Funktsiooni tuletise väärtus punktis on võrdne. Leia funktsiooni tuletise väärtus punktis x0

11.10.2019

Matemaatikas on täiesti võimatu lahendada füüsikalisi ülesandeid või näiteid, kui ei teata tuletist ja selle arvutamise meetodeid. Tuletis on matemaatilise analüüsi üks olulisemaid mõisteid. Otsustasime tänase artikli pühendada sellele põhiteemale. Mis on tuletis, mis on selle füüsikaline ja geomeetriline tähendus, kuidas arvutada funktsiooni tuletist? Kõik need küsimused saab ühendada üheks: kuidas tuletist aru saada?

Tuletise geomeetriline ja füüsikaline tähendus

Olgu funktsioon f(x) , antud teatud intervalliga (a, b) . Sellesse intervalli kuuluvad punktid x ja x0. Kui x muutub, muutub funktsioon ise. Argumendi muutus – selle väärtuste erinevus x-x0 . See erinevus on kirjutatud kui delta x ja seda nimetatakse argumendi juurdekasvuks. Funktsiooni muutus või juurdekasv on funktsiooni väärtuste erinevus kahes punktis. Tuletismääratlus:

Funktsiooni tuletis punktis on antud punktis oleva funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piir, kui viimane kipub olema null.

Muidu võib selle kirjutada nii:

Mis mõtet on sellist piiri leida? Aga milline:

funktsiooni tuletis punktis on võrdne OX-telje vahelise nurga puutujaga ja funktsiooni graafiku puutujaga antud punktis.

füüsiline tähendus tuletis: tee aja tuletis on võrdne sirgjoonelise liikumise kiirusega.

Tõepoolest, kooliajast saati teavad kõik, et kiirus on eratee. x=f(t) ja aeg t . keskmine kiirus mõneks ajaks:

Et teada saada liikumiskiirust korraga t0 peate arvutama piirangu:

Esimene reegel: võtke konstant välja

Konstandi saab tuletise märgist välja võtta. Pealegi tuleb seda teha. Matemaatika näidete lahendamisel võtke reeglina - kui saate väljendit lihtsustada, siis kindlasti lihtsustage .

Näide. Arvutame tuletise:

Teine reegel: funktsioonide summa tuletis

Kahe funktsiooni summa tuletis on võrdne nende funktsioonide tuletiste summaga. Sama kehtib ka funktsioonide erinevuse tuletise kohta.

Me ei tõesta seda teoreemi, vaid vaatleme pigem praktilist näidet.

Leia funktsiooni tuletis:

Kolmas reegel: funktsioonide korrutise tuletis

Kahe diferentseeruva funktsiooni korrutise tuletis arvutatakse järgmise valemiga:

Näide: leidke funktsiooni tuletis:

Otsus:

Siin on oluline öelda keerukate funktsioonide tuletiste arvutamise kohta. Kompleksfunktsiooni tuletis võrdub selle funktsiooni tuletise korrutisega vaheargumendi suhtes vaheargumendi tuletisega sõltumatu muutuja suhtes.

Ülaltoodud näites kohtame väljendit:

Sel juhul on vaheargument 8x viienda astmeni. Sellise avaldise tuletise arvutamiseks arvestame esmalt välisfunktsiooni tuletist vaheargumendi suhtes ja seejärel korrutame vaheargumendi enda tuletisega sõltumatu muutuja suhtes.

Neljas reegel: kahe funktsiooni jagatise tuletis

Valem kahe funktsiooni jagatise tuletise määramiseks:

Proovisime nullist rääkida mannekeenide derivaatidest. See teema pole nii lihtne, kui tundub, seega olge ettevaatlik: näidetes on sageli lõkse, seega olge tuletisinstrumentide arvutamisel ettevaatlik.

Kõigi seda ja muid teemasid puudutavate küsimustega võite pöörduda üliõpilasteeninduse poole. Taga lühiajaline aitame lahendada kõige keerulisema kontrolli ja tegeleda ülesannetega, isegi kui te pole varem tuletisinstrumentide arvutamisega tegelenud.

Tuletise leidmise operatsiooni nimetatakse diferentseerimiseks.

Lihtsamate (ja mitte väga lihtsate) funktsioonide tuletiste leidmise probleemide lahendamise tulemusel, defineerides tuletise juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piiriks, ilmus tuletisi tabel ja täpselt määratletud diferentseerimisreeglid. . Isaac Newton (1643-1727) ja Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) olid esimesed, kes töötasid tuletiste leidmise alal.

Seetõttu ei ole meie ajal vaja mis tahes funktsiooni tuletise leidmiseks arvutada ülalmainitud funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piiri, vaid tuleb kasutada ainult tabelit. tuletistest ja diferentseerimisreeglitest. Tuletise leidmiseks sobib järgmine algoritm.

Tuletise leidmiseks, vajate löögimärgi alla väljendit lagundama lihtsaid funktsioone ja määrake, millised toimingud (produkt, summa, jagatis) need funktsioonid on omavahel seotud. Edasi leiame elementaarfunktsioonide tuletised tuletiste tabelist ning korrutise, summa ja jagatise tuletiste valemid - diferentseerimisreeglitest. Tuletiste ja diferentseerimisreeglite tabel on toodud pärast kahte esimest näidet.

Näide 1 Leia funktsiooni tuletis

Otsus. Diferentseerimisreeglitest saame teada, et funktsioonide summa tuletis on funktsioonide tuletiste summa, s.o.

Tuletiste tabelist saame teada, et "X" tuletis on võrdne ühega ja siinuse tuletis on koosinus. Asendame need väärtused tuletiste summas ja leiame tuletise, mida nõuab ülesande tingimus:

Näide 2 Leia funktsiooni tuletis

Otsus. Diferentseerige kui summa tuletis, milles teise liikme konstantse teguriga saab selle tuletise märgist välja võtta:

Kui ikka tekib küsimusi, kust miski pärineb, selguvad need reeglina pärast tuletiste tabeli ja lihtsamate eristamisreeglite lugemist. Me läheme kohe nende juurde.

Lihtfunktsioonide tuletiste tabel

1. Konstandi (arvu) tuletis. Mis tahes arv (1, 2, 5, 200...), mis on funktsiooni avaldises. Alati null. Seda on väga oluline meeles pidada, kuna seda nõutakse väga sageli
2. Sõltumatu muutuja tuletis. Kõige sagedamini "x". Alati võrdne ühega. Seda on samuti oluline meeles pidada
3. Kraadi tuletis. Ülesannete lahendamisel tuleb mitteruutjuured teisendada astmeks.
4. Muutuja tuletis astmega -1
5. Tuletis ruutjuur
6. Siinustuletis
7. Koosinustuletis
8. Puutuja tuletis
9. Kootangensi tuletis
10. Arsiinuse tuletis
11. Kaarkoosinuse tuletis
12. Kaartangensi tuletis
13. Pöördtangensi tuletis
14. Naturaallogaritmi tuletis
15. Logaritmifunktsiooni tuletis
16. Eksponent tuletis
17. Eksponentfunktsiooni tuletis

Eristamise reeglid

1. Summa või vahe tuletis
2. Toote tuletis
2a. Avaldise tuletis, mis on korrutatud konstantse teguriga
3. Jagatise tuletis
4. Kompleksfunktsiooni tuletis

1. reegelKui funktsioonid

on mingil hetkel diferentseeruvad , siis samas punktis funktsioonid

need. funktsioonide algebralise summa tuletis on võrdne nende funktsioonide tuletiste algebralise summaga.

Tagajärg. Kui kaks diferentseeruvat funktsiooni erinevad konstandi poolest, siis on nende tuletised, st.

2. reegelKui funktsioonid

on mingil hetkel eristatavad, siis on ka nende toode samas punktis eristatav

need. kahe funktsiooni korrutise tuletis on võrdne mõlema funktsiooni ja teise funktsiooni korrutiste summaga.

Tagajärg 1. Konstantteguri saab tuletise märgist välja võtta:

Tagajärg 2. Mitme diferentseeruva funktsiooni korrutise tuletis on võrdne iga teguri ja kõigi teiste tuletise korrutiste summaga.

Näiteks kolme kordaja jaoks:

3. reegelKui funktsioonid

mingil hetkel eristuvad ja , siis siinkohal on ka nende jagatis diferentseeritav.u/v ja

need. kahe funktsiooni jagatise tuletis on võrdne murdosaga, mille lugeja on nimetaja ja lugeja tuletise ning lugeja ja nimetaja tuletise korrutised ning nimetaja on eelmise lugeja ruut .

Kust teistelt lehtedelt vaadata

Korrutise tuletise ja jagatise leidmisel reaalsetes ülesannetes on alati vaja korraga rakendada mitut diferentseerimisreeglit, seega on nende tuletiste kohta rohkem näiteid artiklis."Korrutise ja jagatise tuletis".

kommenteerida. Konstanti (ehk arvu) ei tohiks segi ajada summas oleva liikmena ja konstantse tegurina! Termini puhul on selle tuletis võrdne nulliga ja konstantse teguri korral võetakse see tuletisi märgist välja. See on tüüpiline viga, mis toimub esialgne etapp tuletisi õppides, kuid kuna need lahendavad mitu ühe-kahekomponendilist näidet, siis keskmine õpilane seda viga enam ei tee.

Ja kui teil on toote või jagatise eristamisel termin u"v, kus u- arv, näiteks 2 või 5, see tähendab konstant, siis on selle arvu tuletis võrdne nulliga ja seetõttu on kogu liige võrdne nulliga (sellist juhtumit analüüsitakse näites 10) .

Teine levinud viga on kompleksfunktsiooni tuletise mehaaniline lahendamine lihtfunktsiooni tuletis. Niisiis kompleksfunktsiooni tuletis on pühendunud eraldi artikkel. Kuid kõigepealt õpime leidma lihtsate funktsioonide tuletisi.

Teel ei saa te ilma väljendite teisendusteta. Selleks peate võib-olla avama uutes Windowsi juhendites Võimude ja juurtega teod ja Tegevused murdarvudega .

Kui otsite lahendusi võimsuste ja juurtega tuletistele, st millal funktsioon välja näeb , seejärel järgige õppetundi "Tõppude ja juurtega murdude summa tuletis".

Kui teil on ülesanne nagu , siis olete õppetunnis "Lihtsate trigonomeetriliste funktsioonide tuletised".

Samm-sammult näited – kuidas tuletist leida

Näide 3 Leia funktsiooni tuletis

Otsus. Määrame funktsiooni avaldise osad: kogu avaldis esindab korrutist ja selle tegurid on summad, millest teises üks terminitest sisaldab konstantset tegurit. Rakendame korrutise eristamise reeglit: kahe funktsiooni korrutise tuletis on võrdne mõlema funktsiooni korrutiste summaga ja teise funktsiooni tuletisega:

Järgmisena rakendame summa diferentseerimise reeglit: funktsioonide algebralise summa tuletis võrdub nende funktsioonide tuletiste algebralise summaga. Meie puhul igas summas teine liige miinusmärgiga. Igas summas näeme nii sõltumatut muutujat, mille tuletis on võrdne ühega, kui ka konstanti (arvu), mille tuletis on võrdne nulliga. Niisiis, "x" muutub üheks ja miinus 5 - nulliks. Teises avaldises korrutatakse "x" 2-ga, seega korrutame kaks sama ühikuga kui "x" tuletis. Saame järgmised tuletisinstrumentide väärtused:

Asendame leitud tuletised korrutiste summaga ja saame kogu ülesande tingimuse poolt nõutava funktsiooni tuletise:

Näide 4 Leia funktsiooni tuletis

Otsus. Peame leidma jagatise tuletise. Jagatise eristamiseks rakendame valemit: kahe funktsiooni jagatise tuletis on võrdne murdosaga, mille lugejaks on nimetaja ja lugeja tuletise ning lugeja ja nimetaja tuletise korrutised ning nimetaja on endise lugeja ruut. Saame:

Näites 2 leidsime juba lugejas olevate tegurite tuletise. Ärgem unustagem ka seda, et korrutis, mis käesolevas näites on lugejas teine tegur, võetakse miinusmärgiga:

Kui otsite lahendusi sellistele probleemidele, mille puhul peate leidma funktsiooni tuletise, kus on pidev hunnik juuri ja astmeid, nagu näiteks, siis tere tulemast klassi "Tõppude ja juurtega murdude summa tuletis" .

Kui teil on vaja rohkem teada saada siinuste, koosinuste, puutujate ja teiste tuletistest trigonomeetrilised funktsioonid, st kui funktsioon näeb välja selline , siis on teil õppetund "Lihtsate trigonomeetriliste funktsioonide tuletised" .

Näide 5 Leia funktsiooni tuletis

Otsus. Selles funktsioonis näeme korrutist, mille üheks teguriks on sõltumatu muutuja ruutjuur, mille tuletisega tutvusime tuletiste tabelis. Korrutise eristamise reegli ja ruutjuure tuletise tabeliväärtuse järgi saame:

Näide 6 Leia funktsiooni tuletis

Otsus. Selles funktsioonis näeme jagatist, mille dividendiks on sõltumatu muutuja ruutjuur. Vastavalt jagatise diferentseerimise reeglile, mida kordasime ja rakendasime näites 4, ning ruutjuure tuletise tabeliväärtuse järgi saame:

Lugejas olevast murdosast vabanemiseks korrutage lugeja ja nimetaja arvuga.

Näide 1

Viide: Järgmised funktsiooni märkimise viisid on samaväärsed: Mõne ülesande puhul võib olla mugav määrata funktsiooni kui "mängija" ja mõnes "ef from x".

Kõigepealt leiame tuletise:

Näide 2

Arvutage funktsiooni tuletis punktis

, , täielik funktsiooni uuring ja jne.

Näide 3

Arvutage funktsiooni tuletis punktis . Leiame kõigepealt tuletise:

No see on hoopis teine asi. Arvutage tuletise väärtus punktis:

Kui te ei saa aru, kuidas tuletis leiti, pöörduge tagasi teema kahe esimese õppetunni juurde. Kui arctangensi ja selle tähendustega on raskusi (arusaamatus), tingimata Uuring metoodiline materjal Elementaarfunktsioonide graafikud ja omadused- kõige viimane lõik. Sest õpilasea jaoks on arctangente ikka piisavalt.

Näide 4

Arvutage funktsiooni tuletis punktis .

Funktsiooni graafiku puutuja võrrand

Eelmise lõigu konsolideerimiseks kaaluge puutuja leidmise probleemi funktsioonigraafika sel hetkel. Selle ülesandega kohtusime koolis ja seda leidub ka kõrgema matemaatika kursuses.

Mõelge "demonstratsiooni" elementaarsele näitele.

Kirjutage funktsiooni graafiku puutuja võrrand abstsisspunktis. Annan kohe probleemile valmis graafilise lahenduse (praktikas pole see enamikul juhtudel vajalik):

Tangensi range definitsiooni annab funktsiooni tuletise määratlused, kuid kuni me valdame tehniline osa küsimus. Kindlasti saavad peaaegu kõik intuitiivselt aru, mis on puutuja. Kui seletada "sõrmedel", siis funktsiooni graafiku puutuja on otse, mis puudutab funktsiooni graafikut in ainuke punkt. Sel juhul asuvad kõik sirge lähedal asuvad punktid funktsiooni graafikule võimalikult lähedal.

Meie juhtumi puhul puudutab puutuja (standardtähis) funktsiooni graafikut ühes punktis.

Ja meie ülesanne on leida sirgjoone võrrand.

Funktsiooni tuletis punktis

Kuidas leida funktsiooni tuletist punktis? Selle ülesande kaks selget punkti tulenevad sõnastusest:

1) On vaja leida tuletis.

2) On vaja arvutada tuletise väärtus antud punktis.

Näide 1

Arvutage funktsiooni tuletis punktis

Abi: järgmised funktsiooni märkimise viisid on samaväärsed:

Mõne ülesande puhul võib olla mugav määrata funktsiooni kui "mängija" ja mõnes "ef from x".

Kõigepealt leiame tuletise:

Loodan, et paljud on juba kohanenud, et selliseid tuletisi suuliselt leida.

Teises etapis arvutame tuletise väärtuse punktis:

Väike soojendusnäide iseseisva lahenduse jaoks:

Näide 2

Arvutage funktsiooni tuletis punktis

Täislahendus ja vastus tunni lõpus.

Punktis tuletise leidmise vajadus tekib järgmiste ülesannete puhul: funktsiooni graafiku puutuja konstrueerimine (järgmine lõik), ekstreemumi funktsiooni uurimine , graafiku käände funktsiooni uurimine , täielik funktsiooni uuring ja jne.

Kuid kõnealune ülesanne toimub kontrolli töö ja iseenesest. Ja reeglina antakse sellistel juhtudel funktsioon üsna keerukaks. Sellega seoses kaaluge veel kahte näidet.

Näide 3

Arvutage funktsiooni tuletis punktis .
Leiame kõigepealt tuletise:

Põhimõtteliselt leitakse tuletis ja vajaliku väärtuse saab asendada. Aga ma ei taha tegelikult midagi teha. Avaldis on väga pikk ja "x" väärtus on murdosa. Seetõttu püüame oma tuletist nii palju kui võimalik lihtsustada. Sel juhul proovime taandada kolm viimast terminit ühiseks nimetajaks: punktis .

See on tee-seda-ise näide.

Kuidas leida funktsiooni F(x) tuletise väärtust Ho-punktis? Kuidas seda üldiselt lahendada?

Kui valem on antud, siis leidke tuletis ja asendage X-i asemel X-null. loendama
Kui a me räägime o b-8 KASUTAGE graafikut, siis tuleb leida nurga puutuja (äge või nüri), mis moodustab X-telje puutuja (kasutades täisnurkse kolmnurga mõttelist konstruktsiooni ja määrates nurga puutuja)

Timur Adilhodžajev

Esiteks peate otsustama märgi üle. Kui punkt x0 on koordinaattasandi alumises osas, on vastuse märk miinus ja kui see on kõrgem, siis +.
Teiseks peate teadma, mis on tange ristkülikukujulises ristkülikus. Ja see on vastaskülje (jala) ja külgneva külje (ka jala) suhe. Tavaliselt on maalil mõned mustad märgid. Nendest märkidest, mida teete täisnurkne kolmnurk ja leida puudutusi.

Kuidas leida funktsiooni f x tuletise väärtust punktis x0?

konkreetset küsimust pole - 3 aastat tagasi

Üldjuhul tuleb funktsiooni tuletise väärtuse leidmiseks mingi muutuja suhtes suvalises punktis antud funktsiooni selle muutuja suhtes eristada. Sinu puhul muutuja X järgi. Saadud avaldises pane X asemel x väärtus punkti, mille jaoks pead leidma tuletise väärtuse, st. teie puhul asendage null X ja arvutage saadud avaldis.

Noh, teie soov sellest küsimusest aru saada väärib minu arvates kahtlemata +, mille panin puhta südametunnistusega.

Selline tuletise leidmise probleemi sõnastus esitatakse sageli tuletise geomeetrilise tähenduse fikseerimiseks. Pakutakse välja teatud funktsiooni graafik, täiesti suvaline ja mitte võrrandiga antud, ning selleks on vaja kindlaksmääratud punktis X0 leida tuletise (mitte tuletise enda!) väärtus. Selleks konstrueeritakse antud funktsiooni puutuja ja leitakse selle lõikepunktid koordinaattelgedega. Seejärel koostatakse selle puutuja võrrand kujul y=kx+b.

Selles võrrandis on koefitsient k ja tuletise väärtus. jääb üle vaid leida koefitsiendi b väärtus. Selleks leiame y väärtuse x \u003d o, olgu see võrdne 3-ga - see on koefitsiendi b väärtus. Asendame X0 ja Y0 väärtused algsesse võrrandisse ja leiame k - meie tuletise väärtuse selles punktis.

Kui järgime definitsiooni, siis funktsiooni tuletis punktis on funktsiooni Δ juurdekasvu suhte piir y argumendi Δ juurdekasvuni x:

Kõik näib olevat selge. Kuid proovige arvutada selle valemiga, ütleme, funktsiooni tuletis f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x patt x. Kui teete kõike definitsiooni järgi, siis pärast paari lehekülge arvutusi jääte lihtsalt magama. Seetõttu on lihtsamaid ja tõhusamaid viise.

Alustuseks märgime, et nn elementaarfunktsioone saab eristada kõigist funktsioonidest. Need on suhteliselt lihtsad avaldised, mille tuletised on juba ammu arvutatud ja tabelisse kantud. Selliseid funktsioone on koos nende tuletistega piisavalt lihtne meeles pidada.

Elementaarfunktsioonide tuletised

Elementaarsed funktsioonid on kõik allpool loetletud. Nende funktsioonide tuletised peavad olema peast teada. Pealegi pole neid raske pähe õppida – seepärast on need elementaarsed.

Niisiis, elementaarfunktsioonide tuletised:

Nimi	Funktsioon	Tuletis
Püsiv	f(x) = C, C ∈ R	0 (jah, jah, null!)
Kraad ratsionaalse astendajaga	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = patt x	cos x
Koosinus	f(x) = cos x	− patt x(miinus siinus)
Tangent	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangent	f(x) = ctg x	− 1/sin2 x
naturaallogaritm	f(x) = log x	1/x
Suvaline logaritm	f(x) = log a x	1/(x ln a)
Eksponentfunktsioon	f(x) = e x	e x(midagi ei muutunud)

Kui elementaarfunktsiooni korrutada suvalise konstandiga, on ka uue funktsiooni tuletis kergesti arvutatav:

(C · f)’ = C · f ’.

Üldjuhul saab konstandid tuletise märgist välja võtta. Näiteks:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Ilmselgelt saab elementaarfunktsioone omavahel liita, korrutada, jagada ja palju muud. Nii tekivad uued funktsioonid, mis pole enam väga elementaarsed, vaid ka teatud reeglite järgi eristatavad. Neid reegleid käsitletakse allpool.

Summa ja vahe tuletis

Laske funktsioonidel f(x) ja g(x), mille tuletised on meile teada. Näiteks võite võtta ülalpool käsitletud elementaarfunktsioonid. Seejärel leiate nende funktsioonide summa ja erinevuse tuletise:

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

Seega on kahe funktsiooni summa (erinevus) tuletis võrdne tuletiste summaga (erinevus). Tingimusi võib olla rohkem. Näiteks, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Rangelt võttes pole algebras "lahutamise" mõistet. On olemas mõiste "negatiivne element". Seetõttu erinevus f − g saab summaks ümber kirjutada f+ (-1) g, ja siis jääb järele ainult üks valem – summa tuletis.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funktsioon f(x) on kahe elementaarfunktsiooni summa, seega:

f ’(x) = (x 2+ patt x)’ = (x 2)' + (patt x)’ = 2x+ cosx;

Me vaidleme funktsiooni kohta sarnaselt g(x). Ainult seal on juba kolm terminit (algebra seisukohalt):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Vastus:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Toote tuletis

Matemaatika on loogikateadus, nii et paljud inimesed usuvad, et kui summa tuletis on võrdne tuletiste summaga, siis korrutise tuletis streikima"\u003e võrdne tuletisinstrumentide korrutisega. Aga teile viigimarjad! Toote tuletis arvutatakse täiesti erineva valemi abil. Nimelt:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Valem on lihtne, kuid sageli unustatakse. Ja mitte ainult koolilapsed, vaid ka üliõpilased. Tulemuseks on valesti lahendatud probleemid.

Ülesanne. Leia funktsioonide tuletised: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x– 7) · e x .

Funktsioon f(x) on kahe elementaarfunktsiooni korrutis, seega on kõik lihtne:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (maks x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (-sin x) = x 2 (3 cos x − x patt x)

Funktsioon g(x) esimene kordaja on natuke keerulisem, kuid üldine skeem see ei muutu. Ilmselgelt funktsiooni esimene kordaja g(x) on polünoom ja selle tuletis on summa tuletis. Meil on:

g ’(x) = ((x 2 + 7x– 7) · e x)’ = (x 2 + 7x– 7)" · e x + (x 2 + 7x– 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x– 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Vastus:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x patt x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Pange tähele, et viimases etapis on tuletis faktoriseeritud. Formaalselt pole see vajalik, kuid enamik tuletisi ei arvutata iseseisvalt, vaid funktsiooni uurimiseks. See tähendab, et edaspidi võrdsustatakse tuletis nulliga, selgitatakse välja selle märgid ja nii edasi. Sellisel juhul on parem, kui avaldis on jagatud teguriteks.

Kui on kaks funktsiooni f(x) ja g(x) ja g(x) ≠ 0 meid huvitaval hulgal, saame defineerida uue funktsiooni h(x) = f(x)/g(x). Sellise funktsiooni jaoks leiate ka tuletise:

Pole nõrk, eks? Kust tuli miinus? Miks g 2? Aga niimoodi! See on üks keerukamaid valemeid - ilma pudelita ei saa te sellest aru. Seetõttu on parem seda konkreetsete näidete abil uurida.

Ülesanne. Leia funktsioonide tuletised:

Iga murru lugejas ja nimetajas on elementaarfunktsioonid, seega vajame ainult jagatise tuletise valemit:

Traditsiooniliselt arvestame lugeja tegurite hulka - see lihtsustab vastust oluliselt:

Keeruline funktsioon ei pruugi olla poole kilomeetri pikkune valem. Näiteks piisab funktsiooni võtmisest f(x) = patt x ja asendada muutuja x, ütleme, edasi x 2+ln x. Selgub f(x) = patt ( x 2+ln x) on keeruline funktsioon. Tal on ka tuletis, kuid selle leidmine ülalkirjeldatud reeglite järgi ei tööta.

Kuidas olla? Sellistel juhtudel aitab muutuja asendamine ja kompleksfunktsiooni tuletise valem:

f ’(x) = f ’(t) · t', kui x asendatakse t(x).

Reeglina on olukord selle valemi mõistmisega veelgi kurvem kui jagatise tuletisega. Seetõttu on parem seda ka konkreetsete näidetega selgitada, koos Täpsem kirjeldus igal sammul.

Ülesanne. Leia funktsioonide tuletised: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = patt ( x 2+ln x)

Pange tähele, et kui funktsioonis f(x) avaldise 2 asemel x+3 saab olema lihtne x, siis saame elementaarfunktsiooni f(x) = e x. Seetõttu teeme asendused: olgu 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Otsime kompleksfunktsiooni tuletist valemiga:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Ja nüüd - tähelepanu! Pöördasenduse teostamine: t = 2x+ 3. Saame:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Vaatame nüüd funktsiooni g(x). Ilmselgelt tuleb välja vahetada. x 2+ln x = t. Meil on:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (patt t)’ · t' = cos t · t ’

Vastupidine asendamine: t = x 2+ln x. Seejärel:

g ’(x) = cos ( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

See on kõik! Nagu viimasest avaldisest näha, on kogu probleem taandatud summa tuletise arvutamisele.

Vastus:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2+ln x).

Väga sageli kasutan ma oma tundides termini "tuletis" asemel sõna "insult". Näiteks löök summast on võrdne summaga lööki. Kas see on selgem? See on hea.

Seega taandub tuletise arvutamine just nendest löökidest vabanemisele vastavalt ülalkirjeldatud reeglitele. Viimase näitena pöördume tagasi ratsionaalse astendajaga tuletusastme juurde:

(x n)’ = n · x n − 1

Seda teavad rollis vähesed n võib hästi tegutseda murdarv. Näiteks juur on x 0,5 . Aga mis siis, kui juure all on midagi keerulist? Jällegi selgub keeruline funktsioon - neile meeldib selliseid konstruktsioone testides ja eksamites anda.

Ülesanne. Leia funktsiooni tuletis:

Esiteks kirjutame juur ümber ratsionaalse astendajaga astmeks:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Nüüd teeme asendus: las x 2 + 8x − 7 = t. Leiame tuletise valemiga:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)" t' = 0,5 t−0,5 t ’.

Teeme pöördasenduse: t = x 2 + 8x− 7. Meil on:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x– 7) –0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Lõpuks tagasi juurte juurde:

Ühe muutuja funktsiooni tuletis.

Sissejuhatus.

Päris metoodilised arengud mõeldud tööstus- ja ehitusteaduskonna üliõpilastele. Need on koostatud seoses matemaatikakursuse programmiga jaotises "Ühe muutuja funktsioonide diferentsiaalarvutus".

Arendused on ühtne metoodiline juhend, mis sisaldab: lühidalt teoreetilist teavet; "tüüpilised" ülesanded ja harjutused koos üksikasjalike lahenduste ja nende lahenduste selgitustega; juhtimisvalikud.

Täiendavad harjutused iga lõigu lõpus. Selline arenduste ülesehitus teeb need sobivaks lõigu iseseisvaks valdamiseks kõige minimaalsema õpetaja abiga.

§üks. Tuletise definitsioon.

Mehaaniline ja geomeetriline tähendus

tuletis.

Tuletise mõiste on matemaatilise analüüsi üks olulisemaid mõisteid, mis tekkis juba 17. sajandil. Tuletise mõiste kujunemist seostatakse ajalooliselt kahe probleemiga: muutuva liikumise kiiruse probleem ja kõvera puutuja probleem.

Need ülesanded hoolimata nendest erinevat sisu, viivad samale matemaatilisele tehtele, mis tuleb sooritada funktsiooniga See tehe on saanud matemaatikas erinimetuse. Seda nimetatakse funktsiooni eristamise operatsiooniks. Diferentseerimistehte tulemust nimetatakse tuletiseks.

Seega on funktsiooni y=f(x) tuletis punktis x0 funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piir (kui see on olemas)
juures
.

Tuletis on tavaliselt tähistatud järgmiselt:
.

Nii et definitsiooni järgi

Sümboleid kasutatakse ka tuletise tähistamiseks
.

Tuletise mehaaniline tähendus.

Kui s=s(t) on materiaalse punkti sirgjoonelise liikumise seadus, siis
on selle punkti kiirus ajahetkel t.

Tuletise geomeetriline tähendus.

Kui funktsioonil y=f(x) on punktis tuletis , siis kalle funktsiooni graafiku puutuja punktis
võrdub
.

Näide.

Leia funktsiooni tuletis
punktis =2:

1) Anname punkti =2 juurdekasvu
. Märka seda.

2) Leia funktsiooni juurdekasv punktis =2:

3) Koostage funktsiooni ja argumendi juurdekasvu suhe:

Leiame seose piiri at
:

Seega
.

§ 2. Mõnede tuletised

kõige lihtsamad funktsioonid.

Õpilane peab õppima arvutama konkreetsete funktsioonide tuletisi: y=x,y= ja üldiselt y= .

Leia funktsiooni y=x tuletis.

need. (x)′=1.

Leiame funktsiooni tuletise

Tuletis

Las olla
siis

Tähendusfunktsiooni tuletisi avaldistes on mustrit lihtne märgata
n = 1,2,3 juures.

Seega

. (1)

See valem kehtib mis tahes reaalarvu jaoks.

Täpsemalt, kasutades valemit (1), saame:

;

Näide.

Leia funktsiooni tuletis

See funktsioon on vormi funktsiooni erijuht

juures
.

Kasutades valemit (1), saame

Funktsioonide y=sin x ja y=cos x tuletised.

Olgu y=sinx.

Jagame ∆x-ga, saame

Minnes piirini ∆x→0, saame

Olgu y=cosx .

Minnes piirini ∆x→0, saame

;
. (2)

§3. Eristamise põhireeglid.

Mõelge eristamise reeglitele.

Teoreem1 . Kui funktsioonid u=u(x) ja v=v(x) on antud punktis x diferentseeruvad, siis on ka nende summa selles punktis diferentseeruv ja summa tuletis on võrdne tuletatud liikmete summaga: (u+v)"=u"+v".(3)

Tõestus: vaatleme funktsiooni y=f(x)=u(x)+v(x).

Argumendi x juurdekasv ∆x vastab funktsioonide u ja v juurdekasvudele ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x). Seejärel suurendatakse funktsiooni y

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Seega

Niisiis, (u+v)"=u"+v".

Teoreem2. Kui funktsioonid u=u(x) ja v=v(x) on antud punktis x diferentseeruvad, siis on ka nende korrutis samas punktis diferentseeruv Sel juhul leitakse korrutise tuletis järgmise valemiga : (uv) "=u" v + uv ". ( 4)

Tõestus: Olgu y=uv, kus u ja v on mõned x-i diferentseeruvad funktsioonid. Olgu x-i suurendamine ∆x võrra, siis u-d suurendatakse ∆u võrra, v-d ∆v võrra ja y-t ∆y võrra.

Meil on y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), või

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Seetõttu ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Siit

Minnes piirini ∆x→0 ja võttes arvesse, et u ja v ei sõltu ∆x-st, saame

3. teoreem. Kahe funktsiooni jagatise tuletis on võrdne murdosaga, mille nimetaja on võrdne jagaja ruuduga ja lugeja on dividendi jagaja tuletise ja funktsiooni korrutise vahe. dividend jagaja tuletisega, s.o.

Kui a
siis
(5)