Hur man hittar det andra benet och hypotenusan. Lösning av en rätvinklig triangel. Trigonometriska relationer för att hitta benet på en rätvinklig triangel

Använd en miniräknare för att hitta kvadratroten av skillnaden mellan den kvadratiska hypotenusan och det kända benet, också kvadratiskt. Benet kallas sidan av en rätvinklig triangel som gränsar till rät vinkel. Detta uttryck härrör från Pythagoras sats, som säger att kvadraten på hypotenusan i en triangel är lika med summan av benens kvadrater.

Innan vi tittar på de olika sätten att hitta ett ben i en rätvinklig triangel, låt oss ta lite notation. Kontrollera vilket av de listade fallen som motsvarar tillståndet för ditt problem och, beroende på detta, följ motsvarande stycke. Ta reda på vilka kvantiteter i den aktuella triangeln som du känner till. Använd följande uttryck för att beräkna benet: a=sqrt(c^2-b^2), om du känner till värdena för hypotenusan och det andra benet.

Relationerna mellan sidorna och vinklarna på denna geometriska figur diskuteras i detalj i den matematiska disciplinen trigonometri. För att tillämpa denna ekvation måste du veta längden på två sidor i en rätvinklig triangel.

Beräkna längden på ett av benen, om dimensionerna på hypotenusan och det andra benet är kända. Om hypotenusan och en av de spetsiga vinklarna intill den anges i problemet, använd Bradys-tabellerna.

Den inre triangeln kommer att likna den yttre, eftersom medianlinjerna är parallella med benen och hypotenusan och lika med deras halvor. Eftersom hypotenusan är okänd, för att hitta mittlinjen M_c, måste du ersätta radikalen från Pythagoras sats.

Hypotenusan är den längsta sidan av en rätvinklig triangel. Den ligger mitt emot rät vinkel. Längden på hypotenusan kan hittas på olika sätt. Om längden på båda benen är känd, beräknas dess storlek genom Pythagoras sats: summan av kvadraterna på de två benen är lika med kvadraten på hypotenusan. När vi vet att summan av alla vinklar är 180 ° subtraherar vi den räta vinkeln och den redan kända.

När du beräknar parametrarna för en rätvinklig triangel är det viktigt att vara uppmärksam på kända värden och lösa problemet med den enklaste formeln. Låt oss först komma ihåg vad en rätvinklig triangel är. En rät triangel är en geometrisk figur av tre segment som förbinder punkter som inte ligger på samma räta linje, och en av vinklarna i denna figur är 90 grader. Det finns flera sätt att ta reda på längden på benet.

Formel: c²=a²+b², där c är hypotenusan, a och b är benen

Om vi ​​känner till hypotenusan och benet kan vi hitta längden på det okända benet med hjälp av Pythagoras sats. Det låter så här: "Kvadraten på hypotenusan är lika med summan av benens kvadrater." Det finns fyra alternativ för att hitta benet med hjälp av trigonometriska funktioner: efter sinus, cosinus, tangent, cotangens. Sinus för en vinkel (sin) är förhållandet mellan det motsatta benet och hypotenusan. Formel: sin \u003d a / c, där a är benet mitt emot den givna vinkeln och c är hypotenusan.

De ovanliga egenskaperna hos räta trianglar upptäcktes av den antika grekiska vetenskapsmannen Pythagoras, som upptäckte att kvadraten på hypotenusan i sådana trianglar är lika med summan av benens kvadrater

Höjden är vinkelrät från valfri vertex i en triangel till den motsatta sidan (eller dess förlängning, för en triangel med en trubbig vinkel). Höjden av en triangel skär varandra vid en punkt, som kallas ortocentrum. Om det är en godtycklig rätvinklig triangel finns det inte tillräckligt med data.

Det är också användbart att känna till värdena för trigonometriska funktioner för de mest typiska vinklarna 30, 45, 60, 90, 180 grader. Om förhållandena anger benens mått, hitta längden på hypotenusan. I livet måste vi ofta möta matematiska problem: i skolan, på universitetet och sedan hjälpa vårt barn med läxor.

Därefter transformerar vi formeln och får: a=sin*c

För att lösa problemen hjälper tabellen nedan oss. Låt oss överväga dessa alternativ. Ett intressant specialfall är när en av de spetsiga vinklarna är lika med 30 grader.

Människor från vissa yrken kommer att möta matematik dagligen.

Det är också möjligt att hitta ett okänt ben om någon annan sida och någon spetsig vinkel i en rätvinklig triangel är känd. Hitta sidan av en rätvinklig triangel med hjälp av Pythagoras sats. Dessutom kan sidorna av en rätvinklig triangel hittas med hjälp av olika formler, beroende på antalet kända variabler.

Den första är segment som ligger intill den räta vinkeln, och hypotenusan är den längsta delen av figuren och är motsatt 90 graders vinkeln. En pythagoras triangel är en vars sidor är lika med naturliga tal; deras längder i detta fall kallas "Pythagorean trippel".

egyptisk triangel

För att den nuvarande generationen ska lära sig geometri i den form som den lärs ut i skolan nu, har den utvecklats under flera århundraden. Den grundläggande punkten är Pythagoras sats. Sidorna i en rektangel är kända för hela världen) är 3, 4, 5.

Få människor är inte bekanta med frasen "Pythagoreiska byxor är lika i alla riktningar." Men i själva verket låter satsen så här: c 2 (kvadraten på hypotenusan) \u003d a 2 + b 2 (summan av kvadraterna på benen).

Bland matematiker kallas en triangel med sidorna 3, 4, 5 (cm, m, etc.) "egyptisk". Det är intressant att det som är inskrivet i figuren är lika med en. Namnet uppstod runt 500-talet f.Kr., när grekiska filosofer reste till Egypten.

Vid byggandet av pyramiderna använde arkitekter och lantmätare förhållandet 3:4:5. Sådana strukturer visade sig vara proportionella, trevliga att titta på och rymliga och kollapsade sällan.

För att bygga en rät vinkel använde byggarna ett rep som man knöt 12 knop på. I det här fallet ökade sannolikheten för att konstruera en rätvinklig triangel till 95 %.

Tecken på siffrors likhet

• En spetsig vinkel i en rätvinklig triangel och en stor sida, som är lika med samma element i den andra triangeln, är ett obestridligt tecken på figurernas likhet. Med hänsyn till summan av vinklarna är det lätt att bevisa att de andra spetsiga vinklarna också är lika. Således är trianglarna identiska i det andra kriteriet.
• När två figurer är överlagrade på varandra, roterar vi dem på ett sådant sätt att de, när de kombineras, blir en likbent triangel. Enligt dess egenskap är sidorna, eller snarare hypotenuserna, lika, liksom vinklarna vid basen, vilket betyder att dessa figurer är desamma.

Med det första tecknet är det mycket lätt att bevisa att trianglarna verkligen är lika, huvudsaken är att de två mindre sidorna (d.v.s. benen) är lika med varandra.

Trianglarna kommer att vara desamma enligt II-tecknet, vars essens är jämlikheten mellan benet och den spetsiga vinkeln.

Rättvinklade triangelegenskaper

Höjden, som sänktes från rät vinkel, delar figuren i två lika delar.

Sidorna i en rätvinklig triangel och dess median är lätta att känna igen av regeln: medianen, som är sänkt till hypotenusan, är lika med hälften av den. kan hittas både av Herons formel och av påståendet att det är lika med halva produkten av benen.

I en rätvinklig triangel gäller egenskaperna för vinklarna 30 o, 45 o och 60 o.

• Vid en vinkel som är 30 ° bör man komma ihåg att det motsatta benet kommer att vara lika med 1/2 av den största sidan.
• Om vinkeln är 45o, är den andra spetsiga vinkeln också 45o. Detta tyder på att triangeln är likbent, och dess ben är desamma.
• Egenskapen för en vinkel på 60 grader är att den tredje vinkeln har ett mått på 30 grader.

Området är lätt att hitta med en av tre formler:

1. genom höjden och sidan på vilken den går ned;
2. enligt Herons formel;
3. längs sidorna och vinkeln mellan dem.

Sidorna i en rätvinklig triangel, eller snarare benen, konvergerar med två höjder. För att hitta den tredje är det nödvändigt att överväga den resulterande triangeln och sedan, med hjälp av Pythagoras sats, beräkna den nödvändiga längden. Utöver denna formel finns också förhållandet mellan två gånger arean och längden på hypotenusan. Det vanligaste uttrycket bland elever är det första, eftersom det kräver mindre beräkningar.

Satser som gäller en rätvinklig triangel

Geometrin för en rätvinklig triangel inkluderar användningen av satser som:

Bland de många beräkningar som gjorts för att beräkna dessa eller de olika värdena är att hitta hypotenusan i en triangel. Kom ihåg att en triangel är en polyeder med tre vinklar. Nedan finns flera sätt att beräkna hypotenusan för olika trianglar.

Låt oss först se hur man hittar hypotenusan för en rätvinklig triangel. För den som har glömt, är en rätvinklig triangel en triangel med en vinkel på 90 grader. Den sida av en triangel som är på motsatt sida av den räta vinkeln kallas hypotenusan. Dessutom är det den längsta sidan av triangeln. Beroende på de kända värdena beräknas hypotenusans längd enligt följande:

• Längden på benen är kända. Hypotenusan i detta fall beräknas med hjälp av Pythagoras sats, som är följande: hypotenusans kvadrat är lika med summan av benens kvadrater. Om vi ​​betraktar en rätvinklig triangel BKF, där BK och KF är ben, och FB är hypotenusan, så är FB2= BK2+ KF2. Av det föregående följer att när man beräknar längden på hypotenusan är det nödvändigt att kvadrera vart och ett av benvärdena i sin tur. Lägg sedan ihop siffrorna och ta kvadratroten av resultatet.

Tänk på ett exempel: Givet en triangel med rät vinkel. Ett ben är 3 cm, det andra 4 cm. Hitta hypotenusan. Lösningen ser ut så här.

FB2= BK2+ KF2= (3cm)2+(4cm)2= 9cm2+16cm2=25cm2. Extrahera och få FB=5cm.

• Känt ben (BK) och vinkeln intill det, som bildas av hypotenusan och detta ben. Hur hittar man hypotenusan i en triangel? Låt oss beteckna den kända vinkeln som α. Enligt egenskapen som säger att förhållandet mellan längden på benet och längden på hypotenusan är lika med cosinus för vinkeln mellan detta ben och hypotenusan. Med tanke på en triangel kan detta skrivas så här: FB= BK*cos(α).
• Benet (KF) och samma vinkel α är kända, bara nu kommer det redan att vara motsatt. Hur hittar man hypotenusan i detta fall? Låt oss vända oss till samma egenskaper hos en rätvinklig triangel och ta reda på att förhållandet mellan benets längd och hypotenusans längd är lika med sinus för vinkeln mitt emot benet. Det vill säga FB= KF * sin (α).

Låt oss titta på ett exempel. Givet samma räta triangel BKF med hypotenusan FB. Låt vinkeln F vara lika med 30 grader, den andra vinkeln B motsvarar 60 grader. Benet BK är också känt, vars längd motsvarar 8 cm. Du kan beräkna önskat värde enligt följande:

FB=BK/cos60=8 cm.
FB = BK / sin30 = 8 cm.

• Känd för (R), omskriven om en triangel med rät vinkel. Hur hittar man hypotenusan när man överväger ett sådant problem? Från egenskaperna hos en cirkel omskriven runt en triangel med en rät vinkel, är det känt att centrum för en sådan cirkel sammanfaller med hypotenuspunkten som delar den på mitten. Enkelt uttryckt motsvarar radien halva hypotenusan. Därför är hypotenusan lika med två radier. FB=2*R. Om ett liknande problem ges, där inte radien, utan medianen är känd, bör man vara uppmärksam på egenskapen hos en cirkel omskriven runt en triangel med rät vinkel, som säger att radien är lika med medianen som ritas till hypotenusan. Med alla dessa egenskaper löses problemet på samma sätt.

Om frågan är hur man hittar hypotenusan för en likbent rätvinklig triangel, är det nödvändigt att vända sig till samma Pythagoras sats. Men kom först och främst ihåg att en likbent triangel är en triangel som har två identiska sidor. I fallet med en rätvinklig triangel är benen samma sidor. Vi har FB2= BK2+ KF2, men eftersom BK= KF har vi följande: FB2=2 BK2, FB= BK√2

Som du kan se, att känna till Pythagoras sats och egenskaperna hos en rätvinklig triangel, är det mycket enkelt att lösa problem där det är nödvändigt att beräkna längden på hypotenusan. Om det är svårt att komma ihåg alla egenskaper, lär dig färdiga formler och ersätt kända värden där du kan beräkna den nödvändiga längden på hypotenusan.

Instruktion

Vinklarna mittemot benen a och b kommer att betecknas med A respektive B. Hypotenusan är per definition sidan av en rätvinklig triangel som är motsatt den räta vinkeln (samtidigt bildar hypotenusan spets vinklar med andra sidor av triangeln). Låt oss beteckna hypotenusans längd med s.

Du kommer behöva:
Kalkylator.

Använd följande uttryck för benet: a=sqrt(c^2-b^2), om du känner till värdena för hypotenusan och det andra benet. Detta uttryck härrör från Pythagoras sats, som säger att kvadraten på hypotenusan i en triangel är lika med summan av benens kvadrater. Operatorn sqrt står för att ta kvadratroten. Tecknet "^2" betyder höjning till andra potens.

Använd formeln a=c*sinA om du känner till hypotenusan (c) och vinkeln mitt emot det önskade benet (vi betecknade denna vinkel som A).
Använd uttrycket a=c*cosB för att hitta benet om du känner till hypotenusan (c) och vinkeln intill det önskade benet (vi betecknade denna vinkel som B).
Beräkna benet med hjälp av formeln a = b * tgA i fallet då benet b och vinkeln mitt emot det önskade benet är givna (vi kom överens om att beteckna denna vinkel A).

Notera:
Om benet i din uppgift inte hittas med någon av de beskrivna metoderna, kan det troligen reduceras till en av dem.

Hjälpsamma ledtrådar:
Alla dessa uttryck erhålls från de välkända definitionerna av trigonometriska funktioner, så även om du har glömt en av dem kan du alltid snabbt härleda den med enkla operationer. Det är också användbart att känna till värdena för trigonometriska funktioner för de mest typiska vinklarna 30, 45, 60, 90, 180 grader.

En triangel är ett geometriskt tal som består av tre segment som förbinder tre punkter som inte ligger på samma linje. Punkterna som bildar en triangel kallas dess punkter, och segmenten ligger sida vid sida.

Beroende på typen av triangel (rektangulär, monokrom, etc.) kan du beräkna sidan av triangeln på olika sätt, beroende på indata och förutsättningarna för problemet.

Snabbnavigering för en artikel

För att beräkna sidorna i en rätvinklig triangel används Pythagoras sats, enligt vilken hypotenusans kvadrat är lika med summan av benets kvadrater.

Om vi ​​märker benen med "a" och "b" och hypotenusan med "c", så kan sidor hittas med följande formler:

Om de spetsiga vinklarna för en rätvinklig triangel (a och b) är kända, kan dess sidor hittas med följande formler:

beskuren triangel

En triangel kallas en liksidig triangel där båda sidorna är lika.

Hur man hittar hypotenusan i två ben

Om bokstaven "a" är identisk med samma sida, "b" är basen, "b" är hörnet mittemot basen, "a" är det intilliggande hörnet, kan följande formler användas för att beräkna sidor:

Två hörn och sida

Om en sida (c) och två vinklar (a och b) i någon triangel är kända, används sinusformeln för att beräkna de återstående sidorna:

Du måste hitta det tredje värdet y = 180 - (a + b) eftersom

summan av alla vinklar i en triangel är 180°;

Två sidor och en vinkel

Om två sidor av en triangel (a och b) och vinkeln mellan dem (y) är kända, kan cosinussatsen användas för att beräkna den tredje sidan.

Hur man bestämmer omkretsen av en rätvinklig triangel

En triangulär triangel är en triangel, varav en är 90 grader och de andra två är spetsiga. beräkning omkrets sådan triangel beroende på mängden känd information om det.

Du kommer att behöva det

• Beroende på tillfälle, färdigheter 2 av de tre sidorna av triangeln, samt en av dess skarpa hörn.

instruktioner

först Metod 1. Om alla tre sidorna är kända triangel Sedan, oavsett om det är vinkelrätt eller inte triangulärt, beräknas omkretsen som: P = A + B + C, där det är möjligt, är c ​​hypotenusan; a och b är ben.

andra Metod 2.

Om en rektangel bara har två sidor, använd Pythagoras sats, triangel kan beräknas med formeln: P = v (a2 + b2) + a + b eller P = v (c2 - b2) + b + c.

den tredje Metod 3. Låt hypotenusan vara c och en spetsig vinkel? Givet en rätvinklig triangel kommer det att vara möjligt att hitta omkretsen på detta sätt: P = (1 + sin?

fjärde Metod 4. De säger att i den högra triangeln är längden på ett ben lika med a och har tvärtom en spetsig vinkel. Räkna sedan omkrets Detta triangel kommer att utföras enligt formeln: P = a * (1 / tg?

1/son? + 1)

femte Metod 5.

Triangel Online-beräkning

Låt vårt ben leda och inkluderas i det, då kommer intervallet att beräknas som: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)

Liknande videor

Pythagoras sats är grunden för all matematik. Anger förhållandet mellan sidorna i en sann triangel. Nu finns det 367 bevis för denna sats.

instruktioner

först Den klassiska skolformuleringen av Pythagoras sats låter så här: hypotenusans kvadrat är lika med summan av benens kvadrater.

För att hitta hypotenusan i en rätvinklig triangel av två kateter måste du vända dig till kvadraten på längden på benen, sätta ihop dem och ta kvadratroten ur summan. I den ursprungliga formuleringen av hans uttalande är marknaden baserad på hypotenusan, lika med summan av kvadraterna av 2 kvadrater producerade av Catete. Den moderna algebraiska formuleringen kräver dock inte införandet av en domänrepresentation.

andra Till exempel en rätvinklig triangel vars ben är 7 cm och 8 cm.

Då är den kvadratiska hypotenusan enligt Pythagoras sats R + S = 49 + 64 = 113 cm. Hypotenusan är lika med kvadratroten ur 113.

Vinklar i en rätvinklig triangel

Resultatet blev ett orimligt antal.

den tredje Om trianglarna är ben 3 och 4, så är hypotenusan = 25 = 5. När du tar kvadratroten får du ett naturligt tal. Siffrorna 3, 4, 5 bildar en pygagorisk trippel, eftersom de uppfyller förhållandet x? +Y? = Z, vilket är naturligt.

Andra exempel på en pytagoreisk triplett är: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

fjärde I det här fallet, om benen är identiska med varandra, förvandlas Pythagoras sats till en mer primitiv ekvation. Låt till exempel en sådan hand vara lika med talet A och hypotenusan definieras för C, och sedan c? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. I det här fallet behöver du inte A.

femte Pythagoras sats är ett specialfall, som är större än den allmänna cosinussatsen, som fastställer ett samband mellan de tre sidorna av en triangel för vilken vinkel som helst mellan två av dem.

Tips 2: Hur man bestämmer hypotenusan för ben och vinklar

Hypotenusan kallas den sida i en rätvinklig triangel som är motsatt 90 graders vinkeln.

instruktioner

först I fallet med välkända katetrar, såväl som en spetsig vinkel i en rätvinklig triangel, kan hypotenusstorleken vara lika med förhållandet mellan benet och cosinus / sinus för denna vinkel, om vinkeln var motsatt / e inkluderar: H = C1 (eller C2) / sin, H = C1 (eller С2 ?) / cos ?. Exempel: Låt ABC ges en oregelbunden triangel med hypotenusa AB och rät vinkel C.

Låt B vara 60 grader och A 30 grader. Längden på stjälken BC är 8 cm Längden på hypotenusan AB bör hittas. För att göra detta kan du använda en av ovanstående metoder: AB = BC / cos60 = 8 cm AB = BC / sin30 = 8 cm.

Hypotenusan är den längsta sidan av rektangeln triangel. Den är placerad i rät vinkel. Metod för att hitta hypotenusan för en rektangel triangel beroende på källdata.

instruktioner

först Om dina ben är vinkelräta triangel, sedan längden på rektangelns hypotenusa triangel kan hittas av den pythagoreiska analogen - kvadraten på hypotenusans längd är lika med summan av kvadraterna på benens längder: c2 = a2 + b2, där a och b är längden på högers ben triangel .

andra Om det är känt och ett av benen är i en spetsig vinkel, kommer formeln för att hitta hypotenusan att bero på närvaron eller frånvaron i en viss vinkel i förhållande till det kända benet - intill (benet är beläget nära), eller vice versa (det motsatta fallet är beläget nego.V av den angivna vinkeln är lika med fraktionen ben hypotenusa i cosinusvinkel: a = a / cos; E, å andra sidan, hypotenusan är densamma som förhållandet mellan sinusformade vinklar: da = a / synd.

Liknande videor

Hjälpsamma ledtrådar
En vinklad triangel vars sidor är sammankopplade som 3:4:5, kallad det egyptiska deltat, på grund av att dessa figurer användes flitigt av arkitekterna i det antika Egypten.

Detta är också det enklaste exemplet på Jerons trianglar, med sidor och area representerade som heltal.

En triangel kallas en rektangel vars vinkel är 90°. Sidan mitt emot det högra hörnet kallas hypotenusan, den andra sidan kallas benen.

Om du vill ta reda på hur en rätvinklig triangel bildas av några egenskaper hos vanliga trianglar, nämligen det faktum att summan av de spetsiga vinklarna är 90°, vilket används, och det faktum att längden på det motsatta benet är halva hypotenusan är 30°.

Snabbnavigering för en artikel

beskuren triangel

En av egenskaperna hos en lika triangel är att dess två vinklar är lika.

För att beräkna vinkeln för en rät liksidig triangel måste du veta att:

• Det är inte sämre än 90°.
• Värdena för spetsiga vinklar bestäms av formeln: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °, dvs.

  Vinklarna α och β är 45°.

Om det kända värdet för en av de spetsiga vinklarna är känt, kan den andra hittas med formeln: β = 180º-90º-α eller α = 180º-90º-β.

Detta förhållande används oftast om en av vinklarna är 60° eller 30°.

Nyckelbegrepp

Summan av de inre vinklarna i en triangel är 180°.

Eftersom det är en nivå, två förblir skarpa.

Beräkna triangel online

Om du vill hitta dem måste du veta att:

andra metoder

De spetsiga vinkelvärdena för en rätvinklig triangel kan beräknas från medelvärdet - med en linje från en punkt på motsatt sida av triangeln, och höjden - linjen är en vinkelrät ritad från hypotenusan i rät vinkel.

Låt medianen sträcka sig från det högra hörnet till mitten av hypotenusan, och h vara höjden. I det här fallet visar det sig att:

• sina = b/(2*s); sin β = a / (2 * s).
• cosa = a/(2*s); cos p = b/(2 * s).
• sina = h/b; sin β = h / a.

Två sidor

Om längden på hypotenusan och ett av benen är kända i en rätvinklig triangel eller från två sidor, används trigonometriska identiteter för att bestämma värdena för spetsiga vinklar:

• a=arcsin(a/c), p=arcsin(b/c).
• a=arcos(b/c), p=arcos(a/c).
• a = arctan (a/b), p = arctan (b/a).

Längden på en rätvinklig triangel

Area och area av en triangel

omkrets

Omkretsen av en triangel är lika med summan av längderna på de tre sidorna. Den allmänna formeln för att hitta en triangulär triangel är:

där P är omkretsen av triangeln, a, b och c är dess sidor.

Omkretsen av en lika stor triangel kan hittas genom att successivt kombinera längderna på dess sidor, eller multiplicera sidolängden med 2 och lägga till längden på basen till produkten.

Den allmänna formeln för att hitta en jämviktstriangel kommer att se ut så här:

där P är omkretsen av en lika stor triangel, men antingen b, b är basen.

Omkretsen av en liksidig triangel kan hittas genom att successivt kombinera längderna på dess sidor, eller genom att multiplicera längden på en sida med 3.

Den allmänna formeln för att hitta kanten på liksidiga trianglar skulle se ut så här:

där P är omkretsen av en liksidig triangel, a är vilken som helst av dess sidor.

område

Om du vill mäta arean av en triangel kan du jämföra den med ett parallellogram. Tänk på triangel ABC:

Om vi ​​tar samma triangel och fixar den så att vi får ett parallellogram får vi ett parallellogram med samma höjd och bas som denna triangel:

I detta fall viks trianglarnas gemensamma sida ihop längs diagonalen på det gjutna parallellogrammet.

Från egenskaperna hos ett parallellogram. Det är känt att diagonalerna i ett parallellogram alltid är uppdelade i två lika trianglar, då är ytan på varje triangel lika med halva parallellogrammets räckvidd.

Eftersom arean av parallellogrammet är produkten av dess bashöjd, kommer arean av triangeln att vara hälften av produkten. Så för ΔABC blir området detsamma

Tänk nu på en rätvinklig triangel:

Två identiska rätvinkliga trianglar kan böjas till en rektangel om den lutar sig mot dem, vilket är varannan hypotenusa.

Eftersom rektangelns yta sammanfaller med ytan på de intilliggande sidorna är arean av denna triangel densamma:

Av detta kan vi dra slutsatsen att ytan på en rätvinklig triangel är lika med produkten av benen dividerat med 2.

Från dessa exempel kan vi dra slutsatsen att ytan på varje triangel är densamma som produkten av längden, och höjden reduceras till basen dividerat med 2.

Den allmänna formeln för att hitta arean av en triangel skulle se ut så här:

där S är arean av triangeln, men dess bas, men höjden faller till botten a.