Obliczenia matematycznego oczekiwania zmiennej losowej dyskretnej. Formuła matematycznego oczekiwania. Prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej

Teoria prawdopodobieństwa to specjalna gałąź matematyki, którą studiują tylko studenci wyższych uczelni. Kochasz obliczenia i formuły? Nie boisz się perspektyw poznania rozkładu normalnego, entropii zespołu, oczekiwań matematycznych i wariancji dyskretnej zmiennej losowej? Wtedy ten temat będzie dla Ciebie bardzo interesujący. Zapoznajmy się z niektórymi z najważniejszych podstawowych pojęć tej części nauki.

Pamiętajmy o podstawach

Nawet jeśli pamiętasz najprostsze pojęcia teorii prawdopodobieństwa, nie zaniedbuj pierwszych akapitów artykułu. Faktem jest, że bez jasnego zrozumienia podstaw nie będziesz w stanie pracować z omówionymi poniżej formułami.

Jest więc jakieś zdarzenie losowe, jakiś eksperyment. W wyniku wykonanych czynności możemy uzyskać kilka wyników – niektóre z nich są bardziej powszechne, inne mniej powszechne. Prawdopodobieństwo zdarzenia to stosunek liczby faktycznie uzyskanych wyników jednego typu do łącznej liczby możliwych. Dopiero znając klasyczną definicję tego pojęcia, możesz zacząć badać matematyczne oczekiwanie i rozproszenie ciągłych zmiennych losowych.

Przeciętny

W szkole, na lekcjach matematyki, zacząłeś pracować ze średnią arytmetyczną. Pojęcie to jest szeroko stosowane w teorii prawdopodobieństwa i dlatego nie można go zignorować. Najważniejsze dla nas w tej chwili jest to, że spotkamy się z nim we wzorach na matematyczne oczekiwanie i wariancję zmiennej losowej.

Mamy ciąg liczb i chcemy znaleźć średnią arytmetyczną. Wystarczy zsumować wszystko, co jest dostępne i podzielić przez liczbę elementów w sekwencji. Niech mamy liczby od 1 do 9. Suma elementów wyniesie 45, a tę wartość podzielimy przez 9. Odpowiedź: - 5.

Dyspersja

W ujęciu naukowym wariancja to średni kwadrat odchyleń uzyskanych wartości cech od średniej arytmetycznej. Jeden jest oznaczony wielką łacińską literą D. Co jest potrzebne do obliczenia? Dla każdego elementu ciągu obliczamy różnicę między dostępną liczbą a średnią arytmetyczną i poddajemy ją kwadratowi. Będzie dokładnie tyle wartości, ile może być wyników dla wydarzenia, które rozważamy. Następnie podsumowujemy wszystko, co otrzymaliśmy i dzielimy przez liczbę elementów w sekwencji. Jeśli mamy pięć możliwych wyników, podziel przez pięć.

Wariancja ma również właściwości, o których trzeba pamiętać, aby zastosować ją przy rozwiązywaniu problemów. Na przykład, jeśli zmienna losowa jest zwiększona X razy, wariancja zwiększa się X razy kwadrat (tj. X*X). Nigdy nie jest mniejsza od zera i nie zależy od przesunięcia wartości o równą wartość w górę lub w dół. Ponadto w przypadku prób niezależnych wariancja sumy jest równa sumie wariancji.

Teraz zdecydowanie musimy rozważyć przykłady wariancji dyskretnej zmiennej losowej i oczekiwanie matematyczne.

Załóżmy, że przeprowadzamy 21 eksperymentów i uzyskujemy 7 różnych wyników. Każdego z nich obserwowaliśmy odpowiednio 1,2,2,3,4,4 i 5 razy. Jaka będzie wariancja?

Najpierw obliczamy średnią arytmetyczną: suma elementów to oczywiście 21. Dzielimy ją przez 7, otrzymując 3. Teraz odejmujemy 3 od każdej liczby w pierwotnym ciągu, poddajemy kwadrat każdej wartości i dodajemy wyniki do siebie . Okazuje się, że 12. Teraz pozostaje nam podzielić liczbę przez liczbę elementów i wydaje się, że to wszystko. Ale jest w tym haczyk! Porozmawiajmy o tym.

Zależność od liczby eksperymentów

Okazuje się, że przy obliczaniu wariancji mianownikiem może być jedna z dwóch liczb: N lub N-1. Tutaj N jest liczbą przeprowadzonych eksperymentów lub liczbą elementów w sekwencji (co w zasadzie jest tym samym). Od czego to zależy?

Jeśli liczba testów jest mierzona w setkach, to w mianowniku musimy wstawić N. Jeśli w jednostkach, to N-1. Naukowcy postanowili narysować granicę dość symbolicznie: dziś biegnie ona wzdłuż liczby 30. Jeśli przeprowadziliśmy mniej niż 30 eksperymentów, to podzielimy tę liczbę przez N-1, a jeśli więcej, to przez N.

Zadanie

Wróćmy do naszego przykładu rozwiązywania problemu wariancji i oczekiwań. Otrzymaliśmy pośrednią liczbę 12, którą należało podzielić przez N lub N-1. Ponieważ przeprowadziliśmy 21 eksperymentów, czyli mniej niż 30, wybierzemy drugą opcję. Więc odpowiedź brzmi: wariancja wynosi 12 / 2 = 2.

Wartość oczekiwana

Przejdźmy do drugiej koncepcji, którą musimy rozważyć w tym artykule. Oczekiwanie matematyczne jest wynikiem dodania wszystkich możliwych wyników pomnożonych przez odpowiadające prawdopodobieństwa. Ważne jest, aby zrozumieć, że wynikową wartość, a także wynik obliczenia wariancji, uzyskuje się tylko raz dla całego zadania, bez względu na to, ile wyników bierze pod uwagę.

Matematyczna formuła oczekiwania jest dość prosta: bierzemy wynik, mnożymy go przez jego prawdopodobieństwo, dodajemy to samo dla drugiego, trzeciego wyniku itd. Wszystko, co jest związane z tą koncepcją, jest łatwe do obliczenia. Na przykład suma oczekiwań matematycznych jest równa matematycznym oczekiwaniom sumy. To samo dotyczy pracy. Nie każda wielkość w teorii prawdopodobieństwa pozwala na wykonanie tak prostych operacji. Weźmy zadanie i obliczmy wartość dwóch pojęć, które studiowaliśmy jednocześnie. Dodatkowo rozpraszała nas teoria – czas na praktykę.

Jeszcze jeden przykład

Przeprowadziliśmy 50 prób i otrzymaliśmy 10 rodzajów wyników – liczby od 0 do 9 – pojawiających się w różnych procentach. Są to odpowiednio: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Przypomnijmy, że aby uzyskać prawdopodobieństwa, należy podzielić wartości procentowe przez 100. W ten sposób otrzymujemy 0,02; 0,1 itd. Przedstawmy przykład rozwiązania problemu dla wariancji zmiennej losowej i oczekiwania matematycznego.

Średnią arytmetyczną obliczamy ze wzoru, który pamiętamy ze szkoły podstawowej: 50/10 = 5.

Teraz przełóżmy prawdopodobieństwa na liczbę wyników „w kawałkach”, aby wygodniej było je liczyć. Otrzymujemy 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 i 9. Od każdej otrzymanej wartości odejmij średnią arytmetyczną, po czym każdy z otrzymanych wyników podniesiemy do kwadratu. Zobacz, jak to zrobić z pierwszym elementem jako przykładem: 1 - 5 = (-4). Dalej: (-4) * (-4) = 16. W przypadku innych wartości wykonaj te operacje samodzielnie. Jeśli zrobiłeś wszystko dobrze, to po dodaniu wszystkiego dostajesz 90.

Kontynuujmy obliczanie wariancji i średniej dzieląc 90 przez N. Dlaczego wybieramy N, a nie N-1? Zgadza się, bo liczba wykonanych eksperymentów przekracza 30. Czyli: 90/10 = 9. Otrzymaliśmy dyspersję. Jeśli dostaniesz inny numer, nie rozpaczaj. Najprawdopodobniej popełniłeś banalny błąd w obliczeniach. Sprawdź jeszcze raz, co napisałeś, a na pewno wszystko się ułoży.

Na koniec przypomnijmy matematyczną formułę oczekiwań. Nie podamy wszystkich obliczeń, napiszemy tylko odpowiedź, z którą możesz sprawdzić po wykonaniu wszystkich wymaganych procedur. Oczekiwana wartość wyniesie 5,48. Przypominamy tylko, jak wykonać operacje, na przykładzie pierwszych elementów: 0 * 0,02 + 1 * 0,1 ... i tak dalej. Jak widać, po prostu mnożymy wartość wyniku przez jego prawdopodobieństwo.

Odchylenie

Inną koncepcją ściśle związaną z dyspersją i oczekiwaniem matematycznym jest odchylenie standardowe. Jest oznaczony albo łacińskimi literami sd, albo grecką małą literą „sigma”. Ta koncepcja pokazuje, jak średnio wartości odbiegają od cechy centralnej. Aby znaleźć jego wartość, musisz obliczyć pierwiastek kwadratowy z wariancji.

Jeśli wykreślisz rozkład normalny i chcesz bezpośrednio na nim zobaczyć odchylenie kwadratowe, można to zrobić w kilku krokach. Zrób połowę obrazu po lewej lub prawej stronie trybu (wartość środkowa), narysuj prostopadle do osi poziomej, tak aby obszary wynikowych figur były równe. Wartość odcinka pomiędzy środkiem rozkładu a wynikowym rzutem na oś poziomą będzie odchyleniem standardowym.

Oprogramowanie

Jak widać z opisów wzorów i przedstawionych przykładów, obliczenie wariancji i oczekiwań matematycznych nie jest najłatwiejszą procedurą z arytmetycznego punktu widzenia. Aby nie tracić czasu, warto skorzystać z programu stosowanego w szkolnictwie wyższym – nazywa się „R”. Posiada funkcje, które pozwalają obliczyć wartości dla wielu pojęć ze statystyki i teorii prawdopodobieństwa.

Na przykład definiujesz wektor wartości. Odbywa się to w następujący sposób: wektor<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Wreszcie

Rozproszenie i matematyczne oczekiwanie są bez których trudno cokolwiek obliczyć w przyszłości. W głównym toku wykładów na uczelniach uwzględniane są już w pierwszych miesiącach studiowania przedmiotu. To właśnie z powodu niezrozumienia tych prostych pojęć i nieumiejętności ich wyliczenia wielu studentów od razu zaczyna zalegać z programem, a później otrzymuje słabe oceny z sesji, co pozbawia ich stypendiów.

Ćwicz przynajmniej tydzień przez pół godziny dziennie, rozwiązując zadania podobne do tych przedstawionych w tym artykule. Następnie, na dowolnym teście z teorii prawdopodobieństwa, poradzisz sobie z przykładami bez zbędnych wskazówek i ściągawek.

Charakterystyka DSW i ich właściwości. Oczekiwanie matematyczne, wariancja, odchylenie standardowe

Prawo rozkładu w pełni charakteryzuje zmienną losową. Gdy jednak nie da się znaleźć prawa rozkładu lub nie jest to wymagane, można ograniczyć się do znalezienia wartości, zwanych liczbowymi cechami zmiennej losowej. Wielkości te określają pewną średnią wartość, wokół której grupowane są wartości zmiennej losowej oraz stopień ich rozproszenia wokół tej średniej wartości.

matematyczne oczekiwanie Dyskretna zmienna losowa to suma iloczynów wszystkich możliwych wartości zmiennej losowej i ich prawdopodobieństw.

Oczekiwanie matematyczne istnieje, jeśli szereg po prawej stronie równości jest zbieżny absolutnie.

Z punktu widzenia prawdopodobieństwa możemy powiedzieć, że oczekiwanie matematyczne jest w przybliżeniu równe średniej arytmetycznej obserwowanych wartości zmiennej losowej.

Przykład. Znane jest prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej. Znajdź matematyczne oczekiwanie.

X
p	0.2	0.3	0.1	0.4

Decyzja:

9.2 Oczekiwane właściwości

1. Matematyczne oczekiwanie stałej wartości jest równe samej stałej.

2. Ze znaku oczekiwania można wyciągnąć stały czynnik.

3. Oczekiwanie matematyczne iloczynu dwóch niezależnych zmiennych losowych jest równe iloczynowi ich oczekiwań matematycznych.

Ta właściwość obowiązuje dla dowolnej liczby zmiennych losowych.

4. Oczekiwanie matematyczne sumy dwóch zmiennych losowych jest równe sumie oczekiwań matematycznych terminów.

Ta właściwość jest również prawdziwa dla dowolnej liczby zmiennych losowych.

Niech zostanie wykonanych n niezależnych prób, przy czym prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A jest równe p.

Twierdzenie. Matematyczne oczekiwanie M(X) liczby wystąpień zdarzenia A w n niezależnych próbach jest równe iloczynowi liczby prób i prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia w każdej próbie.

Przykład. Znajdź matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej Z, jeśli matematyczne oczekiwania X i Y są znane: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.

Decyzja:

9.3 Dyspersja dyskretnej zmiennej losowej

Jednak matematyczne oczekiwanie nie może w pełni scharakteryzować procesu losowego. Poza oczekiwaniem matematycznym konieczne jest wprowadzenie wartości charakteryzującej odchylenie wartości zmiennej losowej od oczekiwania matematycznego.

Odchylenie to jest równe różnicy między zmienną losową a jej oczekiwaniem matematycznym. W tym przypadku matematyczne oczekiwanie odchylenia wynosi zero. Wyjaśnia to fakt, że niektóre możliwe odchylenia są dodatnie, inne ujemne, a w wyniku ich wzajemnego anulowania uzyskuje się zero.

Dyspersja (rozproszenie) Dyskretna zmienna losowa nazywana jest matematycznym oczekiwaniem kwadratu odchylenia zmiennej losowej od jej matematycznego oczekiwania.

W praktyce ta metoda obliczania wariancji jest niewygodna, ponieważ prowadzi do uciążliwych obliczeń dla dużej liczby wartości zmiennej losowej.

Dlatego stosowana jest inna metoda.

Twierdzenie. Wariancja jest równa różnicy między oczekiwaniem matematycznym kwadratu zmiennej losowej X a kwadratem jej oczekiwań matematycznych.

Dowód. Biorąc pod uwagę fakt, że oczekiwanie matematyczne M (X) i kwadrat oczekiwanego matematycznego M 2 (X) są wartościami stałymi, możemy napisać:

Przykład. Znajdź wariancję dyskretnej zmiennej losowej określonej przez prawo rozkładu.

X
X 2
R	0.2	0.3	0.1	0.4

Decyzja: .

9.4 Właściwości dyspersji

1. Rozrzut stałej wartości wynosi zero. .

2. Stały czynnik można usunąć ze znaku dyspersji przez podniesienie go do kwadratu. .

3. Wariancja sumy dwóch niezależnych zmiennych losowych jest równa sumie wariancji tych zmiennych. .

4. Wariancja różnicy dwóch niezależnych zmiennych losowych jest równa sumie wariancji tych zmiennych. .

Twierdzenie. Wariancja liczby wystąpień zdarzenia A w n niezależnych próbach, w każdej z których prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia p jest stałe, jest równe iloczynowi liczby prób oraz prawdopodobieństw wystąpienia i niewystąpienia zdarzenia w każdej próbie.

9.5 Odchylenie standardowe dyskretnej zmiennej losowej

Odchylenie standardowe zmienna losowa X nazywana jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji.

Twierdzenie. Odchylenie standardowe sumy skończonej liczby wzajemnie niezależnych zmiennych losowych jest równe pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów odchyleń standardowych tych zmiennych.

Oczekiwanie matematyczne to definicja…

Mata czeka jedno z najważniejszych pojęć w statystyce matematycznej i rachunku prawdopodobieństwa, charakteryzujące rozkład wartości lub prawdopodobieństwa zmienna losowa. Zwykle wyrażany jako średnia ważona wszystkich możliwych parametrów zmiennej losowej. Jest szeroko stosowany w analizie technicznej, badaniu szeregów liczbowych, badaniu procesów ciągłych i długotrwałych. Jest to ważne w ocenie ryzyka, przewidywaniu wskaźników cenowych podczas handlu na rynkach finansowych oraz jest wykorzystywane w opracowywaniu strategii i metod taktyki gry w teoria hazardu.

Szach mat czeka- Tenśrednia wartość zmiennej losowej, rozkład prawdopodobieństwa zmienna losowa jest rozważana w teorii prawdopodobieństwa.

Mata czeka miara średniej wartości zmiennej losowej w teorii prawdopodobieństwa. Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej x oznaczone M(x).

Oczekiwania matematyczne (średnia populacji) to

Mata czeka

Mata czeka w teorii prawdopodobieństwa średnia ważona wszystkich możliwych wartości, jakie może przyjąć ta zmienna losowa.

Mata czeka suma iloczynów wszystkich możliwych wartości zmiennej losowej przez prawdopodobieństwa tych wartości.

Oczekiwania matematyczne (średnia populacji) to

Mata czekaśrednia korzyść z danej decyzji, pod warunkiem, że taką decyzję można rozpatrywać w ramach teorii wielkich liczb i dużej odległości.

Mata czeka w teorii hazardu jest to kwota wygranych, które spekulant może średnio zarobić lub stracić za każdy zakład. W języku hazardu spekulanci jest to czasami nazywane „korzyścią” spekulant” (jeśli jest dodatnia dla spekulanta) lub „przewaga kasyna” (jeśli jest ujemna dla spekulanta).

Oczekiwania matematyczne (średnia populacji) to

Mata czeka zysk na wygraną pomnożony przez średnią zysk, minus strata pomnożona przez średnią stratę.

Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej w teorii matematycznej

Jedną z ważnych cech liczbowych zmiennej losowej jest oczekiwanie. Wprowadźmy pojęcie układu zmiennych losowych. Rozważ zestaw zmiennych losowych, które są wynikiem tego samego eksperymentu losowego. Jeśli jest jedną z możliwych wartości systemu, to zdarzenie odpowiada pewnemu prawdopodobieństwu, które spełnia aksjomaty Kołmogorowa. Funkcja zdefiniowana dla dowolnych możliwych wartości zmiennych losowych nazywana jest łącznym prawem rozkładu. Ta funkcja pozwala obliczyć prawdopodobieństwa dowolnych zdarzeń. W szczególności wspólne prawo rozkład zmiennych losowych i, które przyjmują wartości ze zbioru i, jest określony przez prawdopodobieństwa.

Termin „mata. oczekiwania” wprowadził Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) i wywodził się z koncepcji „oczekiwanej wartości wypłaty”, która po raz pierwszy pojawiła się w XVII wieku w teorii hazardu w pracach Blaise'a Pascala i Christiana Huygensa. Jednak pierwsze pełne teoretyczne zrozumienie i ocenę tej koncepcji dał Pafnuty Lvovich Czebyszew (połowa XIX wieku).

Prawo rozkłady losowych zmiennych liczbowych (funkcja rozkładu i szereg rozkładów lub gęstość prawdopodobieństwa) całkowicie opisują zachowanie zmiennej losowej. Jednak w wielu problemach wystarczy znać pewne liczbowe cechy badanej wielkości (na przykład jej średnią wartość i ewentualne odchylenie od niej), aby odpowiedzieć na postawione pytanie. Główne cechy liczbowe zmiennych losowych to oczekiwanie, wariancja, moda i mediana.

Oczekiwanie matematyczne dyskretnej zmiennej losowej jest sumą iloczynów jej możliwych wartości i odpowiadających im prawdopodobieństw. Czasami mat. oczekiwanie nazywa się średnią ważoną, ponieważ jest w przybliżeniu równe średniej arytmetycznej obserwowanych wartości zmiennej losowej w dużej liczbie eksperymentów. Z definicji maty oczekiwań wynika, że ​​jej wartość jest nie mniejsza niż najmniejsza możliwa wartość zmiennej losowej i nie większa niż największa. Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej jest zmienną nielosową (stałą).

Oczekiwanie matematyczne ma proste znaczenie fizyczne: jeśli masa jednostkowa zostanie umieszczona na linii prostej, umieszczając pewną masę w niektórych punktach (dla rozkładu dyskretnego) lub „rozmazując” ją pewną gęstością (dla rozkładu absolutnie ciągłego), to punkt odpowiadający oczekiwaniu na matę będzie współrzędną „środka ciężkości” prostą.

Średnia wartość zmiennej losowej to pewna liczba, która jest niejako jej „reprezentatywna” i zastępuje ją w przybliżonych obliczeniach przybliżonych. Gdy mówimy: „średni czas pracy lampy to 100 godzin” lub „średni punkt uderzenia jest przesunięty względem celu o 2 m w prawo”, wskazujemy tym samym pewną charakterystykę liczbową zmiennej losowej, która opisuje jej położenie na osi numerycznej, tj. opis pozycji.

Spośród cech sytuacji w teorii prawdopodobieństwa najważniejszą rolę odgrywa oczekiwanie zmiennej losowej, zwanej czasami po prostu wartością średnią zmiennej losowej.

Rozważ zmienną losową X, który ma możliwe wartości x1, x2, …, xn z prawdopodobieństwami p1, p2, …, pn. Musimy scharakteryzować jakąś liczbą pozycję wartości zmiennej losowej na osi x z biorąc pod uwagęże te wartości mają różne prawdopodobieństwa. W tym celu naturalne jest wykorzystanie tzw. „średniej ważonej” wartości xi, a każda wartość xi podczas uśredniania powinna być brana pod uwagę z „wagą” proporcjonalną do prawdopodobieństwa tej wartości. W ten sposób obliczymy średnią zmiennej losowej X, co będziemy oznaczać M|X|:

Ta średnia ważona nazywana jest matą oczekiwaną zmiennej losowej. W ten sposób wprowadziliśmy pod uwagę jedno z najważniejszych pojęć rachunku prawdopodobieństwa - pojęcie mat. oczekiwania. Mata. Oczekiwanie zmiennej losowej to suma iloczynów wszystkich możliwych wartości zmiennej losowej i prawdopodobieństw tych wartości.

Mata. oczekiwanie zmiennej losowej X ze względu na swoistą zależność ze średnią arytmetyczną obserwowanych wartości zmiennej losowej przy dużej liczbie eksperymentów. Ta zależność jest tego samego typu, co zależność między częstością a prawdopodobieństwem, a mianowicie: przy dużej liczbie eksperymentów średnia arytmetyczna obserwowanych wartości zmiennej losowej zbliża się (zbiega w prawdopodobieństwie) do jej maty. Czekanie. Z obecności związku między częstością a prawdopodobieństwem można w konsekwencji wywnioskować istnienie podobnego związku między średnią arytmetyczną a oczekiwaniem matematycznym. Rzeczywiście, rozważ zmienną losową X, charakteryzujący się szeregiem rozkładów:

Niech się wyprodukuje N niezależne eksperymenty, w każdym z których wartość X nabiera określonej wartości. Załóżmy, że wartość x1 pojawiło się m1 razy, wartość x2 pojawiło się m2 czasy, ogólne znaczenie xi pojawił się mi razy. Obliczmy średnią arytmetyczną z obserwowanych wartości X, które w przeciwieństwie do mat oczekiwanych M|X| będziemy oznaczać M*|X|:

Wraz ze wzrostem liczby eksperymentów N częstotliwości Liczba Pi zbliży się (zbiegnie się pod względem prawdopodobieństwa) do odpowiednich prawdopodobieństw. Dlatego średnia arytmetyczna obserwowanych wartości zmiennej losowej M|X| wraz ze wzrostem liczby eksperymentów zbliży się (prawdopodobnie zbiegnie) do swoich oczekiwań. Sformułowana powyżej relacja między średnią arytmetyczną a matą. oczekiwanie jest treścią jednej z form prawa wielkich liczb.

Wiemy już, że wszystkie formy prawa wielkich liczb stwierdzają, że pewne średnie są stabilne w dużej liczbie eksperymentów. Tutaj mówimy o stabilności średniej arytmetycznej z serii obserwacji o tej samej wartości. Przy niewielkiej liczbie eksperymentów średnia arytmetyczna ich wyników jest losowa; przy wystarczającym wzroście liczby eksperymentów staje się „prawie nie losowy” i stabilizując się zbliża się do stałej wartości - mat. Czekanie.

Właściwość stabilności średnich dla dużej liczby eksperymentów jest łatwa do zweryfikowania eksperymentalnie. Np. ważenie dowolnego ciała w laboratorium na dokładnej wadze, w wyniku ważenia za każdym razem otrzymujemy nową wartość; aby zmniejszyć błąd obserwacji, ważymy ciało kilkakrotnie i korzystamy ze średniej arytmetycznej uzyskanych wartości. Łatwo zauważyć, że przy dalszym wzroście liczby eksperymentów (ważeń) średnia arytmetyczna w coraz mniejszym stopniu reaguje na ten wzrost, a przy odpowiednio dużej liczbie eksperymentów praktycznie przestaje się zmieniać.

Należy zauważyć, że najważniejszą cechą położenia zmiennej losowej jest mat. oczekiwanie - nie istnieje dla wszystkich zmiennych losowych. Możliwe jest wykonanie przykładów takich zmiennych losowych, dla których mat. nie ma żadnych oczekiwań, ponieważ odpowiednia suma lub całka jest rozbieżna. Jednak w praktyce takie przypadki nie budzą większego zainteresowania. Zazwyczaj zmienne losowe, z którymi mamy do czynienia, mają ograniczony zakres możliwych wartości i oczywiście mają matowe oczekiwanie.

Poza najważniejszą z cech pozycji zmiennej losowej – wartością oczekiwaną – w praktyce czasami wykorzystywane są inne cechy pozycji, w szczególności tryb i mediana zmiennej losowej.

Mod zmiennej losowej jest jej najbardziej prawdopodobną wartością. Termin „najbardziej prawdopodobna wartość”, ściśle mówiąc, odnosi się tylko do ilości nieciągłych; dla wielkości ciągłej tryb jest wartością, przy której gęstość prawdopodobieństwa jest maksymalna. Rysunki pokazują tryb odpowiednio dla nieciągłych i ciągłych zmiennych losowych.

Jeśli wielokąt rozkładu (krzywa rozkładu) ma więcej niż jedno maksimum, mówi się, że rozkład jest „polimodalny”.

Czasami zdarzają się dystrybucje, które w środku mają nie maksimum, ale minimum. Takie rozkłady nazywane są „antymodalnymi”.

W ogólnym przypadku tryb i oczekiwanie zmiennej losowej nie pokrywają się. W szczególnym przypadku, gdy rozkład jest symetryczny i modalny (tj. ma modę) i występuje mata. oczekiwania, to pokrywa się z modą i środkiem symetrii rozkładu.

Często wykorzystywana jest inna cecha stanowiska – tzw. mediana zmiennej losowej. Ta cecha jest zwykle używana tylko dla ciągłych zmiennych losowych, chociaż można ją formalnie zdefiniować również dla zmiennej nieciągłej. Geometrycznie mediana jest odciętą punktu, w którym obszar ograniczony krzywą rozkładu jest dzielony na pół.

W przypadku symetrycznego rozkładu modalnego mediana pokrywa się z matą. oczekiwania i moda.

Oczekiwanie matematyczne to wartość średnia, zmienna losowa - numeryczna charakterystyka rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej. Najogólniej rzecz biorąc, mat oczekiwanie zmiennej losowej X(w) jest zdefiniowana jako całka Lebesgue'a w odniesieniu do miary prawdopodobieństwa R w pierwotnej przestrzeni prawdopodobieństwa:

Mata. oczekiwanie można również obliczyć jako całkę Lebesgue'a z X przez rozkład prawdopodobieństwa px wielkie ilości X:

W naturalny sposób można zdefiniować pojęcie zmiennej losowej o nieskończonym oczekiwaniu. Typowym przykładem są czasy repatriacji w niektórych wypadach losowych.

Z pomocą mat. oczekiwania są definiowane przez wiele liczbowych i funkcjonalnych cech rozkładu (jako matematyczne oczekiwanie odpowiednich funkcji zmiennej losowej), na przykład funkcja generująca, funkcja charakterystyczna, momenty dowolnego rzędu, w szczególności wariancja, kowariancja.

Oczekiwania matematyczne (średnia populacji) to

Oczekiwanie matematyczne jest cechą lokalizacji wartości zmiennej losowej (średnia wartość jej rozkładu). W tym charakterze oczekiwanie matematyczne pełni rolę pewnego „typowego” parametru rozkładu, a jego rola jest podobna do roli momentu statycznego – współrzędnej środka ciężkości rozkładu masy – w mechanice. Od innych cech lokalizacji, za pomocą których rozkład jest opisany w sposób ogólny - mediany, mody, oczekiwanie różni się większą wartością, jaką ma ona i odpowiadająca jej charakterystyka rozpraszania - wariancja - w twierdzeniach granicznych rachunku prawdopodobieństwa. Z największą kompletnością znaczenie mat oczekiwania ukazuje prawo wielkich liczb (nierówność Czebyszewa) oraz wzmocnione prawo wielkich liczb.

Oczekiwania matematyczne (średnia populacji) to

Matematyczne oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej

Niech będzie jakaś zmienna losowa, która może przyjąć jedną z kilku wartości liczbowych (na przykład liczba punktów w rzucie może wynosić 1, 2, 3, 4, 5 lub 6). Często w praktyce dla takiej wartości pojawia się pytanie: jaką wartość przyjmuje „średnio” przy dużej liczbie testów? Jaki będzie nasz średni zwrot (lub strata) z każdej z ryzykownych operacji?

Powiedzmy, że istnieje jakaś loteria. Chcemy zrozumieć, czy opłaca się brać w nim udział (lub nawet brać udział wielokrotnie, regularnie). Załóżmy, że wygrywa co czwarty bilet, nagroda wyniesie 300 rubli, a każdy bilet - 100 rubli. Tak się dzieje przy nieskończonej liczbie partycypacji. W trzech czwartych przypadków przegramy, każde trzy straty będą kosztować 300 rubli. W co czwartym przypadku wygramy 200 rubli. (nagroda minus koszt), czyli za cztery udziały tracimy średnio 100 rubli, za jeden - średnio 25 rubli. W sumie średnia stawka za naszą ruinę wyniesie 25 rubli za bilet.

Rzucamy kostką. Jeśli nie jest to oszustwo (bez przesuwania środka ciężkości itp.), to ile będziemy mieć średnio punktów na raz? Ponieważ każda opcja jest równie prawdopodobna, bierzemy głupią średnią arytmetyczną i otrzymujemy 3,5. Skoro jest to ŚREDNIA, nie ma co się oburzać, że żaden konkretny rzut nie da 3,5 punktu – cóż, ta kostka nie ma twarzy z takim numerem!

Podsumujmy teraz nasze przykłady:

Rzućmy okiem na obrazek tuż powyżej. Po lewej stronie znajduje się tabela rozkładu zmiennej losowej. Wartość X może przyjąć jedną z n możliwych wartości (podaną w górnym wierszu). Nie może być innych wartości. Pod każdą możliwą wartością podpisane jest jej prawdopodobieństwo. Po prawej stronie znajduje się wzór, w którym M(X) nazywa się mat. Czekanie. Znaczenie tej wartości jest takie, że przy dużej liczbie prób (na dużej próbie) średnia wartość będzie skłaniać się do tego samego oczekiwania.

Wróćmy do tej samej kostki do gry. Mata. oczekiwana liczba punktów podczas rzucania wynosi 3,5 (oblicz się za pomocą wzoru, jeśli w to nie wierzysz). Powiedzmy, że rzuciłeś nim kilka razy. Wypadły 4 i 6. Średnio wyszło 5, czyli daleko od 3,5. Rzucili to ponownie, wypadły 3, czyli średnio (4+6+3)/3=4.3333... Jakoś daleko od maty. oczekiwania. Teraz zrób szalony eksperyment - rzuć kostką 1000 razy! A jeśli średnia nie wynosi dokładnie 3,5, to będzie blisko tego.

Policzmy mat. czekam na wyżej opisaną loterię. Tabela będzie wyglądać tak:

Wtedy oczekiwany mat będzie, jak ustaliliśmy powyżej:

Inna sprawa, że ​​jest też „na palcach”, bez formuły byłoby trudno, gdyby było więcej opcji. Powiedzmy, że 75% przegranych biletów, 20% wygranych biletów i 5% wygranych biletów.

Teraz kilka właściwości maty oczekiwania.

Mata. oczekiwanie jest liniowe.Łatwo to udowodnić:

Ze znaku mata można wyjąć stały mnożnik. oczekiwania, czyli:

Jest to szczególny przypadek właściwości liniowości mat oczekujących.

Kolejna konsekwencja liniowości maty. oczekiwania:

to jest matowe. oczekiwanie sumy zmiennych losowych jest równe sumie matematycznych oczekiwań zmiennych losowych.

Niech X, Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi, następnie:

Jest to również łatwe do udowodnienia) XY sama w sobie jest zmienną losową, natomiast jeśli początkowe wartości mogłyby przyjąć n oraz m wartości, to odpowiednio XY może przyjmować wartości nm. każda z wartości wyliczana jest na podstawie mnożenia prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych. W rezultacie otrzymujemy to:

Matematyczne oczekiwanie ciągłej zmiennej losowej

Ciągłe zmienne losowe mają taką charakterystykę jak gęstość rozkładu (gęstość prawdopodobieństwa). W rzeczywistości charakteryzuje to sytuację, w której zmienna losowa częściej przyjmuje pewne wartości ze zbioru liczb rzeczywistych, a niektóre - rzadziej. Rozważmy na przykład ten wykres:

Tutaj X- właściwie zmienna losowa, f(x)- gęstość dystrybucji. Sądząc po tym wykresie, podczas eksperymentów wartość X często będzie liczbą bliską zeru. szanse na przekroczenie 3 lub być mniej -3 raczej czysto teoretyczne.

Jeśli gęstość rozkładu jest znana, wówczas matę oczekiwaną przeszukuje się w następujący sposób:

Niech na przykład będzie rozkład równomierny:

Znajdźmy matę. oczekiwanie:

Jest to całkiem zgodne z intuicyjnym zrozumieniem. Powiedzmy, że jeśli otrzymamy wiele losowych liczb rzeczywistych o rozkładzie jednostajnym, każdy z segmentów |0; 1| , to średnia arytmetyczna powinna wynosić około 0,5.

Własności mat oczekiwań - liniowość itp., mające zastosowanie do dyskretnych zmiennych losowych, mają tu również zastosowanie.

Związek oczekiwań matematycznych z innymi wskaźnikami statystycznymi

W statystyczny Analiza, wraz z oczekiwaniem mat, istnieje system współzależnych wskaźników, które odzwierciedlają jednorodność zjawisk i stabilność procesy. Często wskaźniki zmienności nie mają niezależnego znaczenia i są wykorzystywane do dalszej analizy danych. Wyjątkiem jest współczynnik zmienności, który charakteryzuje jednorodność dane co jest cenne statystyczny Charakterystyka.

Stopień zmienności lub stabilności procesy w naukach statystycznych można mierzyć za pomocą kilku wskaźników.

Najważniejszy wskaźnik charakteryzujący zmienność zmienna losowa, to Dyspersja, który jest najściślej i bezpośrednio związany z matą. Czekanie. Ten parametr jest aktywnie wykorzystywany w innych rodzajach analiz statystycznych (testowanie hipotez, analiza związków przyczynowo-skutkowych itp.). Podobnie jak średnie odchylenie liniowe, wariancja odzwierciedla również miarę rozrzutu dane wokół średniej.

Przydatne jest przetłumaczenie języka migowego na język słów. Okazuje się, że wariancja to średni kwadrat odchyleń. Oznacza to, że najpierw obliczana jest średnia wartość, a następnie bierze się różnicę między każdą pierwotną i średnią wartością, podnosi do kwadratu, dodaje, a następnie dzieli przez liczbę wartości w tej populacji. Różnica między pojedynczą wartością a średnią odzwierciedla miarę odchylenia. Jest on podnoszony do kwadratu, aby zapewnić, że wszystkie odchylenia stają się wyłącznie liczbami dodatnimi i aby uniknąć wzajemnego anulowania odchyleń dodatnich i ujemnych podczas ich sumowania. Następnie, biorąc pod uwagę kwadrat odchylenia, po prostu obliczamy średnią arytmetyczną. Średnia – do kwadratu – odchylenia. Odchylenia są podnoszone do kwadratu i uwzględniana jest średnia. Odpowiedź na magiczne słowo „rozproszenie” to tylko trzy słowa.

Jednak w czystej postaci, takiej jak na przykład średnia arytmetyczna lub , dyspersja nie jest stosowana. Jest to raczej wskaźnik pomocniczy i pośredni, wykorzystywany do innych rodzajów analiz statystycznych. Nie ma nawet normalnej jednostki miary. Sądząc ze wzoru, jest to kwadrat oryginalnej jednostki danych.

Oczekiwania matematyczne (średnia populacji) to

Zmierzmy zmienną losową N razy, na przykład, mierzymy prędkość wiatru dziesięć razy i chcemy znaleźć wartość średnią. Jak ma się wartość średnia do funkcji rozkładu?

Albo będziemy rzucać kostką wiele razy. Liczba punktów, które wypadną na kostkę podczas każdego rzutu jest zmienną losową i może przyjmować dowolne wartości naturalne od 1 do 6. N ma tendencję do bardzo określonej liczby - mat. oczekiwanie Mx. W tym przypadku Mx = 3,5.

Jak powstała ta wartość? Wpuść N próby n1 po upuszczeniu 1 punktu, n2 razy - 2 punkty i tak dalej. Następnie liczba wyników, na które spadł jeden punkt:

Podobnie dla wyników, gdy wypadły 2, 3, 4, 5 i 6 punktów.

Załóżmy teraz, że znamy rozkłady zmiennej losowej x, czyli wiemy, że zmienna losowa x może przyjmować wartości x1, x2,..., xk z prawdopodobieństwami p1, p2,... , pk.

Oczekiwanie maty Mx od zmiennej losowej x wynosi:

Oczekiwania matematyczne nie zawsze są rozsądnym oszacowaniem jakiejś zmiennej losowej. Tak więc do oszacowania przeciętnego wynagrodzenia rozsądniej jest użyć pojęcia mediany, czyli takiej wartości, aby liczba osób otrzymujących mniej niż mediana pensja i duży, mecz.

Prawdopodobieństwo p1 że zmienna losowa x jest mniejsza niż x1/2 i prawdopodobieństwo p2 że zmienna losowa x jest większa niż x1/2 są takie same i równe 1/2. Mediana nie jest jednoznacznie określona dla wszystkich rozkładów.

Odchylenie standardowe lub standardowe w statystyce nazywa się stopień odchylenia danych lub zbiorów obserwacyjnych od wartości ŚREDNIA. Oznaczone literami s lub s. Małe odchylenie standardowe wskazuje, że dane są zgrupowane wokół średniej, a duże odchylenie standardowe wskazuje, że dane początkowe są dalekie od niej. Odchylenie standardowe jest równe pierwiastkowi kwadratowemu z wielkości zwanej wariancją. Jest to średnia sumy kwadratów różnic danych początkowych odbiegających od średniej. Odchylenie standardowe zmiennej losowej to pierwiastek kwadratowy z wariancji:

Przykład. W warunkach testowych podczas strzelania do celu obliczyć wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej:

Zmiana- fluktuacja, zmienność wartości atrybutu w jednostkach populacji. Oddzielne wartości liczbowe cechy występującej w badanej populacji nazywane są wariantami wartości. Niewystarczalność wartości średniej dla pełnej charakterystyki populacji powoduje konieczność uzupełnienia wartości średnich o wskaźniki umożliwiające ocenę typowości tych średnich poprzez pomiar fluktuacji (zmienności) badanej cechy. Współczynnik zmienności oblicza się według wzoru:

Zmienność rozpiętości(R) to różnica między maksymalnymi i minimalnymi wartościami cechy w badanej populacji. Wskaźnik ten daje najbardziej ogólne pojęcie o wahaniach badanej cechy, jak to pokazuje różnica tylko między wartościami granicznymi wariantów. Zależność od skrajnych wartości atrybutu nadaje zakresowi zmienności niestabilny, losowy charakter.

Średnie odchylenie liniowe jest średnią arytmetyczną bezwzględnych (modulo) odchyleń wszystkich wartości analizowanej populacji od ich wartości średniej:

Oczekiwania matematyczne w teorii hazardu

Mata czekaśrednia kwota pieniędzy, jaką spekulant hazardowy może wygrać lub stracić na danym zakładzie. To bardzo istotna koncepcja dla spekulanta, ponieważ ma fundamentalne znaczenie dla oceny większości sytuacji w grach. Oczekiwanie na mat jest również najlepszym narzędziem do analizy podstawowych układów kart i sytuacji w grze.

Załóżmy, że grasz na monety ze znajomym, za każdym razem stawiając równy 1 $, bez względu na to, co się wydarzy. Reszki - wygrałeś, orły - przegrałeś. Szanse na to, że wypadnie resztek są jeden do jednego, a Ty obstawiasz 1 do 1 USD. Tak więc twoje oczekiwanie na mat jest zerowe, ponieważ z matematycznego punktu widzenia nie możesz wiedzieć, czy po dwóch rzutach czy po 200 będziesz prowadzić, czy przegrać.

Twój zysk godzinowy wynosi zero. Wypłata godzinowa to kwota, którą spodziewasz się wygrać w ciągu godziny. Możesz rzucić monetą 500 razy w ciągu godziny, ale nie wygrasz ani nie przegrasz, ponieważ twoje szanse nie są ani dodatnie, ani ujemne. Jeśli spojrzeć, z punktu widzenia poważnego spekulanta, taki system stawek nie jest zły. Ale to tylko strata czasu.

Ale załóżmy, że ktoś chce postawić 2 $ przeciwko Twojemu 1 $ w tej samej grze. Wtedy natychmiast oczekujesz 50 centów z każdego zakładu. Dlaczego 50 centy? Średnio wygrywasz jeden zakład i przegrywasz drugi. Postaw pierwszy i przegraj 1 $, postaw drugi i wygraj 2 $. Dwukrotnie stawiasz 1 $ i masz przewagę 1 $. Więc każdy z twoich jednodolarowych zakładów dawał ci 50 centy.

Jeśli moneta spadnie 500 razy w ciągu godziny, godzinowy zysk wyniesie już 250 dolarów, ponieważ. średnio jednego zgubiłeś dolar 250 razy i wygrał dwa dolar 250 razy. 500 $ minus 250 $ daje 250 $, czyli całkowitą wygraną. Pamiętaj, że oczekiwana wartość, czyli średnia wygrana w pojedynczym zakładzie, to 50 centów. Wygrałeś 250 dolarów, obstawiając 500 razy dolara, co równa się 50 centom twojego zakładu.

Oczekiwania matematyczne (średnia populacji) to

Mata. oczekiwania nie mają nic wspólnego z wynikami krótkoterminowymi. Twój przeciwnik, który zdecydował się postawić 2 dolary przeciwko tobie, mógł cię pokonać w pierwszych dziesięciu rzutach z rzędu, ale ty, mając przewagę w obstawianiu 2 do 1, przy wszystkich innych zasadach, zarabiasz 50 centów na każdym zakładzie 1 dolara w dowolnym okoliczności. Nie ma znaczenia, czy wygrasz, czy przegrasz jeden zakład, czy kilka, ale tylko pod warunkiem, że masz wystarczająco dużo gotówki, aby łatwo zrekompensować koszty. Jeśli nadal będziesz obstawiać w ten sam sposób, to przez długi czas Twoje wygrane zbliżą się do sumy oczekiwanych wartości w poszczególnych rzutach.

Za każdym razem, gdy robisz najlepszy zakład (zakład, który może być opłacalny na dłuższą metę), gdy szanse są na twoją korzyść, na pewno coś na tym wygrasz, niezależnie od tego, czy przegrasz, czy nie w danym rozdaniu. I odwrotnie, jeśli postawiłeś gorszy zakład (zakład, który jest nieopłacalny na dłuższą metę), gdy szanse nie są na twoją korzyść, tracisz coś, niezależnie od tego, czy wygrasz, czy przegrasz rozdanie.

Oczekiwania matematyczne (średnia populacji) to

Obstawiasz z najlepszym wynikiem, jeśli Twoje oczekiwania są pozytywne, a pozytywne, jeśli szanse są na Twoją korzyść. Obstawiając najgorszy wynik, masz negatywne oczekiwania, co ma miejsce, gdy szanse są przeciwko tobie. Poważni spekulanci obstawiają tylko z najlepszym wynikiem, z najgorszym - pasują. Co oznaczają szanse na Twoją korzyść? Możesz wygrać więcej, niż przynoszą rzeczywiste kursy. Prawdziwe szanse na trafienie w reszkę wynoszą 1 do 1, ale otrzymujesz 2 do 1 ze względu na stosunek zakładów. W tym przypadku szanse są na Twoją korzyść. Zdecydowanie uzyskujesz najlepszy wynik z pozytywnym oczekiwaniem 50 centów za zakład.

Oto bardziej złożony przykład. oczekiwania. Znajomy zapisuje liczby od jednego do pięciu i stawia 5 $ przeciwko Twojemu 1 $, że nie wybierzesz numeru. Czy zgadzasz się na taki zakład? Jakie są tutaj oczekiwania?

Mylisz się średnio cztery razy. Na tej podstawie szanse na odgadnięcie liczby wynoszą 4 do 1. Szanse są takie, że za jednym razem stracisz dolara. Jednak wygrywasz 5 do 1, z możliwością przegranej 4 do 1. Dlatego szanse są na twoją korzyść, możesz wziąć zakład i mieć nadzieję na najlepszy wynik. Jeśli postawisz ten zakład pięć razy, średnio przegrasz cztery razy 1 $ i raz wygrasz 5 $. Na tej podstawie za wszystkie pięć prób zarobisz 1 USD z pozytywnym matematycznym oczekiwaniem wynoszącym 20 centów za zakład.

Spekulant, który wygra więcej niż postawi, jak w powyższym przykładzie, łapie szanse. I odwrotnie, rujnuje szanse, gdy spodziewa się, że wygra mniej niż stawia. Spekulant zakładów może mieć pozytywne lub negatywne oczekiwania w zależności od tego, czy wygrywa, czy rujnuje szanse.

Jeśli postawisz 50 $, aby wygrać 10 $ z szansą na wygraną 4 do 1, otrzymasz ujemne oczekiwanie 2 $, ponieważ średnio wygrasz cztery razy 10 $ i raz stracisz 50 $, co pokazuje, że strata na zakład wyniesie 10 $. Ale jeśli postawisz 30 $, aby wygrać 10 $, przy tym samym prawdopodobieństwie wygranej 4 do 1, to w tym przypadku spodziewasz się 2 $, ponieważ ponownie wygrywasz cztery razy 10 USD i raz tracisz 30 USD, co oznacza zysk za 10 dolarów. Te przykłady pokazują, że pierwszy zakład jest zły, a drugi dobry.

Mata. oczekiwanie jest centrum każdej sytuacji w grze. Kiedy bukmacher zachęca fanów piłki nożnej do obstawiania 11 USD, aby wygrać 10 USD, spodziewają się 50 centów za każde 10 USD. Jeśli kasyno wypłaca równe pieniądze z linii przepustki do gry w kości, wówczas pozytywne oczekiwania kasyna wynoszą około 1,40 dolara na każde 100 dolarów; ta gra jest skonstruowana tak, że każdy, kto postawi na tę linię, traci średnio 50,7% i wygrywa 49,3% czasu. Niewątpliwie to właśnie to pozornie minimalne pozytywne oczekiwanie przynosi ogromne zyski właścicielom kasyn na całym świecie. Jak zauważył właściciel kasyna Vegas World, Bob Stupak: „Jedna tysięczna procent ujemne prawdopodobieństwo na dostatecznie dużej odległości doprowadzi do bankructwa najbogatszego człowieka na świecie.

Oczekiwania matematyczne podczas gry w pokera

Gra w pokera jest najbardziej obrazowym i ilustracyjnym przykładem wykorzystania teorii i właściwości maty do czekania.

Mata. Oczekiwana wartość w pokera - średnia korzyść z danej decyzji, pod warunkiem, że taką decyzję można rozpatrywać w ramach teorii dużych liczb i dalekiego dystansu. Udany poker polega na tym, że zawsze akceptujesz ruchy z pozytywnymi oczekiwaniami matematycznymi.

Oczekiwania matematyczne (średnia populacji) to

Znaczenie matematyczne. oczekiwanie podczas gry w pokera polega na tym, że przy podejmowaniu decyzji często napotykamy zmienne losowe (nie wiemy, jakie karty ma na ręce przeciwnik, jakie karty padną w kolejnych rundach handel). Każde z rozwiązań musimy rozpatrywać z punktu widzenia teorii wielkich liczb, która mówi, że przy odpowiednio dużej próbie średnia wartość zmiennej losowej będzie dążyć do jej średniej.

Wśród konkretnych wzorów obliczania mat oczekiwań, w pokerze najbardziej stosuje się następujące:

Podczas gry w pokera mata. oczekiwanie można obliczyć zarówno dla zakładów, jak i połączeń. W pierwszym przypadku należy brać pod uwagę fold equity, w drugim własne oddsy puli. Przy ocenie mat. oczekiwanie na ten lub inny ruch, należy pamiętać, że fold zawsze ma zerowe oczekiwanie. Tak więc odrzucanie kart zawsze będzie bardziej opłacalną decyzją niż jakikolwiek negatywny ruch.

Oczekiwania matematyczne (średnia populacji) to

Oczekiwanie mówi Ci, czego możesz się spodziewać (lub stracić) przy każdym podejmowanym ryzyku. Kasyna zarabiają pieniądze ponieważ oczekiwanie mata od wszystkich gier, które są w nich praktykowane, jest na korzyść kasyna. Przy odpowiednio długiej serii gier można się spodziewać, że klient straci swoje pieniądze ponieważ „prawdopodobieństwo” jest na korzyść kasyna. Jednak profesjonalni spekulanci kasynowi ograniczają swoje gry do krótkich okresów czasu, zwiększając w ten sposób szanse na swoją korzyść. To samo dotyczy inwestowania. Jeśli Twoje oczekiwania są pozytywne, możesz zarobić więcej pieniędzy, dokonując wielu transakcji w krótkim czasie. Kropka czas. Oczekiwanie to procent zysku na wygraną pomnożony przez średni zysk minus prawdopodobieństwo straty pomnożone przez średnią stratę.

Pokera można również oglądać w kategoriach mata. Możesz założyć, że dany ruch jest opłacalny, ale w niektórych przypadkach może nie być najlepszy, ponieważ inny ruch jest bardziej opłacalny. Powiedzmy, że trafiłeś fula w pokerze dobieranym pięciokartowym. Twój przeciwnik stawia. Wiesz, że jeśli podniesiesz stawkę, zadzwoni. Tak więc podbijanie wygląda na najlepszą taktykę. Ale jeśli podbijesz zakład, pozostali dwaj spekulanci na pewno spasują. Ale jeśli sprawdzisz zakład, będziesz całkowicie pewien, że pozostali dwaj spekulanci po tobie zrobią to samo. Kiedy podbijasz zakład, dostajesz jedną jednostkę, a po prostu sprawdzając - dwie. Tak więc sprawdzenie daje wyższą dodatnią wartość oczekiwaną i jest najlepszą taktyką.

Mata. czekanie może też dać wyobrażenie o tym, które taktyki pokerowe są mniej opłacalne, a które bardziej opłacalne. Na przykład, jeśli rozgrywasz konkretną rękę i uważasz, że Twoja średnia strata wynosi 75 centów, wliczając ante, powinieneś zagrać tę rękę, ponieważ jest to lepsze niż spasowanie, gdy ante wynosi 1$.

Kolejny ważny powód do zrozumienia istoty maty. oczekiwanie jest takie, że daje to poczucie spokoju, niezależnie od tego, czy wygrałeś zakład, czy nie: jeśli zrobiłeś dobry zakład lub spasowałeś na czas, będziesz wiedział, że zarobiłeś lub zaoszczędziłeś pewną ilość pieniędzy, którą słabszy spekulant mógłby Nie chroniony. Dużo trudniej jest spasować, jeśli jesteś sfrustrowany, że twój przeciwnik ma lepszą rękę na dobieraniu. Dzięki temu to, co zaoszczędzisz, nie grając, zamiast obstawiać, jest dodawane do Twoich wygranych za noc lub miesiąc.

Pamiętaj tylko, że jeśli zmienisz ręce, przeciwnik cię sprawdzi, a jak zobaczysz w artykule Fundamental Theorem of Poker, jest to tylko jedna z twoich zalet. Powinieneś się radować, kiedy to się dzieje. Możesz nawet nauczyć się cieszyć przegraną ręką, bo wiesz, że inni spekulanci na twoim miejscu straciliby znacznie więcej.

Jak wspomniano w przykładzie gry na monety na początku, godzinowy wskaźnik zysku jest powiązany z oczekiwaniem matematycznym, a ta koncepcja jest szczególnie ważna dla profesjonalnych spekulantów. Kiedy zamierzasz grać w pokera, musisz w myślach oszacować, ile możesz wygrać w ciągu godziny gry. W większości przypadków będziesz musiał polegać na swojej intuicji i doświadczeniu, ale możesz też skorzystać z obliczeń matematycznych. Na przykład, jeśli grasz w draw lowball i widzisz, że trzech graczy stawia 10 $, a następnie dobiera dwie karty, co jest bardzo złą taktyką, możesz sam obliczyć, że za każdym razem, gdy stawiają 10 $, tracą około 2 $. Każdy z nich robi to osiem razy na godzinę, co oznacza, że ​​wszyscy trzej tracą około 48 dolarów na godzinę. Jesteś jednym z pozostałych czterech spekulantów, którzy są w przybliżeniu równi, więc ci czterej spekulanci (i ty wśród nich) muszą podzielić się 48 dolarami, a każdy zarobi 12 dolarów na godzinę. Twoja stawka godzinowa w tym przypadku to po prostu Twój udział w kwocie pieniędzy straconej przez trzech złych spekulantów w ciągu godziny.

Oczekiwania matematyczne (średnia populacji) to

Przez długi czas całkowity zysk spekulanta jest sumą jego matematycznych oczekiwań w oddzielnych rozkładach. Im więcej grasz z oczekiwaniem pozytywnym, tym więcej wygrywasz i odwrotnie, im więcej rąk rozgrywasz z oczekiwaniem negatywnym, tym więcej tracisz. W rezultacie powinieneś nadać priorytet grze, która może zmaksymalizować twoje pozytywne oczekiwania lub zanegować twoje negatywne, abyś mógł zmaksymalizować zysk godzinowy.

Pozytywne oczekiwania matematyczne w strategii gry

Jeśli wiesz, jak liczyć karty, możesz mieć przewagę nad kasynem, jeśli nie zauważą i nie wyrzucą cię. Kasyna uwielbiają pijanych spekulantów i nienawidzą liczników kart. Przewaga pozwoli Ci wygrać więcej razy, niż z czasem stracić. Dobre zarządzanie pieniędzmi przy użyciu obliczeń matów może pomóc Ci lepiej wykorzystać swoją przewagę i zmniejszyć straty. Bez przewagi lepiej oddasz pieniądze na cele charytatywne. W grze na giełdzie przewagę daje system gry, który generuje więcej zysków niż strat, różnica ceny i prowizje. Nic zarządzanie kapitałem nie uratuje złego systemu gier.

Pozytywne oczekiwanie jest definiowane przez wartość większą od zera. Im większa ta liczba, tym silniejsze oczekiwania statystyczne. Jeśli wartość jest mniejsza od zera, to oczekiwanie będzie również negatywne. Im większy moduł o wartości ujemnej, tym gorsza sytuacja. Jeśli wynik jest zerowy, oczekiwanie jest opłacalne. Możesz wygrać tylko wtedy, gdy masz pozytywne oczekiwania matematyczne, rozsądny system gry. Gra na intuicji prowadzi do katastrofy.

Matematyczne oczekiwanie i

Oczekiwania matematyczne są dość powszechnie poszukiwanym i popularnym wskaźnikiem statystycznym we wdrażaniu obrotu giełdowego na rynkach finansowych. rynki. Przede wszystkim ten parametr służy do analizy sukcesu handel. Nietrudno zgadnąć, że im większa jest ta wartość, tym więcej powodów do uznania badanej transakcji za udaną. Oczywiście analiza praca tradera nie da się zrobić tylko za pomocą tego parametru. Jednak obliczona wartość w połączeniu z innymi metodami oceny jakości praca, może znacznie poprawić dokładność analizy.

Oczekiwania dotyczące maty są często obliczane w usługach monitorowania kont handlowych, co pozwala szybko ocenić pracę wykonaną przy wpłacie. Jako wyjątki możemy przytoczyć strategie, które wykorzystują „przedłużanie” przegranych transakcji. Handlowiec szczęście może mu towarzyszyć przez jakiś czas i dlatego w jego pracy może nie być żadnych strat. W takim przypadku nie będzie można nawigować wyłącznie według oczekiwań, ponieważ ryzyko użyte w pracy nie będzie brane pod uwagę.

W handlu na rynek mat oczekiwanie jest najczęściej używane przy przewidywaniu rentowności strategii handlowej lub przy prognozowaniu dochodu handlowiec na podstawie statystyk jego poprzednich licytacja.

Oczekiwania matematyczne (średnia populacji) to

W odniesieniu do zarządzania pieniędzmi bardzo ważne jest, aby zrozumieć, że podczas dokonywania transakcji z negatywnymi oczekiwaniami nie ma schematu kierownictwo pieniądze, które z pewnością mogą przynieść wysokie zyski. Jeśli będziesz kontynuować grę Giełda Papierów Wartościowych w tych warunkach, niezależnie od metody kierownictwo pieniądze, stracisz całe konto, bez względu na to, jak duże było na początku.

Ten aksjomat jest prawdziwy nie tylko w przypadku gier lub transakcji z negatywnymi oczekiwaniem, ale także w przypadku gier o równych szansach. Dlatego jedynym przypadkiem, w którym masz szansę na długofalowe korzyści, jest zawieranie transakcji z pozytywnym matematycznym oczekiwaniem.

Różnica między oczekiwaniem negatywnym a oczekiwaniem pozytywnym to różnica między życiem a śmiercią. Nie ma znaczenia, jak pozytywne lub negatywne są oczekiwania; liczy się to, czy jest pozytywny, czy negatywny. Dlatego przed rozważeniem kwestii zarządzania stolica musisz znaleźć grę z pozytywnymi oczekiwaniami.

Jeśli nie masz tej gry, żadne zarządzanie pieniędzmi na świecie nie uratuje cię. Z drugiej strony, jeśli masz pozytywne oczekiwania, możesz, poprzez odpowiednie zarządzanie pieniędzmi, przekształcić je w wykładniczą funkcję wzrostu. Nie ma znaczenia, jak małe są pozytywne oczekiwania! Innymi słowy, nie ma znaczenia, jak opłacalny jest system transakcyjny oparty na jednym kontrakcie. Jeśli masz system, który wygrywa 10 USD za kontrakt w pojedynczej transakcji (po prowizjach i poślizgu), można zastosować techniki zarządzania stolica w sposób, który czyni go bardziej opłacalnym niż system, który pokazuje średni zysk w wysokości 1000 USD na transakcję (po opłatach i poślizgu).

Liczy się nie to, jak opłacalny był system, ale na ile można powiedzieć, że w przyszłości system wykaże przynajmniej minimalny zysk. Dlatego najważniejszym przygotowaniem, jakie można poczynić, jest upewnienie się, że system w przyszłości wykaże dodatnią wartość oczekiwaną.

Aby w przyszłości mieć dodatnią wartość oczekiwaną, bardzo ważne jest, aby nie ograniczać stopni swobody swojego systemu. Osiąga się to nie tylko poprzez eliminację lub redukcję liczby parametrów do optymalizacji, ale także poprzez zredukowanie jak największej liczby reguł systemowych. Każdy dodany parametr, każda wprowadzona reguła, każda drobna zmiana w systemie zmniejsza liczbę stopni swobody. Najlepiej, jeśli chcesz zbudować dość prymitywny i prosty system, który będzie stale przynosić niewielki zysk na prawie każdym rynku. Ponownie, ważne jest, aby zrozumieć, że nie ma znaczenia, jak dochodowy jest system, o ile jest opłacalny. które zarabiasz w handlu, zostaną zarobione dzięki efektywnemu zarządzaniu pieniędzmi.

Oczekiwania matematyczne (średnia populacji) to

System transakcyjny to po prostu narzędzie, które daje pozytywne oczekiwania matematyczne, dzięki czemu można wykorzystać zarządzanie pieniędzmi. Systemy, które działają (wykazują przynajmniej minimalny zysk) tylko na jednym lub kilku rynkach lub mają różne zasady lub parametry dla różnych rynków, najprawdopodobniej nie będą działać długo w czasie rzeczywistym. Problem z większością traderów technicznych polega na tym, że poświęcają zbyt dużo czasu i wysiłku na optymalizację różnych zasad i parametrów systemu transakcyjnego. Daje to zupełnie odwrotne rezultaty. Zamiast marnować energię i czas komputera na zwiększanie zysków systemu transakcyjnego, skieruj swoją energię na zwiększenie poziomu niezawodności uzyskiwania minimalnego zysku.

Wiedząc to zarządzanie kapitałem- to tylko gra liczbowa, która wymaga wykorzystania pozytywnych oczekiwań, trader może przestać szukać „świętego Graala” handlu na giełdzie. Zamiast tego może zacząć testować swoją metodę handlową, dowiedzieć się, jak logicznie jest ta metoda, czy daje pozytywne oczekiwania. Właściwe metody zarządzania pieniędzmi zastosowane do dowolnych, nawet bardzo przeciętnych metod handlowych, wykonają resztę pracy.

Aby każdy trader odniósł sukces w swojej pracy, musi rozwiązać trzy najważniejsze zadania: Aby upewnić się, że liczba udanych transakcji przekracza nieuniknione błędy i błędne obliczenia; Skonfiguruj swój system transakcyjny tak, aby możliwość zarabiania pieniędzy była jak najczęściej; Osiągnij stabilny pozytywny wynik swoich działań.

I tutaj, dla nas, pracujących traderów, bardzo pomocny może być mat. oczekiwanie. Ten termin w teorii prawdopodobieństwa jest jednym z kluczowych. Dzięki niemu możesz podać średnie oszacowanie jakiejś losowej wartości. Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej jest podobne do środka ciężkości, jeśli wyobrazimy sobie wszystkie możliwe prawdopodobieństwa jako punkty o różnych masach.

W odniesieniu do strategii handlowej, do oceny jej skuteczności, najczęściej używane jest oczekiwanie zysku (lub straty). Parametr ten definiowany jest jako suma iloczynów danych poziomów zysków i strat oraz prawdopodobieństwa ich wystąpienia. Przykładowo opracowana strategia handlowa zakłada, że ​​37% wszystkich operacji przyniesie zysk, a reszta – 63% – będzie nieopłacalna. Jednocześnie średnia dochód od udanej transakcji wyniesie 7 zł, a średnia strata wyniesie 1,4 zł. Obliczmy matę. oczekiwanie handlu na takim systemie:

Co oznacza ta liczba? Mówi, że zgodnie z zasadami tego systemu, z każdej zamkniętej transakcji otrzymamy średnio 1,708 dolarów. Ponieważ wynikowa ocena wydajności jest większa od zera, taki system można wykorzystać do rzeczywistej pracy. Jeśli w wyniku obliczenia maty oczekiwanie okaże się ujemne, oznacza to już średnią stratę, a to doprowadzi do ruiny.

Kwota zysku na transakcję może być również wyrażona jako wartość względna w postaci %. Na przykład:

Procent dochodu na 1 transakcję - 5%;

Odsetek udanych operacji handlowych - 62%;

Procent straty na 1 transakcję - 3%;

Odsetek transakcji nieudanych - 38%;

W tym przypadku mat. oczekiwaniem będzie:

Oznacza to, że średnia transakcja przyniesie 1,96%.

Możliwe jest opracowanie systemu, który pomimo przewagi przegranych transakcji da wynik pozytywny, gdyż MO>0.

Jednak samo czekanie nie wystarczy. Trudno jest zarabiać, jeśli system daje bardzo mało sygnałów transakcyjnych. W tym przypadku będzie to porównywalne z odsetkami bankowymi. Niech każda operacja przyniesie średnio tylko 0,5 dolara, ale co jeśli system zakłada 1000 transakcji rocznie? Będzie to bardzo poważna kwota w stosunkowo krótkim czasie. Logicznie wynika z tego, że kolejną cechą charakterystyczną dobrego systemu handlowego można uznać za krótki okres utrzymywania.

Źródła i linki

dic.academic.ru - akademicki słownik online

Matematyka.ru - strona edukacyjna o matematyce

nsu.ru - edukacyjna strona Nowosybirskiego Uniwersytetu Państwowego

webmath.ru - portal edukacyjny dla studentów, kandydatów i uczniów.

exponenta.ru edukacyjna strona matematyczna

ru.tradimo.com - bezpłatna szkoła handlu online

crypto.hut2.ru - multidyscyplinarny zasób informacji

poker-wiki.ru - darmowa encyklopedia pokera

sernam.ru - Biblioteka naukowa wybranych publikacji przyrodniczych

reshim.su - strona internetowa

unfx.ru - Forex w UNFX: szkolenia, sygnały transakcyjne, zarządzanie zaufaniem

- - oczekiwanie matematyczne Jedna z liczbowych cech zmiennej losowej, często nazywana jej średnią teoretyczną. Dla dyskretnej zmiennej losowej X, matematycznej ... ... Podręcznik tłumacza technicznego

WARTOŚĆ OCZEKIWANA- (wartość oczekiwana) Średnia wartość rozkładu zmiennej ekonomicznej, jaką może przyjąć. Jeżeli pt jest ceną dobra w czasie t, to jego matematyczne oczekiwanie oznacza Ept. Aby wskazać punkt w czasie, do którego ... ... Słownik ekonomiczny

Wartość oczekiwana- średnia wartość zmiennej losowej. Oczekiwanie matematyczne jest wielkością deterministyczną. Średnia arytmetyczna realizacji zmiennej losowej jest oszacowaniem matematycznego oczekiwania. Przeciętny… … Oficjalna terminologia to (wartość średnia) zmiennej losowej, numeryczna charakterystyka zmiennej losowej. Jeśli zmienna losowa podana na przestrzeni prawdopodobieństwa (patrz teoria prawdopodobieństwa), to jej M. o. MX (lub EX) definiuje się jako całkę Lebesgue'a: gdzie... Encyklopedia fizyczna

WARTOŚĆ OCZEKIWANA- jego cechą liczbową jest zmienna losowa. Jeśli zmienna losowa X ma dystrybuantę F(x), to jej M. o. Wola: . Jeżeli rozkład X jest dyskretny, to М.о.: , gdzie x1, x2, ... są możliwymi wartościami dyskretnej zmiennej losowej X; p1 ... Encyklopedia geologiczna

WARTOŚĆ OCZEKIWANA- Język angielski. wartość oczekiwana; Niemiecki Erwartung Mathematische. Stochastyczna średnia lub środek rozproszenia zmiennej losowej. Antynazi. Encyklopedia Socjologii, 2009 ... Encyklopedia Socjologii

Wartość oczekiwana- Zobacz też: Oczekiwanie warunkowe Oczekiwanie matematyczne jest średnią wartością zmiennej losowej, rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej jest uwzględniany w teorii prawdopodobieństwa. W literaturze angielskiej i matematycznej ... ... Wikipedia

Wartość oczekiwana- 1,14 Matematyczne oczekiwanie E (X) gdzie xi wartości dyskretnej zmiennej losowej; p = P (X = xi); f(x) jest gęstością ciągłej zmiennej losowej * Jeśli to wyrażenie istnieje w sensie bezwzględnej zbieżności Źródło ... Słownik-odnośnik terminów dokumentacji normatywnej i technicznej

Książki

Wir verwenden Cookies für die beste Präsentation unserer Website. Wenn Sie diese Strona internetowa weiterhin nutzen, stimmen Sie dem zu. OK

- liczba chłopców na 10 noworodków.

Jest całkiem jasne, że liczba ta nie jest z góry znana, a u kolejnych dziesięciu urodzonych dzieci może być:

Albo chłopcy - jeden i tylko jeden z wymienionych opcji.

A żeby zachować formę, trochę wychowania fizycznego:

- odległość skoku w dal (w niektórych jednostkach).

Nawet mistrz sportu nie jest w stanie tego przewidzieć :)

Jakie są jednak Twoje hipotezy?

2) Ciągła zmienna losowa - trwa wszystko wartości liczbowe z pewnego skończonego lub nieskończonego zakresu.

Notatka : skróty DSV i NSV są popularne w literaturze edukacyjnej

Najpierw przeanalizujmy dyskretną zmienną losową, a następnie - ciągły.

Prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej

- Ten konformizm między możliwymi wartościami tej wielkości a ich prawdopodobieństwami. Najczęściej prawo zapisane jest w tabeli:

Termin jest dość powszechny wiersz dystrybucja, ale w niektórych sytuacjach brzmi to niejednoznacznie, dlatego będę się trzymać „prawa”.

I teraz bardzo ważny punkt: ponieważ zmienna losowa koniecznie zaakceptuje jedna z wartości, a następnie forma odpowiednich zdarzeń pełna grupa a suma prawdopodobieństw ich wystąpienia jest równa jeden:

lub, jeśli jest napisane złożone:

Na przykład prawo rozkładu prawdopodobieństw punktów na kostce ma następującą postać:

Bez komentarza.

Możesz odnieść wrażenie, że dyskretna zmienna losowa może przyjmować tylko „dobre” wartości całkowite. Rozwiejmy iluzję - mogą być cokolwiek:

Przykład 1

Niektóre gry mają następujące przepisy dotyczące dystrybucji wypłat:

…prawdopodobnie od dawna marzyłeś o takich zadaniach :) Pozwól, że zdradzę Ci sekret - ja też. Zwłaszcza po zakończeniu pracy nad teoria pola.

Decyzja: ponieważ zmienna losowa może przyjąć tylko jedną z trzech wartości, odpowiednie zdarzenia tworzą pełna grupa, co oznacza, że ​​suma ich prawdopodobieństw jest równa jeden:

Demaskujemy „partyzanta”:

– tym samym prawdopodobieństwo wygrania jednostek konwencjonalnych wynosi 0,4.

Kontrola: czego potrzebujesz, aby się upewnić.

Odpowiedź:

Nierzadko zdarza się, że prawo dystrybucji musi być opracowane niezależnie. Do tego celu klasyczna definicja prawdopodobieństwa, twierdzenia o mnożeniu / dodawaniu dla prawdopodobieństw zdarzeń i inne żetony tervera:

Przykład 2

W pudełku znajduje się 50 losów na loterię, z których 12 wygrywa, a 2 z nich wygrywają po 1000 rubli, a pozostałe po 100 rubli. Sporządź prawo podziału zmiennej losowej - wielkości wygranej, jeśli jeden los zostanie losowo wylosowany z pudełka.

Decyzja: jak zauważyłeś zwyczajowo umieszcza się wartości zmiennej losowej w rosnąco. Dlatego zaczynamy od najmniejszych wygranych, a mianowicie rubli.

Łącznie jest 50 - 12 = 38 takich biletów i według klasyczna definicja:
to prawdopodobieństwo, że losowo wylosowany los nie wygra.

Reszta spraw jest prosta. Prawdopodobieństwo wygrania rubli wynosi:

Sprawdzanie: - a to szczególnie przyjemny moment takich zadań!

Odpowiedź: wymagane prawo dystrybucji wypłat:

Następujące zadanie do samodzielnej decyzji:

Przykład 3

Prawdopodobieństwo, że strzelec trafi w cel wynosi . Stwórz prawo rozkładu dla zmiennej losowej - liczby trafień po 2 strzałach.

... wiedziałam, że za nim tęskniłeś :) Pamiętamy twierdzenia o mnożeniu i dodawaniu. Rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Prawo rozkładu całkowicie opisuje zmienną losową, ale w praktyce przydatne (a czasem bardziej przydatne) jest poznanie tylko jej części. cechy liczbowe .

Matematyczne oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej

Mówiąc prościej, to średnia oczekiwana wartość z wielokrotnymi testami. Niech zmienna losowa przyjmuje wartości z prawdopodobieństwami odpowiednio. Wtedy matematyczne oczekiwanie tej zmiennej losowej jest równe suma produktów wszystkie jego wartości według odpowiednich prawdopodobieństw:

lub w formie złożonej:

Policzmy na przykład matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej - liczbę punktów upuszczonych na kostkę:

Przypomnijmy sobie teraz naszą hipotetyczną grę:

Powstaje pytanie: czy w ogóle opłaca się grać w tę grę? ... kto ma jakieś wrażenia? Więc nie możesz powiedzieć „od ręki”! Ale na to pytanie można łatwo odpowiedzieć, obliczając matematyczne oczekiwanie, w istocie - Średnia ważona prawdopodobieństwa wygranej:

Tak więc matematyczne oczekiwanie tej gry przegrywający.

Nie ufaj wrażeniom - ufaj liczbom!

Tak, tutaj można wygrać 10, a nawet 20-30 razy z rzędu, ale na dłuższą metę nieuchronnie zostaniemy zrujnowani. I nie radziłbym grać w takie gry :) No może tylko dla zabawy.

Z powyższego wynika, że ​​oczekiwanie matematyczne NIE jest wartością LOSOWĄ.

Twórcze zadanie do samodzielnych badań:

Przykład 4

Pan X gra w europejską ruletkę według następującego systemu: stale obstawia 100 rubli na czerwone. Ułóż prawo rozkładu zmiennej losowej - jej wypłatę. Oblicz matematyczne oczekiwanie wygranych i zaokrąglij je do kopiejek. Jak dużo przeciętny czy gracz przegrywa za każde sto zakładu?

Odniesienie : Ruletka europejska zawiera 18 czerwonych, 18 czarnych i 1 zielony sektor („zero”). W przypadku wypadnięcia „czerwonego” gracz otrzymuje podwójny zakład, w przeciwnym razie trafia do dochodu kasyna

Istnieje wiele innych systemów gry w ruletkę, dla których możesz stworzyć własne tabele prawdopodobieństwa. Ale tak jest w przypadku, gdy nie potrzebujemy żadnych praw i tabel dystrybucji, ponieważ jest pewne, że matematyczne oczekiwania gracza będą dokładnie takie same. Tylko zmiany z systemu na system

Matematyczne oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej jest sumą iloczynów wszystkich jej możliwych wartości i ich prawdopodobieństw.

Niech zmienna losowa może przyjmować tylko prawdopodobieństwa, których prawdopodobieństwa są odpowiednio równe.Wtedy matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej jest określone przez równość

Jeśli dyskretna zmienna losowa przyjmuje policzalny zbiór możliwych wartości, to

Co więcej, oczekiwanie matematyczne istnieje, jeśli szereg po prawej stronie równości jest zbieżny absolutnie.

Komentarz. Z definicji wynika, że ​​matematyczne oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej jest zmienną nielosową (stałą).

Definicja oczekiwań matematycznych w ogólnym przypadku

Zdefiniujmy matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej, której rozkład niekoniecznie jest dyskretny. Zacznijmy od przypadku nieujemnych zmiennych losowych. Chodzi o to, aby aproksymować takie zmienne losowe za pomocą dyskretnych zmiennych losowych, dla których oczekiwanie matematyczne zostało już określone, i ustawić oczekiwanie matematyczne jako granicę oczekiwań matematycznych aproksymujących je zmiennych losowych dyskretnych. Nawiasem mówiąc, jest to bardzo przydatna ogólna idea, która polega na tym, że najpierw określa się jakąś cechę dla obiektów prostych, a następnie dla obiektów bardziej złożonych przez przybliżanie ich prostszymi.

Lemat 1. Niech będzie dowolna nieujemna zmienna losowa. Następnie istnieje sekwencja dyskretnych zmiennych losowych taka, że:

Dowód. Podzielmy półoś na równe odcinki długości i zdefiniujmy

Wtedy właściwości 1 i 2 łatwo wynikają z definicji zmiennej losowej, a

Lemat 2. Niech będzie zmienną losową nieujemną i dwoma ciągami dyskretnych zmiennych losowych o własnościach 1-3 z Lematu 1. Wtedy

Dowód. Zauważ, że w przypadku nieujemnych zmiennych losowych dopuszczamy

Na podstawie właściwości 3 łatwo zauważyć, że istnieje ciąg liczb dodatnich taki, że

Stąd wynika, że

Wykorzystując własności oczekiwań matematycznych dla dyskretnych zmiennych losowych otrzymujemy:

Przejście do granicy, gdy uzyskujemy twierdzenie Lematu 2.

Definicja 1. Niech będzie zmienną losową nieujemną, będzie ciągiem dyskretnych zmiennych losowych o właściwościach 1-3 z Lematu 1. Oczekiwaniem matematycznym zmiennej losowej jest liczba

Lemat 2 gwarantuje, że nie zależy to od wyboru ciągu aproksymującego.

Niech teraz będzie dowolną zmienną losową. Zdefiniujmy

Z definicji i łatwo wynika, że

Definicja 2. Matematycznym oczekiwaniem dowolnej zmiennej losowej jest liczba

Jeśli przynajmniej jedna z liczb po prawej stronie tej równości jest skończona.

Właściwości oczekiwań

Właściwość 1. Matematyczne oczekiwanie stałej wartości jest równe samej stałej:

Dowód. Rozważymy stałą jako dyskretną zmienną losową, która ma jedną możliwą wartość i przyjmuje ją z prawdopodobieństwem, dlatego

Uwaga 1. Definiujemy iloczyn stałej wartości przez dyskretną zmienną losową jako dyskretną zmienną losową, której możliwe wartości są równe iloczynom stałej przez możliwe wartości; prawdopodobieństwa możliwych wartości są równe prawdopodobieństwu odpowiednich możliwych wartości.Na przykład, jeśli prawdopodobieństwo możliwej wartości jest równe, to prawdopodobieństwo, że wartość przyjmie wartość jest również równe

Własność 2. Ze znaku oczekiwania można wyprowadzić stały czynnik:

Dowód. Niech zmienna losowa będzie dana przez prawo rozkładu prawdopodobieństwa:

Biorąc pod uwagę uwagę 1, piszemy prawo rozkładu zmiennej losowej

Uwaga 2. Przed przejściem do następnej właściwości zwracamy uwagę, że dwie zmienne losowe nazywamy niezależnymi, jeśli prawo rozkładu jednej z nich nie zależy od tego, jakie możliwe wartości przyjęła druga zmienna. W przeciwnym razie zmienne losowe są zależne. Kilka zmiennych losowych nazywamy wzajemnie niezależnymi, jeśli prawa rozkładu dowolnej ich liczby nie zależą od możliwych wartości innych zmiennych.

Uwaga 3. Definiujemy iloczyn niezależnych zmiennych losowych i jako zmienną losową, której możliwe wartości są równe iloczynom każdej możliwej wartości przez każdą możliwą wartość prawdopodobieństw możliwych wartości produktu są równe na iloczyny prawdopodobieństw możliwych wartości czynników. Na przykład, jeśli prawdopodobieństwo możliwej wartości wynosi, prawdopodobieństwo możliwej wartości to wtedy prawdopodobieństwo możliwej wartości wynosi

Własność 3. Matematyczne oczekiwanie iloczynu dwóch niezależnych zmiennych losowych jest równe iloczynowi ich matematycznych oczekiwań:

Dowód. Niech niezależne zmienne losowe zostaną podane przez ich własne prawa rozkładu prawdopodobieństwa:

Wymyślmy wszystkie wartości, jakie może przyjąć zmienna losowa, w tym celu mnożymy wszystkie możliwe wartości przez każdą możliwą wartość; w efekcie otrzymujemy i uwzględniając uwagę 3 piszemy prawo dystrybucji zakładając dla uproszczenia, że ​​wszystkie możliwe wartości produktu są różne (jeśli tak nie jest, to dowód przeprowadza się podobnie):

Oczekiwanie matematyczne jest równe sumie iloczynów wszystkich możliwych wartości i ich prawdopodobieństw:

Konsekwencja. Matematyczne oczekiwanie iloczynu kilku wzajemnie niezależnych zmiennych losowych jest równe iloczynowi ich matematycznych oczekiwań.

Własność 4. Oczekiwanie matematyczne sumy dwóch zmiennych losowych jest równe sumie oczekiwań matematycznych terminów:

Dowód. Niech zmienne losowe i będą dane przez następujące prawa rozkładu:

Skomponuj wszystkie możliwe wartości ilości Aby to zrobić, dodaj każdą możliwą wartość do każdej możliwej wartości; otrzymujemy dla uproszczenia Załóżmy, że te możliwe wartości są różne (jeśli tak nie jest, to dowód przeprowadza się w podobny sposób) i oznaczamy ich prawdopodobieństwa odpowiednio przez i

Matematyczne oczekiwanie ilości jest równe sumie iloczynów możliwych wartości według ich prawdopodobieństw:

Wykażmy, że Zdarzenie polegające na przyjęciu wartości (prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest równe) pociąga za sobą zdarzenie polegające na przyjęciu wartości lub (prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest równe przez twierdzenie o dodawaniu) i odwrotnie. Stąd wynika, że ​​równości

Podstawiając odpowiednie części tych równości do relacji (*), otrzymujemy

czy wreszcie

Dyspersja i odchylenie standardowe

W praktyce często wymagane jest oszacowanie rozrzutu możliwych wartości zmiennej losowej wokół jej wartości średniej. Na przykład w artylerii ważne jest, aby wiedzieć, jak blisko trafią pociski.

Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że najłatwiejszym sposobem oszacowania rozproszenia jest obliczenie wszystkich możliwych wartości odchylenia zmiennej losowej, a następnie znalezienie ich wartości średniej. Jednak ta ścieżka nic nie da, ponieważ średnia wartość odchylenia, tj. dla każdej zmiennej losowej wynosi zero. Właściwość tę tłumaczy się tym, że niektóre możliwe odchylenia są dodatnie, a inne ujemne; w wyniku ich wzajemnego zniesienia średnia wartość odchylenia wynosi zero. Rozważania te wskazują na celowość zastąpienia ewentualnych odchyleń ich wartościami bezwzględnymi lub ich kwadratami. Tak to robią w praktyce. To prawda, że ​​w przypadku zastąpienia ewentualnych odchyleń wartościami bezwzględnymi trzeba operować wartościami bezwzględnymi, co czasami prowadzi do poważnych trudności. Dlatego najczęściej idą w drugą stronę, tj. obliczyć średnią wartość kwadratu odchylenia, która nazywa się wariancją.