Jaki jest tangens kąta nachylenia. Pochodna funkcji. Geometryczne znaczenie pochodnej

Temat „Współczynnik kątowy stycznej jako stycznej kąta nachylenia” na egzaminie certyfikacyjnym ma kilka zadań jednocześnie. W zależności od stanu, absolwent może być zobowiązany do udzielenia zarówno pełnej odpowiedzi, jak i krótkiej odpowiedzi. W przygotowaniach do zdanie egzaminu w matematyce uczeń zdecydowanie powinien powtórzyć zadania, w których trzeba policzyć nachylenie tangens.

Pomoże ci to portal edukacyjny„Szkolkowo”. Nasi eksperci przygotowali i przedstawili możliwie najbardziej przystępny materiał teoretyczny i praktyczny. Po zapoznaniu się z nim absolwenci z dowolnym poziomem wykształcenia będą mogli z powodzeniem rozwiązywać problemy związane z pochodnymi, w których wymagane jest znalezienie stycznej nachylenia stycznej.

Podstawowe momenty

Aby znaleźć prawidłowe i racjonalne rozwiązanie takich zadań na egzaminie, trzeba pamiętać podstawowa definicja: pochodna to tempo zmian funkcji; jest równa tangensowi nachylenia stycznej narysowanej na wykresie funkcji w pewnym punkcie. Równie ważne jest ukończenie rysunku. Pozwoli ci to znaleźć prawidłowe rozwiązanie USE zadania na pochodnej, w której wymagane jest obliczenie tangensa nachylenia stycznej. Dla jasności najlepiej wykreślić wykres na płaszczyźnie OXY.

Jeśli zapoznałeś się już z podstawowym materiałem na temat pochodnej i jesteś gotowy do rozpoczęcia rozwiązywania zadań obliczania stycznej kąta nachylenia stycznej, podobnie jak UŻYWAJ zadań możesz to zrobić online. Dla każdego zadania, na przykład zadania na temat „Zależność pochodnej od prędkości i przyspieszenia ciała”, zapisaliśmy poprawną odpowiedź i algorytm rozwiązania. W takim przypadku uczniowie mogą ćwiczyć wykonywanie zadań. różne poziomy trudności. W razie potrzeby ćwiczenie można zapisać w dziale „Ulubione”, aby później przedyskutować decyzję z prowadzącym.

Naucz się brać pochodne funkcji. Pochodna charakteryzuje szybkość zmian funkcji w pewnym punkcie leżącym na wykresie tej funkcji. W takim przypadku wykres może być linią prostą lub zakrzywioną. Oznacza to, że pochodna charakteryzuje szybkość zmian funkcji w określonym momencie. Pamiętać Główne zasady dla których pochodne są brane, a dopiero potem przejść do następnego kroku.

• Przeczytaj artykuł.
• Jak wziąć najprostsze pochodne, na przykład pochodną równanie wykładnicze, opisane . Obliczenia przedstawione w kolejnych krokach będą oparte na opisanych tam metodach.

Naucz się rozróżniać problemy, w których nachylenie należy obliczyć jako pochodną funkcji. W zadaniach nie zawsze sugeruje się znalezienie nachylenia lub pochodnej funkcji. Na przykład możesz zostać poproszony o znalezienie szybkości zmian funkcji w punkcie A(x, y). Możesz również zostać poproszony o znalezienie nachylenia stycznej w punkcie A(x, y). W obu przypadkach należy wziąć pochodną funkcji.

Współczynnik nachylenia jest prosty. W tym artykule rozważymy zadania związane z płaszczyzną współrzędnych zawarte w egzaminie z matematyki. Są to zadania dla:

- wyznaczenie nachylenia linii prostej, gdy znane są dwa punkty, przez które przechodzi;
- wyznaczenie odciętej lub rzędnej punktu przecięcia dwóch linii na płaszczyźnie.

Czym jest odcięta i rzędna punktu została opisana w tej sekcji. W nim rozważaliśmy już kilka problemów związanych z płaszczyzną współrzędnych. Co należy rozumieć dla rodzaju rozważanych zadań? Trochę teorii.

Równanie prostej na płaszczyźnie współrzędnych ma postać:

gdzie k – to jest nachylenie linii prostej.

Następna chwila! Nachylenie linii prostej jest równe stycznej nachylenia linii prostej. Jest to kąt między podaną linią a osiąoh.

Leży między 0 a 180 stopni.

To znaczy, jeśli sprowadzimy równanie prostej do postaci tak = kx + b, to dalej zawsze możemy wyznaczyć współczynnik k (współczynnik nachylenia).

Ponadto, jeśli możemy określić tangens nachylenia linii prostej na podstawie warunku, wówczas znajdziemy jej nachylenie.

Kolejny teoretyczny moment!Równanie prostej przechodzącej przez dwa podane punkty.Formuła wygląda tak:

Rozważ problemy (podobne do tych z otwarty bank zadania):

Znajdź nachylenie prostej przechodzącej przez punkty o współrzędnych (–6; 0) i (0; 6).

W tym problemie najbardziej racjonalnym sposobem rozwiązania tego problemu jest znalezienie tangensa kąta między osią x a daną linią prostą. Wiadomo, że jest równy współczynnikowi kątowemu. Rozważmy trójkąt prostokątny utworzony przez linię prostą oraz osie x i y:

Tangens kąta w trójkąt prostokątny to stosunek przeciwległej nogi do sąsiedniej:

* Obie nogi są równe sześciu (to są ich długości).

Na pewno, to zadanie można rozwiązać za pomocą wzoru na znalezienie równania prostej przechodzącej przez dwa podane punkty. Ale będzie to dłuższa ścieżka rozwiązania.

Odpowiedź 1

Znajdź nachylenie prostej przechodzącej przez punkty o współrzędnych (5;0) i (0;5).

Nasze punkty mają współrzędne (5;0) i (0;5). Znaczy,

Przenieśmy formułę do formy tak = kx + b

Otrzymaliśmy współczynnik kątowy k = – 1.

Odpowiedź 1

Prosty a przechodzi przez punkty o współrzędnych (0;6) i (8;0). Prosty b przechodzi przez punkt o współrzędnych (0;10) i jest równoległa do prostej a b z osią wół.

W tym zadaniu możesz znaleźć równanie linii prostej a, określ dla niego nachylenie. Linia prosta b nachylenie będzie takie samo, ponieważ są one równoległe. Następnie możesz znaleźć równanie linii prostej b. A następnie, podstawiając do niej wartość y = 0, znajdź odciętą. ALE!

W takim przypadku łatwiej jest użyć właściwości podobieństwa trójkąta.

Trójkąty prostokątne utworzone przez podane (równoległe) linie współrzędnych są podobne, co oznacza, że ​​stosunki ich odpowiednich boków są równe.

Pożądana odcięta to 40/3.

Odpowiedź: 40/3

Prosty a przechodzi przez punkty o współrzędnych (0;8) i (–12;0). Prosty b przechodzi przez punkt o współrzędnych (0; -12) i jest równoległa do prostej a. Znajdź odciętą punktu przecięcia prostej b z osią wół.

W przypadku tego problemu najbardziej racjonalnym sposobem jego rozwiązania jest użycie właściwości podobieństwa trójkątów. Ale rozwiążemy to w inny sposób.

Znamy punkty, przez które przechodzi linia a. Możemy napisać równanie prostej. Wzór na równanie prostej przechodzącej przez dwa podane punkty to:

Zgodnie z warunkiem punkty mają współrzędne (0;8) i (–12;0). Znaczy,

Przypomnijmy sobie tak = kx + b:

Mam ten róg k = 2/3.

*Współczynnik kątowy można znaleźć poprzez styczną kąta w trójkącie prostokątnym z ramionami 8 i 12.

Wiemy, że równoległe linie mają równe nachylenia. Zatem równanie prostej przechodzącej przez punkt (0;-12) ma postać:

Znajdź wartość b możemy podstawić odciętą i rzędną do równania:

Tak więc linia wygląda tak:

Teraz, aby znaleźć pożądaną odciętą punktu przecięcia linii z osią x, musisz zastąpić y \u003d 0:

Odpowiedź: 18

Znajdź rzędną punktu przecięcia osi oj oraz linię prostą przechodzącą przez punkt B(10;12) oraz linię równoległą przechodzącą przez początek i punkt A(10;24).

Znajdźmy równanie prostej przechodzącej przez punkty o współrzędnych (0;0) i (10;24).

Wzór na równanie prostej przechodzącej przez dwa podane punkty to:

Nasze punkty mają współrzędne (0;0) i (10;24). Znaczy,

Przypomnijmy sobie tak = kx + b

Nachylenia linii równoległych są równe. Stąd równanie prostej przechodzącej przez punkt B (10; 12) ma postać:

Oznaczający b znajdujemy zastępując współrzędne punktu B (10; 12) do tego równania:

Otrzymaliśmy równanie prostej:

Aby znaleźć rzędną punktu przecięcia tej prostej z osią OU należy podstawić do znalezionego równania X= 0:

* Najłatwiejsze rozwiązanie. Za pomocą przesunięcia równoległego przesuwamy tę linię w dół wzdłuż osi OU do punktu (10;12). Przesunięcie następuje o 12 jednostek, czyli punkt A(10;24) „przeszedł” do punktu B(10;12), a punkt O(0;0) „przeszedł” do punktu (0;-12). Więc wynikowa linia przetnie oś OU w punkcie (0;–12).

Pożądana rzędna to -12.

Odpowiedź: -12

Znajdź rzędną punktu przecięcia prostej podanej przez równanie

3x + 2 lata = 6, z osią Oy.

Współrzędna punktu przecięcia danej prostej z osią OU ma postać (0; w). Podstaw odciętą do równania X= 0 i znajdź rzędną:

Rzędna punktu przecięcia prostej z osią OU równa się 3.

* System jest rozwiązywany:

Odpowiedź: 3

Znajdź rzędną punktu przecięcia prostych podanych przez równania

3x + 2 lata = 6 oraz y = - x.

Gdy podane są dwie proste, a pytanie dotyczy znalezienia współrzędnych punktu przecięcia tych prostych, układ tych równań jest rozwiązany:

W pierwszym równaniu podstawiamy - X zamiast w:

Rzędna to minus sześć.

Odpowiedź: – 6

Znajdź nachylenie prostej przechodzącej przez punkty o współrzędnych (–2; 0) i (0; 2).

Znajdź nachylenie prostej przechodzącej przez punkty o współrzędnych (2;0) i (0;2).

Linia a przechodzi przez punkty o współrzędnych (0;4) i (6;0). Linia b przechodzi przez punkt o współrzędnych (0;8) i jest równoległa do prostej a. Znajdź odciętą punktu przecięcia prostej b z osią x.

Znajdź rzędną punktu przecięcia osi y i prostej przechodzącej przez punkt B (6;4) oraz linii równoległej przechodzącej przez początek i punkt A (6;8).

1. Należy wyraźnie zrozumieć, że nachylenie linii prostej jest równe stycznej nachylenia linii prostej. Pomoże Ci to w rozwiązaniu wielu tego typu problemów.

2. Należy zrozumieć wzór na znalezienie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty. Za jego pomocą zawsze można znaleźć równanie prostej, jeśli podane są współrzędne dwóch jej punktów.

3. Pamiętaj, że nachylenia linii równoległych są równe.

4. Jak rozumiesz, w niektórych problemach wygodnie jest używać znaku podobieństwa trójkątów. Problemy rozwiązywane są praktycznie ustnie.

5. Zadania, w których podane są dwie linie i wymagane jest znalezienie odciętej lub rzędnej ich punktu przecięcia, można rozwiązać graficznie. Oznacza to, że zbuduj je na płaszczyźnie współrzędnych (na arkuszu w komórce) i wizualnie określ punkt przecięcia. *Ale ta metoda nie zawsze ma zastosowanie.

6. I ostatni. Jeśli podano linię prostą i współrzędne punktów jej przecięcia z osiami współrzędnych, to w takich problemach wygodnie jest znaleźć współczynnik kątowy, znajdując styczną kąta w utworzonym trójkącie prostokątnym. Jak „zobaczyć” ten trójkąt dla różnych układów linii na płaszczyźnie schematycznie pokazano poniżej:

>> Kąt nachylenia linii od 0 do 90 stopni<<

>> Kąt linii prostej od 90 do 180 stopni<<

To wszystko. Powodzenia!

Z poważaniem, Aleksandrze.

PS: Byłbym wdzięczny, gdybyś opowiedział o stronie w sieciach społecznościowych.

Linia y \u003d f (x) będzie styczna do wykresu pokazanego na rysunku w punkcie x0, jeśli przejdzie przez punkt o współrzędnych (x0; f (x0)) i ma nachylenie f ”(x0). Znajdź taki współczynnik, znając cechy stycznej, nie jest trudny.

Będziesz potrzebować

• - informator matematyczny;
• - prosty ołówek;
• - zeszyt;
• - kątomierz;
• - kompas;
• - długopis.

Instrukcja

Jeśli wartość f‘(x0) nie istnieje, to albo nie ma stycznej, albo przechodzi w pionie. W związku z tym obecność pochodnej funkcji w punkcie x0 wynika z istnienia stycznej niepionowej, która styka się z wykresem funkcji w punkcie (x0, f(x0)). W takim przypadku nachylenie stycznej będzie równe f ”(x0). W ten sposób geometryczne znaczenie pochodnej staje się jasne - obliczenie nachylenia stycznej.

Narysuj dodatkowe styczne które stykałyby się z wykresem funkcji w punktach x1, x2 i x3 oraz zaznacz kąty utworzone przez te styczne z osią odciętych (taki kąt jest liczony w kierunku dodatnim od osi do stycznej linia). Na przykład kąt, to znaczy α1, będzie ostry, drugi (α2) będzie rozwarty, a trzeci (α3) będzie równy zero, ponieważ linia styczna jest równoległa do osi OX. W tym przypadku tangens kąta rozwartego jest ujemny, tangens kąta ostrego dodatni, a dla tg0 wynik wynosi zero.

Uwaga

Prawidłowo określ kąt utworzony przez styczną. Aby to zrobić, użyj kątomierza.

Pomocna rada

Dwie ukośne linie będą równoległe, jeśli ich zbocza są sobie równe; prostopadła, jeśli iloczyn nachyleń tych stycznych wynosi -1.

Źródła:

• Wykres stycznej do funkcji

Cosinus, podobnie jak sinus, jest określany jako „bezpośrednie” funkcje trygonometryczne. Tangens (razem z cotangensem) jest dodawany do innej pary zwanej „pochodnymi”. Istnieje kilka definicji tych funkcji, które umożliwiają znalezienie tangensa cosinusa danego przez znaną wartość o tej samej wartości.

Instrukcja

Odejmij iloraz od jedności przez cosinus danego kąta podniesiony do wartości i wyodrębnij pierwiastek kwadratowy z wyniku - będzie to wartość tangensa z kąta wyrażona przez jego cosinus: tg (α) \u003d √ (1-1 / (cos (α))²) . Jednocześnie zwróć uwagę na to, że we wzorze cosinus jest w mianowniku ułamka. Niemożność dzielenia przez zero wyklucza użycie tego wyrażenia dla kątów równych 90°, jak również różnicowanie się od tej wartości o wielokrotności 180° (270°, 450°, -90° itd.).

Istnieje alternatywny sposób obliczenia tangensa ze znanej wartości cosinusa. Może być używany, jeśli nie ma ograniczeń w korzystaniu z innych. Aby zaimplementować tę metodę, najpierw określ wartość kąta ze znanej wartości cosinusa - można to zrobić za pomocą funkcji arccosinus. Następnie po prostu oblicz styczną dla kąta otrzymanej wartości. Ogólnie algorytm ten można zapisać w następujący sposób: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

Istnieje inna egzotyczna opcja wykorzystująca definicję cosinusa i stycznej przez kąty ostre trójkąta prostokątnego. Cosinus w tej definicji odpowiada stosunkowi długości nogi sąsiadującej z rozważanym kątem do długości przeciwprostokątnej. Znając wartość cosinusa, możesz wybrać odpowiadające mu długości tych dwóch boków. Na przykład, jeśli cos(α)=0,5, to sąsiednie można przyjąć równe 10 cm, a przeciwprostokątną - 20 cm. Konkretne liczby nie mają tutaj znaczenia - otrzymasz to samo i poprawisz dowolne wartości, które mają takie same. Następnie, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, określ długość brakującego boku - przeciwległej nogi. Będzie równa pierwiastkowi kwadratowemu z różnicy między długościami kwadratowej przeciwprostokątnej i znanej odnogi: √(20²-10²)=√300. Z definicji tangens odpowiada stosunkowi długości przeciwnej i sąsiedniej nogi (√300/10) - oblicz ją i uzyskaj wartość tangensa znalezioną przy użyciu klasycznej definicji cosinusa.

Źródła:

• cosinus przez styczną formułę

Jedna z funkcji trygonometrycznych, najczęściej oznaczana literami tg, chociaż spotyka się również zapis tan. Najłatwiej jest przedstawić tangens jako stosunek sinusa narożnik do jego cosinusa. Jest to nieparzysta funkcja okresowa i nieciągła, której każdy cykl jest równy liczbie Pi, a punkt załamania odpowiada znakowi przy połowie tej liczby.

W poprzednim rozdziale pokazano, że wybierając pewien układ współrzędnych na płaszczyźnie, możemy analitycznie wyrazić właściwości geometryczne charakteryzujące punkty rozpatrywanej prostej równaniem pomiędzy aktualnymi współrzędnymi. W ten sposób otrzymujemy równanie prostej. W tym rozdziale omówione zostaną równania linii prostych.

Aby sformułować równanie linii prostej we współrzędnych kartezjańskich, musisz w jakiś sposób ustawić warunki określające jej położenie względem osi współrzędnych.

Najpierw wprowadzamy pojęcie nachylenia linii prostej, która jest jedną z wielkości charakteryzujących położenie linii prostej na płaszczyźnie.

Nazwijmy kąt nachylenia prostej do osi Wół jako kąt, o który oś Wół musi zostać obrócona tak, aby pokrywała się z daną prostą (lub okazała się do niej równoległa). Jak zwykle rozważymy kąt biorąc pod uwagę znak (znak jest określony przez kierunek obrotu: przeciwnie do ruchu wskazówek zegara lub zgodnie z ruchem wskazówek zegara). Ponieważ dodatkowy obrót osi Wół o kąt 180° ponownie połączy ją z linią prostą, kąt nachylenia prostej do osi można dobrać niejednoznacznie (do wielokrotności ).

Tangens tego kąta jest jednoznacznie określony (bo zmiana kąta na nie zmienia jego stycznej).

Styczna kąta nachylenia linii prostej do osi x nazywana jest nachyleniem linii prostej.

Nachylenie charakteryzuje kierunek linii prostej (tu nie rozróżniamy dwóch wzajemnie przeciwstawnych kierunków linii prostej). Jeśli nachylenie linii wynosi zero, to linia jest równoległa do osi x. Przy dodatnim nachyleniu kąt nachylenia prostej do osi Wół będzie ostry (rozważamy tu najmniejszą dodatnią wartość kąta nachylenia) (rys. 39); w tym przypadku im większe nachylenie, tym większy kąt jego nachylenia do osi Wół. Jeżeli nachylenie jest ujemne, to kąt nachylenia prostej do osi x będzie rozwarty (ryc. 40). Zauważ, że linia prosta prostopadła do osi x nie ma nachylenia (styczna kąta nie istnieje).