Przed zbadaniem pytań dotyczących tej figury geometrycznej i jej właściwości konieczne jest zrozumienie niektórych terminów. Kiedy ktoś słyszy o piramidzie, wyobraża sobie ogromne budowle w Egipcie. Tak wyglądają te najprostsze. Ale się zdarzają różne rodzaje i kształtów, co oznacza, że ​​wzór obliczeniowy dla kształtów geometrycznych będzie inny.

Piramida - figura geometryczna, oznaczający i reprezentujący wiele twarzy. W rzeczywistości jest to ten sam wielościan, u podstawy którego leży wielokąt, a po bokach trójkąty, które łączą się w jednym punkcie - wierzchołku. Liczba ta ma dwa główne typy:

• prawidłowy;
• kadłubowy.

W pierwszym przypadku podstawą jest wielokąt foremny. Tutaj wszystkie powierzchnie boczne są równe między sobą a samą figurą ucieszy oko perfekcjonisty.

W drugim przypadku są dwie podstawy - duża na samym dole i mała pomiędzy górą, powtarzająca kształt głównej. Innymi słowy, ścięta piramida to wielościan o przekroju uformowanym równolegle do podstawy.

Terminy i notacja

Podstawowe warunki:

• Regularny (równoboczny) trójkąt Postać o trzech identycznych kątach i równych bokach. W tym przypadku wszystkie kąty wynoszą 60 stopni. Figura jest najprostszą z regularnych wielościanów. Jeśli ta figura leży u podstawy, taki wielościan będzie nazywany regularnym trójkątnym. Jeśli podstawą jest kwadrat, piramida będzie nazywana regularną piramidą czworokątną.
• Wierzchołek- najwyższy punkt, w którym spotykają się krawędzie. Wysokość wierzchołka tworzy prosta linia biegnąca od szczytu do podstawy piramidy.
• krawędź jest jedną z płaszczyzn wielokąta. Może mieć formę trójkąta w przypadku trójkątnej piramidy lub w formie trapezu dla ścięta piramida.
• Przekrój- płaska sylwetka utworzona w wyniku sekcji. Nie mylić z sekcją, ponieważ sekcja pokazuje również, co jest za sekcją.
• Apotema- odcinek narysowany od szczytu piramidy do jej podstawy. Jest to również wysokość twarzy, na której znajduje się drugi punkt wzrostu. Ta definicja dotyczy tylko wielościanu foremnego. Na przykład - jeśli nie jest to ścięta piramida, twarz będzie trójkątem. W takim przypadku wysokość tego trójkąta stanie się apotemem.

Formuły powierzchni

Znajdź obszar bocznej powierzchni piramidy każdy rodzaj można zrobić na kilka sposobów. Jeśli figura nie jest symetryczna i jest wielokątem o różnych bokach, to w tym przypadku łatwiej jest obliczyć Powierzchnia całkowita powierzchnie poprzez zebranie wszystkich powierzchni. Innymi słowy, musisz obliczyć obszar każdej twarzy i dodać je razem.

W zależności od znanych parametrów mogą być wymagane wzory do obliczania kwadratu, trapezu, dowolnego czworokąta itp. Same formuły różne okazje będzie też inaczej.

W przypadku zwykłej sylwetki odnalezienie obszaru jest znacznie łatwiejsze. Wystarczy znać tylko kilka kluczowych parametrów. W większości przypadków obliczenia są wymagane właśnie dla takich liczb. Dlatego odpowiednie wzory zostaną podane poniżej. W przeciwnym razie musiałbyś namalować wszystko na kilku stronach, co tylko myli i myli.

Podstawowy wzór do obliczeń powierzchnia boczna poprawna piramida będzie wyglądać tak:

S \u003d ½ Pa (P to obwód podstawy i jest apotem)

Rozważmy jeden z przykładów. Wielościan ma podstawę z segmentami A1, A2, A3, A4, A5 i wszystkie są równe 10 cm Niech apotem będzie równy 5 cm Najpierw musisz znaleźć obwód. Ponieważ wszystkie pięć ścian podstawy jest takie samo, można je znaleźć w następujący sposób: P \u003d 5 * 10 \u003d 50 cm Następnie stosujemy podstawowy wzór: S \u003d ½ * 50 * 5 \u003d 125 cm do kwadratu .

Prawidłowa powierzchnia boczna trójkątna piramida najłatwiejszy do obliczenia. Formuła wygląda tak:

S =½* ab *3, gdzie a jest apotemem, b jest aspektem podstawy. Współczynnik trzy oznacza tutaj liczbę ścian podstawy, a pierwsza część to pole powierzchni bocznej. Rozważ przykład. Biorąc pod uwagę liczbę z apotemem 5 cm i powierzchnią podstawy 8 cm, obliczamy: S = 1/2 * 5 * 8 * 3 = 60 cm do kwadratu.

Boczna powierzchnia piramidy ściętej trochę trudniej to obliczyć. Formuła wygląda tak: S \u003d 1/2 * (p _01 + p _02) * a, gdzie p_01 i p_02 są obwodami podstaw i jest apotemem. Rozważ przykład. Załóżmy, że dla figury czworokątnej wymiary boków podstaw wynoszą 3 i 6 cm, apotem wynosi 4 cm.

Tutaj na początek powinieneś znaleźć obwody podstaw: p_01 \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm; p_02=6*4=24 cm Pozostaje podstawić wartości do głównej formuły i uzyskać: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm do kwadratu.

W ten sposób można znaleźć boczną powierzchnię regularnej piramidy o dowolnej złożoności. Uważaj, aby nie pomylić te obliczenia z Powierzchnia całkowita cały wielościan. A jeśli nadal musisz to zrobić, wystarczy obliczyć powierzchnię największej podstawy wielościanu i dodać ją do powierzchni bocznej powierzchni wielościanu.

Wideo

Aby skonsolidować informacje o tym, jak znaleźć boczną powierzchnię różnych piramid, pomoże ci ten film.

Nie otrzymałeś odpowiedzi na swoje pytanie? Zaproponuj temat autorom.

Powierzchnia piramidy. W tym artykule rozważymy z Tobą problemy ze zwykłymi piramidami. Przypomnę, że piramida regularna to piramida, której podstawą jest wielokąt foremny, wierzchołek piramidy jest rzutowany na środek tego wielokąta.

Boczna ściana takiej piramidy to trójkąt równoramienny.Wysokość tego trójkąta, narysowanego od wierzchołka regularnej piramidy, nazywa się apotemem, SF jest apotemem:

W przedstawionych poniżej rodzajach problemów wymagane jest znalezienie pola powierzchni całej piramidy lub pola jej powierzchni bocznej. Na blogu pojawiło się już kilka problemów ze zwykłymi piramidami, gdzie pojawiło się pytanie o znalezienie elementów (wysokość, krawędź podstawy, krawędź boczna), .

W UŻYWAJ zadań, z reguły brane są pod uwagę regularne piramidy trójkątne, czworokątne i sześciokątne. Nie widziałem problemów z regularnymi piramidami pięciokątnymi i siedmiokątnymi.

Wzór na powierzchnię całej powierzchni jest prosty - musisz znaleźć sumę powierzchni podstawy piramidy i powierzchni jej bocznej powierzchni:

Rozważ zadania:

Boki podstawy są prawidłowe piramida czworokątna to 72, krawędzie boczne to 164. Znajdź pole powierzchni tej piramidy.

Powierzchnia piramidy jest równa sumie powierzchni powierzchni bocznej i podstawy:

*Powierzchnia boczna składa się z czterech trójkątów o równej powierzchni. Podstawą piramidy jest kwadrat.

Powierzchnię boku piramidy można obliczyć za pomocą:

Zatem powierzchnia piramidy to:

Odpowiedź: 28224

Boki podstawy są prawidłowe sześciokątna piramida mają 22, boczne krawędzie to 61. Znajdź obszar bocznej powierzchni tej piramidy.

Podstawą foremnej sześciokątnej piramidy jest foremny sześciokąt.

Boczna powierzchnia tej piramidy składa się z sześciu obszarów równych trójkątów o bokach 61,61 i 22:

Znajdź obszar trójkąta za pomocą wzoru Herona:

Zatem powierzchnia boczna to:

Odpowiedź: 3240

*W przedstawionych powyżej problemach obszar powierzchni bocznej można znaleźć za pomocą innego wzoru na trójkąt, ale w tym celu należy obliczyć apotem.

27155. Znajdź pole powierzchni regularnej czworokątnej piramidy o boku podstawy 6 i wysokości 4.

Aby znaleźć pole powierzchni piramidy, musimy znać pole podstawy i pole powierzchni bocznej:

Powierzchnia podstawy wynosi 36, ponieważ jest to kwadrat o boku 6.

Powierzchnia boczna składa się z czterech ścian, które są trójkąty równe. Aby znaleźć obszar takiego trójkąta, musisz znać jego podstawę i wysokość (apotema):

* Powierzchnia trójkąta jest równa połowie iloczynu podstawy i wysokości narysowanej do tej podstawy.

Baza jest znana, jest równa sześciu. Znajdźmy wysokość. Rozważać trójkąt prostokątny(podświetlony na żółto):

Jedna noga jest równa 4, ponieważ jest to wysokość piramidy, druga jest równa 3, ponieważ połoważebra podstawy. Przeciwprostokątną możemy znaleźć za pomocą twierdzenia Pitagorasa:

Tak więc powierzchnia bocznej powierzchni piramidy to:

Zatem powierzchnia całej piramidy to:

Odpowiedź: 96

27069. Boki podstawy regularnej czworokątnej piramidy to 10, boczne krawędzie to 13. Znajdź pole powierzchni tej piramidy.

27070. Boki podstawy regularnej sześciokątnej piramidy to 10, boczne krawędzie to 13. Znajdź pole powierzchni bocznej tej piramidy.

Istnieją również wzory na powierzchnię boczną regularnej piramidy. W regularnej piramidzie podstawa jest rzutem prostopadłym powierzchni bocznej, a więc:

P- obwód podstawy, ja- apotem piramidy

*Ta formuła jest oparta na wzorze na pole trójkąta.

Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej o tym, jak te formuły są wyprowadzane, nie przegap tego, śledź publikację artykułów.To wszystko. Powodzenia!

Z poważaniem Aleksander Krutitskikh.

PS: Byłbym wdzięczny, gdybyś opowiedział o stronie w sieciach społecznościowych.

- Jest to figura wielościenna, u podstawy której leży wielokąt, a pozostałe twarze są reprezentowane przez trójkąty o wspólnym wierzchołku.

Jeśli podstawą jest kwadrat, nazywa się piramidę czworokątny, jeśli trójkąt to trójkątny. Wysokość piramidy jest rysowana od jej szczytu prostopadle do podstawy. Używany również do obliczania powierzchni apotem to wysokość ściany bocznej opuszczonej od jej wierzchołka.
Wzór na powierzchnię bocznej powierzchni piramidy jest sumą powierzchni jej bocznych ścian, które są sobie równe. Jednak ta metoda obliczania jest bardzo rzadko stosowana. Zasadniczo powierzchnia piramidy jest obliczana przez obwód podstawy i apotem:

Rozważ przykład obliczenia powierzchni bocznej powierzchni piramidy.

Niech otrzymamy ostrosłup o podstawie ABCDE i wierzchołku F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm Apothem a = 5 cm Znajdź obszar bocznej powierzchni piramidy.
Znajdźmy obwód. Ponieważ wszystkie ściany podstawy są równe, obwód pięciokąta będzie równy:
Teraz możesz znaleźć boczny obszar piramidy:

Powierzchnia regularnej trójkątnej piramidy

Piramida trójkątna foremna składa się z podstawy, w której leży trójkąt foremny i trzech ścian bocznych o równej powierzchni.
Wzór na powierzchnię boczną regularnej trójkątnej piramidy można obliczyć różne sposoby. Możesz zastosować zwykłą formułę do obliczania przez obwód i apotem lub możesz znaleźć obszar jednej twarzy i pomnożyć go przez trzy. Ponieważ twarz piramidy jest trójkątem, stosujemy wzór na obszar trójkąta. Będzie to wymagało apotem i długości podstawy. Rozważ przykład obliczenia powierzchni bocznej regularnej trójkątnej piramidy.

Biorąc pod uwagę piramidę z apotemem a = 4 cm i powierzchnią podstawy b = 2 cm, znajdź pole powierzchni bocznej piramidy.
Najpierw znajdź obszar jednej z bocznych ścian. W tym przypadku będzie to:
Zastąp wartości we wzorze:
Ponieważ w zwykłej piramidzie wszystkie boki są takie same, powierzchnia bocznej powierzchni piramidy będzie równa sumie powierzchni trzech ścian. Odpowiednio:

Obszar ściętej piramidy

kadłubowy Piramida to wielościan utworzony przez piramidę i jej przekrój równoległy do ​​podstawy.
Wzór na powierzchnię boczną ściętej piramidy jest bardzo prosty. Powierzchnia jest równa iloczynowi połowy sumy obwodów podstaw i apotem:

Krótko o głównych

Powierzchnia (2019)

Powierzchnia pryzmatu

Czy jest ogólna formuła? Nie, ogólnie nie. Wystarczy znaleźć obszary bocznych ścian i je zsumować.

Wzór można zapisać dla pryzmat prosty:

Gdzie jest obwód podstawy.

Ale nadal o wiele łatwiej w każdym konkretny przypadek zsumuj wszystkie obszary niż zapamiętaj dodatkowe formuły. Rozważmy na przykład pełna powierzchnia regularny pryzmat sześciokątny.

Wszystkie ściany boczne są prostokątami. Znaczy.

Zostało to już uwzględnione przy obliczaniu objętości.

Otrzymujemy więc:

Powierzchnia piramidy

W przypadku piramidy obowiązuje również ogólna zasada:

Teraz obliczmy powierzchnię najpopularniejszych piramid.

Powierzchnia regularnej trójkątnej piramidy

Niech bok podstawy będzie równy, a krawędź boczna równa. Muszę znaleźć i.

Przypomnij sobie teraz, że

To jest obszar trójkąta prostokątnego.

I pamiętajmy, jak znaleźć ten obszar. Stosujemy formułę powierzchniową:

Mamy "" - to i "" - też to, eh.

Teraz znajdźmy.

Korzystając z podstawowego wzoru na obszar i twierdzenia Pitagorasa, znajdujemy

Uwaga: jeśli masz regularny czworościan (tj.), to wzór to:

Pole powierzchni ostrosłupa czworokątnego foremnego

Niech bok podstawy będzie równy, a krawędź boczna równa.

U podstawy znajduje się kwadrat, a co za tym idzie.

Pozostaje znaleźć obszar bocznej twarzy

Powierzchnia regularnej sześciokątnej piramidy.

Niech bok podstawy będzie równy, a krawędź boczna.

Jak znaleźć? Sześciokąt składa się z dokładnie sześciu identycznych trójkątów regularnych. Szukaliśmy już obszaru regularnego trójkąta podczas obliczania powierzchni regularnej trójkątnej piramidy, tutaj używamy znalezionego wzoru.

Cóż, już dwukrotnie szukaliśmy obszaru ściany bocznej

Cóż, temat się skończył. Jeśli czytasz te linijki, to jesteś bardzo fajny.

Ponieważ tylko 5% ludzi jest w stanie opanować coś samodzielnie. A jeśli doczytałeś do końca, to jesteś w 5%!

Teraz najważniejsza rzecz.

Rozgryzłeś teorię na ten temat. I powtarzam, to jest… po prostu super! Już jesteś lepszy niż większość twoich rówieśników.

Problem w tym, że to może nie wystarczyć...

Po co?

Do udana dostawa Jednolity egzamin państwowy, o przyjęcie do instytutu z budżetu i, CO NAJWAŻNIEJ, na całe życie.

Do niczego Cię nie przekonam, powiem tylko jedno...

Osoby, które otrzymały dobre wykształcenie, zarabiają znacznie więcej niż osoby, które go nie otrzymały. To są statystyki.

Ale to nie jest najważniejsze.

Najważniejsze, że są BARDZIEJ SZCZĘŚLIWI (są takie badania). Może dlatego, że otwiera się przed nimi znacznie więcej możliwości i życie staje się jaśniejsze? Nie wiem...

Ale pomyśl sam...

Co trzeba zrobić, aby być lepszym od innych na egzaminie i być ostatecznie… szczęśliwszym?

WYPEŁNIJ SWOJĄ RĘKĘ, ROZWIĄZUJĄC PROBLEMY W TYM TEMACIE.

Na egzaminie nie zostaniesz zapytany o teorię.

Będziesz potrzebować rozwiązywać problemy na czas.

A jeśli ich nie rozwiązałeś (DUŻO!), na pewno popełnisz gdzieś głupi błąd lub po prostu nie zdążysz na czas.

To jak w sporcie – trzeba wiele razy powtórzyć, żeby na pewno wygrać.

Znajdź kolekcję w dowolnym miejscu koniecznie z rozwiązaniami szczegółowa analiza i zdecyduj, zdecyduj, zdecyduj!

Możesz skorzystać z naszych zadań (niekoniecznie) i na pewno je polecamy.

Aby uzyskać pomoc w naszych zadaniach, musisz pomóc przedłużyć żywotność podręcznika YouClever, który właśnie czytasz.

Jak? Istnieją dwie opcje:

1. Odblokuj dostęp do wszystkich ukrytych zadań w tym artykule - 299 rubli
2. Odblokuj dostęp do wszystkich ukrytych zadań we wszystkich 99 artykułach samouczka — 999 rubli.

Tak, mamy w podręczniku 99 takich artykułów i dostęp do wszystkich zadań i wszystkich ukrytych w nich tekstów można od razu otworzyć.

W drugim przypadku Damy ci symulator "6000 zadań z rozwiązaniami i odpowiedziami, dla każdego tematu, dla wszystkich poziomów złożoności." Zdecydowanie wystarczy, że położysz rękę na rozwiązywaniu problemów na dowolny temat.

W rzeczywistości jest to znacznie więcej niż tylko symulator – cały program szkoleniowy. W razie potrzeby możesz go również używać ZA DARMO.

Dostęp do wszystkich tekstów i programów jest zapewniony przez cały okres istnienia serwisu.

Podsumowując...

Jeśli nie lubisz naszych zadań, znajdź inne. Tylko nie poprzestawaj na teorii.

„Zrozumiałem” i „Wiem, jak rozwiązać” to zupełnie inne umiejętności. Potrzebujesz obu.

Znajdź problemy i rozwiąż!

Typowymi problemami geometrycznymi w płaszczyźnie iw przestrzeni trójwymiarowej są problemy wyznaczania pól powierzchni różne postacie. W tym artykule przedstawiamy wzór na pole powierzchni bocznej regularnej czworokątnej piramidy.

Czym jest piramida?

Podajmy ścisłą geometryczną definicję piramidy. Załóżmy, że istnieje jakiś wielokąt o n bokach i n narożnikach. Wybieramy dowolny punkt w przestrzeni, który nie będzie znajdował się na płaszczyźnie określonego n-kąta i łączymy go z każdym wierzchołkiem wielokąta. Otrzymamy figurę o pewnej objętości, którą nazywamy piramidą n-kątną. Na przykład pokażmy na poniższym rysunku, jak wygląda pięciokątna piramida.

Dwoma ważnymi elementami każdej piramidy są jej podstawa (n-gon) i wierzchołek. Elementy te są połączone ze sobą n trójkątami, które na ogół nie są sobie równe. Prostopadła spadająca z góry do podstawy nazywana jest wysokością figury. Jeśli przecina podstawę w środku geometrycznym (zbiega się ze środkiem masy wielokąta), to taka piramida nazywana jest linią prostą. Jeśli oprócz tego warunku podstawą jest wielokąt foremny, wówczas cała piramida nazywana jest regularną. Poniższy rysunek pokazuje, jak wyglądają regularne piramidy o podstawie trójkątnej, czworokątnej, pięciokątnej i sześciokątnej.

Powierzchnia piramidy

Zanim przejdziemy do pytania o powierzchnię bocznej powierzchni regularnej czworokątnej piramidy, należy bardziej szczegółowo zastanowić się nad samą koncepcją powierzchni.

Jak wspomniano powyżej i pokazano na rysunkach, każda piramida jest utworzona przez zestaw ścian lub boków. Jedna strona to podstawa, a n boków to trójkąty. Powierzchnia całej figury to suma pól każdego z jej boków.

Wygodnie jest badać powierzchnię na przykładzie rozwijającej się figury. Na poniższych rysunkach pokazano skan regularnej piramidy czworokątnej.

Widzimy, że jego pole powierzchni jest równe sumie czterech pól identycznych trójkątów równoramiennych i pola kwadratu.

Całkowity obszar wszystkich trójkątów tworzących boki figury nazywany jest obszarem powierzchni bocznej. Następnie pokażemy, jak to obliczyć dla regularnej piramidy czworokątnej.

Powierzchnia boczna prostokątnej regularnej piramidy

Aby obliczyć powierzchnię boczną określonej figury, ponownie zwracamy się do powyższego przeciągnięcia. Załóżmy, że znamy bok podstawy kwadratu. Oznaczmy to symbolem a. Można zauważyć, że każdy z czterech identycznych trójkątów ma podstawę o długości a. Aby obliczyć ich całkowitą powierzchnię, musisz znać tę wartość dla jednego trójkąta. Z przebiegu geometrii wiadomo, że powierzchnia trójkąta S t jest równa iloczynowi podstawy i wysokości, którą należy podzielić na pół. Tj:

Gdzie hb jest wysokością trójkąta równoramiennego narysowanego do podstawy a. Dla piramidy ta wysokość jest apotemem. Teraz pozostaje pomnożyć wynikowe wyrażenie przez 4, aby otrzymać pole S b powierzchni bocznej dla danej piramidy:

Sb = 4*S t = 2*hb*a.

Ta formuła zawiera dwa parametry: apotem i bok podstawy. Jeśli to drugie jest znane w większości warunków problemów, to pierwsze należy obliczyć znając inne wielkości. Oto wzory do obliczania apotemy h b dla dwóch przypadków:

• gdy znana jest długość żebra bocznego;
• gdy znana jest wysokość piramidy.

Jeżeli długość krawędzi bocznej (bok trójkąta równoramiennego) oznaczymy symbolem L, to apotema h b jest określona wzorem:

h b \u003d √ (L 2 - a 2 / 4).

To wyrażenie jest wynikiem zastosowania twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta powierzchni bocznej.

Jeśli znana jest wysokość h piramidy, apotemę h b można obliczyć w następujący sposób:

hb = √(h2 + a2/4).

Nie jest również trudno uzyskać to wyrażenie, jeśli weźmiemy pod uwagę trójkąt prostokątny wewnątrz ostrosłupa utworzonego przez nogi h i a / 2 oraz przeciwprostokątną h b.

Pokażemy, jak zastosować te formuły, rozwiązując dwa ciekawe zadania.

Problem ze znanym obszarem powierzchni

Wiadomo, że powierzchnia bocznej powierzchni czworokąta wynosi 108 cm 2 . Należy obliczyć wartość długości jej apotemu h bjeśli wysokość piramidy wynosi 7 cm.

Piszemy wzór na pole S b powierzchni bocznej przez wysokość. Mamy:

Sb = 2*√(h 2 + a 2/4) *a.

Tutaj po prostu podstawiliśmy odpowiednią formułę apotemy do wyrażenia na S b . Podnieśmy do kwadratu obie strony równania:

S b 2 \u003d 4 * a 2 * h 2 + a 4.

Aby znaleźć wartość a, dokonujemy zmiany zmiennych:

t 2 + 4*h 2 *t - S b 2 = 0.

Zastąp teraz znane wartości i rozwiąż równanie kwadratowe:

t 2 + 196*t - 11664 = 0.

Zapisaliśmy tylko dodatni pierwiastek tego równania. Wtedy boki podstawy piramidy będą równe:

a = √t = √47,8355 ≈6,916 cm.

Aby uzyskać długość apotemy, wystarczy użyć wzoru:

h b \u003d √ (h 2 + a 2 / 4) \u003d √ (7 2 + 6,916 2 / 4) ≈ 7,088 cm.

Boczna powierzchnia piramidy Cheopsa

Określmy wartość pola powierzchni bocznej dla największego piramida egipska. Wiadomo, że u jego podstawy leży kwadrat o długości boku 230,363 metrów. Wysokość konstrukcji pierwotnie wynosiła 146,5 metra. Podstaw te liczby do odpowiedniego wzoru na S b , otrzymamy:

S b \u003d 2 * √ (h 2 + a 2 / 4) * a \u003d 2 * √ (146,5 2 + 230,363 2 / 4) * 230,363 ≈ 85860 m 2.

Znaleziona wartość jest nieco większa niż powierzchnia 17 boisk piłkarskich.