Znajdź całkowitą powierzchnię stożka. Pole powierzchni bocznej i pełnej stożka

Wiemy czym jest stożek, spróbujmy znaleźć jego powierzchnię. Dlaczego konieczne jest rozwiązanie takiego problemu? Na przykład musisz zrozumieć, ile test pójdzie zrobić rożek waflowy? Albo ile cegieł potrzeba, aby położyć ceglany dach zamku?

Nie jest łatwo zmierzyć boczną powierzchnię stożka. Ale wyobraź sobie ten sam róg owinięty w materiał. Aby znaleźć obszar kawałka tkaniny, musisz go wyciąć i położyć na stole. Otrzymujemy płaską figurę, możemy znaleźć jej powierzchnię.

Ryż. 1. Przekrój stożka wzdłuż tworzącej

Zróbmy to samo ze stożkiem. Na przykład „wytnijmy” jego powierzchnię boczną wzdłuż dowolnej tworzącej (patrz ryc. 1).

Teraz „rozwijamy” boczną powierzchnię na samolot. Dostajemy sektor. Środek tego sektora jest wierzchołkiem stożka, promień sektora jest równy tworzącej stożka, a długość jego łuku pokrywa się z obwodem podstawy stożka. Taki sektor nazywa się rozwinięciem bocznej powierzchni stożka (patrz ryc. 2).

Ryż. 2. Rozwój powierzchni bocznej

Ryż. 3. Pomiar kąta w radianach

Spróbujmy znaleźć obszar sektora według dostępnych danych. Najpierw wprowadźmy notację: niech kąt na górze sektora będzie w radianach (patrz rys. 3).

W zadaniach często spotykamy się z kątem u góry przeciągnięcia. Tymczasem spróbujmy odpowiedzieć na pytanie: czy ten kąt nie może okazać się większy niż 360 stopni? To znaczy, czy nie okaże się, że przeciągnięcie nałoży się na siebie? Oczywiście nie. Udowodnijmy to matematycznie. Niech wymiata „nachodzi” na siebie. Oznacza to, że długość łuku przeciągnięcia jest większa niż obwód promienia. Ale, jak już wspomniano, długość łuku przeciągnięcia jest obwodem promienia. A promień podstawy stożka jest oczywiście mniejszy niż na przykład tworzącej, ponieważ noga trójkąta prostokątnego jest mniejsza niż przeciwprostokątna

Zapamiętajmy więc dwa wzory z przebiegu planimetrii: długość łuku. Obszar sektora: .

W naszym przypadku rolę odgrywa generatrix , a długość łuku jest równa obwodowi podstawy stożka. Mamy:

Wreszcie otrzymujemy:

Wraz z powierzchnią boczną można również znaleźć obszar pełna powierzchnia. Aby to zrobić, dodaj obszar bazowy do powierzchni bocznej. Ale podstawą jest okrąg o promieniu , którego powierzchnia, zgodnie ze wzorem, wynosi .

Wreszcie mamy: , gdzie jest promień podstawy cylindra, jest tworzącą.

Rozwiążmy kilka problemów na podanych wzorach.

Ryż. 4. Pożądany kąt

Przykład 1. Rozwój powierzchni bocznej stożka jest sektorem o kącie na wierzchołku. Znajdź ten kąt, jeśli wysokość stożka wynosi 4 cm, a promień podstawy wynosi 3 cm (patrz rys. 4).

Ryż. 5. Trójkąt prostokątny tworzący stożek

Przy pierwszym działaniu, zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, znajdujemy tworzącą: 5 cm (patrz ryc. 5). Ponadto wiemy, że .

Przykład 2. Powierzchnia przekroju osiowego stożka wynosi , wysokość . Znajdź całkowitą powierzchnię (patrz rys. 6).

Badane w szkole ciała rewolucji to walec, stożek i piłka.

Jeśli w zadaniu USE z matematyki musisz obliczyć objętość stożka lub powierzchnię kuli, uważaj się za szczęściarza.

Zastosuj wzory na objętość i powierzchnię cylindra, stożka i kuli. Wszystkie są na naszym stole. Uczyć się na pamięć. Tu zaczyna się znajomość stereometrii.

Czasami dobrze jest narysować widok z góry. Lub, jak w tym problemie, od dołu.

2. Ile razy objętość stożka opisanego w pobliżu prawidłowego piramida czworokątna, większa niż objętość stożka wpisanego w tę piramidę?

Wszystko jest proste - rysujemy widok od dołu. Widzimy, że promień większego koła jest kilkakrotnie większy niż promień mniejszego. Wysokości obu szyszek są takie same. Dlatego objętość większego stożka będzie dwa razy większa.

Jeszcze jeden ważny punkt. Pamiętaj, że w zadaniach części B UŻYJ opcji w matematyce odpowiedź jest zapisana jako liczba całkowita lub skończona Ułamek dziesiętny. W związku z tym nie powinieneś mieć żadnego lub w swojej odpowiedzi w części B. Podstawianie przybliżonej wartości liczby również nie jest konieczne! Musi zostać zmniejszona! W tym celu w niektórych zadaniach formułuje się zadanie, na przykład w następujący sposób: „Znajdź obszar powierzchni bocznej cylindra podzielonej przez”.

A gdzie jeszcze są stosowane wzory na objętość i powierzchnię ciał obrotowych? Oczywiście w zadaniu C2 (16). O tym też opowiemy.

Tutaj są problemy z szyszkami, stan związany jest z ich powierzchnią. W szczególności w niektórych problemach pojawia się pytanie o zmianę powierzchni wraz ze wzrostem (spadkiem) wysokości stożka lub promienia jego podstawy. Teoria rozwiązywania problemów w . Rozważ następujące zadania:

27135. Obwód podstawy stożka wynosi 3, tworząca to 2. Znajdź obszar bocznej powierzchni stożka.

Powierzchnia bocznej powierzchni stożka to:

Podłączanie danych:

75697. Ile razy zwiększy się powierzchnia bocznej powierzchni stożka, jeśli jego tworząca zwiększy się 36 razy, a promień podstawy pozostanie taki sam?

Powierzchnia bocznej powierzchni stożka:

Generatrix zwiększa się 36 razy. Promień pozostaje ten sam, co oznacza, że ​​obwód podstawy nie uległ zmianie.

Tak więc obszar powierzchni bocznej zmodyfikowanego stożka będzie wyglądał następująco:

W ten sposób wzrośnie o 36 razy.

*Zależność jest prosta, więc problem ten można łatwo rozwiązać ustnie.

27137. Ile razy zmniejszy się powierzchnia bocznej powierzchni stożka, jeśli promień jego podstawy zmniejszy się 1,5 raza?

Powierzchnia bocznej powierzchni stożka to:

Promień zmniejsza się 1,5 raza, czyli:

Stwierdzono, że powierzchnia boczna zmniejszyła się 1,5 raza.

27159. Wysokość stożka wynosi 6, tworząca to 10. Znajdź powierzchnię jego całkowitej powierzchni podzieloną przez pi.

Pełna powierzchnia stożka:

Znajdź promień:

Wysokość i tworząca są znane, z twierdzenia Pitagorasa obliczamy promień:

Zatem:

Wynik podziel przez Pi i zapisz odpowiedź.

76299. Całkowita powierzchnia stożka wynosi 108. Przekrój jest narysowany równolegle do podstawy stożka, dzieląc wysokość na pół. Znajdź całkowitą powierzchnię ściętego stożka.

Sekcja przechodzi przez środek wysokości równolegle do podstawy. Oznacza to, że promień podstawy i tworzącej stożka ściętego będzie 2 razy mniejszy niż promień i tworząca oryginalnego stożka. Zanotujmy, jaka jest powierzchnia stożka odcinanego:

Masz ją 4 razy? mniejszy obszar powierzchnia oryginału, czyli 108:4 = 27.

* Ponieważ oryginalny i odcięty stożek są podobnymi korpusami, można było również użyć właściwości podobieństwa:

27167. Promień podstawy stożka wynosi 3, wysokość to 4. Znajdź całkowitą powierzchnię stożka podzieloną przez pi.

Wzór na całkowitą powierzchnię szyszki to:

Promień jest znany, konieczne jest znalezienie tworzącej.

Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa:

Zatem:

Wynik podziel przez Pi i zapisz odpowiedź.

Zadanie. Powierzchnia bocznej powierzchni stożka jest czterokrotnie większa od powierzchni podstawy. Znajdź cosinus kąta między tworzącą stożka a płaszczyzną podstawy.

Powierzchnia podstawy stożka to:

Oznacza to, że cosinus będzie równy:

Odpowiedź: 0,25

Zdecyduj sam:

27136. Ile razy zwiększy się powierzchnia bocznej powierzchni stożka, jeśli jego tworząca wzrośnie 3 razy?

27160. Powierzchnia bocznej powierzchni stożka jest dwukrotnie większa od powierzchni podstawy. Znajdź kąt między tworzącą stożka a płaszczyzną podstawy. Podaj swoją odpowiedź w stopniach. .

27161. Całkowita powierzchnia stożka wynosi 12. Przekrój jest narysowany równolegle do podstawy stożka, dzieląc wysokość na pół. Znajdź całkowitą powierzchnię ściętego stożka.

To wszystko. Powodzenia!

Z poważaniem, Aleksandrze.

* Udostępniaj informacje o witrynie znajomym za pośrednictwem sieci społecznościowych.

Powierzchnia stożka (lub po prostu powierzchnia stożka) jest równa sumie powierzchni podstawy i powierzchni bocznej.

Pole powierzchni bocznej stożka oblicza się według wzoru: S = πR ja, gdzie R jest promieniem podstawy stożka, a ja- tworząca stożka.

Ponieważ powierzchnia podstawy stożka wynosi πR 2 (jako powierzchnia koła), to powierzchnia pełnej powierzchni stożka będzie równa: πR 2 + πR ja= πR (R + ja).

Uzyskanie wzoru na pole powierzchni bocznej stożka można wytłumaczyć takim rozumowaniem. Niech rysunek pokaże rozwój bocznej powierzchni stożka. Podziel łuk AB na możliwy jeszcze równe części i połącz wszystkie punkty podziału ze środkiem łuku, a sąsiadujące ze sobą za pomocą cięciw.

Otrzymujemy serię trójkąty równe. Obszar każdego trójkąta to Ach / 2 , gdzie a- długość podstawy trójkąta, a h- jego haj.

Suma pól wszystkich trójkątów wynosi: Ach / 2 n = Anha / 2 , gdzie n to liczba trójkątów.

Przy dużej liczbie podziałów suma obszarów trójkątów staje się bardzo zbliżona do obszaru zabudowy, czyli obszaru bocznej powierzchni stożka. Suma podstaw trójkątów, tj. jakiś, staje się bardzo blisko długości łuku AB, tj. do obwodu podstawy stożka. Wysokość każdego trójkąta zbliża się bardzo do promienia łuku, to znaczy do tworzącej stożka.

Pomijając niewielkie różnice w wielkościach tych wielkości, otrzymujemy wzór na pole powierzchni bocznej stożka (S):

S=C ja / 2, gdzie C jest obwodem podstawy stożka, ja- tworząca stożka.

Wiedząc, że C \u003d 2πR, gdzie R jest promieniem okręgu podstawy stożka, otrzymujemy: S \u003d πR ja.

Notatka. We wzorze S = C ja / 2 podano znak równości dokładnej, a nie przybliżonej, chociaż na podstawie powyższego rozumowania możemy uznać tę równość za przybliżoną. Ale w liceum Liceum udowodniono, że równość

S=C ja / 2 jest dokładne, a nie przybliżone.

Twierdzenie. Boczna powierzchnia stożka jest równa iloczynowi obwodu podstawy i połowy tworzącej.

Wpiszmy w stożek (ryc.) trochę poprawna piramida i oznacz literami R oraz ja liczby wyrażające długości obwodu podstawy i apotem tej piramidy.

Wtedy jego powierzchnia boczna będzie wyrażona przez iloczyn 1/2 R ja .

Załóżmy teraz, że liczba boków wielokąta wpisanego w podstawę rośnie w nieskończoność. Następnie obwód R będzie dążył do granicy przyjętej jako długość C obwodu podstawy i apotem ja będzie miał jako granicę generator stożka (ponieważ ΔSAK oznacza, że ​​SA - SK
1 / 2 R ja, będzie dążył do granicy 1/2 C L. Limit ten przyjmuje się jako wartość bocznej powierzchni stożka. Oznaczając powierzchnię boczną stożka literą S możemy napisać:

S = 1/2 C L = C 1/2L

Konsekwencje.
1) Od C \u003d 2 π R, to boczną powierzchnię stożka wyraża wzór:

S=1/2 2π R L= π RL

2) Całkowitą powierzchnię stożka otrzymamy, jeśli dodamy powierzchnię boczną do podstawy; dlatego oznaczając całą powierzchnię przez T, będziemy mieli:

T= π RL+ π R2= π P(L+P)

Twierdzenie. Powierzchnia boczna stożka ściętego jest równa iloczynowi połowy sumy obwodów podstawy i tworzącej.

Wpiszmy w ścięty stożek (ryc.) jakiś regularny ścięta piramida i oznacz literami r, r 1 i ja liczby wyrażające w tych samych jednostkach liniowych długości obwodów dolnej i górnej podstawy oraz apotem tej piramidy.

Wtedy boczna powierzchnia wpisanej piramidy wynosi 1/2 ( p + p 1) ja

Przy nieograniczonym wzroście liczby ścian bocznych wpisanego ostrosłupa, obwody R oraz R 1 zmierzają do granic przyjętych jako długości C i C 1 okręgów podstaw i apotem ja ma jako granicę tworzącą L stożka ściętego. W konsekwencji wartość powierzchni bocznej wpisanej piramidy dąży do granicy równej (С + С 1) L. Limit ten jest przyjmowany jako wartość powierzchni bocznej stożka ściętego. Oznaczając boczną powierzchnię stożka ściętego literą S będziemy mieli:

S \u003d 1 / 2 (C + C 1) L

Konsekwencje.
1) Jeżeli R i R 1 oznaczają promienie okręgów dolnej i górnej podstawy, wówczas boczna powierzchnia ściętego stożka będzie wynosić:

S = 1/2 (2 π R+2 π R 1) L = π (R+R1)L.

2) Jeśli w trapezie OO 1 A 1 A (ryc.), Z obrotu, z którego uzyskuje się ścięty stożek, rysujemy Środkowa linia BC, otrzymujemy:

BC \u003d 1/2 (OA + O 1 A 1) \u003d 1/2 (R + R 1),

R + R 1 = 2 pne.

Stąd,

S=2 π BC L,

tj. powierzchnia boczna stożka ściętego jest równa iloczynowi obwodu przekroju średniego i tworzącej.

3) Całkowita powierzchnia T stożka ściętego jest wyrażona w następujący sposób:

T= π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)