Vad är tangenten för lutningsvinkeln. Funktionsderivata. Den geometriska betydelsen av derivatan

Ämnet "Tangensens vinkelkoefficient som tangenten för lutningsvinkeln" i certifieringsprovet ges flera uppgifter samtidigt. Beroende på deras tillstånd kan kandidaten behöva ge både ett fullständigt svar och ett kort svar. Som förberedelse för klara provet i matematik bör eleven definitivt upprepa de uppgifter som du behöver räkna i backe tangent.

Att göra detta kommer att hjälpa dig utbildningsportal"Shkolkovo". Våra experter har förberett och presenterat teoretiskt och praktiskt material så tillgängligt som möjligt. Efter att ha blivit bekant med det kommer akademiker med vilken utbildningsnivå som helst att framgångsrikt kunna lösa problem relaterade till derivat, där det krävs att hitta tangenten för tangentens lutning.

Grundläggande ögonblick

För att hitta den korrekta och rationella lösningen på sådana uppgifter i provet måste du komma ihåg grundläggande definition: derivatan är funktionens förändringshastighet; den är lika med tangenten för lutningen av tangenten som ritas till grafen för funktionen vid en viss punkt. Det är lika viktigt att slutföra ritningen. Det gör att du kan hitta rätt lösning ANVÄND problem på derivatan, där det krävs att man beräknar tangenten för tangentens lutning. För tydlighetens skull är det bäst att rita en graf på OXY-planet.

Om du redan har bekantat dig med det grundläggande materialet om ämnet derivatan och är redo att börja lösa problem för att beräkna tangenten för en tangents lutningsvinkel, liknande ANVÄND uppdrag du kan göra det online. För varje uppgift, till exempel uppgifter om ämnet "Släktskap mellan derivatan och kroppens hastighet och acceleration", skrev vi ner rätt svar och lösningsalgoritmen. I det här fallet kan eleverna träna på att slutföra uppgifter. olika nivåer svårigheter. Vid behov kan övningen sparas i avsnittet "Favoriter", så att du senare kan diskutera beslutet med läraren.

Lär dig att ta derivator av funktioner. Derivatan karakteriserar förändringshastigheten för en funktion vid en viss punkt som ligger på grafen för denna funktion. I det här fallet kan grafen vara antingen en rak linje eller en krökt linje. Det vill säga, derivatan karakteriserar förändringshastigheten för funktionen vid en viss tidpunkt. Kom ihåg generella regler för vilka derivat tas, och först därefter gå vidare till nästa steg.

• Läs artikeln.
• Hur man tar de enklaste derivaten, till exempel derivatan exponentiell ekvation, beskrivs. Beräkningarna som presenteras i de följande stegen kommer att baseras på de metoder som beskrivs där.

Lär dig att skilja på problem där lutningen behöver beräknas i termer av derivatan av en funktion. I uppgifter föreslås det inte alltid att man ska hitta lutningen eller derivatan av en funktion. Till exempel kan du bli ombedd att hitta förändringshastigheten för en funktion i punkt A(x, y). Du kan också bli ombedd att hitta lutningen på tangenten vid punkten A(x, y). I båda fallen är det nödvändigt att ta derivatan av funktionen.

Lutningskoefficienten är rak. I den här artikeln kommer vi att överväga uppgifter relaterade till koordinatplanet som ingår i provet i matematik. Det här är uppdrag för:

- bestämning av lutningen på en rak linje, när två punkter genom vilka den passerar är kända;
- bestämning av abskissan eller ordinatan för skärningspunkten mellan två linjer på planet.

Vad är abskissan och ordinatan för en punkt beskrevs i detta avsnitt. I den har vi redan övervägt flera problem relaterade till koordinatplanet. Vad behöver förstås för den typ av uppgifter som övervägs? Lite teori.

Ekvationen för en rät linje på koordinatplanet har formen:

var k – detta är den raka linjens lutning.

Nästa ögonblick! Lutningen på en rät linje är lika med tangenten för den räta linjens lutning. Detta är vinkeln mellan den givna linjen och axelnåh.

Den ligger mellan 0 och 180 grader.

Det vill säga om vi reducerar ekvationen för en rät linje till formen y = kx + b, sedan vidare kan vi alltid bestämma koefficienten k (lutningskoefficient).

Dessutom, om vi kan bestämma tangenten för den räta linjens lutning baserat på villkoret, kommer vi därmed att hitta dess lutning.

Nästa teoretiska ögonblick!Ekvation för en rät linje som går genom två givna punkter.Formeln ser ut som:

Tänk på problem (liknande de från öppen bank uppgifter):

Hitta lutningen på den räta linjen som går genom punkterna med koordinater (–6; 0) och (0; 6).

I detta problem är det mest rationella sättet att lösa detta att hitta tangenten för vinkeln mellan x-axeln och den givna räta linjen. Det är känt att det är lika med vinkelkoefficienten. Betrakta en rätvinklig triangel som bildas av en rät linje och x- och y-axlarna:

Tangensen för en vinkel i rät triangelär förhållandet mellan det motsatta benet och det intilliggande:

* Båda benen är lika med sex (detta är deras längder).

Säkert, denna uppgift kan lösas med formeln för att hitta ekvationen för en rät linje som går genom två givna punkter. Men det blir en längre lösningsväg.

Svar: 1

Hitta lutningen på den räta linjen som går genom punkterna med koordinaterna (5;0) och (0;5).

Våra punkter har koordinater (5;0) och (0;5). Betyder att,

Låt oss ta formeln till formuläret y = kx + b

Vi fick den vinkelkoefficienten k = – 1.

Svar: -1

Hetero a passerar genom punkter med koordinater (0;6) och (8;0). Hetero b passerar genom punkten med koordinater (0;10) och är parallell med linjen a b med axel oxe.

I det här problemet kan du hitta ekvationen för en rät linje a, bestäm lutningen för det. Rak linje b lutningen blir densamma eftersom de är parallella. Därefter kan du hitta ekvationen för en rät linje b. Och genom att ersätta värdet y = 0 i det, hitta abskissan. MEN!

I det här fallet är det lättare att använda egenskapen triangellikhet.

De räta trianglarna som bildas av de givna (parallella) koordinatlinjerna är lika, vilket betyder att förhållandena mellan deras respektive sidor är lika.

Den önskade abskissan är 40/3.

Svar: 40/3

Hetero a passerar genom punkter med koordinater (0;8) och (–12;0). Hetero b passerar genom punkten med koordinater (0; -12) och är parallell med linjen a. Hitta abskissan för linjens skärningspunkt b med axel oxe.

För detta problem är det mest rationella sättet att lösa det att använda trianglars likhetsegenskap. Men vi kommer att lösa det på ett annat sätt.

Vi känner till punkterna genom vilka linjen passerar a. Vi kan skriva ekvationen för en rät linje. Formeln för ekvationen för en rät linje som går genom två givna punkter är:

Tillståndsmässigt har punkterna koordinater (0;8) och (–12;0). Betyder att,

Låt oss komma ihåg y = kx + b:

Fick det hörnet k = 2/3.

*Vinkelkoefficienten kunde hittas genom tangensen av vinkeln i en rätvinklig triangel med ben 8 och 12.

Vi vet att parallella linjer har lika lutning. Så ekvationen för en rät linje som går genom punkten (0;-12) har formen:

Hitta värde b vi kan ersätta abskissan och ordina in i ekvationen:

Så här ser raden ut:

Nu, för att hitta den önskade abskissan för skärningspunkten för linjen med x-axeln, måste du ersätta y \u003d 0:

Svar: 18

Hitta ordinatan för axelns skärningspunkt oj och en rät linje som går genom punkt B(10;12) och en parallell linje som går genom origo och punkt A(10;24).

Låt oss hitta ekvationen för en rät linje som går genom punkterna med koordinaterna (0;0) och (10;24).

Formeln för ekvationen för en rät linje som går genom två givna punkter är:

Våra punkter har koordinater (0;0) och (10;24). Betyder att,

Låt oss komma ihåg y = kx + b

De parallella linjernas lutning är lika. Därför har ekvationen för en rät linje som går genom punkten B (10; 12) formen:

Menande b vi finner genom att ersätta koordinaterna för punkten B (10; 12) i denna ekvation:

Vi fick ekvationen för en rät linje:

För att hitta ordinatan för skärningspunkten för denna linje med axeln OU måste ersättas i den hittade ekvationen X= 0:

*Enklaste lösningen. Med hjälp av parallell translation flyttar vi denna linje ner längs axeln OU till punkten (10;12). Förskjutningen sker med 12 enheter, det vill säga punkt A(10;24) "passerad" till punkt B(10;12), och punkt O(0;0) "passerad" till punkt (0;–12). Så den resulterande linjen kommer att skära axeln OU vid punkten (0;–12).

Den önskade ordinatan är -12.

Svar: -12

Hitta ordinatan för skärningspunkten för linjen som ges av ekvationen

3x + 2y = 6, med axel Oj.

Koordinat för skärningspunkten för den givna linjen med axeln OU har formen (0; på). Ersätt abskissan i ekvationen X= 0, och hitta ordinatan:

Ordinat för skärningspunkten för en linje med en axel OUär lika med 3.

* Systemet håller på att lösas:

Svar: 3

Hitta ordinatan för skärningspunkten för linjerna som ges av ekvationerna

3x + 2y = 6 och y = - x.

När två linjer ges, och frågan handlar om att hitta koordinaterna för skärningspunkten för dessa linjer, löses systemet med dessa ekvationer:

I den första ekvationen ersätter vi - X istället för på:

Ordinatan är minus sex.

Svar: – 6

Hitta lutningen på den räta linjen som går genom punkterna med koordinater (–2; 0) och (0; 2).

Hitta lutningen på den räta linjen som går genom punkterna med koordinaterna (2;0) och (0;2).

Linjen a går genom punkterna med koordinaterna (0;4) och (6;0). Linje b går genom punkten med koordinater (0;8) och är parallell med linje a. Hitta abskissan för skärningspunkten mellan linje b och x-axeln.

Hitta ordinatan för skärningspunkten för y-axeln och linjen som går genom punkt B (6;4) och den parallella linjen som går genom origo och punkt A (6;8).

1. Det är nödvändigt att tydligt förstå att den räta linjens lutning är lika med tangenten för den räta linjens lutning. Detta kommer att hjälpa dig att lösa många problem av denna typ.

2. Formeln för att hitta en rät linje som går genom två givna punkter måste förstås. Med dess hjälp kan du alltid hitta ekvationen för en rät linje om koordinaterna för två av dess punkter är givna.

3. Kom ihåg att lutningarna på parallella linjer är lika.

4. Som du förstår är det i vissa problem bekvämt att använda tecknet på likhet med trianglar. Problem löses praktiskt muntligt.

5. Uppgifter där två linjer är givna och det krävs för att hitta abskissan eller ordinatan för deras skärningspunkt kan lösas grafiskt. Det vill säga, bygg dem på koordinatplanet (på ett ark i en cell) och bestäm skärningspunkten visuellt. *Men den här metoden är inte alltid tillämplig.

6. Och den sista. Om en rät linje och koordinaterna för punkterna för dess skärningspunkt med koordinataxlarna ges, är det i sådana problem lämpligt att hitta vinkelkoefficienten genom att hitta tangensen för vinkeln i den formade rätkantiga triangeln. Hur man "se" denna triangel för olika arrangemang av linjer på planet visas schematiskt nedan:

>> Linjelutningsvinkel från 0 till 90 grader<<

>> Rak linjevinkel från 90 till 180 grader<<

Det är allt. Lycka till!

Med vänlig hälsning, Alexander.

P.S: Jag skulle vara tacksam om du berättar om sidan i sociala nätverk.

Linjen y \u003d f (x) kommer att tangera grafen som visas i figuren vid punkten x0 om den passerar genom punkten med koordinater (x0; f (x0)) och har en lutning f "(x0). Hitta en sådan koefficient, att känna till egenskaperna hos tangenten, är det inte svårt.

Du kommer behöva

• - matematisk uppslagsbok;
• - en enkel penna;
• - anteckningsbok;
• - gradskiva;
• - kompass;
• - penna.

Instruktion

Om värdet f‘(x0) inte finns, så finns det antingen ingen tangent eller så passerar den vertikalt. Med tanke på detta beror närvaron av derivatan av funktionen i punkten x0 på att det finns en icke-vertikal tangent som är i kontakt med grafen för funktionen i punkten (x0, f(x0)). I det här fallet kommer tangentens lutning att vara lika med f "(x0). Således blir den geometriska betydelsen av derivatan tydlig - beräkningen av tangentens lutning.

Rita på ytterligare tangenter som skulle vara i kontakt med funktionsdiagrammet vid punkterna x1, x2 och x3, och markera även vinklarna som bildas av dessa tangenter med abskissaxeln (en sådan vinkel räknas i positiv riktning från axeln till tangenten linje). Till exempel kommer vinkeln, det vill säga α1, att vara spetsig, den andra (α2) är trubbig och den tredje (α3) är noll, eftersom tangentlinjen är parallell med OX-axeln. I detta fall är tangenten för en trubbig vinkel negativ, tangenten för en spetsig vinkel är positiv, och för tg0 är resultatet noll.

notera

Bestäm korrekt vinkeln som bildas av tangenten. För att göra detta, använd en gradskiva.

Användbara råd

Två sneda linjer kommer att vara parallella om deras lutningar är lika med varandra; vinkelrät om produkten av lutningarna för dessa tangenter är -1.

Källor:

• Tangent till funktionsgraf

Cosinus, liksom sinus, kallas "direkta" trigonometriska funktioner. Tangenten (tillsammans med cotangenten) läggs till ett annat par som kallas "derivator". Det finns flera definitioner av dessa funktioner, som gör det möjligt att hitta tangenten för cosinus som ges av det kända värdet av samma värde.

Instruktion

Subtrahera kvoten från enhet med cosinus för den givna vinkeln upphöjd till värdet och extrahera kvadratroten från resultatet - detta kommer att vara värdet på tangenten från vinkeln, uttryckt av dess cosinus: tg (α) \u003d √ (1-1 / (cos (a)) ²). Var samtidigt uppmärksam på det faktum att i formeln cosinus är i bråkets nämnare. Omöjligheten att dividera med noll utesluter användningen av detta uttryck för vinklar lika med 90°, samt skiljer sig från detta värde med multiplar av 180° (270°, 450°, -90°, etc.).

Det finns ett alternativt sätt att beräkna tangenten från ett känt cosinusvärde. Det kan användas om det inte finns några begränsningar för användningen av andra. För att implementera denna metod, bestäm först vinkelvärdet från ett känt cosinusvärde - detta kan göras med arccosinusfunktionen. Beräkna sedan helt enkelt tangenten för vinkeln för det resulterande värdet. I allmänhet kan denna algoritm skrivas enligt följande: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

Det finns ett annat exotiskt alternativ som använder definitionen av cosinus och tangent genom de spetsiga vinklarna i en rätvinklig triangel. Cosinus i denna definition motsvarar förhållandet mellan längden på benet intill den betraktade vinkeln och hypotenusans längd. Genom att känna till värdet på cosinus kan du välja längden på dessa två sidor som motsvarar den. Till exempel, om cos(α)=0,5, då kan den intilliggande tas lika med 10 cm och hypotenusan - 20 cm. Specifika siffror spelar ingen roll här - du kommer att få samma och korrekta med alla värden som har samma. Bestäm sedan längden på den saknade sidan med hjälp av Pythagoras sats - det motsatta benet. Det kommer att vara lika med kvadratroten av skillnaden mellan längden på den kvadratiska hypotenusan och det kända benet: √(20²-10²)=√300. Per definition motsvarar tangenten förhållandet mellan längderna på de motsatta och intilliggande benen (√300/10) - beräkna det och få tangentvärdet som hittas med den klassiska definitionen av cosinus.

Källor:

• cosinus genom tangentformel

En av de trigonometriska funktionerna, oftast betecknad med bokstäverna tg, även om notationen tan också finns. Det enklaste sättet är att representera tangenten som förhållandet mellan sinus vinkel till dess cosinus. Detta är en udda periodisk och inte kontinuerlig funktion, vars varje cykel är lika med talet Pi, och brytpunkten motsvarar markeringen vid halva detta nummer.

I föregående kapitel visades att vi genom att välja ett visst koordinatsystem på planet analytiskt kan uttrycka de geometriska egenskaperna som kännetecknar punkterna på den aktuella linjen genom ekvationen mellan de aktuella koordinaterna. Således får vi linjens ekvation. I detta kapitel kommer ekvationerna för räta linjer att behandlas.

För att formulera ekvationen för en rät linje i kartesiska koordinater måste du på något sätt ställa in villkoren som bestämmer dess position i förhållande till koordinataxlarna.

Först introducerar vi konceptet med lutningen av en rät linje, som är en av de storheter som kännetecknar positionen för en rät linje på ett plan.

Låt oss kalla linjens lutningsvinkel mot Ox-axeln vinkeln med vilken Ox-axeln måste roteras så att den sammanfaller med den givna linjen (eller visar sig vara parallell med den). Som vanligt kommer vi att överväga vinkeln med hänsyn till tecknet (tecknet bestäms av rotationsriktningen: moturs eller medurs). Eftersom en ytterligare rotation av Ox-axeln med en vinkel på 180 ° återigen kommer att kombinera den med den räta linjen, kan lutningsvinkeln för den räta linjen mot axeln väljas tvetydigt (upp till en multipel av ).

Tangensen för denna vinkel är unikt bestämd (eftersom att ändra vinkeln till inte ändrar dess tangent).

Tangensen för lutningsvinkeln för en rät linje till x-axeln kallas den räta linjens lutning.

Lutningen kännetecknar den räta linjens riktning (här skiljer vi inte mellan två inbördes motsatta riktningar av den räta linjen). Om linjens lutning är noll så är linjen parallell med x-axeln. Med en positiv lutning kommer lutningsvinkeln för den räta linjen till Ox-axeln att vara skarp (vi betraktar här det minsta positiva värdet på lutningsvinkeln) (Fig. 39); i detta fall, ju större lutningen är, desto större är lutningsvinkeln mot Ox-axeln. Om lutningen är negativ kommer den raka linjens lutningsvinkel mot x-axeln att vara trubbig (fig. 40). Observera att en rät linje vinkelrät mot x-axeln inte har en lutning (tangensen till en vinkel finns inte).