Extrahera kvadratroten ur ett tal. Vad är en kvadratrot

11.10.2019

Före tillkomsten av miniräknare räknade elever och lärare kvadratrötter för hand. Det finns flera sätt att beräkna roten ur nummer manuellt. Vissa av dem erbjuder endast en ungefärlig lösning, andra ger ett exakt svar.

Steg

primtalsfaktorisering

Faktorera rottalet till faktorer som är kvadrattal. Beroende på rotnumret får du ett ungefärligt eller exakt svar. Kvadratnummer är tal från vilka hela kvadratroten kan tas. Faktorer är tal som, när de multipliceras, ger det ursprungliga talet. Till exempel är faktorerna för talet 8 2 och 4, eftersom 2 x 4 = 8, talen 25, 36, 49 är kvadrattal, eftersom √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Kvadratiska faktorer är faktorer , som är kvadrattal. Försök först att faktorisera rottalet till kvadratfaktorer.

Beräkna till exempel kvadratroten av 400 (manuellt). Försök först att faktorisera 400 i kvadratfaktorer. 400 är en multipel av 100, det vill säga delbart med 25 - det här är ett kvadrattal. Att dividera 400 med 25 ger dig 16. Talet 16 är också ett kvadrattal. Således kan 400 faktoriseras till kvadratfaktorer på 25 och 16, det vill säga 25 x 16 = 400.
Detta kan skrivas så här: √400 = √(25 x 16).

Kvadratroten av produkten av vissa termer är lika med produkten av kvadratrötter från varje term, dvs √(a x b) = √a x √b. Använd denna regel och ta kvadratroten av varje kvadratfaktor och multiplicera resultaten för att hitta svaret.
- I vårt exempel tar du kvadratroten ur 25 och 16.
  - √(25 x 16)
  - √25 x √16
  - 5 x 4 = 20
Om rottalet inte räknas in i två kvadratfaktorer (och det gör det i de flesta fall), kommer du inte att kunna hitta det exakta svaret i form av ett heltal. Men du kan förenkla problemet genom att bryta ner rottalet i en kvadratfaktor och en vanlig faktor (ett tal som hela kvadratroten inte kan tas från). Då tar du kvadratroten av kvadratfaktorn och du tar roten från den vanliga faktorn.
- Beräkna till exempel kvadratroten av talet 147. Talet 147 kan inte faktoriseras i två kvadratfaktorer, men det kan inkluderas i följande faktorer: 49 och 3. Lös problemet enligt följande:
  - = √(49 x 3)
  - = √49 x √3
  - = 7√3
Om det behövs, utvärdera rotens värde. Nu kan du utvärdera rotens värde (hitta ett ungefärligt värde) genom att jämföra det med värdena för rötterna av kvadrattal som är närmast (på båda sidor av tallinjen) rottalet. Du kommer att få värdet på roten som decimalbråk, som måste multipliceras med talet bakom rottecknet.
- Låt oss gå tillbaka till vårt exempel. Rottalet är 3. De närmaste kvadrattalen till det är talen 1 (√1 = 1) och 4 (√4 = 2). Således ligger värdet på √3 mellan 1 och 2. Eftersom värdet på √3 troligen är närmare 2 än 1 är vår uppskattning: √3 = 1,7. Vi multiplicerar detta värde med talet vid rottecknet: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Om du gör beräkningarna på en miniräknare får du 12,13, vilket är ganska nära vårt svar.
  - Denna metod fungerar även med stora antal. Tänk till exempel på √35. Rottalet är 35. De närmaste kvadrattalen till det är talen 25 (√25 = 5) och 36 (√36 = 6). Således ligger värdet på √35 mellan 5 och 6. Eftersom värdet på √35 är mycket närmare 6 än det är 5 (eftersom 35 bara är 1 mindre än 36) kan vi konstatera att √35 är något mindre än 6. Verifiering med en miniräknare ger oss svaret 5,92 – vi hade rätt.
Ett annat sätt är att dekomponera rottalet i primtalsfaktorer. Primfaktorer är tal som bara är delbara med 1 och sig själva. Skriv ner primära faktorer i rad och hitta par av identiska faktorer. Sådana faktorer kan tas ur rotens tecken.
- Beräkna till exempel kvadratroten av 45. Vi delar upp rottalet i primtalsfaktorer: 45 \u003d 9 x 5 och 9 \u003d 3 x 3. Således, √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). 3 kan tas ut ur rottecknet: √45 = 3√5. Nu kan vi uppskatta √5.
- Tänk på ett annat exempel: √88.
  - = √(2 x 44)
  - = √ (2 x 4 x 11)
  - = √ (2 x 2 x 2 x 11). Du fick tre multiplikator 2:or; ta ett par av dem och ta ut dem ur rotens tecken.
  - = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Nu kan vi utvärdera √2 och √11 och hitta ett ungefärligt svar.
Beräkna kvadratroten manuellt

Använder kolumnindelning
1. Denna metod innebär en process som liknar långdivision och ger ett korrekt svar. Rita först en vertikal linje som delar arket i två halvor och rita sedan en horisontell linje till höger och något under arkets överkant till den vertikala linjen. Dela nu rotnumret i par av tal, börja med bråkdelen efter decimalkomma. Så numret 79520789182.47897 skrivs som "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".
  - Låt oss till exempel beräkna kvadratroten av talet 780,14. Rita två streck (som visas på bilden) och skriv siffran längst upp till vänster som "7 80, 14". Det är normalt att den första siffran från vänster är en oparad siffra. Svaret (roten av det givna talet) kommer att skrivas uppe till höger.
2. Givet det första talparet (eller ett tal) från vänster, hitta det största heltal n vars kvadrat är mindre än eller lika med talparet (eller ett tal) i fråga. Med andra ord, hitta det kvadrattal som är närmast, men mindre än, det första paret av tal (eller ett tal) från vänster, och ta kvadratroten av det kvadrattalet; du får numret n. Skriv det hittade n uppe till höger och skriv ner kvadraten n längst ner till höger.
  - I vårt fall kommer den första siffran till vänster att vara siffran 7. Därefter 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.
3. Subtrahera kvadraten på talet n du just hittade från det första paret siffror (eller ett tal) från vänster. Skriv resultatet av beräkningen under subtrahenden (kvadraten på talet n).
  - I vårt exempel subtraherar du 4 från 7 för att få 3.
4. Ta ner det andra sifferparet och skriv ner det bredvid värdet som erhölls i föregående steg. Dubbla sedan siffran uppe till höger och skriv resultatet längst ner till höger med "_×_=" tillagd.
  - I vårt exempel är det andra nummerparet "80". Skriv "80" efter 3:an. Om du sedan dubblar siffran uppe till höger får du 4. Skriv "4_×_=" längst ner till höger.
5. Fyll i fälten till höger.
  - I vårt fall, om vi sätter siffran 8 istället för bindestreck, då 48 x 8 \u003d 384, vilket är mer än 380. Därför är 8 ett för stort tal, men 7 är bra. Skriv 7 istället för bindestreck och få: 47 x 7 \u003d 329. Skriv 7 uppe till höger - det här är den andra siffran i den önskade kvadratroten av talet 780,14.
6. Subtrahera det resulterande talet från det nuvarande talet till vänster. Skriv resultatet från föregående steg under det aktuella talet till vänster, hitta skillnaden och skriv det under det subtraherade.
  - I vårt exempel subtraherar du 329 från 380, vilket är lika med 51.
7. Upprepa steg 4. Om det demolerade sifferparet är bråkdelen av det ursprungliga talet, sätt sedan avgränsaren (komma) för heltals- och bråkdelarna i önskad kvadratrot uppifrån till höger. Till vänster, för ned nästa siffror. Dubbla siffran uppe till höger och skriv resultatet längst ner till höger med "_×_=" tillagd.
  - I vårt exempel kommer nästa talpar som ska rivas att vara bråkdelen av talet 780.14, så sätt avgränsaren för heltals- och bråkdelarna i önskad kvadratrot uppifrån till höger. Riv 14 och skriv nere till vänster. Dubbelt övre högra (27) är 54, så skriv "54_×_=" längst ner till höger.
8. Upprepa steg 5 och 6. Hitta det största antalet i stället för streck till höger (istället för streck måste du ersätta samma tal) så att multiplikationsresultatet är mindre än eller lika med det aktuella talet till vänster.
  - I vårt exempel är 549 x 9 = 4941, vilket är mindre än det nuvarande siffran till vänster (5114). Skriv 9 längst upp till höger och subtrahera resultatet av multiplikationen från det aktuella talet till vänster: 5114 - 4941 = 173.
9. Om du behöver hitta fler decimaler för kvadratroten, skriv ett par nollor bredvid det aktuella talet till vänster och upprepa steg 4, 5 och 6. Upprepa stegen tills du får exaktheten på svaret du behöver (antal av decimaler).
Förstå processen
1. Betrakta det första siffrorna Sa i talet S (Sa = 7 i vårt exempel) och hitta dess kvadratrot. I detta fall kommer den första siffran A i det sökta värdet av kvadratroten att vara en sådan siffra, vars kvadrat är mindre än eller lika med S a (det vill säga vi letar efter ett sådant A som uppfyller olikheten A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.
  - Låt oss säga att vi måste dividera 88962 med 7; här kommer det första steget att vara liknande: vi betraktar den första siffran i det delbara talet 88962 (8) och väljer det största talet som, multiplicerat med 7, ger ett värde mindre än eller lika med 8. Det vill säga vi letar efter ett tal d för vilket olikheten är sann: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.
2. Föreställ dig mentalt kvadraten vars area du behöver beräkna. Du letar efter L, det vill säga längden på sidan av en kvadrat vars area är S. A, B, C är siffror i talet L. Du kan skriva det annorlunda: 10A + B \u003d L (för en tvåa -siffrigt nummer) eller 100A + 10B + C \u003d L (för tresiffrigt nummer) och så vidare.
  - Låt vara (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Kom ihåg att 10A+B är ett tal vars B står för ettor och A står för tior. Till exempel, om A=1 och B=2 är 10A+B lika med talet 12. (10A+B)²är arean av hela torget, 100A²är arean av det stora inre torget, B²är arean av den lilla inre kvadraten, 10A×Bär arean av var och en av de två rektanglarna. Om du lägger till områdena för de beskrivna figurerna hittar du arean för den ursprungliga torget.

Fakta 1.
\(\bullet\) Ta inte några ett negativt tal\(a\) (dvs. \(a\geqslant 0\) ). Sedan (arithmetik) roten ur från talet \(a\) anropas ett sådant icke-negativt tal \(b\), när man kvadrerar det får vi talet \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(samma som )\quad a=b^2\] Av definitionen följer att \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Dessa restriktioner är ett viktigt villkor för att det ska finnas en kvadratrot och bör komma ihåg!
Kom ihåg att vilket tal som helst i kvadrat ger ett icke-negativt resultat. Det vill säga \(100^2=10000\geqslant 0\) och \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Vad är \(\sqrt(25)\) ? Vi vet att \(5^2=25\) och \((-5)^2=25\) . Eftersom vi per definition måste hitta ett icke-negativt tal är \(-5\) inte lämpligt, därför \(\sqrt(25)=5\) (eftersom \(25=5^2\) ).
Att hitta värdet \(\sqrt a\) kallas att ta kvadratroten av talet \(a\) , och talet \(a\) kallas rotuttrycket.
\(\bullet\) Baserat på definitionen, uttrycken \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) osv. inte vettigt.

Fakta 2.
För snabba beräkningar kommer det att vara användbart att lära sig tabellen med kvadrater av naturliga tal från \(1\) till \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Fakta 3.
Vad kan man göra med kvadratrötter?
\(\kula\) Summan eller skillnaden av kvadratrötter är INTE lik kvadratroten av summan eller skillnaden, dvs. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Således, om du behöver beräkna till exempel \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , måste du först hitta värdena \(\sqrt(25)\) och \(\sqrt (49)\ ) och addera dem sedan. Därav, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Om värdena \(\sqrt a\) eller \(\sqrt b\) inte kan hittas när man lägger till \(\sqrt a+\sqrt b\), så konverteras inte ett sådant uttryck ytterligare och förblir som det är. Till exempel, i summan \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) kan vi hitta \(\sqrt(49)\) - detta är \(7\) , men \(\sqrt 2\) kan inte vara konverterat på något sätt, det är därför \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Vidare kan detta uttryck tyvärr inte förenklas på något sätt.\(\bullet\) Produkten/kvoten av kvadratrötter är lika med kvadratroten av produkten/kvoten, d.v.s. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (förutsatt att båda delarna av jämlikheterna är meningsfulla)
Exempel: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Med dessa egenskaper är det bekvämt att hitta kvadratrötterna på stora siffror genom att faktorisera dem.
Tänk på ett exempel. Hitta \(\sqrt(44100)\) . Sedan \(44100:100=441\) , sedan \(44100=100\cdot 441\) . Enligt kriteriet delbarhet är talet \(441\) delbart med \(9\) (eftersom summan av dess siffror är 9 och är delbart med 9), därför \(441:9=49\) , det vill säga \(441=9\ cdot 49\) .
Alltså fick vi: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Låt oss titta på ett annat exempel: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Låt oss visa hur man anger siffror under kvadratrottecknet med exemplet på uttrycket \(5\sqrt2\) (förkortning av uttrycket \(5\cdot \sqrt2\) ). Eftersom \(5=\sqrt(25)\) , alltså \ Observera också att t.ex.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Varför är det så? Låt oss förklara med exempel 1). Som du redan förstått kan vi inte på något sätt konvertera talet \(\sqrt2\) . Föreställ dig att \(\sqrt2\) är ett tal \(a\) . Följaktligen är uttrycket \(\sqrt2+3\sqrt2\) inget annat än \(a+3a\) (ett tal \(a\) plus ytterligare tre av samma tal \(a\) ). Och vi vet att detta är lika med fyra sådana tal \(a\) , det vill säga \(4\sqrt2\) .

Fakta 4.
\(\bullet\) Det sägs ofta "kan inte extrahera roten" när det inte går att bli av med tecknet \(\sqrt () \ \) för roten (radikal) när man hittar värdet på något tal. Till exempel kan du rota talet \(16\) eftersom \(16=4^2\) , så \(\sqrt(16)=4\) . Men att extrahera roten från talet \(3\) , det vill säga att hitta \(\sqrt3\) , är det omöjligt, eftersom det inte finns något sådant tal som kvadrat ger \(3\) .
Sådana siffror (eller uttryck med sådana siffror) är irrationella. Till exempel siffror \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) etc. är irrationella.
Också irrationella är talen \(\pi\) (talet "pi", ungefär lika med \(3,14\) ), \(e\) (detta tal kallas Eulertalet, ungefär lika med \(2) ,7\) ) osv.
\(\bullet\) Observera att alla tal kommer att vara antingen rationella eller irrationella. Och tillsammans allt rationellt och allt irrationella tal bilda en uppsättning som heter uppsättning reella (reella) tal. Denna uppsättning betecknas med bokstaven \(\mathbb(R)\) .
Det betyder att alla siffror som är det här ögonblicket vi vet kallas reella tal.

Fakta 5.
\(\bullet\) Modulen för ett reellt tal \(a\) är ett icke-negativt tal \(|a|\) lika med avståndet från punkten \(a\) till \(0\) på det reella linje. Till exempel är \(|3|\) och \(|-3|\) lika med 3, eftersom avstånden från punkterna \(3\) och \(-3\) till \(0\) är samma och lika med \(3 \) .
\(\bullet\) Om \(a\) är ett icke-negativt tal, då \(|a|=a\) .
Exempel: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Om \(a\) är ett negativt tal, då \(|a|=-a\) .
Exempel: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
De säger att för negativa tal "äter" modulen minus, och positiva tal, såväl som siffran \(0\) lämnar modulen oförändrad.
MEN denna regel gäller endast siffror. Om du har en okänd \(x\) (eller någon annan okänd) under modultecknet, till exempel \(|x|\) , om vilken vi inte vet om den är positiv, lika med noll eller negativ, då bli av med modulen vi inte kan. I det här fallet förblir uttrycket så: \(|x|\) . \(\bullet\) Följande formler håller: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( tillhandahålls ) a\geqslant 0\] Följande misstag görs ofta: de säger att \(\sqrt(a^2)\) och \((\sqrt a)^2\) är samma sak. Detta gäller endast när \(a\) är ett positivt tal eller noll. Men om \(a\) är ett negativt tal, så är detta inte sant. Det räcker med att överväga ett sådant exempel. Låt oss ta talet \(-1\) istället för \(a\). Sedan \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , men uttrycket \((\sqrt (-1))^2\) existerar inte alls (eftersom det är omöjligt under rottecknet sätt in negativa tal!).
Därför uppmärksammar vi er på att \(\sqrt(a^2)\) inte är lika med \((\sqrt a)^2\) ! Exempel: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), därför att \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Eftersom \(\sqrt(a^2)=|a|\) sedan \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (uttrycket \(2n\) anger ett jämnt tal)
Det vill säga, när man extraherar roten från ett tal som är i någon grad, halveras denna grad.
Exempel:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (observera att om modulen inte är inställd, så visar det sig att roten av talet är lika med \(-25 \) ; men vi kommer ihåg , vilket, per definition av roten, detta inte kan vara: när vi extraherar roten ska vi alltid få ett positivt tal eller noll)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (eftersom alla tal i en jämn potens är icke-negativa)

Fakta 6.
Hur jämför man två kvadratrötter?
\(\bullet\) Sant för kvadratrötter: om \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aExempel:
1) jämför \(\sqrt(50)\) och \(6\sqrt2\) . Först omvandlar vi det andra uttrycket till \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Alltså, sedan \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Mellan vilka heltal finns \(\sqrt(50)\) ?
Eftersom \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) och \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Jämför \(\sqrt 2-1\) och \(0,5\) . Antag att \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((lägg till en på båda sidor))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((kvadrat båda delarna))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\] Vi ser att vi har fått en felaktig ojämlikhet. Därför var vårt antagande fel och \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Observera att att lägga till ett visst tal på båda sidor av ojämlikheten inte påverkar dess tecken. Att multiplicera/dividera båda delarna av olikheten med ett positivt tal påverkar inte dess tecken, men multiplicera/dividera med ett negativt tal vänder olikhetens tecken!
Båda sidorna av en ekvation/olikhet kan kvadreras ENDAST OM båda sidorna är icke-negativa. Till exempel, i ojämlikheten från föregående exempel kan du kvadrera båda sidorna, i olikheten \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Observera att \[\begin(aligned) &\sqrt 2\ca 1,4\\ &\sqrt 3\approx 1,7 \end(aligned)\] Att känna till den ungefärliga betydelsen av dessa siffror kommer att hjälpa dig när du jämför siffror! \(\bullet\) För att extrahera roten (om den är extraherad) från något stort tal som inte finns i kvadrattabellen måste du först bestämma mellan vilka "hundratals" det är, sedan mellan vilka "tiotal", och bestäm sedan den sista siffran i detta nummer. Låt oss visa hur det fungerar med ett exempel.
Ta \(\sqrt(28224)\) . Vi vet att \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) och så vidare. Observera att \(28224\) är mellan \(10\,000\) och \(40\,000\) . Därför är \(\sqrt(28224)\) mellan \(100\) och \(200\) .
Låt oss nu avgöra mellan vilka "tiotal" vårt tal är (det vill säga till exempel mellan \(120\) och \(130\) ). Vi vet också från kvadrattabellen att \(11^2=121\) , \(12^2=144\) etc., sedan \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \) ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Så vi ser att \(28224\) är mellan \(160^2\) och \(170^2\) . Därför är talet \(\sqrt(28224)\) mellan \(160\) och \(170\) .
Låt oss försöka bestämma den sista siffran. Låt oss komma ihåg vilka ensiffriga tal vid kvadrering ger i slutet \ (4 \) ? Dessa är \(2^2\) och \(8^2\) . Därför kommer \(\sqrt(28224)\) att sluta på antingen 2 eller 8. Låt oss kontrollera detta. Hitta \(162^2\) och \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Därför \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

För att adekvat lösa examen i matematik är det först och främst nödvändigt att studera det teoretiska materialet, som introducerar många satser, formler, algoritmer, etc. Vid första anblicken kan det verka som att detta är ganska enkelt. Men att hitta en källa där teorin för Unified State Examination i matematik presenteras enkelt och förståeligt för elever med alla utbildningsnivåer är i själva verket en ganska svår uppgift. Skolböcker kan inte alltid hållas till hands. Och att hitta de grundläggande formlerna för provet i matematik kan vara svårt även på Internet.

Varför är det så viktigt att läsa teori i matematik, inte bara för de som tar provet?

För det vidgar dina vyer. Studiet av teoretiskt material i matematik är användbart för alla som vill få svar på en lång rad frågor relaterade till kunskapen om världen. Allt i naturen är ordnat och har en tydlig logik. Det är just detta som återspeglas i vetenskapen, genom vilket det är möjligt att förstå världen.
För att det utvecklar intellektet. Att studera referensmaterial för provet i matematik, såväl som att lösa olika problem, lär sig en person att tänka och resonera logiskt, att formulera tankar korrekt och tydligt. Han utvecklar förmågan att analysera, generalisera, dra slutsatser.

Vi inbjuder dig att personligen utvärdera alla fördelarna med vår strategi för systematisering och presentation av utbildningsmaterial.

Hur man extraherar roten från numret. I den här artikeln kommer vi att lära oss hur man tar kvadratroten ur fyr- och femsiffriga tal.

Låt oss ta kvadratroten från 1936 som exempel.

Därav, .

Den sista siffran 1936 är 6. Kvadraten på 4 och 6 slutar på 6. Därför kan 1936 vara kvadraten på 44 eller 46. Det återstår att verifiera med multiplikation.

Betyder att,

Låt oss extrahera kvadratroten av talet 15129.

Därav, .

Den sista siffran i 15129 är 9. 9:an slutar med kvadraten 3 och 7. Därför kan 15129 vara kvadraten på 123 eller 127. Låt oss kontrollera med multiplikation.

Betyder att,

Hur man rootar - video

Och nu föreslår jag att du tittar på videon med Anna Denisova - "Hur man extraherar roten ", webbplatsens författare" enkel fysik", där hon förklarar hur man extraherar kvadrat- och kubrötter utan en miniräknare.

Videon diskuterar flera sätt att extrahera rötter:

1. Det enklaste sättet att extrahera kvadratroten.

2. Matcha med kvadraten på summan.

3. Babyloniskt sätt.

4. En metod för att extrahera en kvadratrot i en kolumn.

5. Ett snabbt sätt att extrahera kubroten.

6. Metoden för att extrahera kubroten i en kolumn.

Att extrahera en rot är den omvända operationen av exponentiering. Det vill säga om vi extraherar roten till talet X, får vi ett tal som, kvadratiskt, ger samma tal X.

Att extrahera roten är en ganska enkel operation. En tabell med rutor kan underlätta utsugningsarbetet. För det är omöjligt att komma ihåg alla kvadrater och rötter utantill, och siffrorna kan vara stora.

Extrahera roten från ett tal

Att extrahera kvadratroten ur ett tal är enkelt. Dessutom kan detta göras inte omedelbart, utan gradvis. Ta till exempel uttrycket √256. Inledningsvis är det svårt för en ovetande person att ge ett svar direkt. Då tar vi stegen. Först dividerar vi med bara siffran 4, från vilket vi tar ut den valda kvadraten som roten.

Oavgjort: √(64 4), då kommer det att motsvara 2√64. Och som ni vet, enligt multiplikationstabellen 64 = 8 8. Svaret blir 2*8=16.

Anmäl dig till kursen "Få snabbare mentalräkning, INTE huvudräkning" för att lära dig hur du snabbt och korrekt adderar, subtraherar, multiplicerar, dividerar, kvadrattal och till och med slår rötter. På 30 dagar kommer du att lära dig hur du använder enkla knep för att förenkla aritmetiska operationer. Varje lektion innehåller nya tekniker, tydliga exempel och användbara uppgifter.

Komplex rotextraktion

Kvadratroten kan inte beräknas från negativa tal, eftersom alla kvadratiska tal är ett positivt tal!

Ett komplext tal är ett tal i som kvadrerat är -1. Det är i2=-1.

Inom matematiken finns ett tal som erhålls genom att ta roten från talet -1.

Det vill säga att det går att beräkna roten till ett negativt tal, men det gäller redan högre matematik, inte skolan.

Betrakta ett exempel på sådan rotextraktion: √(-49)=7*√(-1)=7i.

Root-kalkylator online

Med hjälp av vår miniräknare kan du beräkna utvinningen av ett tal från kvadratroten:

Konvertera uttryck som innehåller operationen att extrahera roten

Kärnan i omvandlingen av radikala uttryck är att bryta ner det radikala numret till enklare, från vilka roten kan extraheras. Som 4, 9, 25 och så vidare.

Låt oss ta ett exempel, √625. Vi dividerar det radikala uttrycket med talet 5. Vi får √(125 5), upprepar vi operationen √(25 25), men vi vet att 25 är 52. Så svaret är 5*5=25.

Men det finns tal för vilka roten inte kan beräknas med den här metoden och du behöver bara veta svaret eller ha en tabell med kvadrater till hands.

√289=√(17*17)=17

Resultat

Vi har bara övervägt toppen av isberget, för att förstå matematiken bättre - anmäl dig till vår kurs: Påskynda mentalräkning - INTE huvudräkning.

Från kursen kommer du inte bara att lära dig dussintals knep för förenklad och snabb multiplikation, addition, multiplikation, division, räkna ut procentsatser, utan också arbeta fram dem i specialuppgifter och pedagogiska spel! Mental räkning kräver också mycket uppmärksamhet och koncentration, som aktivt tränas i att lösa intressanta problem.

Matematik föddes när en person blev medveten om sig själv och började positionera sig själv som en autonom enhet i världen. Viljan att mäta, jämföra, beräkna vad som omger dig är det som ligger till grund för en av våra dagars grundläggande vetenskaper. Till en början var dessa partiklar av elementär matematik, vilket gjorde det möjligt att koppla siffror med deras fysiska uttryck, senare började slutsatserna presenteras endast teoretiskt (på grund av deras abstrakthet), men efter ett tag, som en forskare uttryckte det, " matematik nådde taket av komplexitet när alla tal." Begreppet "kvadratrot" dök upp vid en tidpunkt då det lätt kunde stödjas av empiriska data, som gick utanför beräkningarnas plan.

Hur allt började

Det första omnämnandet av roten, som för närvarande betecknas som √, registrerades i de babyloniska matematikernas skrifter, som lade grunden för modern aritmetik. Naturligtvis såg de lite ut som den nuvarande formen - forskarna under dessa år använde först skrymmande tabletter. Men under det andra årtusendet f.Kr. e. de kom på en ungefärlig beräkningsformel som visade hur man tar kvadratroten. Bilden nedan visar en sten på vilken babyloniska forskare ristade utdataprocessen √2, och den visade sig vara så korrekt att avvikelsen i svaret endast hittades i tionde decimalen.

Dessutom användes roten om det var nödvändigt att hitta sidan på en triangel, förutsatt att de andra två var kända. Tja, när man löser andragradsekvationer finns det ingen flykt från att extrahera roten.

Tillsammans med de babyloniska verken studerades föremålet för artikeln också i det kinesiska verket "Mathematics in Nine Books", och de gamla grekerna kom till slutsatsen att vilket tal som helst från vilket roten inte extraheras utan en rest ger ett irrationellt resultat .

Ursprunget till denna term är associerad med den arabiska representationen av numret: forntida forskare trodde att kvadraten på ett godtyckligt tal växer från roten, som en växt. På latin låter detta ord som radix (man kan spåra ett mönster - allt som har en "rot" semantisk belastning är konsonant, vare sig det är rädisa eller ischias).

Forskare från efterföljande generationer plockade upp denna idé och betecknade den som Rx. Till exempel, på 1400-talet, för att indikera att kvadratroten är hämtad från ett godtyckligt tal a, skrev de R 2 a. "Ticket" √, som är bekant med det moderna utseendet, dök upp först på 1600-talet tack vare Rene Descartes.

Våra dagar

Matematiskt är kvadratroten ur y talet z vars kvadrat är y. Med andra ord är z 2 =y ekvivalent med √y=z. Denna definition är dock endast relevant för den aritmetiska roten, eftersom den antyder ett icke-negativt värde för uttrycket. Med andra ord, √y=z, där z är större än eller lika med 0.

I allmänhet, vilket är giltigt för att bestämma den algebraiska roten, kan uttryckets värde vara antingen positivt eller negativt. På grund av det faktum att z 2 =y och (-z) 2 =y har vi alltså: √y=±z eller √y=|z|.

På grund av det faktum att kärleken till matematik bara har ökat med vetenskapens utveckling, finns det olika manifestationer av tillgivenhet för det, inte uttryckt i torra beräkningar. Till exempel, tillsammans med sådana intressanta händelser som Pi-dagen, firas också kvadratrotens helgdagar. De firas nio gånger på hundra år, och bestäms enligt följande princip: siffrorna som anger dagen och månaden i ordning måste vara kvadratroten av året. Så nästa gång kommer denna semester att firas den 4 april 2016.

Egenskaper för kvadratroten på fältet R

Nästan alla matematiska uttryck har en geometrisk grund, detta öde passerade inte och √y, som definieras som sidan av en kvadrat med area y.

Hur hittar man roten till ett tal?

Det finns flera beräkningsalgoritmer. Den enklaste, men samtidigt ganska besvärliga, är den vanliga aritmetiska beräkningen, som är följande:

1) från talet vars rot vi behöver subtraheras udda tal i tur och ordning - tills resten av utmatningen är mindre än den subtraherade eller till och med lika med noll. Antalet drag blir så småningom det önskade antalet. Beräkna till exempel kvadratroten ur 25:

Nästa udda nummer är 11, resten är: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

För sådana fall finns det en Taylor-serieexpansion:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , där n tar värden från 0 till

+∞, och |y|≤1.

Grafisk representation av funktionen z=√y

Betrakta en elementär funktion z=√y i fältet för reella tal R, där y är större än eller lika med noll. Hennes diagram ser ut så här:

Kurvan växer från origo och korsar nödvändigtvis punkten (1; 1).

Egenskaper för funktionen z=√y i fältet för reella tal R

1. Definitionsdomänen för den betraktade funktionen är intervallet från noll till plus oändlighet (noll ingår).

2. Värdeintervallet för den betraktade funktionen är intervallet från noll till plus oändlighet (noll ingår igen).

3. Funktionen tar minimivärdet (0) endast vid punkten (0; 0). Det finns inget maxvärde.

4. Funktionen z=√y är varken jämn eller udda.

5. Funktionen z=√y är inte periodisk.

6. Det finns bara en skärningspunkt för grafen för funktionen z=√y med koordinataxlarna: (0; 0).

7. Skärningspunkten för grafen för funktionen z=√y är också nollpunkten för denna funktion.

8. Funktionen z=√y växer kontinuerligt.

9. Funktionen z=√y tar bara positiva värden, därför upptar dess graf den första koordinatvinkeln.

Alternativ för att visa funktionen z=√y

Inom matematiken, för att underlätta beräkningen av komplexa uttryck, används ibland kraftformen att skriva kvadratroten: √y=y 1/2. Det här alternativet är praktiskt, till exempel för att höja en funktion till en potens: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Denna metod är också en bra representation för differentiering med integration, eftersom kvadratroten tack vare den representeras av en vanlig potensfunktion.

Och i programmering är ersättningen för symbolen √ kombinationen av bokstäverna sqrt.

Det är värt att notera att i detta område är kvadratroten mycket efterfrågad, eftersom den är en del av de flesta geometriska formler som är nödvändiga för beräkningar. Själva räknealgoritmen är ganska komplicerad och bygger på rekursion (en funktion som kallar sig själv).

Kvadratroten i det komplexa fältet C

I stort sett var det ämnet för denna artikel som stimulerade upptäckten av området komplexa tal C, eftersom matematiker hemsöktes av frågan om att få en jämn gradsrot från ett negativt tal. Så här såg den imaginära enheten i ut, som kännetecknas av en mycket intressant egenskap: dess kvadrat är -1. Tack vare detta fick andragradsekvationer och med en negativ diskriminant en lösning. I C, för kvadratroten, är samma egenskaper relevanta som i R, det enda är att begränsningarna för rotuttrycket tas bort.