Koninin toplam yüzey alanını bulun. Koninin yanal ve tam yüzeyinin alanı

Koninin ne olduğunu biliyoruz, hadi yüzey alanını bulmaya çalışalım. Neden böyle bir sorunu çözmek gerekiyor? Örneğin, ne kadar olduğunu anlamanız gerekir. test gidecek waffle külahı yapmak için? Veya bir kalenin tuğla çatısını döşemek için kaç tuğla gerekir?

Bir koninin yan yüzey alanını ölçmek kolay değildir. Ama aynı boynuzun beze sarıldığını hayal edin. Bir kumaş parçasının alanını bulmak için kesip masanın üzerine yaymanız gerekir. Düz bir rakam elde ederiz, alanını bulabiliriz.

Pirinç. 1. Generatrix boyunca koninin kesiti

Aynı şeyi koni ile yapalım. Örneğin, herhangi bir generatrix boyunca yan yüzeyini "keselim" (bkz. Şekil 1).

Şimdi yan yüzeyi bir düzleme “gevşetiyoruz”. Bir sektör alıyoruz. Bu sektörün merkezi koninin tepesidir, sektörün yarıçapı koninin generatrisine eşittir ve yayının uzunluğu koninin tabanının çevresi ile çakışır. Böyle bir sektöre koninin yan yüzeyinin gelişimi denir (bkz. Şekil 2).

Pirinç. 2. Yan yüzeyin gelişimi

Pirinç. 3. Radyan cinsinden açı ölçümü

Mevcut verilere göre sektörün alanını bulmaya çalışalım. İlk olarak, bir gösterim sunalım: sektörün en üstündeki açının radyan cinsinden olmasına izin verin (bkz. Şekil 3).

Görevlerde en üstteki açıyla sık sık karşılaşacağız. Bu arada soruyu cevaplamaya çalışalım: Bu açı 360 dereceden fazla çıkamaz mı? Yani, taramanın kendi üzerine bineceği ortaya çıkmayacak mı? Tabii ki değil. Matematiksel olarak ispatlayalım. Süpürmenin kendisiyle "üst üste gelmesine" izin verin. Bu, tarama yayının uzunluğunun yarıçapın çevresinden daha büyük olduğu anlamına gelir. Ancak, daha önce de belirtildiği gibi, tarama yayının uzunluğu, yarıçapın çevresidir. Ve koninin tabanının yarıçapı, örneğin, bir dik üçgenin bacağı hipotenüsten daha küçük olduğu için, elbette, generatrix'ten daha küçüktür.

O zaman planimetri sürecinden iki formülü hatırlayalım: yay uzunluğu. Sektör alanı: .

Bizim durumumuzda, rol generatrix tarafından oynanır. , ve yayın uzunluğu, koninin tabanının çevresine eşittir, yani. Sahibiz:

Sonunda şunu elde ederiz:

Yanal yüzey alanı ile birlikte, alan da bulunabilir. tam yüzey. Bunu yapmak için, taban alanını yan yüzey alanına ekleyin. Ancak taban, alanı formüle göre olan bir yarıçap çemberidir.

Sonunda elimizde: , silindirin tabanının yarıçapı nerede, generatrix'tir.

Verilen formüller üzerinde birkaç problem çözelim.

Pirinç. 4. İstenilen açı

örnek 1. Koninin yan yüzeyinin gelişimi, tepe noktasında açılı bir sektördür. Koninin yüksekliği 4 cm ve tabanın yarıçapı 3 cm ise bu açıyı bulun (bkz. Şekil 4).

Pirinç. 5. Bir koni oluşturan dik üçgen

İlk eylemle, Pisagor teoremine göre, generatrix'i buluyoruz: 5 cm (bkz. Şekil 5). Dahası, biliyoruz ki .

Örnek 2. Koninin eksenel bölümünün alanı, yüksekliğidir. Toplam yüzey alanını bulun (bkz. Şekil 6).

Okulda incelenen devrim cisimleri bir silindir, bir koni ve bir toptur.

Matematikte bir KULLANIM görevinde bir koninin hacmini veya bir kürenin alanını hesaplamanız gerekiyorsa, kendinizi şanslı sayın.

Silindir, koni ve kürenin hacmi ve yüzey alanı için formüller uygulayın. Hepsi soframızda. Kalbinle öğren. Stereometri bilgisinin başladığı yer burasıdır.

Bazen bir üstten görünüm çizmek iyidir. Veya, bu problemde olduğu gibi, aşağıdan.

2. Doğruya yakın çevrelenmiş bir koninin hacminin kaç katı dörtgen piramit, bu piramidin içinde yazılı olan koninin hacminden daha mı büyük?

Her şey basit - aşağıdan bir görünüm çiziyoruz. Daha büyük dairenin yarıçapının, küçük olanın yarıçapından birkaç kat daha büyük olduğunu görüyoruz. Her iki koninin de yükseklikleri aynıdır. Bu nedenle, daha büyük koninin hacmi iki kat daha büyük olacaktır.

Bir diğeri önemli nokta. B bölümünün görevlerinde unutmayın KULLANIM seçenekleri matematikte cevap bir tamsayı veya sonlu olarak yazılır ondalık kesir. Bu nedenle, B bölümündeki cevabınızda herhangi bir cevap bulunmamalıdır. Sayının yaklaşık değerini değiştirmek de gerekli değildir! Azaltılmalıdır! Bunun için, bazı görevlerde görev, örneğin aşağıdaki gibi formüle edilmiştir: "Silindirin yan yüzeyinin alanını bölerek bulun".

Ve devrim cisimlerinin hacmi ve yüzey alanı için formüller başka nerede kullanılıyor? Tabii ki, problem C2'de (16). Biz de size bundan bahsedeceğiz.

İşte konilerle ilgili problemler, durum yüzey alanıyla ilgilidir. Özellikle, bazı problemlerde, bir koninin yüksekliğinde veya tabanının yarıçapında bir artış (azalma) ile alanı değiştirme ile ilgili bir soru vardır. Problem çözme teorisi. Aşağıdaki görevleri göz önünde bulundurun:

27135. Koninin tabanının çevresi 3, generatrix 2'dir. Koninin yan yüzeyinin alanını bulun.

Koninin yan yüzeyinin alanı:

Verileri takma:

75697. Jeneratörü 36 kat arttırılırsa ve tabanın yarıçapı aynı kalırsa, koninin yan yüzeyinin alanı kaç kat artar?

Koninin yan yüzeyinin alanı:

Generatrix 36 kat artırıldı. Yarıçap aynı kalır, bu da tabanın çevresinin değişmediği anlamına gelir.

Böylece, değiştirilmiş koninin yan yüzeyinin alanı şöyle görünecektir:

Böylece 36 kat artacaktır.

* Bağımlılık basittir, bu nedenle bu sorun sözlü olarak kolayca çözülebilir.

27137. Tabanının yarıçapı 1,5 kat azaltılırsa, koninin yan yüzeyinin alanı kaç kat azalır?

Koninin yan yüzeyinin alanı:

Yarıçap 1,5 kat azalır, yani:

Yanal yüzey alanının 1,5 kat azaldığı tespit edildi.

27159. Koninin yüksekliği 6, generatrix 10'dur. Toplam yüzeyinin alanını pi'ye bölerek bulun.

Koninin tam yüzeyi:

Yarıçapı bulun:

Yükseklik ve generatrix bilinir, Pisagor teoremi ile yarıçapı hesaplarız:

Böylece:

Sonucu Pi'ye bölün ve cevabı yazın.

76299. Koninin toplam yüzey alanı 108'dir. Koninin tabanına paralel olarak yüksekliği ikiye bölen bir kesit çizilir. Kesik koninin toplam yüzey alanını bulun.

Kesit, tabana paralel orta yükseklikten geçer. Bu, kesik koninin taban yarıçapı ve generatrisinin orijinal koninin yarıçapından ve generatrisinden 2 kat daha az olacağı anlamına gelir. Kesilen koninin yüzey alanının neye eşit olduğunu yazalım:

4 kez gitti daha az alan orijinalin yüzeyi, yani 108:4 = 27.

* Orijinal ve kesik koni benzer gövdeler olduğundan, benzerlik özelliğini kullanmak da mümkün olmuştur:

27167. Koninin tabanının yarıçapı 3, yüksekliği 4'tür. Koninin toplam yüzey alanını pi'ye bölerek bulun.

Bir koninin toplam yüzeyinin formülü:

Yarıçap biliniyor, generatrix'i bulmak gerekiyor.

Pisagor teoremine göre:

Böylece:

Sonucu Pi'ye bölün ve cevabı yazın.

Görev. Koninin yan yüzeyinin alanı, taban alanının dört katıdır. Koninin generatrisi ile taban düzlemi arasındaki açının kosinüsünü bulun.

Koninin taban alanı:

Yani, kosinüs şuna eşit olacaktır:

Cevap: 0.25

Kendiniz karar verin:

27136. Jeneratörü 3 kat artarsa ​​koninin yan yüzeyinin alanı kaç kat artar?

27160. Koninin yan yüzeyinin alanı, tabanın alanının iki katıdır. Koninin generatrisi ile taban düzlemi arasındaki açıyı bulun. Cevabınızı derece cinsinden verin. .

27161. Koninin toplam yüzey alanı 12'dir. Koninin tabanına paralel olarak yüksekliği ikiye bölen bir kesit çizilir. Kesik koninin toplam yüzey alanını bulun.

Bu kadar. Sana iyi şanslar!

Saygılarımla, İskender.

*Siteyle ilgili bilgileri sosyal ağlar aracılığıyla arkadaşlarınızla paylaşın.

Bir koninin (veya sadece bir koninin yüzeyinin) yüzey alanı, taban ve yan yüzey alanlarının toplamına eşittir.

Koninin yan yüzeyinin alanı şu formülle hesaplanır: S = πR ben, burada R, koninin tabanının yarıçapıdır ve ben- bir koninin generatrisi.

Koninin tabanının alanı πR 2 (dairenin alanı olarak) olduğundan, koninin tam yüzeyinin alanı şuna eşit olacaktır: : πR2 + πR ben= πR (R + ben).

Bir koninin yan yüzeyinin alanı için formülün elde edilmesi, böyle bir akıl yürütme ile açıklanabilir. Çizim, koninin yan yüzeyinin gelişimini göstersin. AB arkını olası daha fazla eşit parçalar ve tüm bölme noktalarını yayın merkezine ve bitişik olanları kirişlerle birbirine bağlayın.

bir dizi alırız eşit üçgenler. Her üçgenin alanı Ah / 2, nerede a- üçgenin tabanının uzunluğu, a h- onun yüksek.

Tüm üçgenlerin alanlarının toplamı: Ah / 2 n = anh / 2, nerede nüçgenlerin sayısıdır.

Çok sayıda bölme ile, üçgenlerin alanlarının toplamı, geliştirme alanına, yani koninin yan yüzeyinin alanına çok yakın hale gelir. Üçgenlerin tabanlarının toplamı, yani. bir, AB yayının uzunluğuna, yani koninin tabanının çevresine çok yakın olur. Her üçgenin yüksekliği, yayın yarıçapına, yani koninin generatrisine çok yakın olur.

Bu miktarların boyutlarındaki küçük farklılıkları ihmal ederek, koninin (S) yan yüzeyinin alanı için formülü elde ederiz:

S=C ben / 2, burada C, koninin tabanının çevresidir, ben- bir koninin generatrisi.

R'nin koninin tabanının çemberinin yarıçapı olduğu C \u003d 2πR olduğunu bilerek, şunu elde ederiz: S \u003d πR ben.

Not. S = C formülünde ben / Şekil 2'de, yaklaşık değil, tam eşitliğin işareti verilmiştir, ancak yukarıdaki akıl yürütme temelinde bu eşitliği yaklaşık olarak kabul edebiliriz. Ama lisede lise eşitliği kanıtlandı

S=C ben / 2 kesindir, yaklaşık değildir.

Teorem. Koninin yan yüzeyi, tabanın çevresinin ürününe ve generatrix'in yarısına eşittir.

Bir koniye yazalım (Şek.) doğru piramit ve harflerle belirtmek R ve ben tabanın çevre uzunluklarını ve bu piramidin özünü ifade eden sayılar.

Daha sonra yan yüzeyi 1 / 2 çarpımı ile ifade edilecektir. R ben .

Şimdi, tabana yazılan çokgenin kenar sayısının süresiz olarak arttığını varsayalım. Daha sonra çevre R tabanın çevresinin uzunluğu C olarak alınan sınıra yönelecektir ve öz ben limiti olarak bir koni üretecine sahip olacaktır (ΔSAK, SA - SK'yi ima ettiğinden
1 / 2 R ben, 1/2 C sınırına yönelecek L. Bu limit koninin yan yüzeyinin değeri olarak alınır. Koninin yan yüzeyini S harfi ile ifade ederek şunları yazabiliriz:

S = 1/2 C L = C 1/2 litre

Sonuçlar.
1) C \u003d 2'den beri π R, daha sonra koninin yan yüzeyi aşağıdaki formülle ifade edilir:

S=1/2 2π R L= π RL

2) Yan yüzeyi taban alanına eklersek, koninin tam yüzeyini elde ederiz; bu nedenle, tüm yüzeyi T ile ifade ederek şunları elde ederiz:

T= π RL+ π R2= π Sağ(Sol+Sağ)

Teorem. Kesik bir koninin yan yüzeyi, taban ve generatrisin çevrelerinin toplamının yarısının çarpımına eşittir.

Kesik bir koniye yazalım (Şek.) kesik piramit ve harflerle belirtmek r, r 1 ve ben aynı doğrusal birimlerde alt ve üst tabanların çevre uzunluklarını ve bu piramidin özünü ifade eden sayılar.

O zaman yazılı piramidin yan yüzeyi 1/2 ( p + p 1) ben

Yazılı piramidin yan yüzlerinin sayısında sınırsız bir artışla, çevreler R ve R 1, tabanların çemberlerinin C ve C 1 uzunlukları olarak alınan sınırlara yönelir ve öz ben limiti, kesik koninin generatrisi L'ye sahiptir. Sonuç olarak, yazılı piramidin yan yüzeyinin değeri (С + С 1) L'ye eşit sınıra eğilimlidir. Bu sınır, kesik koninin yan yüzeyinin değeri olarak alınır. Kesik koninin yan yüzeyini S harfi ile ifade ederek şunları elde ederiz:

S \u003d 1/2 (C + C 1) L

Sonuçlar.
1) R ve R 1, alt ve üst tabanların dairelerinin yarıçaplarını ifade ediyorsa, kesik koninin yan yüzeyi şöyle olacaktır:

S = 1 / 2 (2 π R+2 π R 1) L = π (R+R1)L.

2) Yamukta OO 1 A 1 A (Şek.), Dönüşünden kesik bir koni elde edilirse, çizeriz orta hat BC, şunu elde ederiz:

BC \u003d 1/2 (OA + O 1 A 1) \u003d 1/2 (R + R 1),

R + R 1 = 2BC.

Buradan,

S=2 π M.Ö.L,

yani kesik bir koninin yan yüzeyi, ortalama kesit ve generatrisin çevresinin ürününe eşittir.

3) Kesik bir koninin toplam yüzeyi T aşağıdaki gibi ifade edilir:

T= π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)