"Geometrik Algoritmalar" serisinden ders

Merhaba sevgili okuyucu!

Bugün geometri ile ilgili algoritmaları öğrenmeye başlayacağız. Gerçek şu ki, bilgisayar bilimlerinde hesaplamalı geometri ile ilgili birçok Olimpiyat problemi var ve bu tür problemlerin çözümü genellikle zorluklara neden oluyor.

Birkaç derste, hesaplamalı geometri problemlerinin çoğunun çözümünün dayandığı bir dizi temel alt problemi ele alacağız.

Bu dersimizde bir program yazacağız. bir doğrunun denklemini bulma verilenlerden geçerek iki nokta. Geometrik problemleri çözmek için biraz hesaplamalı geometri bilgisine ihtiyacımız var. Dersin bir kısmını onları tanımaya ayıracağız.

Hesaplamalı geometriden gelen bilgiler

Hesaplamalı geometri, geometrik problemleri çözmek için algoritmaları inceleyen bir bilgisayar bilimi dalıdır.

Bu tür problemler için ilk veriler, düzlemdeki bir dizi nokta, bir dizi segment, bir çokgen (örneğin, köşelerinin bir listesi tarafından saat yönünde sırayla verilir), vb.

Sonuç, ya bir sorunun cevabı (bir nokta bir doğru parçasına mı ait, iki parça kesişiyor mu, ... gibi) ya da bazı geometrik nesneler (örneğin, verilen noktaları birleştiren en küçük dışbükey çokgen, alanı bir çokgen, vb.) .

Hesaplamalı geometri problemlerini sadece düzlemde ve sadece Kartezyen koordinat sisteminde ele alacağız.

Vektörler ve koordinatlar

Hesaplamalı geometri yöntemlerini uygulamak için geometrik görüntüleri sayıların diline çevirmek gerekir. Saat yönünün tersine dönüş yönünün pozitif olarak adlandırıldığı düzlemde bir Kartezyen koordinat sisteminin verildiğini varsayıyoruz.

Artık geometrik nesneler analitik bir ifade alıyor. Bu nedenle, bir nokta belirlemek için koordinatlarını belirtmek yeterlidir: bir çift sayı (x; y). Bir segment, uçlarının koordinatları belirtilerek belirtilebilir, bir düz çizgi, bir çift noktasının koordinatları belirtilerek belirtilebilir.

Ancak sorunları çözmenin ana aracı vektörler olacaktır. Bu nedenle, onlar hakkında bazı bilgileri size hatırlatmama izin verin.

Çizgi segmenti AB bir noktası olan ANCAK başlangıç ​​(uygulama noktası) olarak kabul edildi ve nokta AT- sona vektör denir AB ve ya , ya da kalın olarak belirtin küçük harf, Örneğin a .

Bir vektörün uzunluğunu (yani karşılık gelen parçanın uzunluğunu) belirtmek için modül sembolünü kullanacağız (örneğin, ).

Keyfi bir vektörün koordinatları olacaktır, eşit farklar bitişinin ve başlangıcının karşılık gelen koordinatları:

,

buradaki noktalar A ve B koordinatları var sırasıyla.

Hesaplamalar için kavramı kullanacağız yönlendirilmiş açı, yani vektörlerin göreli konumunu hesaba katan bir açı.

Vektörler arasında yönlendirilmiş açı a ve b dönme vektörden uzaktaysa pozitif a vektöre b pozitif yönde (saat yönünün tersine) ve diğer durumda negatif olarak yapılır. Bkz. şekil 1a, şekil 1b. Ayrıca bir çift vektör olduğu söylenir. a ve b olumlu (olumsuz) yönelimlidir.

Böylece yönlendirilmiş açının değeri vektörlerin numaralandırma sırasına bağlıdır ve aralıkta değerler alabilir.

Birçok hesaplamalı geometri problemi, vektörlerin vektör (skew veya psödoskaler) ürünleri kavramını kullanır.

a ve b vektörlerinin vektör ürünü, bu vektörlerin uzunluklarının ve aralarındaki açının sinüsünün çarpımıdır:

.

Koordinatlarda vektörlerin vektör çarpımı:

Sağdaki ifade ikinci dereceden bir belirleyicidir:

Analitik geometride verilen tanımın aksine bu bir skalerdir.

Çapraz ürünün işareti, vektörlerin birbirine göre konumunu belirler:

a ve b pozitif yönlü.

Değer ise, vektör çifti a ve b negatif yönlü.

Sıfır olmayan vektörlerin çapraz çarpımı, ancak ve ancak eşdoğrusal olmaları durumunda sıfırdır ( ). Bu, aynı çizgide veya paralel çizgilerde uzandıkları anlamına gelir.

Daha karmaşık olanları çözmek için gerekli bazı basit görevleri ele alalım.

Düz bir çizginin denklemini iki noktanın koordinatlarıyla tanımlayalım.

Koordinatları ile verilen iki farklı noktadan geçen bir doğrunun denklemi.

Doğru üzerinde çakışmayan iki nokta verilsin: koordinatlı (x1;y1) ve koordinatlı (x2; y2). Buna göre, başı noktada ve sonda noktada olan vektör (x2-x1, y2-y1) koordinatlarına sahiptir. P(x, y) doğrumuz üzerinde rastgele bir noktaysa, vektörün koordinatları (x-x1, y - y1)'dir.

Çapraz çarpım yardımı ile vektörlerin doğrusallık koşulu ve aşağıdaki gibi yazılabilir:

Onlar. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Son denklemi aşağıdaki gibi yeniden yazıyoruz:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Böylece, düz çizgi (1) biçimindeki bir denklemle verilebilir.

Görev 1. İki noktanın koordinatları verilmiştir. ax + by + c = 0 biçimindeki temsilini bulun.

Bu dersimizde, hesaplamalı geometriden bazı bilgilerle tanıştık. Doğrunun denklemini iki noktanın koordinatlarıyla bulma problemini çözdük.

Bir sonraki derste, denklemlerimizin verdiği iki doğrunun kesişme noktasını bulan bir program yazacağız.

iki puan verilsin M1 (x 1, y 1) ve M2 (x 2, y 2). Düz bir çizginin denklemini (5) biçiminde yazıyoruz, burada k henüz bilinmeyen katsayı:

noktadan beri M2 belirli bir çizgiye aitse, koordinatları denklem (5)'i sağlar: . Buradan ifade ederek ve (5) numaralı denklemde yerine koyarak, istenen denklemi elde ederiz:

Eğer bir Bu denklem, hatırlanması daha kolay bir biçimde yeniden yazılabilir:

(6)

Misal. M 1 (1.2) ve M 2 (-2.3) noktalarından geçen bir doğrunun denklemini yazın

Karar. . Orantı özelliğini kullanarak ve gerekli dönüşümleri gerçekleştirerek, düz bir çizginin genel denklemini elde ederiz:

İki çizgi arasındaki açı

İki satır düşünün 1 ve ben 2:

1: , , ve

ben 2: , ,

φ aralarındaki açıdır (). Şekil 4 şunları gösterir: .

Buradan , veya

Formül (7) kullanılarak, çizgiler arasındaki açılardan biri belirlenebilir. İkinci açı ise .

Misal. y=2x+3 ve y=-3x+2 denklemleriyle iki düz çizgi verilmiştir. bu çizgiler arasındaki açıyı bulunuz.

Karar. K 1 \u003d 2 ve k 2 \u003d-3 denklemlerinden görülebilir. bu değerleri formül (7) ile değiştirerek buluruz

. Yani bu çizgiler arasındaki açı .

İki doğrunun paralellik ve dikliği için koşullar

düz ise 1 ve ben 2 paraleldir, o zaman φ=0 ve tgφ=0. formül (7)'den bunu takip eder, nereden k 2 \u003d k 1. Böylece, iki doğrunun paralelliğinin koşulu, eğimlerinin eşitliğidir.

düz ise 1 ve ben 2 dikey, o zaman φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . . Böylece, iki doğrunun dik olması için koşul, eğimlerinin büyüklük olarak karşılıklı ve işaret olarak zıt olmasıdır.

Noktadan çizgiye uzaklık

Teorem. Bir M(x 0, y 0) noktası verilirse, Ax + Vy + C \u003d 0 çizgisine olan mesafe şu şekilde tanımlanır:

Kanıt. M noktasından verilen doğruya bırakılan dikmenin tabanı M 1 (x 1, y 1) olsun. Sonra M ve M 1 noktaları arasındaki mesafe:

x 1 ve y 1 koordinatları denklem sistemine bir çözüm olarak bulunabilir:

Sistemin ikinci denklemi, verilen bir doğruya dik olarak verilen bir M 0 noktasından geçen bir doğrunun denklemidir.

Sistemin ilk denklemini forma dönüştürürsek:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0 ile + C = 0,

sonra çözerek şunları elde ederiz:

Bu ifadeleri denklem (1) ile değiştirerek şunu buluruz:

Teorem kanıtlanmıştır.

Misal.Çizgiler arasındaki açıyı belirleyin: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tgj= ; j = p/4.

Misal. 3x - 5y + 7 = 0 ve 10x + 6y - 3 = 0 doğrularının dik olduğunu gösterin.

Bulduğumuz: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, bu nedenle çizgiler dik.

Misal. A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) üçgeninin köşeleri verilmiştir. C noktasından çizilen yükseklik için denklemi bulun.

AB tarafının denklemini buluyoruz: ; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

İstenen yükseklik denklemi: Ax + By + C = 0 veya y = kx + b.

k=. O zaman y = . Çünkü yükseklik C noktasından geçer, sonra koordinatları tatmin eder bu denklem: nereden b = 17. Toplam: .

Cevap: 3x + 2y - 34 = 0.

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe, noktadan çizgiye bırakılan dikmenin uzunluğu ile belirlenir.

Çizgi izdüşüm düzlemine paralel ise (h | | P 1), daha sonra noktadan uzaklığı belirlemek için ANCAK düz h noktadan bir dik düşmek gerekir ANCAK yataya h.

Daha fazlasını düşünün karmaşık örnek hat işgal ettiğinde genel pozisyon. Noktadan uzaklığı belirlemek gerekli olsun M düz a genel konum.

Tanım görevi paralel çizgiler arasındaki mesafeleröncekine benzer şekilde çözüldü. Bir doğru üzerinde bir nokta alınır ve ondan başka bir doğruya bir dik çizilir. Dikin uzunluğu paralel çizgiler arasındaki mesafeye eşittir.

İkinci derecenin eğrisi geçerli Kartezyen koordinatlarına göre ikinci dereceden bir denklemle tanımlanan bir çizgidir. Genel durumda, Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F \u003d 0,

burada A, B, C, D, E, F reel sayılardır ve A 2 + B 2 + C 2 ≠0 sayılarından en az biri.

Daire

daire merkezi- bu, C (a, b) düzleminin noktasından eşit uzaklıktaki düzlemdeki noktaların geometrik yeridir.

Çember aşağıdaki denklemle verilir:

x, y daire üzerinde rastgele bir noktanın koordinatları olduğunda, R dairenin yarıçapıdır.

Daire denkleminin işareti

1. x, y ile terim yoktur

2. x 2 ve y 2'deki katsayılar eşittir

Elips

Elips bir düzlemdeki noktaların yeri, her birinin bu düzlemin belirli iki noktasından olan uzaklıklarının toplamına odak (sabit değer) denir.

Bir elipsin kanonik denklemi:

X ve y bir elipse aittir.

a, elipsin ana yarı eksenidir

b, elipsin küçük yarı eksenidir

Elipsin 2 ekseni OX ve OY simetrisi vardır. Elipsin simetri eksenleri eksenleridir, kesişme noktası elipsin merkezidir. Odakların bulunduğu eksene denir. odak ekseni. Elipsin eksenlerle kesişme noktası elipsin tepe noktasıdır.

Sıkıştırma (germe) oranı: ε = c/a- eksantriklik (elipsin şeklini karakterize eder), ne kadar küçükse, elips odak ekseni boyunca o kadar az uzatılır.

Elipsin merkezleri merkezde değilse С(α, β)

Hiperbol

abartma bir düzlemdeki noktaların yeri olarak adlandırılan, her biri bu düzlemin odak adı verilen iki noktasından gelen mesafelerdeki farkın mutlak değeri, sıfırdan farklı sabit bir değerdir.

Bir hiperbolün kanonik denklemi

Bir hiperbolün 2 simetri ekseni vardır:

a - simetrinin gerçek yarım ekseni

b - simetrinin hayali yarım ekseni

Bir hiperbolün asimptotları:

Parabol

parabol odak adı verilen belirli bir F noktasından ve directrix adı verilen belirli bir çizgiden eşit uzaklıkta bulunan bir düzlemdeki noktaların geometrik yeridir.

Kanonik parabol denklemi:

Y 2 \u003d 2px, burada p odaktan directrix'e olan mesafedir (parabol parametresi)

Parabolün tepe noktası C (α, β) ise, parabolün denklemi (y-β) 2 \u003d 2p (x-α)

Odak ekseni y ekseni olarak alınırsa, parabol denklemi şu şekilde olur: x 2 \u003d 2qy

Düz bir çizginin düzlemde denklemi.
Yön vektörü düzdür. Normal vektör

Düz bir çizgi, temel sınıflardan beri size tanıdık gelen en basit geometrik şekillerden biridir ve bugün analitik geometri yöntemlerini kullanarak bununla nasıl başa çıkacağımızı öğreneceğiz. Malzemede ustalaşmak için düz bir çizgi oluşturabilmek gerekir; Hangi denklemin bir düz çizgiyi, özellikle orijinden geçen düz bir çizgiyi ve koordinat eksenlerine paralel düz çizgileri tanımladığını bilir. Bu bilgiler kılavuzda bulunabilir. Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri, Matan için oluşturdum ama lineer fonksiyonla ilgili bölüm çok başarılı ve detaylı çıktı. O yüzden sevgili çaydanlıklar önce orada ısınsın. Ek olarak, sahip olmanız gerekir temel bilgi hakkında vektörler aksi takdirde materyalin anlaşılması eksik olacaktır.

Bu derste, bir düzlemde düz bir çizginin denklemini nasıl yazabileceğinize bakacağız. Pratik örnekleri (çok basit görünse de) ihmal etmemenizi tavsiye ederim, çünkü onlara temel ve önemli gerçekler, yüksek matematiğin diğer bölümleri de dahil olmak üzere gelecekte gerekli olacak teknik yöntemler.

• Eğimli bir doğrunun denklemi nasıl yazılır?
• Nasıl ?
• Düz bir çizginin genel denklemi ile yön vektörü nasıl bulunur?
• Bir nokta ve bir normal vektör verilen bir doğrunun denklemi nasıl yazılır?

ve başlıyoruz:

Eğimli Doğru Denklemi

Düz bir çizgi denkleminin iyi bilinen "okul" biçimine denir. ile doğrunun denklemi eğim faktörü . Örneğin, denklem tarafından düz bir çizgi veriliyorsa, eğimi: . Düşünmek geometrik anlam verilen katsayı ve değerinin hattın konumunu nasıl etkilediği:

Geometri dersinde kanıtlanmıştır ki düz çizginin eğimi bir açının tanjantı pozitif eksen yönü arasındave verilen hat: ve köşe saat yönünün tersine "vidalıdır".

Çizimi dağıtmamak için sadece iki düz çizgi için açılar çizdim. "Kırmızı" düz çizgiyi ve eğimini düşünün. Yukarıdakilere göre: ("alfa" açısı yeşil bir yay ile gösterilir). Eğimli "mavi" düz çizgi için eşitlik doğrudur ("beta" açısı kahverengi yay ile gösterilir). Ve açının tanjantı biliniyorsa, gerekirse bulmak kolaydır. ve köşe ters fonksiyonu kullanarak - ark tanjantı. Dedikleri gibi, elde bir trigonometrik tablo veya bir hesap makinesi. Böylece, eğim, düz çizginin x eksenine eğim derecesini karakterize eder.

Bu durumda, aşağıdaki durumlar mümkündür:

1) Eğim negatif ise: , o zaman çizgi, kabaca konuşursak, yukarıdan aşağıya doğru gider. Örnekler, çizimdeki "mavi" ve "kızıl" düz çizgilerdir.

2) Eğim pozitif ise: , o zaman çizgi aşağıdan yukarıya doğru gider. Örnekler, çizimdeki "siyah" ve "kırmızı" düz çizgilerdir.

3) Eğim sıfıra eşitse: , denklem şeklini alır ve karşılık gelen doğru eksene paraleldir. Bir örnek "sarı" çizgidir.

4) Eksene paralel bir düz çizgi ailesi için (çizimde eksenin kendisi dışında hiçbir örnek yoktur), eğim bulunmuyor (90 derecenin tanjantı tanımlanmadı).

Eğim modülü ne kadar büyük olursa, çizgi grafiği o kadar dik olur.

Örneğin, iki düz çizgi düşünün. Burada düz çizginin eğimi daha diktir. Modülün işareti görmezden gelmenize izin verdiğini hatırlatırım, sadece ilgileniyoruz mutlak değerler açısal katsayılar.

Buna karşılık, düz bir çizgi düz çizgilerden daha diktir. .

Tam tersi: eğim modulo ne kadar küçükse, düz çizgi o kadar düzdür.

Düz çizgiler için eşitsizlik doğrudur, bu nedenle düz çizgi bir gölgelikten daha fazlasıdır. Çürükler ve şişlikler oluşturmamak için çocuk kaydırağı.

Bu neden gerekli?

Eziyetinizi uzatın Yukarıdaki gerçekleri bilmek, hatalarınızı, özellikle de grafik çizerken yapılan hataları hemen görmenizi sağlar - çizim “açıkça bir şeylerin yanlış olduğu” ortaya çıkarsa. arzu edilir hemenörneğin, düz bir çizginin çok dik olduğu ve aşağıdan yukarıya gittiği ve düz bir çizginin çok düz olduğu, eksene yakın olduğu ve yukarıdan aşağıya doğru gittiği açıktı.

Geometrik problemlerde, genellikle birkaç düz çizgi belirir, bu nedenle onları bir şekilde belirtmek uygundur.

gösterim: düz çizgiler küçük ile gösterilir Latin harfleriyle: . Popüler bir seçenek, aynı mektubun doğal aboneliklerle belirtilmesidir. Örneğin, az önce ele aldığımız beş satır şu şekilde gösterilebilir: .

Herhangi bir düz çizgi benzersiz olarak iki nokta tarafından belirlendiğinden, şu noktalarla gösterilebilir: vb. Notasyon oldukça açık bir şekilde noktaların doğruya ait olduğunu ima eder.

Biraz gevşeme zamanı:

Eğimli bir doğrunun denklemi nasıl yazılır?

Belirli bir doğruya ait olan bir nokta ve bu doğrunun eğimi biliniyorsa, bu doğrunun denklemi şu formülle ifade edilir:

örnek 1

Noktanın bu doğruya ait olduğu biliniyorsa, eğimli bir doğrunun denklemini oluşturun.

Karar: Düz bir doğrunun denklemini formüle göre oluşturacağız . Bu durumda:

Cevap:

muayene temel olarak gerçekleştirilir. İlk olarak ortaya çıkan denkleme bakarız ve eğimimizin yerinde olduğundan emin oluruz. İkincisi, noktanın koordinatları verilen denklemi sağlamalıdır. Bunları denklemin içine yerleştirelim:

Doğru eşitlik elde edilir, bu noktanın elde edilen denklemi sağladığı anlamına gelir.

Çözüm: Denklem doğru bulundu.

Kendin yap çözümü için daha zor bir örnek:

Örnek 2

Eksenin pozitif yönüne olan eğim açısının , olduğu ve noktasının bu doğruya ait olduğu biliniyorsa bir doğrunun denklemini yazın.

Sorun yaşıyorsan tekrar oku teorik malzeme. Daha doğrusu, daha pratik, birçok ispatı kaçırıyorum.

çaldı son çağrı, balo öldü ve kapıların dışında Ev okulu aslında analitik geometriyi bekliyoruz. Şakalar bitti... Belki yeni başlıyordur =)

Nostaljik olarak tutamacı tanıdık olana sallıyoruz ve düz bir çizginin genel denklemiyle tanışıyoruz. Analitik geometride kullanımda olan tam olarak budur:

Düz bir çizginin genel denklemi şu şekildedir:: , bazı numaralar nerede. Aynı zamanda, katsayılar eşzamanlı denklem anlamını kaybettiği için sıfıra eşit değildir.

Takım elbise giyelim ve eğimli bir denklem bağlayalım. İlk olarak, tüm terimleri sol tarafa taşıyoruz:

"x" ile gelen terim ilk sıraya konulmalıdır:

Prensip olarak, denklem zaten forma sahiptir, ancak matematiksel görgü kurallarına göre, ilk terimin katsayısı (bu durumda ) pozitif olmalıdır. Değişen işaretler:

Hatırla bunu teknik özellik! İlk katsayıyı (çoğunlukla ) pozitif yaparız!

Analitik geometride, düz bir çizginin denklemi hemen hemen her zaman Genel form. Eh, gerekirse, eğimli bir “okul” formuna getirmek kolaydır (y eksenine paralel düz çizgiler hariç).

Kendimize soralım ne yeterli düz bir çizgi oluşturmayı biliyor musun? İki puan. Ancak bu çocukluk vakası hakkında daha sonra, şimdi ok kuralına bağlı kalıyor. Her düz çizgi, "uyarlanması" kolay olan iyi tanımlanmış bir eğime sahiptir. vektör.

Bir doğruya paralel olan vektöre o doğrunun yön vektörü denir.. Açıktır ki, herhangi bir düz çizginin sonsuz sayıda yön vektörü vardır ve bunların hepsi doğrusal olacaktır (birlikte yönlendirilmiş veya yönlendirilmemiş - önemli değil).

Yön vektörünü aşağıdaki gibi göstereceğim: .

Ancak bir vektör düz bir çizgi oluşturmak için yeterli değildir, vektör serbesttir ve düzlemin herhangi bir noktasına bağlı değildir. Bu nedenle, çizgiye ait bir noktayı bilmek de gereklidir.

Bir nokta ve yön vektörü verilen bir doğrunun denklemi nasıl yazılır?

Doğruya ait belirli bir nokta ve bu doğrunun yönlendirici vektörü biliniyorsa, bu doğrunun denklemi aşağıdaki formülle derlenebilir:

Bazen denir çizginin kanonik denklemi .

ne zaman yapmalı koordinatlardan biri sıfır ise, aşağıda pratik örneklere bakacağız. Bu arada, not - ikisi de aynı anda sıfır vektörü belirli bir yön belirtmediği için koordinatlar sıfır olamaz.

Örnek 3

Bir nokta ve yön vektörü verilen bir doğrunun denklemini yazın

Karar: Bir doğrunun denklemini formüle göre oluşturacağız. Bu durumda:

Oranın özelliklerini kullanarak kesirlerden kurtuluruz:

Ve denklemi getiriyoruz Genel görünüm:

Cevap:

Kural olarak bu tür örneklerde çizim yapmak gerekli değildir, ancak anlayış uğruna:

Çizimde başlangıç ​​noktasını, orijinal yön vektörünü (uçakta herhangi bir noktadan ertelenebilir) ve oluşturulan çizgiyi görüyoruz. Bu arada, çoğu durumda, düz bir çizginin inşası en uygun şekilde eğim denklemi kullanılarak gerçekleştirilir. Denklemimizi forma dönüştürmek kolaydır ve herhangi bir sorun olmadan düz bir çizgi oluşturmak için bir nokta daha alır.

Bölümün başında belirtildiği gibi, bir doğrunun sonsuz sayıda yön vektörü vardır ve bunların hepsi eşdoğrusaldır. Örneğin, böyle üç vektör çizdim: . Hangi yön vektörünü seçersek seçelim, sonuç her zaman aynı düz çizgi denklemi olacaktır.

Düz bir çizginin denklemini bir nokta ve bir yönlendirici vektörle oluşturalım:

Oranı yıkmak:

Her iki tarafı da -2'ye bölün ve tanıdık denklemi elde edin:

Dileyen vektörleri benzer şekilde test edebilir. veya başka herhangi bir doğrusal vektör.

Şimdi ters problemi çözelim:

Düz bir çizginin genel denklemi ile yön vektörü nasıl bulunur?

Çok basit:

Dikdörtgen koordinat sisteminde genel bir denklemle bir düz çizgi verilmişse, vektör bu düz çizginin yön vektörüdür.

Düz doğruların yön vektörlerini bulma örnekleri:

Bu ifade, sonsuz bir kümeden yalnızca bir yön vektörü bulmamızı sağlar, ancak daha fazlasına ihtiyacımız yok. Bazı durumlarda yön vektörlerinin koordinatlarının azaltılması tavsiye edilir:

Bu nedenle, denklem eksene paralel olan düz bir çizgiyi belirtir ve elde edilen yönlendirme vektörünün koordinatları uygun bir şekilde -2'ye bölünür ve yönlendirme vektörü olarak tam olarak temel vektör elde edilir. Mantıken.

Benzer şekilde, denklem eksene paralel düz bir çizgi tanımlar ve vektörün koordinatlarını 5'e bölerek yön vektörü olarak ort'u elde ederiz.

Şimdi yürütelim örnek 3'ü kontrol edin. Örnek yukarı gitti, bu yüzden size burada bir nokta ve bir yön vektörü kullanarak düz bir çizginin denklemini oluşturduğumuzu hatırlatırım.

Her şeyden önce, düz bir çizginin denklemine göre, yönlendirme vektörünü geri yükleriz: - her şey yolunda, orijinal vektörü elde ettik (bazı durumlarda orijinal vektörle aynı doğrultuda olduğu ortaya çıkabilir ve bu genellikle ilgili koordinatların orantılılığıyla kolayca görülebilir).

ikinci olarak, noktanın koordinatları denklemi sağlamalıdır . Bunları denklemde yerine koyarız:

Çok memnun olduğumuz doğru eşitlik elde edildi.

Çözüm: İş doğru şekilde tamamlandı.

Örnek 4

Bir nokta ve yön vektörü verilen bir doğrunun denklemini yazın

Bu bir kendin yap örneğidir. Çözüm ve cevap dersin sonunda. Az önce ele alınan algoritmaya göre bir kontrol yapılması oldukça arzu edilir. Her zaman (mümkünse) bir taslağı kontrol etmeye çalışın. %100 önlenebilecek hatalar yapmak aptalcadır.

Yön vektörünün koordinatlarından birinin sıfır olması durumunda yapılması çok basittir:

Örnek 5

Karar: Sağdaki payda sıfır olduğu için formül geçersizdir. Çıkış var! Oranın özelliklerini kullanarak, formülü formda yeniden yazıyoruz ve geri kalanı derin bir iz boyunca yuvarlandı:

Cevap:

muayene:

1) Düz çizginin yön vektörünü geri yükleyin:
– elde edilen vektör, orijinal yön vektörüyle eşdoğrusaldır.

2) Denklemde noktanın koordinatlarını değiştirin:

Doğru eşitlik elde edilir

Çözüm: iş doğru tamamlandı

Soru ortaya çıkıyor, yine de çalışacak evrensel bir versiyon varsa neden formülle uğraşalım? İki sebep var. İlk olarak, kesirli formül hatırlamak çok daha iyi. İkincisi, evrensel formülün dezavantajı şudur: belirgin şekilde artan karışıklık riski koordinatları değiştirirken.

Örnek 6

Bir nokta ve bir yön vektörü verilen düz bir doğrunun denklemini oluşturun.

Bu bir kendin yap örneğidir.

Her yerde bulunan iki noktaya dönelim:

İki nokta verilen bir doğrunun denklemi nasıl yazılır?

İki nokta biliniyorsa, bu noktalardan geçen düz bir çizginin denklemi aşağıdaki formül kullanılarak derlenebilir:

Aslında bu bir tür formüldür ve işte nedeni: eğer iki nokta biliniyorsa, vektör bu doğrunun yön vektörü olacaktır. derste Aptallar için vektörler düşündük en basit görev– iki noktadan bir vektörün koordinatları nasıl bulunur. Bu probleme göre yön vektörünün koordinatları:

Not : puanlar "takas edilebilir" ve formülü kullanabilir . Böyle bir karar eşit olacaktır.

Örnek 7

İki noktadan bir doğrunun denklemini yazın .

Karar: Şu formülü kullanın:

Paydaları tarıyoruz:

Ve desteyi karıştır:

Artık kurtulma zamanı kesirli sayılar. Bu durumda, her iki parçayı da 6 ile çarpmanız gerekir:

Parantezleri açın ve denklemi akla getirin:

Cevap:

muayene açıktır - ilk noktaların koordinatları ortaya çıkan denklemi sağlamalıdır:

1) Noktanın koordinatlarını değiştirin:

Gerçek eşitlik.

2) Noktanın koordinatlarını değiştirin:

Gerçek eşitlik.

Çözüm: doğrunun denklemi doğrudur.

Eğer bir en az bir puan denklemi sağlamaz, bir hata arayın.

Bu durumda grafik doğrulamanın zor olduğunu belirtmekte fayda var, çünkü bir çizgi oluşturmak ve noktaların ona ait olup olmadığını görmek , çok kolay değil.

Çözümün birkaç teknik noktasını not edeceğim. Belki bu problemde ayna formülünü kullanmak daha avantajlıdır. ve aynı noktalar için bir denklem kurun:

Daha az fraksiyon var. İsterseniz çözümü sonuna kadar tamamlayabilirsiniz, sonuç aynı denklem olmalıdır.

İkinci nokta, nihai cevaba bakmak ve daha da basitleştirilip basitleştirilemeyeceğini görmek. Örneğin, bir denklem elde edilirse, onu ikiye indirmeniz tavsiye edilir: - denklem aynı düz çizgiyi oluşturacaktır. Ancak, bu zaten bir konuşma konusu düz çizgilerin karşılıklı düzenlenmesi.

Bir cevap aldıktan Örnek 7'de, her ihtimale karşı, denklemin TÜM katsayılarının 2, 3 veya 7 ile bölünüp bölünemeyeceğini kontrol ettim. Bununla birlikte, çoğu zaman bu tür indirgemeler çözüm sırasında yapılır.

Örnek 8

noktalarından geçen bir doğrunun denklemini yazınız .

Bu, hesaplama tekniğini daha iyi anlamanıza ve üzerinde çalışmanıza izin verecek bağımsız bir çözüm için bir örnektir.

Önceki paragrafa benzer: formülde ise paydalardan biri (yön vektörü koordinatı) kaybolur, sonra onu olarak yeniden yazarız. Ve yine, ne kadar garip ve kafası karışmış görünmeye başladığına dikkat edin. Pratik örnekler vermekte pek bir anlam görmüyorum, çünkü böyle bir problemi zaten çözmüş durumdayız (bakınız No. 5, 6).

Düz çizgi normal vektörü (normal vektör)

normal nedir? basit kelimelerle, normal diktir. Yani bir doğrunun normal vektörü verilen doğruya diktir. Herhangi bir düz çizginin sonsuz sayıda (yönlendiren vektörlerin yanı sıra) olduğu açıktır ve düz çizginin tüm normal vektörleri eşdoğrusal olacaktır (eş yönlü veya değil - önemli değil).

Onlarla başa çıkmak, yön vektörlerinden daha kolay olacaktır:

Dikdörtgen koordinat sisteminde genel bir denklemle bir düz çizgi verilmişse, vektör bu düz çizginin normal vektörüdür.

Yön vektörünün koordinatlarının denklemden dikkatlice "çıkarılması" gerekiyorsa, normal vektörün koordinatları basitçe "çıkarılabilir".

Normal vektör her zaman doğrunun yön vektörüne diktir. kullanarak bu vektörlerin dikliğini doğrulayacağız. nokta ürün:

Yön vektörü ile aynı denklemlerle örnekler vereceğim:

Bir nokta ve bir normal vektörü bilerek düz bir doğrunun denklemini yazmak mümkün müdür? Bu mümkünmüş gibi hissettiriyor. Normal vektör biliniyorsa, en düz çizginin yönü de benzersiz bir şekilde belirlenir - bu, 90 derecelik bir açıya sahip “sert bir yapıdır”.

Bir nokta ve bir normal vektör verilen bir doğrunun denklemi nasıl yazılır?

Doğruya ait bir nokta ve bu doğrunun normal vektörü biliniyorsa, bu doğrunun denklemi şu formülle ifade edilir:

Burada her şey kesirler ve diğer sürprizler olmadan gitti. Bu bizim normal vektörümüzdür. Sevdim. Ve saygı =)

Örnek 9

Bir nokta ve bir normal vektör verilen düz bir doğrunun denklemini oluşturun. Doğrunun yön vektörünü bulun.

Karar: Şu formülü kullanın:

Düz çizginin genel denklemi elde edilir, kontrol edelim:

1) Normal vektörün koordinatlarını denklemden "çıkarın": - evet, gerçekten de, orijinal vektör koşuldan elde edilir (veya vektör, orijinal vektöre paralel olmalıdır).

2) Noktanın denklemi karşılayıp karşılamadığını kontrol edin:

Gerçek eşitlik.

Denklemin doğru olduğuna ikna olduktan sonra, görevin ikinci, daha kolay kısmını tamamlayacağız. Düz çizginin yön vektörünü çıkarıyoruz:

Cevap:

Çizimde durum şu şekilde:

Eğitim amacıyla, bağımsız bir çözüm için benzer bir görev:

Örnek 10

Bir nokta ve bir normal vektör verilen düz bir doğrunun denklemini oluşturun. Doğrunun yön vektörünü bulun.

Dersin son bölümü, bir düzlemde düz bir çizginin daha az yaygın, ancak aynı zamanda önemli denklem türlerine ayrılacaktır.

Doğrunun segmentler halinde denklemi.
Düz bir çizginin parametrik biçimde denklemi

Segmentlerdeki düz bir çizginin denklemi, sıfır olmayan sabitlerin olduğu forma sahiptir. Bazı denklem türleri bu formda temsil edilemez, örneğin doğrudan orantılılık (çünkü serbest terim sıfırdır ve sağ tarafta bir tane elde etmenin bir yolu yoktur).

Bu, mecazi anlamda "teknik" bir denklem türüdür. Genel görev, düz bir çizginin genel denklemini, düz bir çizginin segmentler halinde bir denklemi olarak temsil etmektir. Neden uygun? Düz bir çizginin segmentlerdeki denklemi, bazı yüksek matematik problemlerinde çok önemli olan düz bir çizginin koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını hızlı bir şekilde bulmanızı sağlar.

Doğrunun eksenle kesiştiği noktayı bulun. “y” yi sıfırlıyoruz ve denklem şeklini alıyor. İstenen nokta otomatik olarak elde edilir: .

eksen ile aynı doğrunun y eksenini kestiği noktadır.

Uzayda düz bir çizginin kanonik denklemleri, verilen bir noktadan bir yön vektörüne doğrusal olarak geçen bir düz çizgiyi tanımlayan denklemlerdir.

Bir nokta ve bir yön vektörü verilsin. Bir çizgi üzerinde rastgele bir nokta bulunur ben sadece vektörler ve eşdoğrusal iseler, yani şu koşulu sağlıyorlarsa:

.

Yukarıdaki denklemler kanonik denklemler Düz.

sayılar m , n ve p yön vektörünün koordinat eksenleri üzerindeki izdüşümleridir. Vektör sıfır olmadığı için tüm sayılar m , n ve p aynı anda sıfır olamaz. Ama bir veya iki tanesi olabilir sıfır. Örneğin analitik geometride aşağıdaki gösterime izin verilir:

,

bu, vektörün eksenlerdeki izdüşümlerinin Oy ve Öz sıfıra eşittir. Bu nedenle, kanonik denklemler tarafından verilen hem vektör hem de düz çizgi eksenlere diktir. Oy ve Öz, yani uçaklar yOz .

örnek 1 Bir düzleme dik uzayda düz bir çizginin denklemlerini oluşturun ve bu düzlemin eksen ile kesişme noktasından geçen Öz .

Karar. Verilen düzlemin eksenle kesişim noktasını bulun Öz. eksen üzerindeki herhangi bir noktadan Öz, koordinatları vardır, o zaman, verilen düzlem denkleminde varsayarsak x=y= 0 , 4 elde ederiz z- 8 = 0 veya z= 2 . Bu nedenle, verilen düzlemin eksen ile kesişme noktası Öz koordinatları vardır (0; 0; 2) . İstenen doğru düzleme dik olduğu için normal vektörüne paraleldir. Bu nedenle, normal vektör, düz çizginin yönlendirici vektörü olarak hizmet edebilir. verilen uçak.

Şimdi noktadan geçen doğrunun istenilen denklemlerini yazıyoruz. A= (0; 0; 2) vektör yönünde:

Verilen iki noktadan geçen bir doğrunun denklemleri

Düz bir çizgi, üzerinde yatan iki nokta ile tanımlanabilir ve Bu durumda doğrunun yönlendirici vektörü vektör olabilir. Sonra çizginin kanonik denklemleri şu şekli alır:

.

Yukarıdaki denklemler, verilen iki noktadan geçen düz bir çizgiyi tanımlar.

Örnek 2 ve noktalarından geçen uzayda bir doğrunun denklemini yazınız.

Karar. Düz doğrunun istenilen denklemlerini teorik referansta yukarıda verilen formda yazıyoruz:

.

, o zaman istenen çizgi eksene dik olduğundan Oy .

Düz düzlemlerin kesiştiği bir çizgi olarak

Uzayda düz bir çizgi, paralel olmayan iki düzlemin kesiştiği bir çizgi olarak ve yani iki doğrusal denklem sistemini karşılayan bir dizi nokta olarak tanımlanabilir.

Sistemin denklemlerine de denir. genel denklemler uzayda düz çizgi.

Örnek 3 Genel denklemler tarafından verilen uzayda düz bir çizginin kanonik denklemlerini oluşturun

Karar. Bir doğrunun kurallı denklemlerini veya aynısı verilen iki noktadan geçen bir doğrunun denklemini yazmak için, doğru üzerindeki herhangi iki noktanın koordinatlarını bulmanız gerekir. Herhangi iki koordinat düzlemi ile düz bir çizginin kesişme noktaları olabilirler, örneğin yOz ve xOz .

Bir doğrunun bir düzlemle kesiştiği nokta yOz apsisi var x= 0 . Bu nedenle, bu denklem sisteminde varsayarsak x= 0 , iki değişkenli bir sistem elde ederiz:

onun kararı y = 2 , z= 6 ile birlikte x= 0 bir noktayı tanımlar A(0; 2; 6) istenen satırın. Verilen denklem sisteminde varsayarsak y= 0, sistemi alıyoruz

onun kararı x = -2 , z= 0 ile birlikte y= 0 bir noktayı tanımlar B(-2; 0; 0) bir doğrunun bir düzlemle kesişimi xOz .

Şimdi noktalardan geçen düz bir doğrunun denklemlerini yazıyoruz. A(0; 2; 6) ve B (-2; 0; 0) :

,

veya paydaları -2'ye böldükten sonra:

,

Doğrunun M 1 (x 1; y 1) ve M 2 (x 2; y 2) noktalarından geçmesine izin verin. M 1 noktasından geçen düz bir çizginin denklemi y- y 1 \u003d şeklindedir. k (x - x 1), (10.6)

nerede k - hala bilinmeyen katsayı.

Düz çizgi M 2 (x 2 y 2) noktasından geçtiğinden, bu noktanın koordinatları denklem (10.6)'yı sağlamalıdır: y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

Buradan bulunan değeri yerine koymayı buluyoruz. k (10.6) denkleminde, M 1 ve M 2 noktalarından geçen düz bir çizginin denklemini elde ederiz:

Bu denklemde x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 olduğu varsayılır.

x 1 \u003d x 2 ise, M 1 (x 1, y I) ve M 2 (x 2, y 2) noktalarından geçen düz çizgi y eksenine paraleldir. onun denklemi x = x 1 .

y 2 \u003d y I ise, düz çizginin denklemi y \u003d y 1 olarak yazılabilir, düz çizgi M 1 M 2 x eksenine paraleldir.

Segmentlerde düz bir çizginin denklemi

Düz çizginin Ox eksenini M 1 (a; 0) noktasında ve Oy eksenini M 2 (0; b) noktasında kesmesine izin verin. Denklem şu şekli alacaktır:
onlar.
. Bu denklem denir segmentlerde düz bir çizginin denklemi, çünkü a ve b sayıları, düz çizginin koordinat eksenlerinde hangi bölümleri kestiğini gösterir..

Belirli bir noktadan belirli bir vektöre dik geçen düz bir çizginin denklemi

Verilen bir Mo (x O; y o) noktasından geçen ve sıfır olmayan bir n = (A; B) vektörüne dik olan bir doğrunun denklemini bulalım.

Düz çizgi üzerinde rastgele bir M(x; y) noktası alın ve M 0 M (x - x 0; y - y o) vektörünü göz önünde bulundurun (bkz. Şekil 1). n ve M o M vektörleri dik olduğundan, bunların skaler çarpımı sıfıra eşittir: yani,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Denklem (10.8) denir belirli bir noktadan belirli bir vektöre dik geçen düz bir çizginin denklemi .

Doğruya dik olan n = (A; B) vektörüne normal denir bu çizginin normal vektörü .

Denklem (10.8) şu şekilde yeniden yazılabilir: Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

A ve B normal vektörün koordinatlarıdır, C \u003d -Ax o - Vu o - ücretsiz üye. Denklem (10.9) düz bir çizginin genel denklemidir(bkz. Şekil 2).

Şekil.1 Şekil.2

Doğrunun kanonik denklemleri

,

Neresi
çizginin geçtiği noktanın koordinatlarıdır ve
- yön vektörü.

İkinci dereceden Çemberin eğrileri

Bir daire, merkez olarak adlandırılan belirli bir noktadan eşit uzaklıktaki bir düzlemin tüm noktalarının kümesidir.

Yarıçaplı bir dairenin kanonik denklemi R bir noktaya odaklanmış
:

Özellikle, bahsin merkezi orijine denk geliyorsa, denklem şöyle görünecektir:

Elips

Bir elips, bir düzlemdeki noktaların her birinden verilen iki noktaya olan uzaklıklarının toplamıdır. ve odak olarak adlandırılan , sabit bir değerdir
, odaklar arasındaki mesafeden daha büyük
.

Odakları Öküz ekseni üzerinde bulunan ve orijini odakları arasında ortada olan bir elipsin kanonik denklemi şu şekildedir:
G de a ana yarım eksenin uzunluğu; b minör yarım eksenin uzunluğudur (Şekil 2).