Lekcja z cyklu „Algorytmy geometryczne”

Witaj drogi czytelniku!

Dzisiaj zaczniemy uczyć się algorytmów związanych z geometrią. Faktem jest, że problemów olimpijskich w informatyce związanych z geometrią obliczeniową jest całkiem sporo, a ich rozwiązanie często sprawia trudności.

W kilku lekcjach rozważymy szereg elementarnych podproblemów, na których opiera się rozwiązanie większości problemów geometrii obliczeniowej.

W tej lekcji napiszemy program dla znalezienie równania prostej przechodząc przez dane dwie kropki. Aby rozwiązać problemy geometryczne, potrzebujemy pewnej wiedzy z geometrii obliczeniowej. Część lekcji poświęcimy na ich poznanie.

Informacje z geometrii obliczeniowej

Geometria obliczeniowa to dziedzina informatyki zajmująca się badaniem algorytmów rozwiązywania problemów geometrycznych.

Początkowymi danymi dla takich problemów może być zbiór punktów na płaszczyźnie, zbiór odcinków, wielokąt (dany na przykład przez listę jego wierzchołków w kolejności zgodnej z ruchem wskazówek zegara) itp.

Wynikiem może być odpowiedź na jakieś pytanie (np. czy punkt należy do odcinka, czy dwa odcinki się przecinają, ...) lub jakiś obiekt geometryczny (np. najmniejszy wielokąt wypukły łączący dane punkty, pole wielokąt itp.) .

Zagadnienia geometrii obliczeniowej będziemy rozpatrywać tylko na płaszczyźnie i tylko w kartezjańskim układzie współrzędnych.

Wektory i współrzędne

Aby zastosować metody geometrii obliczeniowej, konieczne jest przetłumaczenie obrazów geometrycznych na język liczb. Przyjmiemy, że na płaszczyźnie podany jest kartezjański układ współrzędnych, w którym kierunek obrotu przeciwnie do ruchu wskazówek zegara nazywamy dodatnim.

Teraz obiekty geometryczne otrzymują wyrażenie analityczne. Tak więc, aby ustawić punkt, wystarczy podać jego współrzędne: parę liczb (x; y). Odcinek można określić podając współrzędne jego końców, linię prostą można określić podając współrzędne pary jego punktów.

Ale głównym narzędziem do rozwiązywania problemów będą wektory. Przypomnę zatem kilka informacji na ich temat.

Odcinek AB, który ma rację ALE uważany za początek (punkt aplikacji) i punkt W- koniec nazywa się wektorem AB i oznaczają albo , albo pogrubienie małe litery, Na przykład a .

Aby oznaczyć długość wektora (czyli długość odpowiedniego segmentu), użyjemy symbolu modułu (na przykład ).

Dowolny wektor będzie miał współrzędne, równe różnice odpowiednie współrzędne jego końca i początku:

,

kropki tutaj A oraz B mieć współrzędne odpowiednio.

Do obliczeń użyjemy pojęcia zorientowany kąt, czyli kąt, który uwzględnia względne położenie wektorów.

Zorientowany kąt między wektorami a oraz b dodatnia, jeśli obrót jest oddalony od wektora a do wektora b odbywa się w kierunku dodatnim (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) i ujemnym w drugim przypadku. Patrz rys.1a, rys.1b. Mówi się również, że para wektorów a oraz b zorientowany pozytywnie (negatywnie).

Zatem wartość kąta zorientowanego zależy od kolejności wyliczania wektorów i może przyjmować wartości w przedziale .

Wiele problemów geometrii obliczeniowej wykorzystuje koncepcję iloczynów wektorowych (skośnych lub pseudoskalarnych) wektorów.

Iloczyn wektorowy wektorów a i b jest iloczynem długości tych wektorów i sinusa kąta między nimi:

.

Iloczyn wektorowy wektorów we współrzędnych:

Wyrażenie po prawej jest wyznacznikiem drugiego rzędu:

W przeciwieństwie do definicji podanej w geometrii analitycznej jest to skalar.

Znak iloczynu krzyżowego określa położenie wektorów względem siebie:

a oraz b pozytywnie zorientowany.

Jeśli wartość to , to para wektorów a oraz b zorientowany negatywnie.

Iloczyn poprzeczny niezerowych wektorów wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy są one współliniowe ( ). Oznacza to, że leżą na tej samej linii lub na równoległych liniach.

Rozważmy kilka prostych zadań niezbędnych do rozwiązania bardziej złożonych.

Zdefiniujmy równanie prostej przez współrzędne dwóch punktów.

Równanie prostej przechodzącej przez dwa różne punkty podane przez ich współrzędne.

Niech na prostej podane są dwa punkty nie pokrywające się: o współrzędnych (x1;y1) oraz o współrzędnych (x2;y2). W związku z tym wektor z początkiem w punkcie i końcem w punkcie ma współrzędne (x2-x1, y2-y1). Jeśli P(x, y) jest dowolnym punktem na naszej prostej, to współrzędne wektora to (x-x1, y - y1).

Za pomocą iloczynu krzyżowego warunek kolinearności wektorów i można zapisać w następujący sposób:

Tych. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Przepisujemy ostatnie równanie w następujący sposób:

ax + przez + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Tak więc linię prostą można podać równaniem postaci (1).

Zadanie 1. Podano współrzędne dwóch punktów. Znajdź jego reprezentację w postaci ax + przez + c = 0.

W tej lekcji zapoznaliśmy się z niektórymi informacjami z geometrii obliczeniowej. Rozwiązaliśmy problem znalezienia równania prostej przez współrzędne dwóch punktów.

W następnej lekcji napiszemy program, który znajdzie punkt przecięcia dwóch prostych podanych przez nasze równania.

Niech zostaną podane dwa punkty M 1 (x 1, y 1) oraz M 2 (x 2, r 2). Piszemy równanie prostej w postaci (5), gdzie k dotychczas nieznany współczynnik:

Od punktu M 2 należy do danej prostej, to jej współrzędne spełniają równanie (5): . Wyrażając stąd i podstawiając do równania (5), otrzymujemy pożądane równanie:

Jeśli To równanie można przepisać w postaci łatwiejszej do zapamiętania:

(6)

Przykład. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkty M 1 (1,2) i M 2 (-2,3)

Decyzja. . Korzystając z właściwości proporcji i wykonując niezbędne przekształcenia, otrzymujemy ogólne równanie linii prostej:

Kąt między dwiema liniami

Rozważ dwie linie l 1 oraz l 2:

l 1: , , oraz

l 2: , ,

φ to kąt między nimi (). Rysunek 4 przedstawia: .

Stąd , lub

Za pomocą wzoru (7) można wyznaczyć jeden z kątów między liniami. Drugi kąt to .

Przykład. Dwie proste dane są równaniami y=2x+3 i y=-3x+2. znajdź kąt między tymi liniami.

Decyzja. Z równań widać, że k 1 \u003d 2 i k 2 \u003d-3. podstawiając te wartości do wzoru (7), znajdujemy

. Więc kąt między tymi liniami wynosi .

Warunki równoległości i prostopadłości dwóch prostych

Jeśli prosto l 1 oraz l 2 są równoległe, więc φ=0 oraz tgφ=0. ze wzoru (7) wynika, że ​​, skąd k 2 \u003d k 1. Zatem warunkiem równoległości dwóch linii jest równość ich nachylenia.

Jeśli prosto l 1 oraz l 2 prostopadle, to φ=π/2, α2 = π/2+ α1. . Zatem warunkiem, aby dwie linie proste były prostopadłe, jest to, że ich nachylenia są odwrotne pod względem wielkości i przeciwne pod względem znaku.

Odległość od punktu do linii

Twierdzenie. Jeśli podano punkt M(x 0, y 0), to odległość do linii Ax + Vy + C \u003d 0 jest zdefiniowana jako

Dowód. Niech punkt M 1 (x 1, y 1) będzie podstawą prostopadłej opuszczonej z punktu M do danej prostej. Wtedy odległość między punktami M i M 1:

Współrzędne x 1 i y 1 można znaleźć jako rozwiązanie układu równań:

Drugie równanie układu to równanie linii prostej przechodzącej przez dany punkt M 0 prostopadle do danej linii prostej.

Jeśli przekształcimy pierwsze równanie układu do postaci:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + O 0 + C = 0,

następnie, rozwiązując, otrzymujemy:

Podstawiając te wyrażenia do równania (1), otrzymujemy:

Twierdzenie zostało udowodnione.

Przykład. Określ kąt między liniami: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tgj= ; j = p/4.

Przykład. Pokaż, że proste 3x - 5y + 7 = 0 i 10x + 6y - 3 = 0 są prostopadłe.

Znajdujemy: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, dlatego linie są prostopadłe.

Przykład. Podano wierzchołki trójkąta A(0;1), B(6;5)), C(12;-1). Znajdź równanie na wysokość narysowaną z wierzchołka C.

Znajdujemy równanie boku AB: ; 4x = 6 lat - 6;

2x - 3 lata + 3 = 0;

Pożądane równanie wysokości to: Ax + By + C = 0 lub y = kx + b.

k= . Wtedy y = . Ponieważ wysokość przechodzi przez punkt C, to jego współrzędne spełniają to równanie: skąd b = 17. Razem: .

Odpowiedź: 3x + 2 lata - 34 = 0.

Odległość od punktu do prostej jest określona przez długość prostopadłej opuszczonej z punktu do prostej.

Jeśli linia jest równoległa do płaszczyzny rzutowania (h | | P 1), a następnie w celu określenia odległości od punktu ALE prosto h konieczne jest opuszczenie z punktu prostopadłego ALE do poziomu h.

Rozważ więcej złożony przykład kiedy linia jest zajęta stanowisko ogólne. Niech będzie konieczne określenie odległości od punktu M prosto a ogólne stanowisko.

Zadanie definicji odległości między liniami równoległymi rozwiązany podobnie jak poprzedni. Na jednej linii pobierany jest punkt, a od niego do innej linii narysowana jest prostopadła. Długość prostopadłej jest równa odległości między liniami równoległymi.

Krzywa drugiego rzędu jest linią określoną równaniem drugiego stopnia w odniesieniu do aktualnych współrzędnych kartezjańskich. W ogólnym przypadku Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F \u003d 0,

gdzie A, B, C, D, E, F to liczby rzeczywiste i przynajmniej jedna z liczb A 2 + B 2 + C 2 ≠0.

Koło

Centrum koła- jest to położenie punktów w płaszczyźnie równoodległej od punktu płaszczyzny C (a, b).

Okrąg jest określony następującym równaniem:

Gdzie x, y są współrzędnymi dowolnego punktu na okręgu, R jest promieniem okręgu.

Znak równania okręgu

1. Nie ma wyrazu z x, y

2. Współczynniki przy x 2 i y 2 są równe

Elipsa

Elipsa nazywamy położenie punktów na płaszczyźnie, suma odległości każdego z nich od dwóch danych punktów tej płaszczyzny nazywamy foci (wartość stała).

Kanoniczne równanie elipsy:

X i y należą do elipsy.

a jest główną półosią elipsy

b jest małą półosią elipsy

Elipsa ma 2 osie symetrii OX i OY. Osie symetrii elipsy są jej osiami, punktem ich przecięcia jest środek elipsy. Nazywa się oś, na której znajdują się ogniska oś ogniskowa. Punktem przecięcia elipsy z osiami jest wierzchołek elipsy.

Współczynnik kompresji (rozciągania): ε = c/a- ekscentryczność (charakteryzuje kształt elipsy), im jest mniejsza, tym elipsa jest słabiej rozciągnięta wzdłuż osi ogniskowej.

Jeżeli środki elipsy nie znajdują się w środku С(α, β)

Hiperbola

Hiperbola nazywana lokalizacją punktów na płaszczyźnie, bezwzględna wartość różnicy odległości, z których każdy od dwóch danych punktów tej płaszczyzny, zwany foci, jest wartością stałą różną od zera.

Kanoniczne równanie hiperboli

Hiperbola ma 2 osie symetrii:

a - rzeczywista półoś symetrii

b - urojona półoś symetrii

Asymptoty hiperboli:

Parabola

parabola to miejsce punktów w płaszczyźnie równoodległej od danego punktu F, zwanego ogniskiem, i danej linii, zwanej kierownicą.

Kanoniczne równanie paraboli:

Y 2 \u003d 2px, gdzie p jest odległością od ogniska do kierownicy (parametr paraboli)

Jeśli wierzchołek paraboli to C (α, β), wówczas równanie paraboli (y-β) 2 \u003d 2p (x-α)

Jeśli oś ogniskowa zostanie przyjęta jako oś y, równanie paraboli przyjmie postać: x 2 \u003d 2qy

Równanie prostej na płaszczyźnie.
Wektor kierunku jest prosty. Wektor normalny

Linia prosta na płaszczyźnie to jeden z najprostszych kształtów geometrycznych, znany Wam od czasów elementarnych, a dziś nauczymy się sobie z nią radzić metodami geometrii analitycznej. Aby opanować materiał, trzeba umieć zbudować linię prostą; wiedzieć, które równanie definiuje linię prostą, w szczególności linię prostą przechodzącą przez początek i linie proste równoległe do osi współrzędnych. Informacje te można znaleźć w instrukcji. Wykresy i własności funkcji elementarnych, stworzyłem go dla matana, ale sekcja dotycząca funkcji liniowej okazała się bardzo udana i szczegółowa. Dlatego drodzy czajniczki najpierw się tam rozgrzej. Dodatkowo musisz mieć podstawowa wiedza o wektory w przeciwnym razie zrozumienie materiału będzie niepełne.

W tej lekcji przyjrzymy się sposobom napisania równania linii prostej na płaszczyźnie. Polecam nie zaniedbywać praktycznych przykładów (nawet jeśli wydaje się to bardzo proste), ponieważ dostarczymy im elementarne i ważne fakty, metody techniczne, które będą wymagane w przyszłości, w tym w innych działach matematyki wyższej.

• Jak napisać równanie prostej ze spadkiem?
• Jak ?
• Jak znaleźć wektor kierunkowy z ogólnego równania prostej?
• Jak napisać równanie prostej dla punktu i wektora normalnego?

i zaczynamy:

Równanie linii z nachyleniem

Dobrze znana „szkolna” forma równania linii prostej nazywa się równanie prostej z współczynnik nachylenia . Na przykład, jeśli równanie podaje linię prostą, to jej nachylenie: . Rozważać znaczenie geometryczne podany współczynnik i jak jego wartość wpływa na położenie linii:

W toku geometrii udowodniono, że nachylenie linii prostej wynosi styczna do kąta między dodatnim kierunkiem osii podana linia: , a róg jest „odkręcany” w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Aby nie zaśmiecać rysunku, narysowałem kąty tylko dla dwóch linii prostych. Rozważ „czerwoną” linię prostą i jej nachylenie. Zgodnie z powyższym: (kąt „alfa” jest oznaczony zielonym łukiem). W przypadku „niebieskiej” linii prostej ze spadkiem równość jest prawdziwa (kąt „beta” jest oznaczony brązowym łukiem). A jeśli tangens kąta jest znany, to w razie potrzeby łatwo go znaleźć i róg za pomocą funkcji odwrotnej - arc tangens. Jak mówią, stół trygonometryczny lub kalkulator w ręku. Zatem, nachylenie charakteryzuje stopień nachylenia linii prostej do osi x.

W takim przypadku możliwe są następujące przypadki:

1) Jeśli nachylenie jest ujemne: , to linia, mówiąc z grubsza, biegnie od góry do dołu. Przykładami są na rysunku „niebieskie” i „karmazynowe” linie proste.

2) Jeśli nachylenie jest dodatnie: , to linia biegnie od dołu do góry. Przykładami są „czarne” i „czerwone” linie proste na rysunku.

3) Jeżeli nachylenie jest równe zero: , to równanie przyjmuje postać , a odpowiadająca mu linia jest równoległa do osi. Przykładem jest „żółta” linia.

4) Dla rodziny linii prostych równoległych do osi (nie ma przykładu na rysunku poza samą osią) nachylenie nie istnieje (tangens 90 stopni niezdefiniowany).

Im większe nachylenie modulo, tym bardziej stromy wykres liniowy.

Rozważmy na przykład dwie proste linie. Tutaj, więc linia prosta ma bardziej strome nachylenie. Przypominam, że moduł pozwala zignorować znak, nas tylko interesuje Wartości bezwzględne współczynniki kątowe.

Z kolei linia prosta jest bardziej stroma niż linie proste. .

I odwrotnie: im mniejsze nachylenie modulo, tym linia prosta jest bardziej płaska.

Dla linii prostych nierówność jest prawdziwa, więc linia prosta to coś więcej niż baldachim. Zjeżdżalnia dla dzieci, aby nie sadzić siniaków i guzków.

Dlaczego jest to potrzebne?

Przedłuż swoją udrękę Znajomość powyższych faktów pozwala od razu zobaczyć swoje błędy, w szczególności błędy podczas kreślenia wykresów - jeśli rysunek okazał się „wyraźnie coś jest nie tak”. Pożądane jest, abyś od razu było jasne, że na przykład linia prosta jest bardzo stroma i biegnie od dołu do góry, a linia prosta jest bardzo płaska, blisko osi i biegnie od góry do dołu.

W problemach geometrycznych często pojawia się kilka linii prostych, więc wygodnie jest je jakoś oznaczyć.

Notacja: linie proste są oznaczone małymi z literami łacińskimi: . Popularną opcją jest oznaczenie tej samej litery z naturalnymi indeksami dolnymi. Na przykład pięć linii, które właśnie rozważyliśmy, można oznaczyć przez .

Ponieważ każda linia prosta jest jednoznacznie określona przez dwa punkty, może być oznaczona następującymi punktami: itp. Notacja dość wyraźnie sugeruje, że punkty należą do prostej.

Czas się trochę rozluźnić:

Jak napisać równanie prostej ze spadkiem?

Jeżeli znany jest punkt należący do pewnej linii i nachylenie tej linii, to równanie tej linii wyraża się wzorem:

Przykład 1

Ułóż równanie prostej ze spadkiem, jeśli wiadomo, że punkt należy do tej prostej.

Decyzja: Ułożymy równanie prostej według wzoru . W tym przypadku:

Odpowiedź:

Badanie wykonywane elementarnie. Najpierw patrzymy na wynikowe równanie i upewniamy się, że nasze nachylenie jest na swoim miejscu. Po drugie, współrzędne punktu muszą spełniać podane równanie. Podłączmy je do równania:

Uzyskuje się poprawną równość, co oznacza, że ​​punkt spełnia otrzymane równanie.

Wniosek: Równanie znalezione poprawnie.

Trudniejszy przykład rozwiązania „zrób to sam”:

Przykład 2

Napisz równanie prostej, jeśli wiadomo, że jej kąt nachylenia do dodatniego kierunku osi wynosi , a punkt należy do tej prostej.

Jeśli masz problemy, przeczytaj ponownie materiał teoretyczny. Dokładniej, bardziej praktycznie, brakuje mi wielu dowodów.

dzwonił ostatnie połączenie, bal ucichł, a poza bramami Nauczanie domowe w rzeczywistości czekamy na geometrię analityczną. Żarty się skończyły... Może dopiero się zaczyna =)

Z nostalgią machamy rączką do znajomych i zapoznajemy się z ogólnym równaniem prostej. Ponieważ w geometrii analitycznej używa się właśnie tego:

Ogólne równanie prostej ma postać: , gdzie są liczby. Jednocześnie współczynniki jednocześnie nie są równe zeru, ponieważ równanie traci sens.

Ubierzmy się w garnitur i zawiążmy równanie ze spadkiem. Najpierw przenosimy wszystkie terminy na lewą stronę:

Termin ze znakiem „x” należy umieścić na pierwszym miejscu:

W zasadzie równanie ma już postać , ale zgodnie z zasadami etykiety matematycznej współczynnik pierwszego członu (w tym przypadku ) musi być dodatni. Zmiana znaków:

Pamiętaj to funkcja techniczna! Czynimy pierwszy współczynnik (najczęściej ) dodatnim!

W geometrii analitycznej równanie linii prostej prawie zawsze będzie podane w ogólna forma. Cóż, w razie potrzeby łatwo jest doprowadzić go do formy „szkolnej” ze spadkiem (z wyjątkiem linii prostych równoległych do osi y).

Zadajmy sobie pytanie, co dość wiesz, jak zbudować linię prostą? Dwa punkty. Ale o tym przypadku z dzieciństwa później, teraz trzyma się zasada strzałek. Każda linia prosta ma dobrze zdefiniowane nachylenie, do którego łatwo się „dostosować” wektor.

Wektor równoległy do ​​linii nazywany jest wektorem kierunkowym tej linii.. Oczywiście każda linia prosta ma nieskończenie wiele wektorów kierunkowych i wszystkie będą współliniowe (współkierunkowe lub nie - to nie ma znaczenia).

Oznaczę wektor kierunku w następujący sposób: .

Ale jeden wektor nie wystarczy do zbudowania linii prostej, wektor jest swobodny i nie jest dołączony do żadnego punktu płaszczyzny. Dlatego dodatkowo konieczne jest poznanie jakiegoś punktu, który należy do linii.

Jak napisać równanie prostej podając punkt i wektor kierunkowy?

Jeśli znany jest pewien punkt należący do linii i wektor kierujący tej linii, to równanie tej linii można skompilować za pomocą wzoru:

Czasami nazywa się to kanoniczne równanie linii .

Co robić, kiedy jedna ze współrzędnych wynosi zero, poniżej przyjrzymy się praktycznym przykładom. Przy okazji, zauważ - oba na raz współrzędne nie mogą wynosić zero, ponieważ wektor zerowy nie określa określonego kierunku.

Przykład 3

Napisz równanie prostej o podanym punkcie i wektorze kierunkowym

Decyzja: Skomponujemy równanie prostej zgodnie ze wzorem. W tym przypadku:

Korzystając z właściwości proporcji, pozbywamy się ułamków:

I sprowadzamy równanie do ogólny widok:

Odpowiedź:

Rysowanie w takich przykładach z reguły nie jest konieczne, ale w celu zrozumienia:

Na rysunku widzimy punkt początkowy, pierwotny wektor kierunku (można go przesunąć z dowolnego punktu na płaszczyźnie) oraz zbudowaną linię. Nawiasem mówiąc, w wielu przypadkach budowę linii prostej najwygodniej przeprowadza się za pomocą równania nachylenia. Nasze równanie jest łatwe do przekształcenia do postaci i bez problemu wybieramy jeszcze jeden punkt, aby zbudować linię prostą.

Jak zauważono na początku sekcji, linia ma nieskończenie wiele wektorów kierunku i wszystkie są współliniowe. Na przykład narysowałem trzy takie wektory: . Niezależnie od tego, który wektor kierunku wybierzemy, wynikiem będzie zawsze to samo równanie linii prostej.

Skomponujmy równanie prostej przez punkt i wektor kierujący:

Podział proporcji:

Podziel obie strony przez -2 i uzyskaj znane równanie:

Ci, którzy chcą, mogą podobnie testować wektory lub dowolny inny wektor kolinearny.

Rozwiążmy teraz problem odwrotny:

Jak znaleźć wektor kierunkowy z ogólnego równania prostej?

Bardzo prosta:

Jeśli linia prosta jest podana przez ogólne równanie w prostokątnym układzie współrzędnych, to wektor jest wektorem kierunkowym tej prostej.

Przykłady znajdowania wektorów kierunkowych linii prostych:

Stwierdzenie pozwala nam znaleźć tylko jeden wektor kierunkowy ze zbioru nieskończonego, ale nie potrzebujemy więcej. Chociaż w niektórych przypadkach wskazane jest zmniejszenie współrzędnych wektorów kierunkowych:

Zatem równanie określa linię prostą, która jest równoległa do osi, a współrzędne wynikowego wektora sterującego są wygodnie dzielone przez -2, otrzymując dokładnie wektor bazowy jako wektor sterujący. Logicznie.

Podobnie, równanie definiuje linię prostą równoległą do osi, a dzieląc współrzędne wektora przez 5 otrzymujemy ort jako wektor kierunkowy.

Teraz wykonajmy sprawdź przykład 3. Przykład poszedł w górę, więc przypominam, że ułożyliśmy w nim równanie prostej za pomocą punktu i wektora kierunkowego

Po pierwsze, zgodnie z równaniem prostej przywracamy jej wektor kierunkowy: - wszystko jest w porządku, otrzymaliśmy oryginalny wektor (w niektórych przypadkach może się okazać, że jest współliniowy z oryginalnym wektorem, co zwykle jest łatwe do zobaczenia dzięki proporcjonalności odpowiednich współrzędnych).

Po drugie współrzędne punktu muszą spełniać równanie . Podstawiamy je do równania:

Uzyskano poprawną równość, z której jesteśmy bardzo zadowoleni.

Wniosek: Zadanie ukończone poprawnie.

Przykład 4

Napisz równanie prostej o podanym punkcie i wektorze kierunkowym

To jest przykład zrób to sam. Rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji. Bardzo pożądane jest wykonanie sprawdzenia zgodnie z rozważanym algorytmem. Staraj się zawsze (jeśli to możliwe) sprawdzić wersję roboczą. Głupotą jest popełnianie błędów tam, gdzie można ich w 100% uniknąć.

W przypadku, gdy jedna ze współrzędnych wektora kierunku wynosi zero, bardzo łatwo to zrobić:

Przykład 5

Decyzja: Formuła jest nieprawidłowa, ponieważ mianownik po prawej stronie to zero. Jest wyjście! Korzystając z właściwości proporcji przepisujemy wzór w postaci , a resztę toczymy po głębokiej koleinie:

Odpowiedź:

Badanie:

1) Przywróć wektor kierunkowy linii prostej:
– wynikowy wektor jest współliniowy z pierwotnym wektorem kierunku.

2) Zastąp współrzędne punktu w równaniu:

Uzyskuje się prawidłową równość

Wniosek: praca zakończona poprawnie

Powstaje pytanie, po co zawracać sobie głowę formułą, skoro istnieje wersja uniwersalna, która i tak zadziała? Są dwa powody. Najpierw formuła ułamkowa dużo lepiej do zapamiętania. Po drugie, wadą uniwersalnej formuły jest to, że znacznie zwiększone ryzyko pomyłki podczas zastępowania współrzędnych.

Przykład 6

Skomponuj równanie linii prostej podanej w punkcie i wektorze kierunkowym.

To jest przykład zrób to sam.

Wróćmy do dwóch wszechobecnych punktów:

Jak napisać równanie prostej dla dwóch punktów?

Jeżeli znane są dwa punkty, to równanie prostej przechodzącej przez te punkty można skompilować ze wzoru:

W rzeczywistości jest to rodzaj wzoru, a oto dlaczego: jeśli znane są dwa punkty, to wektor będzie wektorem kierunkowym tej prostej. Na lekcji Wektory dla manekinów rozważaliśmy najprostsze zadanie– jak znaleźć współrzędne wektora z dwóch punktów. Zgodnie z tym problemem współrzędne wektora kierunku:

Notatka : punkty można „zamienić” i użyć wzoru . Taka decyzja byłaby równa.

Przykład 7

Napisz równanie prostej z dwóch punktów .

Decyzja: Użyj wzoru:

Przeczesujemy mianowniki:

I przetasuj talię:

Nadszedł czas, aby się go pozbyć liczby ułamkowe. W takim przypadku musisz pomnożyć obie części przez 6:

Otwórz nawiasy i przypomnij sobie równanie:

Odpowiedź:

Badanie jest oczywiste - współrzędne punktów początkowych muszą odpowiadać wynikowemu równaniu:

1) Zastąp współrzędne punktu:

Prawdziwa równość.

2) Zastąp współrzędne punktu:

Prawdziwa równość.

Wniosek: równanie prostej jest poprawne.

Jeśli przynajmniej jeden punktów nie spełnia równania, poszukaj błędu.

Warto zauważyć, że weryfikacja graficzna w tym przypadku jest trudna, bo zbudować linię i sprawdzić, czy punkty do niej należą , nie takie proste.

Zwrócę uwagę na kilka technicznych punktów rozwiązania. Być może w tym problemie bardziej korzystne jest zastosowanie formuły lustrzanej i dla tych samych punktów zrób równanie:

Jest mniej frakcji. Jeśli chcesz, możesz dokończyć rozwiązanie do końca, wynikiem powinno być to samo równanie.

Drugi punkt to przyjrzenie się ostatecznej odpowiedzi i sprawdzenie, czy można ją jeszcze bardziej uprościć? Na przykład, jeśli otrzymamy równanie, zaleca się zmniejszenie go o dwa: - równanie ustawi tę samą linię prostą. Jest to jednak już temat rozmów wzajemne ułożenie linii prostych.

Po otrzymaniu odpowiedzi w przykładzie 7 na wszelki wypadek sprawdziłem, czy WSZYSTKIE współczynniki równania są podzielne przez 2, 3 lub 7. Chociaż najczęściej takie redukcje są dokonywane podczas rozwiązywania.

Przykład 8

Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkty .

Jest to przykład samodzielnego rozwiązania, które pozwoli Ci tylko lepiej zrozumieć i opracować technikę obliczeniową.

Podobnie jak w poprzednim akapicie: jeśli we wzorze znika jeden z mianowników (współrzędna wektora kierunku), następnie zapisujemy go jako . I znowu zauważ, jak niezręcznie i zdezorientowana zaczęła wyglądać. Nie widzę większego sensu w podawaniu praktycznych przykładów, ponieważ faktycznie rozwiązaliśmy już taki problem (patrz nr 5, 6).

Prosty wektor normalny (wektor normalny)

Co jest normalne? W prostych słowach, normalna jest prostopadła. Oznacza to, że wektor normalny prostej jest prostopadły do ​​danej linii. Oczywistym jest, że każda linia prosta ma ich nieskończoną liczbę (podobnie jak wektory kierunkowe), a wszystkie wektory normalne linii prostej będą współliniowe (współkierunkowe lub nie - to nie ma znaczenia).

Radzenie sobie z nimi będzie jeszcze łatwiejsze niż z wektorami kierunku:

Jeżeli linia prosta jest podana przez równanie ogólne w prostokątnym układzie współrzędnych, to wektor jest wektorem normalnym tej linii prostej.

Jeśli współrzędne wektora kierunkowego trzeba ostrożnie „wyciągnąć” z równania, to współrzędne wektora normalnego można po prostu „usunąć”.

Wektor normalny jest zawsze prostopadły do ​​wektora kierunku linii. Zweryfikujemy ortogonalność tych wektorów za pomocą produkt kropkowy:

Podam przykłady z takimi samymi równaniami jak dla wektora kierunku:

Czy można napisać równanie prostej, znając jeden punkt i wektor normalny? Wydaje się, że to możliwe. Jeśli znany jest wektor normalny, wówczas kierunek samej linii prostej jest jednoznacznie określony - jest to „struktura sztywna” o kącie 90 stopni.

Jak napisać równanie prostej dla punktu i wektora normalnego?

Jeżeli znany jest jakiś punkt należący do prostej i wektor normalny tej prostej, to równanie tej prostej wyraża się wzorem:

Tutaj wszystko poszło bez ułamków i innych niespodzianek. Taki jest nasz wektor normalny. Kocham to. I szacunek =)

Przykład 9

Skomponuj równanie linii prostej z punktem i wektorem normalnym. Znajdź wektor kierunkowy linii prostej.

Decyzja: Użyj wzoru:

Otrzymano ogólne równanie prostej, sprawdźmy:

1) „Usuń” współrzędne wektora normalnego z równania: - tak, rzeczywiście, oryginalny wektor jest uzyskiwany z warunku (lub wektor powinien być współliniowy z oryginalnym wektorem).

2) Sprawdź, czy punkt spełnia równanie:

Prawdziwa równość.

Po upewnieniu się, że równanie jest poprawne, wykonamy drugą, łatwiejszą część zadania. Wyciągamy wektor kierunkowy prostej:

Odpowiedź:

Na rysunku sytuacja wygląda następująco:

Na potrzeby szkolenia podobne zadanie dla samodzielnego rozwiązania:

Przykład 10

Skomponuj równanie linii prostej z punktem i wektorem normalnym. Znajdź wektor kierunkowy prostej.

Ostatnia część lekcji poświęcona będzie mniej powszechnym, ale również ważnym typom równań prostej w płaszczyźnie

Równanie prostej w odcinkach.
Równanie prostej w postaci parametrycznej

Równanie prostej w odcinkach ma postać , gdzie są niezerowe stałe. Niektóre typy równań nie mogą być reprezentowane w tej postaci, na przykład proporcjonalność bezpośrednia (ponieważ człon wolny wynosi zero i nie ma możliwości uzyskania go po prawej stronie).

Mówiąc w przenośni, jest to „techniczny” typ równania. Zwykłym zadaniem jest przedstawienie ogólnego równania linii prostej jako równania linii prostej w odcinkach. Dlaczego jest to wygodne? Równanie prostej w odcinkach pozwala na szybkie znalezienie punktów przecięcia prostej z osiami współrzędnych, co jest bardzo ważne w niektórych zagadnieniach wyższej matematyki.

Znajdź punkt przecięcia linii z osią. Zerujemy „y”, a równanie przyjmuje postać . Pożądany punkt uzyskiwane automatycznie: .

To samo z osią to punkt, w którym linia przecina oś y.

Równania kanoniczne linii prostej w przestrzeni to równania definiujące linię prostą przechodzącą przez dany punkt współliniowo z wektorem kierunkowym.

Niech dany będzie punkt i wektor kierunkowy. Dowolny punkt leży na linii ja tylko wtedy, gdy wektory i są współliniowe, tj. spełniają warunek:

.

Powyższe równania to równania kanoniczne prosty.

Liczby m , n oraz p są rzutami wektora kierunku na osie współrzędnych. Ponieważ wektor jest niezerowy, to wszystkie liczby m , n oraz p nie może być jednocześnie zerem. Ale jeden lub dwa z nich mogą być zero. Na przykład w geometrii analitycznej dozwolona jest następująca notacja:

,

co oznacza, że ​​rzuty wektora na osie Oy oraz Oz są równe zeru. Dlatego zarówno wektor, jak i linia prosta podane przez równania kanoniczne są prostopadłe do osi Oy oraz Oz czyli samoloty yOz .

Przykład 1 Ułóż równania linii prostej w przestrzeni prostopadłej do płaszczyzny i przechodząc przez punkt przecięcia tej płaszczyzny z osią Oz .

Decyzja. Znajdź punkt przecięcia danej płaszczyzny z osią Oz. Od dowolnego punktu na osi Oz, ma więc współrzędne , przy założeniu w danym równaniu płaszczyzny x=y= 0 , otrzymujemy 4 z- 8 = 0 lub z= 2 . Dlatego punkt przecięcia danej płaszczyzny z osią Oz ma współrzędne (0; 0; 2) . Ponieważ pożądana linia jest prostopadła do płaszczyzny, jest równoległa do jej wektora normalnego. Dlatego wektor normalny może służyć jako wektor kierujący prostej podany samolot.

Teraz piszemy żądane równania prostej przechodzącej przez punkt A= (0; 0; 2) w kierunku wektora :

Równania prostej przechodzącej przez dwa podane punkty

Linia prosta może być zdefiniowana przez dwa leżące na niej punkty oraz W tym przypadku wektorem kierującym prostej może być wektor . Wtedy równania kanoniczne linii przybierają postać

.

Powyższe równania definiują linię prostą przechodzącą przez dwa podane punkty.

Przykład 2 Napisz równanie prostej w przestrzeni przechodzącej przez punkty i .

Decyzja. Pożądane równania linii prostej zapisujemy w postaci podanej powyżej w referencji teoretycznej:

.

Ponieważ , wtedy żądana linia jest prostopadła do osi Oy .

Prosta jak linia przecięcia płaszczyzn

Prostą w przestrzeni można zdefiniować jako linię przecięcia dwóch nierównoległych płaszczyzn, czyli jako zbiór punktów, które spełniają układ dwóch równań liniowych

Równania układu są również nazywane równania ogólne linia prosta w przestrzeni.

Przykład 3 Ułóż równania kanoniczne prostej w przestrzeni określonej przez równania ogólne

Decyzja. Aby zapisać równania kanoniczne prostej, czyli równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty, trzeba znaleźć współrzędne dowolnych dwóch punktów na prostej. Mogą to być na przykład punkty przecięcia linii prostej z dowolnymi dwoma płaszczyznami współrzędnych yOz oraz xOz .

Punkt przecięcia prostej z płaszczyzną yOz ma odciętą x= 0 . Dlatego zakładając w tym układzie równań x= 0 , otrzymujemy system z dwiema zmiennymi:

Jej decyzja tak = 2 , z= 6 razem z x= 0 definiuje punkt A(0; 2; 6) żądanej linii. Zakładając wtedy w danym układzie równań tak= 0 , otrzymujemy system

Jej decyzja x = -2 , z= 0 razem z tak= 0 definiuje punkt B(-2; 0; 0) przecięcie prostej z płaszczyzną xOz .

Teraz piszemy równania prostej przechodzącej przez punkty A(0; 2; 6) i B (-2; 0; 0) :

,

lub po podzieleniu mianowników przez -2:

,

Niech prosta przechodzi przez punkty M 1 (x 1; y 1) i M 2 (x 2; y 2). Równanie linii prostej przechodzącej przez punkt M 1 ma postać y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)

gdzie k - wciąż nieznany współczynnik.

Ponieważ linia prosta przechodzi przez punkt M 2 (x 2 y 2), współrzędne tego punktu muszą spełniać równanie (10,6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

Stąd znajdujemy Podstawianie znalezionej wartości k do równania (10.6) otrzymujemy równanie prostej przechodzącej przez punkty M 1 i M 2:

Zakłada się, że w tym równaniu x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Jeśli x 1 \u003d x 2, to linia prosta przechodząca przez punkty M 1 (x 1, y I) i M 2 (x 2, y 2) jest równoległa do osi y. Jego równanie to x = x 1 .

Jeśli y 2 \u003d y I, to równanie linii prostej można zapisać jako y \u003d y 1, linia prosta M 1 M 2 jest równoległa do osi x.

Równanie prostej w odcinkach

Niech linia prosta przecina oś Ox w punkcie M 1 (a; 0), a oś Oy - w punkcie M 2 (0; b). Równanie przyjmie postać:
tych.
. To równanie nazywa się równanie prostej w odcinkach, ponieważ liczby a i b wskazują, które odcinki odcina linia prosta na osiach współrzędnych.

Równanie prostej przechodzącej przez dany punkt prostopadle do danego wektora

Znajdźmy równanie prostej przechodzącej przez dany punkt Mo (x O; y o) prostopadle do danego niezerowego wektora n = (A; B).

Weź dowolny punkt M(x; y) na linii prostej i rozważ wektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (patrz rys. 1). Ponieważ wektory n i M o M są prostopadłe, ich iloczyn skalarny jest równy zero: to znaczy

A(x-xo) + B(y-yo) = 0. (10.8)

Równanie (10.8) nazywa się równanie prostej przechodzącej przez dany punkt prostopadle do danego wektora .

Wektor n = (A; B) prostopadły do ​​prostej nazywamy normalnym wektor normalny tej linii .

Równanie (10.8) można przepisać jako Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

gdzie A i B są współrzędnymi wektora normalnego, C \u003d -Ax o - Vu o - wolny członek. Równanie (10.9) jest ogólnym równaniem linii prostej(patrz rys.2).

Rys.1 Rys.2

Równania kanoniczne linii prostej

,

Gdzie
są współrzędnymi punktu, przez który przechodzi linia, oraz
- wektor kierunku.

Krzywe drugiego rzędu Circle

Okrąg to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny równoodległych od danego punktu, który nazywamy środkiem.

Równanie kanoniczne okręgu o promieniu R wyśrodkowany na punkcie
:

W szczególności, jeśli środek stawki pokrywa się z początkiem, wówczas równanie będzie wyglądać tak:

Elipsa

Elipsa to zbiór punktów na płaszczyźnie, suma odległości od każdego z nich do dwóch danych punktów oraz , które nazywane są ogniskami, jest wartością stałą
, większa niż odległość między ogniskami
.

Równanie kanoniczne elipsy, której ogniska leżą na osi Wołu i której początek znajduje się pośrodku pomiędzy ogniskami, ma postać
G de a długość wielkiej półosi; b to długość małej półosi (ryc. 2).