Düzenli bir dörtgen piramit nedir. Doğru piramidin ana özellikleri

Öğrenciler, geometri çalışmadan çok önce piramit kavramıyla karşılaşırlar. Dünyanın ünlü büyük Mısır harikalarını suçlayın. Bu nedenle, bu harika çokyüzlü üzerinde çalışmaya başlayarak, çoğu öğrenci bunu zaten açıkça hayal ediyor. Yukarıdaki manzaraların tümü doğru şekildedir. Ne sağ piramit ve hangi özelliklere sahip olduğu ve daha fazla tartışılacağı.

Temas halinde

Tanım

Piramidin birçok tanımı vardır. Eski zamanlardan beri çok popüler olmuştur.

Örneğin, Öklid onu, bir noktadan başlayarak belirli bir noktada birleşen düzlemlerden oluşan katı bir figür olarak tanımladı.

Heron daha kesin bir formülasyon sağladı. bir rakam olduğu konusunda ısrar etti. bir tabanı ve içinde uçakları var üçgenler, bir noktada birleşiyor.

Güvenen modern yorum, piramit, belirli bir k-gon ve k düz figürlerden oluşan uzamsal bir çokyüzlü olarak temsil edilir. üçgen şekil tek bir ortak noktaya sahip olmak.

Hadi daha yakından bakalım, Hangi unsurlardan oluşur?

• k-gon, şeklin temeli olarak kabul edilir;
• 3 açılı figürler, yan kısmın kenarları olarak çıkıntı yapar;
• yan elemanların kaynaklandığı üst kısma üst kısım denir;
• tepe noktasını bağlayan tüm bölümlere kenarlar denir;
• düz bir çizgi yukarıdan şeklin düzlemine 90 derecelik bir açıyla indirilirse, o zaman iç boşlukta kalan kısmı piramidin yüksekliğidir;
• polihedronumuzun herhangi bir yan elemanında, apothem adı verilen bir dik çizebilirsiniz.

Kenar sayısı, 2*k formülü kullanılarak hesaplanır; burada k, k-gon'un kenar sayısıdır. Piramit gibi bir çokyüzlülüğün kaç yüzü olduğu k+1 ifadesi ile belirlenebilir.

Önemli! Normal şekilli bir piramit, taban düzlemi eşit kenarlara sahip bir k-gon olan stereometrik bir figürdür.

Temel özellikler

doğru piramit birçok özelliği var ona özgü olan. Bunları sıralayalım:

1. Taban, doğru formun bir figürüdür.
2. Yan elemanları sınırlayan piramidin kenarları eşit sayısal değerlere sahiptir.
3. Yan elemanlar ikizkenar üçgenlerdir.
4. Şeklin yüksekliğinin tabanı çokgenin merkezine düşerken aynı zamanda Merkez nokta girilmiş ve anlatılmıştır.
5. Tüm yan nervürler taban düzlemine aynı açıda eğimlidir.
6. Tüm yan yüzeyler tabana göre aynı eğim açısına sahiptir.

Listelenen tüm özellikler sayesinde, eleman hesaplamalarının performansı büyük ölçüde basitleştirilmiştir. Yukarıdaki özelliklere dayanarak, dikkat ediyoruz iki işaret:

1. Çokgenin bir daireye sığması durumunda, yan yüzlerin bir tabanı olacaktır. eşit açılar.
2. Bir çokgenin etrafındaki bir daireyi tanımlarken, piramidin tepe noktasından çıkan tüm kenarları, tabanla aynı uzunlukta ve eşit açılara sahip olacaktır.

kare tabanlı

Düzenli dörtgen piramit - bir kareye dayalı çokyüzlü.

Görünüşte ikizkenar olan dört yan yüzü vardır.

Düzlemde bir kare gösterilir, ancak bunlar normal bir dörtgenin tüm özelliklerine dayanır.

Örneğin, bir karenin kenarını köşegeniyle birleştirmek gerekirse, aşağıdaki formül kullanılır: köşegen, karenin kenarının ürününe ve ikinin kareköküne eşittir.

Düzenli bir üçgene dayalı

Doğru Üçgen piramit tabanı düzenli 3-gon olan bir çokyüzlüdür.

Taban normal bir üçgen ise ve yan kenarlar tabanın kenarlarına eşitse, böyle bir şekil tetrahedron denir.

Bir tetrahedronun tüm yüzleri eşkenar 3gendir. Bu durumda, bazı noktaları bilmeniz ve hesaplarken bunlarla zaman kaybetmemeniz gerekir:

• kaburgaların herhangi bir tabana eğim açısı 60 derecedir;
• tüm iç yüzlerin değeri de 60 derecedir;
• herhangi bir yüz bir taban görevi görebilir;
• şeklin içine çizilmiş eşit elemanlardır.

Çokyüzlü bölümleri

Herhangi bir polihedronda birkaç tür bölüm uçak. Genellikle okul kursu geometriler iki ile çalışır:

• eksenel;
• paralel temel.

Bir polihedron ile tepe noktası, yan kenarlar ve eksenden geçen bir düzlemin kesişmesiyle eksenel bir kesit elde edilir. Bu durumda eksen, tepe noktasından çizilen yüksekliktir. Kesim düzlemi, tüm yüzlerle kesişme çizgileriyle sınırlandırılır ve bu da bir üçgenle sonuçlanır.

Dikkat! Düzenli bir piramitte eksenel bölüm bir ikizkenar üçgendir.

Kesme düzlemi tabana paralel gidiyorsa, sonuç ikinci seçenektir. Bu durumda, tabana benzer bir şekil bağlamında elimizde var.

Örneğin, taban bir kare ise, tabana paralel olan kısım da sadece daha küçük boyutta bir kare olacaktır.

Bu durumdaki problemler çözülürken şekillerin benzerliğine ilişkin işaret ve özelliklerden yararlanılır, Thales teoremine dayalı. Öncelikle benzerlik katsayısını belirlemek gerekir.

Düzlem tabana paralel olarak çizilirse ve polihedronun üst kısmını keserse, alt kısımda düzenli bir kesik piramit elde edilir. Daha sonra, kesik çokyüzlülerin tabanlarının benzer çokgenler olduğu söylenir. Bu durumda, yan yüzler ikizkenar yamuklardır. Eksenel bölüm de ikizkenardır.

Kesik bir polihedronun yüksekliğini belirlemek için, yüksekliği eksenel bir bölümde, yani bir yamukta çizmek gerekir.

Yüzey alanları

Okul geometri dersinde çözülmesi gereken temel geometrik problemler şunlardır: Bir piramidin yüzey alanını ve hacmini bulma.

İki tür yüzey alanı vardır:

• yan elemanların alanı;
• tüm yüzey alanı.

Başlığın kendisinden ne hakkında olduğu açıktır. Yan yüzey sadece yan elemanları içerir. Bundan, onu bulmak için, yanal düzlemlerin alanlarını, yani ikizkenarın 3gen alanlarını toplamanız yeterlidir. Yan elemanların alanı için formülü türetmeye çalışalım:

1. Bir ikizkenar 3-gon'un alanı Str=1/2(aL)'dir, burada a tabanın kenarıdır, L ise özlü sözdür.
2. Yan düzlemlerin sayısı, tabandaki k-gon tipine bağlıdır. Örneğin, düzenli bir dörtgen piramidin dört yan düzlemi vardır. Bu nedenle, dört rakamın alanlarını toplamak gerekir Syan=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . İfade bu şekilde basitleştirilmiştir, çünkü 4a=POS değeri, burada POS, tabanın çevresidir. Ve 1/2 * Rosn ifadesi onun yarı çevresidir.
3. Böylece, düzenli bir piramidin yan elemanlarının alanının, tabanın yarı çevresinin ürününe ve özdeyişin ürününe eşit olduğu sonucuna varıyoruz: Sside \u003d Rosn * L.

Kare tam yüzey piramit, yanal düzlemlerin ve tabanın alanlarının toplamından oluşur: Sp.p. = Yan + Staban.

Tabanın alanına gelince, burada çokgen tipine göre formül kullanılır.

Düzenli bir piramidin hacmi taban düzlemi alanının ürününe ve yüksekliğin üçe bölünmesine eşittir: V=1/3*Stabanı*H, burada H çokyüzlülüğün yüksekliğidir.

Geometride düzenli piramit nedir

Düzenli bir dörtgen piramidin özellikleri

Geometrik problemlerde sıklıkla görülen üç boyutlu bir şekil bir piramittir. Bu sınıfın tüm figürlerinin en basiti üçgendir. Bu yazıda, doğru olanın temel formüllerini ve özelliklerini ayrıntılı olarak analiz edeceğiz.

Figürün geometrik gösterimleri

Düzenli bir üçgen piramidin özelliklerini ele almadan önce, hangi şekle daha yakından bakalım. söz konusu.

Üç boyutlu uzayda keyfi bir üçgen olduğunu varsayalım. Bu uzayda üçgenin düzleminde yer almayan herhangi bir noktayı seçiyoruz ve onu üçgenin üç köşesine bağlıyoruz. Üçgen bir piramitimiz var.

Hepsi üçgen olan 4 kenardan oluşur. Üç yüzün birleştiği noktalara köşeler denir. Şekilde ayrıca dört tane var. İki yüzün kesişim çizgileri kenarlardır. İncelenen piramidin 6 kaburgası vardır Aşağıdaki şekil bu şekle bir örnek göstermektedir.

Şekil dört kenardan oluştuğu için tetrahedron olarak da adlandırılır.

doğru piramit

Yukarıda, üçgen tabanlı keyfi bir figür düşünülmüştür. Şimdi piramidin tepesinden tabanına dik bir çizgi çizdiğimizi varsayalım. Bu segmente yükseklik denir. 4 harcamanın mümkün olduğu açıktır. farklı yükseklikler rakam için. Yükseklik geometrik merkezdeki üçgen tabanı kesiyorsa, böyle bir piramit düz piramit olarak adlandırılır.

Tabanı eşkenar üçgen olan düz piramitlere düzgün piramit denir. Ona göre, şeklin yan yüzeyini oluşturan üç üçgenin tamamı ikizkenardır ve birbirine eşittir. Düzenli piramidin özel bir durumu, dört kenarının da eşkenar aynı üçgenler olduğu durumdur.

Düzenli bir üçgen piramidin özelliklerini düşünün ve parametrelerini hesaplamak için uygun formülleri verin.

Taban tarafı, yükseklik, yan kenar ve özlü söz

Listelenen parametrelerden herhangi ikisi, diğer iki özelliği benzersiz şekilde belirler. Adlandırılmış miktarları birbirine bağlayan formüller veriyoruz.

Normal bir üçgen piramidin tabanının kenarının a olduğunu varsayalım. Yan kenarının uzunluğu b'ye eşittir. Düzenli bir üçgen piramidin ve onun özdeyişinin yüksekliği ne olacaktır?

h yüksekliği için şu ifadeyi alırız:

Bu formül, yan kenar, yükseklik ve taban yüksekliğinin 2/3'ü olan Pisagor teoreminden gelir.

Bir piramidin özü, herhangi bir yan üçgenin yüksekliğidir. Apotema a b'nin uzunluğu:

a b \u003d √ (b 2 - a 2 / 4)

Bu formüllerden, düzgün bir üçgen piramidin tabanının kenarı ve yan kenarının uzunluğu ne olursa olsun, apotema'nın her zaman olacağı görülebilir. daha fazla yükseklik piramitler.

Sunulan iki formül, dört doğrusal özellikler söz konusu rakam. Dolayısıyla bilinen ikisinden kalanını yazılı eşitliklerden sistemi çözerek bulabilirsiniz.

şekil hacmi

Kesinlikle herhangi bir piramit için (eğimli olanlar dahil), onunla sınırlanan alanın hacminin değeri, şeklin yüksekliği ve tabanının alanı bilinerek belirlenebilir. İlgili formül şöyle görünür:

Bu ifadeyi söz konusu şekle uygulayarak aşağıdaki formülü elde ederiz:

Düzgün bir üçgen piramidin yüksekliği h ve taban tarafı a olduğunda.

Tüm kenarların birbirine eşit olduğu ve eşkenar üçgenleri temsil ettiği bir tetrahedronun hacmi için bir formül elde etmek zor değildir. Bu durumda, şeklin hacmi aşağıdaki formülle belirlenir:

Yani, a kenarının uzunluğu tarafından benzersiz olarak belirlenir.

Yüzey alanı

Üçgen bir düzenli piramidin özelliklerini düşünmeye devam ediyoruz. Toplam alanı bir şeklin tüm yüzlerinin toplamına yüzey alanı denir. İlgili gelişmeyi dikkate alarak ikincisini incelemek uygundur. Aşağıdaki şekil, normal bir üçgen piramidin neye benzediğini göstermektedir.

Şeklin h yüksekliğini ve a tabanının kenarını bildiğimizi varsayalım. O zaman tabanının alanı şuna eşit olacaktır:

Her öğrenci, bir üçgenin alanını nasıl bulacağını hatırlarsa ve aynı zamanda bir eşkenar üçgenin yüksekliğinin de bir ortay ve bir medyan olduğunu hesaba katarsa ​​bu ifadeyi alabilir.

Üç özdeş ikizkenar üçgenin oluşturduğu yan yüzeyin alanı:

S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Bu eşitlik, piramidin apotemasının tabanın yüksekliği ve uzunluğu cinsinden ifadesinden kaynaklanmaktadır.

Şeklin toplam yüzey alanı:

S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Dört kenarı da aynı eşkenar üçgen olan bir tetrahedron için, S alanının şuna eşit olacağına dikkat edin:

Düzenli bir kesik üçgen piramidin özellikleri

Düşünülen üçgen piramidin tepesi tabana paralel bir düzlem tarafından kesilirse, kalan Alt kısım kesik piramit olarak adlandırılacaktır.

Üçgen bir taban olması durumunda, açıklanan kesit yönteminin bir sonucu olarak, yine eşkenar olan ancak taban kenarından daha küçük bir kenar uzunluğuna sahip olan yeni bir üçgen elde edilir. Aşağıda bir kesik üçgen piramit gösterilmiştir.

Bu rakamın zaten iki üçgen taban ve üç ikizkenar yamuk ile sınırlı olduğunu görüyoruz.

Ortaya çıkan şeklin yüksekliğinin h olduğunu, alt ve üst tabanların kenarlarının uzunluklarının sırasıyla a 1 ve a 2 olduğunu ve özdeyişin (yamuğun yüksekliği) a b'ye eşit olduğunu varsayalım. Daha sonra kesilmiş piramidin yüzey alanı aşağıdaki formülle hesaplanabilir:

S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4*(a 1 2 + a 2 2)

Burada birinci terim yan yüzeyin alanı, ikinci terim üçgen tabanların alanıdır.

Şeklin hacmi aşağıdaki gibi hesaplanır:

V = √3/12*h*(a 1 2 + 2 2 + 1 *a 2)

Kesik bir piramidin özelliklerini açık bir şekilde belirlemek için, yukarıdaki formüllerle gösterilen üç parametresini bilmek gerekir.

Üçgen piramit, bir üçgene dayalı bir piramittir. Bu piramidin yüksekliği, piramidin tepesinden tabanlarına indirilen dikeydir.

Bir Piramidin Yüksekliğini Bulma

Piramidin yüksekliği nasıl bulunur? Çok basit! Herhangi bir üçgen piramidin yüksekliğini bulmak için hacim formülünü kullanabilirsiniz: V = (1/3)Sh, burada S taban alanı, V piramidin hacmi, h yüksekliğidir. Bu formülden yükseklik formülünü elde edin: üçgen bir piramidin yüksekliğini bulmak için piramidin hacmini 3 ile çarpmanız ve ardından elde edilen değeri taban alanına bölmeniz gerekir, şöyle olacaktır: h \u003d (3V ) / S. Üçgen piramidin tabanı bir üçgen olduğundan, bir üçgenin alanını hesaplamak için formülü kullanabilirsiniz. Eğer biliyorsak: S üçgeninin alanı ve z tarafı, o zaman S=(1/2)γh alan formülüne göre: h = (2S)/γ, burada h piramidin yüksekliğidir, γ üçgenin kenarıdır; üçgenin kenarları ve iki tarafın kendileri arasındaki açı, ardından aşağıdaki formülü kullanarak: S = (1/2)γφsinQ, burada γ, φ üçgenin kenarlarıdır, üçgenin alanını buluruz. Q açısının sinüsünün değeri, İnternet'teki sinüs tablosunda görüntülenmelidir. Ardından, alan değerini yükseklik formülüyle değiştiririz: h = (2S)/γ. Görev, üçgen bir piramidin yüksekliğini hesaplamayı gerektiriyorsa, piramidin hacmi zaten biliniyor.

Düzenli üçgen piramit

Düzgün bir üçgen piramidin yüksekliğini bulun, yani tüm yüzleri eşkenar üçgen olan bir piramidin y kenarının boyutunu bilin. Bu durumda piramidin kenarları eşkenar üçgenlerin kenarlarıdır. Düzgün bir üçgen piramidin yüksekliği şöyle olacaktır: h = γ√(2/3), burada γ bir eşkenar üçgenin kenarıdır, h piramidin yüksekliğidir. Tabanın alanı (S) bilinmiyorsa ve yalnızca çokyüzlü kenarın uzunluğu (γ) ve hacmi (V) verilirse, önceki adımdaki formüldeki gerekli değişken değiştirilmelidir. kenarın uzunluğu olarak ifade edilen eşdeğeri ile. Bir üçgenin alanı (normal), bu üçgenin kenar uzunluğunun çarpımının 1/4'üne eşittir, karesi 3'ün kareköküyle eşittir. Önceki formülde taban alanı yerine bu formülü yerine koyuyoruz. , ve aşağıdaki formülü elde ederiz: h \u003d 3V4 / (γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Bir tetrahedronun hacmi, kenarının uzunluğu cinsinden ifade edilebilir, daha sonra bir şeklin yüksekliğini hesaplamak için formülden tüm değişkenler çıkarılabilir ve şeklin sadece üçgen yüzünün kenarı bırakılabilir. Böyle bir piramidin hacmi, yüzünün uzunluğunun küpünün 2'nin kareköküyle çarpımından 12'ye bölünerek hesaplanabilir.

Bu ifadeyi bir önceki formülle değiştirerek, hesaplamak için şu formülü elde ederiz: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2/3) = (1/3)γ√6. Ayrıca, bir küreye düzenli bir üçgen prizma yazılabilir ve yalnızca kürenin yarıçapını (R) bilerek, tetrahedronun yüksekliğini bulabilirsiniz. Dörtyüzlü kenar uzunluğu: γ = 4R/√6. Önceki formülde γ değişkenini bu ifadeyle değiştiriyoruz ve şu formülü elde ediyoruz: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Aynı formül, bir dörtyüzlüde yazılı bir dairenin yarıçapı (R) bilinerek de elde edilebilir. Bu durumda üçgenin kenar uzunluğu, aralarındaki 12 orana eşit olacaktır. kare kök 6 ve yarıçap. Bu ifadeyi önceki formülde yerine koyarız ve h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R olur.

Düzenli bir dörtgen piramidin yüksekliği nasıl bulunur

Piramidin yüksekliğinin uzunluğunun nasıl bulunacağı sorusunu cevaplamak için düzenli piramidin ne olduğunu bilmeniz gerekir. Dörtgen piramit, dörtgen tabanlı bir piramittir. Sorunun koşullarında, piramidin hacmi (V) ve tabanının (S) alanı varsa, o zaman çokyüzlülüğün (h) yüksekliğini hesaplama formülü aşağıdaki gibi olacaktır. - 3 ile çarpılan hacmi S: h \u003d (3V) / S alanına bölün. Hacmi (V) ve kenar uzunluğu γ olan bir piramidin tabanı kare ile, önceki formüldeki alanı (S) kenar uzunluğunun karesiyle değiştirin: S = γ 2 ; H = 3V/y2. Düzgün h = SO piramidinin yüksekliği, tabanın yakınında çevrelenen dairenin tam merkezinden geçer. Bu piramidin tabanı kare olduğundan, O noktası AD ve BC köşegenlerinin kesişme noktasıdır. Şunlara sahibiz: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Ayrıca, SOC dik üçgeninde (Pisagor teoremine göre) buluyoruz: SO = √(SC 2 -OC 2). Artık normal bir piramidin yüksekliğini nasıl bulacağınızı biliyorsunuz.

Bu eğitim videosu, kullanıcıların Piramit teması hakkında fikir edinmelerine yardımcı olacaktır. Doğru piramit. Bu dersimizde piramit kavramını tanıyacağız, tanımını vereceğiz. Normal bir piramidin ne olduğunu ve hangi özelliklere sahip olduğunu düşünün. Sonra teoremi düzgün bir piramidin yan yüzeyinde ispatlıyoruz.

Bu dersimizde piramit kavramını tanıyacağız, tanımını vereceğiz.

Bir çokgen düşünün bir 1 bir 2...Birα düzleminde yer alan ve bir nokta Pα düzleminde yer almayan (Şekil 1). noktayı birleştirelim P zirveleri olan A 1, A 2, A 3, … Bir. Almak nüçgenler: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R vb.

Tanım. çokyüzlü RA 1 A 2 ... Bir n, ondan yapılmış n-gon bir 1 bir 2...Bir ve nüçgenler RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1, denir n- kömür piramidi. Pirinç. 1.

Pirinç. 1

Dörtgen bir piramit düşünün PABCD(İncir. 2).

R- piramidin tepesi.

ABCD- piramidin tabanı.

RA- yan kaburga.

AB- taban kenarı.

bir noktadan R dikeyi bırak RN yer düzleminde ABCD. Çizilen dik, piramidin yüksekliğidir.

Pirinç. 2

Piramidin toplam yüzeyi, yan yüzeyden, yani tüm yan yüzlerin alanından ve taban alanından oluşur:

S dolu \u003d S tarafı + S ana

Bir piramit şu durumlarda doğru olarak adlandırılır:

• tabanı düzenli bir çokgendir;
• piramidin tepesini tabanın merkezine bağlayan bölüm yüksekliğidir.

Düzenli bir dörtgen piramit örneği hakkında açıklama

Düzenli bir dörtgen piramit düşünün PABCD(Şekil 3).

R- piramidin tepesi. piramidin tabanı ABCD- normal bir dörtgen, yani bir kare. Nokta Ö, köşegenlerin kesişme noktası karenin merkezidir. Anlamına geliyor, RO piramidin yüksekliğidir.

Pirinç. 3

Açıklama: sağda n-gon, yazılı dairenin merkezi ve çevrelenmiş dairenin merkezi çakışıyor. Bu merkeze çokgenin merkezi denir. Bazen tepenin merkeze yansıtıldığını söylüyorlar.

Düzgün bir piramidin tepesinden çizilen yan yüzünün yüksekliğine denir. özlü söz ve belirtilen bir.

1. düzgün bir piramidin tüm yan kenarları eşittir;

2. yan yüzler eşit ikizkenar üçgenlerdir.

Bu özellikleri düzgün bir dörtgen piramit örneği kullanarak ispatlayalım.

verilen: RABSD- düzenli dörtgen piramit,

ABCD- Meydan,

RO piramidin yüksekliğidir.

İspat et:

1. RA = PB = PC = PD

2.∆ATP = ∆BCP = ∆CDP = ∆DAP Bkz. 4.

Pirinç. 4

Kanıt.

RO piramidin yüksekliğidir. yani, düz RO düzleme dik ABC ve dolayısıyla doğrudan AO, VO, SO ve YAPMAK içinde yatıyor. yani üçgenler ROA, ROV, ROS, ÇUBUK- dikdörtgen.

Bir kare düşünün ABCD. Bir karenin özelliklerinden şu sonucu çıkarır: AO = BO = CO = YAPMAK.

Daha sonra dik üçgenler ROA, ROV, ROS, ÇUBUK bacak RO- genel ve bacaklar AO, VO, SO ve YAPMAK eşittir, yani bu üçgenler iki ayakta eşittir. Üçgenlerin eşitliğinden, bölümlerin eşitliğini takip eder, RA = PB = PC = PD. 1. madde kanıtlanmıştır.

Segmentler AB ve güneş eşittirler çünkü aynı karenin kenarlarıdır, RA = RV = bilgisayar. yani üçgenler AVR ve video - ikizkenar ve üç tarafta eşittir.

Benzer şekilde, üçgenleri elde ederiz. ABP, BCP, CDP, DAP 2. maddede ispatlanması gereken ikizkenar ve eşittir.

Düzenli bir piramidin yan yüzeyinin alanı, tabanın çevresinin ve özdeyişin çarpımının yarısına eşittir:

Kanıt için düzgün bir üçgen piramit seçiyoruz.

verilen: RAVS düzenli bir üçgen piramittir.

AB = BC = AC.

RO- yükseklik.

İspat et: . Bkz. 5.

Pirinç. 5

Kanıt.

RAVS düzenli bir üçgen piramittir. yani AB= AC = M.Ö.. İzin vermek Ö- üçgenin merkezi ABC, o zamanlar RO piramidin yüksekliğidir. Piramidin tabanı bir eşkenar üçgendir. ABC. dikkat, ki .

üçgenler RAV, RVS, RSA- eşit ikizkenar üçgenler (özelliğe göre). Üçgen piramidin üç yan yüzü vardır: RAV, RVS, RSA. Böylece, piramidin yan yüzeyinin alanı:

S tarafı = 3S RAB

Teorem kanıtlanmıştır.

Düzenli bir dörtgen piramidin tabanına yazılan dairenin yarıçapı 3 m, piramidin yüksekliği 4 m'dir Piramidin yan yüzeyinin alanını bulun.

verilen: düzenli dörtgen piramit ABCD,

ABCD- Meydan,

r= 3 m,

RO- piramidin yüksekliği,

RO= 4 m.

Bulmak: S tarafı. Bkz. 6.

Pirinç. 6

Karar.

Kanıtlanmış teoreme göre, .

Önce tabanın kenarını bulun AB. Düzenli bir dörtgen piramidin tabanında yazılı bir dairenin yarıçapının 3 m olduğunu biliyoruz.

Sonra, m.

karenin çevresini bulun ABCD 6 m'lik bir kenar ile:

Bir üçgen düşünün BCD. İzin vermek M- orta taraf DC. Gibi Ö- orta BD, o zamanlar (m).

Üçgen DPC- ikizkenar. M- orta DC. yani, RM- medyan ve dolayısıyla üçgendeki yükseklik DPC. Sonra RM- piramidin özü.

RO piramidin yüksekliğidir. Sonra, düz RO düzleme dik ABC ve dolayısıyla doğrudan OM içinde yatıyor. Hadi bir özdeyiş bulalım RM bir dik üçgenden ROM.

Şimdi piramidin yan yüzeyini bulabiliriz:

Cevap: 60 m2.

Düzenli bir üçgen piramidin tabanının yakınında çevrelenen bir dairenin yarıçapı m, yan yüzey alanı 18 m2'dir. Apothemin uzunluğunu bulun.

verilen: ABCP- düzenli üçgen piramit,

AB = BC = SA,

R= m,

G tarafı = 18 m 2.

Bulmak: . Bkz. 7.

Pirinç. 7

Karar.

bir dik üçgende ABCçevrelenmiş dairenin yarıçapı verilir. bir taraf bulalım AB sinüs teoremini kullanarak bu üçgeni.

Düzgün bir üçgenin (m) kenarını bilerek çevresini buluruz.

Düzenli bir piramidin yan yüzeyinin alanındaki teoreme göre, nerede bir- piramidin özü. Sonra:

Cevap: 4 m.

Böylece piramidin ne olduğunu, düzgün piramidin ne olduğunu inceledik, teoremi düzgün piramidin yan yüzeyinde ispatladık. Bir sonraki derste, kesilmiş piramit ile tanışacağız.

bibliyografya

1. Geometri. 10-11. Sınıf: eğitim kurumlarının öğrencileri için bir ders kitabı (temel ve profil seviyeleri) / I.M. Smirnova, V.A. Smirnov. - 5. baskı, Rev. ve ek - E.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: hasta.
2. Geometri. 10-11. Sınıf: Genel eğitim için ders kitabı Eğitim Kurumları/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 s.: hasta.
3. Geometri. 10. Sınıf: Derinlemesine ve matematik profil çalışmasına sahip genel eğitim kurumları için ders kitabı / E. V. Potoskuev, L.I. Zvalich. - 6. baskı, klişe. - E.: Bustard, 008. - 233 s.: hasta.

1. İnternet portalı "Yaklass" ()
2. İnternet portalı "Pedagojik Fikirler Festivali "İlk Eylül" ()
3. İnternet portalı "Slideshare.net" ()

Ödev

1. Düzgün bir çokgen, düzensiz bir piramidin tabanı olabilir mi?
2. Düzgün bir piramidin kesişmeyen kenarlarının dik olduğunu kanıtlayın.
3. Piramidin özü tabanının kenarına eşitse, düzgün bir dörtgen piramidin tabanının yanındaki dihedral açının değerini bulun.
4. RAVS düzenli bir üçgen piramittir. Piramidin tabanındaki dihedral açının doğrusal açısını oluşturun.

Hipotez: Piramidin şeklinin mükemmel olmasının nedeninin, matematiksel yasalar biçiminde gömülüdür.

Hedef: piramidi incelemek geometrik gövde, formunun mükemmelliğini açıklamak için.

Görevler:

1. Bir piramidin matematiksel tanımını verin.

2. Piramidi geometrik bir cisim olarak inceleyin.

3. Mısırlıların piramitlerine hangi matematiksel bilgileri koyduklarını anlayın.

Özel sorular:

1. Geometrik cisim olarak piramit nedir?

2. Piramidin benzersiz şekli matematiksel olarak nasıl açıklanabilir?

3. Piramidin geometrik harikalarını ne açıklar?

4. Piramidin şeklinin mükemmelliğini ne açıklar?

Piramidin tanımı.

PİRAMİT (Yunanca piramis, cins n. piramidos) - tabanı bir çokgen olan bir çokyüzlü ve kalan yüzler ortak bir tepe noktasına sahip üçgenlerdir (şekil). Tabanın köşe sayısına göre piramitler üçgen, dörtgen vb.

PİRAMİT - bir piramidin geometrik şekline sahip anıtsal bir yapı (bazen basamaklı veya kule şeklinde de). MÖ 3.-2. binyılın eski Mısır firavunlarının dev mezarlarına piramitler denir. e., ayrıca kozmolojik kültlerle ilişkili antik Amerikan tapınak kaideleri (Meksika, Guatemala, Honduras, Peru'da).

bu mümkün Yunan kelimesi"piramit", Mısır'daki per-em-us ifadesinden, yani piramidin yüksekliği anlamına gelen bir terimden gelir. Tanınmış Rus Mısırbilimci V. Struve, Yunanca “puram…j” kelimesinin eski Mısırlı “p”-mr”den geldiğine inanıyordu.

tarihten. Atanasyan'ın yazarları tarafından "Geometri" ders kitabındaki materyali inceledikten sonra. Butuzova ve diğerleri, şunu öğrendik: n-gon A1A2A3 ... An ve n üçgenleri RA1A2, RA2A3, ..., RAnA1'den oluşan bir çokyüzlüye piramit denir. A1A2A3 ... An çokgeni piramidin tabanıdır ve RA1A2, RA2A3, ..., PAnA1 üçgenleri piramidin yan yüzleridir, P piramidin tepesidir, RA1, RA2, .. ., RAn yan kenarlardır.

Ancak, piramidin böyle bir tanımı her zaman mevcut değildi. Örneğin, bize ulaşan matematik üzerine teorik incelemelerin yazarı olan antik Yunan matematikçi Euclid, bir piramidi, bir düzlemden bir noktaya yakınlaşan düzlemlerle sınırlandırılmış katı bir figür olarak tanımlar.

Ancak bu tanım antik çağda zaten eleştirilmiştir. Yani Heron önerdi aşağıdaki tanım piramitler: "Bu, bir noktada birleşen ve tabanı bir çokgen olan üçgenlerle sınırlanmış bir şekildir."

Grubumuz, bu tanımları karşılaştırarak, “temel” kavramının net bir formülasyonuna sahip olmadığı sonucuna varmıştır.

Bu tanımları inceledik ve 1794'te "Geometrinin Elemanları" adlı çalışmasında piramidi tanımlayan Adrien Marie Legendre'nin tanımını bulduk: düz taban.”

Bize öyle geliyor son tanım tabanın düz olduğu gerçeğinden bahsettiği için piramit hakkında net bir fikir verir. Bir piramidin başka bir tanımı 19. yüzyılda bir ders kitabında yer aldı: "Piramit, bir düzlemle kesişen katı bir açıdır."

Geometrik bir gövde olarak piramit.

O. Bir piramit, yüzlerinden biri (taban) bir çokgen, diğer yüzler (kenarlar) ortak bir tepe noktasına (piramidin tepesi) sahip üçgenler olan bir çokyüzlüdür.

Piramidin tepesinden taban düzlemine çizilen dikme denir. uzun boyluh piramitler.

Rastgele bir piramidin yanı sıra, sağ piramit, tabanında düzenli bir çokgen olan ve kesik piramit.

Şekilde - piramit PABCD, ABCD - tabanı, PO - yüksekliği.

Tam yüzey alanı Tüm yüzlerinin alanlarının toplamına piramit denir.

Sfull = Yan + Sbase, nerede yan yan yüzlerin alanlarının toplamıdır.

piramit hacmi formüle göre bulunur:

V=1/3STemel h, nerede Sosn. - taban alanı h- yükseklik.

Düzenli bir piramidin ekseni, yüksekliğini içeren düz bir çizgidir.
Apothem ST - düzenli bir piramidin yan yüzünün yüksekliği.

Düzenli bir piramidin yan yüzünün alanı şu şekilde ifade edilir: Sside. =1/2P h, burada P tabanın çevresidir, h- yan yüzün yüksekliği (düzenli bir piramidin özü). Piramit, tabana paralel A'B'C'D' düzlemi tarafından kesiliyorsa, o zaman:

1) yan kenarlar ve yükseklik bu düzlem tarafından orantılı parçalara bölünür;

2) kesitte tabana benzer bir A'B'C'D' çokgeni elde edilir;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Kesik piramidin tabanları ABCD ve A`B`C`D` benzer çokgenlerdir, yan yüzler yamuktur.

Yükseklik kesik piramit - bazlar arasındaki mesafe.

kesilmiş hacim piramit şu formülle bulunur:

V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Düzenli bir kesik piramidin yan yüzey alanı aşağıdaki gibi ifade edilir: Yan = ½(P+P') h, burada P ve P' tabanların çevreleridir, h- yan yüzün yüksekliği (ziyafetler tarafından kesilmiş düzenli bir özdeyiş

Piramidin bölümleri.

Piramidin tepesinden geçen düzlemlerin bölümleri üçgendir.

Piramidin bitişik olmayan iki yan kenarından geçen kısma denir. diyagonal bölüm.

Kesit, yan kenar ve tabanın kenarındaki bir noktadan geçerse, bu kenar, piramidin tabanının düzlemindeki izi olacaktır.

Piramidin yüzünde uzanan bir noktadan geçen bir kesit ve taban düzleminde verilen bir kesit izi, daha sonra inşaat aşağıdaki gibi yapılmalıdır:

verilen yüzün düzleminin kesişme noktasını ve piramit bölümünün izini bulun ve belirtin;

içinden geçen düz bir çizgi oluşturun verilen nokta ve ortaya çıkan kesişme noktası;

· Sonraki yüzler için bu adımları tekrarlayın.

, bu da 4:3 dik üçgenin bacaklarının oranına karşılık gelir. Bacakların bu oranı, "mükemmel", "kutsal" veya "Mısır" üçgeni olarak adlandırılan, kenarları 3:4:5 olan iyi bilinen dik üçgene karşılık gelir. Tarihçilere göre, "Mısır" üçgenine büyülü bir anlam verildi. Plutarch, Mısırlıların evrenin doğasını "kutsal" bir üçgene benzettiğini yazdı; dikey bacağı kocaya, tabanı karısına ve hipotenüsü her ikisinden de doğanlara sembolik olarak benzettiler.

3:4:5 üçgeni için eşitlik doğrudur: Pisagor teoremini ifade eden 32 + 42 = 52. Sürdürmek istedikleri teorem bu değil mi? Mısırlı rahipler, 3:4:5 üçgenine dayalı bir piramit mi inşa ediyorsunuz? Mısırlılar tarafından Pisagor tarafından keşfedilmeden çok önce bilinen Pisagor teoremini açıklayacak daha iyi bir örnek bulmak zordur.

Böylece, dahiyane yaratıcılar Mısır piramitleri uzak torunları bilgilerinin derinliği ile etkilemeye çalıştılar ve bunu Cheops piramidi için "ana geometrik fikir" - "altın" seçerek başardılar. sağ üçgen, ve Khafre piramidi için - "kutsal" veya "Mısır" üçgeni.

Çoğu zaman, bilim adamları araştırmalarında piramitlerin özelliklerini Altın Bölüm oranlarıyla kullanırlar.

matematiksel olarak ansiklopedik sözlük Altın Bölümün aşağıdaki tanımı verilmiştir - bu harmonik bir bölme, aşırı ve ortalama oranda bölmedir - AB segmentinin, AC'sinin çoğu, tüm AB segmenti arasındaki ortalama orantılı olacak şekilde iki parçaya bölünmesi ve daha küçük parçası CB.

Bir segmentin Altın bölümünün cebirsel bulgusu AB = bir a: x = x: (a - x) denklemini çözmeye indirger, burada x yaklaşık olarak 0,62a'ya eşittir. x oranı 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0,618 kesirler olarak ifade edilebilir, burada 2, 3, 5, 8, 13, 21 Fibonacci sayılarıdır.

AB segmentinin Altın bölümünün geometrik yapısı şu şekilde gerçekleştirilir: B noktasında, AB'ye dik olan geri yüklenir, üzerine BE \u003d 1/2 AB segmenti döşenir, A ve E bağlanır, DE \ u003d BE ertelenir ve son olarak AC \u003d AD, ardından AB eşitliği sağlanır: CB = 2: 3.

altın Oran genellikle doğada bulunan sanat eserlerinde, mimaride kullanılır. Canlı örnekler Parthenon Apollo Belvedere'nin heykeli. Parthenon'un inşası sırasında binanın yüksekliğinin uzunluğuna oranı kullanılmış ve bu oran 0.618'dir. Çevremizdeki nesneler de Altın Oran'ın örneklerini sağlar, örneğin, birçok kitabın ciltlerinin genişlik / uzunluk oranı 0,618'e yakındır. Yaprakların ortak bir bitki gövdesi üzerindeki dizilimi göz önüne alındığında, her iki yaprak çifti arasında üçüncünün Altın Oran (slaytlar) yerinde bulunduğu fark edilebilir. Her birimiz Altın Oranı bizimle “elimizde” “giyiyoruz” - bu parmakların falanjlarının oranıdır.

Birkaç matematiksel papirinin keşfi sayesinde, Mısırbilimciler eski Mısır'ın kalkülüs ve ölçü sistemleri hakkında bir şeyler öğrendiler. İçlerinde yer alan görevler yazıcılar tarafından çözüldü. En ünlülerinden biri Rhind Matematik Papirüsü'dür. Mısırbilimciler bu bulmacaları inceleyerek eski Mısırlıların bu bulmacalarla nasıl başa çıktıklarını öğrendiler. çeşitli miktarlar Bu, kesirlerin sıklıkla kullanıldığı ağırlık, uzunluk ve hacim ölçülerinin hesaplanmasında ve bunların açılarla nasıl ilgilendiğini ortaya çıkardı.

Eski Mısırlılar, bir dik üçgenin yüksekliğinin tabanına oranına dayanan bir açı hesaplama yöntemi kullandılar. Gradyanın dilinde herhangi bir açıyı ifade ettiler. Eğim gradyanı, "seked" adı verilen bir tamsayının oranı olarak ifade edildi. Mathematics in the Time of the Pharaohs adlı kitabında Richard Pillins şöyle açıklıyor: "Düzenli bir piramidin seked'i, dört üçgen yüzün herhangi birinin taban düzlemine olan eğimidir; bu, dikey yükseklik birimi başına n'inci sayıda yatay birim ile ölçülür. . Bu nedenle, bu ölçü birimi, modern eğim açısı kotanjantımıza eşdeğerdir. Bu nedenle, Mısır'daki "seked" kelimesi bizim ile ilgilidir. modern kelime"gradyan"".

Piramitlerin sayısal anahtarı, yüksekliklerinin tabana oranında yatmaktadır. AT pratik anlamda- bu, piramidin inşası boyunca doğru eğim açısını sürekli kontrol etmek için gerekli şablonları oluşturmanın en kolay yoludur.

Mısırbilimciler, her firavunun kendi bireyselliğini, dolayısıyla her piramidin eğim açılarındaki farklılıkları ifade etmeye istekli olduğuna bizi ikna etmekten mutlu olacaklardır. Ama başka bir nedeni olabilir. Belki de hepsi farklı oranlarda gizlenmiş farklı sembolik çağrışımları somutlaştırmak istediler. Bununla birlikte, Khafre'nin piramidinin açısı (üçgen temelinde (3:4:5) Rhind Matematik Papirüsündeki piramitlerin sunduğu üç problemde görünür). Dolayısıyla bu tutum eski Mısırlılar tarafından iyi biliniyordu.

Eski Mısırlıların 3:4:5 üçgenini bilmediklerini iddia eden Mısırbilimcilere adil olmak gerekirse, diyelim ki hipotenüs 5'in uzunluğundan hiç bahsedilmedi. Ancak piramitlerle ilgili matematiksel problemler her zaman seked açısına, yani yüksekliğin tabana oranına göre çözülür. Hipotenüsün uzunluğundan hiç bahsedilmediğinden Mısırlıların üçüncü kenarın uzunluğunu hiçbir zaman hesaplamadığı sonucuna varıldı.

Giza piramitlerinde kullanılan yükseklik-taban oranları hiç şüphesiz eski Mısırlılar tarafından biliniyordu. Her piramit için bu oranların keyfi olarak seçilmesi mümkündür. Ancak bu, tüm Mısır türlerinde sayısal sembolizme verilen önemle çelişir. görsel Sanatlar. Spesifik dini fikirleri ifade ettikleri için bu tür ilişkilerin önemli olması çok muhtemeldir. Başka bir deyişle, Giza'nın tüm kompleksi, bir tür ilahi temayı yansıtacak şekilde tasarlanmış tutarlı bir tasarıma tabiydi. Bu, tasarımcıların neden üç piramit için farklı açılar seçtiklerini açıklar.

Orion'un Sırrı'nda Bauval ve Gilbert, Giza piramitlerinin Orion takımyıldızı ile, özellikle Orion'un Kuşağı'nın yıldızlarıyla bağlantısına dair ikna edici kanıtlar sundular.Aynı takımyıldız, İsis ve Osiris mitinde de mevcuttur ve orada Her piramidi üç ana tanrıdan birinin - Osiris, İsis ve Horus'un bir görüntüsü olarak düşünmek için bir nedendir.

MUCİZELER "GEOMETRİK".

Mısır'ın görkemli piramitleri arasında özel bir yer işgal edilmiştir. Firavun Cheops'un Büyük Piramidi (Khufu). Keops piramidinin şekil ve boyutunun analizine geçmeden önce, Mısırlıların hangi ölçü sistemini kullandıklarını hatırlamalıyız. Mısırlıların üç uzunluk birimi vardı: "arşın" (466 mm), yedi "avuç içi" (66.5 mm), bu da sırayla dört "parmağa" (16,6 mm) eşitti.

Ukraynalı bilim adamı Nikolai Vasyutinskiy "Altın Oran" (1990) adlı harika kitabında verilen mantığı takip ederek Cheops piramidinin boyutunu (Şekil 2) inceleyelim.

Çoğu araştırmacı, örneğin, piramidin tabanının kenar uzunluğunun, kız arkadaş eşittir L\u003d 233.16 m Bu değer neredeyse tam olarak 500 "arşın" a karşılık gelir. 500 "arşın" ile tam uyum, "arşın" uzunluğunun 0,4663 m'ye eşit olduğu kabul edilirse olacaktır.

Piramit Yüksekliği ( H) araştırmacılar tarafından 146.6'dan 148,2 m'ye kadar farklı tahmin edilmektedir ve piramidin kabul edilen yüksekliğine bağlı olarak, geometrik elemanlarının tüm oranları değişmektedir. Piramidin yükseklik tahminindeki farklılıkların nedeni nedir? Gerçek şu ki, kesinlikle konuşursak, Cheops piramidi kesildi. Üst platformu bugün yaklaşık 10´10 m, bundan bir asır önce ise 6´6 m büyüklüğünde olan piramidin tepesinin sökülmüş olduğu ve aslına uymadığı aşikardır.

Piramidin yüksekliğini tahmin ederken, yapının "taslağı" gibi fiziksel bir faktörü hesaba katmak gerekir. Arka uzun zaman muazzam basıncın etkisi altında (alt yüzeyin 1 m2'si başına 500 tona ulaşan), piramidin yüksekliği orijinal yüksekliğine göre azaldı.

Piramidin orijinal yüksekliği neydi? Piramidin temel "geometrik fikrini" bulursanız, bu yükseklik yeniden oluşturulabilir.

Şekil 2.

1837'de İngiliz albay G. Wise, piramidin yüzlerinin eğim açısını ölçtü: eşit olduğu ortaya çıktı. a= 51°51". Bu değer bugün hala çoğu araştırmacı tarafından tanınmaktadır. Açının belirtilen değeri tanjanta (tg) karşılık gelir. a), 1.27306'ya eşittir. Bu değer, piramidin yükseklik oranına karşılık gelir. AC tabanının yarısına kadar CB(Şekil 2), yani AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

Ve burada araştırmacıları büyük bir sürpriz bekliyor!.png" width="25" height="24">= 1.272. Bu değeri tg değeriyle karşılaştırmak a= 1.27306 ise bu değerlerin birbirine çok yakın olduğunu görüyoruz. açıyı alırsak a\u003d 51 ° 50", yani sadece bir azaltın ark dakikası, ardından değer a 1.272'ye eşit olacak, yani değeri ile çakışacak. 1840'ta G. Wise'ın ölçümlerini tekrarladığı ve açının değerini açıklığa kavuşturduğu belirtilmelidir. a=51°50".

Bu ölçümler araştırmacıları aşağıdakilere yönlendirdi: ilginç hipotez: Cheops piramidinin ASV üçgeni AC ilişkisine dayanıyordu. / CB = = 1,272!

Şimdi bir dik üçgen düşünün ABC, hangi bacakların oranı AC / CB= (Şek.2). Şimdi dikdörtgenin kenar uzunlukları ise ABC ile belirtmek x, y, z, ve aynı zamanda oranı dikkate alın y/x= , o zaman Pisagor teoremine göre uzunluk z formülle hesaplanabilir:

kabul ederse x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Figür 3"Altın" sağ üçgen.

Kenarların birbiriyle ilişkili olduğu bir dik üçgen t:altın" dik üçgen.

O zaman, Cheops piramidinin ana "geometrik fikrinin" "altın" dik açılı üçgen olduğu hipotezini temel alırsak, buradan Cheops piramidinin "tasarım" yüksekliğini hesaplamak kolaydır. Şuna eşittir:

H \u003d (L / 2) ´ \u003d 148.28 m.

Şimdi Cheops piramidi için "altın" hipotezden çıkan başka ilişkiler türetelim. Özellikle piramidin dış alanının taban alanına oranını buluyoruz. Bunu yapmak için bacağın uzunluğunu alıyoruz CB birim başına, yani: CB= 1. Ama sonra piramidin tabanının kenar uzunluğu kız arkadaş= 2 ve tabanın alanı EFGH eşit olacak SEFGH = 4.

Şimdi Cheops piramidinin yan yüzünün alanını hesaplayalım. SD. çünkü yükseklik ABüçgen AEF eşittir t, o zaman yan yüzün alanı eşit olacaktır SD = t. O zaman piramidin dört yan yüzünün toplam alanı 4'e eşit olacaktır. t, ve piramidin toplam dış alanının taban alanına oranı altın orana eşit olacaktır! İşte bu - Cheops piramidinin ana geometrik sırrı!

Cheops piramidinin "geometrik mucizeleri" grubu, aralarındaki ilişkinin gerçek ve çok zorlanmış özelliklerini içerir. farklı boyutlar piramidin içinde.

Kural olarak, bazı "sabit", özellikle "pi" sayısı (Ludolf sayısı), 3.14159'a eşit aranarak elde edilirler...; 2.71828'e eşit olan "e" (Napier sayısı) doğal logaritmalarının tabanları; "F" sayısı, "altın bölüm" sayısı, eşittir, örneğin 0,618 ... vb.

Örneğin: 1) Herodot'un Özelliği: (Yükseklik) 2 \u003d 0,5 st. ana x Özdeyiş; 2) V.'nin Özelliği Fiyat: Yükseklik: 0,5 st. osn \u003d "Ф" nin karekökü; 3) M. Eist'in Özelliği: Tabanın çevresi: 2 Yükseklik = "Pi"; farklı bir yorumda - 2 yemek kaşığı. ana : Yükseklik = "Pi"; 4) G. Reber'in özelliği: Yazılı dairenin yarıçapı: 0,5 st. ana = "F"; 5) K. Kleppish'in Özelliği: (Az. ana.) 2: 2 (ön. ana. x Apothem) \u003d (d. ana. W. Apothem) \u003d 2 (st. ana. x Özdeyiş) : (( 2. ana X Apothem) + (st. ana) 2). Vb. Özellikle iki bitişik piramidi birbirine bağlarsanız, bu tür birçok özellik bulabilirsiniz. Örneğin, "A. Arefiev'in Özellikleri" olarak, Keops piramidinin hacimleri ile Kefren piramidinin hacimleri arasındaki farkın Menkaure piramidinin hacminin iki katına eşit olduğu söylenebilir...

Birçok ilginç pozisyonlar, özellikle, "altın bölüme" göre piramitlerin yapımı hakkında, D. Hambidge "Mimarlıkta Dinamik Simetri" ve M. Geek "Doğada ve Sanatta Orantı Estetiği" kitaplarında anlatılmaktadır. "Altın bölüm"ün, A bölümü B bölümünden çok daha büyük olduğunda, A bölümünün tüm A + B bölümünden kaç kez daha az olduğu, böyle bir oranda bölümün bölünmesi olduğunu hatırlayın. A / B oranı "Ф" sayısına eşittir == 1.618. .. "Altın bölüm"ün kullanımı yalnızca tek tek piramitlerde değil, Giza'daki tüm piramit kompleksinde belirtilir.

Ancak en merak edilen şey, aynı Cheops piramidinin bu kadar çok kişiyi barındıramayacağıdır. mucizevi özellikler. Belirli bir özelliği tek tek alarak, onu "ayarlayabilirsiniz", ancak hepsi aynı anda uymuyor - çakışmıyorlar, birbirleriyle çelişiyorlar. Bu nedenle, örneğin, tüm özellikler kontrol edilirken, başlangıçta piramidin tabanının (233 m) bir ve aynı tarafı alınırsa, farklı özelliklere sahip piramitlerin yükseklikleri de farklı olacaktır. Başka bir deyişle, görünüşte Cheops'unkine benzeyen, ancak farklı özelliklere karşılık gelen belirli bir piramit "ailesi" vardır. "Geometrik" özelliklerde özellikle mucizevi bir şey olmadığına dikkat edin - çoğu, figürün özelliklerinden tamamen otomatik olarak ortaya çıkar. Bir "mucize", yalnızca eski Mısırlılar için açıkça imkansız olan bir şey olarak düşünülmelidir. Bu, özellikle, Keops piramidinin veya Giza'daki piramit kompleksinin ölçümlerinin bazı astronomik ölçümlerle karşılaştırıldığı ve "çift" sayıların belirtildiği "kozmik" mucizeleri içerir: bir milyon kez, bir milyar kez daha az ve yakında. Bazı "kozmik" ilişkileri ele alalım.

İfadelerden biri şudur: "Piramidin tabanının kenarını yılın tam uzunluğuna bölersek, dünyanın ekseninin tam 10 milyonda birini elde ederiz." Hesapla: 233'ü 365'e bölersek 0,638 elde ederiz. Dünyanın yarıçapı 6378 km'dir.

Başka bir ifade aslında bir öncekinin tam tersidir. F. Noetling, kendisi tarafından icat edilen "Mısırlı dirseği" kullanırsanız, piramidin kenarının "en doğru süreye" karşılık geleceğine dikkat çekti. güneş yılı, günün en yakın milyarda biri olarak ifade edilir" - 365.540.903.777.

P. Smith'in ifadesi: "Piramidin yüksekliği, Dünya'dan Güneş'e olan mesafenin tam olarak milyarda biridir." Genellikle 146,6 m yükseklik alınsa da Smith bunu 148,2 m olarak almıştır.Modern radar ölçümlerine göre dünyanın yörüngesinin yarı ana ekseni 149.597.870 + 1.6 km'dir. Bu, Dünya'dan Güneş'e olan ortalama mesafedir, ancak günberi noktasında, günötesinden 5.000.000 kilometre daha azdır.

Son merak edilen açıklama:

"Cheops, Khafre ve Menkaure piramitlerinin kütlelerinin, Dünya, Venüs, Mars gezegenlerinin kütleleri gibi birbirleriyle ilişkili olduğunu nasıl açıklayabiliriz?" Hesaplayalım. Üç piramidin kütleleri şu şekilde ilişkilidir: Khafre - 0.835; Keops - 1.000; Mikerin - 0.0915. Üç gezegenin kütle oranları: Venüs - 0.815; Arazi - 1.000; Mars - 0.108.

Bu nedenle, şüpheciliğe rağmen, ifadelerin yapısının iyi bilinen uyumuna dikkat edelim: 1) "uzaya giden" bir çizgi olarak piramidin yüksekliği - Dünya'dan Güneş'e olan mesafeye karşılık gelir; 2) piramidin tabanının "alt tabakaya", yani Dünya'ya en yakın tarafı, dünyanın yarıçapından ve dünyanın dolaşımından sorumludur; 3) piramidin hacimleri (okuma - kütleler), Dünya'ya en yakın gezegenlerin kütlelerinin oranına karşılık gelir. Benzer bir "şifre", örneğin, Karl von Frisch tarafından analiz edilen arı dilinde izlenebilir. Ancak şimdilik bu konuda yorum yapmaktan kaçınıyoruz.

PİRAMİTLERİN ŞEKLİ

Piramitlerin ünlü tetrahedral şekli hemen ortaya çıkmadı. İskitler, toprak tepeler - höyükler şeklinde mezarlar yaptılar. Mısırlılar taştan "tepeler" inşa ettiler - piramitler. Bu ilk kez Yukarı ve Aşağı Mısır'ın birleşmesinden sonra, MÖ 28. yüzyılda, III hanedanının kurucusu Firavun Djoser'in (Zoser) ülkenin birliğini güçlendirme göreviyle karşı karşıya kaldığı zaman oldu.

Ve burada tarihçilere göre, çarın "yeni tanrılaştırma kavramı" merkezi gücün güçlendirilmesinde önemli bir rol oynadı. Kraliyet mezarları daha büyük bir ihtişamla ayırt edilmelerine rağmen, prensipte mahkeme soylularının mezarlarından farklı değildiler, aynı yapılardı - mastabas. Mumyayı içeren lahitli odanın üstüne, küçük taşlardan oluşan dikdörtgen bir tepe döküldü, daha sonra büyük taş bloklardan oluşan küçük bir bina - "mastaba" (Arapça - "bank"). Selefi Sanakht'ın mastabasının bulunduğu yerde Firavun Djoser ilk piramidi dikti. Basamaklıydı ve bir mimari biçimden diğerine, bir mastabadan bir piramide geçişin görünür bir aşamasıydı.

Bu şekilde firavun, daha sonra bir sihirbaz olarak kabul edilen ve Yunanlılar tarafından tanrı Asklepios ile özdeşleştirilen bilge ve mimar Imhotep tarafından "yükseltildi". Sanki arka arkaya altı mastaba dikilmiş gibiydi. Ayrıca, ilk piramit 1125 x 115 metrelik bir alanı kaplıyordu ve tahmini yüksekliği 66 metreydi (Mısır ölçülerine göre - 1000 "avuç içi"). İlk başta, mimar bir mastaba inşa etmeyi planladı, ancak dikdörtgen değil, planlı kare. Daha sonra genişletildi, ancak uzantı daha düşük yapıldığından, deyim yerindeyse iki basamak oluştu.

Bu durum mimarı tatmin etmedi ve devasa düz bir mastabanın en üst platformuna İmhotep üç tane daha yerleştirdi ve yukarıya doğru giderek azaldı. Mezar piramidin altındaydı.

Birkaç basamaklı piramit daha biliniyor, ancak daha sonra inşaatçılar daha tanıdık dört yüzlü piramitler inşa etmeye başladılar. Ancak neden üçgen veya örneğin sekizgen değil? Hemen hemen tüm piramitlerin dört ana noktaya mükemmel şekilde yönlendirilmiş olması ve dolayısıyla dört kenarı olması gerçeğiyle dolaylı bir cevap verilir. Ek olarak, piramit bir "ev", dörtgen bir mezar odasının kabuğuydu.

Fakat yüzlerin eğim açısına ne sebep oldu? "Oranlar İlkesi" kitabında buna bütün bir bölüm ayrılmıştır: "Piramitlerin açılarını ne belirleyebilir?" Özellikle, "Eski Krallık'ın büyük piramitlerinin çekildiği görüntünün, tepesi dik açılı bir üçgen olduğu belirtilir.

Uzayda, bu bir yarı-oktahedrondur: Tabanın kenarları ve kenarları eşit, yüzler eşkenar üçgen olan bir piramittir.Hambidge, Geek ve diğerlerinin kitaplarında bu konuda belirli hususlar verilmiştir.

Semioktahedron açısının avantajı nedir? Arkeolog ve tarihçilerin açıklamalarına göre bazı piramitler kendi ağırlıkları altında çökmüştür. İhtiyaç duyulan şey, enerji açısından en güvenilir açı olan bir "dayanıklılık açısı" idi. Tamamen ampirik olarak, bu açı ufalanan kuru kum yığınındaki tepe açısından alınabilir. Ancak doğru verileri elde etmek için modeli kullanmanız gerekir. Dört sıkıca sabitlenmiş top alarak, beşincisini üzerlerine koymanız ve eğim açılarını ölçmeniz gerekir. Bununla birlikte, burada bir hata yapabilirsiniz, bu nedenle teorik bir hesaplama yardımcı olur: topların merkezlerini (zihinsel olarak) çizgilerle birleştirmelisiniz. Tabanda, yarıçapının iki katına eşit bir kenarı olan bir kare elde edersiniz. Kare, kenarlarının uzunluğu da yarıçapın iki katına eşit olacak olan piramidin sadece tabanı olacaktır.

Böylece 1:4 tipinde yoğun bir top yığını bize normal bir yarı oktahedron verecektir.

Ancak, benzer bir forma yönelen birçok piramit neden yine de onu korumuyor? Muhtemelen piramitler yaşlanıyor. Ünlü sözün aksine:

"Dünyadaki her şey zamandan korkar ve zaman piramitlerden korkar", piramitlerin binaları yaşlanmalı, sadece dış hava koşullarına maruz kalma süreçleri değil, aynı zamanda iç "büzülme" süreçleri de gerçekleşebilir ve gerçekleşmelidir. piramitler alçalabilir. Büzülme de mümkündür, çünkü D. Davidovits'in çalışmalarından da anlaşılacağı gibi, eski Mısırlılar kireç yongalarından, başka bir deyişle "betondan" blok yapma teknolojisini kullandılar. Kahire'nin 50 km güneyinde bulunan Meidum piramidinin yıkılmasının nedenini açıklayabilen bu süreçlerdir. 4600 yaşında, kaide ölçüleri 146 x 146 m, yüksekliği 118 m'dir. V. Zamarovsky, "Neden bu kadar sakatlandı?" diye soruyor.

Ne de olsa, bloklarının ve kaplama levhalarının çoğu, bugüne kadar yerinde, eteğinde harabe halinde kaldı. ünlü piramit Cheops da "küçüldü". Her durumda, tüm eski görüntülerde piramitler işaret edilir ...

Piramitlerin şekli de taklit yoluyla oluşturulabilir: bazı doğal desenler, "mucizevi mükemmellik", örneğin bir oktahedron şeklinde bazı kristaller.

Bu tür kristaller elmas ve altın kristalleri olabilir. karakteristik olarak çok sayıda Firavun, Güneş, Altın, Elmas gibi kavramlar için "kesişen" işaretler. Her yerde - asil, parlak (parlak), harika, kusursuz vb. Benzerlikler tesadüfi değildir.

Güneş kültü, bildiğiniz gibi, dinin önemli bir parçasıydı. Antik Mısır. Modern ders kitaplarından biri, "Gökyüzü Khufu" veya "Gökyüzü Khufu", "Piramitlerin en büyüğünün adını nasıl tercüme edersek edelim" diyor, bu, kralın güneş olduğu anlamına geliyordu. Khufu, gücünün parlaklığında kendini ikinci bir güneş olarak hayal ettiyse, o zaman oğlu Jedef-Ra, kendisine "Ra'nın oğlu", yani Mısır'ın oğlu demeye başlayan Mısır krallarının ilki oldu. Güneş. Güneş, hemen hemen tüm halklar tarafından "güneş metali", altın olarak sembolize edildi. "Parlak altından büyük disk" - Mısırlılar bizim gün ışığı. Mısırlılar altını çok iyi biliyorlardı, altın kristallerinin oktahedronlar şeklinde görünebildiği doğal formlarını biliyorlardı.

Bir "biçim örneği" olarak "güneş taşı" - bir elmas - burada da ilginçtir. Pırlantanın adı nereden geliyor? Arap dünyası, "almas" - en zor, en zor, yok edilemez. Eski Mısırlılar elması biliyorlardı ve özellikleri oldukça iyi. Bazı yazarlara göre, delme için elmas kesicili bronz borular bile kullandılar.

Şu anda, ana elmas tedarikçisi Güney Afrika, ancak Batı Afrika da elmas bakımından zengindir. Mali Cumhuriyeti topraklarına orada "Diamond Land" bile deniyor. Bu arada, paleovit hipotezinin destekçilerinin birçok umut bağladığı Dogonların yaşadığı Mali topraklarındadır (aşağıya bakınız). Elmaslar, eski Mısırlıların bu bölge ile temaslarının nedeni olamaz. Bununla birlikte, öyle ya da böyle, ancak, eski Mısırlıların elmas gibi "yok edilemez" ve Güneş'in oğulları altın firavunlar gibi "parlak" olarak tanrılaştırdıkları elmas ve altın kristallerinin oktahedronlarını tam olarak kopyalayarak olması mümkündür. sadece çoğuyla karşılaştırılabilir harika kreasyonlar doğa.

Çözüm:

Piramidi geometrik bir cisim olarak inceledikten sonra, elementlerini ve özelliklerini tanıyarak, piramidin şeklinin güzelliği hakkındaki görüşün geçerliliğine ikna olduk.

Araştırmamız sonucunda, en değerli matematiksel bilgiyi toplayan Mısırlıların onu bir piramit içinde somutlaştırdıkları sonucuna vardık. Bu nedenle piramit gerçekten de doğanın ve insanın en mükemmel yaratımıdır.

KAYNAKÇA

"Geometri: Proc. 7 - 9 hücre için. Genel Eğitim kurumlar \, vb. - 9. baskı - M.: Eğitim, 1999

Okulda matematik tarihi, M: "Aydınlanma", 1982

Geometri notu 10-11, M: "Aydınlanma", 2000

Peter Tompkins "Büyük Cheops Piramidinin Sırları", M: "Centropoligraph", 2005

İnternet kaynakları

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html