Açı dar ise katsayı. Fonksiyonun grafiğine teğetin denklemi. Kapsamlı Kılavuz (2019)

Bir önceki bölümde, düzlemde belirli bir koordinat sistemi seçerek, incelenen doğrunun noktalarını karakterize eden geometrik özellikleri, mevcut koordinatlar arasındaki denklemle analitik olarak ifade edebileceğimiz gösterilmişti. Böylece doğrunun denklemini elde ederiz. Bu bölümde doğruların denklemleri ele alınacaktır.

Düz bir çizginin denklemini Kartezyen koordinatlarda formüle etmek için, koordinat eksenlerine göre konumunu belirleyen koşulları bir şekilde ayarlamanız gerekir.

İlk olarak, düz bir çizginin düzlemdeki konumunu karakterize eden niceliklerden biri olan düz bir çizginin eğimi kavramını tanıtıyoruz.

Doğrunun Öküz eksenine eğim açısına Öküz ekseninin verilen çizgiyle çakışması (veya ona paralel olması) için döndürülmesi gereken açı diyelim. Her zamanki gibi, işareti dikkate alarak açıyı ele alacağız (işaret dönüş yönüne göre belirlenir: saat yönünün tersine veya saat yönünde). Öküz ekseninin 180°'lik bir açıyla ilave bir dönüşü, onu yine düz çizgi ile birleştireceğinden, düz çizginin eksene olan eğim açısı belirsiz bir şekilde seçilebilir (bir katına kadar).

Bu açının tanjantı benzersiz bir şekilde belirlenir (çünkü açıyı değiştirmek tanjantını değiştirmez).

Doğrunun x eksenine olan eğim açısının tanjantına doğrunun eğimi denir.

Eğim düz çizginin yönünü karakterize eder (burada düz çizginin karşılıklı iki zıt yönü arasında ayrım yapmayız). Eğim düz ise sıfır, o zaman çizgi x eksenine paraleldir. Pozitif bir eğimle, düz çizginin x eksenine eğim açısı dar olacaktır (burada en küçük olanı düşünüyoruz). pozitif değer eğim açısı) (Şek. 39); bu durumda, eğim ne kadar büyük olursa, Ox eksenine olan eğim açısı da o kadar büyük olur. Eğim negatifse, düz çizginin x eksenine eğim açısı geniş olacaktır (Şekil 40). X eksenine dik bir doğrunun eğimi olmadığına dikkat edin (bir açının tanjantı yoktur).

Y \u003d f (x) çizgisi, koordinatları (x0; f (x0)) olan noktadan geçerse ve f "(x0) eğimine sahipse, şekilde x0 noktasında gösterilen grafiğe teğet olacaktır. böyle bir katsayı, teğetin özelliklerini bilmek zor değil.

İhtiyacın olacak

• - matematiksel referans kitabı;
• - basit bir kalem;
• - not defteri;
• - iletki;
• - pusula;
• - bir kalem.

Talimat

f’(x0) değeri yoksa ya teğet yoktur ya da dikey olarak geçer. Buna göre, fonksiyonun x0 noktasındaki türevinin varlığı, (x0, f(x0)) noktasında fonksiyonun grafiğiyle temas halinde olan dikey olmayan bir tanjantın varlığından kaynaklanmaktadır. Bu durumda tanjantın eğimi f "(x0)'a eşit olacaktır. geometrik anlamda türev - teğetin eğiminin hesaplanması.

x1, x2 ve x3 noktalarında fonksiyon grafiği ile temas halinde olacak ek teğetler çizin ve ayrıca bu teğetlerin oluşturduğu açıları apsis ekseni ile işaretleyin (böyle bir açı eksenden teğete pozitif yönde sayılır) astar). Örneğin, teğet çizgisi OX eksenine paralel olduğu için açı, yani α1 dar, ikinci (α2) geniş ve üçüncü (α3) sıfır olacaktır. Bu durumda geniş açının tanjantı negatif, dar açının tanjantı pozitif ve tg0 için sonuç sıfırdır.

Not

Teğetin oluşturduğu açıyı doğru belirleyin. Bunu yapmak için bir iletki kullanın.

faydalı tavsiye

Eğimleri birbirine eşitse iki eğik çizgi paralel olacaktır; bu teğetlerin eğimlerinin çarpımı -1 ise dik.

Kaynaklar:

• fonksiyon grafiğine teğet

Kosinüs, sinüs gibi "doğrudan" trigonometrik fonksiyonlar olarak adlandırılır. Tanjant (kotanjantla birlikte) "türevler" adı verilen başka bir çifte eklenir. Verilen tanjantı bulmayı mümkün kılan bu fonksiyonların çeşitli tanımları vardır. bilinen değer aynı değerde kosinüs

Talimat

Değere yükseltilmiş verilen açının kosinüsü ile bölümü birlikten çıkarın ve sonuçtan karekök çıkarın - bu, kosinüsü ile ifade edilen açıdan tanjantın değeri olacaktır: tg (α) \u003d √ (1-1 / (cos (α)) ²) . Aynı zamanda, formülde kosinüsün kesrin paydasında olduğuna dikkat edin. Sıfıra bölmenin imkansızlığı, bu ifadenin 90°'ye eşit açılar için kullanılmasını ve bu değerden 180°'nin katları (270°, 450°, -90°, vb.)

Ayrıca birde şu var alternatif yol kosinüsün bilinen değerinden tanjantı hesaplamak. Diğerlerinin kullanımında herhangi bir kısıtlama yoksa kullanılabilir. Bu yöntemi uygulamak için önce kosinüsün bilinen değerinden açının değerini belirleyin - bu arkkosinüs işlevi kullanılarak yapılabilir. Ardından, elde edilen değerin açısı için tanjantı hesaplayın. Genel olarak bu algoritma şu şekilde yazılabilir: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

Bir dik üçgenin dar açıları boyunca kosinüs ve teğet tanımını kullanan başka bir egzotik seçenek daha var. Bu tanımdaki kosinüs, düşünülen açıya bitişik bacak uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranına karşılık gelir. Kosinüsün değerini bilerek, ona karşılık gelen bu iki kenarın uzunluklarını seçebilirsiniz. Örneğin, eğer cos(α)=0.5 ise, komşu 10 cm'ye ve hipotenüs - 20 cm'ye eşit alınabilir. Burada belirli sayılar önemli değil - aynı olan değerlerle aynı ve doğru olanı alacaksınız. Ardından, Pisagor teoremini kullanarak eksik tarafın uzunluğunu belirleyin - karşı bacak. O eşit olacak kare kök kare hipotenüsün uzunlukları ile bilinen bacak arasındaki farktan: √(20²-10²)=√300. Tanım olarak, tanjant, karşıt ve bitişik bacakların uzunluklarının oranına (√300/10) karşılık gelir - onu hesaplayın ve klasik kosinüs tanımını kullanarak bulunan teğet değerini alın.

Kaynaklar:

• tanjant formülü ile kosinüs

Biri trigonometrik fonksiyonlar, en sık tg harfleriyle gösterilir, ancak tan isimleri de bulunur. En kolay yol, tanjantı sinüsün oranı olarak göstermektir. açı onun kosinüsüne. Bu, her çevrimi sürekli olmayan tek bir periyodik fonksiyondur. sayıya eşittir Pi ve kırılma noktası bu sayının yarısına karşılık gelir.

Matematikte, bir doğrunun Kartezyen koordinat düzlemindeki konumunu tanımlayan parametrelerden biri de bu doğrunun eğimidir. Bu parametre, düz çizginin x eksenine olan eğimini karakterize eder. Eğimin nasıl bulunacağını anlamak için önce XY koordinat sistemindeki bir doğrunun denkleminin genel biçimini hatırlayın.

Genel olarak, herhangi bir satır ax+by=c ifadesiyle temsil edilebilir, burada a, b ve c keyfi gerçek sayılardır, ancak mutlaka a 2 + b 2 ≠ 0'dır.

Basit dönüşümlerin yardımıyla, böyle bir denklem k ve d'nin reel sayılar olduğu y=kx+d formuna getirilebilir. k sayısı bir eğimdir ve bu tür bir doğrunun denklemine eğimli bir denklem denir. Görünüşe göre eğimi bulmak için orijinal denklemi yukarıdaki forma getirmeniz yeterli. Daha iyi bir anlayış için belirli bir örnek düşünün:

Görev: 36x - 18y = 108 denklemiyle verilen doğrunun eğimini bulun

Çözüm: Orijinal denklemi dönüştürelim.

Cevap: Bu doğrunun istenen eğimi 2'dir.

Denklemin dönüşümü sırasında x = const türünde bir ifade elde edersek ve sonuç olarak y'yi x'in bir fonksiyonu olarak gösteremezsek, X eksenine paralel bir düz çizgi ile karşı karşıyayız demektir. böyle bir düz çizgi sonsuza eşittir.

y = const gibi bir denklemle ifade edilen doğrular için eğim sıfırdır. Bu, x eksenine paralel düz çizgiler için tipiktir. Örneğin:

Görev: 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4 denklemiyle verilen doğrunun eğimini bulun

Çözüm: Orijinal denklemi genel bir forma getiriyoruz

24x + 12y - 12y + 28 = 4

Ortaya çıkan ifadeden y'yi ifade etmek imkansızdır, bu nedenle bu çizginin eğimi sonsuza eşittir ve çizginin kendisi Y eksenine paralel olacaktır.

geometrik anlamda

Daha iyi anlamak için resme bakalım:

Şekilde, y = kx tipinde bir fonksiyonun grafiğini görüyoruz. Basitleştirmek için c = 0 katsayısını alıyoruz. OAB üçgeninde BA tarafının AO'ya oranı k eğimine eşit olacaktır. Aynı zamanda, VA/AO oranı, dar açı α'nın tanjantıdır. sağ üçgen OAV. Bir düz çizginin eğiminin, bu düz çizginin koordinat ızgarasının x ekseni ile yaptığı açının tanjantına eşit olduğu ortaya çıktı.

Düz bir çizginin eğiminin nasıl bulunacağı problemini çözerek, onunla koordinat ızgarasının x ekseni arasındaki açının tanjantını buluruz. İncelenen çizginin koordinat eksenlerine paralel olduğu sınır durumları, yukarıdakileri doğrular. Gerçekten de, y=const denklemiyle tanımlanan düz bir çizgi için, onunla x ekseni arasındaki açı sıfıra eşittir. Sıfır açısının tanjantı da sıfırdır ve eğim de sıfırdır.

x eksenine dik olan ve x=const denklemi ile tanımlanan düz çizgiler için, bunlar ile x ekseni arasındaki açı 90 derecedir. Teğet dik açı sonsuza eşittir ve benzer düz çizgilerin eğimi sonsuza eşittir, bu da yukarıda yazılanları doğrular.

Teğet Eğim

Pratikte sıklıkla karşılaşılan yaygın bir görev de, bir noktada fonksiyon grafiğine teğetin eğimini bulmaktır. Teğet düz bir çizgidir, bu nedenle eğim kavramı ona da uygulanabilir.

Bir teğetin eğimini nasıl bulacağımızı bulmak için türev kavramını hatırlamamız gerekecek. Herhangi bir fonksiyonun bir noktadaki türevi sayısal olarak bir sabittir. teğete eşit bu fonksiyonun grafiğine belirtilen noktada teğet ile apsis ekseni arasında oluşan açı. Teğetin x 0 noktasındaki eğimini belirlemek için, bu noktada orijinal fonksiyonun türevinin değerini hesaplamamız gerektiği ortaya çıktı k \u003d f "(x 0). Bir örnek düşünelim:

Görev: x = 0.1'de y = 12x 2 + 2xe x fonksiyonuna teğet olan doğrunun eğimini bulun.

Çözüm: Orijinal fonksiyonun türevini genel formda bulun

y "(0,1) = 24 . 0.1 + 2. 0.1 . e 0.1 + 2 . e 0.1

Cevap: x \u003d 0.1 noktasında istenen eğim 4.831'dir

Düz bir çizginin bir düzlemde denklemi konusunun devamı, cebir derslerinden düz bir çizgi çalışmasına dayanmaktadır. Bu makale, eğimli düz bir çizginin denklemi konusunda genelleştirilmiş bilgiler vermektedir. Tanımları düşünün, denklemin kendisini alın, diğer denklem türleri ile olan bağlantıyı ortaya çıkarın. Her şey problem çözme örnekleri üzerinde tartışılacaktır.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Böyle bir denklemi yazmadan önce bir doğrunun O x eksenine olan eğim açısını eğimleri ile tanımlamak gerekir. Düzlemde bir Kartezyen koordinat sistemi O x verildiğini varsayalım.

tanım 1

Doğrunun Ox eksenine olan eğim açısı, Düzlemde O x y Kartezyen koordinat sisteminde yer alan bu açı, O x pozitif yönünden saat yönünün tersine doğru ölçülen açıdır.

Öküz'e paralel bir doğru veya içinde çakışma meydana geldiğinde, eğim açısı 0'dır. Daha sonra verilen α doğrusunun eğim açısı [ 0 , π) aralığında tanımlanır.

tanım 2

Düz bir çizginin eğimi verilen doğrunun eğiminin tanjantıdır.

Standart gösterim k'dir. Tanımdan k = t g α elde ederiz. Doğru Ox'a paralel olduğunda, sonsuza gittiği için eğimin olmadığı söylenir.

Fonksiyonun grafiği artarken eğim pozitiftir ve bunun tersi de geçerlidir. Şekil, katsayı değeri ile koordinat sistemine göre dik açının konumunun çeşitli varyasyonlarını göstermektedir.

Bu açıyı bulmak için eğim katsayısı tanımını uygulamak ve düzlemdeki eğim açısının tanjantını hesaplamak gerekir.

Çözüm

α = 120 ° olduğu koşuldan. Tanım olarak, eğimi hesaplamanız gerekir. Bunu k = t g α = 120 = - 3 formülünden bulalım.

Cevap: k = - 3 .

Açısal katsayı biliniyorsa, ancak x eksenine olan eğim açısını bulmak gerekiyorsa, açısal katsayının değeri dikkate alınmalıdır. k > 0 ise, dik açı dardır ve α = a r c t g k formülüyle bulunur. eğer k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

Örnek 2

Eğimi 3'e eşit olan, verilen doğrunun O x'e olan eğim açısını belirleyin.

Çözüm

Eğimin pozitif olması koşuluna göre, bu, O x'e olan eğim açısının 90 dereceden az olduğu anlamına gelir. Hesaplamalar α = a r c t g k = a r c t g 3 formülüne göre yapılır.

Cevap: α = a r c t g 3 .

Örnek 3

Eğim = - 1 3 ise, doğrunun O x eksenine olan eğim açısını bulun.

Çözüm

Eğimin tanımı olarak k harfini alırsak, α, O x pozitif yönünde verilen düz çizgiye olan eğim açısıdır. Dolayısıyla k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6 .

Cevap: 5 pi 6.

k'nin bir eğim ve b'nin bir gerçek sayı olduğu y \u003d k x + b biçimindeki bir denkleme eğimli düz bir çizginin denklemi denir. Denklem, O y eksenine paralel olmayan herhangi bir düz çizgi için tipiktir.

y \u003d k x + b gibi görünen bir eğime sahip bir denklem tarafından verilen sabit bir koordinat sistemindeki bir düzlemde düz bir çizgiyi ayrıntılı olarak ele alırsak. Bu durumda, doğru üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatlarının denkleme karşılık geldiği anlamına gelir. M, M 1 (x 1, y 1) noktasının koordinatlarını y \u003d k x + b denkleminde değiştirirsek, bu durumda çizgi bu noktadan geçecektir, aksi takdirde nokta astar.

Örnek 4

Eğimi y = 1 3 x - 1 olan bir doğru veriliyor. M 1 (3 , 0) ve M 2 (2 , - 2) noktalarının verilen doğruya ait olup olmadığını hesaplayın.

Çözüm

M 1 (3, 0) noktasının koordinatlarını verilen denklemde yerine koymak gerekir, o zaman 0 = 1 3 3 - 1 ⇔ 0 = 0 elde ederiz. Eşitlik doğrudur, yani nokta doğruya aittir.

M 2 (2, - 2) noktasının koordinatlarını değiştirirsek, - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3 biçiminde yanlış bir eşitlik elde ederiz. M 2 noktasının doğruya ait olmadığı sonucuna varabiliriz.

Cevap: M 1 hatta aittir, ancak M 2 değildir.

Doğrunun M 1 (0 , b) içinden geçen y = k · x + b denklemi ile tanımlandığı bilinmektedir, ikame b = k · 0 + b ⇔ b = b biçiminde bir eşitlik vermiştir. Buradan, düzlemde y = k · x + b eğimli düz bir çizginin denkleminin 0, b noktasından geçen düz bir çizgiyi tanımladığı sonucuna varabiliriz. O x ekseninin pozitif yönü ile bir α açısı oluşturur, burada k = t g α .

Örneğin, y = 3 · x - 1 biçiminde verilen bir eğim kullanılarak tanımlanan düz bir çizgiyi ele alalım. Düz çizginin O x ekseninin pozitif yönü boyunca α = a r c t g 3 = π 3 radyan eğimi ile 0, - 1 koordinatlı noktadan geçeceğini elde ederiz. Buradan katsayının 3 olduğu görülebilir.

Eğimi verilen bir noktadan geçen doğrunun denklemi

M 1 (x 1, y 1) noktasından geçen belirli bir eğime sahip düz bir çizginin denklemini elde etmenin gerekli olduğu yerde bir problemi çözmek gerekir.

Doğru M 1 (x 1 , y 1) noktasından geçtiği için y 1 = k · x + b eşitliği geçerli kabul edilebilir. B sayısını çıkarmak için eğim katsayısı olan denklemi sol ve sağ taraftan çıkarmak gerekir. Bundan y - y 1 = k · (x - x 1) çıkar. Bu eşitliğe, M 1 (x 1, y 1) noktasının koordinatlarından geçen, k eğimi verilen düz bir çizginin denklemi denir.

Örnek 5

M 1 noktasından (4, - 1) koordinatlarıyla, eğimi - 2'ye eşit olan düz bir çizginin denklemini oluşturun.

Çözüm

Koşul olarak, x 1 \u003d 4, y 1 \u003d - 1, k \u003d - 2'ye sahibiz. Buradan doğrunun denklemi şu şekilde yazılacaktır y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7.

Cevap: y = - 2 x + 7 .

Örnek 6

M 1 noktasından geçen eğimli düz bir çizginin denklemini (3, 5) koordinatları y \u003d 2 x - 2 düz çizgisine paralel olarak yazın.

Çözüm

Koşul olarak, paralel doğruların çakışan eğim açılarına sahip olduk, dolayısıyla eğim katsayıları eşittir. Eğimi bulmak için verilen denklem y = 2 x - 2 temel formülünü hatırlamak gerekir, dolayısıyla k = 2 olur. Eğim katsayısına sahip bir denklem oluşturuyoruz ve şunu elde ediyoruz:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

Cevap: y = 2 x - 1 .

Eğimli düz bir çizginin denkleminden düz bir çizginin diğer denklem türlerine geçiş ve bunun tersi

Böyle bir denklem, çok uygun bir gösterimi olmadığı için problemlerin çözümü için her zaman geçerli değildir. Bunu yapmak için farklı bir biçimde sunulmalıdır. Örneğin, y = k · x + b biçimindeki bir denklem, düz çizginin yön vektörünün koordinatlarını veya normal vektörün koordinatlarını yazmanıza izin vermez. Bunu yapmak için, farklı türden denklemleri nasıl temsil edeceğinizi öğrenmeniz gerekir.

Eğimli düz bir çizginin denklemini kullanarak bir düzlemdeki düz bir çizginin kanonik denklemini elde edebiliriz. x - x 1 a x = y - y 1 a y elde ederiz . b terimini sola kaydırmak ve elde edilen eşitsizliğin ifadesine bölmek gerekir. Sonra y = k x + b ⇔ y - b = k x ⇔ k x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k biçiminde bir denklem elde ederiz.

Eğimli düz bir çizginin denklemi, belirli bir düz çizginin kanonik denklemi haline geldi.

Örnek 7

Eğimi y = - 3 x + 12 olan bir doğrunun denklemini kanonik forma getirin.

Çözüm

Düz bir çizginin kanonik denklemi şeklinde hesaplar ve temsil ederiz. Formun bir denklemini elde ederiz:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

Cevap: x 1 = y - 12 - 3.

Düz bir çizginin genel denklemini y = k x + b'den elde etmek en kolay yoldur, ancak bu dönüşümler gerektirir: y = k x + b ⇔ k x - y + b = 0. Düz bir çizginin genel denkleminden başka türden denklemlere geçiş yapılır.

Örnek 8

y = 1 7 x - 2 biçimindeki bir doğrunun denklemi verilmiştir. Koordinatları a → = (- 1 , 7) olan vektörün normal bir düz çizgi vektörü olup olmadığını öğrenin.

Çözüm

Bunu çözmek için, bu denklemin başka bir formuna geçmek gerekiyor, bunun için şunu yazıyoruz:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

Değişkenlerin önündeki katsayılar, doğrunun normal vektörünün koordinatlarıdır. Bunu şöyle yazalım n → = 1 7 , - 1 , dolayısıyla 1 7 x - y - 2 = 0 . a → = (- 1 , 7) vektörünün n → = 1 7 , - 1 vektörüyle eşdoğrusal olduğu açıktır, çünkü a → = - 7 · n → . Orijinal vektör a → = - 1 , 7 , 1 7 x - y - 2 = 0 doğrusu için normal bir vektördür, yani y = 1 7 x - 2 doğrusu için normal bir vektör olarak kabul edilir.

Cevap: Dır-dir

Problemi bunun tersinden çözelim.

dan hareket etmek gerekiyor Genel görünüm A x + B y + C = 0 denklemi, burada B ≠ 0 , eğim denklemine. Bunu yapmak için, y denklemini çözeriz. A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B elde ederiz.

Sonuç, eğimi - A B'ye eşit olan bir denklemdir.

Örnek 9

2 3 x - 4 y + 1 = 0 biçimindeki bir doğrunun denklemi verilmiştir. Eğimi olan bir doğrunun denklemini alın.

Çözüm

Koşul temelinde, y'yi çözmek gerekir, sonra formun bir denklemini elde ederiz:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

Cevap: y = 1 6 x + 1 4 .

Benzer şekilde, segmentlerde düz bir çizginin denklemi veya kanonik form x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y olarak adlandırılan x a + y b \u003d 1 biçimindeki bir denklem çözülür. Bunu y'ye göre çözmek gerekir, ancak o zaman eğimli bir denklem elde ederiz:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x bir ⇔ y = - b bir x + b .

Kanonik denklem, eğimli bir forma indirgenebilir. Bunun için:

x - x 1 a x = y - y 1 bir y ⇔ bir y (x - x 1) = bir x (y - y 1) ⇔ ⇔ bir x y = bir y x - bir y x 1 + bir x y 1 ⇔ y = bir y a x x - bir y a x x 1 + y 1

Örnek 10

x 2 + y - 3 = 1 denklemiyle verilen bir doğru var. Eğimi olan bir denklem formuna getirin.

Çözüm.

Koşul temelinde, dönüştürmek gerekir, ardından _formül_ biçiminde bir denklem elde ederiz. Gerekli eğim denklemini elde etmek için denklemin her iki tarafı da -3 ile çarpılmalıdır. Dönüştürerek şunları elde ederiz:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 y - 3 = - 3 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

Cevap: y = 3 2 x - 3 .

Örnek 11

x - 2 2 \u003d y + 1 5 formunun düz çizgi denklemi bir eğimle forma getirilir.

Çözüm

x - 2 2 = y + 1 5 ifadesini orantı olarak hesaplamak gerekir. 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) elde ederiz. Şimdi bunun için tamamen etkinleştirmeniz gerekiyor:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

Cevap: y = 5 2 x - 6 .

Bu tür görevleri çözmek için, x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ düz çizgisinin parametrik denklemlerini getirmek gerekir. kanonik denklem düz çizgi, ancak bundan sonra eğim katsayısı ile denkleme ilerleyebilirsiniz.

Örnek 12

x = λ y = - 1 + 2 · λ parametrik denklemleri ile verilmişse, doğrunun eğimini bulun.

Çözüm

Parametrik görünümden eğime geçiş yapmanız gerekiyor. Bunu yapmak için, verilen parametrik olandan kanonik denklemi buluyoruz:

x = λ y = - 1 + 2 λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

Şimdi eğimli bir doğrunun denklemini elde etmek için bu eşitliği y'ye göre çözmek gerekiyor. Bunu yapmak için şu şekilde yazıyoruz:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

Düz çizginin eğiminin 2'ye eşit olduğu sonucu çıkar. Bu k = 2 olarak yazılır.

Cevap: k = 2 .

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Şekil, düz çizginin eğim açısını ve düz çizginin dikdörtgen koordinat sistemine göre konumu için çeşitli seçenekler için eğim katsayısının değerini göstermektedir.

Öküz eksenine bilinen bir eğim açısında düz bir çizginin eğimini bulmak herhangi bir zorluk yaratmaz. Bunu yapmak için eğim katsayısının tanımını hatırlamak ve eğim açısının tanjantını hesaplamak yeterlidir.

Örnek.

x eksenine olan eğim açısı eşit ise doğrunun eğimini bulunuz.

Çözüm.

Duruma göre. Ardından, düz çizginin eğiminin tanımıyla hesaplıyoruz .

Cevap:

Eğimi bilinen bir doğrunun x eksenine olan eğim açısını bulma işi biraz daha zordur. Burada eğim katsayısının işaretini dikkate almak gerekir. Düz çizginin eğim açısı dar olduğunda ve olarak bulunur. Düz bir çizginin eğim açısı geniş olduğunda ve formülle belirlenebildiğinde .

Örnek.

Eğimi 3 ise, doğrunun x eksenine olan eğim açısını belirleyin.

Çözüm.

Koşul olarak eğim pozitif olduğundan, düz çizginin Ox eksenine eğim açısı dardır. Formüle göre hesaplıyoruz.

Cevap:

Örnek.

Doğrunun eğimi dir. Düz çizginin Ox eksenine eğim açısını belirleyin.

Çözüm.

belirtmek k düz çizginin eğimi, bu düz çizginin Ox ekseninin pozitif yönüne olan eğim açısıdır. Çünkü , sonra aşağıdaki formun düz bir çizgisinin eğim açısını bulmak için formülü kullanırız . Koşuldaki verileri onun yerine koyarız: .

Cevap:

Eğimli bir doğrunun denklemi.

Eğimli Doğru Denklemi k düz çizginin eğimi, b bir gerçek sayı olmak üzere , şeklindedir. Düz bir çizginin eğimli denklemi, Oy eksenine paralel olmayan herhangi bir düz çizgiyi belirtmek için kullanılabilir (y eksenine paralel düz bir çizgi için eğim tanımlanmamıştır).

"Sabit bir koordinat sisteminde bir düzlem üzerindeki bir doğru, formun eğimi olan bir denklem tarafından verilir" ifadesinin anlamına bakalım. Bu, denklemin düzlemdeki herhangi bir noktanın koordinatları tarafından değil, çizgi üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatları tarafından karşılandığı anlamına gelir. Böylece, bir noktanın koordinatları değiştirilirken doğru eşitlik elde edilirse, doğru bu noktadan geçer. Aksi takdirde, nokta bir doğru üzerinde bulunmaz.

Örnek.

Düz çizgi, eğimli bir denklemle verilir. Noktalar da bu doğruya mı ait?

Çözüm.

Noktanın koordinatlarını eğimli düz bir çizginin orijinal denkleminde değiştirin: . Doğru eşitliği elde ettik, bu nedenle M1 noktası düz bir çizgi üzerindedir.

Noktanın koordinatlarını değiştirirken yanlış eşitlik elde ederiz: . Böylece M2 noktası düz bir çizgi üzerinde yer almaz.

Cevap:

Nokta M 1 hatta ait, M 2 değil.

Eğimli düz bir çizginin denklemi ile tanımlanan düz çizginin noktadan geçtiğine dikkat edilmelidir, çünkü koordinatlarını denklemde değiştirirken, doğru eşitliği elde ederiz: .

Böylece, doğrunun eğimli denklemi, bir noktadan geçen ve apsis ekseninin pozitif yönü ile açı oluşturan bir düzlem üzerinde bir doğru belirler ve .

Örnek olarak, düz bir çizginin denklemi ile tanımlanan bir düz çizgiyi, formun eğimi ile çizelim. Bu doğru noktadan geçer ve eğimlidir. Ox ekseninin pozitif yönüne radyan (60 derece). Onun eğimi.

Belirli bir noktadan geçen eğimli bir doğrunun denklemi.

Şimdi çok önemli bir problemi çözeceğiz: k eğimi verilen ve noktasından geçen bir doğrunun denklemini elde edeceğiz.

Doğru noktadan geçtiğine göre eşitlik . B sayısı bizim için bilinmiyor. Ondan kurtulmak için, eğimli düz bir çizginin denkleminin sol ve sağ kısımlarından sırasıyla son eşitliğin sol ve sağ kısımlarını çıkarırız. Bunu yaparken, elde ederiz . Bu eşitlik belirli bir noktadan geçen, eğimi k olan bir doğrunun denklemi.

Bir örnek düşünün.

Örnek.

Bu noktadan geçen doğrunun denklemini yazın, bu doğrunun eğimi -2'dir.

Çözüm.

Sahip olduğumuz durumdan . Daha sonra eğimli bir doğrunun denklemi şeklini alacaktır.

Cevap:

Örnek.

Bir noktadan geçtiği ve Öküz ekseninin pozitif yönüne olan eğim açısının olduğu bilinen bir doğrunun denklemini yazınız.

Çözüm.

İlk önce denklemini aradığımız doğrunun eğimini hesaplıyoruz (bu makalenin bir önceki paragrafında böyle bir problemi çözdük). Tanım olarak . Şimdi eğimli bir düz çizginin denklemini yazmak için tüm verilere sahibiz:

Cevap:

Örnek.

Doğruya paralel bir noktadan geçen eğimli bir doğrunun denklemini yazın.

Çözüm.

Paralel çizgilerin Ox eksenine eğim açılarının çakıştığı açıktır (gerekirse makale paralel çizgilere bakın), bu nedenle paralel çizgilerin eğim katsayıları eşittir. O zaman denklemini elde etmemiz gereken düz çizginin eğimi 2'ye eşittir, çünkü düz çizginin eğimi 2'dir. Şimdi eğimli bir doğrunun gerekli denklemini oluşturabiliriz:

Cevap:

Eğim katsayısına sahip düz bir çizgi denkleminden diğer düz bir çizgi denklemi türlerine geçiş ve bunun tersi.

Tüm aşinalıkla, düz bir çizginin eğimli denklemi, problemleri çözerken her zaman uygun olmaktan uzaktır. Bazı durumlarda, düz bir çizginin denklemi farklı bir biçimde sunulduğunda problemlerin çözülmesi daha kolaydır. Örneğin, düz bir çizginin eğimli denklemi, düz çizginin yönlendirici vektörünün koordinatlarını veya düz çizginin normal vektörünün koordinatlarını hemen yazmanıza izin vermez. Bu nedenle, eğimli düz bir çizginin denkleminden bu düz çizginin diğer denklem türlerine geçmeyi öğrenmelisiniz.

Eğimli düz bir çizginin denkleminden, formun bir düzleminde düz bir çizginin kanonik denklemini elde etmek kolaydır. . Bunu yapmak için, b terimini denklemin sağ tarafından zıt işaretli sol tarafa aktarırız, ardından ortaya çıkan eşitliğin her iki bölümünü de k: eğimine böleriz. Bu eylemler bizi eğimli düz bir çizginin denkleminden düz bir çizginin kanonik denklemine götürür.

Örnek.

Eğimi olan bir doğrunun denklemini verin kanonik forma dönüştürülür.

Çözüm.

Gerekli dönüşümleri yapalım: .

Cevap:

Örnek.

Düz çizgi, eğimli düz bir çizginin denklemi ile verilir. Vektör bu doğrunun normal vektörü müdür?

Çözüm.

Bu sorunu çözmek için eğimli bir doğrunun denkleminden bu doğrunun genel denklemine geçelim: . Düz bir çizginin genel denkleminde x ve y değişkenlerinin önündeki katsayıların, bu düz çizginin normal vektörünün, yani düz çizginin normal vektörünün karşılık gelen koordinatları olduğunu biliyoruz. . Açıktır ki, vektör vektör ile eşdoğrusaldır, çünkü ilişki doğrudur (gerekirse makaleye bakın). Böylece, orijinal vektör aynı zamanda doğrunun normal bir vektörüdür. , ve bu nedenle, normal bir vektör ve orijinal çizgidir.

Cevap:

Evet öyle.

Ve şimdi ters problemi çözeceğiz - bir düzlemdeki düz bir çizginin denklemini eğimli bir düz çizginin denklemine getirme problemi.

Genel düz çizgi denkleminden , nerede, eğim denklemine geçmek çok kolaydır. Bunun için ihtiyacınız var genel denklem y'ye göre doğrudan çözüm. Aynı zamanda alıyoruz. Ortaya çıkan eşitlik, eğimi eşit olan düz bir çizginin denklemidir.