• apotem- wysokość ściany bocznej ostrosłupa foremnego, która jest rysowana od jej wierzchołka (dodatkowo apotem to długość pionu, który jest obniżony ze środka wielokąta foremnego na 1 z jego boków);
• twarze boczne (ASB, BSC, CSD, DSA) - trójkąty zbiegające się u góry;
• boczne żeberka ( JAK , BS , CS , D.S. ) - wspólne strony ścian bocznych;
• szczyt piramidy (vs) - punkt, który łączy boczne krawędzie i który nie leży w płaszczyźnie podstawy;
• Wysokość ( WIĘC ) - odcinek prostopadłego, który jest przeciągnięty przez wierzchołek piramidy do płaszczyzny jej podstawy (końce takiego odcinka będą wierzchołkiem piramidy i podstawą prostopadłej);
• przekrój ukośny piramidy- przekrój piramidy przechodzący przez górę i po przekątnej podstawy;
• baza (ABCD) jest wielokątem, do którego nie należy wierzchołek piramidy.

właściwości piramidy.

1. Gdy wszystkie krawędzie boczne mają ten sam rozmiar, wówczas:

• przy podstawie piramidy łatwo opisać okrąg, podczas gdy wierzchołek piramidy będzie rzutowany na środek tego okręgu;
• żebra boczne tworzą równe kąty z płaszczyzną podstawy;
• ponadto prawdziwa jest również odwrotność, tj. gdy boczne żebra tworzą się z płaszczyzną podstawy równe kąty, lub gdy okrąg można opisać w pobliżu podstawy piramidy, a wierzchołek piramidy będzie rzutowany na środek tego okręgu, co oznacza, że ​​wszystkie boczne krawędzie piramidy mają ten sam rozmiar.

2. Gdy ściany boczne mają kąt nachylenia do płaszczyzny podstawy o tej samej wartości, wówczas:

• w pobliżu podstawy piramidy łatwo opisać okrąg, podczas gdy wierzchołek piramidy będzie rzutowany na środek tego okręgu;
• wysokości ścian bocznych są jednakowej długości;
• powierzchnia powierzchni bocznej to ½ iloczynu obwodu podstawy i wysokości powierzchni bocznej.

3. Kulę można opisać w pobliżu piramidy, jeśli podstawą piramidy jest wielokąt, wokół którego można opisać okrąg (warunek konieczny i wystarczający). Środek kuli będzie punktem przecięcia płaszczyzn przechodzących przez środki krawędzi prostopadłych do nich ostrosłupów. Z tego twierdzenia wnioskujemy, że sferę można opisać zarówno wokół dowolnej trójkątnej, jak i wokół dowolnej regularnej piramidy.

4. Kulę można wpisać w piramidę, jeśli dwusieczne płaszczyzny wewnętrznych kątów dwuściennych piramidy przecinają się w 1. punkcie (warunek konieczny i wystarczający). Ten punkt stanie się centrum kuli.

Najprostsza piramida.

W zależności od liczby rogów podstawy piramidy są one podzielone na trójkątne, czworokątne i tak dalej.

Piramida będzie trójkątny, czworokątny, i tak dalej, gdy podstawą piramidy jest trójkąt, czworokąt i tak dalej. Trójkątna piramida to czworościan - czworościan. Czworokąt - pięciościan i tak dalej.

Trójwymiarowa figura, która często pojawia się w problemach geometrycznych, to piramida. Najprostsza ze wszystkich figur tej klasy jest trójkątna. W tym artykule szczegółowo przeanalizujemy podstawowe formuły i właściwości prawidłowego

Geometryczne reprezentacje figury

Zanim przejdziemy do rozważenia właściwości regularnej trójkątnej piramidy, przyjrzyjmy się bliżej, o jakiej figurze mówimy.

Załóżmy, że w przestrzeni trójwymiarowej znajduje się dowolny trójkąt. Wybieramy dowolny punkt w tej przestrzeni, który nie leży w płaszczyźnie trójkąta i łączymy go z trzema wierzchołkami trójkąta. Mamy trójkątną piramidę.

Składa się z 4 boków, z których wszystkie są trójkątami. Punkty, w których spotykają się trzy ściany, nazywane są wierzchołkami. Postać ma również cztery z nich. Linie przecięcia dwóch ścian są krawędziami. Rozważana piramida ma żebra 6. Poniższy rysunek pokazuje przykład tej figury.

Ponieważ figura składa się z czterech boków, nazywana jest również czworościanem.

Prawidłowa piramida

Powyżej rozważono dowolną figurę o trójkątnej podstawie. Załóżmy teraz, że rysujemy prostopadłą linię od szczytu piramidy do jej podstawy. Ten segment nazywa się wysokością. Wiadomo, że można wydać 4 różne wysokości dla figury. Jeśli wysokość przecina trójkątną podstawę w geometrycznym środku, wówczas taka piramida nazywana jest prostą piramidą.

Piramida prosta, której podstawą jest trójkąt równoboczny, nazywana jest piramidą regularną. Dla niej wszystkie trzy trójkąty tworzące boczną powierzchnię figury są równoramienne i są sobie równe. Szczególnym przypadkiem regularnej piramidy jest sytuacja, w której wszystkie cztery boki są równobocznymi identycznymi trójkątami.

Rozważ właściwości regularnej trójkątnej piramidy i podaj odpowiednie wzory do obliczania jej parametrów.

Strona podstawy, wysokość, krawędź boczna i apothem

Dowolne dwa z wymienionych parametrów jednoznacznie określają pozostałe dwie cechy. Podajemy formuły, które łączą wymienione wielkości.

Załóżmy, że bok podstawy regularnej trójkątnej piramidy to a. Długość jego bocznej krawędzi jest równa b. Jaka będzie wysokość regularnej trójkątnej piramidy i jej apotem?

Dla wysokości h otrzymujemy wyrażenie:

Wzór ten wynika z twierdzenia Pitagorasa, dla którego jest krawędź boczna, wysokość i 2/3 wysokości podstawy.

Apotem piramidy to wysokość dowolnego trójkąta bocznego. Długość apotemy a b wynosi:

a b \u003d √ (b 2 - a 2 / 4)

Z tych wzorów wynika, że ​​bez względu na bok podstawy trójkątnej regularnej piramidy i długość jej bocznej krawędzi, apotema zawsze będzie większa wysokość piramidy.

Przedstawione dwie formuły zawierają wszystkie cztery charakterystyka liniowa kwestionowana postać. Dlatego ze znanych dwóch z nich możesz znaleźć resztę, rozwiązując układ z zapisanych równości.

objętość figury

Dla absolutnie każdej piramidy (w tym nachylonej) wartość objętości przestrzeni przez nią ograniczonej można określić, znając wysokość figury i powierzchnię jej podstawy. Odpowiednia formuła wygląda tak:

Stosując to wyrażenie do omawianej figury, otrzymujemy następujący wzór:

Gdzie wysokość regularnej trójkątnej piramidy to h, a jej podstawa to a.

Nie jest trudno uzyskać wzór na objętość czworościanu, w którym wszystkie boki są sobie równe i reprezentują trójkąty równoboczne. W takim przypadku objętość figury określa wzór:

Oznacza to, że jest to jednoznacznie określone przez długość boku a.

Powierzchnia

Nadal rozważamy właściwości trójkątnej piramidy regularnej. Powierzchnia całkowita wszystkich twarzy figury nazywamy jej powierzchnią. Wygodnie jest przestudiować to ostatnie, biorąc pod uwagę odpowiedni rozwój. Poniższy rysunek pokazuje, jak wygląda regularna trójkątna piramida.

Załóżmy, że znamy wysokość h i bok podstawy a figury. Wtedy powierzchnia jego podstawy będzie równa:

Każdy uczeń może uzyskać to wyrażenie, jeśli pamięta, jak znaleźć pole trójkąta, a także weźmie pod uwagę, że wysokość trójkąta równobocznego jest również dwusieczną i medianą.

Pole powierzchni bocznej utworzonej przez trzy identyczne trójkąty równoramienne to:

S b = 3/2*√(a 2/12+h 2)*a

Ta równość wynika z wyrażenia apotemy piramidy pod względem wysokości i długości podstawy.

Całkowita powierzchnia figury to:

S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Zauważ, że dla czworościanu, w którym wszystkie cztery boki są tymi samymi trójkątami równobocznymi, pole S będzie równe:

Właściwości regularnej ściętej piramidy trójkątnej

Jeśli wierzchołek rozważanej trójkątnej piramidy jest odcięty przez płaszczyznę równoległą do podstawy, to pozostałe Dolna część zostanie nazwana ściętą piramidą.

W przypadku podstawy trójkątnej w wyniku opisanej metody przekroju uzyskuje się nowy trójkąt, który również jest równoboczny, ale ma mniejszą długość boku niż bok podstawy. Ścięty trójkątny ostrosłup pokazano poniżej.

Widzimy, że liczba ta jest już ograniczona do dwóch podstawy trójkątne i trzy trapezy równoramienne.

Załóżmy, że wysokość wynikowej figury to h, długości boków dolnej i górnej podstawy to odpowiednio 1 i 2, a apotem (wysokość trapezu) jest równy a b. Następnie powierzchnię ściętej piramidy można obliczyć według wzoru:

S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4*(a 1 2 + a 2 2)

Tutaj pierwszy termin to pole powierzchni bocznej, drugi termin to pole trójkątnych podstaw.

Objętość figury oblicza się w następujący sposób:

V = √3/12*h*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 *a 2)

Aby jednoznacznie określić charakterystykę ściętej piramidy, konieczne jest poznanie jej trzech parametrów, o czym świadczą powyższe wzory.

Tutaj zebrane są podstawowe informacje o piramidach i związanych z nimi formułach i koncepcjach. Wszystkie są uczone z korepetytorem z matematyki w ramach przygotowań do egzaminu.

Rozważ płaszczyznę, wielokąt leży w nim i punkt S nie leży w nim. Połącz S ze wszystkimi wierzchołkami wielokąta. Powstały wielościan nazywa się piramidą. Segmenty nazywane są krawędziami bocznymi. Wielokąt nazywamy podstawą, a punkt S nazywamy wierzchołkiem piramidy. W zależności od liczby n piramida nazywana jest trójkątną (n=3), czworokątną (n=4), pięciokątną (n=5) i tak dalej. alternatywne imie piramida trójkątna - czworościan. Wysokość piramidy to prostopadła poprowadzona od jej wierzchołka do płaszczyzny podstawy.

Piramida nazywana jest poprawną, jeśli wielokąt foremny, a podstawą wysokości piramidy (podstawa pionu) jest jej środek.

Komentarz korepetytora:
Nie myl tej koncepcji prawa piramida” i „czworościan regularny”. W ostrosłupie foremnym krawędzie boczne niekoniecznie są równe krawędziom podstawy, ale w czworościanie foremnym wszystkie 6 krawędzi krawędzi są równe. To jest jego definicja. Łatwo udowodnić, że z równości wynika, że ​​środek wielokąta P z podstawą wysokości, więc czworościan foremny jest regularną piramidą.

Czym jest apotem?
Apotem piramidy jest wysokość jej bocznej ściany. Jeśli piramida jest regularna, wszystkie jej apotemy są równe. Odwrotność nie jest prawdą.

Nauczyciel matematyki o swojej terminologii: praca z piramidami składa się w 80% z dwóch rodzajów trójkątów:
1) Zawiera apotem SK i wysokość SP
2) Zawiera krawędź boczną SA i jej występ PA

Aby uprościć odniesienia do tych trójkątów, wygodniej jest, aby nauczyciel matematyki wymienił pierwszy z nich apotemiczny, i drugi żebrowy. Niestety nie znajdziesz tej terminologii w żadnym podręczniku, a nauczyciel musi ją wprowadzić jednostronnie.

Formuła objętości piramidy:
1) , gdzie jest pole powierzchni podstawy piramidy, a wysokość piramidy
2) , gdzie jest promieniem wpisanej kuli, a jest polem pełna powierzchnia piramidy.
3) , gdzie MN jest odległością dowolnych dwóch przecinających się krawędzi i jest obszarem równoległoboku utworzonego przez punkty środkowe czterech pozostałych krawędzi.

Właściwość podstawy wysokości piramidy:

Punkt P (patrz rysunek) pokrywa się ze środkiem okręgu wpisanego u podstawy piramidy, jeśli spełniony jest jeden z następujących warunków:
1) Wszystkie apotemy są równe
2) Wszystkie powierzchnie boczne są jednakowo nachylone w kierunku podstawy
3) Wszystkie apotemy są jednakowo nachylone do wysokości piramidy
4) Wysokość piramidy jest jednakowo nachylona do wszystkich ścian bocznych

Komentarz nauczyciela matematyki: zauważ, że wszystkie elementy są połączone jednym własność wspólna: tak czy inaczej, boczne twarze uczestniczą wszędzie (apotemy są ich elementami). W związku z tym prowadzący może zaproponować mniej precyzyjne, ale wygodniejsze sformułowanie do zapamiętywania: punkt P pokrywa się ze środkiem koła wpisanego, podstawą piramidy, jeśli istnieją jakiekolwiek równe informacje o jej bocznych ścianach. Aby to udowodnić, wystarczy wykazać, że wszystkie apotemiczne trójkąty są równe.

Punkt P pokrywa się ze środkiem opisanego okręgu w pobliżu podstawy piramidy, jeśli spełniony jest jeden z trzech warunków:
1) Wszystkie krawędzie boczne są równe
2) Wszystkie boczne żebra są jednakowo nachylone w kierunku podstawy
3) Wszystkie boczne żebra są równomiernie nachylone do wysokości

Piramida. Skrócona piramida

Piramida nazywa się wielościanem, którego jedna z powierzchni jest wielokątem ( baza ), a wszystkie inne twarze są trójkątami o wspólnym wierzchołku ( twarze boczne ) (rys. 15). Piramida nazywa się prawidłowy , jeśli jej podstawa jest wielokątem foremnym, a wierzchołek piramidy jest rzutowany na środek podstawy (ryc. 16). Trójkątna piramida, w której wszystkie krawędzie są równe, nazywa się czworościan .

Boczne żebro piramida nazywana jest stroną ściany bocznej, która nie należy do podstawy Wysokość ostrosłup to odległość od jego wierzchołka do płaszczyzny podstawy. Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa regularnego są sobie równe, wszystkie ściany boczne są równymi trójkątami równoramiennymi. Wysokość ściany bocznej ostrosłupa foremnego narysowanego z wierzchołka nazywa się apotema . przekrój przekątny Sekcja piramidy nazywana jest płaszczyzną przechodzącą przez dwie boczne krawędzie, które nie należą do tej samej ściany.

Powierzchnia boczna piramida nazywana jest sumą powierzchni wszystkich ścian bocznych. Pełna powierzchnia to suma powierzchni wszystkich ścian bocznych i podstawy.

Twierdzenia

1. Jeżeli w ostrosłupie wszystkie boczne krawędzie są jednakowo nachylone do płaszczyzny podstawy, to wierzchołek ostrosłupa jest rzutowany na środek koła opisanego w pobliżu podstawy.

2. Jeżeli w ostrosłupie wszystkie boczne krawędzie mają jednakową długość, to wierzchołek ostrosłupa jest rzutowany na środek koła opisanego w pobliżu podstawy.

3. Jeżeli w piramidzie wszystkie ściany są jednakowo nachylone do płaszczyzny podstawy, to wierzchołek piramidy rzutowany jest na środek okręgu wpisanego w podstawę.

Aby obliczyć objętość dowolnej piramidy, formuła jest poprawna:

gdzie V- tom;

S główne- powierzchnia bazowa;

H to wysokość piramidy.

W przypadku regularnej piramidy prawdziwe są następujące formuły:

gdzie p- obwód podstawy;

ha- apotem;

H- Wysokość;

S pełne

Strona S

S główne- powierzchnia bazowa;

V to objętość regularnej piramidy.

ścięta piramida zwana częścią piramidy zamkniętą między podstawą a płaszczyzną cięcia równoległą do podstawy piramidy (ryc. 17). Prawidłowa ścięta piramida nazywana częścią regularnej piramidy, zamkniętą między podstawą a płaszczyzną cięcia równoległą do podstawy piramidy.

Podwaliny ostrosłup ścięty - podobne wielokąty. Twarze boczne - trapez. Wysokość ścięta piramida nazywana jest odległością między jej podstawami. Przekątna Ścięty ostrosłup to odcinek łączący jej wierzchołki, które nie leżą na tej samej powierzchni. przekrój przekątny Sekcja ściętej piramidy nazywana jest płaszczyzną przechodzącą przez dwie boczne krawędzie, które nie należą do tej samej ściany.

W przypadku ściętej piramidy obowiązują formuły:

(4)

gdzie S 1 , S 2 - obszary górnej i dolnej podstawy;

S pełne to całkowita powierzchnia;

Strona S to powierzchnia boczna;

H- Wysokość;

V to objętość ściętej piramidy.

W przypadku regularnej ściętej piramidy prawdziwy jest następujący wzór:

gdzie p 1 , p 2 - obwody bazowe;

ha- apotem regularnej ściętej piramidy.

Przykład 1 W regularnej piramidzie trójkątnej kąt dwuścienny u podstawy wynosi 60º. Znajdź styczną kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.

Decyzja. Zróbmy rysunek (ryc. 18).

Piramida jest regularna, co oznacza, że ​​podstawą jest trójkąt równoboczny, a wszystkie ściany boczne są równymi trójkątami równoramiennymi. Kąt dwuścienny u podstawy to kąt nachylenia bocznej powierzchni ostrosłupa do płaszczyzny podstawy. Kąt liniowy będzie kątem a między dwoma prostopadłymi: tj. Wierzchołek piramidy jest rzutowany na środek trójkąta (środek koła opisanego i koła wpisanego w trójkącie ABC). Kąt nachylenia żebra bocznego (na przykład SB) to kąt między samą krawędzią a jej rzutem na płaszczyznę bazową. na żeberka SB ten kąt będzie kątem SBD. Aby znaleźć styczną, musisz znać nogi WIĘC oraz OB. Niech długość odcinka BD jest 3 a. kropka O odcinek BD jest podzielony na części: i Od znajdujemy WIĘC: Od znajdujemy:

Odpowiedź:

Przykład 2 Znajdź objętość regularnej ściętej piramidy czworokątnej, jeśli przekątne jej podstawy wynoszą cm i cm, a wysokość 4 cm.

Decyzja. Aby obliczyć objętość ściętej piramidy, używamy wzoru (4). Aby znaleźć obszary baz, musisz znaleźć boki kwadratów bazowych, znając ich przekątne. Boki podstaw mają odpowiednio 2 cm i 8 cm, co oznacza pola podstaw i podstawiając wszystkie dane do wzoru, obliczamy objętość ściętej piramidy:

Odpowiedź: 112 cm3.

Przykład 3 Znajdź obszar powierzchni bocznej regularnej trójkątnej ściętej piramidy, której boki podstawy mają 10 cm i 4 cm, a wysokość piramidy wynosi 2 cm.

Decyzja. Zróbmy rysunek (ryc. 19).

Boczna ściana tej piramidy to trapez równoramienny. Aby obliczyć powierzchnię trapezu, musisz znać podstawy i wysokość. Podstawy są podane według warunków, tylko wysokość pozostaje nieznana. Znajdź to skąd ALE 1 mi prostopadle od punktu ALE 1 w płaszczyźnie dolnej podstawy, A 1 D- prostopadle od ALE 1 dnia AC. ALE 1 mi\u003d 2 cm, ponieważ jest to wysokość piramidy. Za znalezienie DE wykonamy dodatkowy rysunek, na którym przedstawimy widok z góry (ryc. 20). Kropka O- rzut środków podstawy górnej i dolnej. od (patrz rys. 20) i Z drugiej strony OK jest promieniem okręgu wpisanego i OM jest promieniem okręgu wpisanego:

MK=DE.

Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa z

Powierzchnia boczna:

Odpowiedź:

Przykład 4 U podstawy piramidy leży trapez równoramienny, którego podstawy a oraz b (a> b). Każda ściana boczna tworzy kąt równy płaszczyźnie podstawy piramidy j. Znajdź całkowitą powierzchnię piramidy.

Decyzja. Zróbmy rysunek (ryc. 21). Całkowita powierzchnia piramidy SABCD jest równa sumie powierzchni i powierzchni trapezu ABCD.

Posłużmy się stwierdzeniem, że jeśli wszystkie ściany piramidy są jednakowo nachylone do płaszczyzny podstawy, to wierzchołek rzutowany jest na środek okręgu wpisanego w podstawę. Kropka O- rzutowanie wierzchołków S u podstawy piramidy. Trójkąt DARŃ jest rzutem ortogonalnym trójkąta CSD do płaszczyzny bazowej. Zgodnie z twierdzeniem o polu rzutu ortogonalnego figury płaskiej otrzymujemy:

Podobnie oznacza to Tym samym problem sprowadzał się do znalezienia obszaru trapezu ABCD. Narysuj trapez ABCD oddzielnie (ryc. 22). Kropka O jest środkiem koła wpisanym w trapez.

Ponieważ okrąg można wpisać w trapez, to lub Według twierdzenia Pitagorasa mamy

Wstęp

Kiedy zaczęliśmy studiować figury stereometryczne, poruszyliśmy temat „Piramida”. Podobał nam się ten motyw, ponieważ piramida jest bardzo często wykorzystywana w architekturze. A ponieważ nasz przyszły zawód architekt, zainspirowana tą postacią, myślimy, że będzie w stanie popchnąć nas do wielkich projektów.

Siła konstrukcji architektonicznych, ich najważniejsza jakość. Kojarzenie wytrzymałości po pierwsze z materiałami, z których są wykonane, a po drugie z cechami konstruktywne rozwiązania okazuje się, że wytrzymałość konstrukcji jest bezpośrednio związana z podstawowym dla niej kształtem geometrycznym.

Innymi słowy, rozmawiamy o tej figurze geometrycznej, którą można uznać za model odpowiedniej formy architektonicznej. Okazuje się, że kształt geometryczny decyduje również o wytrzymałości konstrukcji architektonicznej.

Piramidy egipskie od dawna uważane są za najtrwalszą konstrukcję architektoniczną. Jak wiecie, mają one kształt regularnych czworokątnych piramid.

To właśnie ten geometryczny kształt zapewnia największą stabilność dzięki dużej powierzchni podstawy. Z drugiej strony kształt piramidy zapewnia, że ​​masa maleje wraz ze wzrostem wysokości nad ziemią. To właśnie te dwie właściwości sprawiają, że piramida jest stabilna, a więc silna w warunkach grawitacji.

Cel projektu: dowiedzieć się czegoś nowego o piramidach, pogłębić wiedzę i znaleźć praktyczne zastosowania.

Aby osiągnąć ten cel, konieczne było rozwiązanie następujących zadań:

Poznaj historyczne informacje o piramidzie

Potraktuj piramidę jako figurę geometryczną

Znajdź zastosowanie w życiu i architekturze

Znajdź podobieństwa i różnice między piramidami znajdującymi się w różne części Sveta

Część teoretyczna

Informacje historyczne

Początek geometrii piramidy został położony w starożytnym Egipcie i Babilonie, ale aktywnie rozwijał się w Starożytna Grecja. Pierwszym, który ustalił, jaka jest objętość piramidy, był Demokryt, a Eudoksos z Knidos to udowodnił. Starożytny grecki matematyk Euklides usystematyzował wiedzę o piramidzie w XII tomie swoich „Początków”, a także przedstawił pierwszą definicję piramidy: postać cielesna ograniczona płaszczyznami, które zbiegają się z jednej płaszczyzny w jednym punkcie.

Grobowce egipskich faraonów. Największe z nich - piramidy Cheopsa, Chefrena i Mikerina w El Gizie w starożytności uważane były za jeden z Siedmiu Cudów Świata. Wzniesienie piramidy, w której Grecy i Rzymianie widzieli już pomnik bezprecedensowej dumy królów i okrucieństwa, które skazywały cały lud Egiptu na bezsensowne budowanie, było najważniejszym aktem kultowym i miało wyrażać, podobno, mistyczna tożsamość kraju i jego władcy. Ludność kraju pracowała przy budowie grobowca w części roku wolnej od prac rolniczych. Szereg tekstów świadczy o uwadze i trosce, jaką sami królowie (choć późniejsi) przykładali do budowy grobowca i jego budowniczych. Wiadomo również o specjalnych kultowych zaszczytach, którymi okazała się sama piramida.

Podstawowe koncepcje

Piramida Nazywa się wielościan, którego podstawą jest wielokąt, a pozostałe ściany to trójkąty mające wspólny wierzchołek.

Apotema- wysokość ściany bocznej ostrosłupa foremnego, narysowana od jej wierzchołka;

Twarze boczne- trójkąty zbiegające się u góry;

Żeberka boczne- wspólne strony ścian bocznych;

szczyt piramidy- punkt łączący krawędzie boczne i nie leżący w płaszczyźnie podstawy;

Wysokość- odcinek prostopadły poprowadzony przez wierzchołek ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy (końcami tego odcinka są wierzchołek ostrosłupa i podstawa prostopadłego);

Przekątna piramidy- przekrój piramidy przechodzący przez górę i przekątną podstawy;

Baza- wielokąt, który nie należy do wierzchołka piramidy.

Główne właściwości prawidłowej piramidy

Krawędzie boczne, ściany boczne i apotemy są odpowiednio równe.

Kąty dwuścienne u podstawy są równe.

Kąty dwuścienne na bocznych krawędziach są równe.

Każdy punkt wysokości znajduje się w równej odległości od wszystkich wierzchołków bazowych.

Każdy punkt wysokości jest w równej odległości od wszystkich ścian bocznych.

Podstawowe formuły piramidy

Obszar bocznej i pełnej powierzchni piramidy.

Powierzchnia bocznej powierzchni piramidy (pełna i ścięta) jest sumą powierzchni wszystkich jej ścian bocznych, całkowita powierzchnia jest sumą powierzchni wszystkich jej ścian.

Twierdzenie: Pole powierzchni bocznej regularnej piramidy jest równe połowie iloczynu obwodu podstawy i apotemy piramidy.

p- obwód podstawy;

h- apotem.

Obszar bocznych i pełnych powierzchni ściętej piramidy.

p1, p 2 - obwody bazowe;

h- apotem.

R- całkowita powierzchnia regularnej ściętej piramidy;

Strona S- powierzchnia bocznej powierzchni regularnej ściętej piramidy;

S1 + S2- powierzchnia bazowa

Objętość piramidy

Formularz Skala objętości jest używana do wszelkiego rodzaju piramid.

H to wysokość piramidy.

Kąty piramidy

Kąty utworzone przez ścianę boczną i podstawę piramidy nazywane są kątami dwuściennymi u podstawy piramidy.

Kąt dwuścienny tworzą dwie prostopadłe.

Aby określić ten kąt, często musisz skorzystać z twierdzenia o trzech prostopadłych.

Kąty utworzone przez krawędź boczną i jej rzut na płaszczyznę podstawy nazywane są kąty między boczną krawędzią a płaszczyzną podstawy.

Nazywa się kąt utworzony przez dwie ściany boczne kąt dwuścienny na bocznej krawędzi piramidy.

Kąt, który tworzą dwie boczne krawędzie jednej ściany ostrosłupa, nazywa się róg na szczycie piramidy.

Sekcje piramidy

Powierzchnia piramidy to powierzchnia wielościanu. Każda z jego ścian jest płaszczyzną, więc przekrój ostrosłupa wyznaczony przez sieczną płaszczyznę jest linią łamaną składającą się z oddzielnych linii prostych.

Przekrój po przekątnej

Przekrój piramidy przez płaszczyznę przechodzącą przez dwie boczne krawędzie, które nie leżą na tej samej powierzchni, nazywa się przekrój przekątny piramidy.

Sekcje równoległe

Twierdzenie:

Jeżeli piramidę przecina płaszczyzna równoległa do podstawy, wówczas boczne krawędzie i wysokości piramidy są dzielone przez tę płaszczyznę na proporcjonalne części;

Przekrój tej płaszczyzny jest wielokątem podobnym do podstawy;

Pola przekroju i podstawy są ze sobą powiązane jako kwadraty ich odległości od góry.

Rodzaje piramid

Prawidłowa piramida- ostrosłup, którego podstawa jest wielokątem foremnym, a wierzchołek ostrosłupa jest rzutowany na środek podstawy.

W prawidłowej piramidzie:

1. boczne żebra są równe

2. boczne powierzchnie są równe

3. apotemy są równe

4. kąty dwuścienne u podstawy są równe

5. Kąty dwuścienne na krawędziach bocznych są równe

6. każdy punkt wysokości jest w równej odległości od wszystkich wierzchołków bazowych

7. każdy punkt wysokości jest w równej odległości od wszystkich powierzchni bocznych

Skrócona piramida- część piramidy zamknięta między jej podstawą a płaszczyzną cięcia równoległą do podstawy.

Podstawa i odpowiadająca jej część ściętej piramidy nazywa się podstawy ściętej piramidy.

Prostopadła narysowana z dowolnego punktu jednej podstawy do płaszczyzny drugiej nazywa się wysokość ściętej piramidy.

Zadania

nr 1. Po prawej piramida czworokątna punkt O to środek podstawy, SO=8 cm, BD=30 cm Znajdź krawędź boczną SA.

Rozwiązywanie problemów

nr 1. W regularnej piramidzie wszystkie ściany i krawędzie są równe.

Rozważmy OSB: prostokąt OSB, ponieważ.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

Piramida w architekturze

Piramida - monumentalna konstrukcja w formie zwykłej regularnej geometrycznej piramidy, w której boki zbiegają się w jednym punkcie. Zgodnie z przeznaczeniem, piramidy w czasach starożytnych były miejscem pochówku lub kultu. Podstawa piramidy może być trójkątna, czworokątna lub wielokątna z dowolną liczbą wierzchołków, ale najczęstszą wersją jest podstawa czworokątna.

Znana jest znaczna liczba piramid, zbudowanych różne kultury świat starożytny głównie jako świątynie lub pomniki. Największe piramidy to piramidy egipskie.

Na całej Ziemi można zobaczyć konstrukcje architektoniczne w formie piramid. Budynki piramid przypominają czasy starożytne i wyglądają bardzo pięknie.

Piramidy egipskie największy zabytki architektury Starożytny Egipt, wśród których jednym z „siedmiu cudów świata” jest piramida Cheopsa. Od stóp do szczytu osiąga 137,3 m, a przed utratą wierzchołka jej wysokość wynosiła 146,7 m.

Budynek radiostacji w stolicy Słowacji, przypominający odwróconą piramidę, został wybudowany w 1983 roku. Oprócz pomieszczeń biurowych i usługowych w tomie znajduje się dość przestronna sala koncertowa, w której znajdują się jedne z największych organów na Słowacji .

Luwr, który „jest cichy i majestatyczny jak piramida”, przeszedł wiele zmian na przestrzeni wieków, zanim stał się największym muzeum na świecie. Narodził się jako twierdza, wzniesiona przez Filipa Augusta w 1190 roku, która wkrótce przekształciła się w rezydencję królewską. W 1793 roku pałac stał się muzeum. Zbiory wzbogacane są poprzez zapisy lub zakupy.