Tabandaki düzenli bir piramit bir karedir. Piramit ve unsurları
Tanım. Yan yüz- bu, bir açının piramidin tepesinde yer aldığı ve karşı tarafının tabanın (çokgen) tarafıyla çakıştığı bir üçgendir.
Tanım. yan kaburgalar yan yüzlerin ortak yanlarıdır. Bir piramidin bir çokgendeki köşe sayısı kadar kenarı vardır.
Tanım. piramit yüksekliği piramidin tepesinden tabanına düşen bir diktir.
Tanım. özlü söz- bu, piramidin tepesinden tabanın yanına indirilen piramidin yan yüzünün dikidir.
Tanım. diyagonal bölüm- bu, piramidin tepesinden ve tabanın köşegeninden geçen bir düzlem tarafından piramidin bir bölümüdür.
Tanım. doğru piramit- Bu, tabanın düzgün bir çokgen olduğu ve yüksekliğin tabanın merkezine indiği bir piramittir.
Piramidin hacmi ve yüzey alanı
formül. piramit hacmi taban alanı ve yüksekliği ile:
piramit özellikleri
Tüm yan kenarlar eşitse, piramidin tabanının çevresine bir daire çizilebilir ve tabanın merkezi dairenin merkeziyle çakışır. Ayrıca, üstten düşen dik, tabanın (daire) merkezinden geçer.
Tüm yan nervürler eşitse, taban düzlemine aynı açılarda eğimlidirler.
Yan nervürler, taban düzlemi ile oluştuklarında eşittir eşit açılar ya da piramidin tabanı etrafında bir daire çizilebilirse.
Yan yüzler taban düzlemine bir açıyla eğimliyse, piramidin tabanına bir daire çizilebilir ve piramidin tepesi merkezine yansıtılır.
Yan yüzler taban düzlemine bir açıyla eğimliyse, yan yüzlerin özleri eşittir.
Düzenli bir piramidin özellikleri
1. Piramidin tepesi, tabanın tüm köşelerinden eşit uzaklıktadır.
2. Tüm yan kenarlar eşittir.
3. Tüm yan nervürler tabana aynı açılarda eğimlidir.
4. Tüm yan yüzlerin özlü ifadeleri eşittir.
5. Tüm yan yüzlerin alanları eşittir.
6. Tüm yüzler aynı dihedral (düz) açılara sahiptir.
7. Piramidin etrafında bir küre tanımlanabilir. Tanımlanan kürenin merkezi, kenarların ortasından geçen dikmelerin kesişme noktası olacaktır.
8. Bir piramidin içine bir küre yazılabilir. Yazılı kürenin merkezi, kenar ile taban arasındaki açıdan çıkan açıortayların kesişme noktası olacaktır.
9. Yazılı kürenin merkezi çevrelenmiş kürenin merkeziyle çakışıyorsa, tepedeki düz açıların toplamı π'ye eşittir veya tam tersi, bir açı π / n'ye eşittir, burada n sayıdır piramidin tabanındaki açılar.
Piramidin küre ile bağlantısı
Piramidin tabanında, çevresinde bir dairenin tanımlanabileceği bir çokyüzlü bulunduğunda (gerekli ve yeterli bir koşul) piramidin etrafında bir küre tanımlanabilir. Kürenin merkezi, piramidin yan kenarlarının orta noktalarından dik olarak geçen düzlemlerin kesişme noktası olacaktır.
Bir küre her zaman herhangi bir üçgen veya düzenli piramidin etrafında tanımlanabilir.
Piramidin iç dihedral açılarının açıortay düzlemleri bir noktada kesişiyorsa (gerekli ve yeterli bir koşul) bir piramide bir küre yazılabilir. Bu nokta kürenin merkezi olacaktır.
Piramidin koni ile bağlantısı
Köşeleri çakışıyorsa ve koninin tabanı piramidin tabanında yazılıysa, bir koniye piramidin içinde yazılı denir.
Piramidin özleri eşitse, bir piramide bir koni yazılabilir.
Köşeleri çakışıyorsa ve koninin tabanı piramidin tabanı etrafında çevreleniyorsa, bir koniye piramidin etrafında çevrelenmiş denir.
Piramidin tüm yan kenarları birbirine eşitse, bir piramidin etrafında bir koni tanımlanabilir.
Piramidin silindir ile bağlantısı
Piramidin tepesi silindirin bir tabanında yer alıyorsa ve piramidin tabanı silindirin başka bir tabanında yazılıysa, bir piramidin silindire yazılı olduğu söylenir.
Piramidin tabanı etrafında bir daire çevrelenebiliyorsa, bir silindir bir piramidin etrafında çevrelenebilir.
Bir tetrahedron dört yüze ve dört köşeye ve herhangi iki kenarın ortak köşeleri olmadığı ancak temas etmediği altı kenara sahiptir.
Her tepe noktası, aşağıdakileri oluşturan üç yüz ve kenardan oluşur. üç yüzlü açı.
Tetrahedronun tepe noktasını karşı yüzün merkezine bağlayan doğru parçasına denir. tetrahedronun medyanı(GM).
Bimedyan birbirine değmeyen karşılıklı kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçasına (KL) denir.
Bir tetrahedronun tüm bimedyanları ve medyanları bir noktada (S) kesişir. Bu durumda, bimedyanlar ikiye bölünür ve medyanlar üstten başlayarak 3: 1 oranındadır.
Tanım. Akut Açılı Piramitözlü sözün, tabanın kenarının yarısından fazla olduğu bir piramittir.
Tanım. geniş piramitözlü sözün, tabanın kenarının yarısından daha az olduğu bir piramittir.
Tanım. düzenli tetrahedron Dört yüzü eşkenar üçgen olan bir tetrahedron. Beş düzgün çokgenden biridir. Düzgün bir dörtyüzlüde, tüm dihedral açılar (yüzler arasında) ve üçyüzlü açılar (bir tepe noktasında) eşittir.
Tanım. dikdörtgen tetrahedron tepe noktasında üç kenar arasında dik açıya sahip olan bir tetrahedron denir (kenarlar diktir). Üç yüz formu dikdörtgen üçgen açı ve kenarlar dik üçgenler, ve taban keyfi bir üçgendir. Herhangi bir yüzün özü, özün düştüğü tabanın kenarının yarısına eşittir.
Tanım. izohedral tetrahedron Yan yüzlerin birbirine eşit olduğu ve tabanın düzenli bir üçgen olduğu bir tetrahedron denir. Böyle bir tetrahedronun yüzleri ikizkenar üçgenlerdir.
Tanım. ortosentrik tetrahedron Yukarıdan zıt yüze indirilen tüm yüksekliklerin (diklikler) bir noktada kesiştiği bir tetrahedron denir.
Tanım. yıldız piramidi Tabanı yıldız olan çokyüzlüye denir.
Burada piramitler ve ilgili formüller ve kavramlar hakkında temel bilgiler toplanmıştır. Hepsi sınava hazırlanırken bir matematik öğretmeni ile birlikte çalışılır.
Bir düzlem, bir çokgen düşünün 
içinde yatan ve içinde olmayan bir S noktası. S'yi çokgenin tüm köşelerine bağlayın. Ortaya çıkan çokyüzlüye piramit denir. Segmentlere yan kenarlar denir. 
Çokgene taban, S noktasına piramidin tepesi denir. Piramit n sayısına bağlı olarak üçgen (n=3), dörtgen (n=4), beşgen (n=5) vb. alternatif başlıkÜçgen piramit - tetrahedron. Bir piramidin yüksekliği, tepesinden taban düzlemine çizilen dikeydir. 
Bir piramit eğer doğru denir düzenli bir çokgen ve piramidin yüksekliğinin tabanı (dikeyin tabanı) merkezidir.
öğretmenin yorumu:
"Düzenli piramit" ve "düzenli tetrahedron" kavramını karıştırmayın. Düzenli bir piramitte, yan kenarlar mutlaka tabanın kenarlarına eşit değildir, ancak düzenli bir dörtyüzlüde kenarların 6 kenarı da eşittir. Bu onun tanımı. Eşitliğin, çokgenin merkezinin P olduğunu ima ettiğini kanıtlamak kolaydır. bir yükseklik tabanı ile, yani düzenli bir tetrahedron düzenli bir piramittir.
apothem nedir?
Bir piramidin özü, yan yüzünün yüksekliğidir. Piramit düzenliyse, tüm özdeyişleri eşittir. Tersi doğru değil. 
Matematik öğretmeni terminolojisi hakkında: piramitlerle çalışmak, %80'i iki tür üçgen aracılığıyla inşa edilmiştir:
1) Özdeyiş SK ve yükseklik SP içerir
2) SA yan kenarını ve PA çıkıntısını içeren 
Bu üçgenlere referansları basitleştirmek için, bir matematik öğretmeninin bunlardan ilkini adlandırması daha uygundur. apotemik, ve ikinci kıyı. Ne yazık ki, bu terminolojiyi hiçbir ders kitabında bulamazsınız ve öğretmenin bunu tek taraflı olarak tanıtması gerekir.
Piramit hacim formülü:
1) 
, piramidin tabanının alanı ve piramidin yüksekliği nerede
2) , yazılı kürenin yarıçapı nerede ve piramidin toplam yüzey alanıdır.
3) 
, burada MN, herhangi iki kesişen kenarın mesafesidir ve kalan dört kenarın orta noktaları tarafından oluşturulan paralelkenarın alanıdır.
Piramit Yükseklik Taban Özelliği:
Aşağıdaki koşullardan biri karşılanırsa, P noktası (şekle bakın), piramidin tabanında yazılı dairenin merkeziyle çakışır:
1) Bütün apotemler eşittir
2) Tüm yan yüzler tabana doğru eşit şekilde eğimlidir.
3) Tüm özdeyişler, piramidin yüksekliğine eşit derecede eğimlidir.
4) Piramidin yüksekliği tüm yan yüzlere eşit eğimlidir.
Matematik öğretmeninin yorumu: tüm öğelerin tek tek birleştirildiğini unutmayın ortak mülk: öyle ya da böyle, yan yüzler her yere katılır (özetler onların unsurlarıdır). Bu nedenle, öğretmen ezberleme için daha az kesin, ancak daha uygun bir formül sunabilir: P noktası, yan yüzleri hakkında herhangi bir eşit bilgi varsa, yazılı dairenin merkezi, piramidin tabanı ile çakışır. Bunu kanıtlamak için, tüm apothemik üçgenlerin eşit olduğunu göstermek yeterlidir.
Üç koşuldan biri doğruysa, P noktası, piramidin tabanına yakın çevrelenmiş dairenin merkeziyle çakışır:
1) Tüm yan kenarlar eşittir
2) Tüm yan nervürler tabana doğru eşit şekilde eğimlidir.
3) Tüm yan nervürler yüksekliğe eşit eğimlidir
Piramit. kesik piramit
Piramit yüzlerinden biri çokgen olan çokyüzlü olarak adlandırılır ( temel ) ve diğer tüm yüzler ortak bir tepe noktasına sahip üçgenlerdir ( yan yüzler ) (Şek. 15). piramit denir doğru , tabanı düzenli bir çokgen ise ve piramidin tepesi tabanın merkezine yansıtılırsa (Şek. 16). Tüm kenarları eşit olan üçgen piramit denir tetrahedron .
yan kaburga piramit, yan yüzün tabana ait olmayan tarafına denir. Yükseklik piramit, tepesinden taban düzlemine olan mesafedir. Düzgün bir piramidin tüm yan kenarları birbirine eşittir, tüm yan yüzler eşit ikizkenar üçgenlerdir. Köşeden çizilen düzgün bir piramidin yan yüzünün yüksekliğine denir. özlü söz . diyagonal bölüm Piramidin bir bölümüne, aynı yüze ait olmayan iki yan kenardan geçen düzlem denir.
yan yüzey alanı Piramit, tüm yan yüzlerin alanlarının toplamı olarak adlandırılır. Tam yüzey alanı tüm yan yüzlerin ve tabanın alanlarının toplamıdır.
teoremler
1. Bir piramitte tüm yan kenarlar taban düzlemine eşit derecede eğimliyse, piramidin tepesi, tabanın yakınındaki çevrelenmiş dairenin merkezine yansıtılır.
2. Piramidin tüm yan kenarları eşit uzunluklara sahipse, piramidin tepesi, tabanın yakınında çevrelenmiş dairenin merkezine yansıtılır.
3. Piramidin tüm yüzleri taban düzlemine eşit eğimliyse, piramidin tepesi tabanda yazılı dairenin merkezine yansıtılır.
Rastgele bir piramidin hacmini hesaplamak için formül doğrudur:
nerede V- Ses;
ana- taban alanı;
H piramidin yüksekliğidir.
Düzenli bir piramit için aşağıdaki formüller doğrudur:
nerede p- tabanın çevresi;
bir- özlü söz;
H- yükseklik;
S dolu
S tarafı
ana- taban alanı;
V düzgün bir piramidin hacmidir.
kesik piramit taban ile piramidin tabanına paralel olan kesme düzlemi arasında kalan piramidin parçası olarak adlandırılır (Şekil 17). Doğru kesik piramit düzgün bir piramidin, tabanı ile tabanına paralel bir kesme düzlemi arasında kalan parçası olarak adlandırılır.
Vakıflar kesik piramit - benzer çokgenler. yan yüzler - yamuk. Yükseklik kesik piramit, tabanları arasındaki mesafe olarak adlandırılır. Diyagonal Kesik bir piramit, aynı yüzde yer almayan köşelerini birleştiren bir segmenttir. diyagonal bölüm Kesik bir piramidin bir bölümüne, aynı yüze ait olmayan iki yan kenardan geçen bir düzlem denir.
Kesik bir piramit için formüller geçerlidir:
(4)
nerede S 1 , S 2 - üst ve alt tabanların alanları;
S dolu toplam yüzey alanıdır;
S tarafı yan yüzey alanıdır;
H- yükseklik;
V kesik piramidin hacmidir.
Düzenli bir kesik piramit için aşağıdaki formül doğrudur:
nerede p 1 , p 2 - taban çevreleri;
bir- düzenli bir kesik piramidin özü.
örnek 1 Düzgün üçgen piramitlerde tabandaki dihedral açı 60º'dir. Yan kenarın taban düzlemine eğim açısının tanjantını bulun.
Karar. Bir çizim yapalım (Şek. 18).
 |
Piramit düzenlidir, bu, tabanın bir eşkenar üçgen olduğu ve tüm yan yüzlerin eşit ikizkenar üçgenler olduğu anlamına gelir. Tabandaki dihedral açı, piramidin yan yüzünün taban düzlemine olan eğim açısıdır. Doğrusal açı açı olacaktır a iki dikme arasında: yani. Piramidin tepesi üçgenin merkezine yansıtılır (sınırlandırılmış dairenin merkezi ve üçgendeki yazılı daire ABC). Yan nervürün eğim açısı (örneğin SB) kenarın kendisi ile taban düzlemine izdüşümü arasındaki açıdır. kaburga için SB bu açı açı olacak SBD. Teğeti bulmak için bacakları bilmeniz gerekir. BÖYLE ve OB. Segmentin uzunluğu olsun BD 3 a. nokta Öçizgi segmenti BD parçalara ayrılır: ve BÖYLE: 
Bulduğumuz: 
Cevap:
Örnek 2 Tabanlarının köşegenleri cm ve cm ve yüksekliği 4 cm ise düzgün bir kesik dörtgen piramidin hacmini bulun.
Karar. Kesik bir piramidin hacmini bulmak için formül (4)'ü kullanırız. Tabanların alanlarını bulmak için köşegenlerini bilerek taban karelerinin kenarlarını bulmanız gerekir. Tabanların kenarları sırasıyla 2 cm ve 8 cm'dir Bu, tabanların alanları anlamına gelir ve Tüm verileri formüle koyarak, kesilmiş piramidin hacmini hesaplarız:
Cevap: 112 cm3.
Örnek 3 Tabanlarının kenarları 10 cm ve 4 cm olan ve piramidin yüksekliği 2 cm olan düzgün bir üçgen kesik piramidin yan yüzünün alanını bulun.
Karar. Bir çizim yapalım (Şekil 19).
Bu piramidin yan yüzü bir ikizkenar yamuktur. Bir yamuğun alanını hesaplamak için tabanları ve yüksekliği bilmeniz gerekir. Bazlar duruma göre verilmiştir, sadece yükseklik bilinmemektedir. Nereden bul ANCAK 1 E bir noktadan dik ANCAK 1 alt tabanın düzleminde, A 1 D- dik ANCAK 1 AC. ANCAK 1 E\u003d 2 cm, çünkü bu piramidin yüksekliğidir. Bulmak için DEüstten görünümü tasvir edeceğimiz ek bir çizim yapacağız (Şek. 20). Nokta Ö- üst ve alt tabanların merkezlerinin izdüşümü. beri (bkz. Şekil 20) ve Öte yandan TAMAM yazılı dairenin yarıçapı ve 
OM yazılı dairenin yarıçapı:
MK=DE.
Pisagor teoremine göre
Yan yüz alanı: 
Cevap:
Örnek 4 Piramidin tabanında, tabanları olan bir ikizkenar yamuk bulunur. a ve b (a> b). Her bir yan yüz, piramidin tabanının düzlemine eşit bir açı oluşturur. j. Piramidin toplam yüzey alanını bulun.
Karar. Bir çizim yapalım (Şek. 21). Piramidin toplam yüzey alanı SABCD alanların toplamına ve yamuğun alanına eşittir ABCD.
Piramidin tüm yüzleri taban düzlemine eşit derecede eğimliyse, tepe noktası tabanda yazılı dairenin merkezine yansıtılır ifadesini kullanalım. Nokta Ö- köşe projeksiyonu S piramidin tabanında. Üçgen SODüçgenin ortogonal izdüşümüdür CSD temel düzleme. Düz bir figürün ortogonal izdüşümü alanındaki teoreme göre şunları elde ederiz:
Benzer şekilde, şu anlama gelir 
Böylece sorun yamuğun alanını bulmaya indirgendi. ABCD. Bir yamuk çiz ABCD ayrı olarak (Şek. 22). Nokta Ö yamukta yazılı bir dairenin merkezidir.
Bir daire bir yamuğun içine yazılabileceğinden, o zaman veya Pisagor teoremine göre
Geometrik problemlerde sıklıkla görülen üç boyutlu bir şekil bir piramittir. Bu sınıfın tüm figürlerinin en basiti üçgendir. Bu yazıda, doğru olanın temel formüllerini ve özelliklerini ayrıntılı olarak analiz edeceğiz.
Figürün geometrik gösterimleri
Düzenli bir üçgen piramidin özelliklerini incelemeye geçmeden önce, hangi figürden bahsettiğimize daha yakından bakalım.
Üç boyutlu uzayda keyfi bir üçgen olduğunu varsayalım. Bu uzayda üçgenin düzleminde yer almayan herhangi bir noktayı seçiyoruz ve onu üçgenin üç köşesine bağlıyoruz. Üçgen bir piramitimiz var.
Hepsi üçgen olan 4 kenardan oluşur. Üç yüzün birleştiği noktalara köşeler denir. Şekilde ayrıca dört tane var. İki yüzün kesişim çizgileri kenarlardır. İncelenen piramidin 6 kaburgası vardır Aşağıdaki şekil bu şekle bir örnek göstermektedir.
Şekil dört kenardan oluştuğu için tetrahedron olarak da adlandırılır.
doğru piramit
Yukarıda, üçgen tabanlı keyfi bir figür düşünülmüştür. Şimdi piramidin tepesinden tabanına dik bir çizgi çizdiğimizi varsayalım. Bu segmente yükseklik denir. 4 harcamanın mümkün olduğu açıktır. farklı yükseklikler rakam için. Yükseklik geometrik merkezdeki üçgen tabanı kesiyorsa, böyle bir piramit düz piramit olarak adlandırılır.
Tabanı eşkenar üçgen olan düz piramitlere düzgün piramit denir. Onun için üç üçgenin tamamı yan yüzey rakamlar ikizkenar ve birbirine eşittir. Düzenli piramidin özel bir durumu, dört kenarının da eşkenar aynı üçgenler olduğu durumdur.
Düzenli bir üçgen piramidin özelliklerini düşünün ve parametrelerini hesaplamak için uygun formülleri verin.
Taban tarafı, yükseklik, yan kenar ve özlü söz
Listelenen parametrelerden herhangi ikisi, diğer iki özelliği benzersiz şekilde belirler. Adlandırılmış miktarları birbirine bağlayan formüller veriyoruz.
Normal bir üçgen piramidin tabanının kenarının a olduğunu varsayalım. Yan kenarının uzunluğu b'ye eşittir. Düzenli bir üçgen piramidin ve onun özdeyişinin yüksekliği ne olacaktır?
h yüksekliği için şu ifadeyi alırız:
Bu formül, yan kenar, yükseklik ve taban yüksekliğinin 2/3'ü olan Pisagor teoreminden gelir.
Bir piramidin özü, herhangi bir yan üçgenin yüksekliğidir. Apotema a b'nin uzunluğu:
a b \u003d √ (b 2 - a 2 / 4)
Bu formüllerden, düzgün bir üçgen piramidin tabanının kenarı ve yan kenarının uzunluğu ne olursa olsun, apotema'nın her zaman olacağı görülebilir. daha fazla yükseklik piramitler.
Sunulan iki formül, dört doğrusal özellikler söz konusu rakam. Bu nedenle bilinen ikisinden kalanını yazılı eşitliklerden sistemi çözerek bulabilirsiniz.
şekil hacmi
Kesinlikle herhangi bir piramit için (eğimli olanlar dahil), onunla sınırlanan alanın hacminin değeri, şeklin yüksekliği ve tabanının alanı bilinerek belirlenebilir. İlgili formül şöyle görünür:
Bu ifadeyi söz konusu şekle uygulayarak aşağıdaki formülü elde ederiz:
Düzgün bir üçgen piramidin yüksekliği h ve taban tarafı a olduğunda.
Tüm kenarların birbirine eşit olduğu ve eşkenar üçgenleri temsil ettiği bir tetrahedronun hacmi için bir formül elde etmek zor değildir. Bu durumda, şeklin hacmi aşağıdaki formülle belirlenir:
Yani, a kenarının uzunluğu tarafından benzersiz olarak belirlenir.
Yüzey alanı
Üçgen bir düzenli piramidin özelliklerini düşünmeye devam ediyoruz. Toplam alanı bir şeklin tüm yüzlerinin toplamına yüzey alanı denir. İlgili gelişmeyi dikkate alarak ikincisini incelemek uygundur. Aşağıdaki şekil, normal bir üçgen piramidin neye benzediğini göstermektedir.
Şeklin h yüksekliğini ve a tabanının kenarını bildiğimizi varsayalım. O zaman tabanının alanı şuna eşit olacaktır:
Her öğrenci, bir üçgenin alanını nasıl bulacağını hatırlarsa ve aynı zamanda bir eşkenar üçgenin yüksekliğinin de bir ortay ve bir medyan olduğunu hesaba katarsa bu ifadeyi alabilir.
Üç özdeş ikizkenar üçgenin oluşturduğu yan yüzeyin alanı:
S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a
Bu eşitlik, piramidin apotemasının tabanın yüksekliği ve uzunluğu cinsinden ifadesinden kaynaklanmaktadır.
Şeklin toplam yüzey alanı:
S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a
Dört kenarı da aynı eşkenar üçgen olan bir tetrahedron için, S alanının şuna eşit olacağına dikkat edin:
Düzenli bir kesik üçgen piramidin özellikleri
Düşünülen üçgen piramidin tepesi tabana paralel bir düzlem tarafından kesilirse, kalan Alt kısım kesik piramit olarak adlandırılacaktır.
Üçgen bir taban olması durumunda, açıklanan kesit yönteminin bir sonucu olarak, yine eşkenar olan ancak taban kenarından daha küçük bir kenar uzunluğuna sahip olan yeni bir üçgen elde edilir. kesilmiş Üçgen piramit aşağıda gösterilen.
Bu rakamın zaten iki üçgen taban ve üç ikizkenar yamuk ile sınırlandığını görüyoruz.
Ortaya çıkan şeklin yüksekliğinin h olduğunu, alt ve üst tabanların kenarlarının uzunluklarının sırasıyla a 1 ve a 2 olduğunu ve özdeyişin (yamuğun yüksekliği) a b'ye eşit olduğunu varsayalım. Daha sonra kesilmiş piramidin yüzey alanı aşağıdaki formülle hesaplanabilir:
S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4*(a 1 2 + a 2 2)
Burada birinci terim yan yüzeyin alanı, ikinci terim üçgen tabanların alanıdır.
Şeklin hacmi aşağıdaki gibi hesaplanır:
V = √3/12*h*(a 1 2 + 2 2 + 1 *a 2)
Kesik bir piramidin özelliklerini açık bir şekilde belirlemek için, yukarıdaki formüllerle gösterilen üç parametresini bilmek gerekir.
Tanıtım
Stereometrik figürleri incelemeye başladığımızda "Piramit" konusuna değindik. Bu temayı beğendik çünkü piramit mimaride çok sık kullanılıyor. ve bizim beri Geleceğin Mesleği Bu figürden ilham alan mimar, bizi büyük projelere itebileceğini düşünüyoruz.
Mimari yapıların gücü, en önemli kalitesi. Gücü, ilk olarak, oluşturuldukları malzemelerle ve ikinci olarak, özelliklerle ilişkilendirme yapıcı çözümler, yapının gücünün, onun için temel olan geometrik şekil ile doğrudan ilişkili olduğu ortaya çıktı.
Başka bir deyişle, Konuşuyoruz karşılık gelen mimari formun bir modeli olarak kabul edilebilecek bu geometrik şekil hakkında. Geometrik şeklin mimari yapının gücünü de belirlediği ortaya çıktı.
Mısır piramitleri uzun zamandır en dayanıklı mimari yapı olarak kabul edildi. Bildiğiniz gibi, düzenli dörtgen piramitler şeklindedirler.
Geniş taban alanı nedeniyle en büyük stabiliteyi sağlayan bu geometrik şekildir. Öte yandan piramidin şekli, yerden yükseklik arttıkça kütlenin azalmasını sağlar. Piramidi kararlı ve dolayısıyla yerçekimi koşullarında güçlü kılan bu iki özelliktir.
Projenin amacı: piramitler hakkında yeni bir şeyler öğrenin, bilgiyi derinleştirin ve pratik uygulamalar bulun.
Bu hedefe ulaşmak için aşağıdaki görevleri çözmek gerekiyordu:
Piramit hakkında tarihi bilgileri öğrenin
Piramidi geometrik bir figür olarak düşünün
Yaşamda ve mimaride uygulama bulun
Bulunan piramitler arasındaki benzerlikleri ve farklılıkları bulun. farklı parçalar Sveta
teorik kısım
Piramidin geometrisinin başlangıcı eski Mısır ve Babil'de atıldı, ancak aktif olarak geliştirildi. Antik Yunan. Piramidin hacminin neye eşit olduğunu belirleyen ilk kişi Demokritos'tu ve Knidoslu Eudoxus bunu kanıtladı. Antik Yunan matematikçi Öklid, "Başlangıçlar" kitabının XII. cildinde piramit hakkındaki bilgileri sistematize etti ve ayrıca piramidin ilk tanımını ortaya çıkardı: bir noktada bir düzlemden birleşen düzlemlerle sınırlanan bedensel bir figür.
Mısır firavunlarının mezarları. Bunların en büyüğü - eski zamanlarda El Giza'daki Cheops, Khafre ve Mikerin piramitleri, Dünyanın Yedi Harikasından biri olarak kabul edildi. Yunanlıların ve Romalıların, tüm Mısır halkını anlamsız inşaata mahkum eden, kralların ve zulmün eşi görülmemiş gururuna bir anıt gördükleri piramidin dikilmesi, en önemli kült eylemdi ve görünüşe göre, ifade etmesi gerekiyordu: ülkenin mistik kimliği ve hükümdarı. Ülkenin nüfusu, yılın tarım işlerinden muaf olan bölümünde türbenin yapımında çalıştı. Bazı metinler, kralların kendilerinin (daha sonra da olsa) mezarlarının ve inşaatçılarının inşasına gösterdikleri dikkat ve özene tanıklık eder. Piramidin kendisi olduğu ortaya çıkan özel kült onurları hakkında da bilinir.
Temel konseptler
Piramit Tabanı bir çokgen olan bir çokyüzlü denir ve kalan yüzler ortak bir tepe noktasına sahip üçgenlerdir.
özlü söz- düzenli bir piramidin tepesinden çizilen yan yüzünün yüksekliği;
yan yüzler- üstte birleşen üçgenler;
yan kaburgalar- yan yüzlerin ortak yanları;
piramidin tepesi- yan kenarları birleştiren ve taban düzleminde yatmayan bir nokta;
Yükseklik- piramidin tepesinden tabanının düzlemine çizilen bir dik parça (bu parçanın uçları piramidin tepesi ve dikin tabanıdır);
Piramidin çapraz kesiti- piramidin üstten ve tabanın köşegeninden geçen bölümü;
Temel- piramidin tepesine ait olmayan bir çokgen.
Doğru piramidin ana özellikleri
Yan kenarlar, yan yüzler ve özdeyişler sırasıyla eşittir.
Tabandaki dihedral açılar eşittir.
Yan kenarlardaki dihedral açılar eşittir.
Her yükseklik noktası, tüm taban köşelerinden eşit uzaklıktadır.
Her yükseklik noktası, tüm yan yüzlerden eşit uzaklıktadır.
Temel piramit formülleri
Piramidin yan ve tam yüzeyinin alanı.
Piramidin yan yüzeyinin alanı (dolu ve kesik), tüm yan yüzlerinin alanlarının toplamıdır, toplam yüzey alanı tüm yüzlerinin alanlarının toplamıdır.
Teorem: Düzenli bir piramidin yan yüzeyinin alanı, tabanın çevresinin çarpımının yarısına ve piramidin özetine eşittir.
p- tabanın çevresi;
h- özlü söz.
Kesik bir piramidin yan ve tam yüzeylerinin alanı.
p1, p 2 - taban çevreleri;
h- özlü söz.
R- düzenli bir kesik piramidin toplam yüzey alanı;
S tarafı- düzenli bir kesik piramidin yan yüzeyinin alanı;
S1 + S2- taban alanı
Piramit Hacmi
Biçim Hacim ölçeği her türlü piramit için kullanılır.
H piramidin yüksekliğidir.
Piramidin açıları
Piramidin yan yüzü ve tabanının oluşturduğu açılara piramidin tabanında dihedral açılar denir.
Bir dihedral açı, iki dikey tarafından oluşturulur.
Bu açıyı belirlemek için genellikle üç dik teoremini kullanmanız gerekir..
Bir yan kenarın oluşturduğu açılara ve taban düzlemine izdüşümü denir. yan kenar ile taban düzlemi arasındaki açılar.
İki yan yüzün oluşturduğu açıya denir. piramidin yan kenarındaki dihedral açı.
Piramidin bir yüzünün iki yan kenarının oluşturduğu açıya denir. piramidin tepesindeki köşe.
Piramidin bölümleri
Bir piramidin yüzeyi, bir polihedronun yüzeyidir. Yüzlerinin her biri bir düzlemdir, dolayısıyla piramidin kesen düzlem tarafından verilen bölümü, ayrı düz çizgilerden oluşan kesikli bir çizgidir.
diyagonal bölüm
Bir düzlemin aynı yüz üzerinde olmayan iki yan kenarından geçen bir piramidin kesitine denir. diyagonal bölüm piramitler.
paralel bölümler
teorem:
Piramit tabana paralel bir düzlemle çaprazlanırsa, piramidin yan kenarları ve yükseklikleri bu düzlem tarafından orantılı parçalara bölünür;
Bu düzlemin kesiti tabana benzer bir çokgendir;
Kesit ve taban alanları, üstten uzaklıklarının kareleri olarak birbiriyle ilişkilidir.
piramit türleri
doğru piramit- tabanı düzenli bir çokgen olan ve piramidin tepesi tabanın merkezine yansıtılan bir piramit.
Doğru piramitte:
1. yan kaburgalar eşittir
2. yan yüzler eşittir
3. özlü sözler eşittir
4. tabandaki dihedral açılar eşittir
5. yan kenarlardaki dihedral açılar eşittir
6. her yükseklik noktası, tüm taban köşelerinden eşit uzaklıktadır
7. her yükseklik noktası tüm yan yüzlerden eşit uzaklıktadır
kesik piramit- piramidin tabanı ile tabana paralel bir kesme düzlemi arasında kalan kısmı.
Kesik piramidin tabanına ve karşılık gelen bölümüne denir. kesik bir piramidin tabanları.
Bir tabanın herhangi bir noktasından diğerinin düzlemine çizilen dikme denir kesilmiş piramidin yüksekliği.
Görevler
1. Sağda dörtgen piramit O noktası tabanın merkezi, SO=8 cm, BD=30 cm SA yan kenarını bulun.
Problem çözme
1. AT sağ piramit tüm yüzler ve kenarlar eşittir.
OSB'yi ele alalım: OSB-dikdörtgen çünkü.
SB 2 \u003d SO 2 + OB 2
SB2=64+225=289
mimaride piramit
Piramit - içinde sıradan bir düzenli geometrik piramit şeklinde anıtsal bir yapı. taraf bir noktada birleşir. İşlevsel amacına göre, eski zamanlarda piramitler bir mezar veya ibadet yeriydi. Bir piramidin tabanı üçgen, dörtgen veya keyfi sayıda köşesi olan çokgen olabilir, ancak en yaygın versiyonu dörtgen tabandır.
Önemli sayıda piramit bilinmektedir, inşa edilmiştir. farklı kültürler Antik Dünyaçoğunlukla tapınaklar veya anıtlar olarak. En büyük piramitler Mısır piramitleridir.
Dünyanın her yerinde piramit şeklindeki mimari yapıları görebilirsiniz. Piramit binaları eski zamanları andırıyor ve çok güzel görünüyor.
Mısır piramitleri En büyük mimari anıtlar Antik Mısır, "Dünyanın Yedi Harikası" ndan biri olan Keops piramidi. Ayaktan tepeye 137.3 m'ye ulaşır ve tepeyi kaybetmeden önce yüksekliği 146.7 m idi.
Slovakya'nın başkentindeki radyo istasyonunun ters çevrilmiş piramidi andıran binası 1983 yılında inşa edilmiştir. Ofisler ve hizmet binalarının yanı sıra, hacmin içinde Slovakya'nın en büyük orglarından birine sahip oldukça geniş bir konser salonu bulunmaktadır. .
"Bir piramit kadar sessiz ve heybetli" olan Louvre, dünyanın en büyük müzesi olmadan önce yüzyıllar boyunca birçok değişikliğe uğramıştır. 1190'da Philip Augustus tarafından dikilen ve kısa süre sonra kraliyet ikametgahına dönüşen bir kale olarak doğdu. 1793'te saray müze oldu. Koleksiyonlar, vasiyet veya satın alma yoluyla zenginleştirilir.
