Beräkningar av den matematiska förväntan av en diskret stokastisk variabel. Formel för matematiska förväntningar. Fördelningslag för en diskret stokastisk variabel

Sannolikhetsteori är en speciell gren av matematik som endast studeras av studenter vid högre utbildningsinstitutioner. Älskar du beräkningar och formler? Är du inte rädd för möjligheterna att bekanta dig med normalfördelningen, ensemblens entropi, den matematiska förväntan och variansen hos en diskret slumpvariabel? Då kommer detta ämne att vara av stort intresse för dig. Låt oss bekanta oss med några av de viktigaste grundläggande begreppen i denna del av vetenskapen.

Låt oss komma ihåg grunderna

Även om du kommer ihåg de enklaste begreppen sannolikhetsteori, försumma inte de första styckena i artikeln. Faktum är att utan en tydlig förståelse av grunderna kommer du inte att kunna arbeta med formlerna som diskuteras nedan.

Så det finns någon slumpmässig händelse, något experiment. Som ett resultat av de åtgärder som utförs kan vi få flera utfall - några av dem är vanligare, andra mindre vanliga. Sannolikheten för en händelse är förhållandet mellan antalet faktiskt erhållna utfall av en typ och det totala antalet möjliga. Bara genom att känna till den klassiska definitionen av detta begrepp kan du börja studera den matematiska förväntan och spridningen av kontinuerliga slumpvariabler.

Genomsnitt

Tillbaka i skolan, på matematiklektionerna, började du arbeta med det aritmetiska medelvärdet. Detta koncept används ofta inom sannolikhetsteorin och kan därför inte ignoreras. Huvudsaken för oss för tillfället är att vi kommer att stöta på det i formlerna för den matematiska förväntan och variansen för en slumpvariabel.

Vi har en talföljd och vill hitta det aritmetiska medelvärdet. Allt som krävs av oss är att summera allt tillgängligt och dividera med antalet element i sekvensen. Låt oss ha siffror från 1 till 9. Summan av elementen blir 45, och vi delar detta värde med 9. Svar: - 5.

Dispersion

I vetenskapliga termer är variansen den genomsnittliga kvadraten av avvikelserna för de erhållna funktionsvärdena från det aritmetiska medelvärdet. Den ena betecknas med en latinsk stor bokstav D. Vad behövs för att beräkna den? För varje element i sekvensen beräknar vi skillnaden mellan det tillgängliga talet och det aritmetiska medelvärdet och kvadrerar det. Det kommer att finnas exakt så många värden som det kan bli resultat för det evenemang vi överväger. Därefter sammanfattar vi allt mottaget och dividerar med antalet element i sekvensen. Om vi ​​har fem möjliga utfall, dividera med fem.

Variansen har också egenskaper som du måste komma ihåg för att kunna tillämpa den när du löser problem. Till exempel, om den slumpmässiga variabeln ökas med X gånger, ökar variansen med X gånger kvadraten (dvs X*X). Den är aldrig mindre än noll och är inte beroende av att värden ändras med lika värde uppåt eller nedåt. Dessutom, för oberoende försök är variansen av summan lika med summan av varianserna.

Nu måste vi definitivt överväga exempel på variansen hos en diskret slumpvariabel och den matematiska förväntan.

Låt oss säga att vi kör 21 experiment och får 7 olika resultat. Vi observerade var och en av dem 1,2,2,3,4,4 respektive 5 gånger. Vad blir variansen?

Först beräknar vi det aritmetiska medelvärdet: summan av elementen är naturligtvis 21. Vi dividerar det med 7 och får 3. Nu subtraherar vi 3 från varje tal i den ursprungliga sekvensen, kvadrerar varje värde och adderar resultaten tillsammans . Det visar sig 12. Nu återstår det för oss att dividera talet med antalet element, och det verkar vara allt. Men det finns en hake! Låt oss diskutera det.

Beroende på antalet experiment

Det visar sig att vid beräkning av variansen kan nämnaren vara ett av två tal: antingen N eller N-1. Här är N antalet utförda experiment eller antalet element i sekvensen (vilket i huvudsak är samma sak). Vad beror det på?

Om antalet tester mäts i hundra, måste vi sätta N i nämnaren, om i enheter, då N-1. Forskarna bestämde sig för att rita gränsen ganska symboliskt: idag går den längs numret 30. Om vi ​​genomförde mindre än 30 experiment, kommer vi att dela mängden med N-1, och om mer, då med N.

Uppgift

Låt oss gå tillbaka till vårt exempel på att lösa varians- och förväntningsproblemet. Vi fick ett mellantal på 12, som fick delas med N eller N-1. Eftersom vi genomförde 21 experiment, vilket är mindre än 30, kommer vi att välja det andra alternativet. Så svaret är: variansen är 12/2 = 2.

Förväntat värde

Låt oss gå vidare till det andra konceptet, som vi måste överväga i den här artikeln. Den matematiska förväntan är resultatet av att addera alla möjliga utfall multiplicerade med motsvarande sannolikheter. Det är viktigt att förstå att det erhållna värdet, såväl som resultatet av att beräkna variansen, endast erhålls en gång för hela uppgiften, oavsett hur många utfall som beaktas i den.

Den matematiska förväntansformeln är ganska enkel: vi tar resultatet, multiplicerar det med dess sannolikhet, lägger till detsamma för det andra, tredje resultatet, etc. Allt relaterat till detta koncept är lätt att beräkna. Till exempel är summan av matematiska förväntningar lika med den matematiska förväntan av summan. Detsamma gäller för arbetet. Inte varje storhet i sannolikhetsteorin tillåter att sådana enkla operationer kan utföras. Låt oss ta en uppgift och beräkna värdet av två begrepp vi har studerat samtidigt. Dessutom distraherades vi av teori – det är dags att öva.

Ännu ett exempel

Vi körde 50 försök och fick 10 typer av resultat - siffrorna 0 till 9 - som visades i olika procentsatser. Dessa är respektive: 2 %, 10 %, 4 %, 14 %, 2 %, 18 %, 6 %, 16 %, 10 %, 18 %. Kom ihåg att för att få sannolikheterna måste du dividera procentvärdena med 100. Således får vi 0,02; 0,1 osv. Låt oss presentera ett exempel på att lösa problemet för variansen av en slumpvariabel och den matematiska förväntan.

Vi beräknar det aritmetiska medelvärdet med hjälp av formeln som vi kommer ihåg från grundskolan: 50/10 = 5.

Låt oss nu översätta sannolikheterna till antalet utfall "i bitar" för att göra det mer bekvämt att räkna. Vi får 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 och 9. Subtrahera det aritmetiska medelvärdet från varje erhållet värde, varefter vi kvadrerar vart och ett av de erhållna resultaten. Se hur du gör detta med det första elementet som exempel: 1 - 5 = (-4). Ytterligare: (-4) * (-4) = 16. För andra värden, gör dessa operationer själv. Om du gjorde allt rätt får du 90 efter att ha lagt till allt.

Låt oss fortsätta att beräkna variansen och medelvärdet genom att dividera 90 med N. Varför väljer vi N och inte N-1? Det stämmer, eftersom antalet utförda experiment överstiger 30. Så: 90/10 = 9. Vi fick dispersionen. Om du får ett annat nummer, misströsta inte. Troligtvis gjorde du ett banalt fel i beräkningarna. Dubbelkolla vad du skrev, så kommer allt säkert att falla på plats.

Låt oss slutligen komma ihåg den matematiska förväntansformeln. Vi kommer inte att ge alla beräkningar, vi kommer bara att skriva svaret som du kan kontrollera efter att ha slutfört alla nödvändiga procedurer. Det förväntade värdet blir 5,48. Vi kommer bara ihåg hur man utför operationer med exemplet med de första elementen: 0 * 0,02 + 1 * 0,1 ... och så vidare. Som du kan se multiplicerar vi helt enkelt värdet av resultatet med dess sannolikhet.

Avvikelse

Ett annat begrepp som är nära relaterat till spridning och matematiska förväntningar är standardavvikelsen. Det betecknas antingen med de latinska bokstäverna sd eller med den grekiska gemena "sigma". Detta koncept visar hur värden i genomsnitt avviker från den centrala egenskapen. För att hitta dess värde måste du beräkna kvadratroten av variansen.

Om du plottar en normalfördelning och vill se den kvadratiska avvikelsen direkt på den kan detta göras i flera steg. Ta hälften av bilden till vänster eller höger om läget (centralt värde), rita en vinkelrät mot den horisontella axeln så att områdena på de resulterande figurerna är lika. Värdet på segmentet mellan mitten av fördelningen och den resulterande projektionen på den horisontella axeln kommer att vara standardavvikelsen.

programvara

Som framgår av beskrivningarna av formlerna och de presenterade exemplen är att beräkna variansen och den matematiska förväntan inte det lättaste förfarandet ur aritmetisk synvinkel. För att inte slösa tid är det vettigt att använda programmet som används i högre utbildning - det kallas "R". Den har funktioner som låter dig beräkna värden för många begrepp från statistik och sannolikhetsteori.

Till exempel definierar du en vektor av värden. Detta görs enligt följande: vektor<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Till sist

Dispersion och matematiska förväntningar är utan vilka det är svårt att beräkna någonting i framtiden. I huvudkursen av föreläsningar vid universitet övervägs de redan under de första månaderna av att studera ämnet. Det är just på grund av bristen på förståelse för dessa enkla begrepp och oförmågan att räkna ut dem som många studenter omedelbart börjar hamna på efterkälken i programmet och senare får dåliga betyg i passet, vilket berövar dem stipendier.

Öva minst en vecka i en halvtimme om dagen och lös uppgifter som liknar de som presenteras i den här artikeln. Sedan, på vilket sannolikhetsteoretiskt test som helst, kommer du att klara av exempel utan främmande tips och fuskblad.

Egenskaper hos DSW och deras egenskaper. Matematisk förväntan, varians, standardavvikelse

Fördelningslagen karaktäriserar till fullo den slumpmässiga variabeln. Men när det är omöjligt att hitta distributionslagen, eller detta inte krävs, kan man begränsa sig till att hitta värden, så kallade numeriska egenskaper hos en stokastisk variabel. Dessa värden bestämmer något medelvärde kring vilket värdena för en slumpvariabel grupperas, och graden av deras spridning runt detta medelvärde.

matematiska förväntningar En diskret slumpvariabel är summan av produkterna av alla möjliga värden av en slumpvariabel och deras sannolikheter.

Den matematiska förväntan existerar om serien på höger sida av jämlikheten konvergerar absolut.

Ur sannolikhetssynpunkt kan vi säga att den matematiska förväntan är ungefär lika med det aritmetiska medelvärdet av de observerade värdena för den slumpmässiga variabeln.

Exempel. Fördelningslagen för en diskret slumpvariabel är känd. Hitta den matematiska förväntningen.

X
sid	0.2	0.3	0.1	0.4

Beslut:

9.2 Förväntningsegenskaper

1. Den matematiska förväntan på ett konstant värde är lika med konstanten själv.

2. En konstant faktor kan tas ur förväntningstecknet.

3. Den matematiska förväntan av produkten av två oberoende slumpvariabler är lika med produkten av deras matematiska förväntningar.

Denna egenskap är giltig för ett godtyckligt antal slumpvariabler.

4. Den matematiska förväntan av summan av två stokastiska variabler är lika med summan av termernas matematiska förväntningar.

Denna egenskap gäller även för ett godtyckligt antal slumpvariabler.

Låt n oberoende försök utföras, sannolikheten för att händelse A inträffar där är lika med p.

Sats. Den matematiska förväntan M(X) av antalet förekomster av händelse A i n oberoende försök är lika med produkten av antalet försök och sannolikheten för att händelsen inträffar i varje försök.

Exempel. Hitta den matematiska förväntan av en stokastisk variabel Z om de matematiska förväntningarna på X och Y är kända: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.

Beslut:

9.3 Spridning av en diskret slumpvariabel

Den matematiska förväntan kan dock inte helt karakterisera en slumpmässig process. Förutom den matematiska förväntan är det nödvändigt att införa ett värde som kännetecknar avvikelsen mellan värdena för den slumpmässiga variabeln från den matematiska förväntan.

Denna avvikelse är lika med skillnaden mellan den slumpmässiga variabeln och dess matematiska förväntan. I detta fall är den matematiska förväntan av avvikelsen noll. Detta förklaras av det faktum att vissa möjliga avvikelser är positiva, andra är negativa, och som ett resultat av deras ömsesidiga annullering erhålls noll.

Dispersion (spridning) Diskret slumpvariabel kallas den matematiska förväntan av den slumpmässiga variabelns kvadratiska avvikelse från dess matematiska förväntan.

I praktiken är denna metod för att beräkna variansen obekväm, eftersom leder till besvärliga beräkningar för ett stort antal värden av en slumpvariabel.

Därför används en annan metod.

Sats. Variansen är lika med skillnaden mellan den matematiska förväntan på kvadraten av den slumpmässiga variabeln X och kvadraten på dess matematiska förväntan.

Bevis. Med hänsyn till det faktum att den matematiska förväntan M (X) och kvadraten på den matematiska förväntan M 2 (X) är konstanta värden, kan vi skriva:

Exempel. Hitta variansen för en diskret slumpvariabel som ges av distributionslagen.

X
X 2
R	0.2	0.3	0.1	0.4

Beslut: .

9.4 Dispersionsegenskaper

1. Spridningen av ett konstant värde är noll. .

2. En konstant faktor kan tas ut ur spridningstecknet genom att kvadrera det. .

3. Variansen av summan av två oberoende slumpvariabler är lika med summan av varianserna för dessa variabler. .

4. Variansen av skillnaden mellan två oberoende slumpvariabler är lika med summan av varianserna för dessa variabler. .

Sats. Variansen av antalet förekomster av händelse A i n oberoende försök, i var och en av vilka sannolikheten p för att händelsen inträffar är konstant, är lika med produkten av antalet försök och sannolikheterna för inträffande och icke-förekomst av händelsen i varje rättegång.

9.5 Standardavvikelse för en diskret stokastisk variabel

Standardavvikelse slumpvariabel X kallas kvadratroten av variansen.

Sats. Standardavvikelsen för summan av ett ändligt antal ömsesidigt oberoende slumpvariabler är lika med kvadratroten av summan av de kvadrerade standardavvikelserna för dessa variabler.

Den matematiska förväntningen är definitionen

Mat väntar är ett av de viktigaste begreppen inom matematisk statistik och sannolikhetsteori, som kännetecknar fördelningen av värden eller sannolikheter slumpvariabel. Vanligtvis uttryckt som ett viktat medelvärde av alla möjliga parametrar för en slumpvariabel. Det används ofta i teknisk analys, studiet av nummerserier, studiet av kontinuerliga och långsiktiga processer. Det är viktigt för att bedöma risker, förutsäga prisindikatorer vid handel på finansiella marknader, och används i utvecklingen av strategier och metoder för speltaktik i spelteori.

Schackmatt väntar- Det här medelvärde av en slumpvariabel, fördelning sannolikheter stokastisk variabel beaktas i sannolikhetsteorin.

Mat väntar är mått på medelvärdet av en stokastisk variabel i sannolikhetsteorin. Matematisk förväntan på en slumpvariabel x betecknas M(x).

Matematisk förväntan (befolkningsmedelvärde) är

Mat väntar är

Mat väntar är i sannolikhetsteorin, det viktade medelvärdet av alla möjliga värden som denna slumpvariabel kan ta.

Mat väntar är summan av produkterna av alla möjliga värden av en slumpvariabel med sannolikheterna för dessa värden.

Matematisk förväntan (befolkningsmedelvärde) är

Mat väntar är den genomsnittliga nyttan av ett visst beslut, förutsatt att ett sådant beslut kan övervägas inom ramen för teorin om stora antal och långa avstånd.

Mat väntar är i teorin om spel, mängden vinster som en spekulant kan tjäna eller förlora i genomsnitt för varje insats. På spelspråket spekulanter detta kallas ibland "fördelen spekulant” (om det är positivt för spekulanten) eller ”house edge” (om det är negativt för spekulanten).

Matematisk förväntan (befolkningsmedelvärde) är

Mat väntar är vinst per vinst multiplicerat med genomsnittet vinst, minus förlusten multiplicerad med den genomsnittliga förlusten.

Matematisk förväntan på en slumpvariabel i matematisk teori

En av de viktiga numeriska egenskaperna hos en slumpvariabel är förväntan. Låt oss introducera begreppet ett system av slumpvariabler. Betrakta en uppsättning slumpvariabler som är resultatet av samma slumpmässiga experiment. Om är ett av de möjliga värdena i systemet, motsvarar händelsen en viss sannolikhet som uppfyller Kolmogorovs axiom. En funktion definierad för alla möjliga värden av slumpvariabler kallas en gemensam distributionslag. Denna funktion låter dig beräkna sannolikheterna för alla händelser från. I synnerhet gemensamma lag fördelning av slumpvariabler och, som tar värden från mängden och, ges av sannolikheter.

Termen "mat. förväntan” introducerades av Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) och härstammar från begreppet ”förväntat värde på utdelningen”, som först dök upp på 1600-talet i teorin om spelande i verk av Blaise Pascal och Christian Huygens. Men den första fullständiga teoretiska förståelsen och utvärderingen av detta koncept gavs av Pafnuty Lvovich Chebyshev (mitten av 1800-talet).

Lag fördelningar av slumpmässiga numeriska variabler (fördelningsfunktion och distributionsserier eller sannolikhetstäthet) beskriver helt beteendet hos en slumpvariabel. Men i ett antal problem räcker det att känna till några numeriska egenskaper hos kvantiteten som studeras (till exempel dess medelvärde och eventuell avvikelse från det) för att svara på den ställda frågan. De huvudsakliga numeriska egenskaperna hos slumpvariabler är förväntan, varians, mod och median.

Matematisk förväntan på en diskret slumpvariabel är summan av produkterna av dess möjliga värden och deras motsvarande sannolikheter. Ibland matt. förväntan kallas det viktade medelvärdet, eftersom det är ungefär lika med det aritmetiska medelvärdet av de observerade värdena för den slumpmässiga variabeln över ett stort antal experiment. Av definitionen av förväntningsmattan följer att dess värde inte är mindre än det minsta möjliga värdet av en slumpvariabel och inte mer än det största. Matematisk förväntan på en slumpvariabel är en icke-slumpmässig (konstant) variabel.

Matematikförväntningar har en enkel fysisk betydelse: om en enhetsmassa placeras på en rät linje, placerar en massa på vissa punkter (för en diskret fördelning), eller "smetar ut" den med en viss densitet (för en absolut kontinuerlig fördelning), då punkten som motsvarar mattförväntningen kommer att vara koordinaten "tyngdpunkten" rak.

Medelvärdet för en slumpvariabel är ett visst tal, som så att säga är dess "representativa" och ersätter det i grova ungefärliga beräkningar. När vi säger: "den genomsnittliga lampdrifttiden är 100 timmar" eller "den genomsnittliga islagspunkten förskjuts i förhållande till målet med 2 m till höger", anger vi med detta en viss numerisk egenskap hos en slumpmässig variabel som beskriver dess plats på den numeriska axeln, dvs. positionsbeskrivning.

Av egenskaperna hos situationen i sannolikhetsteorin spelas den viktigaste rollen av förväntan på en slumpvariabel, som ibland helt enkelt kallas medelvärdet av en slumpvariabel.

Tänk på en slumpvariabel X, som har möjliga värden x1, x2, …, xn med sannolikheter p1, p2, …, pn. Vi måste karakterisera med något nummer placeringen av värdena för den slumpmässiga variabeln på x-axeln med ta med i beräkningen att dessa värden har olika sannolikheter. För detta ändamål är det naturligt att använda det så kallade "vägda medelvärdet" av värdena xi, och varje värde xi under medelvärdesbildning bör beaktas med en "vikt" proportionell mot sannolikheten för detta värde. Därför kommer vi att beräkna medelvärdet av den slumpmässiga variabeln X, som vi kommer att beteckna M|X|:

Detta vägda medelvärde kallas mattförväntningen för den slumpmässiga variabeln. Därför introducerade vi ett av de viktigaste begreppen inom sannolikhetsteorin - begreppet mat. förväntningar. Matta. Förväntningen på en slumpvariabel är summan av produkterna av alla möjliga värden av en slumpvariabel och sannolikheterna för dessa värden.

Matta. förväntan på en slumpvariabel X på grund av ett märkligt beroende av det aritmetiska medelvärdet av de observerade värdena för en slumpmässig variabel med ett stort antal experiment. Detta beroende är av samma typ som beroendet mellan frekvens och sannolikhet, nämligen: med ett stort antal experiment närmar sig (konvergerar i sannolikhet) det aritmetiska medelvärdet av de observerade värdena för en slumpvariabel till dess matta. väntar. Från närvaron av ett samband mellan frekvens och sannolikhet kan man som en konsekvens härleda förekomsten av ett liknande samband mellan det aritmetiska medelvärdet och den matematiska förväntan. Tänk faktiskt på en slumpvariabel X, kännetecknad av en serie distributioner:

Låt det produceras N oberoende experiment, i var och en av vilka värdet X får ett visst värde. Antag värdet x1 dök upp m1 gånger, värde x2 dök upp m2 gånger, allmän betydelse xi dykt upp flera gånger. Låt oss beräkna det aritmetiska medelvärdet av de observerade värdena av X, som i motsats till förväntansmattorna M|X| vi kommer att beteckna M*|X|:

Med en ökning av antalet experiment N frekvenser pi kommer att närma sig (konvergera i sannolikhet) motsvarande sannolikheter. Därför är det aritmetiska medelvärdet av de observerade värdena för den slumpmässiga variabeln M|X| med en ökning av antalet experiment kommer det att närma sig (konvergera i sannolikhet) till sina förväntningar. Relationen formulerad ovan mellan det aritmetiska medelvärdet och mattan. förväntan är innehållet i en av formerna för lagen om stora tal.

Vi vet redan att alla former av lagen om stora tal anger det faktum att vissa medelvärden är stabila över ett stort antal experiment. Här talar vi om stabiliteten för det aritmetiska medelvärdet för en serie observationer av samma värde. Med ett litet antal experiment är det aritmetiska medelvärdet av deras resultat slumpmässigt; med en tillräcklig ökning av antalet experiment blir det "nästan inte slumpmässigt" och, stabiliserande, närmar sig ett konstant värde - mat. väntar.

Egenskapen för stabilitet hos medelvärden för ett stort antal experiment är lätt att verifiera experimentellt. Till exempel vägning av någon kropp i laboratoriet på exakta vågar, som ett resultat av vägning får vi ett nytt värde varje gång; för att minska observationsfelet väger vi kroppen flera gånger och använder det aritmetiska medelvärdet av de erhållna värdena. Det är lätt att se att med en ytterligare ökning av antalet experiment (vägningar) reagerar det aritmetiska medelvärdet mindre och mindre på denna ökning och med ett tillräckligt stort antal experiment upphör det praktiskt taget att förändras.

Det bör noteras att den viktigaste egenskapen för positionen för en slumpvariabel är matt. förväntan - finns inte för alla slumpvariabler. Det går att göra exempel på sådana slumpvariabler för vilka mat. det finns ingen förväntan, eftersom motsvarande summa eller integral divergerar. För praktiken är dock sådana fall inte av väsentligt intresse. Vanligtvis har de slumpvariabler vi hanterar ett begränsat antal möjliga värden och har naturligtvis en matt förväntan.

Förutom de viktigaste egenskaperna för positionen för en slumpvariabel - förväntningsvärdet - används ibland andra egenskaper hos positionen i praktiken, i synnerhet mode och median för slumpvariabeln.

Moden för en slumpvariabel är dess mest sannolika värde. Termen "mest troligt värde" gäller strikt sett endast för diskontinuerliga kvantiteter; för en kontinuerlig storhet är moden det värde vid vilket sannolikhetstätheten är maximal. Figurerna visar läget för diskontinuerliga respektive kontinuerliga stokastiska variabler.

Om fördelningspolygonen (fördelningskurvan) har mer än ett maximum, sägs fördelningen vara "polymodal".

Ibland finns det distributioner som inte har ett maximum, utan ett minimum i mitten. Sådana distributioner kallas "antimodala".

I det allmänna fallet sammanfaller inte läget och förväntan av en slumpvariabel. I det speciella fallet när fördelningen är symmetrisk och modal (dvs har ett läge) och det finns en matta. förväntan, då sammanfaller den med fördelningens läge och symmetricentrum.

En annan egenskap hos positionen används ofta - den så kallade medianen för en slumpvariabel. Denna egenskap används vanligtvis endast för kontinuerliga slumpvariabler, även om den formellt kan definieras även för en diskontinuerlig variabel. Geometriskt är medianen abskissan för den punkt där arean som begränsas av fördelningskurvan är delad.

Vid en symmetrisk modal fördelning sammanfaller medianen med mattan. förväntningar och mode.

Matematisk förväntan är ett medelvärde, slumpvariabel - en numerisk egenskap av sannolikhetsfördelningen för en slumpvariabel. På det mest generella sättet, mattförväntningen på en slumpvariabel X(w) definieras som Lebesgue-integralen med avseende på sannolikhetsmåttet R i det ursprungliga sannolikhetsutrymmet:

Matta. förväntan kan också beräknas som Lebesgue-integralen av X efter sannolikhetsfördelning px kvantiteter X:

På ett naturligt sätt kan man definiera begreppet en slumpvariabel med oändlig förväntan. Ett typiskt exempel är repatrieringstiderna vid några slumpmässiga promenader.

Med hjälp av matta. förväntningar definieras av många numeriska och funktionella egenskaper hos fördelningen (som den matematiska förväntningen på motsvarande funktioner för en slumpvariabel), till exempel genererande funktion, karakteristisk funktion, moment av valfri ordning, särskilt varians, kovarians.

Matematisk förväntan (befolkningsmedelvärde) är

Matematisk förväntan är en egenskap av platsen för värdena för en slumpmässig variabel (medelvärdet för dess fördelning). I denna egenskap fungerar den matematiska förväntan som någon "typisk" fördelningsparameter och dess roll liknar rollen för det statiska momentet - koordinaten för massfördelningens tyngdpunkt - inom mekaniken. Från andra egenskaper hos platsen, med hjälp av vilka fördelningen beskrivs i generella termer - skiljer sig medianerna, moden, förväntan i det större värde som den och motsvarande spridningskaraktäristik - varians - har i sannolikhetsteorins gränssatser. Med största fullständighet avslöjas betydelsen av förväntningsmattor av lagen om stora siffror (Tjebysjevs ojämlikhet) och den förstärkta lagen om stora siffror.

Matematisk förväntan (befolkningsmedelvärde) är

Matematisk förväntan på en diskret slumpvariabel

Låt det finnas någon slumpmässig variabel som kan ta ett av flera numeriska värden (till exempel kan antalet poäng i ett tärningskast vara 1, 2, 3, 4, 5 eller 6). Ofta i praktiken, för ett sådant värde, uppstår frågan: vilket värde tar det "i genomsnitt" med ett stort antal tester? Vad blir vår genomsnittliga avkastning (eller förlust) från var och en av de riskfyllda operationerna?

Låt oss säga att det finns något slags lotteri. Vi vill förstå om det är lönsamt eller inte att delta i det (eller till och med delta upprepade gånger, regelbundet). Låt oss säga att var fjärde biljett vinner, priset kommer att vara 300 rubel och vilken biljett som helst - 100 rubel. Med ett oändligt antal deltagande är detta vad som händer. I tre fjärdedelar av fallen kommer vi att förlora, var tredje förlust kommer att kosta 300 rubel. I vart fjärde fall vinner vi 200 rubel. (pris minus kostnad), det vill säga för fyra deltaganden förlorar vi i genomsnitt 100 rubel, för en - i genomsnitt 25 rubel. Totalt kommer den genomsnittliga hastigheten för vår ruin att vara 25 rubel per biljett.

Vi kastar en tärning. Om det inte är fusk (utan att flytta tyngdpunkten etc.), hur många poäng har vi då i snitt åt gången? Eftersom varje alternativ är lika troligt tar vi det dumma aritmetiska medelvärdet och får 3,5. Eftersom detta är MEDEL, behöver du inte vara indignerad över att inget särskilt kast ger 3,5 poäng - ja, den här kuben har inte ett ansikte med ett sådant nummer!

Låt oss nu sammanfatta våra exempel:

Låt oss ta en titt på bilden precis ovan. Till vänster finns en tabell över fördelningen av en slumpvariabel. Värdet på X kan ta ett av n möjliga värden (givna i den översta raden). Det kan inte finnas några andra värden. Under varje möjligt värde är dess sannolikhet signerad nedan. Till höger finns en formel, där M(X) kallas mat. väntar. Innebörden av detta värde är att med ett stort antal försök (med ett stort urval), kommer medelvärdet att tendera till just denna förväntning.

Låt oss gå tillbaka till samma spelkub. Matta. förväntan på antalet poäng när du kastar är 3,5 (beräkna dig själv med formeln om du inte tror på det). Låt oss säga att du kastade den ett par gånger. föll 4 och 6. I snitt blev det 5, alltså långt ifrån 3,5. De kastade den igen, 3 föll ut, det vill säga i genomsnitt (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... På något sätt långt från mattan. förväntningar. Gör nu ett galet experiment - rulla kuben 1000 gånger! Och om snittet inte är exakt 3,5 så kommer det att vara nära det.

Låt oss räkna matta. väntar på det ovan beskrivna lotteriet. Tabellen kommer att se ut så här:

Då blir förväntningen schackmatt, som vi har konstaterat ovan.

En annan sak är att den också är "på fingrarna", utan formel skulle det vara svårt om det fanns fler alternativ. Tja, låt oss säga att det var 75% förlorade lotter, 20% vinnande lotter och 5% vinnande lotter.

Nu några egenskaper förväntan matta.

Matta. väntan är linjär. Det är lätt att bevisa det:

Den konstanta multiplikatorn får tas ut ur schackmattstecknet. förväntningar, det vill säga:

Detta är ett specialfall av linjäritetsegenskapen hos förväntansmattor.

En annan konsekvens av mattans linjäritet. förväntningar:

det är matt. förväntan på summan av slumpvariabler är lika med summan av matematiska förväntningar på slumpvariabler.

Låt X, Y vara oberoende slumpvariabler, sedan:

Detta är också lätt att bevisa) XY i sig är en slumpmässig variabel, medan om de initiala värdena skulle kunna ta n och m värden då XY kan ta nm-värden. vart och ett av värdena beräknas utifrån det faktum att sannolikheterna för oberoende händelser multipliceras. Som ett resultat får vi detta:

Matematisk förväntan på en kontinuerlig stokastisk variabel

Kontinuerliga stokastiska variabler har en sådan egenskap som distributionstätheten (sannolikhetstätheten). Det kännetecknar faktiskt situationen att en slumpvariabel tar vissa värden från uppsättningen av reella tal oftare, vissa - mindre ofta. Tänk till exempel på det här diagrammet:

Här X- faktiskt en slumpvariabel, f(x)- distributionstäthet. Att döma av denna graf, under experimenten, värdet X kommer ofta att vara ett tal nära noll. chanser att överträffa 3 eller vara mindre -3 snarare rent teoretiskt.

Om distributionstätheten är känd, söks förväntad mattan på följande sätt:

Låt, till exempel, det finns en enhetlig fördelning:

Låt oss hitta en matta. förväntan:

Detta är helt i linje med den intuitiva förståelsen. Låt oss säga att om vi får många slumpmässiga reella tal med en enhetlig fördelning, vart och ett av segmenten |0; 1| , då bör det aritmetiska medelvärdet vara cirka 0,5.

Förväntningsmattornas egenskaper - linjäritet etc., tillämpliga för diskreta slumpvariabler, gäller även här.

Förhållandet mellan matematiska förväntningar och andra statistiska indikatorer

PÅ statistisk analys, tillsammans med matt förväntan, finns det ett system av ömsesidigt beroende indikatorer som återspeglar homogeniteten i fenomen och stabilitet processer. Ofta har variationsindikatorer ingen oberoende betydelse och används för vidare dataanalys. Undantaget är variationskoefficienten, som kännetecknar homogeniteten data vad som är värdefullt statistisk karakteristisk.

Grad av variation eller stabilitet processer inom statistisk vetenskap kan mätas med hjälp av flera indikatorer.

Den viktigaste indikatorn som karakteriserar variabilitet slumpvariabel, är Dispersion, som är närmast och direkt förbunden med mattan. väntar. Denna parameter används aktivt i andra typer av statistisk analys (hypotestestning, analys av orsak- och verkanssamband, etc.). Liksom den linjära medelavvikelsen återspeglar variansen även spridningsmåttet data runt genomsnittet.

Det är användbart att översätta teckenspråket till ordspråket. Det visar sig att variansen är medelkvadraten på avvikelserna. Det vill säga att det genomsnittliga värdet först beräknas, sedan tas skillnaden mellan varje original- och medelvärde, kvadreras, adderas och sedan divideras med antalet värden i denna population. Skillnad mellan ett enskilt värde och medelvärdet återspeglar måttet på avvikelsen. Den är kvadratisk för att säkerställa att alla avvikelser uteslutande blir positiva tal och för att undvika ömsesidig annullering av positiva och negativa avvikelser när de summeras. Sedan, givet de kvadratiska avvikelserna, beräknar vi helt enkelt det aritmetiska medelvärdet. Medel - kvadrat - avvikelser. Avvikelser kvadreras och genomsnittet beaktas. Svaret på det magiska ordet "spridning" är bara tre ord.

Men i sin rena form, som till exempel det aritmetiska medelvärdet, eller , används inte dispersionen. Det är snarare en hjälp- och mellanindikator som används för andra typer av statistisk analys. Hon har inte ens en normal måttenhet. Att döma av formeln är detta kvadraten på den ursprungliga dataenheten.

Matematisk förväntan (befolkningsmedelvärde) är

Låt oss mäta en slumpvariabel N gånger mäter vi till exempel vindhastigheten tio gånger och vill hitta medelvärdet. Hur är medelvärdet relaterat till fördelningsfunktionen?

Eller så slår vi tärningen ett stort antal gånger. Antalet poäng som faller ut på tärningen under varje kast är en slumpmässig variabel och kan ta alla naturliga värden från 1 till 6. N det tenderar till ett mycket specifikt nummer - matt. förväntan Mx. I detta fall är Mx = 3,5.

Hur kom detta värde till? Släppa in N prövningar n1 när 1 poäng tappas, n2 gånger - 2 poäng och så vidare. Sedan antalet utfall där en poäng föll:

Likadant för utfallen när 2, 3, 4, 5 och 6 poäng föll ut.

Låt oss nu anta att vi känner till fördelningarna av den slumpmässiga variabeln x, det vill säga vi vet att den slumpmässiga variabeln x kan anta värdena x1, x2,..., xk med sannolikheter p1, p2,... , pk.

Matförväntningen Mx för en slumpvariabel x är:

Matematisk förväntan är inte alltid en rimlig uppskattning av någon slumpmässig variabel. Så för att uppskatta medellönen är det mer rimligt att använda begreppet median, det vill säga ett sådant värde att antalet personer som får mindre än medianen lön och stora, matcha.

Sannolikheten p1 att den slumpmässiga variabeln x är mindre än x1/2 och sannolikheten p2 att den slumpmässiga variabeln x är större än x1/2 är densamma och lika med 1/2. Medianen är inte unikt bestämd för alla distributioner.

Standard eller standardavvikelse i statistik kallas graden av avvikelse för observationsdata eller uppsättningar från AVERAGE-värdet. Betecknas med bokstäverna s eller s. En liten standardavvikelse indikerar att uppgifterna är grupperade runt medelvärdet, och en stor standardavvikelse indikerar att de initiala uppgifterna är långt ifrån det. Standardavvikelsen är lika med kvadratroten av en storhet som kallas variansen. Det är medelvärdet av summan av de kvadratiska skillnaderna mellan de initiala data som avviker från medelvärdet. Standardavvikelsen för en slumpvariabel är kvadratroten av variansen:

Exempel. Under testförhållanden när du skjuter mot ett mål, beräkna variansen och standardavvikelsen för en slumpmässig variabel:

Variation- fluktuation, variabilitet av attributets värde i populationsenheter. Separata numeriska värden för en egenskap som förekommer i den studerade populationen kallas värdevarianter. Otillräckligheten av medelvärdet för en fullständig karakterisering av befolkningen gör det nödvändigt att komplettera medelvärdena med indikatorer som gör det möjligt att bedöma typiska för dessa medelvärden genom att mäta fluktuationen (variationen) av egenskapen som studeras. Variationskoefficienten beräknas med formeln:

Spännvidd variation(R) är skillnaden mellan de maximala och lägsta värdena för egenskapen i den studerade populationen. Denna indikator ger den mest allmänna uppfattningen om fluktuationen av egenskapen som studeras, som den visar skillnad endast mellan gränsvärdena för varianterna. Beroendet av attributets extrema värden ger variationsområdet en instabil, slumpmässig karaktär.

Genomsnittlig linjär avvikelseär det aritmetiska medelvärdet av de absoluta (modulo) avvikelserna för alla värden i den analyserade populationen från deras medelvärde:

Matematiska förväntningar i spelteori

Mat väntar är den genomsnittliga summa pengar en spelspekulant kan vinna eller förlora på en given insats. Detta är ett mycket betydelsefullt koncept för en spekulant, eftersom det är grundläggande för bedömningen av de flesta spelsituationer. Mate förväntan är också det bästa verktyget för att analysera grundläggande kortlayouter och spelsituationer.

Låt oss säga att du spelar mynt med en vän och gör lika mycket $1 varje gång, oavsett vad som dyker upp. Tails - du vann, huvuden - du förlorade. Chansen att det kommer upp är en till en och du satsar $1 till $1. Din schackmattförväntning är alltså noll, eftersom Matematiskt sett kan du inte veta om du leder eller förlorar efter två kast eller efter 200.

Din timvinst är noll. Timutbetalning är summan pengar du förväntar dig att vinna på en timme. Du kan vända ett mynt 500 gånger inom en timme, men du kommer inte att vinna eller förlora eftersom dina odds är varken positiva eller negativa. Om du tittar, ur en seriös spekulant, är ett sådant system med priser inte dåligt. Men det är bara slöseri med tid.

Men anta att någon vill satsa $2 mot din $1 i samma spel. Då har du direkt en positiv förväntan på 50 cent från varje insats. Varför 50 cent? I genomsnitt vinner du en satsning och förlorar den andra. Satsa den första och förlora $1, satsa den andra och vinn $2. Du har satsat $1 två gånger och ligger före med $1. Så var och en av dina satsningar på en dollar gav dig 50 cent.

Om myntet faller 500 gånger på en timme, kommer din timvinst att vara redan $250, eftersom. i genomsnitt tappade du en dollar 250 gånger och vann två dollar 250 gånger. $500 minus $250 är lika med $250, vilket är den totala vinsten. Observera att det förväntade värdet, vilket är det belopp du vinner i genomsnitt på ett enskilt spel, är 50 cent. Du vann $250 genom att satsa en dollar 500 gånger, vilket motsvarar 50 cent av din insats.

Matematisk förväntan (befolkningsmedelvärde) är

Matta. förväntningar har inget med kortsiktiga resultat att göra. Din motståndare, som bestämde sig för att satsa $2 mot dig, kunde slå dig på de första tio kasten i rad, men du, med en 2-till-1-fördel, allt annat lika, tjänar 50 cent på varje $1-insats under någon omständigheter. Det spelar ingen roll om du vinner eller förlorar ett spel eller flera spel, utan endast under förutsättning att du har tillräckligt med kontanter för att enkelt kompensera för kostnaderna. Om du fortsätter att satsa på samma sätt kommer dina vinster över en lång tidsperiod att närma sig summan av förväntade värden i individuella kast.

Varje gång du gör en bästa satsning (en satsning som kan vara lönsam i det långa loppet) när oddsen är till din fördel, är du skyldig att vinna något på den, oavsett om du förlorar den eller inte i en given hand. Omvänt, om du gjorde en sämre satsning (en satsning som är olönsam i längden) när oddsen inte är till din fördel, förlorar du något, vare sig du vinner eller förlorar handen.

Matematisk förväntan (befolkningsmedelvärde) är

Du satsar med det bästa resultatet om dina förväntningar är positiva, och det är positivt om oddsen är till din fördel. Genom att satsa med det sämsta resultatet har du en negativ förväntning, vilket händer när oddsen är emot dig. Seriösa spekulanter satsar bara med det bästa resultatet, med det sämsta - de lägger sig. Vad betyder oddsen till din fördel? Du kan sluta vinna mer än vad de faktiska oddsen ger. De verkliga oddsen för att träffa svansar är 1 till 1, men du får 2 till 1 på grund av insatsförhållandet. I det här fallet är oddsen till din fördel. Du får definitivt det bästa resultatet med en positiv förväntan på 50 cent per insats.

Här är ett mer komplext exempel. förväntningar. Vännen skriver ner siffrorna från ett till fem och satsar $5 mot din $1 på att du inte kommer att välja numret. Går du med på en sådan satsning? Vad är förväntningarna här?

I genomsnitt kommer du att ha fel fyra gånger. Baserat på detta kommer oddsen mot att du gissar siffran vara 4 till 1. Oddsen är att du kommer att förlora en dollar på ett försök. Däremot vinner du 5 mot 1, med möjlighet att förlora 4 mot 1. Därför är oddsen till din fördel, du kan ta insatsen och hoppas på det bästa resultatet. Om du gör denna satsning fem gånger kommer du i genomsnitt att förlora fyra gånger $1 och vinna $5 en gång. Baserat på detta, för alla fem försöken kommer du att tjäna $1 med en positiv matematisk förväntan på 20 cent per insats.

En spekulant som kommer att vinna mer än han satsar, som i exemplet ovan, fångar oddsen. Omvänt förstör han chanserna när han förväntar sig att vinna mindre än vad han satsar. Spelspekulanten kan ha antingen positiva eller negativa förväntningar beroende på om han fångar eller förstör oddsen.

Om du satsar $50 för att vinna $10 med 4 till 1 chans att vinna, kommer du att få en negativ förväntning på $2, eftersom i genomsnitt kommer du att vinna fyra gånger $10 och förlora $50 en gång, vilket visar att förlusten per insats blir $10. Men om du satsar $30 för att vinna $10, med samma odds att vinna 4 till 1, så har du i det här fallet en positiv förväntan på $2, eftersom du vinner igen fyra gånger $10 och förlorar $30 en gång, vilket är vinst för $10. Dessa exempel visar att den första satsningen är dålig och den andra är bra.

Matta. förväntan är centrum för varje spelsituation. När en bookmaker uppmuntrar fotbollsfans att satsa $11 för att vinna $10, har de en positiv förväntan på 50 cent för varje $10. Om kasinot betalar ut jämna pengar från Craps pass line, då är husets positiva förväntning cirka $1,40 för varje $100; detta spel är uppbyggt så att alla som satsar på den här linjen förlorar 50,7 % i genomsnitt och vinner 49,3 % av gångerna. Utan tvekan är det denna till synes minimala positiva förväntan som ger enorma vinster till kasinoägare runt om i världen. Som Vegas World kasinoägare Bob Stupak påpekade, "En tusendel procent negativ sannolikhet över ett tillräckligt långt avstånd kommer att göra den rikaste mannen i världen i konkurs.

Matematisk förväntan när du spelar poker

Spelet poker är det mest illustrativa och illustrativa exemplet när det gäller användningen av väntmattans teori och egenskaper.

Matta. förväntan (engelsk förväntat värde) i poker - den genomsnittliga nyttan av ett visst beslut, förutsatt att ett sådant beslut kan övervägas inom ramen för teorin om stora siffror och långa avstånd. Framgångsrik poker handlar om att alltid acceptera drag med en positiv matematisk förväntan.

Matematisk förväntan (befolkningsmedelvärde) är

Matematisk betydelse. förväntan när man spelar poker ligger i det faktum att vi ofta stöter på slumpmässiga variabler när vi fattar ett beslut (vi vet inte vilka kort motståndaren har på handen, vilka kort som kommer på efterföljande rundor handel). Vi måste överväga var och en av lösningarna utifrån teorin om stora tal, som säger att med ett tillräckligt stort urval, kommer medelvärdet av en slumpmässig variabel att tendera till sitt medelvärde.

Bland de speciella formlerna för att beräkna förväntansmattor är följande mest tillämpligt i poker:

När du spelar pokermatta. förväntan kan beräknas för både satsningar och samtal. I det första fallet bör fold equity beaktas, i det andra pottens egna odds. Vid utvärdering av matta. förväntningar på det ena eller det andra draget, bör man komma ihåg att vecket alltid har en noll förväntan. Att slänga kort kommer därför alltid att vara ett mer lönsamt beslut än något negativt drag.

Matematisk förväntan (befolkningsmedelvärde) är

Förväntning talar om för dig vad du kan förvänta dig (eller förlora) för varje risk du tar. Kasinon tjänar pengar eftersom schackmattsförväntningar från alla spel som utövas i dem är till förmån för casinot. Med en tillräckligt lång serie spel kan man förvänta sig att klienten kommer att förlora sitt pengar eftersom "sannolikheten" är till förmån för kasinot. Professionella kasinospekulanter begränsar dock sina spel till korta tidsperioder och ökar därmed oddsen till deras fördel. Detsamma gäller för investeringar. Om dina förväntningar är positiva kan du tjäna mer pengar genom att göra många affärer på kort tid. period tid. Förväntningen är din procentandel av vinsten per vinst multiplicerat med din genomsnittliga vinst minus din sannolikhet för förlust multiplicerat med din genomsnittliga förlust.

Poker kan också ses i form av schackmatt. Du kan anta att ett visst drag är lönsamt, men i vissa fall kanske det inte är det bästa, eftersom ett annat drag är mer lönsamt. Låt oss säga att du slår en kåk i poker med fem kort. Din motståndare satsar. Du vet att om du ökar satsen, kommer han att syna. Så att höja ser ut som den bästa taktiken. Men om du höjer insatsen kommer de återstående två spekulanterna definitivt att lägga sig. Men om du synar vadet kommer du vara helt säker på att de andra två spekulanterna efter dig kommer att göra detsamma. När du höjer insatsen får du en enhet, och helt enkelt genom att syna får du två. Så att ringa ger dig ett högre positivt förväntat värde och är den bästa taktiken.

Matta. väntan kan också ge en uppfattning om vilken pokertaktik som är mindre lönsam och vilken som är mer lönsam. Till exempel, om du spelar en viss hand och du tror att din genomsnittliga förlust är 75 cent inklusive antes, bör du spela den handen eftersom detta är bättre än att vika när ante är $1.

Ett annat viktigt skäl för att förstå essensen av matta. förväntan är att det ger dig en känsla av sinnesfrid oavsett om du vann vadet eller inte: om du gjorde ett bra vad eller la dig i tid, kommer du att veta att du har tjänat eller sparat en viss summa pengar som den svagare spekulanten kunde inte spara. Det är mycket svårare att lägga sig om du är frustrerad över att din motståndare har en bättre hand på dragningen. Med allt detta läggs det du sparar genom att inte spela, istället för att satsa, till dina vinster per natt eller per månad.

Kom bara ihåg att om du bytte hand skulle din motståndare syna dig, och som du ser i artikeln om Fundamental Theorem of Poker är detta bara en av dina fördelar. Du ska glädja dig när detta händer. Du kan till och med lära dig att njuta av en förlorad hand, eftersom du vet att andra spekulanter i ditt ställe skulle förlora mycket mer.

Som nämndes i myntspelsexemplet i början, är timprofitkvoten relaterad till matematikförväntningar, och detta koncept är särskilt viktigt för professionella spekulanter. När du ska spela poker måste du mentalt uppskatta hur mycket du kan vinna på en timmes spel. I de flesta fall kommer du att behöva lita på din intuition och erfarenhet, men du kan också använda några matematiska beräkningar. Till exempel, om du spelar draw lowball och du ser tre spelare satsa $10 och sedan dra två kort, vilket är en mycket dålig taktik, kan du själv räkna ut att varje gång de satsar $10 förlorar de cirka $2. Var och en av dem gör detta åtta gånger i timmen, vilket innebär att alla tre förlorar cirka $48 per timme. Du är en av de återstående fyra spekulanterna, som är ungefär lika, så dessa fyra spekulanter (och du bland dem) måste dela på $48, och var och en kommer att göra en vinst på $12 per timme. Ditt timpris i det här fallet är helt enkelt din andel av summan pengar som förlorats av tre dåliga spekulanter på en timme.

Matematisk förväntan (befolkningsmedelvärde) är

Under en lång tidsperiod är spekulantens totala vinst summan av hans matematiska förväntningar i separata fördelningar. Ju mer du spelar med positiva förväntningar, desto mer vinner du, och omvänt, ju fler händer du spelar med negativa förväntningar, desto mer förlorar du. Som ett resultat bör du prioritera ett spel som kan maximera dina positiva förväntningar eller negera din negativa så att du kan maximera din timvinst.

Positiva matematiska förväntningar i spelstrategi

Om du vet hur man räknar kort kan du ha en fördel gentemot casinot om de inte märker det och sparkar ut dig. Kasinon älskar berusade spekulanter och hatar korträknare. Fördelen gör att du kan vinna fler gånger än du förlorar över tiden. Bra pengahantering med hjälp av schackmattberäkningar kan hjälpa dig att få ut mer av din kant och minska dina förluster. Utan en fördel är det bättre att ge pengarna till välgörenhet. I spelet på börsen ges fördelen av spelets system, vilket skapar mer vinst än förlust, skillnaden priser och provisioner. Ingen kapitalförvaltning kommer inte att rädda ett dåligt spelsystem.

En positiv förväntan definieras av ett värde större än noll. Ju större detta antal, desto starkare är den statistiska förväntningen. Om värdet är mindre än noll, då förväntningarna kommer också att vara negativa. Ju större modulen för ett negativt värde är, desto värre är situationen. Om resultatet är noll är förväntningen breakeven. Du kan bara vinna när du har en positiv matematisk förväntning, ett rimligt spelsystem. Att spela på intuition leder till katastrof.

Matematisk förväntan och

Matematisk förväntan är en ganska efterfrågad och populär statistisk indikator vid genomförandet av valutahandel på finansmarknaderna. marknader. Först och främst används denna parameter för att analysera framgången handel. Det är inte svårt att gissa att ju högre detta värde är, desto mer anledning att anse att handeln som studeras är framgångsrik. Naturligtvis analys arbete handlare kan inte göras endast med hjälp av denna parameter. Men det beräknade värdet i kombination med andra metoder för att bedöma kvaliteten arbete, kan avsevärt förbättra analysens noggrannhet.

Matförväntningar beräknas ofta i handelskontoövervakningstjänster, vilket gör att du snabbt kan utvärdera arbetet som gjorts på insättningen. Som undantag kan vi nämna strategier som använder "överlevnad" för att förlora affärer. Handlare lycka kan följa med honom under en tid, och därför kan det inte bli några förluster alls i hans arbete. I det här fallet kommer det inte att vara möjligt att navigera endast enligt förväntningarna, eftersom de risker som används i arbetet inte kommer att beaktas.

I handel på marknadsföra mat förväntan används oftast när man förutsäger lönsamheten för en handelsstrategi eller när man prognostiserar inkomst handlare baserat på statistiken från hans tidigare budgivning.

Matematisk förväntan (befolkningsmedelvärde) är

När det gäller pengahantering är det mycket viktigt att förstå att när man gör affärer med negativa förväntningar finns det inget system förvaltning pengar, vilket definitivt kan ge höga vinster. Om du fortsätter att spela börsen under dessa förhållanden, oavsett metod förvaltning pengar kommer du att förlora hela ditt konto, oavsett hur stort det var i början.

Detta axiom är inte bara sant för spel eller affärer med negativa förväntningar, det är också sant för spel med jämna odds. Därför är det enda fallet där du har en chans att dra nytta i det långa loppet när du gör affärer med en positiv matematisk förväntan.

Skillnaden mellan negativ förväntan och positiv förväntan är skillnaden mellan liv och död. Det spelar ingen roll hur positiv eller negativ förväntningen är; Det som spelar roll är om det är positivt eller negativt. Därför innan man överväger förvaltningsfrågor huvudstad du måste hitta ett spel med positiva förväntningar.

Om du inte har det spelet kommer ingen hantering av pengar i världen att rädda dig. Å andra sidan, om du har en positiv förväntning, så är det möjligt, genom korrekt penninghantering, att förvandla det till en exponentiell tillväxtfunktion. Det spelar ingen roll hur liten den positiva förväntan är! Det spelar med andra ord ingen roll hur lönsamt ett handelssystem baserat på ett kontrakt är. Om du har ett system som vinner 10 USD per kontrakt på en enda handel (efter provisioner och slippa), kan hanteringstekniker användas huvudstad på ett sätt för att göra det mer lönsamt än ett system som visar en genomsnittlig vinst på 1 000 $ per handel (efter avgifter och glidning).

Det viktiga är inte hur lönsamt systemet var, utan hur säkert man kan säga att systemet kommer att visa åtminstone en minimal vinst i framtiden. Därför är den viktigaste förberedelsen som kan göras att se till att systemet visar ett positivt förväntat värde i framtiden.

För att ha ett positivt förväntat värde i framtiden är det väldigt viktigt att inte begränsa frihetsgraderna i ditt system. Detta uppnås inte bara genom att eliminera eller minska antalet parametrar som ska optimeras, utan också genom att minska så många systemregler som möjligt. Varje parameter du lägger till, varje regel du gör, varje liten förändring du gör i systemet minskar antalet frihetsgrader. Helst vill du bygga ett ganska primitivt och enkelt system som ständigt kommer att ge en liten vinst på nästan vilken marknad som helst. Återigen är det viktigt att du förstår att det inte spelar någon roll hur lönsamt ett system är, så länge det är lönsamt. som du tjänar i handel kommer att tjänas in genom effektiv penninghantering.

Matematisk förväntan (befolkningsmedelvärde) är

Ett handelssystem är helt enkelt ett verktyg som ger dig en positiv matematisk förväntan så att pengahantering kan användas. System som fungerar (visar åtminstone en minimal vinst) på endast en eller ett fåtal marknader, eller har olika regler eller parametrar för olika marknader, kommer med största sannolikhet inte att fungera i realtid länge. Problemet med de flesta tekniska handlare är att de lägger för mycket tid och ansträngning på att optimera de olika reglerna och parametrarna i ett handelssystem. Detta ger helt motsatta resultat. Istället för att slösa energi och datortid på att öka vinsterna i handelssystemet, rikta din energi till att öka tillförlitlighetsnivån för att få den lägsta vinsten.

Veta att kapitalförvaltning- det här är bara ett sifferspel som kräver användning av positiva förväntningar, handlaren kan sluta leta efter den "heliga gralen" av handel på börsen. Istället kan han börja testa sin handelsmetod, ta reda på hur logisk denna metod är, om den ger positiva förväntningar. Korrekt penninghanteringsmetoder som tillämpas på alla, även mycket mediokra handelsmetoder, kommer att göra resten av arbetet.

För att någon handlare ska bli framgångsrik i sitt arbete måste han lösa de tre viktigaste uppgifterna: För att säkerställa att antalet framgångsrika transaktioner överstiger de oundvikliga misstagen och missräkningarna; Ställ in ditt handelssystem så att möjligheten att tjäna pengar är så ofta som möjligt; Uppnå ett stabilt positivt resultat av din verksamhet.

Och här kan för oss, arbetande handlare, schackmatt vara till god hjälp. förväntan. Denna term i sannolikhetsteorin är en av nyckeln. Med den kan du ge en genomsnittlig uppskattning av något slumpmässigt värde. Matematisk förväntan på en slumpvariabel liknar tyngdpunkten, om vi föreställer oss alla möjliga sannolikheter som punkter med olika massor.

I förhållande till en handelsstrategi, för att utvärdera dess effektivitet, används oftast förväntan om vinst (eller förlust). Denna parameter definieras som summan av produkterna av givna vinst- och förlustnivåer och sannolikheten för att de inträffar. Till exempel antar den utvecklade handelsstrategin att 37% av all verksamhet kommer att ge vinst, och resten - 63% - kommer att vara olönsam. Samtidigt genomsnittet inkomst från en framgångsrik transaktion kommer att vara 7 dollar, och den genomsnittliga förlusten kommer att vara lika med 1,4 dollar. Låt oss beräkna matta. förväntningar på handel på ett sådant system:

Vad betyder detta nummer? Det står att, enligt reglerna i detta system, kommer vi i genomsnitt att få 1,708 dollar från varje avslutad transaktion. Eftersom den resulterande effektivitetspoängen är större än noll kan ett sådant system användas för riktigt arbete. Om, som ett resultat av beräkningen av mattan, förväntningen visar sig vara negativ, indikerar detta redan en genomsnittlig förlust och detta kommer att leda till ruin.

Mängden vinst per handel kan också uttryckas som ett relativt värde i form av %. Till exempel:

Procent av inkomst per 1 transaktion - 5%;

Andelen framgångsrika handelsverksamheter - 62%;

Procentandel av förlust per 1 handel - 3%;

Andelen misslyckade transaktioner - 38%;

I detta fall, mat. förväntan blir:

Det vill säga, den genomsnittliga transaktionen kommer att ge 1,96%.

Det är möjligt att utveckla ett system som, trots övervägande av förlustaffärer, ger ett positivt resultat, eftersom dess MO>0.

Det räcker dock inte att vänta ensam. Det är svårt att tjäna pengar om systemet ger väldigt få handelssignaler. I det här fallet kommer det att vara jämförbart med bankränta. Låt varje operation bara inbringa 0,5 dollar i genomsnitt, men vad händer om systemet utgår från 1000 transaktioner per år? Detta kommer att vara en mycket allvarlig mängd på relativt kort tid. Det följer logiskt av detta att ytterligare ett kännetecken för ett bra handelssystem kan betraktas som en kort innehavsperiod.

Källor och länkar

dic.academic.ru - akademisk onlineordbok

mathematics.ru - utbildningssida om matematik

nsu.ru - utbildningswebbplats för Novosibirsk State University

webmath.ru - en utbildningsportal för studenter, sökande och skolbarn.

exponenta.ru pedagogisk matematisk webbplats

ru.tradimo.com - gratis handelsskola online

crypto.hut2.ru - multidisciplinär informationsresurs

poker-wiki.ru - gratis uppslagsverk för poker

sernam.ru - Vetenskapligt bibliotek med utvalda naturvetenskapliga publikationer

reshim.su - hemsida

unfx.ru - Forex på UNFX: utbildning, handelssignaler, förtroendehantering

- - matematisk förväntan En av de numeriska egenskaperna hos en slumpvariabel, ofta kallad dess teoretiska medelvärde. För en diskret slumpvariabel X, matematisk ... ... Teknisk översättarhandbok

FÖRVÄNTAT VÄRDE- (förväntat värde) Det genomsnittliga värdet av fördelningen av den ekonomiska variabeln som den kan ta. Om pt är priset på varan vid tidpunkten t, betecknas dess matematiska förväntan med Ept. För att ange den tidpunkt till vilken ... ... Ekonomisk ordbok

Förväntat värde- medelvärdet för en slumpvariabel. Den matematiska förväntan är ett deterministiskt värde. Det aritmetiska medelvärdet av realiseringar av en slumpvariabel är en uppskattning av den matematiska förväntan. Genomsnitt… … Den officiella terminologin är (medelvärdet) för en slumpvariabel en numerisk egenskap hos en slumpvariabel. Om en slumpvariabel ges på ett sannolikhetsutrymme (se Sannolikhetsteori), då är dess M. o. MX (eller EX) definieras som Lebesgue-integralen: där... Fysisk uppslagsverk

FÖRVÄNTAT VÄRDE- en slumpvariabel är dess numeriska egenskap. Om en slumpvariabel X har en fördelningsfunktion F(x), så är dess M.o. kommer: . Om fördelningen av X är diskret, då М.о.: , där x1, x2, ... är möjliga värden för den diskreta slumpvariabeln X; p1... Geologisk uppslagsverk

FÖRVÄNTAT VÄRDE- Engelsk. förväntat värde; tysk Erwartung matematik. Stokastiskt medelvärde eller spridningscentrum för en slumpvariabel. Antinazi. Encyclopedia of Sociology, 2009 ... Encyclopedia of Sociology

Förväntat värde- Se även: Villkorad förväntan Matematisk förväntan är medelvärdet av en stokastisk variabel, sannolikhetsfördelningen för en stokastisk variabel, beaktas i sannolikhetsteorin. I engelsk litteratur och i matematisk ... ... Wikipedia

Förväntat värde- 1.14 Matematisk förväntan E (X) där xi-värden för en diskret slumpvariabel; p = P (X = xi); f(x) är tätheten av en kontinuerlig slumpvariabel * Om detta uttryck existerar i betydelsen absolut konvergens Källa ... Ordboksuppslagsbok med termer för normativ och teknisk dokumentation

Böcker

Wir verwenden Cookies für die best Präsentation unserer Website. Wenn Sie diese Webbplats weiterhin nutzen, stimmen Sie dem zu. OK

- antalet pojkar bland 10 nyfödda.

Det är helt klart att detta antal inte är känt i förväg, och under de kommande tio barn som föds kan det finnas:

Eller pojkar - en och bara en av de listade alternativen.

Och, för att hålla sig i form, lite fysisk träning:

- längdhoppsdistans (i vissa enheter).

Inte ens sportens mästare kan förutsäga det :)

Men vad är dina hypoteser?

2) Kontinuerlig slumpvariabel - tar Allt numeriska värden från något ändligt eller oändligt intervall.

Notera : förkortningar DSV och NSV är populära inom utbildningslitteratur

Låt oss först analysera en diskret slumpvariabel, sedan - kontinuerlig.

Fördelningslag för en diskret stokastisk variabel

- Det här överensstämmelse mellan de möjliga värdena för denna kvantitet och deras sannolikheter. Oftast är lagen skriven i en tabell:

Termen är ganska vanlig rad distribution, men i vissa situationer låter det tvetydigt, och därför kommer jag att hålla mig till "lagen".

Och nu mycket viktig punkt: eftersom den slumpmässiga variabeln nödvändigtvis kommer acceptera ett av värdena, sedan bildas motsvarande händelser hela gruppen och summan av sannolikheterna för deras förekomst är lika med en:

eller, om skrivet vikt:

Så till exempel har lagen om fördelningen av sannolikheter för poäng på en tärning följande form:

Inga kommentarer.

Du kanske har intrycket att en diskret slumpvariabel bara kan anta "bra" heltalsvärden. Låt oss skingra illusionen - de kan vara vad som helst:

Exempel 1

Vissa spel har följande lag för utdelning:

…förmodligen har du drömt om sådana uppgifter länge :) Låt mig berätta en hemlighet för dig - jag också. Speciellt efter avslutat arbete fältteori.

Beslut: eftersom en slumpvariabel endast kan ta ett av tre värden, bildas motsvarande händelser hela gruppen, vilket betyder att summan av deras sannolikheter är lika med en:

Vi avslöjar "partisanen":

– alltså är sannolikheten för att vinna konventionella enheter 0,4.

Kontroll: vad du behöver för att säkerställa.

Svar:

Det är inte ovanligt när distributionslagen behöver sammanställas självständigt. För denna användning klassisk definition av sannolikhet, multiplikations-/additionssatser för händelsesannolikheter och andra marker tervera:

Exempel 2

Det finns 50 lotter i lådan, varav 12 vinner, och 2 av dem vinner 1000 rubel vardera, och resten - 100 rubel vardera. Rita upp en distributionslag för en slumpmässig variabel - storleken på vinsterna, om en lott dras slumpmässigt från lådan.

Beslut: som du märkte är det vanligt att placera värdena för en slumpmässig variabel i stigande ordning. Därför börjar vi med de minsta vinsterna, och nämligen rubel.

Totalt finns det 50 - 12 = 38 sådana biljetter, och enl klassisk definition:
är sannolikheten att en slumpmässigt dragen lott inte vinner.

Resten av fallen är enkla. Sannolikheten att vinna rubel är:

Kontrollera: - och detta är ett särskilt trevligt ögonblick av sådana uppgifter!

Svar: den obligatoriska utdelningslagen:

Följande uppgift för ett oberoende beslut:

Exempel 3

Sannolikheten att skytten träffar målet är . Gör en fördelningslag för en slumpvariabel - antalet träffar efter 2 skott.

... Jag visste att du saknade honom :) Vi minns multiplikations- och additionssatser. Lösning och svar i slutet av lektionen.

Fördelningslagen beskriver helt och hållet en slumpvariabel, men i praktiken är det nyttigt (och ibland nyttigare) att bara känna till en del av den. numeriska egenskaper .

Matematisk förväntan på en diskret slumpvariabel

Enkelt uttryckt, detta genomsnittligt förväntat värde med upprepade tester. Låt en slumpvariabel ta värden med sannolikheter respektive. Då är den matematiska förväntan av denna slumpvariabel lika med summan av verk alla dess värden med motsvarande sannolikheter:

eller i vikt form:

Låt oss till exempel beräkna den matematiska förväntan av en slumpvariabel - antalet poäng som faller på en tärning:

Låt oss nu komma ihåg vårt hypotetiska spel:

Frågan uppstår: är det ens lönsamt att spela det här spelet? ... vem har några intryck? Så du kan inte säga "offhand"! Men denna fråga kan enkelt besvaras genom att beräkna den matematiska förväntan, i huvudsak - vägt genomsnitt sannolikheter att vinna:

Således den matematiska förväntningen av detta spel förlorande.

Lita inte på intryck – lita på siffror!

Ja, här kan du vinna 10 eller till och med 20-30 gånger i rad, men i det långa loppet kommer vi oundvikligen att bli ruinerade. Och jag skulle inte råda dig att spela sådana spel :) Tja, kanske bara på skoj.

Av allt ovanstående följer att den matematiska förväntan INTE är ett Slumpmässigt värde.

Kreativ uppgift för oberoende forskning:

Exempel 4

Mr X spelar europeisk roulette enligt följande system: han satsar konstant 100 rubel på rött. Komponera lagen om fördelningen av en slumpvariabel - dess utdelning. Beräkna den matematiska förväntningen på vinster och runda av den till kopek. Hur mycket genomsnitt förlorar spelaren för varje hundrasatsning?

Referens : Europeisk roulette innehåller 18 röda, 18 svarta och 1 grön sektor ("noll"). I händelse av att en "röd" faller ut, betalas spelaren en dubbel insats, annars går det till kasinots inkomst

Det finns många andra roulettesystem för vilka du kan skapa dina egna sannolikhetstabeller. Men detta är fallet när vi inte behöver några distributionslagar och tabeller, eftersom det är fastställt att spelarens matematiska förväntningar kommer att vara exakt desamma. Endast ändringar från system till system

Den matematiska förväntan av en diskret slumpvariabel är summan av produkterna av alla dess möjliga värden och deras sannolikheter.

Låt en stokastisk variabel bara ta vars sannolikheter är lika.Då bestäms den matematiska förväntan av en stokastisk variabel av likheten

Om en diskret slumpvariabel tar på sig en räknebar uppsättning möjliga värden, då

Dessutom existerar den matematiska förväntan om serien på höger sida av jämlikheten konvergerar absolut.

Kommentar. Det följer av definitionen att den matematiska förväntan av en diskret slumpvariabel är en icke-slumpmässig (konstant) variabel.

Definition av matematisk förväntan i det allmänna fallet

Låt oss definiera den matematiska förväntan av en slumpvariabel vars fördelning inte nödvändigtvis är diskret. Låt oss börja med fallet med icke-negativa slumpvariabler. Tanken kommer att vara att approximera sådana slumpvariabler med hjälp av diskreta, för vilka den matematiska förväntan redan har bestämts, och sätta den matematiska förväntan lika med gränsen för matematiska förväntningar för de diskreta slumpvariablerna som approximerar den. Förresten, detta är en mycket användbar allmän idé, som består i det faktum att någon egenskap först bestäms för enkla objekt, och sedan för mer komplexa objekt bestäms den genom att approximera dem med enklare.

Lemma 1. Låt det finnas en godtycklig icke-negativ stokastisk variabel. Sedan finns det en sekvens av diskreta slumpvariabler så att

Bevis. Låt oss dela upp halvaxeln i lika långa segment och definiera

Då följer egenskaperna 1 och 2 lätt av definitionen av en slumpvariabel, och

Lemma 2. Låta vara en icke-negativ stokastisk variabel och och två sekvenser av diskreta stokastiska variabler med egenskaperna 1-3 från Lemma 1. Sedan

Bevis. Observera att vi tillåter icke-negativa slumpvariabler

Genom egenskap 3 är det lätt att se att det finns en sekvens av positiva tal sådan att

Därav följer det

Genom att använda egenskaperna hos matematiska förväntningar för diskreta slumpvariabler får vi

Vi går till gränsen när vi får påståendet om Lemma 2.

Definition 1. Låt vara en icke-negativ slumpvariabel, vara en sekvens av diskreta slumpvariabler med egenskaperna 1-3 från Lemma 1. Den matematiska förväntan av en slumpvariabel är talet

Lemma 2 garanterar att det inte beror på valet av den approximerande sekvensen.

Låt nu vara en godtycklig slumpvariabel. Låt oss definiera

Av definitionen och det följer lätt att

Definition 2. Den matematiska förväntan av en godtycklig slumpvariabel är talet

Om minst ett av talen på höger sida av denna likhet är ändligt.

Förväntningsegenskaper

Egenskap 1. Den matematiska förväntan på ett konstant värde är lika med konstanten själv:

Bevis. Vi kommer att betrakta en konstant som en diskret slumpvariabel som har ett möjligt värde och tar det med sannolikhet, därför,

Anmärkning 1. Vi definierar produkten av ett konstant värde med en diskret slumpvariabel som en diskret slumpvariabel vars möjliga värden är lika med produkterna av en konstant med möjliga värden; sannolikheten för möjliga värden är lika med sannolikheterna för motsvarande möjliga värden. Till exempel, om sannolikheten för ett möjligt värde är lika, då är sannolikheten att värdet kommer att anta ett värde också lika med

Egenskap 2. En konstant faktor kan tas ur förväntningstecknet:

Bevis. Låt den slumpmässiga variabeln ges av sannolikhetsfördelningslagen:

Med tanke på anmärkning 1, skriver vi fördelningen av den slumpmässiga variabeln

Anmärkning 2. Innan vi går vidare till nästa egenskap påpekar vi att två stokastiska variabler kallas oberoende om fördelningen av en av dem inte beror på vilka möjliga värden den andra variabeln har tagit. Annars är de slumpmässiga variablerna beroende. Flera slumpvariabler kallas ömsesidigt oberoende om distributionslagarna för valfritt antal av dem inte beror på vilka möjliga värden de andra variablerna har tagit.

Anmärkning 3. Vi definierar produkten av oberoende slumpvariabler och som en slumpvariabel vars möjliga värden är lika med produkterna av varje möjligt värde genom att varje möjligt värde av sannolikheterna för produktens möjliga värden är lika till produkterna av sannolikheterna för faktorernas möjliga värden. Till exempel, om sannolikheten för ett möjligt värde är, är sannolikheten för ett möjligt värde då sannolikheten för ett möjligt värde är

Egenskap 3. Den matematiska förväntan av produkten av två oberoende slumpvariabler är lika med produkten av deras matematiska förväntningar:

Bevis. Låt oberoende slumpvariabler och ges av deras egna sannolikhetsfördelningslagar:

Låt oss sammanställa alla värden som en slumpvariabel kan ta. För att göra detta multiplicerar vi alla möjliga värden med varje möjligt värde; som ett resultat får vi och, med hänsyn tagen till anmärkning 3, skriver vi distributionslagen för att för enkelhetens skull anta att alla möjliga värden för produkten är olika (om så inte är fallet utförs beviset på liknande sätt):

Den matematiska förväntan är lika med summan av produkterna av alla möjliga värden och deras sannolikheter:

Följd. Den matematiska förväntan av produkten av flera av varandra oberoende slumpvariabler är lika med produkten av deras matematiska förväntningar.

Egenskap 4. Den matematiska förväntan av summan av två slumpvariabler är lika med summan av termernas matematiska förväntningar:

Bevis. Låt slumpvariabler och ges av följande distributionslagar:

Komponera alla möjliga värden för kvantiteten För att göra detta, lägg till varje möjligt värde till varje möjligt värde; vi får Anta för enkelhetens skull att dessa möjliga värden är olika (om så inte är fallet utförs bevisningen på liknande sätt), och betecknar deras sannolikheter med resp.

Den matematiska förväntningen på en kvantitet är lika med summan av produkterna av möjliga värden genom deras sannolikheter:

Låt oss bevisa att en händelse som består i att ta ett värde (sannolikheten för denna händelse är lika) innebär en händelse som består i att ta värdet eller (sannolikheten för denna händelse är lika med additionssatsen), och vice versa. Därav följer att Jämlikheterna

Genom att ersätta de rätta delarna av dessa jämlikheter i relation (*) får vi

eller äntligen

Spridning och standardavvikelse

I praktiken krävs det ofta att man uppskattar spridningen av möjliga värden för en slumpmässig variabel runt dess medelvärde. Till exempel inom artilleri är det viktigt att veta hur nära granaten kommer att falla nära målet som ska träffas.

Vid första anblicken kan det tyckas att det enklaste sättet att uppskatta spridning är att beräkna alla möjliga värden för avvikelsen för en slumpmässig variabel och sedan hitta deras medelvärde. Denna väg kommer dock inte att ge något, eftersom medelvärdet för avvikelsen, dvs. för varje slumpmässig variabel är noll. Denna egenskap förklaras av att vissa möjliga avvikelser är positiva, medan andra är negativa; som ett resultat av deras ömsesidiga annullering är medelvärdet för avvikelsen noll. Dessa överväganden indikerar lämpligheten av att ersätta möjliga avvikelser med deras absoluta värden eller deras kvadrater. Det är så de gör i praktiken. Det är sant att i de fall då möjliga avvikelser ersätts med deras absoluta värden, måste man arbeta med absoluta värden, vilket ibland leder till allvarliga svårigheter. Därför går de oftast åt andra hållet, d.v.s. beräkna medelvärdet av den kvadratiska avvikelsen, som kallas variansen.