Vad är en vanlig fyrkantig pyramid. Huvudegenskaperna för den korrekta pyramiden

Studenter stöter på konceptet med en pyramid långt innan de studerar geometri. Skyll på de berömda stora egyptiska underverken i världen. Därför, när man börjar studera denna underbara polyeder, föreställer sig de flesta studenter redan tydligt. Alla ovanstående sevärdheter är i rätt form. Vad höger pyramid, och vilka egenskaper den har och kommer att diskuteras vidare.

I kontakt med

Definition

Det finns många definitioner av en pyramid. Sedan urminnes tider har det varit mycket populärt.

Till exempel definierade Euklid den som en solid figur, bestående av plan, som, med början från ett, konvergerar vid en viss punkt.

Heron gav en mer exakt formulering. Han insisterade på att det var en figur som har en bas och plan in trianglar, konvergerar vid ett tillfälle.

Förlitar sig på modern tolkning, pyramiden representeras som en rumslig polyeder, bestående av en viss k-gon och k platta figurer triangulär form har en gemensam poäng.

Låt oss ta en närmare titt, Vilka element består den av?

• k-gon anses vara grunden för figuren;
• 3-vinklade figurer sticker ut som sidodelens sidor;
• den övre delen, från vilken sidoelementen härstammar, kallas toppen;
• alla segment som förbinder vertexet kallas kanter;
• om en rak linje sänks från toppen till figurens plan i en vinkel på 90 grader, är dess del innesluten i det inre utrymmet höjden på pyramiden;
• i vilket sidoelement som helst vid sidan av vår polyeder kan du rita en vinkelrät, kallad apotem.

Antalet kanter beräknas med formeln 2*k, där k är antalet sidor av k-gon. Hur många ytor en polyeder som en pyramid har kan bestämmas av uttrycket k + 1.

Viktig! En regelbunden pyramid är en stereometrisk figur vars basplan är en k-gon med lika sidor.

Grundläggande egenskaper

Rätt pyramid har många egenskaper som är unika för henne. Låt oss lista dem:

1. Basen är en figur av rätt form.
2. Pyramidens kanter, som begränsar sidoelementen, har lika numeriska värden.
3. Sidoelementen är likbenta trianglar.
4. Basen av höjden på figuren faller in i mitten av polygonen, medan det är på samma gång central punkt angett och beskrivit.
5. Alla sidoribbor lutar mot basplanet i samma vinkel.
6. Alla sidoytor har samma lutningsvinkel i förhållande till basen.

Tack vare alla listade egenskaper förenklas prestandan för elementberäkningar avsevärt. Utifrån ovanstående egenskaper uppmärksammar vi två tecken:

1. I fallet när polygonen passar in i en cirkel kommer sidoytorna att ha en bas lika vinklar.
2. När man beskriver en cirkel runt en polygon kommer alla kanter på pyramiden som utgår från vertexet att ha samma längd och lika vinklar med basen.

Torget är baserat

Vanlig fyrkantig pyramid - en polyeder baserad på en kvadrat.

Den har fyra sidoytor, som är likbenta till utseendet.

På ett plan är en kvadrat avbildad, men de är baserade på alla egenskaper hos en vanlig fyrhörning.

Till exempel, om det är nödvändigt att koppla ihop sidan av en kvadrat med dess diagonal, används följande formel: diagonalen är lika med produkten av sidan av kvadraten och kvadratroten av två.

Baserat på en vanlig triangel

Korrekt triangulär pyramidär en polyeder vars bas är en vanlig 3-gon.

Om basen är en vanlig triangel och sidokanterna är lika med kanterna på basen, då är en sådan figur kallas en tetraeder.

Alla ytor på en tetraeder är liksidiga 3-goner. I det här fallet måste du känna till några poäng och inte slösa tid på dem när du beräknar:

• lutningsvinkeln för revbenen mot vilken bas som helst är 60 grader;
• värdet på alla invändiga ytor är också 60 grader;
• vilket ansikte som helst kan fungera som en bas;
• ritade inuti figuren är lika element.

Sektioner av en polyeder

I vilken polyeder som helst som finns flera typer av sektioner plan. Ofta i skolkurs geometrier fungerar med två:

• axial;
• parallell basis.

En axiell sektion erhålls genom att skära en polyeder med ett plan som passerar genom vertex, sidokanter och axel. I det här fallet är axeln höjden från spetsen. Skärplanet begränsas av skärningslinjerna med alla ytor, vilket resulterar i en triangel.

Uppmärksamhet! I en vanlig pyramid är den axiella sektionen en likbent triangel.

Om skärplanet löper parallellt med basen är resultatet det andra alternativet. I det här fallet har vi i sammanhanget en figur som liknar basen.

Till exempel, om basen är en kvadrat, kommer sektionen som är parallell med basen också att vara en kvadrat, bara av mindre storlek.

När man löser problem under detta tillstånd används tecken och egenskaper för likheter mellan figurer, baserat på Thales sats. Först och främst är det nödvändigt att bestämma likhetskoefficienten.

Om planet dras parallellt med basen och det skär av den övre delen av polyhedronen, erhålls en vanlig stympad pyramid i den nedre delen. Då sägs baserna för den trunkerade polyedern vara liknande polygoner. I detta fall är sidoytorna likbenta trapetser. Den axiella sektionen är också likbent.

För att bestämma höjden på en trunkerad polyeder är det nödvändigt att rita höjden i en axiell sektion, det vill säga i en trapets.

Ytområden

De huvudsakliga geometriska problemen som måste lösas i skolans geometrikurs är hitta ytan och volymen av en pyramid.

Det finns två typer av ytarea:

• område av sidoelement;
• hela ytan.

Av själva titeln framgår vad den handlar om. Sidoytan innefattar endast sidoelementen. Av detta följer att för att hitta det behöver du helt enkelt lägga till områdena för de laterala planen, det vill säga områdena för likbenta 3-goner. Låt oss försöka härleda formeln för arean av sidoelementen:

1. Arean av en likbent 3-gon är Str=1/2(aL), där a är sidan av basen, L är apotem.
2. Antalet sidoplan beror på typen av k-gon vid basen. Till exempel har en vanlig fyrkantig pyramid fyra laterala plan. Därför är det nödvändigt att lägga ihop ytorna av fyra siffror Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . Uttrycket förenklas på detta sätt eftersom värdet 4a=POS, där POS är basens omkrets. Och uttrycket 1/2 * Rosn är dess halvomkrets.
3. Så vi drar slutsatsen att arean av sidoelementen i en vanlig pyramid är lika med produkten av halvomkretsen av basen och apotem: Sside \u003d Rosn * L.

Fyrkant full yta pyramiden består av summan av sidoplanens area och basen: Sp.p. = Sside + Sbase.

När det gäller området för basen, här används formeln enligt typen av polygon.

Volym av en vanlig pyramidär lika med produkten av basplanets area och höjden dividerat med tre: V=1/3*Sbase*H, där H är höjden på polyedern.

Vad är en vanlig pyramid i geometri

Egenskaper hos en vanlig fyrkantig pyramid

En tredimensionell figur som ofta förekommer i geometriska problem är en pyramid. Den enklaste av alla figurer i denna klass är triangulära. I den här artikeln kommer vi att analysera i detalj de grundläggande formlerna och egenskaperna hos den korrekta

Geometriska representationer av figuren

Innan vi fortsätter att överväga egenskaperna hos en vanlig triangulär pyramid, låt oss ta en närmare titt på vilken figur i fråga.

Låt oss anta att det finns en godtycklig triangel i det tredimensionella rummet. Vi väljer vilken punkt som helst i detta utrymme som inte ligger i triangelns plan och kopplar den till tre hörn i triangeln. Vi har en triangulär pyramid.

Den består av 4 sidor, som alla är trianglar. Punkterna där tre ansikten möts kallas hörn. Figuren har också fyra av dem. Skärningslinjerna för två ytor är kanter. Den aktuella pyramiden har 6 revben. Bilden nedan visar ett exempel på denna figur.

Eftersom figuren är bildad av fyra sidor kallas den också för en tetraeder.

Rätt pyramid

Ovan övervägdes en godtycklig figur med en triangulär bas. Anta nu att vi ritar en vinkelrät linje från toppen av pyramiden till dess bas. Detta segment kallas höjden. Det är uppenbart att det är möjligt att spendera 4 olika höjder för figuren. Om höjden skär den triangulära basen i det geometriska centrumet, kallas en sådan pyramid en rak pyramid.

En rak pyramid vars bas är en liksidig triangel kallas en vanlig pyramid. För henne är alla tre trianglarna som bildar figurens sidoyta likbenta och lika med varandra. Ett specialfall av en vanlig pyramid är situationen när alla fyra sidorna är liksidiga identiska trianglar.

Tänk på egenskaperna hos en vanlig triangulär pyramid och ge lämpliga formler för att beräkna dess parametrar.

Bassida, höjd, sidokant och apotem

Varje två av de listade parametrarna bestämmer unikt de andra två egenskaperna. Vi ger formler som kopplar samman de namngivna kvantiteterna.

Antag att sidan av basen av en vanlig triangulär pyramid är a. Längden på dess sidokant är lika med b. Vad blir höjden på en vanlig triangulär pyramid och dess apotem?

För höjden h får vi uttrycket:

Denna formel följer av Pythagoras sats för vilken är sidokanten, höjden och 2/3 av basens höjd.

En pyramids apotem är höjden för en lateral triangel. Längden på apotema a b är:

a b \u003d √ (b 2 - a 2 / 4)

Från dessa formler kan man se att oavsett sidan av basen av en triangulär regelbunden pyramid och längden på dess sidokant, kommer apotema alltid att vara mer höjd pyramider.

De två formlerna som presenteras innehåller alla fyra linjära egenskaper figuren i fråga. Därför, från de kända två av dem, kan du hitta resten genom att lösa systemet från de skriftliga likheterna.

figurvolym

För absolut vilken pyramid som helst (inklusive en lutande) kan värdet på volymen av utrymme som begränsas av den bestämmas genom att känna till figurens höjd och arean av dess bas. Motsvarande formel ser ut så här:

Genom att tillämpa detta uttryck på figuren i fråga får vi följande formel:

Där höjden på en vanlig triangulär pyramid är h och dess bassida är a.

Det är inte svårt att få en formel för volymen av en tetraeder, där alla sidor är lika med varandra och representerar liksidiga trianglar. I det här fallet bestäms figurens volym av formeln:

Det vill säga, det bestäms unikt av längden på sidan a.

Ytarea

Vi fortsätter att överväga egenskaperna hos en triangulär vanlig pyramid. totalarea av alla ansikten på en figur kallas dess yta. Det är bekvämt att studera det senare genom att överväga motsvarande utveckling. Bilden nedan visar hur en vanlig triangulär pyramid ser ut.

Antag att vi känner till höjden h och sidan av basen a på figuren. Då kommer arean av dess bas att vara lika med:

Varje elev kan få detta uttryck om han kommer ihåg hur man hittar arean av en triangel, och även tar hänsyn till att höjden på en liksidig triangel också är en bisektrik och en median.

Arean av den laterala ytan som bildas av tre identiska likbenta trianglar är:

Sb = 3/2*√(a2/12+h2)*a

Denna jämlikhet följer av uttrycket av pyramidens apotema i termer av basens höjd och längd.

Den totala ytan av figuren är:

S = So + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Observera att för en tetraeder, där alla fyra sidorna är samma liksidiga trianglar, kommer arean S att vara lika med:

Egenskaper hos en vanlig stympad triangulär pyramid

Om toppen av den ansedda triangulära pyramiden är avskuren av ett plan parallellt med basen, kommer de återstående Nedre delen kommer att kallas en trunkerad pyramid.

Vid en triangulär bas erhålls som ett resultat av den beskrivna snittmetoden en ny triangel, som också är liksidig, men har en mindre sidolängd än bassidan. En stympad triangulär pyramid visas nedan.

Vi ser att denna figur redan är begränsad av två triangulära baser och tre likbenta trapetser.

Antag att höjden på den resulterande figuren är h, längderna på sidorna av de nedre och övre baserna är a 1 respektive a 2, och apotem (höjden på trapetsen) är lika med a b. Då kan ytan på den trunkerade pyramiden beräknas med formeln:

S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4*(a 1 2 + a 2 2)

Här är den första termen arean av den laterala ytan, den andra termen är arean av de triangulära baserna.

Figurens volym beräknas enligt följande:

V = √3/12*h*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 *a 2)

För att entydigt bestämma egenskaperna hos en trunkerad pyramid är det nödvändigt att känna till dess tre parametrar, vilket visas av formlerna ovan.

En triangulär pyramid är en pyramid baserad på en triangel. Höjden på denna pyramid är vinkelrät, som sänks från toppen av pyramiden till dess baser.

Hitta höjden på en pyramid

Hur hittar man höjden på en pyramid? Väldigt enkelt! För att hitta höjden på en triangulär pyramid kan du använda volymformeln: V = (1/3)Sh, där S är basytan, V är pyramidens volym, h är dess höjd. Härled höjdformeln från den här formeln: för att hitta höjden på en triangulär pyramid måste du multiplicera volymen på pyramiden med 3 och sedan dividera det resulterande värdet med basytan, det blir: h \u003d (3V ) / S. Eftersom basen av en triangulär pyramid är en triangel, kan du använda formeln för att beräkna arean av en triangel. Om vi ​​vet: arean av triangeln S och dess sida z, så enligt areaformeln S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, där h är höjden på pyramiden, γ är kanten på triangeln; vinkeln mellan sidorna av triangeln och de två sidorna själva, med hjälp av följande formel: S = (1/2)γφsinQ, där γ, φ är triangelns sidor, hittar vi triangelns area. Värdet på sinus för vinkeln Q måste ses i tabellen över sinus, som finns på Internet. Därefter ersätter vi areavärdet i höjdformeln: h = (2S)/γ. Om uppgiften kräver att man beräknar höjden på en triangulär pyramid, är pyramidens volym redan känd.

Vanlig triangulär pyramid

Ta reda på höjden på en vanlig triangulär pyramid, det vill säga en pyramid där alla ytor är liksidiga trianglar, med vetskap om storleken på kanten γ. I det här fallet är pyramidens kanter sidorna av liksidiga trianglar. Höjden på en vanlig triangulär pyramid blir: h = γ√(2/3), där γ är kanten på en liksidig triangel, h är höjden på pyramiden. Om arean av basen (S) är okänd, och endast längden på kanten (γ) och volymen (V) av polyhedronen anges, måste den nödvändiga variabeln i formeln från föregående steg ersättas med dess motsvarighet, vilket uttrycks i termer av kantens längd. Arean av en triangel (regelbunden) är lika med 1/4 av produkten av längden på sidan av denna triangel, kvadratisk med kvadratroten av 3. Vi ersätter denna formel istället för basarean i föregående formel , och vi får följande formel: h \u003d 3V4 / (γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Volymen av en tetraeder kan uttryckas i termer av längden på dess kant, sedan kan alla variabler tas bort från formeln för att beräkna höjden på en figur och bara sidan av figurens triangulära yta kan lämnas. Volymen av en sådan pyramid kan beräknas genom att dividera med 12 från produkten längden på dess yta i kub med kvadratroten av 2.

Vi ersätter detta uttryck med föregående formel, vi får följande formel för beräkning: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ√(2/3) = (1/3)γ√6. Dessutom kan ett vanligt triangulärt prisma inskrivas i en sfär, och genom att bara känna till sfärens radie (R), kan du hitta själva höjden på tetraedern. Kantlängden på tetraedern är: γ = 4R/√6. Vi ersätter variabeln γ med detta uttryck i föregående formel och får formeln: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Samma formel kan erhållas genom att känna till radien (R) för en cirkel inskriven i en tetraeder. I detta fall kommer längden på kanten av triangeln att vara lika med 12 förhållanden mellan roten ur av 6 och radie. Vi ersätter detta uttryck i föregående formel och har: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Hur man hittar höjden på en vanlig fyrkantig pyramid

För att svara på frågan om hur man hittar längden på höjden på pyramiden måste du veta vad en vanlig pyramid är. En fyrkantig pyramid är en pyramid baserad på en fyrhörning. Om vi ​​under villkoren för problemet har: volymen (V) och arean av basen (S) av pyramiden, kommer formeln för att beräkna höjden på polyhedronen (h) att vara som följer - dividera volymen multiplicerat med 3 med området S: h \u003d (3V) / S. Med en kvadratisk bas av en pyramid med känd: given volym (V) och sidlängd γ, ersätt arean (S) i föregående formel med kvadraten på sidolängden: S = γ 2 ; H = 3V/y2. Höjden på den reguljära pyramiden h = SO passerar precis genom mitten av cirkeln, som är omskriven nära basen. Eftersom basen av denna pyramid är en kvadrat, är punkten O skärningspunkten mellan diagonalerna AD och BC. Vi har: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Vidare finner vi i en rätvinklig triangel SOC (enligt Pythagoras sats): SO = √(SC 2 -OC 2). Nu vet du hur man hittar höjden på en vanlig pyramid.

Denna videohandledning hjälper användare att få en uppfattning om Pyramid-tema. Rätt pyramid. I den här lektionen kommer vi att bekanta oss med begreppet en pyramid, ge det en definition. Fundera på vad en vanlig pyramid är och vilka egenskaper den har. Sedan bevisar vi satsen på sidoytan av en vanlig pyramid.

I den här lektionen kommer vi att bekanta oss med begreppet en pyramid, ge det en definition.

Tänk på en polygon A 1 A 2...En, som ligger i planet α, och en punkt P, som inte ligger i planet α (fig. 1). Låt oss koppla ihop punkten P med toppar A 1, A 2, A 3, … En. Skaffa sig n trianglar: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R etc.

Definition. Polyeder RA 1 A 2 ... A n, gjord av n-gon A 1 A 2...En och n trianglar RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 , ringde n- kolpyramid. Ris. ett.

Ris. ett

Tänk på en fyrkantig pyramid PABCD(Fig. 2).

R- toppen av pyramiden.

ABCD- basen av pyramiden.

RA- sido revben.

AB- baskant.

Från en punkt R släpp vinkelrät RN på jordplanet ABCD. Den vinkelräta ritningen är höjden på pyramiden.

Ris. 2

Pyramidens totala yta består av sidoytan, det vill säga ytan av alla sidoytor och basytan:

S full \u003d S-sida + S-huvud

En pyramid kallas korrekt om:

• dess bas är en vanlig polygon;
• segmentet som förbinder toppen av pyramiden med mitten av basen är dess höjd.

Förklaring på exemplet med en vanlig fyrkantig pyramid

Tänk på en vanlig fyrkantig pyramid PABCD(Fig. 3).

R- toppen av pyramiden. basen av pyramiden ABCD- en vanlig fyrhörning, det vill säga en kvadrat. Punkt O, skärningspunkten för diagonalerna, är mitten av kvadraten. Betyder att, ROär höjden på pyramiden.

Ris. 3

Förklaring: i den högra n-gon, den inskrivna cirkelns centrum och den omskrivna cirkelns centrum sammanfaller. Detta centrum kallas polygonens centrum. Ibland säger de att toppen projiceras in i mitten.

Höjden på sidoytan på en vanlig pyramid, ritad från dess topp, kallas apotem och betecknas h a.

1. alla sidokanter på en vanlig pyramid är lika;

2. sidoytorna är lika likbenta trianglar.

Låt oss bevisa dessa egenskaper med hjälp av exemplet med en vanlig fyrkantig pyramid.

Given: RABCD- vanlig fyrkantig pyramid,

ABCD- fyrkantig,

ROär höjden på pyramiden.

Bevisa:

1. RA = PB = PC = PD

2.∆ATP = ∆BCP = ∆CDP = ∆DAP Se fig. 4.

Ris. 4

Bevis.

ROär höjden på pyramiden. Det vill säga rakt RO vinkelrätt mot planet ABC, och därmed direkt AO, VO, SO och DO ligger i den. Trianglarna alltså ROA, ROV, ROS, ROD- rektangulär.

Tänk på en kvadrat ABCD. Av en kvadrats egenskaper följer att AO = BO = CO = DO.

Sedan de räta trianglarna ROA, ROV, ROS, ROD ben RO- allmän och ben AO, VO, SO och DO lika, så dessa trianglar är lika i två ben. Från trianglarnas likhet följer segmentens likhet, RA = PB = PC = PD. Punkt 1 är bevisad.

Segment AB och Solär lika eftersom de är sidor av samma kvadrat, RA = RV = PC. Trianglarna alltså AVR och videobandspelare - likbent och lika på tre sidor.

På samma sätt får vi att trianglarna ABP, BCP, CDP, DAPär likbenta och lika, vilket krävdes för att bevisa i punkt 2.

Arean av den laterala ytan av en vanlig pyramid är lika med hälften av produkten av omkretsen av basen och apotem:

Som bevis väljer vi en vanlig triangulär pyramid.

Given: RAVSär en vanlig triangulär pyramid.

AB = BC = AC.

RO- höjd.

Bevisa: . Se fig. 5.

Ris. 5

Bevis.

RAVSär en vanlig triangulär pyramid. d.v.s AB= AC = BC. Låt vara O- mitten av triangeln ABC, då ROär höjden på pyramiden. Pyramidens bas är en liksidig triangel. ABC. Lägg märke till att .

trianglar RAV, RVS, RSA- lika likbenta trianglar (efter egenskap). En triangulär pyramid har tre sidoytor: RAV, RVS, RSA. Så området för pyramidens laterala yta är:

S-sidan = 3S RAB

Teoremet har bevisats.

Radien för en cirkel inskriven i basen av en vanlig fyrkantig pyramid är 3 m, höjden på pyramiden är 4 m. Hitta arean på pyramidens sidoyta.

Given: regelbunden fyrkantig pyramid ABCD,

ABCD- fyrkantig,

r= 3 m,

RO- höjden på pyramiden,

RO= 4 m.

Att hitta: S sida. Se fig. 6.

Ris. 6

Beslut.

Enligt den beprövade satsen, .

Hitta sidan av basen först AB. Vi vet att radien för en cirkel inskriven i basen av en vanlig fyrkantig pyramid är 3 m.

Sedan, m.

Hitta kvadratens omkrets ABCD med en sida på 6 m:

Tänk på en triangel BCD. Låt vara M- mitten sida DC. Som O- mitten BD, då (m).

Triangel DPC- likbent. M- mitten DC. d.v.s. RM- medianen, och därav höjden i triangeln DPC. Sedan RM- pyramidens apotem.

ROär höjden på pyramiden. Sedan, rakt RO vinkelrätt mot planet ABC, och därav det direkta OM ligger i den. Låt oss hitta en apotem RM från en rätvinklig triangel ROM.

Nu kan vi hitta sidoytan på pyramiden:

Svar: 60 m2.

Radien för en cirkel som är omskriven nära basen av en regelbunden triangulär pyramid är m. Den laterala ytan är 18 m 2. Hitta längden på apotem.

Given: ABCP- vanlig triangulär pyramid,

AB = BC = SA,

R= m,

S-sidan = 18 m 2.

Att hitta: . Se fig. 7.

Ris. 7

Beslut.

I en rätvinklig triangel ABC givet radien för den omskrivna cirkeln. Låt oss hitta en sida AB denna triangel med hjälp av sinussatsen.

När vi känner till sidan av en vanlig triangel (m), hittar vi dess omkrets.

Enligt satsen om arean av den laterala ytan av en vanlig pyramid, var h a- pyramidens apotem. Sedan:

Svar: 4 m.

Så vi undersökte vad en pyramid är, vad en vanlig pyramid är, vi bevisade satsen på sidoytan av en vanlig pyramid. I nästa lektion kommer vi att bekanta oss med den trunkerade pyramiden.

Bibliografi

1. Geometri. Årskurs 10-11: en lärobok för studenter vid utbildningsinstitutioner (grundläggande och profilnivåer) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5:e upplagan, Rev. och ytterligare - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill.
2. Geometri. Årskurs 10-11: Lärobok för allmän bildning läroanstalter/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 s.: ill.
3. Geometri. Årskurs 10: Lärobok för allmänna läroanstalter med fördjupning och profilstudier i matematik / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6:e upplagan, stereotyp. - M.: Bustard, 008. - 233 s.: ill.

1. Internetportal "Yaklass" ()
2. Internetportal "Festival of Pedagogical Ideas "Första september" ()
3. Internetportal "Slideshare.net" ()

Läxa

1. Kan en vanlig polygon vara basen till en oregelbunden pyramid?
2. Bevisa att icke-korsande kanter på en vanlig pyramid är vinkelräta.
3. Hitta värdet på den dihedriska vinkeln vid sidan av basen av en vanlig fyrkantig pyramid om pyramidens apotem är lika med sidan av dess bas.
4. RAVSär en vanlig triangulär pyramid. Konstruera den linjära vinkeln för den dihedriska vinkeln vid basen av pyramiden.

Hypotes: vi tror att perfektionen av pyramidens form beror på matematiska lagar inbäddad i sin form.

Mål: undersöker pyramiden geometrisk kropp, för att förklara perfektionen av dess form.

Uppgifter:

1. Ge en matematisk definition av en pyramid.

2. Studera pyramiden som en geometrisk kropp.

3. Förstå vilken matematisk kunskap egyptierna lade i sina pyramider.

Privata frågor:

1. Vad är en pyramid som en geometrisk kropp?

2. Hur kan pyramidens unika form förklaras matematiskt?

3. Vad förklarar pyramidens geometriska under?

4. Vad förklarar perfektionen av pyramidens form?

Definition av en pyramid.

PYRAMID (från grekiska pyramis, släktet n. pyramidos) - en polyeder, vars bas är en polygon, och de återstående ytorna är trianglar med en gemensam vertex (figur). Beroende på antalet hörn på basen är pyramiderna triangulära, fyrkantiga, etc.

PYRAMID - en monumental struktur som har den geometriska formen av en pyramid (ibland även stegad eller tornformad). Jättegravar av de forntida egyptiska faraonerna under det 3:e-2:a årtusendet f.Kr. kallas pyramider. e., såväl som forntida amerikanska piedestaler av tempel (i Mexiko, Guatemala, Honduras, Peru) förknippade med kosmologiska kulter.

Är det möjligt att grekiska ord"pyramid" kommer från det egyptiska uttrycket per-em-us, det vill säga från en term som betydde höjden på pyramiden. Den framstående ryske egyptologen V. Struve trodde att det grekiska "puram...j" kommer från det fornegyptiska "p"-mr".

Från historien. Efter att ha studerat materialet i läroboken "Geometry" av författarna till Atanasyan. Butuzova och andra, vi lärde oss att: En polyeder som består av n-gon A1A2A3 ... En och n trianglar RA1A2, RA2A3, ..., RAnA1 kallas en pyramid. Polygonen A1A2A3 ... An är pyramidens bas, och trianglarna RA1A2, RA2A3, ..., PAnA1 är pyramidens sidoytor, P är pyramidens topp, segmenten RA1, RA2, .. ., RAn är sidokanterna.

En sådan definition av pyramiden fanns dock inte alltid. Till exempel, den antika grekiske matematikern, författaren till de teoretiska avhandlingarna om matematik som har kommit ner till oss, Euklid, definierar en pyramid som en solid figur avgränsad av plan som konvergerar från ett plan till en punkt.

Men denna definition har kritiserats redan under antiken. Så föreslog Heron följande definition pyramider: "Detta är en figur som begränsas av trianglar som konvergerar vid en punkt och vars bas är en polygon."

Vår grupp, som jämförde dessa definitioner, kom till slutsatsen att de inte har en tydlig formulering av begreppet "grund".

Vi studerade dessa definitioner och hittade definitionen av Adrien Marie Legendre, som 1794 i sitt arbete "Elements of Geometry" definierar pyramiden på följande sätt: "Pyramid är en kroppslig figur som bildas av trianglar som konvergerar vid en punkt och slutar på olika sidor av en platt bas.”

Det förefaller oss som sista definitionen ger en tydlig uppfattning om pyramiden, eftersom den talar om det faktum att basen är platt. En annan definition av en pyramid förekom i en lärobok från 1800-talet: "en pyramid är en solid vinkel som skärs av ett plan."

Pyramid som en geometrisk kropp.

Det där. En pyramid är en polyeder, vars ena ytor (basen) är en polygon, de andra ytorna (sidorna) är trianglar som har en gemensam vertex (pyramidens överkant).

Den vinkelräta som dras från toppen av pyramiden till basens plan kallas höjdh pyramider.

Förutom en godtycklig pyramid finns det höger pyramid, vid basen av vilken är en vanlig polygon och stympad pyramid.

I figuren - pyramiden PABCD, ABCD - dess bas, PO - höjd.

Full yta En pyramid kallas summan av ytorna av alla dess ytor.

Full = Sside + Sbase, var Sidanär summan av ytorna på sidoytorna.

pyramidvolym hittas enligt formeln:

V=1/3Sbas h, där Sosn. - basarea h- höjd.

Axeln för en vanlig pyramid är en rak linje som innehåller dess höjd.
Apotem ST - höjden på sidoytan på en vanlig pyramid.

Arean av sidoytan på en vanlig pyramid uttrycks som följer: Sside. =1/2P h, där P är omkretsen av basen, h- höjden på sidoytan (apotem av en vanlig pyramid). Om pyramiden korsas av plan A'B'C'D' parallellt med basen, då:

1) sidokanter och höjd är uppdelade av detta plan i proportionella delar;

2) i sektionen erhålls en polygon A'B'C'D', liknande basen;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Baserna i den stympade pyramidenär liknande polygoner ABCD och A`B`C`D`, sidoytorna är trapetser.

Höjd stympad pyramid - avståndet mellan baserna.

Trunkerad volym pyramid hittas av formeln:

V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Den laterala ytan av en vanlig stympad pyramid uttrycks enligt följande: Sside = ½(P+P') h, där P och P' är omkretsen av baserna, h- höjden på sidoytan (apotem av en vanlig stympad av fester

Delar av pyramiden.

Delar av pyramiden av plan som passerar genom dess topp är trianglar.

Sektionen som går genom två icke-angränsande laterala kanter av pyramiden kallas diagonal sektion.

Om sektionen passerar genom en punkt på sidokanten och sidan av basen, kommer denna sida att vara dess spår på planet för pyramidens bas.

En sektion som går genom en punkt som ligger på pyramidens framsida och ett givet spår av sektionen på basens plan, då ska konstruktionen utföras enligt följande:

hitta skärningspunkten för planet för det givna ansiktet och spåret av pyramidsektionen och beteckna det;

konstruera en rät linje som går igenom given poäng och den resulterande skärningspunkten;

· Upprepa dessa steg för nästa ansikten.

, vilket motsvarar förhållandet mellan benen i en rätvinklig triangel 4:3. Detta förhållande mellan benen motsvarar den välkända räta triangeln med sidorna 3:4:5, som kallas den "perfekta", "heliga" eller "egyptiska" triangeln. Enligt historiker fick den "egyptiska" triangeln en magisk betydelse. Plutarch skrev att egyptierna jämförde universums natur med en "helig" triangel; de liknade symboliskt det vertikala benet med mannen, basen med hustrun och hypotenusan med det som är född av båda.

För en triangel 3:4:5 är likheten sann: 32 + 42 = 52, vilket uttrycker Pythagoras sats. Är inte detta satsen de ville vidmakthålla egyptiska präster, bygga en pyramid baserad på en triangel 3:4:5? Det är svårt att hitta ett bättre exempel för att illustrera Pythagoras sats, som var känd för egyptierna långt innan Pythagoras upptäckte den.

Alltså de geniala skaparna Egyptiska pyramider försökte imponera på avlägsna ättlingar med djupet av sina kunskaper, och de uppnådde detta genom att välja som den "geometriska huvudidén" för Keops-pyramiden - "gyllene" rät triangel, och för Khafre-pyramiden - den "heliga" eller "egyptiska" triangeln.

Mycket ofta, i sin forskning, använder forskare egenskaperna hos pyramiderna med proportionerna av det gyllene snittet.

I matematiska encyklopedisk ordbok följande definition av det gyllene snittet ges - detta är en övertonsdelning, uppdelning i extrem- och medelförhållandet - uppdelning av segmentet AB i två delar på ett sådant sätt att det mesta av dess AC är medelvärdet proportionellt mellan hela segmentet AB och dess mindre del CB.

Algebraiskt fynd av det gyllene snittet av ett segment AB = a reducerar till att lösa ekvationen a: x = x: (a - x), varav x är ungefär lika med 0,62a. X-förhållandet kan uttryckas som bråk 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618, där 2, 3, 5, 8, 13, 21 är Fibonacci-tal.

Den geometriska konstruktionen av det gyllene snittet av segmentet AB utförs enligt följande: vid punkt B återställs vinkelrät till AB, segmentet BE \u003d 1/2 AB läggs på det, A och E är anslutna, DE \ u003d BE skjuts upp, och slutligen AC \u003d AD, då är jämställdheten AB uppfylld: CB = 2: 3.

gyllene snittet används ofta i konstverk, arkitektur, som finns i naturen. Levande exempelär skulpturen av Apollo Belvedere, Parthenon. Under byggandet av Parthenon användes förhållandet mellan byggnadens höjd och dess längd och detta förhållande är 0,618. Föremål runt omkring oss ger också exempel på det gyllene snittet, till exempel har bindningarna i många böcker ett förhållande mellan bredd och längd nära 0,618. Med tanke på arrangemanget av löv på en vanlig stam av växter, kan man märka att mellan vartannat bladpar är det tredje beläget på platsen för det gyllene snittet (slider). Var och en av oss "bär" det gyllene snittet med oss ​​"i våra händer" - detta är förhållandet mellan fingrarnas falanger.

Tack vare upptäckten av flera matematiska papyrus har egyptologer lärt sig något om de forntida egyptiska systemen för kalkyl och mått. Uppgifterna i dem löstes av skriftlärare. En av de mest kända är Rhindens matematiska papyrus. Genom att studera dessa pussel lärde egyptologer sig hur de forntida egyptierna klarade sig olika mängder som uppkommit vid beräkningen av mått på vikt, längd och volym, i vilka fraktioner ofta användes, samt hur de hanterade vinklar.

De gamla egyptierna använde en metod för att beräkna vinklar baserat på förhållandet mellan höjden och basen av en rätvinklig triangel. De uttryckte vilken vinkel som helst i gradientens språk. Lutningsgradienten uttrycktes som ett förhållande mellan ett heltal, kallat "seked". I Mathematics in the Time of the Pharaohs förklarar Richard Pillins: "Seked av en vanlig pyramid är lutningen av någon av de fyra triangulära ytorna mot basens plan, mätt med ett n:te antal horisontella enheter per vertikal höjdenhet . Således är denna måttenhet ekvivalent med vår moderna cotangens av lutningsvinkeln. Därför är det egyptiska ordet "seked" relaterat till vår modernt ord"lutning"".

Den numeriska nyckeln till pyramiderna ligger i förhållandet mellan deras höjd och basen. PÅ rent praktiskt- det här är det enklaste sättet att göra mallar nödvändiga för att ständigt kontrollera den korrekta lutningsvinkeln under hela pyramidens konstruktion.

Egyptologer skulle gärna övertyga oss om att varje farao var ivrig att uttrycka sin individualitet, därav skillnaderna i lutningsvinklarna för varje pyramid. Men det kan finnas en annan anledning. Kanske ville de alla förkroppsliga olika symboliska associationer gömda i olika proportioner. Vinkeln på Khafres pyramid (baserat på triangeln (3:4:5) visas dock i de tre problem som presenteras av pyramiderna i Rhind Mathematical Papyrus). Så denna inställning var välkänd för de gamla egyptierna.

För att vara rättvis mot egyptologer som hävdar att de forntida egyptierna inte kände till triangeln 3:4:5, låt oss säga att längden på hypotenusan 5 aldrig nämndes. Men matematiska problem som rör pyramiderna löses alltid utifrån den secerade vinkeln - förhållandet mellan höjden och basen. Eftersom längden på hypotenusan aldrig nämndes drogs slutsatsen att egyptierna aldrig beräknade längden på den tredje sidan.

Höjd-till-bas-förhållandena som användes i pyramiderna i Giza var utan tvekan kända för de gamla egyptierna. Det är möjligt att dessa förhållanden för varje pyramid valdes godtyckligt. Detta motsäger emellertid vikten av numerisk symbolik i alla typer av egyptiska visuella konsterna. Det är mycket troligt att sådana relationer var av stor betydelse, eftersom de uttryckte specifika religiösa idéer. Med andra ord, hela komplexet i Giza var föremål för en sammanhängande design, designad för att spegla något slags gudomligt tema. Detta skulle förklara varför formgivarna valde olika vinklar för de tre pyramiderna.

I Orions hemlighet presenterade Bauval och Gilbert övertygande bevis på sambandet mellan pyramiderna i Giza och stjärnbilden Orion, i synnerhet med stjärnorna i Orions bälte. Samma stjärnbild finns i myten om Isis och Osiris, och där är anledning att betrakta varje pyramid som en bild av en av de tre huvudgudarna - Osiris, Isis och Horus.

MIRAKEL "GEOMETRISKA".

Bland de storslagna pyramiderna i Egypten är en speciell plats ockuperad av Farao Cheops stora pyramid (Khufu). Innan vi går vidare till analysen av formen och storleken på Cheops-pyramiden bör vi komma ihåg vilket måttsystem egyptierna använde. Egyptierna hade tre längdenheter: "cubit" (466 mm), lika med sju "palmer" (66,5 mm), vilket i sin tur var lika med fyra "fingrar" (16,6 mm).

Låt oss analysera storleken på Cheops-pyramiden (Fig. 2), efter resonemang som ges i den ukrainska vetenskapsmannen Nikolai Vasyutinskiy underbara bok "Golden Proportion" (1990).

De flesta forskare är överens om att längden på sidan av pyramidens bas, till exempel, GFär lika med L\u003d 233,16 m. Detta värde motsvarar nästan exakt 500 "alnar". Full överensstämmelse med 500 "alnar" kommer att vara om längden på "alnar" anses vara lika med 0,4663 m.

Pyramidhöjd ( H) uppskattas av forskare annorlunda från 146,6 till 148,2 m. Och beroende på pyramidens accepterade höjd ändras alla förhållanden mellan dess geometriska element. Vad är anledningen till skillnaderna i uppskattningen av höjden på pyramiden? Faktum är att Cheops-pyramiden strängt taget är stympad. Dess övre plattform har idag en storlek på cirka 10 ´ 10 m, och för ett sekel sedan var den lika med 6 ´ 6 m. Det är uppenbart att toppen av pyramiden demonterades, och den motsvarar inte den ursprungliga.

Att uppskatta höjden på pyramiden är det nödvändigt att ta hänsyn till en sådan fysisk faktor som strukturens "utkast". Bakom länge sedan under påverkan av kolossalt tryck (nådde 500 ton per 1 m2 av den nedre ytan) minskade höjden på pyramiden jämfört med dess ursprungliga höjd.

Vilken var pyramidens ursprungliga höjd? Denna höjd kan återskapas om du hittar den grundläggande "geometriska idén" av pyramiden.

Figur 2.

År 1837 mätte den engelske översten G. Wise lutningsvinkeln på pyramidens ytor: den visade sig vara lika med a= 51°51". Detta värde är fortfarande känt av de flesta forskare idag. Det angivna värdet på vinkeln motsvarar tangenten (tg) a), lika med 1,27306. Detta värde motsvarar förhållandet mellan höjden på pyramiden AC till hälften av sin bas CB(Fig.2), dvs. AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

Och här fick forskarna en stor överraskning!.png" width="25" height="24">= 1.272. Att jämföra detta värde med tg-värdet a= 1,27306 ser vi att dessa värden ligger mycket nära varandra. Om vi ​​tar vinkeln a\u003d 51 ° 50", det vill säga minska den med bara en bågminut, sedan värdet a blir lika med 1,272, det vill säga det kommer att sammanfalla med värdet på . Det bör noteras att G. Wise 1840 upprepade sina mätningar och klargjorde att vinkelns värde a=51°50".

Dessa mätningar har lett forskare till följande mycket intressant hypotes: triangeln ASV i Keopspyramiden var baserad på relationen AC / CB = = 1,272!

Betrakta nu en rätvinklig triangel ABC, där förhållandet mellan ben AC / CB= (Fig. 2). Om nu längderna på rektangelns sidor ABC beteckna med x, y, z, och även ta hänsyn till att förhållandet y/x= , sedan, i enlighet med Pythagoras sats, längden z kan beräknas med formeln:

Om acceptera x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Figur 3"Gyllene" rät triangel.

En rätvinklig triangel där sidorna är relaterade som t:golden" rät triangel.

Sedan, om vi tar hypotesen som grund att den huvudsakliga "geometriska idén" för Cheopspyramiden är den "gyllene" rätvinkliga triangeln, så är det härifrån lätt att beräkna Cheopspyramidens "designade" höjd. Det är lika med:

H \u003d (L / 2) ´ \u003d 148,28 m.

Låt oss nu härleda några andra relationer för Keopspyramiden, som följer av den "gyllene" hypotesen. I synnerhet hittar vi förhållandet mellan pyramidens yttre yta och ytan av dess bas. För att göra detta tar vi längden på benet CB per enhet, det vill säga: CB= 1. Men då längden på sidan av pyramidens bas GF= 2, och arean av basen EFGH kommer att vara lika med SEFGH = 4.

Låt oss nu beräkna arean av Cheopspyramidens sidoyta SD. Eftersom höjden AB triangel AEFär lika med t, då kommer arean på sidoytan att vara lika med SD = t. Då blir den totala arean av alla fyra sidoytorna på pyramiden lika med 4 t, och förhållandet mellan pyramidens totala yttre yta och basytan kommer att vara lika med det gyllene snittet! Det är vad det är - Cheopspyramidens huvudgeometriska hemlighet!

Gruppen av "geometriska mirakel" i Cheops-pyramiden inkluderar verkliga och långsökta egenskaper hos förhållandet mellan olika dimensioner i pyramiden.

Som regel erhålls de på jakt efter någon "konstant", i synnerhet talet "pi" (Ludolf-tal), lika med 3,14159...; baser av naturliga logaritmer "e" (Napiers tal) lika med 2,71828...; siffran "F", numret på det "gyllene snittet", lika med till exempel 0,618 ... etc.

Du kan till exempel namnge: 1) Herodotus egendom: (Höjd) 2 \u003d 0,5 st. huvud x Apotem; 2) Fastighet av V. Pris: Höjd: 0,5 st. osn \u003d kvadratroten av "Ф"; 3) M. Eists egendom: Basens omkrets: 2 Höjd = "Pi"; i en annan tolkning - 2 msk. huvud : Höjd = "Pi"; 4) G. Rebers egendom: Radie av den inskrivna cirkeln: 0,5 st. huvud = "F"; 5) K. Kleppishs egendom: (St. main.) 2: 2 (st. main. x Apothem) \u003d (st. main. W. Apothem) \u003d 2 (st. main. x Apothem) : (( 2 st. huvud X Apothem) + (st. huvud) 2). Etc. Du kan komma på många sådana egenskaper, speciellt om du kopplar ihop två angränsande pyramider. Till exempel, som "A. Arefievs egenskaper" kan det nämnas att skillnaden mellan volymerna av Cheops-pyramiden och Khafre-pyramiden är lika med två gånger volymen av pyramiden i Menkaure...

Många intressanta positioner, i synnerhet, om konstruktionen av pyramider enligt det "gyllene snittet" beskrivs i böckerna av D. Hambidge "Dynamic Symmetry in Architecture" och M. Geek "Aesthetics of Proportion in Nature and Art". Kom ihåg att det "gyllene snittet" är uppdelningen av segmentet i ett sådant förhållande, när del A är lika många gånger större än del B, hur många gånger A är mindre än hela segmentet A + B. Förhållandet A/B är lika med siffran "Ф" == 1,618. .. Användningen av det "gyllene snittet" anges inte bara i enskilda pyramider, utan i hela pyramidkomplexet i Giza.

Det mest märkliga är dock att samma pyramid av Cheops helt enkelt "inte kan" ta emot så många mirakulösa egenskaper. Genom att ta en viss egenskap en efter en kan du "justera" den, men på en gång passar de inte - de sammanfaller inte, de motsäger varandra. Därför, om, till exempel, när man kontrollerar alla egenskaper, en och samma sida av pyramidens bas (233 m) initialt tas, kommer höjderna på pyramider med olika egenskaper också att vara olika. Det finns med andra ord en viss "familj" av pyramider, till det yttre liknar Cheops, men som motsvarar olika egenskaper. Observera att det inte finns något särskilt mirakulöst i de "geometriska" egenskaperna - mycket uppstår rent automatiskt, från egenskaperna hos själva figuren. Ett "mirakel" bör endast betraktas som något som är uppenbart omöjligt för de gamla egyptierna. Detta inkluderar i synnerhet "kosmiska" mirakel, där mätningarna av Keops-pyramiden eller pyramidkomplexet i Giza jämförs med vissa astronomiska mätningar och "jämna" tal anges: en miljon gånger, en miljard gånger mindre, och så vidare. Låt oss överväga några "kosmiska" relationer.

Ett av påståendena är detta: "om vi delar sidan av pyramidens bas med den exakta längden på året får vi exakt 10 miljondelar av jordens axel." Räkna: dividera 233 med 365, vi får 0,638. Jordens radie är 6378 km.

Ett annat påstående är faktiskt motsatsen till det föregående. F. Noetling påpekade att om du använder den "egyptiska armbågen" som han uppfann, så kommer sidan av pyramiden att motsvara "den mest exakta varaktigheten solår, uttryckt till närmaste miljarddel av en dag" - 365.540.903.777.

P. Smiths uttalande: "Pyramidens höjd är exakt en miljarddel av avståndet från jorden till solen." Även om höjden på 146,6 m vanligtvis tas, tog Smith den som 148,2 m. Enligt moderna radarmätningar är jordens halvstora axel 149.597.870 + 1,6 km. Detta är det genomsnittliga avståndet från jorden till solen, men vid perihel är det 5 000 000 kilometer mindre än vid aphelium.

Sista nyfikna uttalandet:

"Hur förklarar man att massorna av pyramiderna i Cheops, Khafre och Menkaure är relaterade till varandra, som massorna av planeterna Jorden, Venus, Mars?" Låt oss räkna. Massorna av de tre pyramiderna är relaterade till: Khafre - 0,835; Cheops - 1 000; Mikerin - 0,0915. Förhållandena mellan massorna av de tre planeterna: Venus - 0,815; Land - 1 000; Mars - 0,108.

Så, trots skepsisen, låt oss notera den välkända harmonin i konstruktionen av uttalanden: 1) höjden på pyramiden, som en linje "som går ut i rymden" - motsvarar avståndet från jorden till solen; 2) den sida av pyramidens bas som är närmast "substratet", det vill säga jorden, är ansvarig för jordens radie och jordens cirkulation; 3) pyramidens volymer (läs - massor) motsvarar förhållandet mellan massorna av planeterna närmast jorden. Ett liknande "chiffer" kan spåras till exempel på bispråk, analyserat av Karl von Frisch. Vi avstår dock från att kommentera detta tills vidare.

PYRAMIDernas FORM

Den berömda tetraedriska formen på pyramiderna dök inte upp omedelbart. Skyterna gjorde begravningar i form av jordkullar - gravkärror. Egyptierna byggde "kullar" av sten - pyramider. Detta hände för första gången efter enandet av Övre och Nedre Egypten, på 2700-talet f.Kr., när grundaren av III-dynastin, farao Djoser (Zoser), stod inför uppgiften att stärka landets enhet.

Och här spelade, enligt historiker, tsarens "nya gudsförgudelsebegrepp" en viktig roll för att stärka centralmakten. Även om de kungliga begravningarna kännetecknades av större prakt, skilde de sig inte i princip från hovadels gravar, de var samma strukturer - mastabas. Ovanför kammaren med sarkofagen som innehöll mumien hälldes en rektangulär kulle av små stenar, där en liten byggnad av stora stenblock sedan placerades - "mastaba" (på arabiska - "bänk"). På platsen för sin föregångare, Sanakhts mastaba, reste farao Djoser den första pyramiden. Den var stegad och var ett synligt övergångsskede från en arkitektonisk form till en annan, från en mastaba till en pyramid.

På så sätt "uppfostrades" faraon av vismannen och arkitekten Imhotep, som senare ansågs vara en trollkarl och av grekerna identifierades med guden Asclepius. Det var som om sex mastabas restes i rad. Dessutom ockuperade den första pyramiden ett område på 1125 x 115 meter, med en uppskattad höjd på 66 meter (enligt egyptiska mått - 1000 "palmer"). Först planerade arkitekten att bygga en mastaba, men inte avlång, utan kvadratisk i plan. Senare byggdes den ut men eftersom tillbyggnaden gjordes lägre bildades så att säga två trappsteg.

Denna situation tillfredsställde inte arkitekten, och på den översta plattformen av en enorm platt mastaba placerade Imhotep tre till, gradvis minskande mot toppen. Graven låg under pyramiden.

Flera trappstegspyramider är kända, men senare gick byggarna över till att bygga mer välbekanta tetraedriska pyramider. Men varför inte triangulär eller, säg, åttakantig? Ett indirekt svar ges av det faktum att nästan alla pyramiderna är perfekt orienterade mot de fyra kardinalpunkterna och därför har fyra sidor. Dessutom var pyramiden ett "hus", ett skal av en fyrkantig gravkammare.

Men vad orsakade lutningsvinkeln på ansiktena? I boken "Proportionernas princip" ägnas ett helt kapitel åt detta: "Vad skulle kunna bestämma pyramidernas vinklar." I synnerhet anges att "bilden till vilken de stora pyramiderna i Gamla kungariket dras är en triangel med en rät vinkel i toppen.

I rymden är det en halvoktaeder: en pyramid där basens kanter och sidor är lika, ytorna är liksidiga trianglar. Vissa överväganden ges om detta ämne i böckerna Hambidge, Geek och andra.

Vad är fördelen med halvoktaederns vinkel? Enligt beskrivningar av arkeologer och historiker kollapsade vissa pyramider under sin egen tyngd. Det som behövdes var en "hållbarhetsvinkel", en vinkel som var den mest energimässigt pålitliga. Rent empiriskt kan denna vinkel tas från vertexvinkeln i en hög med sönderfallande torr sand. Men för att få korrekta data måste du använda modellen. Genom att ta fyra ordentligt fixerade bollar måste du sätta den femte på dem och mäta lutningsvinklarna. Men här kan du göra ett misstag, därför hjälper en teoretisk beräkning: du bör koppla ihop bollarnas mitt med linjer (mentalt). Vid basen får du en kvadrat med en sida lika med två gånger radien. Fyrkanten kommer bara att vara basen av pyramiden, vars längd också kommer att vara lika med två gånger radien.

En tät packning av kulor av typen 1:4 kommer alltså att ge oss en vanlig halvoktaeder.

Men varför behåller många pyramider, som drar mot en liknande form, inte desto mindre den? Förmodligen håller pyramiderna på att bli gamla. Tvärtemot det berömda talesättet:

"Allt i världen är rädd för tid, och tiden är rädd för pyramiderna", pyramidernas byggnader måste åldras, de kan och bör ske inte bara processerna för yttre vittring, utan också processerna för inre "krympning" , varifrån pyramiderna kan bli lägre. Krympning är också möjlig eftersom, som upptäcktes av D. Davidovits verk, använde de forntida egyptierna tekniken för att göra block från kalkflis, med andra ord från "betong". Det är dessa processer som kan förklara orsaken till förstörelsen av Meidum-pyramiden, som ligger 50 km söder om Kairo. Den är 4600 år gammal, basens mått är 146 x 146 m, höjden är 118 m. ”Varför är den så stympad?” frågar V. Zamarovsky. ”De vanliga referenserna till tidens destruktiva effekter och ”användningen av sten för andra byggnader” passar inte här.

När allt kommer omkring har de flesta av dess block och motstående plattor legat kvar till denna dag, i ruiner vid dess fot."Som vi kommer att se, får ett antal bestämmelser en att tänka på det faktum att berömd pyramid Cheops också "krympt". I alla fall, i alla gamla bilder är pyramiderna spetsiga ...

Formen på pyramiderna kan också genereras genom imitation: vissa naturliga mönster, "mirakulös perfektion", säg några kristaller i form av en oktaeder.

Sådana kristaller kan vara diamant- och guldkristaller. Karakteristiskt Ett stort antal"korsande" tecken för sådana begrepp som farao, sol, guld, diamant. Överallt - ädel, briljant (briljant), stor, felfri och så vidare. Likheterna är inte tillfälliga.

Solkulten var som ni vet en viktig del av religionen. forntida Egypten. "Oavsett hur vi översätter namnet på den största av pyramiderna, - det är noterat i en av de moderna manualerna - "Sky Khufu" eller "Sky Khufu", betydde det att kungen är solen. Om Khufu, i glansen av sin kraft, föreställde sig en andra sol, då blev hans son Jedef-Ra den första av de egyptiska kungarna som började kalla sig "Ras son", det vill säga solens son. Solen symboliserades av nästan alla folk som "solmetall", guld. "Stor skiva av ljust guld" - så kallade egyptierna vår dagsljus. Egyptierna kände guld mycket väl, de kände till dess inhemska former, där guldkristaller kan uppträda i form av oktaedrar.

Som ett "prov på former" är "solstenen" - en diamant - också intressant här. Namnet på diamanten kommer från arabvärlden, "almas" - den svåraste, hårdaste, oförstörbara. De gamla egyptierna kände till diamanten och dess egenskaper är ganska bra. Enligt vissa författare använde de till och med bronsrör med diamantskärare för att borra.

För närvarande är den huvudsakliga leverantören av diamanter Sydafrika, men Västafrika är också rikt på diamanter. Republiken Malis territorium kallas till och med "Diamantlandet" där. Under tiden är det på Malis territorium som Dogon bor, med vilka anhängarna av paleovisithypotesen ställer många förhoppningar (se nedan). Diamanter kunde inte vara orsaken till de gamla egyptiernas kontakter med denna region. Men på ett eller annat sätt, men, det är möjligt att det var just genom att kopiera oktaedrarna av diamant- och guldkristaller som de forntida egyptierna gudomligade därigenom "oförstörbara" som diamant och "briljanta" som guldfaraoner, Solens söner, endast jämförbar med de flesta underbara skapelser natur.

Slutsats:

Efter att ha studerat pyramiden som en geometrisk kropp, bekantat oss med dess element och egenskaper, var vi övertygade om giltigheten av åsikten om skönheten i pyramidens form.

Som ett resultat av vår forskning kom vi till slutsatsen att egyptierna, efter att ha samlat den mest värdefulla matematiska kunskapen, förkroppsligade den i en pyramid. Därför är pyramiden verkligen den mest perfekta skapelsen av naturen och människan.

BIBLIOGRAFI

"Geometri: Proc. för 7-9 celler. Allmän utbildning institutioner \, etc. - 9:e uppl. - M .: Education, 1999

Matematikens historia i skolan, M: "Upplysning", 1982

Geometri årskurs 10-11, M: "Upplysning", 2000

Peter Tompkins "Secrets of the Great Pyramid of Cheops", M: "Centropoligraph", 2005

Internetresurser

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html