Bu nedenle, orijinal görüntü için orijinal, forma sahiptir.

Bu sonuç (23) ile örtüşmektedir.

3. Diferansiyel denklemin çözümünü bulun
, y(0) = y"(0) = 0 başlangıç ​​koşullarını sağlayan.

Bu sorunu çözmek için Duhamel integralini kullanıyoruz. Önce bir çözüm bulalım
diferansiyel denklem
. Görüntü için ilgili operatör denklemi
forma sahip

veya
. Buradan buluyoruz

. Elde edilen kesri, basit kesirlerin toplamı olarak temsil ediyoruz.
. katsayıları bulalım
. Bunu yapmak için sağ taraftaki kesirleri ortak bir paydaya indirgeyip payların eşitliğini elde ederiz.

Katsayıları bulmak için önce kısmi değerler yöntemini kullanırız. koyalım
. sonra alırız
. koyalım
. sonra alırız
. Değeri belirlemek için derecedeki katsayıları eşitle (24)'de sol ve sağ:
. Sonuç olarak,
. Bu nedenle, görüntü benziyor
. Tabloya göre ilgili orijinali buluyoruz
.. buradan

. (25)

Formül (13)'e göre, orijinal diferansiyel denklemin çözümü
bir integraldir

, (26)

- (27)

orijinal denklemin sağ tarafı. (26)'da iki fonksiyonun evrişiminin simetri özelliğinin kullanıldığına dikkat edin.

(25) ve (27)'yi (26) yerine koyarak, şunu elde ederiz:

Sonuç olarak,

. (28)

Mathcad kullanarak bu sorunu çözelim

belirtmek
vasıtasıyla
(Mathcad'de karmaşık değişkenin ile gösterilir )

aslını bulalım
, sonra koy
ve buna göre türevi bulun fonksiyondan

hesaplama
, nerede
orijinal denklemin sağ tarafıdır.

Sağ taraf basitleştirilebilir

Bu sonuç, daha önce elde edilen ifade (28) ile örtüşmektedir.

İki fonksiyonun evrişiminin sıralarına bağlı olmadığı göz önüne alındığında, aynı zamanda hesaplayabiliriz.
formül (26)'ya göre formda

Sonuç, oldukça hantal bir ifadedir. Bu ifadede benzer terimler sunup sonucu sadeleştiriyoruz.

Bu sonuç da forma indirgenir (28)

4. Cauchy problemini operasyonel yöntemi kullanarak çözün:

(29)

(30)

Çözüm. Verilen,

,

operatör denklemini formda elde ederiz

Buradan görüntü

(31)

Polinom
kökleri var
,
, ve bu nedenle ifadesi
ilk ve son kesirlerin toplamı sadeleştirildikten sonra forma dönüştürülür.

(32)

orijinali almak için
görüntü için
, (32)'de yer alan kesirleri basit olanlara ayırmanız gerekir. Bu açılımı Mathcad kullanarak bulalım

Matematiksel analizin birçok probleminde, bir uzayın her noktasının başka bir (veya aynı) uzayın bir noktasına atandığı durumlar göz önünde bulundurulur. Boşluklar, "noktaların" gerçekte işlev olduğu soyut olabilir. İki nokta arasındaki yazışma, bir dönüşüm veya operatör kullanılarak kurulur. Operatör teorisinin görevi, çeşitli dönüşüm türlerinin ve özelliklerinin ayrıntılı bir tanımını ve sınıflandırılmasını ve ayrıca hesaplamaları en aza indirmeye ve basitleştirmeye izin veren sembolik yöntemlerin geliştirilmesini içerir. Genellikle, operatör teorisi, noktaların eklenmesine veya çarpılmasına izin verilen uzaylara uygulanır, yani. lineer uzaylar, gruplar, halkalar, alanlar vb.

Sorunlar ve uygulamalar.

İzin vermek D ve R gerçek lineer veya vektör uzaylarıdır, farklı olmaları gerekmez. Elemanları vektörlerdir, bu nedenle iki elemanın toplamı ve bir elemanın bir skalerle çarpımı tanımlanır ve vektörler için olağan koşulları sağlar. Sonlu bazların varlığı D ve R gerekli değil. İzin vermek r, bir vektör R, vektöre karşılık gelir d itibaren D. Bu yazışmayı belirtiriz T(d) = r veya td = r. O zamanlar T etki alanı operatörü denir D ve aralık R. Şebeke T dağıtıcı ise

nerede λ ve λ" herhangi bir gerçek sayı var mı ve d ve d"- herhangi bir öğe D. Eğer bir D ve R topolojik vektör uzaylarıdır. λd ve g+d" sürekli işlemler ise, dağıtımlı bir sürekli operatöre doğrusal operatör denir. Eğer bir Q içerir D ve R, sonra T 2 (d) olarak tanımlanır T(T(d)) ve benzer şekilde tanımlanır T n(d) eğer tüm bu işlemler mantıklıysa.

İşlemsel hesap, problemlerin soyut formülasyonlarını gerçekleştirmeyi ve diferansiyel ve integral denklemler teorisi gibi matematiksel analizin bu tür dallarını genelleştirmeyi mümkün kılar. Kuantum teorisinin modern problemleri, operatör teorisinin gelişimi için güçlü bir uyarıcı haline geldi. En eksiksiz sonuçlar, sözde dağıtım operatörleri için elde edilmiştir. Hilbert uzayı. Bu alandaki ilgi, büyük ölçüde bu tür operatörlerin integral dönüşümlerle temsil edilmesiyle ilişkilidir.

İki önemli dağıtım operatörü, farklılaşma operatörleridir. p ve entegrasyon p-bir . Lineer uzayların elemanları D ve R bu durumda değişkenin fonksiyonları olacaktır x. Sahibiz

nerede m ve n negatif olmayan tam sayılardır. Entegrasyon keyfi bir sabitin ortaya çıkmasına neden olduğundan, p –1 p mutlaka aynı işlem değildir p 0 . Bu tür operatörleri birleştirmek için resmi kurallar J. Boole'a (1815-1864); örneğin,

O. Heaviside (1850–1925) tarafından geliştirilen Heaviside hesabında, uzay D fonksiyonların kapsamı ile sınırlı f(x), aynı şekilde negatif için sıfıra eşittir x. Ana rol, işlev 1( x), negatif için 0'a eşittir x ve negatif olmayan için 1 x. İşte Heaviside hesabının bazı "kuralları":

Eğer bir n! gama işlevini değiştirin Г( n+ 1), o zaman kurallardan ilki tamsayı olmayanlar için geçerli kalır n(gama fonksiyonunun tanımı santimetre. İŞLEV).

İşlemsel hesabın ana sonucu, bileşim veya evrişim ile ilgili teorem olarak kabul edilir, buna göre, eğer F 1 (p)1(x) = f 1 (x) ve F 2 (p)1(x) = f 2 (x), sonra

Evrişim teoreminin uygulanması p bir de a≠ 0, –1, –2,..., kesirli dereceli entegrasyon veya türev tanımlanabilir. Örneğin, ifadeyi düşünün

fonksiyon nerede y(x) ve ilk n– 1 türev ne zaman kaybolur? x= 0. y(x) = Y(p)1(x), g(x) = G(p)1(x). Kabul

farz edelim ki f(x) = F(p) –1 1(x). O zamanlar

Standart kurallar, asimptotik serilerin vb. rasyonel fonksiyonlarının temel kesir açılımlarıyla ilgili çeşitli algoritmaları içerir. pratikte y(x) = Y(p)1(x) genellikle olarak yazılır y(x) ~ Y(p) veya .

W. Volterra'nın (1860–1940) kapalı çevrim fonksiyonları teorisi aynı genel sonuçlara yol açar. Diğer operatörler için de benzer teoriler oluşturulmuştur, örneğin, x(d/dx) ve birkaç işlemli daha genel durumlar için, Volterra, Pinkerle ve diğerleri Uygulamalı matematikçiler için, Heaviside'ın işlem hesabının ana avantajı, aşkın problemlerin bağımsız bir değişkenle indirgenmesidir. x bağlı fonksiyonlar için cebirsel problemlere p. Çoğu zaman, Heaviside yöntemi sabit katsayılı diferansiyel denklemleri, fark denklemlerini ve çekirdekli integral denklemleri çözmek için kullanılır. K(x, t) = K(x – t). Genel durumda, işlemsel hesap yöntemleri daha karmaşık denklemlere genişletildiğinde, "saf cebirleştirme" karakteri kaybolur.

Oranın titiz gerekçesi F(p)1(x) = f (x) Laplace veya Fourier integral dönüşümleri cinsinden veya soyut olarak Hilbert uzayı gibi belirli lineer topolojik uzaylardaki operatörler cinsinden verilmiştir. Bu yaklaşım, buluşsal kuralların uygulanabilirliği için koşulların oluşturulmasını mümkün kılmıştır.

diferansiyel denklem nasıl çözülür
operasyonel hesap?

Bu derste, tipik ve yaygın bir karmaşık analiz görevi ayrıntılı olarak analiz edilecektir - operasyonel hesap yöntemiyle sabit katsayılarla 2. dereceden belirli bir DE çözümünü bulma. Tekrar tekrar, malzemenin düşünülemeyecek kadar karmaşık ve erişilemez olduğu önyargısından sizi kurtarıyorum. Komik ama örneklerde uzmanlaşmak için ayırt edemeyebilirsiniz, bütünleştiremeyebilirsiniz ve hatta ne olduğunu bilemeyebilirsiniz. Karışık sayılar. Uygulama becerisi gerektirir belirsiz katsayılar yöntemi, makalede ayrıntılı olarak tartışılan Kesirli rasyonel fonksiyonların entegrasyonu. Aslında, ödevin temel taşı olağan cebirsel işlemlerdir ve malzemenin bir okul çocuğu için bile mevcut olduğundan eminim.

İlk olarak, ele alınan matematiksel analiz bölümü hakkında kısa teorik bilgiler. Ana nokta operasyonel hesapşunlardan oluşur: işlev geçerli sözde kullanarak değişken Laplace dönüşümleri içinde görüntüleniyor işlev kapsamlı değişken :

Terminoloji ve gösterim:
fonksiyon denir orijinal;
fonksiyon denir resim;
büyük harf gösterir Laplace dönüşümü.

Basit bir ifadeyle, belirli kurallara göre, gerçek bir işlevin (orijinal) karmaşık bir işleve (görüntü) dönüştürülmesi gerekir. Ok bu dönüşümü gösterir. Ve "belirli kurallar" kendileri Laplace dönüşümü sadece resmi olarak ele alacağımız, sorunları çözmek için oldukça yeterli olacak.

Görüntü orijinale dönüştürüldüğünde, ters Laplace dönüşümü de mümkündür:

Bütün bunlar neden gerekli? Bir dizi yüksek matematik probleminde, orijinallerden görüntülere geçmek çok faydalı olabilir, çünkü bu durumda problemin çözümü büyük ölçüde basitleştirilmiştir (şaka yapıyorum). Ve ele alacağımız bu sorunlardan sadece biri. Operasyonel hesabı görecek kadar yaşadıysanız, formülasyon size aşina olmalıdır:

Verilen başlangıç ​​koşulları için sabit katsayılı homojen olmayan ikinci dereceden bir denklemin özel bir çözümünü bulun.

Not: bazen diferansiyel denklem homojen olabilir: , bunun için yukarıdaki formülasyonda işlemsel hesap yöntemi de uygulanabilir. Ancak pratik örneklerde 2. dereceden homojen DE son derece nadirdir ve ayrıca homojen olmayan denklemler hakkında konuşacağız.

Ve şimdi üçüncü yöntem analiz edilecek - operasyonel hesap kullanarak DE'nin çözümü. Şu gerçeği bir kez daha vurguluyorum. belirli bir çözüm bulmakla ilgili, Dahası, başlangıç ​​koşulları kesinlikle forma sahiptir("X'ler" sıfıra eşittir).

Bu arada, "X" hakkında. Denklem aşağıdaki biçimde yeniden yazılabilir:
, burada "x" bağımsız bir değişkendir ve "y" bir fonksiyondur. Bundan tesadüfen bahsetmiyorum, çünkü söz konusu problemde en sık diğer harfler kullanılıyor:

Yani, bağımsız değişkenin rolü "te" değişkeni ("x" yerine) tarafından oynanır ve işlevin rolü "x" değişkeni ("y" yerine) tarafından oynanır.

Elbette uygunsuz olduğunu anlıyorum, ancak çoğu sorunlu kitap ve kılavuzda bulunan gösterime bağlı kalmak daha iyidir.

Yani diğer harflerle görevimiz şöyle yazılır:

Verilen başlangıç ​​koşulları için sabit katsayılı homojen olmayan ikinci dereceden bir denklemin özel bir çözümünü bulun .

Görevin anlamı hiç değişmedi, sadece harfler değişti.

Bu problem operasyonel hesap yöntemiyle nasıl çözülür?

Her şeyden önce, ihtiyacınız olacak orijinaller ve resimler tablosu. Bu önemli bir karar aracıdır ve onsuz yapamazsınız. Bu nedenle mümkünse belirtilen referans materyali yazdırmaya çalışın. Hemen "pe" harfinin ne anlama geldiğini açıklayacağım: karmaşık bir değişken (normal "ze" yerine). Bu gerçek, sorunların çözümü için özel bir öneme sahip olmasa da, “pe” çok “pe” dir.

Tabloyu kullanarak, orijinallerin bazı görüntülere dönüştürülmesi gerekir. Bunu bir dizi tipik eylem izler ve ters Laplace dönüşümü kullanılır (tabloda da). Böylece istenilen özel çözüm bulunacaktır.

Güzel olan tüm görevler oldukça katı bir algoritmaya göre çözülür.

örnek 1

, ,

Çözüm:İlk adımda, orijinallerden karşılık gelen görüntülere geçeceğiz. Sol tarafı kullanalım.

İlk önce orijinal denklemin sol tarafıyla ilgilenelim. Laplace dönüşümü için, doğrusallık kuralları, bu yüzden tüm sabitleri yok sayarız ve fonksiyon ve türevleriyle ayrı ayrı çalışırız.

1 numaralı tablo formülüne göre, işlevi dönüştürüyoruz:

2 numaralı formüle göre , başlangıç ​​koşulunu dikkate alarak türevi çeviriyoruz:

3 numaralı formüle göre, başlangıç ​​koşulları verildiğinde, ikinci türevi çeviriyoruz:

İşaretlerle karıştırmayın!

“Formüller” değil, “dönüşümler” demenin daha doğru olduğunu itiraf ediyorum, ancak basitlik için zaman zaman tablo formüllerinin doldurulmasını arayacağım.

Şimdi polinomu içeren sağ tarafla ilgilenelim. Aynı nedeniyle doğrusallık kuralları Laplace dönüşümleri, her terimle ayrı ayrı çalışıyoruz.

İlk terime bakıyoruz: - bu bağımsız değişken "te"dir, bir sabitle çarpılır. Sabiti yok sayın ve tablonun 4 numaralı öğesini kullanarak dönüşümü gerçekleştirin:

İkinci terime bakıyoruz: -5. Tek başına bir sabit bulunduğunda, artık onu atlamak mümkün değildir. Tek bir sabitle bunu yaparlar: netlik için, bir çarpım: olarak gösterilebilir ve birime bir dönüşüm uygulanır:

Böylece, tablo kullanılarak diferansiyel denklemin tüm elemanları (orijinalleri) için karşılık gelen görüntüler bulunur:

Bulunan görüntüleri orijinal denklemde değiştirin:

Bir sonraki görev ifade etmektir. operatör kararı diğer her şey aracılığıyla, yani bir kesir aracılığıyla. Bu durumda, aşağıdaki prosedürün izlenmesi tavsiye edilir:

İlk önce, sol taraftaki parantezleri açın:

Benzer terimleri sol tarafta (varsa) veriyoruz. Bu durumda, -2 ve -3 sayılarını ekleyin. Aptallar, bu aşamayı atlamamanızı şiddetle tavsiye eder:

Solda, mevcut olan terimleri bırakıyoruz, kalan terimleri işaret değişikliği ile sağa aktarıyoruz:

Sol tarafta operatör çözümünü çıkarıyoruz, sağ tarafta ifadeyi ortak bir paydaya getiriyoruz:

Soldaki polinom (mümkünse) çarpanlarına ayrılmalıdır. İkinci dereceden denklemi çözüyoruz:

Böylece:

Sağ tarafın paydasına sıfırlıyoruz:

Hedefe ulaşıldı - operatör çözümü bir kesir olarak ifade edildi.

Eylem iki. kullanma belirsiz katsayılar yöntemi, denklemin operatör çözümü, temel kesirlerin toplamına genişletilmelidir:

Katsayıları karşılık gelen güçlerde eşitleyin ve sistemi çözün:

Herhangi bir zorluk varsa lütfen makaleleri takip edin Bir kesirli-rasyonel fonksiyonun integrali ve Bir denklem sistemi nasıl çözülür? Bu çok önemlidir çünkü fraksiyonlama esasen problemin en önemli kısmıdır.

Böylece, katsayılar bulunur: ve operatör çözümü demonte halde önümüzde görünür:

Sabitlerin kesirlerin paylarında yazılmadığına dikkat edin. Bu yazı biçimi daha iyi . Ve daha karlı, çünkü son işlem karışıklık ve hata olmadan gerçekleşecek:

Görevin son adımı, ters Laplace dönüşümünü kullanarak görüntülerden ilgili orijinallere geçmektir. Sağ sütunu kullanın orijinallerin ve resimlerin tabloları.

Belki de herkes dönüşümü anlamıyor. Burada tablonun 5 numaralı paragrafının formülü kullanılır:. Daha detaylı ise: . Aslında, benzer durumlar için formül değiştirilebilir: . Evet ve 5 No'lu paragrafın tüm tablo formüllerini benzer şekilde yeniden yazmak çok kolaydır.

Ters geçişten sonra, mavi kenarlıklı gümüş bir tepside DE'nin istenen özel çözümü elde edilir:

Öyleydi:

Dönüştü:

Cevap:özel çözüm:

Zaman izin verdiğinde, her zaman bir kontrol yapılması tavsiye edilir. Kontrol, derste önceden düşünülmüş olan standart şemaya göre gerçekleştirilir. 2. mertebeden homojen olmayan diferansiyel denklemler. Tekrar edelim:

Başlangıç ​​koşulunun yerine getirildiğini kontrol edelim:
- gerçekleştirildi.

İlk türevi bulalım:

İkinci başlangıç ​​koşulunun yerine getirildiğini kontrol edelim:
- gerçekleştirildi.

İkinci türevi bulalım:

Vekil , ve orijinal denklemin sol tarafında:

Orijinal denklemin sağ tarafı elde edilir.

Sonuç: görev doğru bir şekilde tamamlandı.

Kendi başınıza çözmeniz için küçük bir örnek:

Örnek 2

İşlemsel hesabı kullanarak, verilen başlangıç ​​koşulları için bir diferansiyel denklemin belirli bir çözümünü bulun.

Dersin sonunda bir son ödev örneği.

Diferansiyel denklemlerde en sık görülen konuk, çoğu kişinin uzun zamandır fark ettiği gibi, üslerdir, bu yüzden onlarla birkaç örneğe bakalım, akrabalar:

Örnek 3

, ,

Çözüm: Laplace dönüşüm tablosunun yardımıyla (tablonun sol tarafı), orijinallerden karşılık gelen görüntülere geçeceğiz.

Önce denklemin sol tarafına bakalım. İlk türev yoktur. Peki ne olmuş? Harika. Az iş. İlk koşullar göz önüne alındığında, 1,3 numaralı tablo formüllerine göre görüntüleri buluyoruz:

Şimdi sağ tarafa bakıyoruz: - iki fonksiyonun ürünü. Faydalanmak için doğrusallık özellikleri Laplace dönüşümü, parantezleri açmanız gerekir: . Sabitler ürünlerde olduğundan, onlara puan veririz ve tablo formüllerinin 5 numaralı grubunu kullanarak görüntüleri buluruz:

Bulunan görüntüleri orijinal denklemde değiştirin:

Bir sonraki görevin operatör çözümünü tek bir kesir cinsinden ifade etmek olduğunu hatırlatırım.

Sol tarafta mevcut olan terimleri bırakıyoruz, kalan terimleri sağ tarafa aktarıyoruz. Aynı zamanda sağ tarafta kesirleri yavaş yavaş ortak bir paydaya getirmeye başlıyoruz:

Soldaki parantezlerden çıkardık, sağda ifadeyi ortak bir paydaya getiriyoruz:

Sol tarafta, ayrıştırılamaz bir polinom elde edilir. Polinom çarpanlara ayrılmazsa, o zaman zavallı adam, bacaklarını bir havzada betonlaştırarak hemen sağ tarafın altına atılmalıdır. Ve payda, parantezleri açın ve benzer terimler verin:

En zahmetli aşama geldi: belirsiz katsayılar yöntemi denklemin operatör çözümünü temel kesirlerin toplamına genişletiriz:


Böylece:

Kesrin nasıl ayrıştırıldığına dikkat edin: Bunun neden böyle olduğunu yakında açıklayacağım.

Bitir: resimlerden ilgili orijinallere geçin, tablonun sağ sütununu kullanın:

Alttaki iki dönüşümde, tablonun 6 ve 7 numaralı formülleri kullanıldı ve kesir, yalnızca tablo dönüşümlerine “ayarlama” için önceden genişletildi.

Sonuç olarak, belirli bir çözüm:

Cevap: istenen özel çözüm:

Kendin yap çözümü için benzer bir örnek:

Örnek 4

İşlemsel hesap yöntemiyle diferansiyel denklemin belirli bir çözümünü bulun.

Kısa çözüm ve ders sonunda cevap.

Örnek 4'te, başlangıç ​​koşullarından biri sıfırdır. Bu kesinlikle çözümü basitleştirir ve en ideal seçenek, her iki başlangıç ​​koşulunun da sıfır olduğu zamandır: . Bu durumda, türevler kuyruksuz görüntülere dönüştürülür:

Daha önce belirtildiği gibi, sorunun en zor teknik yönü, kesrin genişlemesidir. belirsiz katsayılar yöntemi, ve elimde oldukça zaman alıcı örnekler var. Yine de, canavarlarla kimseyi korkutmayacağım, denklemin birkaç tipik çeşidini düşünelim:

Örnek 5

İşlemsel hesap yöntemini kullanarak, verilen başlangıç ​​koşullarını sağlayan diferansiyel denklemin özel bir çözümünü bulun.
, ,

Çözüm: Laplace dönüşüm tablosunu kullanarak orijinallerden karşılık gelen görüntülere geçelim. Başlangıç ​​koşulları göz önüne alındığında :

Sağ tarafta da sorun yok:

(Çarpan sabitlerinin yok sayıldığını hatırlatırım)

Ortaya çıkan görüntüleri orijinal denklemin yerine koyalım ve umarım zaten iyi sonuç vermişsinizdir:

Kesir dışındaki paydadaki sabiti çıkarıyoruz, en önemlisi, sonra bunu unutma:

Paydan ek bir ikili alıp almamayı düşündüm, ancak tahmin ettikten sonra, bu adımın pratikte sonraki kararı basitleştirmeyeceği sonucuna vardım.

Görevin bir özelliği ortaya çıkan kesirdir. Ayrışması uzun ve zor olacak gibi görünüyor, ancak izlenim aldatıcı. Doğal olarak, zor şeyler var, ama her durumda, korkmadan ve şüphe duymadan devam edin:

Bazı katsayıların kesirli olduğu gerçeği utanç verici olmamalı, bu durum nadir değildir. Keşke bilgi işlem tekniği başarısız olmasaydı. Ayrıca, cevabı kontrol etmek her zaman mümkündür.

Sonuç olarak, operatör çözümü:

Resimlerden ilgili orijinallere geçelim:

Yani özel bir çözüm:

İŞLETİM HESABI- ekonomik ve doğrudan doğrusal diferansiyel denklemlerin yanı sıra fark ve bazı integral denklem türleri için çözümler elde etme hedefine yol açan bir dizi uygulamalı matematiksel analiz yöntemi. Bu bağlamda, işlemsel hesap yöntemleri mekanikte, elektrik mühendisliğinde, otomasyonda ve diğer çok çeşitli bilim ve teknoloji dallarında yaygın olarak kullanılmaktadır. Operasyonel hesap, fonksiyonel bir dönüşüm fikrine dayanır: argümanın pozitif değerleri için tanımlanan, ilk fonksiyon veya orijinal olarak adlandırılan gerçek bir değişken t'nin bir fonksiyonu, adı verilen başka bir değişken p fonksiyonu ile ilişkilendirilir. doğrusal bir integral dönüşüm kullanarak görüntü. Benzer bir dönüşüm "orijinal - görüntü" gerçekleştirilebilir, böylece başlangıç ​​fonksiyonlarının türev alma ve entegrasyon işlemleri görüntü alanındaki cebirsel işlemlere karşılık gelir. Bu, en basit cebirsel işlemleri kullanarak, orijinal diferansiyel denklemlerin çözümlerinin görüntülerini bulmayı ve ardından ilgili başlangıç ​​fonksiyonunu aramayı mümkün kılar, yani çözüm, bazı basit kurallar ve en çok "katalog" kullanılarak gerçekleştirilir. sık rastlanan görüntüler. Daha karmaşık görevlerde, ters işlevsel dönüşüme başvurmak gerekir: görüntü orijinaldir. Operasyonel hesapla ilgili ilk çalışmalar geçen yüzyılın ortalarında ortaya çıktı. Rus matematikçi M. E. Vashchenko-Zakharchenko, 1862'de Kiev'de yayınlanan “Sembolik Hesap ve Lineer Diferansiyel Denklemlerin Entegrasyonuna Uygulanması” monografisinde, daha sonra operasyonel olarak bilinen yöntemin ana problemlerini belirledi ve kısmen çözdü. . Operasyonel hesabın fiziksel ve teknik problemlerin çözümüne sistematik olarak uygulanması, İngiliz bilim adamı O. Heaviside'ın çalışmalarının 1892'de ortaya çıkmasıyla başladı. İşlemsel hesabın özü, tt'de tanımlanan uygulamalı problemlerde en sık karşılaşılan gerçek değişken t'nin başlangıç ​​parçalı-sürekli fonksiyonları f(t) sınıfı ile bir örnekle gösterilebilir.<0. Из класса кусочно-непрерывных начальных функций выделяется и в дальнейшем рассматривается подкласс функций, характеризуемых определенным порядком роста при весьма больших значениях аргумента t, а именно: |f(t)|< Ме s o t , где М и s o t'den bağımsız sayılardır. p=s+iσ bir karmaşık sayı ise, o zaman f(t) fonksiyonuna uygulanan belirtilen kısıtlamalar altında, integral

vardır ve f(t) fonksiyonunun Laplace integrali olarak adlandırılan Re p>s o yarım düzleminde p'nin düzenli bir fonksiyonunu temsil eder.
Kanunla getirilen F (p) işlevi:

başlangıç ​​fonksiyonunun görüntüsü veya orijinal f(t) olarak adlandırılır. Bir dizi görüntü özelliği (**), örneğin f' (t) türevinin görüntüsü:

ve integralin görüntüleri

Dönüşümün (*) türev alma ve entegrasyon işlemlerini karmaşık p değişkeni ile çarpma ve bölme işlemlerine çevirdiğini açıkça belirtin. Görüntünün temel özelliklerini kullanarak, en basit işlevlerden bazılarının görüntüleri derlenir - görüntülerin bir "kataloğu". En basit fonksiyonların görüntülerinin "kataloğu" ve F (p) görüntüsü bir polinom veya iki polinomun oranı olduğunda ilk fonksiyonu bulmayı mümkün kılan Heaviside'ın ayrıştırma teoremleri, en basit şekilde bir çözüm bulmanın en basit yolunu sağlar. sabit katsayılı büyük bir sıradan lineer diferansiyel ve fark denklemleri grubu. Ancak sayısız görev, "katalog"dakilere indirgenemeyen görüntülere yol açar. Riemann-Mellin inversiyon formülü olarak adlandırılan, görüntüsünden bir başlangıç ​​işlevi oluşturmanın genel bir yolu vardır.