Hitta konens totala yta. Arean av konens laterala och hela yta

Vi vet vad en kon är, låt oss försöka hitta dess yta. Varför är det nödvändigt att lösa ett sådant problem? Till exempel måste du förstå hur mycket testet kommer att gå göra en våffelstrut? Eller hur många tegelstenar skulle det krävas för att lägga ner tegeltaket på ett slott?

Det är inte lätt att mäta den laterala ytan på en kon. Men tänk dig samma horn insvept i tyg. För att hitta området för ett tygstycke måste du klippa och sprida det på bordet. Vi får en platt figur, vi kan hitta dess yta.

Ris. 1. Sektion av könen längs generatrisen

Låt oss göra samma sak med konen. Låt oss "klippa" dess laterala yta längs vilken generatris som helst, till exempel (se fig. 1).

Nu "lindar" vi upp sidoytan på ett plan. Vi får en sektor. Mitten av denna sektor är toppen av konen, sektorns radie är lika med konens generatris och längden på dess båge sammanfaller med omkretsen av konens bas. En sådan sektor kallas en utveckling av konens sidoyta (se fig. 2).

Ris. 2. Utveckling av sidoytan

Ris. 3. Vinkelmätning i radianer

Låt oss försöka hitta området för sektorn enligt tillgängliga data. Låt oss först introducera en notation: låt vinkeln på toppen av sektorn vara i radianer (se fig. 3).

Vi kommer ofta att möta vinkeln på toppen av svepet i uppgifter. Under tiden, låt oss försöka svara på frågan: kan inte denna vinkel visa sig vara mer än 360 grader? Det vill säga, kommer det inte att visa sig att svepet kommer överlagra sig självt? Självklart inte. Låt oss bevisa det matematiskt. Låt svepet "överlappa" sig själv. Detta innebär att längden på svepbågen är större än radiens omkrets. Men, som redan nämnts, är längden på svepbågen radiens omkrets. Och radien för konens bas är naturligtvis mindre än generatrisen, till exempel, eftersom benet i en rätvinklig triangel är mindre än hypotenusan

Låt oss sedan komma ihåg två formler från planimetrins förlopp: båglängd. Sektorområde: .

I vårt fall spelas rollen av generatrisen , och bågens längd är lika med omkretsen av konens bas, det vill säga. Vi har:

Äntligen får vi:

Tillsammans med den laterala ytan kan man också hitta området full yta. För att göra detta, lägg till basytan till den laterala ytan. Men basen är en cirkel med radie , vars yta, enligt formeln, är .

Äntligen har vi: , där är radien för cylinderns bas, är generatrisen.

Låt oss lösa ett par problem på de givna formlerna.

Ris. 4. Önskad vinkel

Exempel 1. Utvecklingen av konens laterala yta är en sektor med en vinkel vid spetsen. Hitta denna vinkel om konens höjd är 4 cm och basens radie är 3 cm (se fig. 4).

Ris. 5. Rätt triangel som bildar en kon

Genom den första handlingen, enligt Pythagoras sats, finner vi generatrisen: 5 cm (se fig. 5). Dessutom vet vi det .

Exempel 2. Arean av konens axiella sektion är , höjden är . Hitta den totala ytan (se fig. 6).

Revolutionens kroppar som studeras i skolan är en cylinder, en kon och en boll.

Om du i en USE-uppgift i matematik behöver beräkna volymen av en kon eller arean av en sfär, betrakta dig själv som lycklig.

Applicera formler för volym och yta av en cylinder, kon och sfär. Alla finns i vårt bord. Lära sig utantill. Det är här kunskapen om stereometri börjar.

Ibland är det bra att rita ovanifrån. Eller, som i detta problem, underifrån.

2. Hur många gånger volymen av en kon omskriven nära den korrekta fyrkantig pyramid, större än volymen av konen inskriven i denna pyramid?

Allt är enkelt - vi ritar en vy underifrån. Vi ser att radien för den större cirkeln är flera gånger större än radien för den mindre. Höjden på båda konerna är desamma. Därför kommer volymen på den större konen att vara dubbelt så stor.

Annan viktig poäng. Kom ihåg att i uppgifterna i del B ANVÄND alternativ i matematik skrivs svaret som ett heltal eller ändligt decimalbråk. Därför bör du inte ha några eller i ditt svar i del B. Det är inte heller nödvändigt att ersätta talets ungefärliga värde! Det måste minskas! Det är för detta som i vissa uppgifter är uppgiften formulerad, till exempel enligt följande: "Hitta arean av cylinderns laterala yta dividerat med".

Och var annars används formlerna för volymen och ytarean av rotationskroppar? Naturligtvis i problem C2 (16). Vi kommer också att berätta om det.

Här finns problem med kottar, tillståndet är relaterat till dess yta. I synnerhet i vissa problem finns det en fråga om att ändra området med en ökning (minskning) av höjden på en kon eller radien på dess bas. Teori för problemlösning i . Tänk på följande uppgifter:

27135. Omkretsen av konens bas är 3, generatrisen är 2. Hitta arean av konens laterala yta.

Arean av konens laterala yta är:

Koppla in data:

75697. Hur många gånger kommer arean på könens laterala yta att öka om dess generatris ökas 36 gånger och basens radie förblir densamma?

Arean av konens laterala yta:

Generatrisen ökas med 36 gånger. Radien förblir densamma, vilket betyder att basens omkrets inte har förändrats.

Så området för den modifierade konens laterala yta kommer att se ut så här:

Det kommer alltså att öka med 36 gånger.

*Beroendet är enkelt, så detta problem kan enkelt lösas muntligt.

27137. Hur många gånger kommer arean på konens laterala yta att minska om radien på dess bas minskas med 1,5 gånger?

Arean av konens laterala yta är:

Radien minskas med 1,5 gånger, det vill säga:

Det visade sig att den laterala ytan minskade med 1,5 gånger.

27159. Konens höjd är 6, generatrisen är 10. Hitta arean av dess totala yta dividerat med pi.

Hela ytan av konen:

Hitta radien:

Höjden och generatrisen är kända, med Pythagoras sats beräknar vi radien:

Således:

Dela resultatet med Pi och skriv ner svaret.

76299. Konens totala yta är 108. En sektion dras parallellt med konens bas och delar höjden på mitten. Hitta den totala ytan av den stympade konen.

Sektionen passerar genom mitten av höjden parallellt med basen. Detta betyder att radien för basen och generatrisen för den trunkerade konen kommer att vara 2 gånger mindre än radien och generatrisen för den ursprungliga konen. Låt oss skriva ner vad ytan på den avskurna konen är lika med:

Fick igång henne 4 gånger mindre område ytan på originalet, det vill säga 108:4 = 27.

* Eftersom den ursprungliga och avskurna konen är liknande kroppar var det också möjligt att använda likhetsegenskapen:

27167. Radien för konens bas är 3, höjden är 4. Hitta konens totala yta dividerat med pi.

Formeln för den totala ytan av en kon är:

Radien är känd, det är nödvändigt att hitta generatrisen.

Enligt Pythagoras sats:

Således:

Dela resultatet med Pi och skriv ner svaret.

Uppgift. Arean av konens laterala yta är fyra gånger basens yta. Hitta cosinus för vinkeln mellan könens generatris och basens plan.

Arean av konens bas är:

Det vill säga, cosinus kommer att vara lika med:

Svar: 0,25

Bestäm själv:

27136. Hur många gånger kommer arean på könens laterala yta att öka om dess generatris ökas med 3 gånger?

27160. Arean av konens laterala yta är dubbelt så stor som basens yta. Hitta vinkeln mellan konens generatris och basens plan. Ge ditt svar i grader. .

27161. Den totala ytan på konen är 12. En sektion dras parallellt med konens bas, som delar höjden på mitten. Hitta den totala ytan av den stympade konen.

Det är allt. Lycka till!

Med vänlig hälsning, Alexander.

*Dela information om webbplatsen med vänner via sociala nätverk.

Ytarean på en kon (eller helt enkelt ytan på en kon) är lika med summan av ytorna på basen och sidoytan.

Arean av konens laterala yta beräknas med formeln: S = πR l, där R är radien för konens bas, och l- generatris av en kon.

Eftersom arean av konens bas är πR 2 (som arean av cirkeln), kommer arean av konens hela yta att vara lika med : πR2 + πR l= πR (R+ l).

Att erhålla formeln för arean av den laterala ytan av en kon kan förklaras med ett sådant resonemang. Låt ritningen visa en utveckling av konens sidoyta. Dela upp bågen AB i ev Mer lika delar och koppla alla delningspunkter till mitten av bågen och intilliggande till varandra med ackord.

Vi får en serie lika trianglar. Arean av varje triangel är ah / 2, var a- längden på triangelns bas, a h- hans höga.

Summan av areorna för alla trianglar är: ah / 2 n = anh / 2, var när antalet trianglar.

Med ett stort antal divisioner blir summan av trianglarnas ytor mycket nära utvecklingsområdet, det vill säga området för konens laterala yta. Summan av trianglarnas baser, dvs. en, blir mycket nära längden av bågen AB, d.v.s. omkretsen av konens bas. Höjden på varje triangel blir mycket nära bågens radie, det vill säga konens generatris.

Om vi ​​försummar små skillnader i storlekarna på dessa kvantiteter får vi formeln för arean av konens laterala yta (S):

S=C l / 2, där C är omkretsen av konens bas, l- generatris av en kon.

Genom att veta att C \u003d 2πR, där R är radien för cirkeln av konens bas, får vi: S \u003d πR l.

Notera. I formeln S = C l / 2 ges tecknet på exakt, och inte ungefärlig, likhet, även om vi på grundval av ovanstående resonemang skulle kunna betrakta denna likhet som ungefärlig. Men på gymnasiet gymnasium det är bevisat att jämlikheten

S=C l / 2 är exakt, inte ungefärlig.

Sats. Konens laterala yta är lika med produkten av basens omkrets och halva generatrisen.

Låt oss inskriva i en kon (fig.) några rätt pyramid och beteckna med bokstäver R och l siffror som uttrycker längden på basens omkrets och apotem för denna pyramid.

Sedan kommer dess sidoyta att uttryckas av produkten 1/2 R l .

Låt oss nu anta att antalet sidor av polygonen inskrivna i basen ökar oändligt. Sedan omkretsen R kommer att tendera till den gräns som tas som längden C av basens omkrets och apotem l kommer att ha en kongenerator som gräns (eftersom ΔSAK innebär att SA - SK
1 / 2 R l, kommer att tendera till gränsen 1/2 C L. Denna gräns tas som värdet på konens sidoyta. Genom att beteckna konens sidoyta med bokstaven S kan vi skriva:

S = 1/2 C L = C 1/2L

Konsekvenser.
1) Sedan C \u003d 2 π R, då uttrycks konens laterala yta med formeln:

S=1/2 2π R L= π RL

2) Vi får hela ytan av konen om vi lägger till den laterala ytan till basytan; därför, genom att beteckna hela ytan med T, kommer vi att ha:

T= π RL+ π R2= π R(L+R)

Sats. Den laterala ytan av en stympad kon är lika med produkten av halva summan av basernas och generatrisens omkrets.

Låt oss inskriva i en stympad kon (fig.) någon regelbunden stympad pyramid och beteckna med bokstäver r, r 1 och l siffror som i samma linjära enheter uttrycker längden på omkretsen av de nedre och övre baserna och apotem för denna pyramid.

Då är sidoytan på den inskrivna pyramiden 1/2 ( p + p 1) l

Med en obegränsad ökning av antalet sidoytor av den inskrivna pyramiden, kan omkretsarna R och R 1 tenderar till gränserna som tas som längderna C och C 1 av basernas cirklar och apotem l har som sin gräns generatrisen L för den trunkerade könen. Följaktligen tenderar värdet på sidoytan av den inskrivna pyramiden till gränsen lika med (С + С 1) L. Denna gräns tas som värdet på den laterala ytan av den stympade konen. Genom att beteckna sidoytan på den stympade konen med bokstaven S kommer vi att ha:

S \u003d 1/2 (C + C 1) L

Konsekvenser.
1) Om R och R 1 betyder radierna för cirklarna för de nedre och övre baserna, kommer den laterala ytan av den stympade konen att vara:

S = 1/2 (2 π R+2 π R 1) L = π (R+R1)L.

2) Om i trapetsen OO 1 A 1 A (Fig.), Från vars rotation en stympad kon erhålls, ritar vi mittlinje BC, vi får:

BC \u003d 1/2 (OA + O 1 A 1) \u003d 1/2 (R + R 1),

R + R1 = 2BC.

Därav,

S=2 π BC L,

dvs. sidoytan av en stympad kon är lika med produkten av omkretsen av medelsektionen och generatrisen.

3) Den totala ytan T på en stympad kon uttrycks enligt följande:

T= π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)