Długość krawędzi podstawy ostrosłupa trójkątnego foremnego. Piramida i jej elementy

Studenci spotykają się z pojęciem piramidy na długo przed rozpoczęciem nauki geometrii. Obwiniaj słynne wielkie egipskie cuda świata. Dlatego, rozpoczynając naukę tego wspaniałego wielościanu, większość studentów już to sobie wyraźnie wyobraża. Wszystkie powyższe przyrządy celownicze są w dobrym stanie. Co prawa piramida, oraz jakie ma właściwości i zostaną omówione dalej.

W kontakcie z

Definicja

Istnieje wiele definicji piramidy. Od czasów starożytnych cieszy się dużą popularnością.

Na przykład Euklides zdefiniował ją jako bryłę składającą się z płaszczyzn, które zaczynając od jednej, zbiegają się w pewnym punkcie.

Heron dostarczył bardziej precyzyjnego sformułowania. Upierał się, że to postać, która ma bazę i samoloty w trójkąty, zbiegają się w jednym punkcie.

Polegając na współczesna interpretacja, piramida jest reprezentowana jako wielościan przestrzenny, składający się z pewnej liczby k-gonów i k płaskich trójkątny kształt mają jeden wspólny punkt.

Przyjrzyjmy się bliżej Z jakich elementów się składa?

• k-gon jest uważany za podstawę figury;
• Figury pod trzema kątami wystają jako boki części bocznej;
• górna część, z której wychodzą boczne elementy, nazywana jest górną;
• wszystkie segmenty łączące wierzchołek nazywane są krawędziami;
• jeśli linia prosta jest obniżona od góry do płaszczyzny figury pod kątem 90 stopni, to jej częścią zamkniętą w przestrzeni wewnętrznej jest wysokość piramidy;
• w dowolnym elemencie bocznym z boku naszego wielościanu można narysować prostopadłość, zwaną apotem.

Liczbę krawędzi oblicza się ze wzoru 2*k, gdzie k jest liczbą boków k-kąta. Ile ścian ma wielościan podobny do piramidy można określić za pomocą wyrażenia k + 1.

Ważny! Piramida o kształcie regularnym to figura stereometryczna, której płaszczyzna podstawy jest k-gonem o równych bokach.

Podstawowe właściwości

Prawidłowa piramida ma wiele właściwości które są dla niej wyjątkowe. Wymieńmy je:

1. Podstawą jest figura o odpowiedniej formie.
2. Krawędzie piramidy, ograniczające elementy boczne, mają równe wartości liczbowe.
3. Elementy boczne to trójkąty równoramienne.
4. Podstawa wysokości figury wpada w środek wielokąta, a jednocześnie jest punkt centralny wpisany i opisany.
5. Wszystkie boczne żebra są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem.
6. Wszystkie powierzchnie boczne mają ten sam kąt nachylenia w stosunku do podstawy.

Dzięki wszystkim wymienionym właściwościom, wykonywanie obliczeń elementów jest znacznie uproszczone. W oparciu o powyższe właściwości zwracamy uwagę dwa znaki:

1. W przypadku, gdy wielokąt mieści się w okręgu, ściany boczne będą miały podstawę równe kąty.
2. Opisując okrąg wokół wielokąta, wszystkie krawędzie ostrosłupa wychodzące z wierzchołka będą miały tę samą długość i równe kąty względem podstawy.

Kwadrat jest oparty

Regularna piramida czworokątna - wielościan oparty na kwadracie.

Ma cztery ściany boczne, które mają wygląd równoramienny.

Na płaszczyźnie przedstawiony jest kwadrat, ale opierają się one na wszystkich właściwościach regularnego czworoboku.

Na przykład, jeśli konieczne jest połączenie boku kwadratu z jego przekątną, stosuje się następujący wzór: przekątna jest równa iloczynowi boku kwadratu i pierwiastka kwadratowego z dwóch.

Oparta na regularnym trójkącie

prawidłowy trójkątna piramida jest wielościanem, którego podstawą jest regularny trójkąt.

Jeśli podstawa jest trójkątem foremnym, a krawędzie boczne są równe krawędziom podstawy, to taka figura zwany czworościanem.

Wszystkie ściany czworościanu są równoboczne z trzema kątami. W takim przypadku musisz znać kilka punktów i nie tracić na nie czasu przy obliczaniu:

• kąt nachylenia żeber do dowolnej podstawy wynosi 60 stopni;
• wartość wszystkich ścian wewnętrznych również wynosi 60 stopni;
• każda twarz może działać jako baza;
• narysowane wewnątrz figury są równymi elementami.

Sekcje wielościanu

W każdym wielościanie są kilka rodzajów sekcji samolot. Często w kurs szkolny geometrie współpracują z dwoma:

• osiowy;
• równoległa podstawa.

Przekrój osiowy uzyskuje się przez przecięcie wielościanu z płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek, krawędzie boczne i oś. W tym przypadku oś jest wysokością wyciągniętą z wierzchołka. Płaszczyzna cięcia jest ograniczona liniami przecięcia ze wszystkimi ścianami, w wyniku czego powstaje trójkąt.

Uwaga! W prawa piramida przekrój osiowy jest trójkątem równoramiennym.

Jeśli płaszczyzna cięcia biegnie równolegle do podstawy, wynikiem jest druga opcja. W tym przypadku mamy w kontekście figurę podobną do bazy.

Na przykład, jeśli podstawa jest kwadratem, to odcinek równoległy do ​​podstawy również będzie kwadratem, tylko o mniejszym rozmiarze.

Przy rozwiązywaniu problemów w tym stanie wykorzystuje się znaki i właściwości podobieństwa figur, na podstawie twierdzenia Thalesa. Przede wszystkim konieczne jest określenie współczynnika podobieństwa.

Jeśli samolot jest narysowany równolegle do podstawy i odcina się Górna część wielościan, następnie w dolnej części uzyskuje się regularną ściętą piramidę. Wtedy mówi się, że podstawy ściętego wielościanu są podobnymi wielokątami. W tym przypadku ściany boczne są trapezami równoramiennymi. Przekrój osiowy jest również równoramienny.

Aby określić wysokość ściętego wielościanu, konieczne jest narysowanie wysokości w przekroju osiowym, czyli w trapezie.

Obszary powierzchni

Główne problemy geometryczne, które należy rozwiązać na szkolnym kursie geometrii to znalezienie pola powierzchni i objętości piramidy.

Istnieją dwa rodzaje powierzchni:

• powierzchnia elementów bocznych;
• całą powierzchnię.

Już z samego tytułu wynika, o co chodzi. Powierzchnia boczna zawiera tylko elementy boczne. Wynika z tego, że aby go znaleźć, wystarczy zsumować pola płaszczyzn bocznych, czyli pola równoramienne 3 gonów. Spróbujmy wyprowadzić wzór na obszar elementów bocznych:

1. Pole równoramiennego 3-kąta to Str=1/2(aL), gdzie a to bok podstawy, L to apotem.
2. Liczba płaszczyzn bocznych zależy od rodzaju k-gonu u podstawy. Na przykład regularna piramida czworokątna ma cztery płaszczyzny boczne. Dlatego konieczne jest zsumowanie powierzchni czterech cyfr Strona=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . Wyrażenie jest w ten sposób uproszczone, ponieważ wartość 4a=POS, gdzie POS jest obwodem podstawy. A wyrażenie 1/2 * Rosn to jego półobwód.
3. Dochodzimy więc do wniosku, że powierzchnia elementów bocznych regularnej piramidy jest równa iloczynowi półobwodu podstawy i apotemu: Sside \u003d Rosn * L.

Kwadrat pełna powierzchnia piramida składa się z sumy powierzchni płaszczyzn bocznych i podstawy: Spp = Sside + Sbase.

Jeśli chodzi o obszar podstawy, tutaj wzór stosuje się zgodnie z rodzajem wielokąta.

Objętość regularnej piramidy jest równa iloczynowi pola powierzchni podstawy i wysokości podzielonej przez trzy: V=1/3*Sbase*H, gdzie H jest wysokością wielościanu.

Czym jest regularna piramida w geometrii

Właściwości regularnej piramidy czworokątnej

Piramida trójkątna to piramida oparta na trójkącie. Wysokość tej piramidy to pion, który jest obniżony od szczytu piramidy do jej podstaw.

Znalezienie wysokości piramidy

Jak obliczyć wysokość piramidy? Bardzo prosta! Aby obliczyć wysokość dowolnej trójkątnej piramidy, możesz użyć wzoru na objętość: V = (1/3)Sh, gdzie S to powierzchnia podstawy, V to objętość piramidy, h to jej wysokość. Z tego wzoru wyprowadź wzór na wysokość: aby znaleźć wysokość trójkątnej piramidy, musisz pomnożyć objętość piramidy przez 3, a następnie podzielić uzyskaną wartość przez obszar podstawy, będzie to: h \u003d (3 V ) / S. Ponieważ podstawą trójkątnej piramidy jest trójkąt, możesz użyć wzoru do obliczenia pola trójkąta. Jeśli znamy: pole trójkąta S i jego bok z, to zgodnie ze wzorem pola S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, gdzie h jest wysokością piramidy, γ jest krawędzią trójkąta; kąt między bokami trójkąta a samymi dwoma bokami, a następnie za pomocą następującego wzoru: S = (1/2)γφsinQ, gdzie γ, φ są bokami trójkąta, znajdujemy pole trójkąta. Wartość sinusa kąta Q należy sprawdzić w tabeli sinusów, która znajduje się w Internecie. Następnie podstawiamy wartość powierzchni do wzoru na wysokość: h = (2S)/γ. Jeśli zadanie wymaga obliczenia wysokości trójkątnej piramidy, to objętość piramidy jest już znana.

Regularna trójkątna piramida

Znajdź wysokość ostrosłupa trójkątnego foremnego, tj. ostrosłupa, w którym wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi, znając wielkość krawędzi γ. W tym przypadku krawędziami piramidy są boki trójkątów równobocznych. Wysokość ostrosłupa trójkątnego foremnego będzie wynosić: h = γ√(2/3), gdzie γ to krawędź trójkąta równobocznego, h to wysokość ostrosłupa. Jeżeli powierzchnia podstawy (S) jest nieznana, a podano tylko długość krawędzi (γ) i objętość (V) wielościanu, to konieczna zmienna we wzorze z poprzedniego kroku musi zostać zastąpiona przez jego ekwiwalent, który jest wyrażony długością krawędzi. Powierzchnia trójkąta (regularnego) jest równa 1/4 iloczynu długości boku tego trójkąta do kwadratu pierwiastka kwadratowego z 3. W poprzednim wzorze podstawiamy tę formułę zamiast obszaru bazowego i otrzymujemy następujący wzór: h \u003d 3V4 / (γ 2 √3) = 12 V/(γ 2 √3). Objętość czworościanu można wyrazić długością jego krawędzi, wówczas ze wzoru na obliczanie wysokości figury można usunąć wszystkie zmienne i pozostawić tylko bok trójkątnej powierzchni figury. Objętość takiej piramidy można obliczyć, dzieląc przez 12 z iloczynu długość jej ściany do sześcianu przez pierwiastek kwadratowy z 2.

Podstawiając to wyrażenie do poprzedniego wzoru, otrzymujemy następujący wzór do obliczenia: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2/3) = (1/3)γ√6. W kulę można też wpisać regularny trójkątny pryzmat, a znając tylko promień kuli (R), można określić wysokość czworościanu. Długość krawędzi czworościanu wynosi: γ = 4R/√6. W poprzednim wzorze zastępujemy zmienną γ tym wyrażeniem i otrzymujemy wzór: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Ten sam wzór można otrzymać znając promień (R) koła wpisanego w czworościan. W tym przypadku długość krawędzi trójkąta będzie równa 12 stosunkom między pierwiastek kwadratowy 6 i promień. Podstawimy to wyrażenie do poprzedniego wzoru i mamy: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Jak znaleźć wysokość regularnej czworokątnej piramidy?

Aby odpowiedzieć na pytanie, jak znaleźć długość wysokości piramidy, musisz wiedzieć, czym jest zwykła piramida. Piramida czworokątna to piramida oparta na czworoboku. Jeśli w warunkach problemu mamy: objętość (V) i powierzchnię podstawy (S) piramidy, wówczas wzór na obliczenie wysokości wielościanu (h) będzie następujący - podziel objętość pomnożoną przez 3 przez obszar S: h \u003d (3 V) / S. Mając kwadratową podstawę ostrosłupa o znanej: podanej objętości (V) i długości boku γ, w poprzednim wzorze należy zastąpić pole (S) kwadratem długości boku: S = γ 2 ; H = 3V/γ2. Wysokość ostrosłupa foremnego h = SO przechodzi właśnie przez środek okręgu, który jest opisany w pobliżu podstawy. Ponieważ podstawa tej piramidy jest kwadratem, punkt O jest punktem przecięcia przekątnych AD i BC. Mamy: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Dalej znajdujemy w trójkącie prostokątnym SOC (zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa): SO = √(SC 2 -OC 2). Teraz wiesz, jak obliczyć wysokość zwykłej piramidy.

Hipoteza: wierzymy, że doskonałość kształtu piramidy wynika z prawa matematyczne osadzony w swojej formie.

Cel: badanie piramidy geometryczne ciało, aby wyjaśnić doskonałość jego formy.

Zadania:

1. Podaj matematyczną definicję piramidy.

2. Przestudiuj piramidę jako ciało geometryczne.

3. Zrozum, jaką wiedzę matematyczną Egipcjanie złożyli w swoich piramidach.

Pytania prywatne:

1. Czym jest piramida jako ciało geometryczne?

2. Jak matematycznie wytłumaczyć unikalny kształt piramidy?

3. Co wyjaśnia cuda geometryczne piramidy?

4. Co tłumaczy doskonałość kształtu piramidy?

Definicja piramidy.

PIRAMIDA (z greckiego pyramis, rodzaj n. pyramidos) - wielościan, którego podstawą jest wielokąt, a pozostałe twarze to trójkąty o wspólnym wierzchołku (figura). W zależności od liczby rogów podstawy piramidy są trójkątne, czworokątne itp.

PIRAMIDA - monumentalna budowla o geometrycznym kształcie piramidy (czasem także schodkowa lub w kształcie wieży). Gigantyczne grobowce starożytnych egipskich faraonów z III-II tysiąclecia pne nazywane są piramidami. e., a także starożytne amerykańskie cokoły świątyń (w Meksyku, Gwatemali, Hondurasie, Peru) związanych z kultami kosmologicznymi.

To możliwe, że greckie słowo„piramida” pochodzi od egipskiego wyrażenia per-em-us, czyli od terminu oznaczającego wysokość piramidy. Wybitny rosyjski egiptolog V. Struve uważał, że greckie „puram…j” pochodzi od starożytnego Egiptu „p”-mr.

Z historii. Po przestudiowaniu materiału w podręczniku „Geometria” autorów Atanasiana. Butuzova i inni dowiedzieliśmy się, że: Wielościan złożony z n-kątów A1A2A3 ... An i n trójkątów RA1A2, RA2A3, ..., RAnA1 nazywa się piramidą. Wielokąt A1A2A3 ... An jest podstawą ostrosłupa, a trójkąty RA1A2, RA2A3, ..., PANA1 są bocznymi ścianami ostrosłupa, P jest wierzchołkiem ostrosłupa, segmenty RA1, RA2, .. ., RAN są krawędziami bocznymi.

Jednak taka definicja piramidy nie zawsze istniała. Na przykład starożytny matematyk grecki, autor traktatów teoretycznych o matematyce, które do nas dotarły, Euklides, definiuje piramidę jako bryłę ograniczoną płaszczyznami, które zbiegają się od jednej płaszczyzny do jednego punktu.

Ale ta definicja była krytykowana już w starożytności. Więc Czapla zasugerowała następująca definicja piramidy: „Jest to figura ograniczona trójkątami zbiegającymi się w jednym punkcie, której podstawą jest wielokąt”.

Nasza grupa, porównując te definicje, doszła do wniosku, że nie mają one jasnego sformułowania pojęcia „fundamentu”.

Przestudiowaliśmy te definicje i znaleźliśmy definicję Adriena Marie Legendre, który w 1794 r. w swojej pracy „Elementy geometrii” tak definiuje piramidę: „Piramida jest figurą cielesną utworzoną przez trójkąty zbiegające się w jednym punkcie i kończące się po różnych stronach płaska podstawa.”

Wydaje nam się, że ostatnia definicja daje jasny obraz piramidy, ponieważ mówi o tym, że podstawa jest płaska. Inna definicja piramidy pojawiła się w XIX-wiecznym podręczniku: „piramida to stały kąt przecięty płaszczyzną”.

Piramida jako bryła geometryczna.

To. Piramida to wielościan, którego jedna ściana (podstawa) jest wielokątem, pozostałe ścianki (boki) to trójkąty, które mają jeden wspólny wierzchołek (wierzchołek piramidy).

Prostopadła narysowana od szczytu piramidy do płaszczyzny podstawy nazywa się wzrosth piramidy.

Oprócz arbitralnej piramidy istnieją prawa piramida, u podstawy którego znajduje się wielokąt foremny i ścięta piramida.

Na rysunku - piramida PABCD, ABCD - jej podstawa, PO - wysokość.

Pełna powierzchnia Piramida nazywana jest sumą powierzchni wszystkich jej ścian.

Sfull = Side + Sbase, gdzie Strona boczna to suma pól powierzchni bocznych.

objętość piramidy znajduje się według wzoru:

V=1/3Sbaza h, gdzie Sosn. - powierzchnia bazowa h- wzrost.

Oś regularnej piramidy jest linią prostą zawierającą jej wysokość.
Apothem ST - wysokość ściany bocznej regularnej piramidy.

Pole powierzchni bocznej piramidy regularnej wyraża się w następujący sposób: Bok. =1/2P h, gdzie P jest obwodem podstawy, h- wysokość ściany bocznej (twierdza regularnej piramidy). Jeżeli piramidę przecina płaszczyzna A'B'C'D' równoległa do podstawy, to:

1) boczne krawędzie i wysokość są podzielone tą płaszczyzną na proporcjonalne części;

2) w przekroju uzyskuje się wielokąt A'B'C'D' podobny do podstawy;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Podstawy ściętej piramidy są podobnymi wielokątami ABCD i A`B`C`D`, ściany boczne są trapezami.

Wzrost ostrosłup ścięty - odległość między podstawami.

Obcięta objętość piramidę można znaleźć według wzoru:

V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Boczna powierzchnia regularnej ściętej piramidy wyraża się w następujący sposób: Sside. = ½(P+P') h, gdzie P i P’ są obwodami podstaw, h- wysokość lica bocznego (przypis regularny obcinany przez biesiady)

Sekcje piramidy.

Odcinki piramidy przez płaszczyzny przechodzące przez jej szczyt są trójkątami.

Sekcja przechodząca przez dwie nieprzylegające do siebie boczne krawędzie piramidy nazywa się przekrój przekątny.

Jeśli przekrój przechodzi przez punkt na bocznej krawędzi i boku podstawy, to ta strona będzie jej śladem na płaszczyźnie podstawy piramidy.

Przekrój przechodzący przez punkt leżący na czole ostrosłupa i dany ślad przekroju na płaszczyźnie podstawy, wówczas konstrukcję należy przeprowadzić w następujący sposób:

znajdź punkt przecięcia płaszczyzny danej ściany i ślad przekroju ostrosłupa i wyznacz go;

skonstruować linię prostą przechodzącą przez dany punkt i powstały punkt przecięcia;

· Powtórz te kroki dla następnych twarzy.

, co odpowiada stosunkowi ramion trójkąta prostokątnego 4:3. Ten stosunek nóg odpowiada dobrze znanemu trójkątowi prostokątnemu o bokach 3:4:5, który nazywa się trójkątem „idealnym”, „świętym” lub „egipskim”. Według historyków trójkątowi „egipskiemu” nadano magiczne znaczenie. Plutarch napisał, że Egipcjanie porównali naturę wszechświata do „świętego” trójkąta; symbolicznie przyrównali pionową nogę do męża, podstawę do żony, a przeciwprostokątną do tego, co rodzi się z obu.

Dla trójkąta 3:4:5 równość jest prawdziwa: 32 + 42 = 52, co wyraża twierdzenie Pitagorasa. Czy to nie jest twierdzenie, które chcieli uwiecznić? kapłani egipscy, budując piramidę opartą na trójkącie 3:4:5? Trudno o lepszy przykład ilustrujący twierdzenie Pitagorasa, znane Egipcjanom na długo przed jego odkryciem przez Pitagorasa.

W ten sposób pomysłowi twórcy egipskich piramid starali się zadziwić swoich odległych potomków głębią swojej wiedzy i osiągnęli to, wybierając „złoty” jako „główną ideę geometryczną” piramidy Cheopsa trójkąt prostokątny, a dla piramidy Chefrena - trójkąt „święty” lub „egipski”.

Bardzo często w swoich badaniach naukowcy wykorzystują właściwości piramid o proporcjach złotego przekroju.

W matematyce słownik encyklopedyczny podana jest następująca definicja złotego odcinka - jest to podział harmoniczny, podział w skrajnym i średnim stosunku - podział odcinka AB na dwie części w taki sposób, że większość jego AC jest średnią proporcjonalną pomiędzy całym odcinkiem AB i jego mniejsza część CB.

Algebraiczne znajdowanie złotej części odcinka AB = a sprowadza się do rozwiązania równania a: x = x: (a - x), gdzie x jest w przybliżeniu równe 0,62a. Stosunek x można wyrazić jako ułamki 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0,618, gdzie 2, 3, 5, 8, 13, 21 to liczby Fibonacciego.

Geometryczną konstrukcję złotego przekroju odcinka AB wykonuje się w następujący sposób: w punkcie B przywraca się prostopadłość do AB, na nim kładzie się odcinek BE \u003d 1/2 AB, A i E są połączone, DE \ u003d BE jest odroczone i wreszcie AC \u003d AD, a następnie równość AB jest spełniona: CB = 2: 3.

złoty podział często stosowany w dziełach sztuki, architekturze, znalezionych w przyrodzie. Żywe przykłady są rzeźby Apolla Belvedere, Partenonu. Przy budowie Partenonu zastosowano stosunek wysokości budynku do jego długości i wynosi on 0,618. Otaczające nas obiekty dostarczają również przykładów Złotego Podziału, na przykład oprawy wielu książek mają stosunek szerokości do długości bliski 0,618. Rozważając ułożenie liści na wspólnej łodydze roślin, można zauważyć, że pomiędzy każdą parą liści trzecia znajduje się w miejscu złotego podziału (slajdy). Każdy z nas „nosi” Złoty Podział z nami „w naszych rękach” - jest to stosunek palików palców.

Dzięki odkryciu kilku papirusów matematycznych egiptolodzy dowiedzieli się czegoś o starożytnych egipskich systemach rachunku różniczkowego i miar. Zadania w nich zawarte rozwiązywali skrybowie. Jednym z najbardziej znanych jest papirus matematyczny Rhinda. Studiując te zagadki, egiptolodzy dowiedzieli się, jak radzili sobie starożytni Egipcjanie różne ilości, które powstały przy obliczaniu miar masy, długości i objętości, w których często używano ułamków, a także jak radziły sobie z kątami.

Starożytni Egipcjanie stosowali metodę obliczania kątów opartą na stosunku wysokości do podstawy trójkąta prostokątnego. Wyrażali dowolny kąt w języku gradientu. Nachylenie zbocza wyrażono jako stosunek liczby całkowitej, zwanej „seked”. W „Matematyce w czasach faraonów” Richard Pillins wyjaśnia: „Odcinek regularnej piramidy to nachylenie dowolnej z czterech trójkątnych ścian do płaszczyzny podstawy, mierzone przez n-tą liczbę jednostek poziomych na jednostkę wysokości w pionie. . Tak więc ta jednostka miary odpowiada naszemu współczesnemu cotangensowi kąta nachylenia. Dlatego egipskie słowo „seked” jest spokrewnione z naszym współczesne słowo"gradient"".

Klucz liczbowy do piramid leży w stosunku ich wysokości do podstawy. W w praktyce- to najprostszy sposób na wykonanie szablonów niezbędnych do ciągłego sprawdzania prawidłowego kąta nachylenia całej konstrukcji piramidy.

Egiptolodzy z radością przekonaliby nas, że każdy faraon był chętny do wyrażenia swojej indywidualności, stąd różnice w kątach nachylenia każdej piramidy. Ale mógł być inny powód. Być może wszyscy chcieli ucieleśnić różne symboliczne skojarzenia ukryte w różnych proporcjach. Jednak kąt piramidy Chefrena (oparty na trójkącie (3:4:5) pojawia się w trzech problemach przedstawionych przez piramidy w papirusie matematycznym Rhinda). Tak więc ta postawa była dobrze znana starożytnym Egipcjanom.

Aby być uczciwym wobec egiptologów, którzy twierdzą, że starożytni Egipcjanie nie znali trójkąta 3:4:5, powiedzmy, że nigdy nie wspomniano o długości przeciwprostokątnej 5. Ale matematyczne problemy dotyczące piramid są zawsze rozwiązywane na podstawie kąta seked - stosunku wysokości do podstawy. Ponieważ nigdy nie wspomniano o długości przeciwprostokątnej, wywnioskowano, że Egipcjanie nigdy nie obliczyli długości trzeciego boku.

Stosunki wysokości do podstawy stosowane w piramidach w Gizie były niewątpliwie znane starożytnym Egipcjanom. Możliwe, że te proporcje dla każdej piramidy zostały wybrane arbitralnie. Jest to jednak sprzeczne z wagą przywiązywaną do symboliki numerycznej we wszystkich typach egipskich Dzieła wizualne. Jest bardzo prawdopodobne, że takie relacje miały duże znaczenie, ponieważ wyrażały określone idee religijne. Innymi słowy, cały kompleks Gizy został poddany spójnemu projektowi, zaprojektowanemu tak, aby odzwierciedlał jakiś boski motyw. To by wyjaśniało, dlaczego projektanci wybrali różne kąty nachylenie trzech piramid.

W Tajemnicy Oriona Bauval i Gilbert przedstawili przekonujące dowody na związek piramid w Gizie z konstelacją Oriona, w szczególności z gwiazdami Pasa Oriona.Ta sama konstelacja jest obecna w micie Izydy i Ozyrysa, a tam to powód, by uważać każdą piramidę za obraz jednego z trzech głównych bóstw – Ozyrysa, Izydy i Horusa.

CUDA „GEOMETRYCZNE”.

Wśród wspaniałych piramid Egiptu szczególne miejsce zajmują Wielka Piramida Faraona Cheopsa (Chufu). Zanim przystąpimy do analizy kształtu i wielkości piramidy Cheopsa, powinniśmy pamiętać, jakiego systemu miar używali Egipcjanie. Egipcjanie mieli trzy jednostki długości: „łokieć” (466 mm), równą siedmiu „palmom” (66,5 mm), co z kolei równało się czterem „palcom” (16,6 mm).

Przeanalizujmy wielkość piramidy Cheopsa (ryc. 2), kierując się rozumowaniem podanym w cudownej książce ukraińskiego naukowca Nikołaja Wasyutinskiego „Złota proporcja” (1990).

Większość badaczy zgadza się, że np. długość boku podstawy piramidy GF jest równe L\u003d 233,16 m. Ta wartość odpowiada prawie dokładnie 500 „łokciom”. Pełna zgodność z 500 „łokciami” nastąpi, jeśli długość „łokcia” zostanie uznana za równą 0,4663 m.

Wysokość piramidy ( H) jest szacowany przez badaczy różnie od 146,6 do 148,2 m. A w zależności od przyjętej wysokości piramidy zmieniają się wszystkie proporcje jej elementów geometrycznych. Jaki jest powód różnic w szacowaniu wysokości piramidy? Faktem jest, że, ściśle mówiąc, piramida Cheopsa jest ścięta. Jej górna platforma ma dziś wymiary około 10 ´ 10 m, a sto lat temu wynosiła 6 ´ 6 m. Oczywiste jest, że szczyt piramidy został zdemontowany i nie odpowiada oryginalnemu.

Szacując wysokość piramidy, należy wziąć pod uwagę taki czynnik fizyczny, jak „przeciąg” konstrukcji. Za długi czas pod wpływem kolosalnego ciśnienia (dochodzącego do 500 ton na 1 m2 dolnej powierzchni) wysokość piramidy zmniejszyła się w stosunku do jej pierwotnej wysokości.

Jaka była pierwotna wysokość piramidy? Wysokość tę można odtworzyć, jeśli znajdziesz podstawową „ideę geometryczną” piramidy.

Rysunek 2.

W 1837 r. angielski pułkownik G. Wise zmierzył kąt nachylenia ścian piramidy: okazał się równy a= 51°51". Ta wartość jest nadal uznawana przez większość badaczy. Wskazana wartość kąta odpowiada stycznej (tg a), równy 1,27306. Ta wartość odpowiada stosunkowi wysokości piramidy AC do połowy podstawy CB(rys.2), tj. AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

I tu badaczy czekała niespodzianka!.png" width="25" height="24">= 1,272. Porównanie tej wartości z wartością tg a= 1,27306 widzimy, że wartości te są bardzo do siebie zbliżone. Jeśli weźmiemy kąt a\u003d 51 ° 50”, czyli zmniejsz go tylko o jeden minuta łuku, to wartość a stanie się równy 1,272, czyli zbiegnie się z wartością . Należy zauważyć, że w 1840 r. G. Wise powtórzył swoje pomiary i wyjaśnił, że wartość kąta a=51°50".

Pomiary te doprowadziły badaczy do następujących bardzo ciekawa hipoteza: trójkąt ASV piramidy Cheopsa został oparty na relacji AC / CB = = 1,272!

Rozważmy teraz trójkąt prostokątny ABC, w którym stosunek nóg AC / CB= (rys.2). Jeśli teraz długości boków prostokąta ABC oznaczać przez x, tak, z, a także wziąć pod uwagę, że stosunek tak/x= , to zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa długość z można obliczyć ze wzoru:

Jeśli akceptujesz x = 1, tak= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Rysunek 3„Złoty” trójkąt prawy.

Trójkąt prostokątny, w którym boki są ze sobą powiązane jako t:złoty” prawy trójkąt.

Następnie, jeśli przyjmiemy za podstawę hipotezę, że główną „ideą geometryczną” piramidy Cheopsa jest „złoty” trójkąt prostokątny, to stąd łatwo jest obliczyć „projektową” wysokość piramidy Cheopsa. Jest równy:

H \u003d (L / 2) ´ \u003d 148,28 m.

Wyprowadźmy teraz kilka innych relacji dla piramidy Cheopsa, które wynikają z „złotej” hipotezy. W szczególności znajdujemy stosunek powierzchni zewnętrznej piramidy do powierzchni jej podstawy. Aby to zrobić, bierzemy długość nogi CB na jednostkę, czyli: CB= 1. Ale wtedy długość boku podstawy piramidy GF= 2, a powierzchnia podstawy E F G H będzie równy SEFGH = 4.

Obliczmy teraz powierzchnię bocznej ściany piramidy Cheopsa SD. Ponieważ wysokość AB trójkąt AEF jest równe t, wtedy pole powierzchni bocznej będzie równe SD = t. Wtedy łączna powierzchnia wszystkich czterech ścian bocznych piramidy będzie równa 4 t, a stosunek całkowitej powierzchni zewnętrznej piramidy do powierzchni podstawy będzie równy złotemu podziałowi! To jest to - główny geometryczny sekret piramidy Cheopsa!

Grupa „cudów geometrycznych” piramidy Cheopsa obejmuje rzeczywiste i daleko idące właściwości relacji między różne wymiary w piramidzie.

Z reguły są one uzyskiwane w poszukiwaniu jakiejś „stałej”, w szczególności liczby „pi” (liczba Ludolfa), równej 3,14159...; podstawy logarytmów naturalnych „e” (liczba Napiera) równe 2,71828...; liczba „F”, liczba „złotej sekcji”, równa na przykład 0,618 ... itd..

Możesz na przykład wymienić: 1) Własność Herodota: (Wysokość) 2 \u003d 0,5 ul. Główny x Apotem; 2) Własność V. Cena: Wysokość: 0,5 ul. osn \u003d Pierwiastek kwadratowy z „Ф”; 3) Własność M. Eist: Obwód podstawy: 2 Wysokość = „Pi”; w innej interpretacji - 2 łyżki. Główny : Wysokość = "Pi"; 4) Własność G. Rebera: Promień okręgu wpisanego: 0,5 st. Główny = "F"; 5) Własność K. Kleppisha: (St. main.) 2: 2 (st. main. x Apothem) \u003d (st. main. W. Apothem) \u003d 2 (st. main. x Apothem) : ((( 2 st. główna X Apothem) + (st. główna) 2). Itp. Możesz wymyślić wiele takich właściwości, zwłaszcza jeśli połączysz dwie sąsiednie piramidy. Na przykład jako "Właściwości A. Arefiewa" można wspomnieć, że różnica między objętościami piramidy Cheopsa i piramidy Chefrena jest równa dwukrotności objętości piramidy Menkaure...

Wiele interesujących zapisów, w szczególności dotyczących budowy piramid według „złotej sekcji”, znajduje się w książkach D. Hambidge „Dynamic Symetry in Architecture” i M. Geek „Aesthetics of Proportion in Nature and Art”. Przypomnijmy, że „złoty odcinek” to podział segmentu w takim stosunku, gdy część A jest tyle razy większa niż część B, ile razy A jest mniejsza niż cały segment A + B. Stosunek A / B wynosi równej liczbie „Ф” == 1,618... Użycie „złotego przekroju” jest wskazane nie tylko w poszczególnych piramidach, ale w całym kompleksie piramid w Gizie.

Najciekawsze jest jednak to, że ta sama piramida Cheopsa po prostu „nie może” pomieścić tak wielu cudowne właściwości. Biorąc po kolei określoną właściwość, możesz ją „dopasować”, ale wszystkie naraz nie pasują - nie pokrywają się, są ze sobą sprzeczne. Jeśli więc np. przy sprawdzaniu wszystkich właściwości początkowo weźmiemy jedną i tę samą stronę podstawy ostrosłupa (233 m), to wysokości ostrosłupów o różnych właściwościach również będą różne. Innymi słowy, istnieje pewna „rodzina” piramid, zewnętrznie podobna do piramid Cheopsa, ale odpowiadających innym właściwościom. Zauważ, że we właściwościach „geometrycznych” nie ma nic szczególnie cudownego - wiele wynika z właściwości samej figury. „Cud” należy uważać tylko za coś, co było oczywiście niemożliwe dla starożytnych Egipcjan. Dotyczy to w szczególności „kosmicznych” cudów, w których pomiary piramidy Cheopsa lub kompleksu piramid w Gizie porównuje się z niektórymi pomiarami astronomicznymi i wskazuje się liczby „parzyste”: milion razy, miliard razy mniej i wkrótce. Rozważmy niektóre „kosmiczne” relacje.

Jedno ze stwierdzeń brzmi: „jeśli podzielimy bok podstawy piramidy przez dokładną długość roku, otrzymamy dokładnie 10 milionowej osi Ziemi”. Oblicz: podziel 233 przez 365, otrzymamy 0,638. Promień Ziemi wynosi 6378 km.

Kolejne stwierdzenie jest w rzeczywistości przeciwieństwem poprzedniego. F. Noetling zwrócił uwagę, że jeśli użyjesz wymyślonego przez niego „egipskiego łokcia”, to bok piramidy będzie odpowiadał „najdokładniejszemu czasowi trwania rok słoneczny, wyrażony z dokładnością do miliardowej części dnia” - 365.540.903.777.

Stwierdzenie P. Smitha: „Wysokość piramidy to dokładnie jedna miliardowa odległości Ziemi od Słońca”. Chociaż zwykle przyjmuje się wysokość 146,6 m, Smith przyjął ją na 148,2 m. Według współczesnych pomiarów radarowych półoś wielka orbity Ziemi wynosi 149.597,870 + 1,6 km. Jest to średnia odległość Ziemi od Słońca, ale w peryhelium jest o 5 000 000 kilometrów mniejsza niż w aphelium.

Ostatnie ciekawe stwierdzenie:

„Jak wyjaśnić, że masy piramid Cheopsa, Chefrena i Menkaure są ze sobą powiązane, tak jak masy planet Ziemia, Wenus, Mars?” Obliczmy. Masy trzech piramid odnoszą się do: Chefrena – 0,835; Cheopsa - 1000; Mikerin - 0,0915. Stosunki mas trzech planet: Wenus - 0,815; Ziemia - 1000; Mars - 0,108.

Tak więc mimo sceptycyzmu zwróćmy uwagę na dobrze znaną harmonię konstrukcji stwierdzeń: 1) wysokość piramidy, jako linii „wchodzącej w kosmos” – odpowiada odległości Ziemi od Słońca; 2) za promień ziemi i cyrkulację ziemi odpowiada strona podstawy piramidy najbliższa „podłoża”, czyli Ziemi; 3) objętości piramidy (czytaj - masy) odpowiadają stosunkowi mas planet najbliższych Ziemi. Podobny „szyfr” można prześledzić np. w języku pszczół, analizowanym przez Karla von Frischa. Na razie jednak powstrzymujemy się od komentowania.

KSZTAŁT PIRAMIDY

Słynny czworościenny kształt piramid nie pojawił się od razu. Scytowie dokonywali pochówków w postaci ziemnych wzgórz - kopców. Egipcjanie budowali „wzgórza” z kamienia – piramidy. Stało się to po raz pierwszy po zjednoczeniu Górnego i Dolnego Egiptu, w 28 wieku pne, kiedy założyciel III dynastii, faraon Dżeser (Zoser), stanął przed zadaniem umocnienia jedności kraju.

I tutaj, zdaniem historyków, „nowa koncepcja przebóstwienia” cara odegrała ważną rolę we wzmocnieniu władzy centralnej. Choć pochówki królewskie odznaczały się większym przepychem, w zasadzie nie różniły się od grobów dworskich szlachciców, były to te same budowle – mastaby. Nad komnatą z sarkofagiem zawierającym mumię wylano prostokątne wzniesienie z małych kamieni, na którym następnie ustawiono niewielki budynek z dużych kamiennych bloków – „mastaba” (po arabsku – „ławka”). Na miejscu mastaby swego poprzednika Sanachta faraon Dżeser wzniósł pierwszą piramidę. Był schodkowy i był widocznym etapem przejściowym od jednej formy architektonicznej do drugiej, od mastaby do piramidy.

W ten sposób faraona „wychował” mędrzec i architekt Imhotep, który później został uznany za maga i utożsamiany przez Greków z bogiem Asklepiosem. Wyglądało to tak, jakby w jednym rzędzie wzniesiono sześć mastab. Ponadto pierwsza piramida zajmowała powierzchnię 1125 x 115 metrów, przy szacowanej wysokości 66 metrów (według miar egipskich - 1000 "palm"). Początkowo architekt planował budowę mastaby, ale nie podłużnej, lecz kwadratowej. Później został rozbudowany, ale ponieważ rozszerzenie zostało obniżone, powstały niejako dwa stopnie.

Ta sytuacja nie satysfakcjonowała architekta i na górnej platformie ogromnej płaskiej mastaby Imhotep umieścił trzy kolejne, stopniowo opadające ku górze. Grób znajdował się pod piramidą.

Znanych jest kilka innych piramid schodkowych, ale później budowniczowie przeszli do budowy bardziej znanych piramid czworościennych. Dlaczego jednak nie trójkątne lub, powiedzmy, ośmiokątne? Pośrednią odpowiedź daje fakt, że prawie wszystkie piramidy są idealnie zorientowane w czterech punktach kardynalnych, a zatem mają cztery boki. Ponadto piramida była „domem”, skorupą czworokątnej komory grobowej.

Ale co spowodowało kąt nachylenia twarzy? W książce „Zasada proporcji” poświęcono temu cały rozdział: „Co może określić kąty piramid”. W szczególności wskazano, że „obraz, do którego grawitują wielkie piramidy Starego Państwa, jest trójkątem o kącie prostym u góry.

W przestrzeni jest to półośmiościan: piramida, w której krawędzie i boki podstawy są równe, ściany są trójkątami równobocznymi.Pewne rozważania na ten temat znajdują się w książkach Hambidge'a, Geeka i innych.

Jaka jest zaleta kąta półośmiościanu? Według opisów archeologów i historyków niektóre piramidy zawaliły się pod własnym ciężarem. Potrzebny był „kąt trwałości”, kąt, który był najbardziej niezawodny energetycznie. Czysto empirycznie, kąt ten może być wzięty z kąta wierzchołkowego w kupie kruszącego się suchego piasku. Ale aby uzyskać dokładne dane, musisz użyć modelu. Biorąc cztery mocno zamocowane kule, należy na nie położyć piątą i zmierzyć kąty nachylenia. Jednak tutaj możesz popełnić błąd, dlatego pomocne jest obliczenie teoretyczne: należy połączyć środki kulek liniami (mentalnie). U podstawy otrzymujesz kwadrat o boku równym dwukrotnemu promieniowi. Kwadrat będzie tylko podstawą piramidy, której długość krawędzi będzie również równa dwukrotnemu promieniowi.

Tak więc gęste upakowanie kulek typu 1:4 da nam regularny półoktaedr.

Dlaczego jednak wiele piramid, skłaniających się ku podobnej formie, nie zachowuje jej? Prawdopodobnie piramidy się starzeją. Wbrew słynnemu powiedzeniu:

„Wszystko na świecie boi się czasu, a czas boi się piramid”, budowle piramid muszą się starzeć, mogą i powinny zachodzić nie tylko procesy wietrzenia zewnętrznego, ale także procesy wewnętrznego „skurczu” , od którego piramidy mogą się obniżyć. Skurcz jest również możliwy, ponieważ, jak dowiadują się z prac D. Davidovitsa, starożytni Egipcjanie stosowali technologię wytwarzania bloków z wiórów wapiennych, czyli z „betonu”. To właśnie te procesy mogą wyjaśnić przyczynę zniszczenia piramidy Meidum, położonej 50 km na południe od Kairu. Ma 4600 lat, wymiary podstawy to 146 x 146 m, wysokość 118 m. „Dlaczego jest tak okaleczona?” – pyta W. Zamarowski – „Zwykłe odniesienia do destrukcyjnych skutków czasu i „wykorzystania kamienia do innych budynków” nie pasują tutaj.

Przecież większość jego bloków i płyt licowych przetrwała do dziś, w gruzach u jego podnóża. „Jak zobaczymy, szereg przepisów skłania do myślenia nawet o tym, że słynna piramida Cheops również „skurczył się”. W każdym razie na wszystkich starożytnych obrazach piramidy są spiczaste ...

Kształt piramid można również wygenerować przez imitację: jakieś naturalne wzory, „cudowna doskonałość”, powiedzmy, niektóre kryształy w kształcie ośmiościanu.

Takimi kryształami mogą być kryształy diamentu i złota. Charakterystycznie duża liczba"przecinające się" znaki dla takich pojęć jak Faraon, Słońce, Złoto, Diament. Wszędzie - szlachetnie, genialnie (genialnie), świetnie, bez skazy i tak dalej. Podobieństwa nie są przypadkowe.

Jak wiecie, kult słoneczny był ważną częścią religii. Starożytny Egipt. „Bez względu na to, jak przetłumaczymy nazwę największej piramidy”, jeden ze współczesnych podręczników mówi „Sky Chufu” lub „Sky Chufu”, oznaczało to, że królem jest słońce. Jeśli Chufu w blasku swojej mocy wyobrażał sobie, że jest drugim słońcem, to jego syn Jedef-Ra stał się pierwszym z egipskich królów, który zaczął nazywać siebie „synem Ra”, czyli synem Słońce. Słońce było symbolizowane przez prawie wszystkie narody jako „słoneczny metal”, złoto. „Duży dysk jasnego złota” - tak Egipcjanie nazywali naszą światło dzienne. Egipcjanie bardzo dobrze znali złoto, znali jego rodzime formy, w których złote kryształy mogą pojawiać się w postaci ośmiościanów.

Jako „próbka form” interesujący jest również „kamień słoneczny” – diament. Nazwa diamentu pochodzi od świat arabski, "almas" - najtwardszy, najtwardszy, niezniszczalny. Starożytni Egipcjanie wiedzieli, że diament i jego właściwości są całkiem dobre. Według niektórych autorów do wiercenia używali nawet rur z brązu z diamentowymi nożami.

Obecnie głównym dostawcą diamentów jest Afryka Południowa, ale Afryka Zachodnia jest również bogata w diamenty. Terytorium Republiki Mali nazywane jest tam nawet „Diamentową Krainą”. Tymczasem to na terytorium Mali mieszkają Dogonowie, z którymi zwolennicy hipotezy paleovisit wiążą wiele nadziei (patrz niżej). Diamenty nie mogły być powodem kontaktów starożytnych Egipcjan z tym regionem. Jednak w ten czy inny sposób, ale możliwe jest, że właśnie kopiując ośmiościany diamentu i kryształów złota, starożytni Egipcjanie ubóstwiali w ten sposób „niezniszczalne” jak diament i „błyszczące” jak złoci faraonowie, synowie Słońca, porównywalne tylko z większością wspaniałe kreacje Natura.

Wniosek:

Po przestudiowaniu piramidy jako ciała geometrycznego, zapoznaniu się z jej elementami i właściwościami, byliśmy przekonani o słuszności opinii o pięknie kształtu piramidy.

W wyniku naszych badań doszliśmy do wniosku, że Egipcjanie, zgromadziwszy najcenniejszą wiedzę matematyczną, ucieleśnili ją w piramidzie. Dlatego piramida jest naprawdę najdoskonalszym tworem natury i człowieka.

BIBLIOGRAFIA

"Geometria: proc. na 7 - 9 komórek. ogólne wykształcenie instytucje \ itp. - wyd. 9. - M .: Edukacja, 1999

Historia matematyki w szkole, M: „Oświecenie”, 1982

Klasa geometrii 10-11, M: "Oświecenie", 2000

Peter Tompkins "Sekrety Wielkiej Piramidy Cheopsa", M: "Centropoligraf", 2005

Zasoby internetowe

http://veka-i-mig. *****/

http://tambow. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

Tutaj zebrane są podstawowe informacje o piramidach i związanych z nimi formułach i koncepcjach. Wszystkie są uczone z korepetytorem z matematyki w ramach przygotowań do egzaminu.

Rozważ płaszczyznę, wielokąt leży w nim i punkt S nie leży w nim. Połącz S ze wszystkimi wierzchołkami wielokąta. Powstały wielościan nazywa się piramidą. Segmenty nazywane są krawędziami bocznymi. Wielokąt nazywamy podstawą, a punkt S nazywamy wierzchołkiem piramidy. W zależności od liczby n piramida nazywana jest trójkątną (n=3), czworokątną (n=4), pięciokątną (n=5) i tak dalej. Alternatywny tytuł piramida trójkątna - czworościan. Wysokość piramidy to prostopadła poprowadzona od jej wierzchołka do płaszczyzny podstawy.

Piramida nazywana jest poprawną, jeśli wielokąt foremny, a podstawą wysokości piramidy (podstawa pionu) jest jej środek.

Komentarz korepetytora:
Nie myl pojęcia „regularnej piramidy” i „regularnego czworościanu”. W ostrosłupie foremnym krawędzie boczne niekoniecznie są równe krawędziom podstawy, ale w czworościanie foremnym wszystkie 6 krawędzi krawędzi są równe. To jest jego definicja. Łatwo udowodnić, że z równości wynika, że ​​środek wielokąta P z podstawą wysokości, więc czworościan foremny jest regularną piramidą.

Czym jest apotem?
Apotem piramidy jest wysokość jej bocznej ściany. Jeśli piramida jest regularna, wszystkie jej apotemy są równe. Odwrotność nie jest prawdą.

Nauczyciel matematyki o swojej terminologii: praca z piramidami składa się w 80% z dwóch rodzajów trójkątów:
1) Zawiera apotem SK i wysokość SP
2) Zawiera krawędź boczną SA i jej występ PA

Aby uprościć odniesienia do tych trójkątów, wygodniej jest, aby nauczyciel matematyki wymienił pierwszy z nich apotemiczny, i drugi żebrowy. Niestety nie znajdziesz tej terminologii w żadnym podręczniku, a nauczyciel musi ją wprowadzić jednostronnie.

Formuła objętości piramidy:
1) , gdzie jest pole powierzchni podstawy piramidy, a wysokość piramidy
2) , gdzie jest promieniem wpisanej kuli i jest całkowitą powierzchnią piramidy.
3) , gdzie MN jest odległością dowolnych dwóch przecinających się krawędzi i jest obszarem równoległoboku utworzonego przez punkty środkowe czterech pozostałych krawędzi.

Właściwość podstawy wysokości piramidy:

Punkt P (patrz rysunek) pokrywa się ze środkiem okręgu wpisanego u podstawy piramidy, jeśli spełniony jest jeden z następujących warunków:
1) Wszystkie apotemy są równe
2) Wszystkie powierzchnie boczne są jednakowo nachylone w kierunku podstawy
3) Wszystkie apotemy są jednakowo nachylone do wysokości piramidy
4) Wysokość piramidy jest jednakowo nachylona do wszystkich ścian bocznych

Komentarz nauczyciela matematyki: zauważ, że wszystkie elementy są połączone jednym własność wspólna: tak czy inaczej, boczne twarze uczestniczą wszędzie (apotemy są ich elementami). W związku z tym prowadzący może zaproponować mniej precyzyjne, ale wygodniejsze sformułowanie do zapamiętywania: punkt P pokrywa się ze środkiem koła wpisanego, podstawą piramidy, jeśli istnieją jakiekolwiek równe informacje o jej bocznych ścianach. Aby to udowodnić, wystarczy wykazać, że wszystkie apotemiczne trójkąty są równe.

Punkt P pokrywa się ze środkiem opisanego okręgu w pobliżu podstawy piramidy, jeśli spełniony jest jeden z trzech warunków:
1) Wszystkie krawędzie boczne są równe
2) Wszystkie boczne żebra są jednakowo nachylone w kierunku podstawy
3) Wszystkie boczne żebra są równomiernie nachylone do wysokości

Wstęp

Kiedy zaczęliśmy studiować figury stereometryczne, poruszyliśmy temat „Piramida”. Podobał nam się ten motyw, ponieważ piramida jest bardzo często wykorzystywana w architekturze. A ponieważ nasz przyszły zawód architekt, zainspirowana tą postacią, myślimy, że będzie w stanie popchnąć nas do wielkich projektów.

Siła konstrukcji architektonicznych, ich najważniejsza jakość. Kojarzenie wytrzymałości po pierwsze z materiałami, z których są wykonane, a po drugie z cechami konstruktywne rozwiązania okazuje się, że wytrzymałość konstrukcji jest bezpośrednio związana z podstawowym dla niej kształtem geometrycznym.

Innymi słowy, rozmawiamy o tej figurze geometrycznej, którą można uznać za model odpowiedniej formy architektonicznej. Okazuje się, że kształt geometryczny decyduje również o wytrzymałości konstrukcji architektonicznej.

Piramidy egipskie od dawna uważane są za najtrwalszą konstrukcję architektoniczną. Jak wiecie, mają one kształt regularnych czworokątnych piramid.

To właśnie ten geometryczny kształt zapewnia największą stabilność dzięki dużej powierzchni podstawy. Z drugiej strony kształt piramidy zapewnia, że ​​masa maleje wraz ze wzrostem wysokości nad ziemią. To właśnie te dwie właściwości sprawiają, że piramida jest stabilna, a więc silna w warunkach grawitacji.

Cel projektu: dowiedzieć się czegoś nowego o piramidach, pogłębić wiedzę i znaleźć praktyczne zastosowania.

Aby osiągnąć ten cel, konieczne było rozwiązanie następujących zadań:

Poznaj historyczne informacje o piramidzie

Potraktuj piramidę jako figurę geometryczną

Znajdź zastosowanie w życiu i architekturze

Znajdź podobieństwa i różnice między piramidami znajdującymi się w różne części Sveta

Część teoretyczna

Informacje historyczne

Początek geometrii piramidy został położony w starożytnym Egipcie i Babilonie, ale aktywnie rozwijał się w Starożytna Grecja. Pierwszym, który ustalił, jaka jest objętość piramidy, był Demokryt, a Eudoksos z Knidos to udowodnił. Starożytny grecki matematyk Euklides usystematyzował wiedzę o piramidzie w XII tomie swoich „Początków”, a także przedstawił pierwszą definicję piramidy: postać cielesna ograniczona płaszczyznami, które zbiegają się z jednej płaszczyzny w jednym punkcie.

Grobowce egipskich faraonów. Największe z nich - piramidy Cheopsa, Chefrena i Mikerina w El Gizie w starożytności uważane były za jeden z Siedmiu Cudów Świata. Wzniesienie piramidy, w której Grecy i Rzymianie widzieli już pomnik bezprecedensowej dumy królów i okrucieństwa, które skazywały cały lud Egiptu na bezsensowne budowanie, było najważniejszym aktem kultowym i miało wyrażać, podobno, mistyczna tożsamość kraju i jego władcy. Ludność kraju pracowała przy budowie grobowca w części roku wolnej od prac rolniczych. Szereg tekstów świadczy o uwadze i trosce, jaką sami królowie (choć późniejsi) przykładali do budowy grobowca i jego budowniczych. Wiadomo również o specjalnych kultowych zaszczytach, którymi okazała się sama piramida.

Podstawowe koncepcje

Piramida Nazywa się wielościan, którego podstawą jest wielokąt, a pozostałe ściany to trójkąty mające wspólny wierzchołek.

Apotema- wysokość ściany bocznej ostrosłupa foremnego, narysowana od jej wierzchołka;

Twarze boczne- trójkąty zbiegające się u góry;

Żeberka boczne- wspólne strony ścian bocznych;

szczyt piramidy- punkt łączący krawędzie boczne i nie leżący w płaszczyźnie podstawy;

Wzrost- odcinek prostopadły poprowadzony przez wierzchołek ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy (końcami tego odcinka są wierzchołek ostrosłupa i podstawa prostopadłego);

Przekątna piramidy- przekrój piramidy przechodzący przez górę i przekątną podstawy;

Baza- wielokąt, który nie należy do wierzchołka piramidy.

Główne właściwości prawidłowej piramidy

Krawędzie boczne, ściany boczne i apotemy są odpowiednio równe.

Kąty dwuścienne u podstawy są równe.

Kąty dwuścienne na bocznych krawędziach są równe.

Każdy punkt wysokości znajduje się w równej odległości od wszystkich wierzchołków bazowych.

Każdy punkt wysokości jest w równej odległości od wszystkich ścian bocznych.

Podstawowe formuły piramidy

Obszar bocznej i pełnej powierzchni piramidy.

Powierzchnia bocznej powierzchni piramidy (pełna i ścięta) jest sumą powierzchni wszystkich jej ścian bocznych, całkowita powierzchnia jest sumą powierzchni wszystkich jej ścian.

Twierdzenie: Pole powierzchni bocznej regularnej piramidy jest równe połowie iloczynu obwodu podstawy i apotemy piramidy.

p- obwód podstawy;

h- apotem.

Obszar bocznych i pełnych powierzchni ściętej piramidy.

p1, p 2 - obwody bazowe;

h- apotem.

R- całkowita powierzchnia regularnej ściętej piramidy;

Strona S- powierzchnia bocznej powierzchni regularnej ściętej piramidy;

S1 + S2- powierzchnia bazowa

Objętość piramidy

Formularz Skala objętości jest używana do wszelkiego rodzaju piramid.

H to wysokość piramidy.

Kąty piramidy

Kąty utworzone przez ścianę boczną i podstawę piramidy nazywane są kątami dwuściennymi u podstawy piramidy.

Kąt dwuścienny tworzą dwie prostopadłe.

Aby określić ten kąt, często musisz skorzystać z twierdzenia o trzech prostopadłych.

Kąty utworzone przez krawędź boczną i jej rzut na płaszczyznę podstawy nazywane są kąty między boczną krawędzią a płaszczyzną podstawy.

Nazywa się kąt utworzony przez dwie ściany boczne kąt dwuścienny na bocznej krawędzi piramidy.

Kąt, który tworzą dwie boczne krawędzie jednej ściany ostrosłupa, nazywa się róg na szczycie piramidy.

Sekcje piramidy

Powierzchnia piramidy to powierzchnia wielościanu. Każda z jego ścian jest płaszczyzną, więc przekrój ostrosłupa wyznaczony przez sieczną płaszczyznę jest linią łamaną składającą się z oddzielnych linii prostych.

Przekrój po przekątnej

Przekrój piramidy przez płaszczyznę przechodzącą przez dwie boczne krawędzie, które nie leżą na tej samej powierzchni, nazywa się przekrój przekątny piramidy.

Sekcje równoległe

Twierdzenie:

Jeżeli piramidę przecina płaszczyzna równoległa do podstawy, wówczas boczne krawędzie i wysokości piramidy są dzielone przez tę płaszczyznę na proporcjonalne części;

Przekrój tej płaszczyzny jest wielokątem podobnym do podstawy;

Pola przekroju i podstawy są ze sobą powiązane jako kwadraty ich odległości od góry.

Rodzaje piramid

Prawidłowa piramida- ostrosłup, którego podstawa jest wielokątem foremnym, a wierzchołek ostrosłupa jest rzutowany na środek podstawy.

W prawidłowej piramidzie:

1. boczne żebra są równe

2. boczne powierzchnie są równe

3. apotemy są równe

4. kąty dwuścienne u podstawy są równe

5. Kąty dwuścienne na krawędziach bocznych są równe

6. każdy punkt wysokości jest w równej odległości od wszystkich wierzchołków bazowych

7. każdy punkt wysokości jest w równej odległości od wszystkich powierzchni bocznych

Skrócona piramida- część piramidy zamknięta między jej podstawą a płaszczyzną cięcia równoległą do podstawy.

Podstawa i odpowiadająca jej część ściętej piramidy nazywa się podstawy ściętej piramidy.

Prostopadła narysowana z dowolnego punktu jednej podstawy do płaszczyzny drugiej nazywa się wysokość ściętej piramidy.

Zadania

nr 1. Po prawej piramida czworokątna punkt O to środek podstawy, SO=8 cm, BD=30 cm Znajdź krawędź boczną SA.

Rozwiązywanie problemów

nr 1. W regularnej piramidzie wszystkie ściany i krawędzie są równe.

Rozważmy OSB: prostokąt OSB, ponieważ.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

Piramida w architekturze

Piramida - monumentalna konstrukcja w formie zwykłej regularnej geometrycznej piramidy, w której boki zbiegają się w jednym punkcie. Zgodnie z przeznaczeniem, piramidy w czasach starożytnych były miejscem pochówku lub kultu. Podstawa piramidy może być trójkątna, czworokątna lub wielokątna z dowolną liczbą wierzchołków, ale najczęstszą wersją jest podstawa czworokątna.

Znana jest znaczna liczba piramid, zbudowanych różne kultury świat starożytny głównie jako świątynie lub pomniki. Największe piramidy to piramidy egipskie.

Na całej Ziemi można zobaczyć konstrukcje architektoniczne w formie piramid. Budynki piramid przypominają czasy starożytne i wyglądają bardzo pięknie.

Piramidy w Egipcie największy zabytki architektury Starożytny Egipt, wśród których jednym z „siedmiu cudów świata” jest piramida Cheopsa. Od stóp do szczytu osiąga 137,3 m, a przed utratą wierzchołka jej wysokość wynosiła 146,7 m.

Budynek radiostacji w stolicy Słowacji, przypominający odwróconą piramidę, został wybudowany w 1983 roku. Oprócz pomieszczeń biurowych i usługowych w tomie znajduje się dość przestronna sala koncertowa, w której znajdują się jedne z największych organów na Słowacji .

Luwr, który „jest cichy i majestatyczny jak piramida”, przeszedł wiele zmian na przestrzeni wieków, zanim stał się największym muzeum na świecie. Narodził się jako twierdza, wzniesiona przez Filipa Augusta w 1190 roku, która wkrótce przekształciła się w rezydencję królewską. W 1793 roku pałac stał się muzeum. Zbiory wzbogacane są poprzez zapisy lub zakupy.