Bir sayının karekökünü çıkarma. karekök nedir

11.10.2019

Hesap makinelerinin ortaya çıkmasından önce öğrenciler ve öğretmenler karekökleri elle hesaplardı. Hesaplamanın birkaç yolu var kare kök numaralar manuel olarak Bazıları sadece yaklaşık bir çözüm sunarken, diğerleri kesin bir cevap verir.

adımlar

asal çarpanlara ayırma

Kök sayısını, kare sayılar olan faktörlere ayırın. Kök numarasına bağlı olarak, yaklaşık veya kesin bir cevap alacaksınız. Kare sayılar, tüm karekökün alınabileceği sayılardır. Çarpanlar, çarpıldığında orijinal sayıyı veren sayılardır. Örneğin, 8 sayısının çarpanları 2 ve 4'tür, 2 x 4 = 8 olduğu için 25, 36, 49 sayıları kare sayılardır, çünkü √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Kare çarpanları kare sayılar olan faktörlerdir. İlk önce, kök sayıyı kare faktörlere ayırmaya çalışın.

Örneğin, 400'ün karekökünü (manuel olarak) hesaplayın. Önce 400'ü kare çarpanlara ayırmayı deneyin. 400, 100'ün katıdır, yani 25'e bölünebilir - bu bir kare sayıdır. 400'ü 25'e bölmek size 16 verir. 16 sayısı da bir kare sayıdır. Böylece 400, 25 ve 16'nın kare çarpanlarına, yani 25 x 16 = 400'e bölünebilir.
Bu şu şekilde yazılabilir: √400 = √(25 x 16).

Bazı terimlerin çarpımının karekökü şuna eşittir: Karekök her terimden, yani √(a x b) = √a x √b. Bu kuralı kullanın ve her kare faktörün karekökünü alın ve cevabı bulmak için sonuçları çarpın.
- Örneğimizde, 25 ve 16'nın karekökünü alın.
  - √(25 x 16)
  - √25 x √16
  - 5 x 4 = 20
Kök sayı iki kare çarpana ayrılmazsa (ve çoğu durumda öyle olur), tam cevabı bir tamsayı biçiminde bulamazsınız. Ancak, kök sayıyı bir kare faktöre ve sıradan bir faktöre (tüm karekökün alınamayacağı bir sayı) ayırarak sorunu basitleştirebilirsiniz. O zaman kare faktörünün karekökünü alacaksın ve sıradan faktörün kökünü alacaksın.
- Örneğin, 147 sayısının karekökünü hesaplayın. 147 sayısı iki kare çarpana ayrılamaz, ancak şu çarpanlara ayrılabilir: 49 ve 3. Problemi aşağıdaki gibi çözün:
  - = √(49 x 3)
  - = √49 x √3
  - = 7√3
Gerekirse kökün değerini değerlendirin. Artık kökün değerini (yaklaşık bir değer bulun), kök sayıya en yakın (sayı çizgisinin her iki tarafında) kare sayıların köklerinin değerleriyle karşılaştırarak değerlendirebilirsiniz. Kökün değerini şu şekilde alacaksınız: ondalık kesir, kök işaretinin arkasındaki sayı ile çarpılmalıdır.
- Örneğimize geri dönelim. Kök sayısı 3'tür. Buna en yakın kare sayılar 1 (√1 = 1) ve 4 (√4 = 2) sayılarıdır. Böylece, √3 değeri 1 ile 2 arasındadır. √3 değeri muhtemelen 2'ye 1'den daha yakın olduğundan, tahminimiz: √3 = 1.7'dir. Bu değeri kök işaretindeki sayı ile çarpıyoruz: 7 x 1.7 \u003d 11.9. Hesaplamaları bir hesap makinesinde yaparsanız, cevabımıza oldukça yakın olan 12.13'ü elde edersiniz.
  - Bu yöntem aynı zamanda büyük sayılarla da çalışır. Örneğin, √35'i düşünün. Kök sayısı 35'tir. Buna en yakın kare sayılar 25 (√25 = 5) ve 36 (√36 = 6) sayılarıdır. Böylece √35 değeri 5 ile 6 arasında yer alır. √35 değeri 6'ya 5'ten çok daha yakın olduğu için (çünkü 35, 36'dan sadece 1 eksiktir), √35'in biraz daha küçük olduğunu söyleyebiliriz. 6. Hesap makinesi ile doğrulama bize 5.92 cevabını veriyor - haklıydık.
Başka bir yol, kök sayısını asal faktörlere ayrıştırmaktır. Asal çarpanlar sadece 1'e ve kendilerine bölünebilen sayılardır. yazmak asal faktörler arka arkaya ve özdeş faktör çiftlerini bulun. Bu tür faktörler kökün işaretinden çıkarılabilir.
- Örneğin, 45'in karekökünü hesaplayın. Kök sayısını asal faktörlere ayırırız: 45 \u003d 9 x 5 ve 9 \u003d 3 x 3. Böylece, √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). Kök işaretinden 3 alınabilir: √45 = 3√5. Şimdi √5 tahmin edebiliriz.
- Başka bir örnek düşünün: √88.
  - = √(2 x 44)
  - = √ (2 x 4 x 11)
  - = √ (2 x 2 x 2 x 11). Üç çarpan 2'niz var; birkaç tane al ve onları kökün işaretinden çıkar.
  - = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Şimdi √2 ve √11'i değerlendirebilir ve yaklaşık bir cevap bulabiliriz.
Karekökü manuel olarak hesaplama

Sütun bölmeyi kullanma
1. Bu yöntem, uzun bölme işlemine benzer bir işlem içerir ve doğru cevap verir.İlk önce, sayfayı ikiye bölen dikey bir çizgi çizin ve ardından dikey çizgiye sayfanın sağına ve üst kenarının biraz altına yatay bir çizgi çizin. Şimdi kök sayıyı, ondalık noktadan sonraki kesirli kısımdan başlayarak sayı çiftlerine bölün. Böylece 79520789182.47897 sayısı "7 95 20 78 91 82, 47 89 70" şeklinde yazılır.
  - Örneğin 780.14 sayısının karekökünü hesaplayalım. İki çizgi çizin (resimde gösterildiği gibi) ve verilen sayıyı sol üstteki "7 80, 14" şeklinde yazın. Soldan ilk rakamın eşleşmemiş bir rakam olması normaldir. Cevap (verilen sayının kökü) sağ üste yazılacaktır.
2. Soldan ilk sayı çifti (veya bir sayı) verildiğinde, karesi söz konusu sayı çiftinden (veya bir sayıdan) küçük veya ona eşit olan en büyük n tamsayısını bulun. Başka bir deyişle, soldan ilk sayı çiftine (veya bir sayıya) en yakın ancak ondan küçük olan kare sayıyı bulun ve bu kare sayının karekökünü alın; n sayısını alacaksınız. Bulunan n'yi sağ üst köşeye ve sağ alt köşeye n karesini yazın.
  - Bizim durumumuzda soldaki ilk sayı 7 olacaktır. Sonraki, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.
3. Az önce bulduğunuz n sayısının karesini soldaki ilk sayı çiftinden (veya bir sayıdan) çıkarın. Hesaplamanın sonucunu çıkarılan (n sayısının karesi) altına yazın.
  - Örneğimizde, 3'ü elde etmek için 7'den 4'ü çıkarın.
4. İkinci sayı çiftini not edin ve önceki adımda elde edilen değerin yanına yazın. Ardından sağ üstteki sayıyı ikiye katlayın ve sonucu sağ alta "_×_=" ekleyerek yazın.
  - Örneğimizde ikinci sayı çifti "80"dir. 3'ten sonra "80" yazın. Ardından sağ üstteki sayıyı ikiye katlayınca 4 çıkıyor. Sağ alttan "4_×_=" yazın.
5. Sağdaki boşlukları doldurun.
  - Bizim durumumuzda, tire yerine 8 sayısını koyarsak, 48 x 8 \u003d 384, yani 380'den fazladır. Bu nedenle, 8 çok büyük bir sayıdır, ancak 7 iyidir. Kısa çizgi yerine 7 yazın ve şunu elde edin: 47 x 7 \u003d 329. Sağ üstten 7 yazın - bu, 780.14 sayısının istenen karekökündeki ikinci basamaktır.
6. Ortaya çıkan sayıyı soldaki geçerli sayıdan çıkarın. Bir önceki adımın sonucunu soldaki mevcut sayının altına yazın, farkı bulun ve çıkarılan sayının altına yazın.
  - Örneğimizde, 51'e eşit olan 380'den 329'u çıkarın.
7. 4. adımı tekrarlayın. Yıkılan sayı çifti orijinal sayının kesirli kısmıysa, tamsayı ve kesirli kısımların ayırıcısını (virgül) sağ üstten istenen karekök içine koyun. Solda, sonraki sayı çiftini aşağı taşıyın. Sağ üstteki sayıyı ikiye katlayın ve sonucu sağ alta "_×_=" ekleyerek yazın.
  - Örneğimizde, yıkılacak bir sonraki sayı çifti 780.14 sayısının kesirli kısmı olacaktır, bu nedenle tamsayı ve kesirli kısımların ayırıcısını sağ üstten gerekli karekök içine koyun. 14'ü yıkın ve sol alt köşeye yazın. Sağ üst (27) iki katı 54, bu nedenle sağ altta "54_×_=" yazın.
8. 5. ve 6. adımları tekrarlayın.Çarpma sonucunun soldaki mevcut sayıdan küçük veya ona eşit olması için sağdaki tire yerine en büyük sayıyı bulun (tire yerine aynı sayıyı kullanmanız gerekir).
  - Örneğimizde, soldaki mevcut sayıdan (5114) daha küçük olan 549 x 9 = 4941. Sağ üst köşeye 9 yazın ve çarpmanın sonucunu soldaki geçerli sayıdan çıkarın: 5114 - 4941 = 173.
9. Karekök için daha fazla ondalık basamak bulmanız gerekiyorsa, soldaki geçerli sayının yanına bir çift sıfır yazın ve 4, 5 ve 6. adımları tekrarlayın. İhtiyacınız olan doğruluğu elde edene kadar (ondalık basamak sayısı) adımları tekrarlayın. .
Süreci anlamak
1. S sayısının ilk Sa rakam çiftini (örneğimizde Sa = 7) ele alalım ve karekökünü bulun. Bu durumda, karekökün aranan değerinin ilk basamağı A, karesi S a'dan küçük veya ona eşit olan bir basamak olacaktır (yani, A² eşitsizliğini sağlayan böyle bir A arıyoruz). ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.
  - Diyelim ki 88962'yi 7'ye bölmemiz gerekiyor; burada ilk adım benzer olacaktır: bölünebilir sayı 88962'nin (8) ilk basamağını ele alıyoruz ve 7 ile çarpıldığında 8'e eşit veya daha küçük bir değer veren en büyük sayıyı seçiyoruz. eşitsizliğin doğru olduğu bir d sayısı: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.
2. Zihinsel olarak alanını hesaplamanız gereken bir kare hayal edin. L, yani alanı S olan bir karenin kenar uzunluğunu arıyorsunuz. A, B, C, L sayısındaki sayılardır. Farklı yazabilirsiniz: 10A + B \u003d L (iki için -rakamlı sayı) veya 100A + 10B + C \u003d L (üç basamaklı sayı için) vb.
  - İzin vermek (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². 10A+B'nin B'nin bir, A'nın ise onluk olduğu bir sayı olduğunu unutmayın. Örneğin, A=1 ve B=2 ise, 10A+B 12 sayısına eşittir. (10A+B)² tüm karenin alanı, 100A² büyük iç karenin alanıdır, B² küçük iç karenin alanıdır, 10A×B iki dikdörtgenin her birinin alanıdır. Açıklanan şekillerin alanlarını ekleyerek orijinal karenin alanını bulacaksınız.

Gerçek 1.
\(\bullet\) Biraz al negatif bir sayı\(a\) (yani \(a\geqslant 0\) ). Sonra (aritmetik) kare kök\(a\) sayısından böyle bir negatif olmayan sayı \(b\) çağrılır, karesini alırken \(a\) sayısını alırız: \[\sqrt a=b\quad \text(aynı )\quad a=b^2\] Tanımdan anlaşılacağı \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Bu kısıtlamalar bir karekökün varlığı için önemli bir koşuldur ve unutulmamalıdır!
Herhangi bir sayının karesi alındığında negatif olmayan bir sonuç verdiğini hatırlayın. Yani, \(100^2=10000\geqslant 0\) ve \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) \(\sqrt(25)\) nedir? \(5^2=25\) ve \((-5)^2=25\) olduğunu biliyoruz. Tanımı gereği negatif olmayan bir sayı bulmamız gerektiğinden, \(-5\) uygun değildir, dolayısıyla \(\sqrt(25)=5\) ( \(25=5^2\) 'den beri).
\(\sqrt a\) değerini bulmaya, \(a\) sayısının karekökünü alma denir ve \(a\) sayısına kök ifade denir.
\(\bullet\) Tanıma göre, \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) vb. ifadeler. mantıklı değil.

Gerçek 2.
Hızlı hesaplamalar için \(1\) ile \(20\) arasındaki doğal sayıların kareleri tablosunu öğrenmek faydalı olacaktır: \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(dizi)\]

Gerçek 3.
Kareköklerle neler yapılabilir?
\(\mermi\) Kare köklerin toplamı veya farkı, toplam veya farkın kareköküne EŞİT DEĞİLDİR, yani. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Bu nedenle, örneğin \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) hesaplamanız gerekiyorsa, başlangıçta \(\sqrt(25)\) ve \(\sqrt değerlerini bulmalısınız. (49)\ ) ve ardından bunları ekleyin. Buradan, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] \(\sqrt a\) veya \(\sqrt b\) değerleri \(\sqrt a+\sqrt b\) eklenirken bulunamazsa, böyle bir ifade daha fazla dönüştürülmez ve olduğu gibi kalır. Örneğin, \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) toplamında \(\sqrt(49)\) bulabiliriz - bu \(7\) , ancak \(\sqrt 2\) olamaz herhangi bir şekilde dönüştürülmüş, bu yüzden \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Ayrıca, bu ifade ne yazık ki hiçbir şekilde basitleştirilemez.\(\bullet\) Kare köklerin çarpımı/bölümü, ürünün/bölümün kareköküne eşittir, yani. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\dörtlü \text(ler)\dörtlü \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (eşitliklerin her iki parçasının da anlamlı olması şartıyla)
Misal: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Bu özellikleri kullanarak kareköklerini bulmak uygundur. büyük sayılar onları çarpanlarına ayırarak.
Bir örnek düşünün. \(\sqrt(44100)\) öğesini bulun. \(44100:100=441\) olduğundan, o zaman \(44100=100\cdot 441\) . Bölünebilme kriterine göre, \(441\) sayısı \(9\) ile bölünebilir (rakamlarının toplamı 9 olduğundan ve 9'a bölünebildiğinden), bu nedenle, \(441:9=49\) , yani, \(441=9\ cdot 49\) .
Böylece şunları elde ettik: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Başka bir örneğe bakalım: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) \(5\sqrt2\) (\(5\cdot \sqrt2\) ifadesinin kısaltması) örneğini kullanarak karekök işaretinin altına sayıların nasıl girileceğini göstereceğiz. \(5=\sqrt(25)\) olduğundan, o zaman \ Ayrıca şunu da unutmayın, örneğin,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Nedenmiş? Örnek 1) ile açıklayalım. Zaten anladığınız gibi, \(\sqrt2\) sayısını bir şekilde dönüştüremiyoruz. \(\sqrt2\) öğesinin \(a\) bir sayı olduğunu hayal edin. Buna göre, \(\sqrt2+3\sqrt2\) ifadesi \(a+3a\) (bir sayı \(a\) artı aynı sayıdan üç tane daha \(a\) ) başka bir şey değildir. Ve bunun böyle dört sayıya eşit olduğunu biliyoruz \(a\) , yani \(4\sqrt2\) .

Gerçek 4.
\(\bullet\) Bir sayının değerini bulurken kökün (radikal) işaretinden \(\sqrt () \ \) kurtulmanın mümkün olmadığı durumlarda genellikle “kök çıkarılamıyor” denir. Örneğin, \(16\) sayısını köklendirebilirsiniz çünkü \(16=4^2\) , dolayısıyla \(\sqrt(16)=4\) . Ancak \(3\) sayısından kök çıkarmak, yani \(\sqrt3\) bulmak imkansızdır, çünkü karenin \(3\) verecek böyle bir sayı yoktur.
Bu tür sayılar (veya bu tür sayılara sahip ifadeler) irrasyoneldir. Örneğin, sayılar \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) vb. irrasyoneldir.
Ayrıca \(\pi\) sayıları da irrasyoneldir ("pi" sayısı, yaklaşık olarak \(3,14\) 'e eşittir), \(e\) (bu sayı Euler sayısı olarak adlandırılır, yaklaşık olarak \(2'ye eşittir) ,7\) ) vb.
\(\bullet\) Lütfen herhangi bir sayının rasyonel veya irrasyonel olacağını unutmayın. Ve birlikte tüm rasyonel ve hepsi irrasyonel sayılar adlı bir küme oluşturun gerçek (gerçek) sayılar kümesi. Bu küme \(\mathbb(R)\) harfiyle gösterilir.
Bu, tüm sayıların şu an gerçek sayılar denildiğini biliyoruz.

Gerçek 5.
\(\bullet\) Gerçel sayının \(a\) modülü, gerçek sayı üzerinde \(a\) ile \(0\) arasındaki uzaklığa eşit \(|a|\) negatif olmayan bir sayıdır. astar. Örneğin, \(|3|\) ve \(|-3|\) 3'e eşittir, çünkü \(3\) ve \(-3\) ile \(0\) arasındaki mesafeler aynı ve eşittir \(3 \) .
\(\bullet\) \(a\) negatif olmayan bir sayıysa, \(|a|=a\) .
Örnek: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) \(a\) negatif bir sayıysa, \(|a|=-a\) .
Örnek: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Negatif sayılar için modülün eksi ve pozitif sayıların yanı sıra \(0\) sayısını “yediğini” söylüyorlar, modül değişmeden kalıyor.
ANCAK bu kural sadece sayılar için geçerlidir. Modül işaretinin altında bir bilinmeyen \(x\) (veya başka bir bilinmeyen) varsa, örneğin \(|x|\) hakkında pozitif, sıfıra eşit veya negatif olup olmadığını bilmiyoruz, o zaman modülden kurtulamayız. Bu durumda, bu ifade şöyle kalır: \(|x|\) . \(\bullet\) Aşağıdaki formüller geçerlidir: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a))), \text( sağlanır ) a\geqslant 0\] Sıklıkla şu hata yapılır: \(\sqrt(a^2)\) ve \((\sqrt a)^2\)'nin aynı şey olduğunu söylerler. Bu yalnızca \(a\) pozitif bir sayı veya sıfır olduğunda doğrudur. Ancak \(a\) negatif bir sayıysa, bu doğru değildir. Böyle bir örneği ele almak yeterlidir. \(a\) yerine \(-1\) sayısını alalım. O zaman \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , ancak \((\sqrt (-1))^2\) ifadesi hiç mevcut değil (çünkü öyle kök işareti altında imkansız negatif sayıları girin!).
Bu nedenle, \(\sqrt(a^2)\) öğesinin \((\sqrt a)^2\) değerine eşit olmadığına dikkatinizi çekiyoruz!Örnek 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\sağ)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), çünkü \(-\sqrt2<0\) ;

\(\fantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) \(\sqrt(a^2)=|a|\) olduğundan, o zaman \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (\(2n\) ifadesi bir çift sayıyı belirtir)
Yani bir dereceye kadar olan bir sayıdan kök çıkarıldığında bu derece yarıya iner.
Misal:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (modül ayarlanmazsa, sayının kökünün \(-25'e eşit olduğunu unutmayın) \) ; ama hatırlıyoruz ki, kökün tanımı gereği bu olamaz: kökü çıkarırken, her zaman pozitif bir sayı veya sıfır almalıyız)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (çünkü çift kuvvete herhangi bir sayı negatif değildir)

Gerçek 6.
İki karekök nasıl karşılaştırılır?
\(\bullet\) Karekökler için doğru: if \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aMisal:
1) \(\sqrt(50)\) ve \(6\sqrt2\) karşılaştırın. İlk olarak, ikinci ifadeyi dönüştürüyoruz. \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Böylece, \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) \(\sqrt(50)\) hangi tamsayılar arasındadır?
\(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) ve \(49 olduğundan beri<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) \(\sqrt 2-1\) ve \(0,5\) karşılaştırın. Diyelim ki \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(hizalanmış) &\sqrt 2-1>0.5 \ \ büyük| +1\quad \text((her iki tarafa bir tane ekleyin))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \büyük| \ ^2 \quad\text((her iki parçayı da kare)\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(hizalı)\] Yanlış bir eşitsizlik elde ettiğimizi görüyoruz. Bu nedenle varsayımımız yanlıştı ve \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Eşitsizliğin her iki tarafına belirli bir sayı eklenmesinin işaretini etkilemediğini unutmayın. Bir eşitsizliğin her iki tarafını pozitif bir sayı ile çarpmak/bölmek de işaretini değiştirmez, ancak negatif bir sayı ile çarpmak/bölmek eşitsizliğin işaretini tersine çevirir!
Bir denklemin/eşitsizliğin her iki tarafı YALNIZCA her iki taraf da negatif değilse, karesi alınabilir. Örneğin, önceki örnekteki eşitsizlikte, eşitsizliğinde her iki tarafın karesini alabilirsiniz \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Dikkat edin \[\begin(hizalanmış) &\sqrt 2\yaklaşık 1,4\\ &\sqrt 3\yaklaşık 1,7 \end(hizalanmış)\] Bu sayıların yaklaşık anlamını bilmek, sayıları karşılaştırırken size yardımcı olacaktır! \(\bullet\) Kareler tablosunda olmayan büyük bir sayıdan (çıkarılırsa) kök çıkarmak için önce hangi “yüzlerce” arasında olduğunu, sonra hangi “onlar” arasında olduğunu belirlemelisiniz. ve sonra bu sayının son basamağını belirleyin. Nasıl çalıştığını bir örnekle gösterelim.
\(\sqrt(28224)\) alın. \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) vb. olduğunu biliyoruz. \(28224\) ifadesinin \(10\,000\) ile \(40\,000\) arasında olduğuna dikkat edin. Bu nedenle, \(\sqrt(28224)\) \(100\) ile \(200\) arasındadır.
Şimdi sayımızın hangi “onlar” arasında olduğunu belirleyelim (örneğin, \(120\) ve \(130\) arasında). Kareler tablosundan da biliyoruz ki \(11^2=121\) , \(12^2=144\) vb., sonra \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900\ ) . Böylece, \(28224\) ifadesinin \(160^2\) ile \(170^2\) arasında olduğunu görüyoruz. Bu nedenle, \(\sqrt(28224)\) sayısı \(160\) ile \(170\) arasındadır.
Son rakamı belirlemeye çalışalım. Kare alırken hangi tek basamaklı sayıların sonunda \ (4 \) verdiğini hatırlayalım? Bunlar \(2^2\) ve \(8^2\) 'dir. Bu nedenle \(\sqrt(28224)\) ya 2 ya da 8 ile bitecektir. Bunu kontrol edelim. \(162^2\) ve \(168^2\) öğesini bulun:
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Dolayısıyla \(\sqrt(28224)=168\) . işte!

Sınavı matematikte yeterince çözmek için, her şeyden önce, çok sayıda teorem, formül, algoritma vb. Tanıtan teorik materyali incelemek gerekir. İlk bakışta, bunun oldukça basit olduğu görünebilir. Ancak matematikte Birleşik Hal Sınavı teorisinin herhangi bir hazırlık seviyesindeki öğrenciler için kolay ve anlaşılır bir şekilde sunulduğu bir kaynak bulmak aslında oldukça zor bir iştir. Okul ders kitapları her zaman el altında tutulamaz. Ve matematikte sınav için temel formülleri bulmak internette bile zor olabilir.

Sadece sınava girenler için değil de matematikte teori çalışmak neden bu kadar önemli?

Ufkunuzu genişlettiği için. Matematikte teorik materyalin incelenmesi, dünya bilgisi ile ilgili çok çeşitli sorulara cevap almak isteyen herkes için yararlıdır. Doğada her şey düzenlidir ve açık bir mantığı vardır. Bu, dünyayı anlamanın mümkün olduğu bilime tam olarak yansıyan şeydir.
Çünkü zekayı geliştirir.. Matematikte sınav için referans materyallerini incelemek ve çeşitli problemleri çözmenin yanı sıra, bir kişi mantıklı düşünmeyi ve akıl yürütmeyi, düşünceleri doğru ve net bir şekilde formüle etmeyi öğrenir. Analiz etme, genelleme yapma, sonuç çıkarma yeteneğini geliştirir.

Sizi eğitim materyallerinin sistemleştirilmesi ve sunumuna yönelik yaklaşımımızın tüm avantajlarını kişisel olarak değerlendirmeye davet ediyoruz.

Kök nasıl çıkarılır numaradan. Bu yazıda dört ve beş basamaklı sayıların karekökünü almayı öğreneceğiz.

Örnek olarak 1936'nın karekökünü alalım.

Buradan, .

1936'daki son rakam 6'dır. 4'ün karesi ve 6'nın karesi 6'da biter. Bu nedenle, 1936, 44 veya 46'nın karesi olabilir. Çarpma kullanılarak doğrulanması gerekiyor.

Anlamına geliyor,

15129 sayısının karekökünü çıkaralım.

Buradan, .

15129'un son basamağı 9'dur. 9, 3'ün karesi ve 7 ile biter. Bu nedenle, 15129, 123 veya 127'nin karesi olabilir. Çarpma ile kontrol edelim.

Anlamına geliyor,

Nasıl root yapılır - video

Ve şimdi Anna Denisova'nın videosunu izlemenizi öneririm - "Kök nasıl çıkarılır ", site yazarı" basit fizik", burada hesap makinesi olmadan kare ve küp köklerin nasıl çıkarılacağını açıklıyor.

Video, kökleri çıkarmanın birkaç yolunu tartışıyor:

1. Karekökü çıkarmanın en kolay yolu.

2. Toplamın karesini kullanarak eşleştirme.

3. Babil yolu.

4. Bir sütunda karekök çıkarma yöntemi.

5. Küp kökünü çıkarmanın hızlı bir yolu.

6. Bir sütundaki küp kökünü çıkarma yöntemi.

Kök çıkarmak, üs almanın ters işlemidir. Yani, X sayısının kökünü çıkararak, karesi alındığında aynı X sayısını verecek bir sayı elde ederiz.

Kökü çıkarmak oldukça basit bir işlemdir. Bir kareler tablosu, çıkarma işini kolaylaştırabilir. Çünkü tüm kareleri ve kökleri ezbere hatırlamak imkansızdır ve sayılar büyük olabilir.

Bir sayıdan kök çıkarma

Bir sayının karekökünü çıkarmak kolaydır. Ayrıca, bu hemen değil, kademeli olarak yapılabilir. Örneğin, √256 ifadesini alın. Başlangıçta, bilmeyen bir kişinin hemen cevap vermesi zordur. Sonra adımları atacağız. İlk önce, seçilen kareyi kök olarak çıkardığımız sadece 4 sayısına bölüyoruz.

Beraberlik: √(64 4), o zaman 2√64'e eşdeğer olacaktır. Ve bildiğiniz gibi çarpım tablosuna göre 64=8 8. Cevap 2*8=16 olacaktır.

Hızlı ve doğru bir şekilde toplama, çıkarma, çarpma, bölme, kare sayıları ve hatta kök almayı öğrenmek için "Zihinsel saymayı hızlandırın, zihinsel aritmetik DEĞİL" kursuna kaydolun. 30 gün içinde, aritmetik işlemleri basitleştirmek için kolay hileleri nasıl kullanacağınızı öğreneceksiniz. Her ders yeni teknikler, net örnekler ve faydalı görevler içerir.

Karmaşık kök çıkarma

Karekök negatif sayılardan hesaplanamaz, çünkü herhangi bir karesi pozitif sayıdır!

Karmaşık sayı, karesi -1 olan bir i sayısıdır. Bu i2=-1'dir.

Matematikte -1 sayısının kökü alınarak elde edilen bir sayı vardır.

Yani, negatif bir sayının kökünü hesaplamak mümkündür, ancak bu zaten okul için değil, daha yüksek matematik için geçerlidir.

Böyle bir kök çıkarma örneğini ele alalım: √(-49)=7*√(-1)=7i.

Kök hesaplayıcı çevrimiçi

Hesaplayıcımızın yardımıyla, karekökten bir sayının çıkarılmasını hesaplayabilirsiniz:

Kök çıkarma işlemini içeren ifadeleri dönüştürme

Köklü ifadelerin dönüşümünün özü, kök sayıyı kökün çıkarılabileceği daha basit olanlara ayrıştırmaktır. 4, 9, 25 ve benzeri gibi.

Bir örnek alalım, √625. Radikal ifadeyi 5 sayısına böleriz. √(125) alırız. 5), işlemi tekrarlıyoruz √(25 25), ama 25'in 52 olduğunu biliyoruz. Yani cevap 5*5=25.

Ancak bu yöntemle kökü hesaplanamayan sayılar vardır ve sadece cevabı bilmeniz veya elinizde bir kareler tablosu olması yeterlidir.

√289=√(17*17)=17

Sonuç

Matematiği daha iyi anlamak için buzdağının sadece görünen kısmını düşündük - kursumuza kaydolun: Zihinsel saymayı hızlandırın - zihinsel aritmetik DEĞİL.

Kurstan sadece basitleştirilmiş ve hızlı çarpma, toplama, çarpma, bölme, yüzde hesaplama için onlarca hile öğrenmeyecek, aynı zamanda özel görevlerde ve eğitici oyunlarda da çalışacaksınız! Zihinsel sayma ayrıca, ilginç problemleri çözmek için aktif olarak eğitilmiş çok fazla dikkat ve konsantrasyon gerektirir.

Matematik, bir kişi kendisinin farkına vardığında ve kendini dünyanın özerk bir birimi olarak konumlandırmaya başladığında doğdu. Etrafınızdakileri ölçme, karşılaştırma, hesaplama arzusu günümüzün temel bilimlerinden birinin altında yatıyor. İlk başta, bunlar, sayıları fiziksel ifadeleriyle birleştirmeyi mümkün kılan temel matematiğin parçacıklarıydı, daha sonra sonuçlar sadece teorik olarak (soyutlukları nedeniyle) sunulmaya başlandı, ancak bir süre sonra, bir bilim adamının dediği gibi, " matematik, tüm sayılar olduğunda karmaşıklığın tavanına ulaştı." "Kare kök" kavramı, hesaplama düzleminin ötesine geçerek, ampirik verilerle kolayca desteklenebildiği bir zamanda ortaya çıktı.

Her şey nasıl başladı

Şu anda √ olarak adlandırılan kökün ilk sözü, modern aritmetiğin temellerini atan Babilli matematikçilerin yazılarında kaydedilmiştir. Tabii ki, mevcut forma biraz benziyorlardı - o yılların bilim adamları ilk önce hacimli tabletler kullandılar. Ancak MÖ 2. binyılda. e. karekökün nasıl alınacağını gösteren yaklaşık bir hesaplama formülü buldular. Aşağıdaki fotoğraf, Babilli bilim adamlarının çıktı sürecini √2 oyduğu bir taşı gösteriyor ve o kadar doğru olduğu ortaya çıktı ki, cevaptaki tutarsızlık yalnızca ondalık basamakta bulundu.

Ayrıca, diğer ikisinin bilinmesi şartıyla, bir üçgenin kenarını bulmak gerektiğinde kök kullanılmıştır. İkinci dereceden denklemleri çözerken kökü çıkarmaktan kaçış yoktur.

Babil eserlerinin yanı sıra, makalenin amacı Çin "Dokuz Kitapta Matematik" adlı çalışmasında da incelenmiştir ve eski Yunanlılar, kökün kalansız olarak çıkarılmadığı herhangi bir sayının irrasyonel bir sonuç verdiği sonucuna varmışlardır. .

Bu terimin kökeni, sayının Arapça temsili ile ilişkilidir: eski bilim adamları, keyfi bir sayının karesinin bir bitki gibi kökten büyüdüğüne inanıyorlardı. Latince'de, bu kelime sayı tabanı gibi geliyor (bir kalıp izlenebilir - "kök" anlamsal yükü olan her şey, ister turp ister siyatik olsun, ünsüzdür).

Sonraki nesillerin bilim adamları bu fikri aldı ve Rx olarak belirledi. Örneğin 15. yüzyılda karekökün rastgele bir a sayısından alındığını belirtmek için R 2 a yazmışlardır. Modern görünüme aşina olan “kene” √, Rene Descartes sayesinde ancak 17. yüzyılda ortaya çıktı.

Günlerimiz

Matematiksel olarak, y'nin karekökü, karesi y olan z sayısıdır. Başka bir deyişle, z 2 =y, √y=z'ye eşdeğerdir. Bununla birlikte, bu tanım, ifadenin negatif olmayan bir değerini ima ettiğinden, yalnızca aritmetik kök için geçerlidir. Başka bir deyişle, √y=z, burada z 0'dan büyük veya 0'a eşittir.

Genel olarak bir cebirsel kök belirlemek için geçerli olan bir ifadenin değeri pozitif veya negatif olabilir. Böylece, z 2 =y ve (-z) 2 =y olduğundan, elimizde: √y=±z veya √y=|z| var.

Matematik sevgisinin sadece bilimin gelişmesiyle artması nedeniyle, kuru hesaplamalarda ifade edilmeyen çeşitli sevgi tezahürleri vardır. Örneğin Pi günü gibi ilginç olaylarla birlikte karekök tatilleri de kutlanır. Yüz yılda dokuz kez kutlanırlar ve şu prensibe göre belirlenirler: Sırasıyla günü ve ayı gösteren sayılar yılın karekökü olmalıdır. Bu nedenle, bir dahaki sefere bu tatil 4 Nisan 2016'da kutlanacak.

R alanındaki karekökün özellikleri

Hemen hemen tüm matematiksel ifadelerin geometrik bir temeli vardır, bu kader geçmedi ve √y, alanı y olan bir karenin kenarı olarak tanımlanır.

Bir sayının kökü nasıl bulunur?

Birkaç hesaplama algoritması vardır. En basit, ama aynı zamanda oldukça hantal, aşağıdaki gibi olağan aritmetik hesaplamadır:

1) köküne ihtiyacımız olan sayıdan, tek sayılar sırayla çıkarılır - çıktının geri kalanı çıkarılandan küçük olana veya hatta sıfıra eşit olana kadar. Hamle sayısı sonunda istenen sayı haline gelecektir. Örneğin, 25'in karekökünü hesaplamak için:

Sonraki tek sayı 11, kalan: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Bu gibi durumlar için bir Taylor serisi açılımı vardır:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , burada n 0'dan 0'a kadar değerler alır

+∞ ve |y|≤1.

z=√y fonksiyonunun grafik gösterimi

y'nin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olduğu R reel sayıları alanında bir temel fonksiyon z=√y düşünün. Onun grafiği şöyle görünüyor:

Eğri orijinden büyür ve zorunlu olarak (1; 1) noktasını geçer.

R reel sayılar alanında z=√y fonksiyonunun özellikleri

1. Değerlendirilen fonksiyonun tanım alanı, sıfırdan artı sonsuza kadar olan aralıktır (sıfır dahildir).

2. Değerlendirilen fonksiyonun değer aralığı, sıfırdan artı sonsuza kadar olan aralıktır (sıfır tekrar dahil edilir).

3. İşlev, minimum değeri (0) yalnızca (0; 0) noktasında alır. Maksimum değer yoktur.

4. z=√y işlevi ne çift ne de tektir.

5. z=√y fonksiyonu periyodik değildir.

6. z=√y fonksiyonunun grafiğinin koordinat eksenleriyle yalnızca bir kesişme noktası vardır: (0; 0).

7. z=√y fonksiyonunun grafiğinin kesişim noktası da bu fonksiyonun sıfırıdır.

8. z=√y fonksiyonu sürekli büyüyor.

9. z=√y işlevi yalnızca pozitif değerler alır, bu nedenle grafiği birinci koordinat açısını kaplar.

z=√y işlevini görüntüleme seçenekleri

Matematikte, karmaşık ifadelerin hesaplanmasını kolaylaştırmak için bazen karekök yazmanın kuvvet formu kullanılır: √y=y 1/2. Bu seçenek, örneğin bir fonksiyonu bir kuvvete yükseltmek için uygundur: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Bu yöntem aynı zamanda integralli türev için de iyi bir temsildir, çünkü onun sayesinde karekök sıradan bir güç fonksiyonu ile temsil edilir.

Ve programlamada, √ sembolünün yerine sqrt harflerinin birleşimi gelir.

Hesaplamalar için gerekli geometrik formüllerin çoğunun bir parçası olduğu için bu alanda karekökün büyük talep gördüğünü belirtmekte fayda var. Sayma algoritmasının kendisi oldukça karmaşıktır ve özyinelemeye (kendini çağıran bir işlev) dayanır.

C karmaşık alanındaki karekök

Genel olarak, bu makalenin konusu, karmaşık sayılar C alanının keşfini teşvik etti, çünkü matematikçiler, negatif bir sayıdan çift dereceli bir kök elde etme sorusuyla musallat oldular. Çok ilginç bir özellikle karakterize edilen hayali birim böyle ortaya çıktı: karesi -1. Bu sayede ikinci dereceden denklemler ve negatif diskriminantlı bir çözüm buldu. C'de, karekök için, R'dekiyle aynı özellikler geçerlidir, tek şey, kök ifadesindeki kısıtlamaların kaldırılmasıdır.