noktada bir fonksiyonun tekilliğinin doğası şu şekilde değerlendirilebilir: Ana bölüm Bu noktanın bir mahallesinde Laurent genişlemesi.

Teorem 1. Nokta olması için tek kullanımlık fonksiyonun tekil noktası, karşılık gelen Laurent açılımının gerekli ve yeterlidir. ana kısmı içermiyordu.

Görev 6. Noktanın bir komşuluğunda fonksiyonun Taylor açılımını kullanarak, sıfırda çıkarılabilir bir tekilliğe sahip olduğunu gösterin.

Teorem 2. Nokta olması için kutup işlevler, gerekli ve yeterlidir, böylece Ana bölüm karşılık gelen Laurent genişletmesi sınırlı sayıda üye içeriyordu :

En yüksek negatif terimin sayısı direğin sırasını belirler.

Bu durumda fonksiyon şu şekilde temsil edilebilir:

nerede analitik fonksiyon noktasında, , direğinin sırasıdır.

Örnek 10 Fonksiyonun noktalarda basit kutuplara sahip olduğunu gösteriniz.

Karar. Bir noktayı ele alalım. Bu fonksiyonun Laurent açılımını, Örnek 2'de elde edilen bu noktanın yakınında kullanıyoruz:

Bu genişlemenin ana kısmındaki en yüksek (ve tek) negatif güç bire eşit olduğundan, nokta bu fonksiyonun basit bir kutbudur.

Bu sonuç başka bir şekilde elde edilebilirdi. Formda temsil edelim ve koyalım - bu noktada analitik olan bir fonksiyondur ve . Dolayısıyla, (8)'den dolayı bu fonksiyonun noktasında basit bir kutbu vardır.

Başka bir yol: noktasında basit sıfır olan bir fonksiyon düşünün. Dolayısıyla bu noktada basit bir kutbu vardır.

Benzer şekilde, fonksiyonu formda yazarsak, nerede bir fonksiyon analitiktir ve noktasında, o zaman noktanın fonksiyonun basit bir kutbu olduğu hemen anlaşılır.

Görev 7. Fonksiyonun noktada 2. dereceden bir kutbu ve noktada 4. dereceden bir kutbu olduğunu gösteriniz.

Teorem 3. Nokta olması için esasen özel fonksiyonun noktası, gerekli ve yeterlidir Ana bölüm Noktanın bir mahallede Laurent genişleme sonsuz sayıda üye içeriyordu .

Örnek 11. Fonksiyon noktasındaki tekilliğin doğasını belirleyin

Karar. Kosinüsün iyi bilinen genişlemesinde, yerine şunu koyduk:

Dolayısıyla, bir noktanın komşuluğundaki Laurent açılımı şu şekildedir:

Burada doğru kısım bir terimdir. Ve ana kısım sonsuz sayıda terim içerir, yani nokta esasen tekildir.

Görev 8. Bir noktada fonksiyonun temel bir tekilliğe sahip olduğunu gösterin.

Bir fonksiyon düşünün ve Laurent açılımını şu noktaya yazın:

Nokta noktaya giderken bir değiştirme yapalım. Şimdi, sonsuzda bir noktanın komşuluğunda,

Geriye yeni bir atama tanıtmak kalıyor. alırız

nerede ana kısımdır ve sonsuz uzak bir noktanın komşuluğunda fonksiyonun Laurent açılımının düzenli kısmıdır. Böylece, bir noktanın komşuluğundaki bir fonksiyonun Laurent açılımında, ana kısım pozitif kuvvetlerde bir dizi, doğru kısım ise negatif kuvvetlerde bir dizidir. Bunu dikkate alarak

Bununla birlikte, tekilliğin doğasını belirlemek için yukarıdaki kriterler, sonsuz uzak bir nokta için geçerli kalır.

Örnek 12. Noktadaki fonksiyonun tekilliğinin doğasını bulun. , daha sonra bir noktada izole olmadığı ortaya çıkabilir.

Örnek 15 Sonsuz uzak bir noktadaki fonksiyonun temel bir tekilliği vardır. Fonksiyonun noktasının izole tekil bir nokta olmadığını gösterin.

Karar. Fonksiyonun paydasının sıfır noktalarında yani , noktalarında sonsuz sayıda kutbu vardır. O halde kutupların bulunduğu herhangi bir komşuluktaki nokta kutuplar için sınır noktasıdır.