Bir fonksiyonun türevi kaç noktada pozitiftir? Türevin değeri hangi noktada en büyüktür?

Türevin işaretinin fonksiyonun monotonluğunun doğası ile ilişkisini gösterme.

Lütfen aşağıda son derece dikkatli olun. Bakın, size NE'nin takvimi verildi! Fonksiyon veya türevi

Türevin bir grafiği verildiğinde, o zaman sadece fonksiyon işaretleri ve sıfırlarla ilgileniyoruz. Prensipte hiçbir "tümsek" ve "oyuk" bizi ilgilendirmiyor!

Görev 1.

Şekil, bir aralıkta tanımlanan bir fonksiyonun grafiğini göstermektedir. Fonksiyonun türevinin negatif olduğu tam sayı noktalarının sayısını belirleyin.

Çözüm:

Şekilde, azalan fonksiyon alanları renkli olarak vurgulanmıştır:

Bu azalan fonksiyon alanlarına 4 tam sayı değeri düşmektedir.

Görev 2.

Şekil, bir aralıkta tanımlanan bir fonksiyonun grafiğini göstermektedir. Fonksiyonun grafiğinin teğetinin doğruya paralel veya çakışık olduğu noktaların sayısını bulun.

Çözüm:

Fonksiyon grafiğine tanjant, düz bir çizgiyle (veya aynı olan) paralel olduğundan (veya çakıştığından), eğim , sıfır, o zaman teğetin bir eğimi vardır .

Bu da teğetin eksene paralel olduğu anlamına gelir, çünkü eğim, teğetin eksene olan eğim açısının tanjantıdır.

Bu nedenle, grafikte uç noktalar buluyoruz (maksimum ve minimum noktalar), - grafiğe teğet olan fonksiyonların eksene paralel olacağı onlarda.

Böyle 4 nokta var.

Görev 3.

Şekil, aralıkta tanımlanan bir fonksiyonun türevinin grafiğini göstermektedir. Fonksiyonun grafiğinin teğetinin doğruya paralel veya çakışık olduğu noktaların sayısını bulun.

Çözüm:

Fonksiyonun grafiğinin teğeti, eğimi olan düz bir çizgiye paralel olduğundan (veya çakıştığından), teğetin eğimi vardır.

Bu da temas noktalarında olduğu anlamına gelir.

Bu nedenle, grafikteki kaç noktanın ordinata eşit olduğuna bakarız.

Gördüğünüz gibi, böyle dört nokta var.

Görev 4.

Şekil, bir aralıkta tanımlanan bir fonksiyonun grafiğini göstermektedir. Fonksiyonun türevinin 0 olduğu nokta sayısını bulun.

Çözüm:

Uç noktalarda türev sıfırdır. Bizde 4 tane var:

Görev 5.

Şekil, bir fonksiyon grafiğini ve x ekseni üzerindeki on bir noktayı göstermektedir:. Bu noktalardan kaç tanesinde fonksiyonun türevi negatiftir?

Çözüm:

Azalan fonksiyonun aralıklarında türevi negatif değerler alır. Ve fonksiyon noktalarda azalır. Böyle 4 nokta var.

Görev 6.

Şekil, bir aralıkta tanımlanan bir fonksiyonun grafiğini göstermektedir. Fonksiyonun uç noktalarının toplamını bulun.

Çözüm:

uç noktalar maksimum puanlar (-3, -1, 1) ve minimum puanlardır (-2, 0, 3).

Uç noktaların toplamı: -3-1+1-2+0+3=-2.

Görev 7.

Şekil, aralıkta tanımlanan bir fonksiyonun türevinin grafiğini göstermektedir. Artan fonksiyonun aralıklarını bulun. Cevabınızda, bu aralıklara dahil edilen tamsayı noktalarının toplamını belirtin.

Çözüm:

Şekil, fonksiyonun türevinin negatif olmadığı aralıkları vurgulamaktadır.

Küçük artış aralığında tamsayı noktaları yoktur, artış aralığında dört tamsayı değeri vardır: , , ve .

Toplamları:

Görev 8.

Şekil, aralıkta tanımlanan bir fonksiyonun türevinin grafiğini göstermektedir. Artan fonksiyonun aralıklarını bulun. Cevabınıza, en büyüğünün uzunluğunu yazın.

Çözüm:

Şekilde, türevin pozitif olduğu tüm aralıklar vurgulanmıştır, bu, fonksiyonun bu aralıklarda arttığı anlamına gelir.

En büyüğünün uzunluğu 6'dır.

Görev 9.

Şekil, aralıkta tanımlanan bir fonksiyonun türevinin grafiğini göstermektedir. Segmentin hangi noktasında en yüksek değer.

Çözüm:

Grafiğin segmentte nasıl davrandığına bakıyoruz, yani ilgileniyoruz sadece türev işareti .

Bu segmentteki grafik eksenin altında olduğundan türevin işareti eksidir.

Bir fonksiyonun türevi aşağıdakilerden biridir zor konular okul müfredatında. Türev nedir sorusuna her mezun cevap vermeyecektir.

Bu makale, bir türevin ne olduğunu ve neden gerekli olduğunu basit ve net bir şekilde açıklamaktadır.. Şimdi sunumun matematiksel kesinliği için çabalamayacağız. En önemli şey anlamı anlamaktır.

tanımını hatırlayalım:

Türev, fonksiyonun değişim oranıdır.

Şekil üç fonksiyonun grafiklerini göstermektedir. Sizce hangisi daha hızlı büyür?

Cevap açık - üçüncü. o en çok var yüksek hız değişiklikler, yani en büyük türev.

İşte başka bir örnek.

Kostya, Grisha ve Matvey aynı anda iş buldu. Yıl boyunca gelirlerinin nasıl değiştiğini görelim:

Her şeyi hemen grafikte görebilirsiniz, değil mi? Kostya'nın geliri altı ayda iki katından fazla arttı. Ve Grisha'nın geliri de arttı, ama sadece biraz. Ve Matthew'un geliri sıfıra düştü. Başlangıç ​​koşulları aynıdır, ancak fonksiyonun değişim oranı, yani. türev, - farklı. Matvey'e gelince, gelirinin türevi genellikle negatiftir.

Sezgisel olarak, bir fonksiyonun değişim oranını kolayca tahmin edebiliriz. Ama nasıl yapacağız?

Gerçekten baktığımız şey, fonksiyonun grafiğinin ne kadar dik yukarı (veya aşağı) gittiğidir. Başka bir deyişle, y'nin x ile ne kadar hızlı değiştiği. Açıkçası, farklı noktalarda aynı işlev olabilir farklı anlam türev - yani, daha hızlı veya daha yavaş değişebilir.

Bir fonksiyonun türevi ile gösterilir.

Grafiği kullanarak nasıl bulacağımızı gösterelim.

Bazı fonksiyonların grafiği çizilir. Bir apsis ile bir nokta alın. Bu noktada fonksiyonun grafiğine bir teğet çizin. Fonksiyonun grafiğinin ne kadar dik yükseldiğini değerlendirmek istiyoruz. Bunun için kullanışlı bir değer tanjant eğiminin tanjantı.

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, o noktadaki fonksiyonun grafiğine çizilen tanjantın eğiminin tanjantına eşittir.

Lütfen dikkat - teğetin eğim açısı olarak, tanjant ile eksenin pozitif yönü arasındaki açıyı alıyoruz.

Bazen öğrenciler bir fonksiyonun grafiğinin teğetinin ne olduğunu sorarlar. Bu düz bir çizgidir ve tek ortak nokta bir grafikle ve şeklimizde gösterildiği gibi. Bir daireye teğet gibi görünüyor.

Bulalım . Bir dar açının tanjantının sağ üçgen karşı bacağın bitişik olana oranına eşittir. Üçgenden:

Fonksiyonun formülünü bile bilmeden grafiği kullanarak türevi bulduk. Bu tür görevler genellikle sınavda matematikte sayı altında bulunur.

Önemli bir korelasyon daha var. Düz çizginin denklem tarafından verildiğini hatırlayın.

Bu denklemdeki miktar denir düz bir çizginin eğimi. Doğrunun eksene olan eğim açısının tanjantına eşittir.

.

anladık

Bu formülü hatırlayalım. o ifade eder geometrik anlam türev.

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, o noktadaki fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin eğimine eşittir.

Başka bir deyişle, türev, tanjantın eğiminin tanjantına eşittir.

Farklı noktalarda aynı fonksiyonun farklı bir türevi olabileceğini daha önce söylemiştik. Türevin fonksiyonun davranışıyla nasıl ilişkili olduğunu görelim.

Bir fonksiyonun grafiğini çizelim. Bu fonksiyon bazı alanlarda artsın, bazılarında azalsın ve farklı hız. Ve bu fonksiyonun maksimum ve minimum noktaları olmasına izin verin.

Bir noktada, fonksiyon artıyor. Nokta formlarında çizilen grafiğin teğeti keskin köşe; pozitif eksen yönü ile. Yani türev noktada pozitiftir.

Bu noktada fonksiyonumuz azalıyor. Bu noktadaki tanjant geniş bir açı oluşturur; pozitif eksen yönü ile. Geniş açının tanjantı negatif olduğundan, noktadaki türev negatiftir.

İşte olanlar:

Bir fonksiyon artıyorsa türevi pozitiftir.

Eğer azalırsa, türevi negatiftir.

Ve maksimum ve minimum noktalarda ne olacak? (maksimum nokta) ve (minimum nokta) noktalarında teğetin yatay olduğunu görüyoruz. Bu nedenle, tanjantın bu noktalardaki eğiminin tanjantı sıfırdır ve türevi de sıfırdır.

Nokta maksimum noktadır. Bu noktada, fonksiyonun artmasının yerini bir azalma alır. Sonuç olarak, türevin işareti "artı"dan "eksi"ye değişir.

Noktada - minimum noktada - türev de sıfıra eşittir, ancak işareti "eksi"den "artı"ya değişir.

Sonuç: türevin yardımıyla, fonksiyonun davranışı hakkında bizi ilgilendiren her şeyi öğrenebilirsiniz.

Türev pozitif ise fonksiyon artıyor demektir.

Türev negatif ise fonksiyon azalıyor.

Maksimum noktada türev sıfırdır ve işareti artıdan eksiye değiştirir.

Minimum noktada türev de sıfırdır ve işareti eksiden artıya değiştirir.

Bu bulguları bir tablo şeklinde yazıyoruz:

İki küçük açıklama yapalım. Sorunu çözerken bunlardan birine ihtiyacınız olacak. Bir diğeri - ilk yılda, daha ciddi bir fonksiyon ve türev çalışması ile.

Bir fonksiyonun türevinin bir noktada sıfıra eşit olduğu bir durum mümkündür, ancak fonksiyonun bu noktada ne maksimumu ne de minimumu vardır. Bu sözde :

Bir noktada, grafiğin teğeti yataydır ve türevi sıfırdır. Ancak, noktadan önce fonksiyon arttı - ve noktadan sonra artmaya devam ediyor. Türevin işareti değişmez - olduğu gibi pozitif kalmıştır.

Ayrıca maksimum veya minimum noktasında türevin bulunmadığı da olur. Grafikte bu, belirli bir noktada teğet çizmenin imkansız olduğu keskin bir kırılmaya karşılık gelir.

Ancak fonksiyon bir grafikle değil, bir formülle verilirse türev nasıl bulunur? Bu durumda geçerli

Merhaba! Yaklaşan KULLANIM'a yüksek kaliteli sistematik eğitim ve bilimin granitini öğütmede azim ile vuralım !!! ATGönderinin sonunda rekabetçi bir görev var, ilk siz olun! Bu bölümdeki makalelerden birinde, fonksiyonun grafiğinin verildiği ve ayarlandığı sen ve ben çeşitli sorular ekstremumlar, artış (düşüş) aralıkları ve diğerleri ile ilgili.

Bu yazımızda, bir fonksiyonun türevinin grafiğinin verildiği ve aşağıdaki soruların yöneltildiği matematikte USE'de yer alan görevleri ele alacağız:

1. Belirli bir segmentin hangi noktasında fonksiyon en büyük (veya en küçük) değeri alır.

2. Belirli bir segmente ait olan fonksiyonun maksimum (veya minimum) noktalarının sayısını bulun.

3. Verilen bir segmente ait olan fonksiyonun uç noktalarının sayısını bulun.

4. Verilen parçaya ait olan fonksiyonun uç noktasını bulun.

5. Fonksiyonun artış (veya azalma) aralıklarını bulun ve cevapta bu aralıklara dahil edilen tamsayı noktalarının toplamını belirtin.

6. Fonksiyonun artış (veya azalma) aralıklarını bulun. Cevabınızda bu aralıklardan en büyüğünün uzunluğunu belirtiniz.

7. Fonksiyonun grafiğine teğetin y = kx + b doğrusuna paralel olduğu veya onunla çakıştığı noktaların sayısını bulun.

8. Fonksiyonun grafiğine teğetin apsis eksenine paralel olduğu veya onunla çakıştığı noktanın apsisini bulun.

Başka sorular da olabilir, ancak anlarsanız ve (çözüm için gerekli bilgileri sağlayan makalelere bağlantılar verilmiştir, tekrar etmenizi tavsiye ederim) size zorluk çıkarmaz.

Temel bilgiler (kısaca):

1. Artan aralıklarla türevi pozitif bir işarete sahiptir.

Belirli bir aralıktan belirli bir noktada türev, pozitif değer, daha sonra bu aralıktaki fonksiyonun grafiği artar.

2. Azalan aralıklarda türev negatif işaretlidir.

Belirli bir aralıktan belirli bir noktada türev, olumsuz anlam, daha sonra fonksiyonun grafiği bu aralıkta azalır.

3. x noktasındaki türev, fonksiyonun aynı noktadaki grafiğine çizilen teğetin eğimine eşittir.

4. Fonksiyonun ekstremum (maksimum-minimum) noktalarında türev sıfıra eşittir. Bu noktada fonksiyonun grafiğinin teğeti x eksenine paraleldir.

Bunun açıkça anlaşılması ve hatırlanması gerekiyor!!!

Türevin grafiği birçok insanı "kafa karıştırır". Bazıları yanlışlıkla onu fonksiyonun grafiği olarak alır. Bu nedenle, bu tür binalarda, bir grafiğin verildiğini gördüğünüzde, dikkatinizi hemen verilen duruma odaklayın: bir fonksiyonun grafiği mi yoksa bir fonksiyonun türevinin grafiği mi?

Eğer bu bir fonksiyonun türevinin grafiğiyse, o zaman ona fonksiyonun kendisinin bir "yansıması" gibi davranın ve bu size bu fonksiyon hakkında bilgi verir.

Görevi düşünün:

Şekil bir grafiği gösterir y=f'(X)- türev fonksiyonu f(X), (–2;21) aralığında tanımlanır.

Aşağıdaki soruları cevaplayacağız:

1. İşlev, segmentin hangi noktasındadır? f(X) en büyük değeri alır.

Belirli bir segmentte, fonksiyonun türevi negatiftir; bu, fonksiyonun bu segmentte azaldığı anlamına gelir (aralığın sol sınırından sağa doğru azalır). Böylece, segmentin sol sınırında, yani 7. noktada fonksiyonun maksimum değerine ulaşılır.

Cevap: 7

2. İşlev, segmentin hangi noktasındadır? f(X)

Türevin bu grafiğinden şunu söyleyebiliriz. Belirli bir segmentte, fonksiyonun türevi pozitiftir; bu, fonksiyonun bu segmentte arttığı anlamına gelir (aralığın sol sınırından sağa doğru artar). Böylece, en küçük değer Fonksiyona segmentin sol sınırında, yani x = 3 noktasında ulaşılır.

Cevap: 3

3. Fonksiyonun maksimum noktalarının sayısını bulun f(X)

Maksimum noktalar, türevin işaretinin pozitiften negatife değiştiği noktalara karşılık gelir. İşaretin bu şekilde nerede değiştiğini düşünün.

(3;6) segmentinde türev pozitif, (6;16) segmentinde negatiftir.

(16;18) segmentinde türev pozitif, segmentte (18;20) negatiftir.

Böylece, belirli bir segmentte, fonksiyonun iki maksimum noktası x = 6 ve x = 18 vardır.

Cevap: 2

4. Fonksiyonun minimum noktalarının sayısını bulun f(X) kesime aittir.

Minimum noktalar, türevin işaretinin negatiften pozitife değiştiği noktalara karşılık gelir. (0; 3) aralığında negatif ve (3; 4) aralığında pozitif bir türevimiz var.

Böylece, segmentte fonksiyonun yalnızca bir minimum x = 3 noktası vardır.

*Cevabı yazarken dikkatli olun - x değeri değil puan sayısı kaydedilir, dikkatsizlikten dolayı böyle bir hata yapılabilir.

Cevap 1

5. Fonksiyonun uç noktalarının sayısını bulun f(X) kesime aittir.

bulmanız gerektiğini lütfen unutmayın. tutar uç noktalar (bunlar hem maksimum hem de minimum noktalardır).

Uç noktalar, türevin işaretinin değiştiği noktalara karşılık gelir (pozitiften negatife veya tersi). Koşulda verilen grafikte bunlar fonksiyonun sıfırlarıdır. Türev 3, 6, 16, 18 noktalarında kaybolur.

Böylece, fonksiyonun segment üzerinde 4 ekstremum noktası vardır.

Cevap: 4

6. Artan fonksiyonun aralıklarını bulun f(X)

Bu fonksiyonun artış aralıkları f(X) türevinin pozitif olduğu aralıklara, yani (3;6) ve (16;18) aralıklarına karşılık gelir. Lütfen aralığın sınırlarının buna dahil olmadığını unutmayın (yuvarlak parantez - sınırlar aralığa dahil değildir, köşeli parantezler dahildir). Bu aralıklar 4, 5, 17 tamsayı noktalarını içerir. Toplamları: 4 + 5 + 17 = 26

Cevap: 26

7. Azalan fonksiyonun aralıklarını bulun f(X) belirli bir aralıkta. Cevabınızda, bu aralıklara dahil edilen tamsayı noktalarının toplamını belirtin.

Fonksiyon Azaltma Aralıkları f(X) fonksiyonun türevinin negatif olduğu aralıklara karşılık gelir. Bu problemde bunlar (–2;3), (6;16), (18;21) aralıklarıdır.

Bu aralıklar şu tam sayı noktalarını içerir: -1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Toplamları:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Cevap: 140

*Şu durumda dikkat edin: sınırların aralığa dahil olup olmadığı. Sınırlar dahil edilmişse, çözüm sürecinde dikkate alınan aralıklarda bu sınırların da dikkate alınması gerekir.

8. Artan fonksiyonun aralıklarını bulun f(X)

Fonksiyon artış aralıkları f(X) fonksiyonun türevinin pozitif olduğu aralıklara karşılık gelir. Bunları zaten belirtmiştik: (3;6) ve (16;18). Bunların en büyüğü (3;6) aralığıdır, uzunluğu 3'tür.

Cevap: 3

9. Azalan fonksiyonun aralıklarını bulun f(X). Cevabınıza, en büyüğünün uzunluğunu yazın.

Fonksiyon Azaltma Aralıkları f(X) fonksiyonun türevinin negatif olduğu aralıklara karşılık gelir. Bunları zaten belirttik, bunlar (–2; 3), (6; 16), (18; 21) aralıklarıdır, uzunlukları sırasıyla 5, 10, 3'e eşittir.

En büyüğünün uzunluğu 10'dur.

Cevap: 10

10. Fonksiyonun grafiğine teğetin olduğu nokta sayısını bulunuz. f(X) y \u003d 2x + 3 çizgisine paralel veya onunla çakışıyor.

Temas noktasındaki türevin değeri teğetin eğimine eşittir. Teğet, y \u003d 2x + 3 düz çizgisine paralel olduğundan veya onunla çakıştığından, eğimleri 2'ye eşittir. Bu nedenle, y (x 0) \u003d 2'nin olduğu nokta sayısını bulmak gerekir. Geometrik olarak bu, türev grafiğinin y = 2 doğrusu ile kesişme noktalarının sayısına karşılık gelir. Bu aralıkta böyle 4 nokta vardır.

Cevap: 4

11. Fonksiyonun uç noktasını bulun f(X) kesime aittir.

Bir fonksiyonun uç noktası, türevinin sıfıra eşit olduğu bir noktadır ve bu noktanın yakınında türev işaret değiştirir (pozitiften negatife veya tersi). Segmentte, türevin grafiği x eksenini keser, türev işareti negatiften pozitife değiştirir. Bu nedenle, x = 3 noktası bir ekstremum noktasıdır.

Cevap: 3

12. y \u003d f (x) grafiğine teğetlerin apsis eksenine paralel olduğu veya onunla çakıştığı noktaların apsislerini bulun. Cevabınızda, bunların en büyüğünü belirtin.

y \u003d f (x) grafiğine teğet, x eksenine paralel olabilir veya onunla çakışabilir, yalnızca türevin sıfır olduğu noktalarda (bunlar, çevresinde türevin olduğu uç noktalar veya durağan noktalar olabilir) işaretini değiştirmez). Bu grafik, türevin 3, 6, 16,18 noktalarında sıfır olduğunu göstermektedir. En büyüğü 18'dir.

Argüman şu şekilde yapılandırılabilir:

Temas noktasındaki türevin değeri teğetin eğimine eşittir. Tanjant, x eksenine paralel veya çakışık olduğundan, eğimi 0'dır (aslında, sıfır derecelik bir açının tanjantı sıfırdır). Bu nedenle, eğimin sıfıra eşit olduğu, yani türevin sıfıra eşit olduğu bir nokta arıyoruz. Grafiğinin x eksenini kestiği noktada türev sıfıra eşittir ve bunlar 3, 6, 16,18 noktalarıdır.

Cevap: 18

Şekil bir grafiği gösterir y=f'(X)- türev fonksiyonu f(X)(–8;4) aralığında tanımlanır. [–7;–3] segmentinin hangi noktasında fonksiyon var? f(X) en küçük değeri alır.

Şekil bir grafiği gösterir y=f'(X)- türev fonksiyonu f(X), (–7;14) aralığında tanımlanır. Bir fonksiyonun maksimum noktalarının sayısını bulun f(X)[–6;9] segmentine ait.

Şekil bir grafiği gösterir y=f'(X)- türev fonksiyonu f(X)(–18;6) aralığında tanımlanır. Bir fonksiyonun minimum noktalarının sayısını bulun f(X)[–13;1] segmentine ait.

Şekil bir grafiği gösterir y=f'(X)- türev fonksiyonu f(X), (–11; –11) aralığında tanımlanır. Bir fonksiyonun ekstremum noktalarının sayısını bulun f(X), segmente ait [–10; -on].

Şekil bir grafiği gösterir y=f'(X)- türev fonksiyonu f(X)(–7;4) aralığında tanımlanır. Artan fonksiyonun aralıklarını bulun f(X). Cevabınızda, bu aralıklara dahil edilen tamsayı noktalarının toplamını belirtin.

Şekil bir grafiği gösterir y=f'(X)- türev fonksiyonu f(X), (–5; 7) aralığında tanımlanır. Azalan fonksiyonun aralıklarını bulun f(X). Cevabınızda, bu aralıklara dahil edilen tamsayı noktalarının toplamını belirtin.

Şekil bir grafiği gösterir y=f'(X)- türev fonksiyonu f(X)(–11;3) aralığında tanımlanır. Artan fonksiyonun aralıklarını bulun f(X). Cevabınıza, en büyüğünün uzunluğunu yazın.

F Şekil bir grafiği gösterir

Sorunun durumu aynı (ki biz de bunu düşündük). Üç sayının toplamını bulun:

1. f (x) fonksiyonunun ekstremumunun karelerinin toplamı.

2. f(x) fonksiyonunun maksimum noktalarının toplamı ile minimum noktalarının toplamının karelerinin farkı.

3. y \u003d -3x + 5 düz çizgisine paralel f (x) teğetlerinin sayısı.

Doğru cevabı veren ilk kişi bir teşvik ödülü alacak - 150 ruble. Cevaplarınızı yorumlara yazın. Bu, blogdaki ilk yorumunuzsa, hemen görünmeyecek, biraz sonra (endişelenmeyin, yorum yazma zamanı kaydedilir).

Sana iyi şanslar!

Saygılarımla, Alexander Krutitsikh.

P.S: Siteyi sosyal ağlarda anlatırsanız minnettar olurum.