Czym jest regularna czworokątna piramida. Główne właściwości prawidłowej piramidy

Studenci spotykają się z pojęciem piramidy na długo przed rozpoczęciem nauki geometrii. Obwiniaj słynne wielkie egipskie cuda świata. Dlatego, rozpoczynając naukę tego wspaniałego wielościanu, większość studentów już to sobie wyraźnie wyobraża. Wszystkie powyższe przyrządy celownicze są w dobrym stanie. Co prawa piramida, oraz jakie ma właściwości i zostaną omówione dalej.

W kontakcie z

Definicja

Istnieje wiele definicji piramidy. Od czasów starożytnych cieszy się dużą popularnością.

Na przykład Euklides zdefiniował ją jako bryłę składającą się z płaszczyzn, które zaczynając od jednej, zbiegają się w pewnym punkcie.

Heron dostarczył bardziej precyzyjnego sformułowania. Upierał się, że to postać, która ma bazę i samoloty w trójkąty, zbiegają się w jednym punkcie.

Polegając na współczesna interpretacja, piramida jest reprezentowana jako wielościan przestrzenny, składający się z pewnej liczby k-gonów i k płaskich trójkątny kształt mają jeden wspólny punkt.

Przyjrzyjmy się bliżej Z jakich elementów się składa?

• k-gon jest uważany za podstawę figury;
• Figury pod trzema kątami wystają jako boki części bocznej;
• górna część, z której wychodzą boczne elementy, nazywana jest górną;
• wszystkie segmenty łączące wierzchołek nazywane są krawędziami;
• jeśli linia prosta jest obniżona od góry do płaszczyzny figury pod kątem 90 stopni, to jej częścią zamkniętą w przestrzeni wewnętrznej jest wysokość piramidy;
• w dowolnym elemencie bocznym z boku naszego wielościanu można narysować prostopadłość, zwaną apotem.

Liczbę krawędzi oblicza się ze wzoru 2*k, gdzie k jest liczbą boków k-kąta. Ile ścian ma wielościan podobny do piramidy można określić za pomocą wyrażenia k + 1.

Ważny! Piramida o kształcie regularnym to figura stereometryczna, której płaszczyzna podstawy jest k-gonem o równych bokach.

Podstawowe właściwości

Prawidłowa piramida ma wiele właściwości które są dla niej wyjątkowe. Wymieńmy je:

1. Podstawą jest figura o odpowiedniej formie.
2. Krawędzie piramidy, ograniczające elementy boczne, mają równe wartości liczbowe.
3. Elementy boczne to trójkąty równoramienne.
4. Podstawa wysokości figury wpada w środek wielokąta, a jednocześnie jest punkt centralny wpisany i opisany.
5. Wszystkie boczne żebra są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem.
6. Wszystkie powierzchnie boczne mają ten sam kąt nachylenia w stosunku do podstawy.

Dzięki wszystkim wymienionym właściwościom, wykonywanie obliczeń elementów jest znacznie uproszczone. W oparciu o powyższe właściwości zwracamy uwagę dwa znaki:

1. W przypadku, gdy wielokąt mieści się w okręgu, ściany boczne będą miały podstawę równe kąty.
2. Opisując okrąg wokół wielokąta, wszystkie krawędzie ostrosłupa wychodzące z wierzchołka będą miały tę samą długość i równe kąty względem podstawy.

Kwadrat jest oparty

Regularna piramida czworokątna - wielościan oparty na kwadracie.

Ma cztery ściany boczne, które mają wygląd równoramienny.

Na płaszczyźnie przedstawiony jest kwadrat, ale opierają się one na wszystkich właściwościach regularnego czworoboku.

Na przykład, jeśli konieczne jest połączenie boku kwadratu z jego przekątną, stosuje się następujący wzór: przekątna jest równa iloczynowi boku kwadratu i pierwiastka kwadratowego z dwóch.

Oparta na regularnym trójkącie

prawidłowy trójkątna piramida jest wielościanem, którego podstawą jest regularny trójkąt.

Jeśli podstawa jest trójkątem foremnym, a krawędzie boczne są równe krawędziom podstawy, to taka figura zwany czworościanem.

Wszystkie ściany czworościanu są równoboczne z trzema kątami. W takim przypadku musisz znać kilka punktów i nie tracić na nie czasu przy obliczaniu:

• kąt nachylenia żeber do dowolnej podstawy wynosi 60 stopni;
• wartość wszystkich ścian wewnętrznych również wynosi 60 stopni;
• każda twarz może działać jako baza;
• narysowane wewnątrz figury są równymi elementami.

Sekcje wielościanu

W każdym wielościanie są kilka rodzajów sekcji samolot. Często w kurs szkolny geometrie współpracują z dwoma:

• osiowy;
• równoległa podstawa.

Przekrój osiowy uzyskuje się przez przecięcie wielościanu z płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek, krawędzie boczne i oś. W tym przypadku oś jest wysokością wyciągniętą z wierzchołka. Płaszczyzna cięcia jest ograniczona liniami przecięcia ze wszystkimi ścianami, w wyniku czego powstaje trójkąt.

Uwaga! W regularnej piramidzie przekrój osiowy jest trójkątem równoramiennym.

Jeśli płaszczyzna cięcia biegnie równolegle do podstawy, wynikiem jest druga opcja. W tym przypadku mamy w kontekście figurę podobną do bazy.

Na przykład, jeśli podstawa jest kwadratem, to odcinek równoległy do ​​podstawy również będzie kwadratem, tylko o mniejszym rozmiarze.

Przy rozwiązywaniu problemów w tym stanie wykorzystuje się znaki i właściwości podobieństwa figur, na podstawie twierdzenia Thalesa. Przede wszystkim konieczne jest określenie współczynnika podobieństwa.

Jeśli płaszczyzna jest narysowana równolegle do podstawy i odcina górną część wielościanu, wówczas w dolnej części uzyskuje się regularną ściętą piramidę. Wtedy mówi się, że podstawy ściętego wielościanu są podobnymi wielokątami. W tym przypadku ściany boczne są trapezami równoramiennymi. Przekrój osiowy jest również równoramienny.

Aby określić wysokość ściętego wielościanu, konieczne jest narysowanie wysokości w przekroju osiowym, czyli w trapezie.

Obszary powierzchni

Główne problemy geometryczne, które należy rozwiązać na szkolnym kursie geometrii to znalezienie pola powierzchni i objętości piramidy.

Istnieją dwa rodzaje powierzchni:

• powierzchnia elementów bocznych;
• całą powierzchnię.

Już z samego tytułu wynika, o co chodzi. Powierzchnia boczna zawiera tylko elementy boczne. Wynika z tego, że aby go znaleźć, wystarczy zsumować pola płaszczyzn bocznych, czyli pola równoramienne 3 gonów. Spróbujmy wyprowadzić wzór na obszar elementów bocznych:

1. Pole równoramiennego 3-kąta to Str=1/2(aL), gdzie a to bok podstawy, L to apotem.
2. Liczba płaszczyzn bocznych zależy od rodzaju k-gonu u podstawy. Na przykład regularna piramida czworokątna ma cztery płaszczyzny boczne. Dlatego konieczne jest zsumowanie powierzchni czterech cyfr Strona=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . Wyrażenie jest w ten sposób uproszczone, ponieważ wartość 4a=POS, gdzie POS jest obwodem podstawy. A wyrażenie 1/2 * Rosn to jego półobwód.
3. Dochodzimy więc do wniosku, że powierzchnia elementów bocznych regularnej piramidy jest równa iloczynowi półobwodu podstawy i apotemu: Sside \u003d Rosn * L.

Kwadrat pełna powierzchnia piramida składa się z sumy powierzchni płaszczyzn bocznych i podstawy: Spp = Sside + Sbase.

Jeśli chodzi o obszar podstawy, tutaj wzór stosuje się zgodnie z rodzajem wielokąta.

Objętość regularnej piramidy jest równa iloczynowi pola powierzchni podstawy i wysokości podzielonej przez trzy: V=1/3*Sbase*H, gdzie H jest wysokością wielościanu.

Czym jest regularna piramida w geometrii

Właściwości regularnej piramidy czworokątnej

Trójwymiarowa figura, która często pojawia się w problemach geometrycznych, to piramida. Najprostsza ze wszystkich figur tej klasy jest trójkątna. W tym artykule szczegółowo przeanalizujemy podstawowe formuły i właściwości prawidłowego

Geometryczne reprezentacje figury

Zanim przejdziemy do rozważenia właściwości regularnej trójkątnej piramidy, przyjrzyjmy się bliżej, która figura w pytaniu.

Załóżmy, że w przestrzeni trójwymiarowej znajduje się dowolny trójkąt. Wybieramy dowolny punkt w tej przestrzeni, który nie leży w płaszczyźnie trójkąta i łączymy go z trzema wierzchołkami trójkąta. Mamy trójkątną piramidę.

Składa się z 4 boków, z których wszystkie są trójkątami. Punkty, w których spotykają się trzy ściany, nazywane są wierzchołkami. Postać ma również cztery z nich. Linie przecięcia dwóch ścian są krawędziami. Rozważana piramida ma żebra 6. Poniższy rysunek pokazuje przykład tej figury.

Ponieważ figura składa się z czterech boków, nazywana jest również czworościanem.

Prawidłowa piramida

Powyżej rozważono dowolną figurę o trójkątnej podstawie. Załóżmy teraz, że rysujemy prostopadłą linię od szczytu piramidy do jej podstawy. Ten segment nazywa się wysokością. Wiadomo, że można wydać 4 różne wysokości dla figury. Jeśli wysokość przecina trójkątną podstawę w geometrycznym środku, wówczas taka piramida nazywana jest prostą piramidą.

Piramida prosta, której podstawą jest trójkąt równoboczny, nazywana jest piramidą regularną. Dla niej wszystkie trzy trójkąty tworzące boczną powierzchnię figury są równoramienne i są sobie równe. Szczególnym przypadkiem regularnej piramidy jest sytuacja, w której wszystkie cztery boki są równobocznymi identycznymi trójkątami.

Rozważ właściwości regularnej trójkątnej piramidy i podaj odpowiednie wzory do obliczania jej parametrów.

Strona podstawy, wysokość, krawędź boczna i apothem

Dowolne dwa z wymienionych parametrów jednoznacznie określają pozostałe dwie cechy. Podajemy formuły, które łączą wymienione wielkości.

Załóżmy, że bok podstawy regularnej trójkątnej piramidy to a. Długość jego bocznej krawędzi jest równa b. Jaka będzie wysokość regularnej trójkątnej piramidy i jej apotem?

Dla wysokości h otrzymujemy wyrażenie:

Wzór ten wynika z twierdzenia Pitagorasa, dla którego jest krawędź boczna, wysokość i 2/3 wysokości podstawy.

Apotem piramidy to wysokość dowolnego trójkąta bocznego. Długość apotemy a b wynosi:

a b \u003d √ (b 2 - a 2 / 4)

Z tych wzorów wynika, że ​​bez względu na bok podstawy trójkątnej regularnej piramidy i długość jej bocznej krawędzi, apotema zawsze będzie większa wysokość piramidy.

Przedstawione dwie formuły zawierają wszystkie cztery charakterystyka liniowa kwestionowana postać. Dlatego ze znanych dwóch z nich możesz znaleźć resztę, rozwiązując układ z zapisanych równości.

objętość figury

Dla absolutnie każdej piramidy (w tym nachylonej) wartość objętości przestrzeni przez nią ograniczonej można określić, znając wysokość figury i powierzchnię jej podstawy. Odpowiednia formuła wygląda tak:

Stosując to wyrażenie do omawianej figury, otrzymujemy następujący wzór:

Gdzie wysokość regularnej trójkątnej piramidy to h, a jej podstawa to a.

Nie jest trudno uzyskać wzór na objętość czworościanu, w którym wszystkie boki są sobie równe i reprezentują trójkąty równoboczne. W takim przypadku objętość figury określa wzór:

Oznacza to, że jest to jednoznacznie określone przez długość boku a.

Powierzchnia

Nadal rozważamy właściwości trójkątnej piramidy regularnej. Powierzchnia całkowita wszystkich twarzy figury nazywamy jej powierzchnią. Wygodnie jest przestudiować to ostatnie, biorąc pod uwagę odpowiedni rozwój. Poniższy rysunek pokazuje, jak wygląda regularna trójkątna piramida.

Załóżmy, że znamy wysokość h i bok podstawy a figury. Wtedy powierzchnia jego podstawy będzie równa:

Każdy uczeń może uzyskać to wyrażenie, jeśli pamięta, jak znaleźć pole trójkąta, a także weźmie pod uwagę, że wysokość trójkąta równobocznego jest również dwusieczną i medianą.

Pole powierzchni bocznej utworzonej przez trzy identyczne trójkąty równoramienne to:

S b = 3/2*√(a 2/12+h 2)*a

Ta równość wynika z wyrażenia apotemy piramidy pod względem wysokości i długości podstawy.

Całkowita powierzchnia figury to:

S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Zauważ, że dla czworościanu, w którym wszystkie cztery boki są tymi samymi trójkątami równobocznymi, pole S będzie równe:

Właściwości regularnej ściętej piramidy trójkątnej

Jeśli wierzchołek rozważanej trójkątnej piramidy jest odcięty przez płaszczyznę równoległą do podstawy, to pozostałe Dolna część zostanie nazwana ściętą piramidą.

W przypadku podstawy trójkątnej w wyniku opisanej metody przekroju uzyskuje się nowy trójkąt, który również jest równoboczny, ale ma mniejszą długość boku niż bok podstawy. Ścięty trójkątny ostrosłup pokazano poniżej.

Widzimy, że ta figura jest już ograniczona przez dwie trójkątne podstawy i trzy równoramienne trapezy.

Załóżmy, że wysokość wynikowej figury to h, długości boków dolnej i górnej podstawy to odpowiednio 1 i 2, a apotem (wysokość trapezu) jest równy a b. Następnie powierzchnię ściętej piramidy można obliczyć według wzoru:

S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4*(a 1 2 + a 2 2)

Tutaj pierwszy termin to pole powierzchni bocznej, drugi termin to pole trójkątnych podstaw.

Objętość figury oblicza się w następujący sposób:

V = √3/12*h*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 *a 2)

Aby jednoznacznie określić charakterystykę ściętej piramidy, konieczne jest poznanie jej trzech parametrów, o czym świadczą powyższe wzory.

Piramida trójkątna to piramida oparta na trójkącie. Wysokość tej piramidy to pion, który jest obniżony od szczytu piramidy do jej podstaw.

Znalezienie wysokości piramidy

Jak obliczyć wysokość piramidy? Bardzo prosta! Aby obliczyć wysokość dowolnej trójkątnej piramidy, możesz użyć wzoru na objętość: V = (1/3)Sh, gdzie S to powierzchnia podstawy, V to objętość piramidy, h to jej wysokość. Z tego wzoru wyprowadź wzór na wysokość: aby znaleźć wysokość trójkątnej piramidy, musisz pomnożyć objętość piramidy przez 3, a następnie podzielić uzyskaną wartość przez obszar podstawy, będzie to: h \u003d (3 V ) / S. Ponieważ podstawą trójkątnej piramidy jest trójkąt, możesz użyć wzoru do obliczenia pola trójkąta. Jeśli znamy: pole trójkąta S i jego bok z, to zgodnie ze wzorem pola S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, gdzie h jest wysokością piramidy, γ jest krawędzią trójkąta; kąt między bokami trójkąta a samymi dwoma bokami, a następnie za pomocą następującego wzoru: S = (1/2)γφsinQ, gdzie γ, φ są bokami trójkąta, znajdujemy pole trójkąta. Wartość sinusa kąta Q należy sprawdzić w tabeli sinusów, która znajduje się w Internecie. Następnie podstawiamy wartość powierzchni do wzoru na wysokość: h = (2S)/γ. Jeśli zadanie wymaga obliczenia wysokości trójkątnej piramidy, to objętość piramidy jest już znana.

Regularna trójkątna piramida

Znajdź wysokość ostrosłupa trójkątnego foremnego, tj. ostrosłupa, w którym wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi, znając wielkość krawędzi γ. W tym przypadku krawędziami piramidy są boki trójkątów równobocznych. Wysokość ostrosłupa trójkątnego foremnego będzie wynosić: h = γ√(2/3), gdzie γ to krawędź trójkąta równobocznego, h to wysokość ostrosłupa. Jeżeli powierzchnia podstawy (S) jest nieznana, a podano tylko długość krawędzi (γ) i objętość (V) wielościanu, to konieczna zmienna we wzorze z poprzedniego kroku musi zostać zastąpiona przez jego ekwiwalent, który jest wyrażony długością krawędzi. Powierzchnia trójkąta (regularnego) jest równa 1/4 iloczynu długości boku tego trójkąta do kwadratu pierwiastka kwadratowego z 3. W poprzednim wzorze podstawiamy tę formułę zamiast obszaru bazowego i otrzymujemy następujący wzór: h \u003d 3V4 / (γ 2 √3) = 12 V/(γ 2 √3). Objętość czworościanu można wyrazić długością jego krawędzi, wówczas ze wzoru na obliczanie wysokości figury można usunąć wszystkie zmienne i pozostawić tylko bok trójkątnej powierzchni figury. Objętość takiej piramidy można obliczyć, dzieląc przez 12 z iloczynu długość jej ściany do sześcianu przez pierwiastek kwadratowy z 2.

Podstawiając to wyrażenie do poprzedniego wzoru, otrzymujemy następujący wzór do obliczenia: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2/3) = (1/3)γ√6. W kulę można też wpisać regularny trójkątny pryzmat, a znając tylko promień kuli (R), można określić wysokość czworościanu. Długość krawędzi czworościanu wynosi: γ = 4R/√6. W poprzednim wzorze zastępujemy zmienną γ tym wyrażeniem i otrzymujemy wzór: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Ten sam wzór można otrzymać znając promień (R) koła wpisanego w czworościan. W tym przypadku długość krawędzi trójkąta będzie równa 12 stosunkom między pierwiastek kwadratowy 6 i promień. Podstawimy to wyrażenie do poprzedniego wzoru i mamy: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Jak znaleźć wysokość regularnej czworokątnej piramidy?

Aby odpowiedzieć na pytanie, jak znaleźć długość wysokości piramidy, musisz wiedzieć, czym jest zwykła piramida. Piramida czworokątna to piramida oparta na czworoboku. Jeśli w warunkach problemu mamy: objętość (V) i powierzchnię podstawy (S) piramidy, wówczas wzór na obliczenie wysokości wielościanu (h) będzie następujący - podziel objętość pomnożoną przez 3 przez obszar S: h \u003d (3 V) / S. Mając kwadratową podstawę ostrosłupa o znanej: podanej objętości (V) i długości boku γ, w poprzednim wzorze należy zastąpić pole (S) kwadratem długości boku: S = γ 2 ; H = 3V/γ2. Wysokość ostrosłupa foremnego h = SO przechodzi właśnie przez środek okręgu, który jest opisany w pobliżu podstawy. Ponieważ podstawa tej piramidy jest kwadratem, punkt O jest punktem przecięcia przekątnych AD i BC. Mamy: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Dalej znajdujemy w trójkącie prostokątnym SOC (zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa): SO = √(SC 2 -OC 2). Teraz wiesz, jak obliczyć wysokość zwykłej piramidy.

Ten samouczek wideo pomoże użytkownikom zorientować się w motywie Pyramid. Prawidłowa piramida. W tej lekcji zapoznamy się z pojęciem piramidy, nadajemy mu definicję. Zastanów się, czym jest regularna piramida i jakie ma właściwości. Następnie dowodzimy twierdzenie na bocznej powierzchni regularnej piramidy.

W tej lekcji zapoznamy się z pojęciem piramidy, nadajemy mu definicję.

Rozważ wielokąt A 1 A 2...Jakiś, który leży w płaszczyźnie α i punkt P, który nie leży w płaszczyźnie α (rys. 1). Połączmy kropkę P ze szczytami A1, A2, A3, … Jakiś. Dostać n trójkąty: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R i tak dalej.

Definicja. Wielościan RA 1 A 2 ... A n składa się z n-gon A 1 A 2...Jakiś oraz n trójkąty RA 1 A 2, RZ 2 A 3 …RA n A n-1 , zwany n- piramida węglowa. Ryż. jeden.

Ryż. jeden

Rozważ piramidę czworokątną PABCD(rys. 2).

R- szczyt piramidy.

ABCD- podstawa piramidy.

RA- boczny ściągacz.

AB- krawędź bazowa.

Z punktu R upuść prostopadły RN na płaszczyźnie ziemi ABCD. Narysowana prostopadle to wysokość piramidy.

Ryż. 2

Całkowita powierzchnia piramidy składa się z powierzchni bocznej, czyli obszaru wszystkich ścian bocznych i obszaru podstawy:

S pełna \u003d S strona + S główna

Piramida nazywana jest poprawną, jeśli:

• jego podstawą jest wielokąt foremny;
• odcinek łączący szczyt piramidy ze środkiem podstawy jest jej wysokością.

Wyjaśnienie na przykładzie regularnej piramidy czworokątnej

Rozważ regularną piramidę czworokątną PABCD(rys. 3).

R- szczyt piramidy. podstawa piramidy ABCD- regularny czworobok, czyli kwadrat. Kropka O, punkt przecięcia przekątnych, jest środkiem kwadratu. Oznacza, RO to wysokość piramidy.

Ryż. 3

Wyjaśnienie: po prawej n-gon, środek okręgu wpisanego i środek okręgu opisanego pokrywają się. To centrum nazywa się środkiem wielokąta. Czasami mówią, że szczyt jest rzutowany do środka.

Wysokość bocznej ściany ostrosłupa foremnego, ciągnącego się od jej wierzchołka, nazywa się apotema i oznaczone ha.

1. wszystkie boczne krawędzie ostrosłupa foremnego są równe;

2. Boki są równymi trójkątami równoramiennymi.

Udowodnijmy te własności na przykładzie ostrosłupa czworokątnego foremnego.

Dany: RABSD- piramida czworokątna regularna,

ABCD- kwadrat,

RO to wysokość piramidy.

Udowodnić:

1. RA = PB = PC = PD

2.∆ATP = BCP = ∆CDP = ∆DAP Patrz rys. cztery.

Ryż. cztery

Dowód.

RO to wysokość piramidy. To znaczy prosto RO prostopadle do płaszczyzny ABC, a więc bezpośredni AO, GŁOS, SO oraz ROBIĆ leżeć w nim. Więc trójkąty ROA, ROV, ROS, ROD- prostokątny.

Rozważ kwadrat ABCD. Z właściwości kwadratu wynika, że AO = BO = CO = ROBIĆ.

Następnie odpowiednie trójkąty ROA, ROV, ROS, ROD noga RO- ogólne i nogi AO, GŁOS, SO oraz ROBIĆ równe, więc te trójkąty są równe w dwóch nogach. Z równości trójkątów wynika równość segmentów, RA = PB = PC = PD. Punkt 1 jest udowodniony.

Segmenty AB oraz słońce są równe, ponieważ są bokami tego samego kwadratu, RA = RV = PC. Więc trójkąty AVR oraz Magnetowid - równoramienne i równe z trzech stron.

Podobnie otrzymujemy, że trójkąty ABP, BCP, CDP, DAP są równoramienne i równe, co było wymagane do udowodnienia w punkcie 2.

Powierzchnia bocznej powierzchni regularnej piramidy jest równa połowie iloczynu obwodu podstawy i apotemu:

Na dowód wybieramy regularną trójkątną piramidę.

Dany: RAVS jest regularną trójkątną piramidą.

AB = BC = AC.

RO- wzrost.

Udowodnić: . patrz rys. 5.

Ryż. 5

Dowód.

RAVS jest regularną trójkątną piramidą. To znaczy AB= AC = BC. Wynajmować O- środek trójkąta ABC, następnie RO to wysokość piramidy. Podstawą piramidy jest trójkąt równoboczny. ABC. Zauważ, że .

trójkąty RAV, RVS, RSA- równe trójkąty równoramienne (według właściwości). Trójkątna piramida ma trzy ściany boczne: RAV, RVS, RSA. Tak więc powierzchnia bocznej powierzchni piramidy to:

Strona S = 3S RAB

Twierdzenie zostało udowodnione.

Promień okręgu wpisanego w podstawę regularnej czworokątnej piramidy wynosi 3 m, wysokość piramidy 4 m. Znajdź pole powierzchni bocznej piramidy.

Dany: regularna piramida czworokątna ABCD,

ABCD- kwadrat,

r= 3 m,

RO- wysokość piramidy,

RO= 4 m.

Odnaleźć: strona S. patrz rys. 6.

Ryż. 6

Rozwiązanie.

Zgodnie ze sprawdzonym twierdzeniem .

Znajdź najpierw bok podstawy AB. Wiemy, że promień okręgu wpisanego w podstawę regularnej czworokątnej piramidy wynosi 3 m.

Następnie m.in.

Znajdź obwód kwadratu ABCD o boku 6 m:

Rozważ trójkąt BCD. Wynajmować M- środkowa strona DC. Dlatego O- środek BD, następnie (m).

Trójkąt DPC- równoramienne. M- środek DC. To znaczy, RM- mediana, a co za tym idzie wysokość w trójkącie DPC. Następnie RM- twierdzenie piramidy.

RO to wysokość piramidy. Następnie prosto RO prostopadle do płaszczyzny ABC, a więc bezpośredni OM leżeć w nim. Znajdźmy apotem RM z trójkąta prostokątnego ROM.

Teraz możemy znaleźć boczną powierzchnię piramidy:

Odpowiadać: 60 m2.

Promień okręgu opisanego w pobliżu podstawy regularnej trójkątnej piramidy wynosi m. Powierzchnia boczna wynosi 18 m2. Znajdź długość apotem.

Dany: ABCP- piramida trójkątna regularna,

AB = BC = SA,

R= m,

strona S = 18 m 2.

Odnaleźć: . patrz rys. 7.

Ryż. 7

Rozwiązanie.

W prawym trójkącie ABC biorąc pod uwagę promień opisanego okręgu. Znajdźmy stronę AB ten trójkąt przy użyciu twierdzenia sinus.

Znając bok regularnego trójkąta (m), znajdujemy jego obwód.

Zgodnie z twierdzeniem o powierzchni bocznej regularnej piramidy, gdzie ha- twierdzenie piramidy. Następnie:

Odpowiadać: 4 m.

Zbadaliśmy więc, czym jest piramida, czym jest regularna piramida, udowodniliśmy twierdzenie na bocznej powierzchni regularnej piramidy. W następnej lekcji zapoznamy się ze ściętą piramidą.

Bibliografia

1. Geometria. Klasy 10-11: podręcznik dla uczniów placówek oświatowych (podstawowe i poziomy profilu) / I.M. Smirnova, V.A. Smirnov. - wyd. 5, ks. i dodatkowe - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: chor.
2. Geometria. Klasa 10-11: Podręcznik do kształcenia ogólnego instytucje edukacyjne/ Sharygin IF - M.: Drop, 1999. - 208 s.: ch.
3. Geometria. Klasa 10: Podręcznik dla ogólnych instytucji edukacyjnych z pogłębioną i profilową nauką matematyki / E. V. Potoskuev, L.I. Zvalich. - wyd. 6, stereotyp. - M.: Drop, 008. - 233 p.: ch.

1. Portal internetowy „Jakas” ()
2. Portal internetowy „Festiwal Idei Pedagogicznych „Pierwszy Września” ()
3. Portal internetowy „Slideshare.net” ()

Praca domowa

1. Czy wielokąt foremny może być podstawą nieregularnej piramidy?
2. Wykazać, że nieprzecinające się krawędzie ostrosłupa foremnego są prostopadłe.
3. Znajdź wartość kąta dwuściennego przy boku podstawy regularnej piramidy czworokątnej, jeśli apotem piramidy jest równy bokowi jej podstawy.
4. RAVS jest regularną trójkątną piramidą. Skonstruuj kąt liniowy kąta dwuściennego u podstawy piramidy.

Hipoteza: wierzymy, że doskonałość kształtu piramidy wynika z prawa matematyczne osadzony w swojej formie.

Cel: badanie piramidy geometryczne ciało, aby wyjaśnić doskonałość jego formy.

Zadania:

1. Podaj matematyczną definicję piramidy.

2. Przestudiuj piramidę jako ciało geometryczne.

3. Zrozum, jaką wiedzę matematyczną Egipcjanie złożyli w swoich piramidach.

Pytania prywatne:

1. Czym jest piramida jako ciało geometryczne?

2. Jak matematycznie wytłumaczyć unikalny kształt piramidy?

3. Co wyjaśnia cuda geometryczne piramidy?

4. Co tłumaczy doskonałość kształtu piramidy?

Definicja piramidy.

PIRAMIDA (z greckiego pyramis, rodzaj n. pyramidos) - wielościan, którego podstawą jest wielokąt, a pozostałe twarze to trójkąty o wspólnym wierzchołku (figura). W zależności od liczby rogów podstawy piramidy są trójkątne, czworokątne itp.

PIRAMIDA - monumentalna budowla o geometrycznym kształcie piramidy (czasem także schodkowa lub w kształcie wieży). Gigantyczne grobowce starożytnych egipskich faraonów z III-II tysiąclecia pne nazywane są piramidami. e., a także starożytne amerykańskie cokoły świątyń (w Meksyku, Gwatemali, Hondurasie, Peru) związanych z kultami kosmologicznymi.

To możliwe, że greckie słowo„piramida” pochodzi od egipskiego wyrażenia per-em-us, czyli od terminu oznaczającego wysokość piramidy. Wybitny rosyjski egiptolog V. Struve uważał, że greckie „puram…j” pochodzi od starożytnego Egiptu „p”-mr.

Z historii. Po przestudiowaniu materiału w podręczniku „Geometria” autorów Atanasiana. Butuzova i inni dowiedzieliśmy się, że: Wielościan złożony z n-kątów A1A2A3 ... An i n trójkątów RA1A2, RA2A3, ..., RAnA1 nazywa się piramidą. Wielokąt A1A2A3 ... An jest podstawą ostrosłupa, a trójkąty RA1A2, RA2A3, ..., PANA1 są bocznymi ścianami ostrosłupa, P jest wierzchołkiem ostrosłupa, segmenty RA1, RA2, .. ., RAN są krawędziami bocznymi.

Jednak taka definicja piramidy nie zawsze istniała. Na przykład starożytny matematyk grecki, autor traktatów teoretycznych o matematyce, które do nas dotarły, Euklides, definiuje piramidę jako bryłę ograniczoną płaszczyznami, które zbiegają się od jednej płaszczyzny do jednego punktu.

Ale ta definicja była krytykowana już w starożytności. Więc Czapla zasugerowała następująca definicja piramidy: „Jest to figura ograniczona trójkątami zbiegającymi się w jednym punkcie, której podstawą jest wielokąt”.

Nasza grupa, porównując te definicje, doszła do wniosku, że nie mają one jasnego sformułowania pojęcia „fundamentu”.

Przestudiowaliśmy te definicje i znaleźliśmy definicję Adriena Marie Legendre, który w 1794 r. w swojej pracy „Elementy geometrii” tak definiuje piramidę: „Piramida jest figurą cielesną utworzoną przez trójkąty zbiegające się w jednym punkcie i kończące się po różnych stronach płaska podstawa.”

Wydaje nam się, że ostatnia definicja daje jasny obraz piramidy, ponieważ mówi o tym, że podstawa jest płaska. Inna definicja piramidy pojawiła się w XIX-wiecznym podręczniku: „piramida to stały kąt przecięty płaszczyzną”.

Piramida jako bryła geometryczna.

To. Piramida to wielościan, którego jedna ściana (podstawa) jest wielokątem, pozostałe ścianki (boki) to trójkąty, które mają jeden wspólny wierzchołek (wierzchołek piramidy).

Prostopadła narysowana od szczytu piramidy do płaszczyzny podstawy nazywa się wzrosth piramidy.

Oprócz arbitralnej piramidy istnieją prawa piramida, u podstawy którego znajduje się wielokąt foremny i ścięta piramida.

Na rysunku - piramida PABCD, ABCD - jej podstawa, PO - wysokość.

Pełna powierzchnia Piramida nazywana jest sumą powierzchni wszystkich jej ścian.

Sfull = Side + Sbase, gdzie Strona boczna to suma pól powierzchni bocznych.

objętość piramidy znajduje się według wzoru:

V=1/3Sbaza h, gdzie Sosn. - powierzchnia bazowa h- wzrost.

Oś regularnej piramidy jest linią prostą zawierającą jej wysokość.
Apothem ST - wysokość ściany bocznej regularnej piramidy.

Pole powierzchni bocznej piramidy regularnej wyraża się w następujący sposób: Bok. =1/2P h, gdzie P jest obwodem podstawy, h- wysokość ściany bocznej (twierdza regularnej piramidy). Jeżeli piramidę przecina płaszczyzna A'B'C'D' równoległa do podstawy, to:

1) boczne krawędzie i wysokość są podzielone tą płaszczyzną na proporcjonalne części;

2) w przekroju uzyskuje się wielokąt A'B'C'D' podobny do podstawy;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Podstawy ściętej piramidy są podobnymi wielokątami ABCD i A`B`C`D`, ściany boczne są trapezami.

Wzrost ostrosłup ścięty - odległość między podstawami.

Obcięta objętość piramidę można znaleźć według wzoru:

V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Boczna powierzchnia regularnej ściętej piramidy wyraża się w następujący sposób: Sside. = ½(P+P') h, gdzie P i P’ są obwodami podstaw, h- wysokość lica bocznego (przypis regularny obcinany przez biesiady)

Sekcje piramidy.

Odcinki piramidy przez płaszczyzny przechodzące przez jej szczyt są trójkątami.

Sekcja przechodząca przez dwie nieprzylegające do siebie boczne krawędzie piramidy nazywa się przekrój przekątny.

Jeśli przekrój przechodzi przez punkt na bocznej krawędzi i boku podstawy, to ta strona będzie jej śladem na płaszczyźnie podstawy piramidy.

Przekrój przechodzący przez punkt leżący na czole ostrosłupa i dany ślad przekroju na płaszczyźnie podstawy, wówczas konstrukcję należy przeprowadzić w następujący sposób:

znajdź punkt przecięcia płaszczyzny danej ściany i ślad przekroju ostrosłupa i wyznacz go;

skonstruować linię prostą przechodzącą przez dany punkt i powstały punkt przecięcia;

· Powtórz te kroki dla następnych twarzy.

, co odpowiada stosunkowi ramion trójkąta prostokątnego 4:3. Ten stosunek nóg odpowiada dobrze znanemu trójkątowi prostokątnemu o bokach 3:4:5, który nazywa się trójkątem „idealnym”, „świętym” lub „egipskim”. Według historyków trójkątowi „egipskiemu” nadano magiczne znaczenie. Plutarch napisał, że Egipcjanie porównali naturę wszechświata do „świętego” trójkąta; symbolicznie przyrównali pionową nogę do męża, podstawę do żony, a przeciwprostokątną do tego, co rodzi się z obu.

Dla trójkąta 3:4:5 równość jest prawdziwa: 32 + 42 = 52, co wyraża twierdzenie Pitagorasa. Czy to nie jest twierdzenie, które chcieli uwiecznić? kapłani egipscy, budując piramidę opartą na trójkącie 3:4:5? Trudno o lepszy przykład ilustrujący twierdzenie Pitagorasa, znane Egipcjanom na długo przed jego odkryciem przez Pitagorasa.

Tak więc pomysłowi twórcy Piramidy egipskie starali się zaimponować dalekim potomkom głębią swojej wiedzy i osiągnęli to, wybierając jako „główną ideę geometryczną” piramidy Cheopsa – „złotą” trójkąt prostokątny, a dla piramidy Chefrena - trójkąt „święty” lub „egipski”.

Bardzo często w swoich badaniach naukowcy wykorzystują właściwości piramid o proporcjach złotego przekroju.

W matematyce słownik encyklopedyczny podana jest następująca definicja złotego odcinka - jest to podział harmoniczny, podział w skrajnym i średnim stosunku - podział odcinka AB na dwie części w taki sposób, że większość jego AC jest średnią proporcjonalną pomiędzy całym odcinkiem AB i jego mniejsza część CB.

Algebraiczne znajdowanie złotej części odcinka AB = a sprowadza się do rozwiązania równania a: x = x: (a - x), gdzie x jest w przybliżeniu równe 0,62a. Stosunek x można wyrazić jako ułamki 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0,618, gdzie 2, 3, 5, 8, 13, 21 to liczby Fibonacciego.

Geometryczną konstrukcję złotego przekroju odcinka AB wykonuje się w następujący sposób: w punkcie B przywraca się prostopadłość do AB, na nim kładzie się odcinek BE \u003d 1/2 AB, A i E są połączone, DE \ u003d BE jest odroczone i wreszcie AC \u003d AD, a następnie równość AB jest spełniona: CB = 2: 3.

złoty podział często stosowany w dziełach sztuki, architekturze, znalezionych w przyrodzie. Żywe przykłady są rzeźby Apolla Belvedere, Partenonu. Przy budowie Partenonu zastosowano stosunek wysokości budynku do jego długości i wynosi on 0,618. Otaczające nas obiekty dostarczają również przykładów Złotego Podziału, na przykład oprawy wielu książek mają stosunek szerokości do długości bliski 0,618. Rozważając ułożenie liści na wspólnej łodydze roślin, można zauważyć, że pomiędzy każdą parą liści trzecia znajduje się w miejscu złotego podziału (slajdy). Każdy z nas „nosi” Złoty Podział z nami „w naszych rękach” - jest to stosunek palików palców.

Dzięki odkryciu kilku papirusów matematycznych egiptolodzy dowiedzieli się czegoś o starożytnych egipskich systemach rachunku różniczkowego i miar. Zadania w nich zawarte rozwiązywali skrybowie. Jednym z najbardziej znanych jest papirus matematyczny Rhinda. Studiując te zagadki, egiptolodzy dowiedzieli się, jak radzili sobie starożytni Egipcjanie różne ilości, które powstały przy obliczaniu miar masy, długości i objętości, w których często używano ułamków, a także jak radziły sobie z kątami.

Starożytni Egipcjanie stosowali metodę obliczania kątów opartą na stosunku wysokości do podstawy trójkąta prostokątnego. Wyrażali dowolny kąt w języku gradientu. Nachylenie zbocza wyrażono jako stosunek liczby całkowitej, zwanej „seked”. W „Matematyce w czasach faraonów” Richard Pillins wyjaśnia: „Odcinek regularnej piramidy to nachylenie dowolnej z czterech trójkątnych ścian do płaszczyzny podstawy, mierzone przez n-tą liczbę jednostek poziomych na jednostkę wysokości w pionie. . Tak więc ta jednostka miary odpowiada naszemu współczesnemu cotangensowi kąta nachylenia. Dlatego egipskie słowo „seked” jest spokrewnione z naszym współczesne słowo"gradient"".

Klucz liczbowy do piramid leży w stosunku ich wysokości do podstawy. W w praktyce- to najprostszy sposób na wykonanie szablonów niezbędnych do ciągłego sprawdzania prawidłowego kąta nachylenia całej konstrukcji piramidy.

Egiptolodzy z radością przekonaliby nas, że każdy faraon był chętny do wyrażenia swojej indywidualności, stąd różnice w kątach nachylenia każdej piramidy. Ale mógł być inny powód. Być może wszyscy chcieli ucieleśnić różne symboliczne skojarzenia ukryte w różnych proporcjach. Jednak kąt piramidy Chefrena (oparty na trójkącie (3:4:5) pojawia się w trzech problemach przedstawionych przez piramidy w papirusie matematycznym Rhinda). Tak więc ta postawa była dobrze znana starożytnym Egipcjanom.

Aby być uczciwym wobec egiptologów, którzy twierdzą, że starożytni Egipcjanie nie znali trójkąta 3:4:5, powiedzmy, że nigdy nie wspomniano o długości przeciwprostokątnej 5. Ale matematyczne problemy dotyczące piramid są zawsze rozwiązywane na podstawie kąta seked - stosunku wysokości do podstawy. Ponieważ nigdy nie wspomniano o długości przeciwprostokątnej, wywnioskowano, że Egipcjanie nigdy nie obliczyli długości trzeciego boku.

Stosunki wysokości do podstawy stosowane w piramidach w Gizie były niewątpliwie znane starożytnym Egipcjanom. Możliwe, że te proporcje dla każdej piramidy zostały wybrane arbitralnie. Jest to jednak sprzeczne z wagą przywiązywaną do symboliki numerycznej we wszystkich typach egipskich Dzieła wizualne. Jest bardzo prawdopodobne, że takie relacje miały duże znaczenie, ponieważ wyrażały określone idee religijne. Innymi słowy, cały kompleks Gizy został poddany spójnemu projektowi, zaprojektowanemu tak, aby odzwierciedlał jakiś boski motyw. To wyjaśniałoby, dlaczego projektanci wybrali różne kąty dla trzech piramid.

W Tajemnicy Oriona Bauval i Gilbert przedstawili przekonujące dowody na związek piramid w Gizie z konstelacją Oriona, w szczególności z gwiazdami Pasa Oriona.Ta sama konstelacja jest obecna w micie Izydy i Ozyrysa, a tam to powód, by uważać każdą piramidę za obraz jednego z trzech głównych bóstw – Ozyrysa, Izydy i Horusa.

CUDA „GEOMETRYCZNE”.

Wśród wspaniałych piramid Egiptu szczególne miejsce zajmują Wielka Piramida Faraona Cheopsa (Chufu). Zanim przystąpimy do analizy kształtu i wielkości piramidy Cheopsa, powinniśmy pamiętać, jakiego systemu miar używali Egipcjanie. Egipcjanie mieli trzy jednostki długości: „łokieć” (466 mm), równą siedmiu „palmom” (66,5 mm), co z kolei równało się czterem „palcom” (16,6 mm).

Przeanalizujmy wielkość piramidy Cheopsa (ryc. 2), kierując się rozumowaniem podanym w cudownej książce ukraińskiego naukowca Nikołaja Wasyutinskiego „Złota proporcja” (1990).

Większość badaczy zgadza się, że np. długość boku podstawy piramidy GF jest równe L\u003d 233,16 m. Ta wartość odpowiada prawie dokładnie 500 „łokciom”. Pełna zgodność z 500 „łokciami” nastąpi, jeśli długość „łokcia” zostanie uznana za równą 0,4663 m.

Wysokość piramidy ( H) jest szacowany przez badaczy różnie od 146,6 do 148,2 m. A w zależności od przyjętej wysokości piramidy zmieniają się wszystkie proporcje jej elementów geometrycznych. Jaki jest powód różnic w szacowaniu wysokości piramidy? Faktem jest, że, ściśle mówiąc, piramida Cheopsa jest ścięta. Jej górna platforma ma dziś wymiary około 10 ´ 10 m, a sto lat temu wynosiła 6 ´ 6 m. Oczywiste jest, że szczyt piramidy został zdemontowany i nie odpowiada oryginalnemu.

Szacując wysokość piramidy, należy wziąć pod uwagę taki czynnik fizyczny, jak „przeciąg” konstrukcji. Za długi czas pod wpływem kolosalnego ciśnienia (dochodzącego do 500 ton na 1 m2 dolnej powierzchni) wysokość piramidy zmniejszyła się w stosunku do jej pierwotnej wysokości.

Jaka była pierwotna wysokość piramidy? Wysokość tę można odtworzyć, jeśli znajdziesz podstawową „ideę geometryczną” piramidy.

Rysunek 2.

W 1837 r. angielski pułkownik G. Wise zmierzył kąt nachylenia ścian piramidy: okazał się równy a= 51°51". Ta wartość jest nadal uznawana przez większość badaczy. Wskazana wartość kąta odpowiada stycznej (tg a), równy 1,27306. Ta wartość odpowiada stosunkowi wysokości piramidy AC do połowy podstawy CB(rys.2), tj. AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

I tu badaczy czekała niespodzianka!.png" width="25" height="24">= 1,272. Porównanie tej wartości z wartością tg a= 1,27306 widzimy, że wartości te są bardzo do siebie zbliżone. Jeśli weźmiemy kąt a\u003d 51 ° 50”, czyli zmniejsz go tylko o jeden minuta łuku, to wartość a stanie się równy 1,272, czyli zbiegnie się z wartością . Należy zauważyć, że w 1840 r. G. Wise powtórzył swoje pomiary i wyjaśnił, że wartość kąta a=51°50".

Pomiary te doprowadziły badaczy do następujących bardzo ciekawa hipoteza: trójkąt ASV piramidy Cheopsa został oparty na relacji AC / CB = = 1,272!

Rozważmy teraz trójkąt prostokątny ABC, w którym stosunek nóg AC / CB= (rys.2). Jeśli teraz długości boków prostokąta ABC oznaczać przez x, tak, z, a także wziąć pod uwagę, że stosunek tak/x= , to zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa długość z można obliczyć ze wzoru:

Jeśli akceptujesz x = 1, tak= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Rysunek 3„Złoty” trójkąt prawy.

Trójkąt prostokątny, w którym boki są ze sobą powiązane jako t:złoty” prawy trójkąt.

Następnie, jeśli przyjmiemy za podstawę hipotezę, że główną „ideą geometryczną” piramidy Cheopsa jest „złoty” trójkąt prostokątny, to stąd łatwo jest obliczyć „projektową” wysokość piramidy Cheopsa. Jest równy:

H \u003d (L / 2) ´ \u003d 148,28 m.

Wyprowadźmy teraz kilka innych relacji dla piramidy Cheopsa, które wynikają z „złotej” hipotezy. W szczególności znajdujemy stosunek powierzchni zewnętrznej piramidy do powierzchni jej podstawy. Aby to zrobić, bierzemy długość nogi CB na jednostkę, czyli: CB= 1. Ale wtedy długość boku podstawy piramidy GF= 2, a powierzchnia podstawy E F G H będzie równy SEFGH = 4.

Obliczmy teraz powierzchnię bocznej ściany piramidy Cheopsa SD. Ponieważ wysokość AB trójkąt AEF jest równe t, wtedy pole powierzchni bocznej będzie równe SD = t. Wtedy łączna powierzchnia wszystkich czterech ścian bocznych piramidy będzie równa 4 t, a stosunek całkowitej powierzchni zewnętrznej piramidy do powierzchni podstawy będzie równy złotemu podziałowi! To jest to - główny geometryczny sekret piramidy Cheopsa!

Grupa „cudów geometrycznych” piramidy Cheopsa obejmuje rzeczywiste i daleko idące właściwości relacji między różne wymiary w piramidzie.

Z reguły są one uzyskiwane w poszukiwaniu jakiejś „stałej”, w szczególności liczby „pi” (liczba Ludolfa), równej 3,14159...; podstawy logarytmów naturalnych „e” (liczba Napiera) równe 2,71828...; liczba „F”, liczba „złotej sekcji”, równa na przykład 0,618 ... itd..

Możesz na przykład wymienić: 1) Własność Herodota: (Wysokość) 2 \u003d 0,5 ul. Główny x Apotem; 2) Własność V. Cena: Wysokość: 0,5 ul. osn \u003d Pierwiastek kwadratowy z „Ф”; 3) Własność M. Eist: Obwód podstawy: 2 Wysokość = „Pi”; w innej interpretacji - 2 łyżki. Główny : Wysokość = "Pi"; 4) Własność G. Rebera: Promień okręgu wpisanego: 0,5 st. Główny = "F"; 5) Własność K. Kleppisha: (St. main.) 2: 2 (st. main. x Apothem) \u003d (st. main. W. Apothem) \u003d 2 (st. main. x Apothem) : ((( 2 st. główna X Apothem) + (st. główna) 2). Itp. Możesz wymyślić wiele takich właściwości, zwłaszcza jeśli połączysz dwie sąsiednie piramidy. Na przykład jako "Właściwości A. Arefiewa" można wspomnieć, że różnica między objętościami piramidy Cheopsa i piramidy Chefrena jest równa dwukrotności objętości piramidy Menkaure...

Wiele ciekawe stanowiska, w szczególności o budowie piramid według „złotej sekcji” są opisane w książkach D. Hambidge „Dynamic Symetry in Architecture” i M. Geek „Aesthetics of Proportion in Nature and Art”. Przypomnijmy, że „złoty odcinek” to podział segmentu w takim stosunku, gdy część A jest tyle razy większa niż część B, ile razy A jest mniejsza niż cały segment A + B. Stosunek A / B wynosi równej liczbie „Ф” == 1,618... Użycie „złotego przekroju” jest wskazane nie tylko w poszczególnych piramidach, ale w całym kompleksie piramid w Gizie.

Najciekawsze jest jednak to, że ta sama piramida Cheopsa po prostu „nie może” pomieścić tak wielu cudowne właściwości. Biorąc po kolei określoną właściwość, możesz ją „dopasować”, ale wszystkie naraz nie pasują - nie pokrywają się, są ze sobą sprzeczne. Jeśli więc np. przy sprawdzaniu wszystkich właściwości początkowo weźmiemy jedną i tę samą stronę podstawy ostrosłupa (233 m), to wysokości ostrosłupów o różnych właściwościach również będą różne. Innymi słowy, istnieje pewna „rodzina” piramid, zewnętrznie podobna do piramid Cheopsa, ale odpowiadających innym właściwościom. Zauważ, że we właściwościach „geometrycznych” nie ma nic szczególnie cudownego - wiele wynika z właściwości samej figury. „Cud” należy uważać tylko za coś, co było oczywiście niemożliwe dla starożytnych Egipcjan. Dotyczy to w szczególności „kosmicznych” cudów, w których pomiary piramidy Cheopsa lub kompleksu piramid w Gizie porównuje się z niektórymi pomiarami astronomicznymi i wskazuje się liczby „parzyste”: milion razy, miliard razy mniej i wkrótce. Rozważmy niektóre „kosmiczne” relacje.

Jedno ze stwierdzeń brzmi: „jeśli podzielimy bok podstawy piramidy przez dokładną długość roku, otrzymamy dokładnie 10 milionowej osi Ziemi”. Oblicz: podziel 233 przez 365, otrzymamy 0,638. Promień Ziemi wynosi 6378 km.

Kolejne stwierdzenie jest w rzeczywistości przeciwieństwem poprzedniego. F. Noetling zwrócił uwagę, że jeśli użyjesz wymyślonego przez niego „egipskiego łokcia”, to bok piramidy będzie odpowiadał „najdokładniejszemu czasowi trwania rok słoneczny, wyrażony z dokładnością do miliardowej części dnia” - 365.540.903.777.

Stwierdzenie P. Smitha: „Wysokość piramidy to dokładnie jedna miliardowa odległości Ziemi od Słońca”. Chociaż zwykle przyjmuje się wysokość 146,6 m, Smith przyjął ją na 148,2 m. Według współczesnych pomiarów radarowych półoś wielka orbity Ziemi wynosi 149.597,870 + 1,6 km. Jest to średnia odległość Ziemi od Słońca, ale w peryhelium jest o 5 000 000 kilometrów mniejsza niż w aphelium.

Ostatnie ciekawe stwierdzenie:

„Jak wyjaśnić, że masy piramid Cheopsa, Chefrena i Menkaure są ze sobą powiązane, tak jak masy planet Ziemia, Wenus, Mars?” Obliczmy. Masy trzech piramid odnoszą się do: Chefrena – 0,835; Cheopsa - 1000; Mikerin - 0,0915. Stosunki mas trzech planet: Wenus - 0,815; Ziemia - 1000; Mars - 0,108.

Tak więc mimo sceptycyzmu zwróćmy uwagę na dobrze znaną harmonię konstrukcji stwierdzeń: 1) wysokość piramidy, jako linii „wchodzącej w kosmos” – odpowiada odległości Ziemi od Słońca; 2) za promień ziemi i cyrkulację ziemi odpowiada strona podstawy piramidy najbliższa „podłoża”, czyli Ziemi; 3) objętości piramidy (czytaj - masy) odpowiadają stosunkowi mas planet najbliższych Ziemi. Podobny „szyfr” można prześledzić np. w języku pszczół, analizowanym przez Karla von Frischa. Na razie jednak powstrzymujemy się od komentowania.

KSZTAŁT PIRAMIDY

Słynny czworościenny kształt piramid nie pojawił się od razu. Scytowie dokonywali pochówków w postaci ziemnych wzgórz - kopców. Egipcjanie budowali „wzgórza” z kamienia – piramidy. Stało się to po raz pierwszy po zjednoczeniu Górnego i Dolnego Egiptu, w 28 wieku pne, kiedy założyciel III dynastii, faraon Dżeser (Zoser), stanął przed zadaniem umocnienia jedności kraju.

I tutaj, zdaniem historyków, „nowa koncepcja przebóstwienia” cara odegrała ważną rolę we wzmocnieniu władzy centralnej. Choć pochówki królewskie odznaczały się większym przepychem, w zasadzie nie różniły się od grobów dworskich szlachciców, były to te same budowle – mastaby. Nad komnatą z sarkofagiem zawierającym mumię wylano prostokątne wzniesienie z małych kamieni, na którym następnie ustawiono niewielki budynek z dużych kamiennych bloków – „mastaba” (po arabsku – „ławka”). Na miejscu mastaby swego poprzednika Sanachta faraon Dżeser wzniósł pierwszą piramidę. Był schodkowy i był widocznym etapem przejściowym od jednej formy architektonicznej do drugiej, od mastaby do piramidy.

W ten sposób faraona „wychował” mędrzec i architekt Imhotep, który później został uznany za maga i utożsamiany przez Greków z bogiem Asklepiosem. Wyglądało to tak, jakby w jednym rzędzie wzniesiono sześć mastab. Ponadto pierwsza piramida zajmowała powierzchnię 1125 x 115 metrów, przy szacowanej wysokości 66 metrów (według miar egipskich - 1000 "palm"). Początkowo architekt planował budowę mastaby, ale nie podłużnej, lecz kwadratowej. Później został rozbudowany, ale ponieważ rozszerzenie zostało obniżone, powstały niejako dwa stopnie.

Ta sytuacja nie satysfakcjonowała architekta i na górnej platformie ogromnej płaskiej mastaby Imhotep umieścił trzy kolejne, stopniowo opadające ku górze. Grób znajdował się pod piramidą.

Znanych jest kilka innych piramid schodkowych, ale później budowniczowie przeszli do budowy bardziej znanych piramid czworościennych. Dlaczego jednak nie trójkątne lub, powiedzmy, ośmiokątne? Pośrednią odpowiedź daje fakt, że prawie wszystkie piramidy są idealnie zorientowane w czterech punktach kardynalnych, a zatem mają cztery boki. Ponadto piramida była „domem”, skorupą czworokątnej komory grobowej.

Ale co spowodowało kąt nachylenia twarzy? W książce „Zasada proporcji” poświęcono temu cały rozdział: „Co może określić kąty piramid”. W szczególności wskazano, że „obraz, do którego grawitują wielkie piramidy Starego Państwa, jest trójkątem o kącie prostym u góry.

W przestrzeni jest to półośmiościan: piramida, w której krawędzie i boki podstawy są równe, ściany są trójkątami równobocznymi.Pewne rozważania na ten temat znajdują się w książkach Hambidge'a, Geeka i innych.

Jaka jest zaleta kąta półośmiościanu? Według opisów archeologów i historyków niektóre piramidy zawaliły się pod własnym ciężarem. Potrzebny był „kąt trwałości”, kąt, który był najbardziej niezawodny energetycznie. Czysto empirycznie, kąt ten może być wzięty z kąta wierzchołkowego w kupie kruszącego się suchego piasku. Ale aby uzyskać dokładne dane, musisz użyć modelu. Biorąc cztery mocno zamocowane kule, należy na nie położyć piątą i zmierzyć kąty nachylenia. Jednak tutaj możesz popełnić błąd, dlatego pomocne jest obliczenie teoretyczne: należy połączyć środki kulek liniami (mentalnie). U podstawy otrzymujesz kwadrat o boku równym dwukrotnemu promieniowi. Kwadrat będzie tylko podstawą piramidy, której długość krawędzi będzie również równa dwukrotnemu promieniowi.

Tak więc gęste upakowanie kulek typu 1:4 da nam regularny półoktaedr.

Dlaczego jednak wiele piramid, skłaniających się ku podobnej formie, nie zachowuje jej? Prawdopodobnie piramidy się starzeją. Wbrew słynnemu powiedzeniu:

„Wszystko na świecie boi się czasu, a czas boi się piramid”, budowle piramid muszą się starzeć, mogą i powinny zachodzić nie tylko procesy wietrzenia zewnętrznego, ale także procesy wewnętrznego „skurczu” , od którego piramidy mogą się obniżyć. Skurcz jest również możliwy, ponieważ, jak dowiadują się z prac D. Davidovitsa, starożytni Egipcjanie stosowali technologię wytwarzania bloków z wiórów wapiennych, czyli z „betonu”. To właśnie te procesy mogą wyjaśnić przyczynę zniszczenia piramidy Meidum, położonej 50 km na południe od Kairu. Ma 4600 lat, wymiary podstawy to 146 x 146 m, wysokość 118 m. „Dlaczego jest tak okaleczona?” – pyta W. Zamarowski – „Zwykłe odniesienia do destrukcyjnych skutków czasu i „wykorzystania kamienia do innych budynków” nie pasują tutaj.

Przecież większość jego bloków i płyt licowych przetrwała do dziś, w gruzach u jego podnóża. „Jak zobaczymy, szereg przepisów skłania do myślenia nawet o tym, że słynna piramida Cheops również „skurczył się”. W każdym razie na wszystkich starożytnych obrazach piramidy są spiczaste ...

Kształt piramid można również wygenerować przez imitację: jakieś naturalne wzory, „cudowna doskonałość”, powiedzmy, niektóre kryształy w kształcie ośmiościanu.

Takimi kryształami mogą być kryształy diamentu i złota. Charakterystycznie duża liczba"przecinające się" znaki dla takich pojęć jak Faraon, Słońce, Złoto, Diament. Wszędzie - szlachetnie, genialnie (genialnie), świetnie, bez skazy i tak dalej. Podobieństwa nie są przypadkowe.

Jak wiecie, kult słoneczny był ważną częścią religii. Starożytny Egipt. „Bez względu na to, jak przetłumaczymy nazwę największej piramidy”, jeden ze współczesnych podręczników mówi „Sky Chufu” lub „Sky Chufu”, oznaczało to, że królem jest słońce. Jeśli Chufu w blasku swojej mocy wyobrażał sobie, że jest drugim słońcem, to jego syn Jedef-Ra stał się pierwszym z egipskich królów, który zaczął nazywać siebie „synem Ra”, czyli synem Słońce. Słońce było symbolizowane przez prawie wszystkie narody jako „słoneczny metal”, złoto. „Duży dysk jasnego złota” - tak Egipcjanie nazywali naszą światło dzienne. Egipcjanie bardzo dobrze znali złoto, znali jego rodzime formy, w których złote kryształy mogą pojawiać się w postaci ośmiościanów.

Jako „próbka form” interesujący jest również „kamień słoneczny” – diament. Nazwa diamentu pochodzi od świat arabski, "almas" - najtwardszy, najtwardszy, niezniszczalny. Starożytni Egipcjanie wiedzieli, że diament i jego właściwości są całkiem dobre. Według niektórych autorów do wiercenia używali nawet rur z brązu z diamentowymi nożami.

Obecnie głównym dostawcą diamentów jest Afryka Południowa, ale Afryka Zachodnia jest również bogata w diamenty. Terytorium Republiki Mali nazywane jest tam nawet „Diamentową Krainą”. Tymczasem to na terytorium Mali mieszkają Dogonowie, z którymi zwolennicy hipotezy paleovisit wiążą wiele nadziei (patrz niżej). Diamenty nie mogły być powodem kontaktów starożytnych Egipcjan z tym regionem. Jednak w ten czy inny sposób, ale możliwe jest, że właśnie kopiując ośmiościany diamentu i kryształów złota, starożytni Egipcjanie ubóstwiali w ten sposób „niezniszczalne” jak diament i „błyszczące” jak złoci faraonowie, synowie Słońca, porównywalne tylko z większością wspaniałe kreacje Natura.

Wniosek:

Po przestudiowaniu piramidy jako ciała geometrycznego, zapoznaniu się z jej elementami i właściwościami, byliśmy przekonani o słuszności opinii o pięknie kształtu piramidy.

W wyniku naszych badań doszliśmy do wniosku, że Egipcjanie, zgromadziwszy najcenniejszą wiedzę matematyczną, ucieleśnili ją w piramidzie. Dlatego piramida jest naprawdę najdoskonalszym tworem natury i człowieka.

BIBLIOGRAFIA

"Geometria: proc. na 7 - 9 komórek. ogólne wykształcenie instytucje \ itp. - wyd. 9. - M .: Edukacja, 1999

Historia matematyki w szkole, M: „Oświecenie”, 1982

Klasa geometrii 10-11, M: "Oświecenie", 2000

Peter Tompkins "Sekrety Wielkiej Piramidy Cheopsa", M: "Centropoligraf", 2005

Zasoby internetowe

http://veka-i-mig. *****/

http://tambow. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html